资源简介

7.4 三角形的分类
三角形按角分类
锐角三角形
3个角都是锐角的三角形。
钝角三角形
有1个角是钝角的三角形。
直角三角形
有1个角是直角的三角形。
例1：一个三角形中的两个锐角都是45°，关于这个三角形，下面说法错误的是（ ）。
A．它一定是一个直角三角形 B．它一定是一个等腰三角形
C．它可能是一个钝角三角形 D．它最大的一个角是90°
答案：C
分析：根据三角形的内角和为180°可知，第三个角是180°－45°－45°＝90°。这个三角形中两个角相等，最大的角是直角，它是等腰直角三角形，据此解答。
详解：180°－45°－45°＝90°
A．它一定是一个直角三角形，说法正确；
B．它一定是一个等腰三角形，说法正确；
C．它不可能是一个钝角三角形，说法不正确；
D．它最大的一个角是90°，说法正确；
故答案为：C
分析：本题考查三角形的分类以及三角形的内角和定理，关键是求出第三个角的度数。
例2：将下面的三角形分类。（填序号）
答案：图见详解
分析：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的两条边叫作腰，另一条边叫作底边。
等边三角形的三条边都相等。等边三角形是特殊的等腰三角形，等边三角形的3个内角都是60°。据此解答即可。
详解：如图：
例3：一个三角形中两个内角的和是85°，这个三角形是钝角三角形。( )
答案：√
分析：已知三角形的内角和是180°，用180°－85°即可求出第三个角的度数；然后看最大的内角是多少度，如果等于90度，则这个三角形是直角三角形，如果小于90度，则这个三角形是锐角三角形，如果大于90度，则这个三角形是钝角三角形。
详解：180°－85°＝95°
95°＞90°
一个三角形中两个内角的和是85°，这个三角形是钝角三角形。原题干说法正确。
故答案为：√
分析：本题考查了锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的认识和辨别，明确三角形内角和是180度是解题的关键。
例4：小芳在手工课上用两个完全相同的三角尺拼成了一个长方形，她发现把其中一个三角尺沿着斜边折过去会在上方出现一个小小的等腰三角形，你们觉得小芳说的对吗？
答案：
小芳说的不对。由图可知这个三角尺的两个锐角度数分别是60°和30°，把下面的三角尺翻折上去可得∠1＝∠2＋∠3，∠1＝60°，∠2＝30°，所以。∠3＝60°－30°＝30°，上面的小三角形是直角三角形，所以∠4＝180°－90°－30°＝60°则∠3不等于∠4.假设该小三角形是等腰三角形，则∠3＝∠4，与实际度数不符，所以该小三角形不是等腰三角形。
分析：根据题意，图中两个完全相同的三角尺为直角三角形，根据等腰三角形的定义，两个底角相等的角为等腰三角形，据此分析即可。
详解：小芳说的不对。由图可知这个三角尺的两个锐角度数分别是60°和30°，把下面的三角尺翻折上去可得∠1＝∠2＋∠3，∠1＝60°，∠2＝30°，所以∠3＝60°－30°＝30°，上面的小三角形是直角三角形，所以∠4＝180°－90°－30°＝60°，则∠3不等于∠4。假设该小三角形是等腰三角形，则∠3＝∠4，与实际度数不符，所以该小三角形不是等腰三角形。
基础过关练
一、选择题
1．两个完全一样的（ ）三角形，可以拼成一个正方形。
A．直角 B．等腰 C．等腰直角 D．锐角
2．小丽不小心打碎了一块三角形玻璃，下图是其中的一块碎片。原来这块玻璃的形状是（ ）三角形。
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法确定
3．三角形最小的内角是59°，这个三角形一定是（ ）三角形。
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法确定
4．下面的说法中，正确的有（ ）个。
①任何一个三角形中，至少有2个锐角。
②梯形和平行四边形都有无数条高。
③一个等腰三角形的两条边分别是2厘米和5厘米，第三条边有可能是2厘米，也有可能是5厘米。
④两个完全相同的直角三角形拼成一个新的图形，拼出的新图形的内角和一定是360°。
A．1 B．2 C．3 D．4
5．从下图的格点（如点A、点B）中再选一个点，记作C，使三角形ABC成为直角三角形，可选的点C的位置共有（ ）个。
A．5 B．6 C．7
6．一个三角形最小的一个内角是50度，按角分这是个（ ）三角形。
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法判断
培优提升练
二、填空题
7．一个等腰三角形的顶角是80°，它的一个底角是( )°，这个三角形按角分，是( )三角形。
8．直角三角形中的一个锐角是36°，另一个锐角是( )°；一个等腰三角形的底角是75°，它的顶角是( )°。
9．在一个三角形中，如果∠1＝35°，∠2＝54°，那么∠3＝( )°，按角分类这是( )三角形。
10．在一个三角形中，已知其中两个角分别是42°和58°，则第3个角是( )°；等腰直角三角形的一个底角是( )°。
11．数学知识之间存在着一定的关系。你能把下面的关系图补充完整吗？

12．直角三角形中，一个锐角是35°，另一个锐角是( )°。一个等腰三角形的顶角是80°，它的一个底角是( )°。
三、判断题
13．三角形最小的一个内角是48°，那么这个三角形一定是钝角三角形。( )
14．沿着平行四边形的对角线，把一个平行四边形剪成两个完全一样的三角形，那剪成的三角形一定是钝角三角形。( )
15．有一个角是80°的三角形一定是锐角三角形。( )
16．一个三角形，三个内角的度数各不相同，如果最小的一个内角是50°，那么这个三角形是锐角三角形。( )
四、解答题
17．学校创城要做展牌，准备做一个三角形的展牌框架，框架的每个角都相等，如果这个三角形的底边长是5分米，这个框架至少需要多少米铁丝？
18．三角形是多种多样的。按照三角形中角的不同把下面的三角形分一分。
19．你能给三角形分类吗？
20．如下图。
（1）按边分类。
三角形编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥
三边不相等
两边相等
三边相等
（2）观测边的长短时我们采用的是（目测、量一量、折一折）（选择打√）的方法。
（3）我们把（ ）号三角形放在一起，因为它们（ ），命名为：（ ）三角形；
我们把（ ）号三角形放在一起，因为它们（ ），命名为：（ ）三角形；
我们把（ ）号三角形放在一起，因为它们（ ），命名为：（ ）三角形。
1．C
分析：依题意，结合所学知识分析如下：
正方形的四个角都是直角且四条边都相等，沿着对角线剪开后是两个完全相同的等腰直角三角形，等腰直角三角形是有一个角为直角且两腰相等的三角形，据此解答即可。
详解：依题意，结合所学知识解答如下：
A．直角三角形分为等腰直角三角形和一般的直角三角形，范围太广，不符合题意。
B．等腰三角形分为等腰直角三角形和一般的等腰三角形，范围太广，不符合题意。
C．结合所学知识，正方形沿着对角线剪开后是两个完全相同的等腰直角三角形，故两个完全相同的等腰直角三角形可以拼成一个正方形。
D．锐角三角形是三个角都小于90度的三角形，由于正方形四个角都是90度，故两个完全一样的锐角三角形无法拼成一个正方形。
故答案为：C
分析：本题考查学生对等腰直接三角形和正方形的特征的理解和认识。
2．A
分析：根据三角形的内角和为180°可知，第三个内角是180°－30°－80°，再判断这个三角形的类型。
详解：180°－30°－80°＝70°
这个三角形的三个角都是锐角，则原来这块玻璃的形状是锐角三角形。
故答案为：A
分析：本题考查三角形的内角和定理和三角形的类型，关键是求出第三个内角的度数。
3．A
分析：最小的内角是59°，假设另一个角也是59°，根据三角形的内角和为180°可知，最大的内角的度数是180°－59°－59°，再判断这个三角形的类型。
详解：180°－59°－59°＝62°
这个三角形的三个内角都是锐角，这个三角形一定是锐角三角形。
故答案为：A
分析：本题考查三角形的内角和定理和三角形的分类，关键是求出最大的内角度数可能是多少，再进行解答。
4．B
分析：锐角三角形有3个锐角，直角三角形有1个直角和2个锐角，钝角三角形有1个钝角和2个锐角，任意三角形最少有2个锐角。高是指梯形上下底的距离，在梯形的上底任取一点作垂直于下底的线段就是梯形的高。从平行四边形的任一点作它对边的垂线段，这条垂线段就是平行四边形的高。任意三角形的两边之和必须大于第三边，任意两边的差必须小于第三边。任意三角形的内角和都是180°。
详解：①锐角三角形有3个锐角，直角三角形有2个锐角，钝角三角形有2个锐角。任何一个三角形中至少有2个锐角，说法正确；
②梯形和平行四边形都有无数条高，说法正确；
③一个等腰三角形的两条边分别是2厘米和5厘米，如果第三条边是2厘米，有2＋2＜5，2厘米、2厘米和5厘米的线段，不能围成三角形，第三条边是5厘米。一个等腰三角形的两条边分别是2厘米和5厘米，第三条边有可能是2厘米，也有可能是5厘米说法错误；
④两个完全相同的直角三角形可以拼成一个三角形，拼成的大三角形的内角和是180°。两个完全相同的直角三角形拼成一个新的图形，拼出的新图形的内角和一定是360°，说法错误。
说法正确的是：①任何一个三角形中，至少有2个锐角；②梯形和平行四边形都有无数条高。
故答案为：B
分析：此题考查了三角形的三边关系的应用、三角形的分类、三角形的内角和、梯形和平行四边形的高，属于基础题，应熟练掌握。
5．C
分析：在格点中选点组成直角三角形，可以将角A、角B作为三角形的直角，则点C的位置在A点或B点的正下方，还可以找到点A和点B的中点，在点A和点B的中点的正下方找到点C的位置，选点后，再连接点A和点B，看什么情况下组成的三角形是等腰直角三角形，据此找到点C的位置。
详解：根据分析，如图所示：
红色的点是点C的位置，可选的点C的位置共有7个。
故答案为：C
分析：本题主要考查直角三角形的特点，熟练掌握直角三角形的特点是解决本题的关键。
6．A
分析：依题意，结合所学知识可知三角形内角和为180度，已知这个三角形最小的角都为50度，则意味着剩下的两个角的度数要么等于50度，要么大于50度，据此解答。
详解：结合所学知识，分析如下：
A．已知三角形最小的内角是50度，假设另一个角也是50度，则剩下的角的度数为80度，三个角度数分别为50°、50°和80°，这个三角形是锐角三角形。A选项正确。
B．已知三角形最小的内角是50度，如果这个三角形为直角三角形，则意味着剩下的那个角的度数为40度，与三角形最小的内角是50度相冲突，故排除。
C．已知三角形最小的内角是50度，如果这个三角形是钝角三角形，则意味着有一个角的度数是大于90度的，根据三角形内角和为180度进行判断，剩下的角的度数肯定小于50度，故排除。
D．本题可以进行判断，故排除。
故答案为：A
分析：本题考查学生对三角形内角和为180度的掌握，学生需要具备一定的分析问题和推理判断的能力。
7． 50 锐角
分析：三角形的内角和等于180°，等腰三角形的两个底角相等，180°减顶角的度数等于两个底角的度数和，再除以2等于一个底角的度数，再根据三个角的度数判断是什么三角形。
详解：（180°－80°）÷2
＝100°÷2
＝50°
80°、50°都是锐角，所以这个三角形是锐角三角形。
一个等腰三角形的顶角是80°，它的一个底角是50°，这个三角形按角分，是锐角三角形。
分析：熟练掌握三角形的内角和和三角形的分类知识是解答本题的关键。
8． 54 30
分析：根据三角形的内角和为180°可知，直角三角形中有一个直角，另一个锐角是180°－90°－36°。等腰三角形的两个底角相等，顶角是180°－75°×2。
详解：180°－90°－36°＝54°
180°－75°×2
＝180°－150°
＝30°
另一个锐角是54°；它的顶角是30°。
分析：本题考查三角形内角和定理和三角形的分类，已知三角形中两个角的度数，即可求出第三个角的度数。
9． 91 钝角
分析：三角形内角和是180°，用180°减去∠1的度数，再减去∠2的度数，即可算出∠3的度数。三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。据此解答。
详解：∠3＝180°－∠1－∠2
＝180°－35°－54°
＝145°－54°
＝91°
在一个三角形中，如果∠1＝35°，∠2＝54°，那么∠3＝（91）°，按角分类这是（钝角）三角形。
分析：此题考查了三角形的分类，熟记三角形内角和是180°是解题关键。
10． 80 45
分析：三角形的内角和等于180°，则第3个角是180°－42°－58°。等腰直角三角形中，两个底角相等，最大的角是直角，则一个底角是（180°－90°）÷2。
详解：180°－42°－58°＝80°
（180°－90°）÷2
＝90°÷2
第3个角是80°；等腰直角三角形的一个底角是45°。
分析：本题考查三角形的内角和定理和三角形的分类，已知两个角的度数，即可求出第3个角的度数。
11．直角三角形；钝角三角形；平行四边形；正方形
分析：三角形按角分，分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。正方形是特殊的长方形，长方形是特殊的平行四边形。据此解答。
详解：
分析：本题考查三角形的分类和四边形的关系，需熟练掌握。
12． 55 50
分析：三角形的内角和等于180°，直角＝90°，有一个角是直角的三角形叫直角三角形，直角三角形中，已知一个锐角是35°，那么另一个锐角＝180°－90°－35°。等腰三角形的两个底角相等，已知它的顶角是80°，那么底角＝（180°－80°）÷2。
详解：180°－90°－35°
＝90°－35°
＝55°
（180°－80°）÷2
＝100°÷2
＝50°
直角三角形中，一个锐角是35°，另一个锐角是55°。一个等腰三角形的顶角是80°，它的一个底角是50°。
分析：本题考查的是对三角形分类的理解掌握，要熟记各类三角形的特征。
13．×
分析：三角形内角和是180°，三角形最小的一个内角是48°，则较大的一个角最大是（180°－48°－48°＝84°）。三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。
详解：180°－48°－48°
＝132°－48°
＝84°
最大的角是锐角，这个三角形一定是锐角三角形。
三角形最小的一个内角是48°，那么这个三角形一定是锐角三角形。
故答案为：×
分析：熟记三角形的内角和是180°和三角形的分类是解题关键。
14．×
分析：平行四边形有2个钝角2个锐角，若沿着2个钝角的顶点所在的对角线将其剪开，得到的是2个锐角三角形或2个直角三角形，若沿着2个锐角顶点所在的对角线将其剪开，得到的是2个钝角三角形，据此来解答。
详解：剪成的三角形是锐角三角形、钝角三角形或直角三角形三种皆有可能，所以这句话不对。
故答案为：×
分析：考查学生对平行四边形的认识及平面图形的分割，注意要考虑全面。
15．×
分析：根据三角形的内角和为180°可知，一个角是80°，其余两个角的度数和是100°。若这两个角分别是直角和锐角，这个三角形是直角三角形。若这两个角分别是钝角和锐角，这个三角形是钝角三角形。若这两个角都是锐角，这个三角形是锐角三角形。据此判断。
详解：180°－80°＝100°
90°＋10°＝100°，若剩余两个角分别是90°和10°，这个三角形是直角三角形。
92°＋8°＝100°，若剩余两个角分别是92°和8°，这个三角形是钝角三角形。
70°＋30°＝100°，若剩余两个角分别是70°和30°，这个三角形是锐角三角形。
有一个角是80°的三角形不一定是锐角三角形，题干说法错误。
故答案为：×
分析：本题考查三角形的分类和三角形的内角和定理，任何一个三角形至少有两个锐角，只明确一个角是锐角，无法判断三角形的类型。
16．√
分析：由三角形的内角和求出另外两个角的和，再根据最小的内角是50°来判断其它两个角的情况，进而根据三角形的分类判定该三角形的类别。
详解：180°－50°＝130°
另外两个角的和是130°，最小的内角是50°；
假设另外两个角中还有一个是50°，另一个就是：
130°－50°＝80°；
最大的内角最大只能是80°，所以这个三角形的三个角都是锐角，这个三角形一定是锐角三角形。
故答案为：√
分析：解决本题首先要能根据三角形的内角和是180°，求出另外角的度数可能的情况，并由此求解。
17．1.5米
分析：因为三角形框架的每个角都相等，所以可以判断此三角形为等边三角形，又因为等边三角形的三条边相等，所以三边长均为5分米，用5×3，即可求出三角形框架需要铁丝的分米数，然后根据10分米＝1米，把分米转换成米，即可求解。
详解：5×3＝15（分米）
15分米＝1.5米
答：这个框架至少需要1.5米铁丝。
18．见详解
分析：三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形。有一个角是直角的三角形叫作直角三角形，它包含一个直角，两个锐角。有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形，它包含一个钝角，两个锐角。据此解答即可。
详解：
19．见详解
分析：锐角三角形：3个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；钝角三角形：有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形；即按角分可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；
三条边都相等的三角形叫做等边三角形，又叫做正三角形；两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都不相等的三角形叫做不等边三角形；等边三角形也是等腰三角形；即按边分可以分为：不等边三角形和等腰三角形，等腰三角形又分为两边相等的等腰三角形和三边都相等的等边三角形；据此解答即可。
详解：如图所示：
分析：此题考查了三角形的分类，明确三角形分类的方法和分类的标准，是解答此题的关键。
20．（1）见详解
（2）量一量√
（3）①④；三条边都不相等；一般；②⑤；有两条边相等；等腰；③⑥；三条边都相等；等边
分析：三角形按边分为：一般三角形、等腰三角形和等边三角形。一般三角形：三条边都不相等的三角形；等腰三角形：有两条边相等的三角形。等边三角形：三条边都相等的三角形；观测边的长短时一般采用量一量的方法；据此即可解答。
详解：（1）按边分类。
三角形编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥
三边不相等 √ √
两边相等 √ √
三边相等 √ √
（2）观测边的长短时我们采用的是（目测、量一量√、折一折）（选择打√）的方法。
（3）我们把（ ①④）号三角形放在一起，因为它们（三条边都不相等），命名为：（一般）三角形；
我们把（②⑤）号三角形放在一起，因为它们（有两条边相等），命名为：（等腰）三角形；
我们把（③⑥）号三角形放在一起，因为它们（三条边都相等），命名为：（等边）三角形。
分析：熟练掌握三角形的分类知识是解答本题的关键。

展开更多......

收起↑