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7.5 等腰三角形和等边三角形
三角形按边分类
（1）不等边三角形：3个角不相等的三角形。
（2）等腰三角形：有两条边相等的三角形。其中，相等的两边叫作腰，另一边叫作底，底与腰的夹角叫作底角，两腰的夹角叫作顶角，且两个底角相等。
（3）等边三角形（正三角形）：3条边都相等的三角形。3条边叫作边，3个角都为60°。
（4）等腰三角形和等边三角形都是轴对称图形。等腰三角形有1个对称轴，等边三角形有3条对称轴。
例1：课上，同学们正在研究如何用小等边三角形组成图案的问题，丽丽发现由2个小等边三角形和3个小等边三角形都可以组成我们学习过的图形。如图，由4个小等边三角形不可以组成的图形是（ ）。

A．平行四边形 B．三角形 C．长方形
答案：C
分析：等边三角形三个角都是60度，平行四边形和三角形内角不固定，长方形每个内角都是90度，从拼成角的度数考虑即可，想想60度角是否可以拼出90度。
详解：4个等边三角形可以拼出以下图案： ，即由4个小等边三角形不可以组成的图形是长方形。
故答案为：C
分析：能够从拼成角的度数出发去考虑是解决本题关键。
例2：一个等边三角形的交通标志（如图），它的边长是30厘米，周长是( )厘米。
答案：90
分析：
等边三角形三条边相等，三角形的周长为三角形三条边的和，据此解答即可。
详解：30×3＝90（厘米）
周长是90厘米。
例3：顶角是锐角的等腰三角形一定是钝角三角形。( )
答案：×
分析：由已知等腰三角形顶角是锐角，结合等腰三角形的两底角相等，根据三角形内角和是180度，用“（180－锐角）”解答即可得到底角度数小于90°；然后根据三角形的分类进行解答即可。
详解：因为等腰三角形顶角是锐角，
则其底角度数为：（180－锐角）÷2＜90°，即为锐角，
所以这个三角形一定是锐角三角形；
故答案为：×
分析：本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理。
例4：一个等腰三角形的周长是56厘米，腰比底长7厘米。它的底和腰各是多少厘米？（将线段图补充完整，标出已知条件和问题，再解答。）
底：
腰：
腰：
答案：见详解
14厘米；21厘米；21厘米
分析：根据题意可知，先将底看作1份，则腰的长度为1份＋7厘米，周长＝3份＋7厘米＋7厘米；据此解答。
详解：
7×2＝14（厘米）
（56－14）÷3
＝42÷3
＝14（厘米）
14＋7＝21（厘米）
答：它的底和腰分别是14厘米、21厘米、21厘米。
基础过关练
一、选择题
1．一个等腰三角形周长是18厘米，其中一条边是4厘米，这条边是它的（ ）。
A．底 B．腰 C．底或腰
2．一个等腰三角形相邻的两条边的长度分别是4厘米，6厘米，这个三角形的周长是（ ）。
A．14厘米 B．16厘米 C．14厘米或16厘米 D．无法确定
3．把一根小棒剪成3段（表示在此剪断），观察下面各种剪法，判断这几种剪法能围成三角形吗？下列说法正确的是（ ）
① ② ③ ④
A．4种剪法都可以
B．4种剪法都不行
C．剪法②一定围不成
D．剪法③是三等分的话，可以围成等腰直角三角形
4．等边三角形的对称轴有（ ）条。
A．1 B．2 C．3
5．一个等腰三角形的两条边分别是7厘米与15厘米。这个三角形的周长是（ ）。
A．22 B．29 C．37 D．29或37
6．等腰三角形有两边的长度分别是8厘米和4厘米﹒那么该等腰三角形的周长是（ ）。
A．16厘米或20厘米 B．20厘米 C．16厘米
二、填空题
7．一个等腰三角形的周长是37厘米，它的一条腰比底长5厘米，这个三角形的底长( )厘米，腰长( )厘米。
8．小明用一根铁丝围成一个平行四边形，相邻的两条边分别长4厘米和2厘米，这个平行四边形的周长是( )厘米，如果用这根铁丝围一个等边三角形，边长是( )厘米。
9．如图，小华在一个边长为24cm的正方形（图A）中，剪去两个等边三角形C和D，它们的边长分别为8cm和16cm，剩下的图形B周长是( )cm。

10．如图，等腰三角形的底角∠1＝( )°。若将图中等腰三角形对折剪开，能得到两个完全一样的( )三角形。

11．等边三角形一定是( )三角形（填锐角、直角或钝角），每个角是( )°。
三、判断题
12．一个等腰三角形周长是30厘米，底比腰长3厘米，它的底是11厘米。( )
13．一个等边三角形的周长是15cm，它的每条边的长度都是5cm。( )
14．等边三角形的每一个内角都是60°，它也是一个锐角三角形。( )
15．一个等腰三角形，其中两条边的长分到是6cm和12cm。它有两种形状，一种是腰长6cm，底长12cm；另一种是腰长12cm，底长6cm。( )
16．将三角形对折后，一定能左右重合。( )
17．等腰三角形和等边三角形的关系是。( )
培优提升练
四、计算题
18．如下图，等边三角形内有一个等腰三角形，并且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求∠5。
五、解答题
19．一个正方形花坛的边长是2.4米。
（1）在花坛的四周围上栏杆，需要栏杆多少米？
（2）如果用这些栏杆围成一个等边三角形，那么这个等边三角形的边长是多少米？
20．笑笑用小棒围一个三角形，她已经有两根5厘米的小棒，还需要在下面三种长度的小棒中选一根。
① 5cm
② 7cm
③ 12cm
（1）如果选①，围成的是一个______三角形；
（2）如果选②，围成的是一个______三角形；
（3）如果选③，会怎样？请解释你的结论。
21．一根铁丝可以围成一个平行四边形（如图），如果把它改围成一个等边三角形，那么等边三角形的边长是多少厘米？
22．一个等腰三角形的周长是28厘米，腰是底的3倍，它的底是多少厘米？（先画出示意图，再解答）
23．李大伯家有一块等腰三角形的菜园，其中两条边的长分别是12米和20米。要在菜园的边上围篱笆，篱笆的长是多少米？
24．一根铁丝围了一个底长18厘米，腰长12厘米的等腰三角形，现在如果将这根铁丝改围成一个等边三角形，那么这个等边三角形的边长是多少厘米？
1．A
分析：分类讨论：底为4厘米时，用周长减去底的差除以2算出腰长；腰为4厘米时，用周长减去两个腰长算出底长；再根据两边之和大于第三边的三角形三边关系判断能否拼成三角形即可。
详解：当底是4厘米时，腰：
（18－4）÷2
＝14÷2
＝7（厘米）
4＋7＞7，能围成三角形；
当腰是4厘米时，底：
18－4×2
＝18－8
＝10（厘米）
4＋4＜10，不能围成三角形。
所以这条边只可能是底。
故答案为：A
分析：理解并掌握三角形的三边关系，知道等腰三角形的特征，是解答此题的关键。
2．C
分析：等腰三角形有两条长度相等的腰，那么该等腰三角形三条边的长度可能为：4厘米、4厘米、6厘米或者4厘米、6厘米、6厘米。两种情况都符合任意两边之和大于第三边的三角形三边关系，因此两种可能都存在。最后直接将三条边加起来即可算出周长的两种情况。
详解：该等腰三角形的边长可能为：4厘米、4厘米、6厘米或者4厘米、6厘米、6厘米。
4＋4＝8（厘米），8＞6
4＋6＝10（厘米），10＞6
两种情况都存在
4＋4＋6
＝8＋6
＝14（厘米）
4＋6＋6
＝10＋6
＝16（厘米）
故答案为：C
分析：本题考查的是等腰三角形的特征、三角形的周长以及三角形三边的关系，注意将三角形三条边的情况列举出来后一定要看是否符合三边关系。快速判断方法：只要较短的两条边的和大于第三边，这三条边就符合三角形三边关系。
3．C
分析：任意三角形的两边之和必须大于第三边，任意两边的差必须小于第三边。观察各选项中剪成的3段小棒长度，判断能不能围成三角形。①如图：右边2根小棒长度和大于左边1根小棒长度，可以围成三角形。②左右两边2根小棒长度和小于中间小棒长度，一定不能围成三角形。③三等分的话，一定能围成等边三角形。④如图：左边2根小棒的长度和等于右边1根小棒长度，不能围成三角形。
详解：A．第②、④种剪法不能围成三角形。原说法错误。
B．只有第①、③种剪法能围成三角形。原说法错误。
C．第②种剪法不能围成三角形。剪法②一定围不成说法正确。
D．剪法③是三等分的话，可以围成等边三角形。原说法错误。
故答案为：C
分析：熟记三角形两边之和大于第三边是解题关键。
4．C
分析：等边三角形的三条边都相等，三个角都相等。等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴，如图：。
详解：等边三角形的对称轴有3条。
故答案为：C
分析：熟记等边三角形的特征及轴对称图形的意义是解题关键。
5．C
分析：根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；7＋7＝14＜15，判断出该等腰三角形的腰为15厘米，进而根据三角形的周长计算方法解答即可。
详解：7＋7＝14；14＜15；
等腰三角形的腰是15厘米。
15＋15＋7
＝30＋7
＝37（厘米）
一个等腰三角形的两条边分别是7厘米与15厘米。这个三角形的周长是37厘米。
故答案为：C
分析：熟练掌握三角形三边的关系以及三角形周长公式的应用。
6．B
分析：等腰三角形两腰相等，如果这个等腰三角形的腰长4厘米，则这个三角形的三条边分别为4厘米、4厘米、8厘米，任意三角形的两边之和必须大于第三边，因为4＋4＝8，所以4厘米、4厘米、8厘米的线段不能围成三角形，这个等腰三角形的腰是8厘米，三条边分别为8厘米、8厘米、4厘米，将三条边的长度相加即可算出该等腰三角形的周长。
详解：8＋8＋4
＝16＋4
＝20（厘米）
等腰三角形有两边的长度分别是8厘米和4厘米﹒那么该等腰三角形的周长是20厘米。
故答案为：B
分析：此题考查了等腰三角形的特征和三角形的三边关系的应用。
7． 9 14
分析：等腰三角形的两条腰相等，它的一条腰比底长5厘米，那么两条腰比底长2个5厘米，就是5×2＝10（厘米），用等腰三角形的周长37厘米减去两条腰比底长的10厘米，就是3个底的长度，用除法计算，即可得出这个三角形的底长，然后用这个三角形的底长加上5即可求出这个三角形的腰长。
详解：由题意得：
（37－5×2）÷3
＝（37－10）÷3
＝27÷3
＝9（厘米）
9＋5＝14（厘米）
所以一个等腰三角形的周长是37厘米，它的一条腰比底长5厘米，这个三角形的底长9厘米，腰长14厘米。
分析：熟练掌握等腰三角形的特征是解答本题的关键。
8． 12 4
分析：平行四边形对边相等，这个平行四边形的周长是（4×2＋2×2）厘米。等边三角形的三条边都相等，平行四边形的周长除以3即可算出这个等边三角形的边长是几厘米。
详解：4×2＋2×2
＝8＋4
＝12（厘米）
12÷3＝4（厘米）
小明用一根铁丝围成一个平行四边形，相邻的两条边分别长4厘米和2厘米，这个平行四边形的周长是（12）厘米，如果用这根铁丝围一个等边三角形，边长是（4）厘米。
分析：熟记平行四边形和等边三角形的特征是解题关键。
9．120
分析：由题意可知，三角形C和D是等边三角形，边长分别是8cm和16cm，因为等边三角形的三边相等，所以图形B的周长就是边长为24cm的正方形的三条边的和再加上边长是8cm的等边三角形的两条边，再加上边长是16cm的等边三角形的两条边，据此解答即可。
详解：由题意得：
24×3＋8×2＋16×2
＝72＋16＋32
＝88＋32
＝120（cm）
所以小华在一个边长为24cm的正方形（图A）中，剪去两个等边三角形C和D，它们的边长分别为8cm和16cm，剩下的图形B周长是120 cm。
分析：本题主要考查了等边三角形的性质，需熟练掌握。
10． 30 直角
分析：如果角的一边没有与量角器的0刻度线重合，但角的顶点与量角器的中心点重合，用量角器外（内）圈与角重合的大的刻度减去量角器外（内）圈与角重合的小的刻度即可求出角的度数。据此量出这个等腰三角形的顶角度数。等腰三角形的两底角相等，三角形内角和是180°，用180°减去顶角度数再除以2可算出∠1的度数。根据对折的性质，将图中等腰三角形对折剪开，能得到两个完全一样的直角三角形。
详解：150°－30°＝120°
（180°－120°）÷2
＝60°÷2
＝30°
如图，等腰三角形的底角∠1＝（30°）。若将图中等腰三角形对折剪开，能得到两个完全一样的（直角）三角形。
分析：熟练掌握角的度量和熟记等腰三角形的特征是解题关键。
11． 锐角 60
分析：等边三角形的三条边都相等，三个角也都相等。三角形内角和是180°，则等边三角形的每个角的度数都是（180°÷3）。三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。
详解：180°÷3＝60°
等边三角形一定是锐角三角形，每个角是60°。
分析：此题考查了三角形的分类，熟记等边三角形的特征是解题关键。
12．×
分析：等腰三角形的周长加底比腰长的2倍，再除以3，即等于底长，据此即可解答。
详解：（30＋3×2）÷3
＝36÷3
＝12（厘米）
故答案为：×
分析：明确周长加2个3厘米等于底长的3倍，这是解答本题的关键。
13．√
分析：根据等边三角形的三边相等，用周长÷3，就是每条边的长度，解答此题即可。
详解：15÷3＝5（cm）
所以一个等边三角形的周长是15cm，它的每条边的长度都是5cm，这句话是正确的。
故答案为：√
分析：熟练掌握三角形的性质，是解答此题的关键。
14．√
分析：等边三角形的三条边相等，三个角相等。根据三角形的内角和为180°可知，每一个内角都是180°÷3＝60°。根据三个角都是锐角的三角形是锐角三角形可知，等边三角形也是锐角三角形。据此判断。
详解：由分析得：
180°÷3＝60°
则等边三角形的每一个内角都是60°，每个角都是锐角，则它也是一个锐角三角形。
故答案为：√
分析：本题考查等边三角形的特性和三角形的内角和定理，需熟练掌握。
15．×
分析：等腰三角形的两条腰相等。根据题意可知，一种形状是三条边长6cm、6cm、12cm，另一种形状是三条边长12cm、12cm、6cm。再判断这两种形状是否符合三角形的三边关系。
详解：6＋6＝12，则长6cm、6cm、12cm的三条线段不能围成一个三角形。
12＋6＞12，则长12cm、12cm、6cm的三条线段能围成一个三角形。
则这个等腰三角形只有一种形状，即腰长12cm，底长6cm。
故答案为：×
分析：本题考查等腰三角形的特性和三角形的三边关系，常利用三角形的三边关系判断三条线段能否围成一个三角形。
16．×
分析：等边三角形及等腰三角形沿底边上的高对折后一定能重合；除此之外，任意三角形不论怎么对折都不会重合，据此解答。
详解：根据分析得，将三角形对折后，不一定能左右重合。
所以原题说法错误。
故答案为：×
分析：掌握等边三角形和等腰三角形的特性，及轴对称图形的认识是解答本题的关键。
17．√
分析：等腰三角形的特点是两条腰相等，两个底角相等；等边三角形的特点是三条边都相等，三个角也相等；依此判断即可。
详解：根据分析可知：等腰三角形和等边三角形的关系是。
故答案为：√
分析：熟练掌握等腰三角形和等边三角形的特点是解答此题的关键。
18．120°
分析：等边三角形的三个内角都等于60°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，所以∠1＝60°÷2＝30°，∠3＝60°÷2＝30°，∠5＝180°－∠1－∠3，据此即可解答。
详解：∠1＋∠2＝60°，∠3＋∠4＝60°
∠1＝∠2，∠3＝∠4
所以∠1＝60°÷2＝30°，∠3＝60°÷2＝30°
∠5＝180°－∠1－∠3＝180°－30°－30°＝120°
19．（1）9.6米；
（2）3.2米
分析：（1）栏杆长度即为正方形周长，根据正方形周长公式：C＝4a，将数据代入计算即可求出栏杆的总米数；
（2）依据等边三角形的特征可知：等边三角形三边长度相等，用栏杆长度÷3即可计算出等边三角形的边长。
详解：（1）2.4×4＝9.6（米）
答：需要栏杆9.6米。
（2）9.6÷3＝3.2（米）
答：这个等边三角形的边长是3.2米。
分析：此题主要考查正方形、等边三角形图形特征及周长的计算方法。
20．（1）等边
（2）等腰
（3）见详解
分析：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；
（2）至少有两条边相等的三角形叫等腰三角形；
（3）三角形的三边关系：两边之和大于第三条边，两边之差小于第三条边；据此解答。
详解：（1）如果选①，三条边都是5厘米，则围成的是一个等边三角形；
（2）如果选②，两条边相等，都是5厘米，则围成的是一个等腰三角形；
（3）5＋5＜12，12－5＞5；
答：如果选③，这三条边不符合三角形的三边关系，不能围成一个三角形。
分析：解答此题的关键是根据三角形的分类以及三边关系进行分析、解答。
21．22厘米
分析：根据平行四边形的周长公式：C＝（a＋b）×2，把数据代入公式求出这根铁丝的长度，因为等边三角形的三条边相等，所以用这根铁丝的长除以3即可求得等边三角形的边长。
详解：（18＋15）×2÷3
＝33×2÷3
＝66÷3
＝22（厘米）
答：等边三角形的边长是22厘米。
分析：此题主要考查平行四边形的周长公式、等边三角形的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。
22．画图见详解；4厘米
分析：等腰三角形的腰相等，等腰三角形的周长＝腰×2＋底，腰是底的3倍，则底的3＋3＋1＝7倍就是28，用28除以7，即可得出底边的长度。
详解：
28÷（3＋3＋1）
＝28÷7
＝4（厘米）
答：它的底是4厘米。
分析：本题考查的是等腰三角形的性质，要熟练掌握等腰三角形的特征以及三角形的周长公式。
23．44米或52米
分析：本题要分两种情况，如果12米长的边为腰，则20米长的边为底，篱笆的长等于2个12米加20米；如果20米的边为腰，则12米为底，篱笆的长等于2个20米加12米；据此即可解答。
详解：（1）12米长的边为腰：
12×2＋20
＝24＋20
＝44（米）
（2）20米长的边为腰：
20×2＋12
＝40＋12
＝52（米）
答：篱笆的长为44米或52米。
分析：本题主要考查学生对等腰三角形特征的掌握和灵活运用。
24．14厘米
分析：先求出等腰三角形的周长，再除以3即可。
详解：（18＋12＋12）÷3
＝42÷3
＝14（厘米）
答：这个等边三角形的边长是14厘米。
分析：熟练掌握等腰三角形和等边三角形的性质，是解答此题的关键。

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