资源简介 7.3 三角形的内角和1.三角形的内角和与大小、形状无关,三角形的内角和都等于180°。2.已知三角形的两个内角和的度数,可以根据三角形的内角和求出第三个角的度数。例1:观察下图,得出的结论是( )。A.三角形的内角和是180度B.三角形是锐角三角形C.三角形是等腰三角形答案:A分析:观察发现图中将三角形的3个内角集中在一起,拼成了一个平角,平角为180度;据此解答。详解:根据分析:得出的结论是三角形的内角和是180度。故答案为:A例2:三角形的三个内角都相等,这个三角形的三个内角都是( )°。答案:60分析:在三角形中,三角形内角和为180°。三个内角都相等,要求一个角是多少,用除法计算。详解:180°÷3=60°所以这个三角形的三个内角都是60°。例3:底角是46°的等腰三角形是锐角三角形。( )答案:√分析:小于90°的角是锐角,大于90°而小于180°的角是钝角。等腰三角形两底角相等,即两个底角是46°,三角形的内角和是180°,用180°减46°,再减46°,即可求出顶角的度数,再看最大的角是锐角还是钝角,若最大的角是锐角,这个三角形就是锐角三角形,若最大的角是钝角,这个三角形就是钝角三角形。详解:180°-46°-46°=134°-46°=88°88°的角是锐角,这是一个锐角三角形,原题干说法正确;故答案为:√例4:我们通过撕、拼、量、折等方法知道了“三角形的内角和是180°”,除了这些方法外,还可以借助一些特殊的图形推理出一般三角形的内角和,根据提示完成下面的研究过程。①长方形的四个角都是直角,所以长方形的内角和是:________________。②任意一个长方形都可以分成两个完全相同的直角三角形,如下图: 所以任意直角三角形的内角和是:________________。③根据“直角三角形的内角和是180°”的结论,尝试推理出一般三角形的内角和,先在图中画一画,并写出你的思考过程。我是这样想的:________________________________________________________________。 答案:①360°②180°③图见详解;把三角形分成2个直角三角形,2个直角三角形的内角和相加再减去2个直角就是三角形的内角和分析:①长方形的四个角都是直角,直角=90°,长方形的内角和是90°×4。②任意一个长方形都可以分成两个完全相同的直角三角形,则每个直角三角形的内角和是(360°÷2)。③把三角形分成2个直角三角形,每个直角三角形的内角和乘2,算出△ABD和△ADC总的内角和是(180°×2),∠ADB和∠ADC不是△ABC的内角,△ABC的内角和是180°×2-90°-90°。详解:①90°×4=360°长方形的四个角都是直角,所以长方形的内角和是:360°。②360°÷2=180°任意直角三角形的内角和是:180°。③ 180°×2-90°-90°=360°-90°-90°=270°-90°=180°我是这样想的:把三角形分成2个直角三角形,2个直角三角形的内角和相加再减去2个直角就是三角形的内角和。分析:此题考查的是三角形内角和的探索,培养学生的探究能力和思考能力。基础过关练一、选择题1.等腰三角形的底角是64°,它的顶角是( )。A. B. C.2.下面号图形中“?”角的度数是60°( )。A.① B.② C.③3.如果一个三角形的最小内角大于45度,那么这个三角形一定是( )三角形。A.锐角 B.直角 C.钝角 D.等腰4.一个等腰三角形的一个底角是38°,它的顶角是( )。A.38° B.76° C.104°5.一块三角板的内角和是180°,用两块完全一样的三角板,拼成一个大三角形,拼成的三角形的内角和是( )。A.360° B.720° C.180°6.如果等腰三角形的一个角是76°,那么另外两个角是( )。A.76°和28° B.52°和52° C.76°和28°或52°和52°二、填空题7.如图是一个等边三角形,∠1=( )°,∠2=( )°,这个等边三角形的周长是( )厘米。 8.等腰三角形的一个底角比顶角小42°,它的顶角是( )°。9.在括号里填“>”“<”或“=”。590亿( )58990000000 直角三角形中任意两个锐角和( )90°192350( )193250 124×101( )124×100+110.一个等腰三角形的顶角是80°,它的一个底角是( )°;如果一个等腰三角形其中两条边的长分别是10厘米和20厘米,那么这个等腰三角形的周长是( )厘米。11.在一个直角三角形中,一个锐角是34°,另一个锐角是( )°。12.一个等腰三角形,它的底角是38°,那么它的顶角是( )°,这也是一个( )三角形。三、判断题13.用两个完全一样的三角形(如图)拼一个三角形,拼成的这个三角形的内角和是360°。( )14.一个三角形中,最多有1个直角,至少有2个锐角。( )15.一个三角形中至少有两个锐角。( )16.一个等腰三角形的两个内角和是140°,这个三角形不可能是钝角三角形。( )17.一个等腰三角形,它的一个底角为40°,按角分类它是一个锐角三角形。( )18.如果等腰三角形中有一个角是91°,那么这个角是顶角。( )19.一个三角形的两个内角和小于90°,这个三角形一定是锐角三角形。( )培优提升练四、解答题20.一个等腰三角形中一个角是另一个角的2倍,这个等腰三角形的底角和顶角分别是多少度?21.一个等腰三角形的底角是顶角的2倍,这个等腰三角形的底角和顶角分别是多少?22.一个等腰三角形的一个角是70°,则这个三角形另外两个角的度数是多少?23.画出下面图中底边上的高,并求出∠1的度数。24.杨奶奶家有一块三角形菜地,其中最大角是最小角的4倍,另外一个角是60°,这个三角形中最小的角是多少度?1.C分析:等腰三角形两腰相等,两底角也相等。三角形内角和是180°,180°减去等腰三角形的2个底角即可算出它的顶角是多少度。详解:180°-64°×2=180°-128°=52°等腰三角形的底角是64°,它的顶角是52°。故答案为:C分析:熟记等腰三角形的特征及三角形内角和是180°是解题关键。2.A分析:三角形的内角和等于180°,180°减去两个已知角的度数等于第三个未知角的度数,据此即可解答。详解:①180°-90°-30°=90°-30°=60°②180°-70°-70°=110°-70°=40°③180°-100°-30°=80°-30°=50°故答案为:A分析:熟练掌握三角形的内角和知识是解答本题的关键。3.A分析:大于45°的最小的角是46°,另一个内角最小也是46°,求出这两个角的和,再用180°减这个和即可求出三角形的第三个内角,再根据三个角中最大内角的度数,来确定这个三角形是什么三角形。详解:46°+46°=92°180°-92°=88°,这是一个锐角三角形。故答案为:A分析:三角形按角分是什么三角形,看三角形中最大内角属于什么角。4.C分析:等腰三角形两腰相等,两底角也相等,三角形的内角和是180°,用180°减去2个底角即可算出这个等腰三角形的顶角度数。详解:180°-38°×2=180°-76°=104°一个等腰三角形的一个底角是38°,它的顶角是104°。故答案为:C分析:熟记等腰三角形的特征及三角形的内角和是180°是解题关键。5.C分析:无论形状、大小怎样,任何一个三角形的内角和都是180°。据此解答。详解:拼成的三角形的内角和是180°。故答案为:C分析:本题考查三角形的内角和定理,关键是明确三角形的内角和都是180°。6.C分析:等腰三角形中的两个底角相等,如果76°的角是底角,另一个底角是76°,根据三角形的内角和为180°可知,顶角是180°-76°-76°。如果76°的角是顶角,每个底角是(180°-76°)÷2。据此解答。详解:如果76°的角是底角:180°-76°-76°=28°如果76°的角是顶角:(180°-76°)÷2=104°÷2=52°另外两个角是76°和28°或52°和52°。故答案为:C分析:本题考查等腰三角形的特征和三角形的内角和定理,等腰三角形中,顶角+2×底角=180°。7. 60 30 36分析:等边三角形的三条边相等,三个内角都是60°,所以图中的∠1是60°,从顶点向底边作垂线,垂线将等边三角形分成2个直角三角形,三角形的内角和是180°,180°减90°,再减60°即可求出∠2的度数,从顶角向底边作高,这条高也将底边平分,所以底边的一半是6厘米,所以6乘2即可求出等边三角形的边长,再给边长乘3即可求出其周长。详解:∠1=60°∠2=180°-90°-60°=90°-60°=30°周长:6×2×3=12×3=36(厘米)∠1=60°,∠2=30°,这个等边三角形的周长是36厘米。分析:学生应熟练掌握等边三角形的特点,这是解答此题的关键。8.88分析:等腰三角形两腰相等,两底角也相等。如果顶角减少42°,则这个三角形的三个角相等,三角形内角和是180°,用180°减去42°再除以3,即可算出这个等腰三角形的底角是多少度,底角度数加上42°即可算出它的顶角是多少度。详解:(180°-42°)÷3=138°÷3=46°46°+42°=88°等腰三角形的一个底角比顶角小42°,它的顶角是(88)°。分析:熟练掌握三角形的内角和是180°和等腰三角形的特征是解答此题的关键。9. > = < >分析:(1)将590亿去掉亿,在末尾添上8个0化为大数,再根据整数大小的比较方法进行解答;(2)三角形内角和是180°,1直角=90°,180°减90°即可求出两个锐角的和;(3)两个数都是六位数,最高位数字都是1,万位数字都是9,比较千位数字,千位数字大的这个数就大;(4)左边算式,将101分解为100与1的和,根据乘法分配律,先求出124与100的积,以及124与1的积,最后把两个积相加,再计算出右边算式的得数,最后比较即可。详解:(1)590亿=5900000000059000000000>58990000000590亿>58990000000(2)180°-90°=90°,直角三角形中任意两个锐角和=90°(3)2<3,192350<193250;(4)124×101=124×(100+1)=124×100+124×1=12400+124=12524124×100+1=12400+1=1240112524>12401124×101>124×100+1分析:此题考查了整数加法、乘法的计算方法,整数大小的比较方法,直角三角形的两个锐角的和等于90°。10. 50 50分析:根据三角形的内角和等于180°和等腰三角形的两底角相等,两腰相等,解答此题即可。详解:(180°-80°)÷2=100°÷2=50°10+20+20=50(厘米)当10厘米为腰时,不能围成三角形。一个等腰三角形的顶角是80°,它的一个底角是50°;如果一个等腰三角形其中两条边的长分别是10厘米和20厘米,那么这个等腰三角形的周长是50厘米。分析:熟练掌握等腰三角形的性质,是解答此题的关键。11.56分析:直角三角形有一个直角90°,用180°减去34°和90°即可。详解:180°-90°-34°=90°-34°=56°在一个直角三角形中,一个锐角是34°,另一个锐角是56°。分析:本题考查的是三角形内角和相关知识,用180°减去两个已知角的度数即可求第三个角的度数。12. 104 钝角分析:等腰三角形两个底角的度数是相等的,用180°减去两个底角的度数可求出顶角的度数,因为顶角是钝角所以该三角形是钝角三角形。详解:180°-38°×2=180°-76°=104°104°是钝角,因此是钝角三角形。分析:本题考查的是三角形的内角和以及三角形的分类的相关知识,用180°减去两个已知角的度数可求出第三个角。13.×分析:任意三角形,无论是大是小,还是拼成的,它的内角之和总等于180°,计算的是它的3个内角的度数之和,据此即可解答。详解:用两个完全一样的三角形(如图)拼一个三角形,拼成的这个三角形的内角和是180°,所以原题干说法错误。故答案为:×分析:本题主要考查三角形的内角和,需要灵活掌握。14.√分析:根据三角形的内角和为180°可知,如果一个三角形中有2个或3个直角或钝角,那么这个三角形的内角和一定大于180°,即一个三角形中最多有1个直角或钝角,至少有2个锐角。详解:一个三角形的内角和为180°,则三角形最多有1个直角,至少有2个锐角。说法正确。故答案为:√分析:题目主要考查了学生对三角形的内角和这一知识点的掌握情况。15.√分析:三角形内角和是180°,如果三角形中只有一个锐角,那么另外两个角都是直角或钝角,这样三角形内角和就大于180°了,这是不可能的。所以三角形中至少有2个锐角。据此解答即可。详解:钝角三角形和直角三角形中有两个锐角,锐角三角形中有三个锐角。则一个三角形中最少有2个锐角。故答案为:√分析:本题考查了三角形的内角和定理,根据直角、钝角、锐角的特点解答即可。16.×分析:三角形的内角和是180°,因为一个等腰三角形的两个内角和是140°,那么第三个内角是40°;等腰三角形中两个内角相等,当两个内角都是40°时,另一个内角是100°;当顶角是40°时,那么另外两个内角是:(180°-40°)÷2=70°;三角形按角分类可以分成:锐角三角形;直角三角形;钝角三角形。1、锐角三角形:三个角都小于90°。2、直角三角形:其中一个角等于90°。3、钝角三角形:其中一个角一定大于90°小于180°。详解:一个等腰三角形的两个内角和是140°,那么这三个角的度数是40°、70°、70°或者40°、40°、100°;这个三角形可能是锐角三角形或者钝角三角形。故答案为:×分析:此题主要考查三角形的分类,应明确锐角、直角和钝角三角形的含义,并灵活运用。17.×分析:三角形的内角和是180°,已知一个等腰三角形的一个底角是40°,另一个底角也是40°,用180°减去2个40°,求出第三个角的度数;三角形按角进行分类的方法:三个角都是锐角,这个三角形是锐角三角形;有一个角是钝角的三角形是钝角三角形;有一个角是直角的三角形是直角三角形;据此即可解答。详解:由分析得:180°-40°-40°=140°-40°=100°100°是钝角,按角分,这个三角形一定是钝角三角形。原题说法错误。故答案为:×分析:熟练掌握三角形的内角和是180°以及等腰三角形的特性是本题解答的关键。18.√分析:等腰三角形两底角相等,如果91°的角是底角,则91°+91°=182°>180°,三角形的3个内角和一定大于180°,不符合三角形内角和等于180°,所以这个角只能是顶角,据此即可解答。详解:根据分析可知,如果91°的角是底角,则这个三角形的3个内角和大于180°,所以这个角只能是顶角,原说法正确。故答案为:√分析:本题主要考查学生对等腰三角形的特征和三角形内和知识的掌握。19.×分析:两个内角之和小于90°,而三角形的内角和是180°,用180°减去小于90°,得到另一个角大于90度°,这个角是钝角,所以这个三角形是钝角三角形,据此判断。详解:180°-90°=90°,则当两个内角和小于90°时,第三个角大于90°,这个三角形是一个钝角三角形,原题干说法错误。故答案为:×分析:本题考查了学生对三角形的内角和以及三角形的分类的掌握。20.45°、45°、90°;72°、72°、36°分析:一个角是另一个角的2倍,有两种情况,较大的角是顶角或者较大的角是底角,当较大角是顶角时,180°除以4即可求出底角,再用这个度数乘2即可求出顶角的度数;当较大角是底角时,180°除以5即可求出顶角的度数,再用顶角的度数乘2即可求出底角的度数。详解:180°÷(1+1+2)=180°÷4=45°45°×2=90°180°÷(1+2+2)=180°÷5=36°36°×2=72°答:这个等腰三角形的底角和顶角分别是45°、45°、90°,或72°、72°、36°。分析:把握两个内角度数关系,根据三角形内角和是180°来解答。21.底角72°;底角36°分析:等腰三角形的两个底角相等。根据三角形的内角和为180°可知,顶角+2×底角=180°。根据“底角是顶角的2倍”,则5个顶角是180°,顶角为180°÷5。再用顶角乘2,即可求出底角。详解:180°÷(1+2+2)=180°÷5=36°36°×2=72°答:这个等腰三角形的底角和顶角分别是72°和36°。分析:本题考查等腰三角形的性质和三角形的内角和,关键是明确5个顶角是180°。22.另外两个角都是55°或一个是70°、一个是40°分析:①当70°的角是顶角时,用180°减去70°的差除以2即可求出另外两个角的度数;②当70°的角是底角时,那么另一个底角也是70°,用180°减去2个70°的和即可求出第三个角;详解:①70°的角是顶角:(180°-70°)÷2=110°÷2=55°②70°的角是底角:180°-70°×2=180°-140°=40°答:另外两个角都是55°或一个是70°、一个是40°。分析:熟练掌握等腰三角形的特征及三角形的内角和是180°是解答此题的关键。23.画图见详解;45°分析:(1)用三角板的一条直角边与底边重合,沿重合的底边平移三角板,使三角板的另一条直角边和底边对着的顶点重合,过顶点沿直角边向底边画垂线段即可;(2)如下图所示:用180°减去75°求出∠2的度数,再用180°减去30°再减去∠2的度数,求出∠1的度数。详解:作图如下:∠2=180°-75°=105°∠1=180°-105°-30°=75°-30°=45°答:∠1的度数是45°。分析:本题考查了学生根据三角形高的定义画高的能力,以及对三角形内角和的掌握与运用。24.24°分析:根据三角形的内角和为180°可知,最大角与最小角的和是180°-60°=120°,最大角是最小角的4倍,则最小角的5倍是120°,最小角是120°÷5。详解:(180°-60°)÷(1+4)=120°÷5=24°答:这个三角形中最小的角是24°。分析:本题主要考查三角形的内角和,求出最大角与最小角的和,再根据和倍问题的解题方法解答。 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