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7.6 认识平行四边形
1.两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。
平行四边形容易变形；
平行四边形有4条边，4个角。
平行四边形的两组对边分别平行且相等。
2.平行四边形的底和高。
从平行四边形一条边上的一点到它对边的垂直线段，是平行四边形的高，这条对边是平行四边形的底。
例1：下面有关平行四边形的描述，错误的选项是（ ）。
A．将长方形拉成平行四边形，对边依然平行且相等，周长也不变。
B．用两个完全相同的梯形一定能拼成一个平行四边形。
C．以AB为底，OM为高，只能画出一个平行四边形。
答案：C
分析：
根据平行四边形的特征和性质，依次对各个选项进行分析，即可解答。
详解：A.把一个长方形拉成一个平行四边形后，两组对边依然分别平行或相等，长和宽没变，所以周长不变；故此说法正确。
B.根据梯形的面积推导过程可知：用两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，这个平行四边形的底等于梯形上下底的和，高等于梯形的高，故此说法正确。
C.等底等高的平行四边形可以画出很多个，故此说法错误。
有关平行四边形的描述，错误的选项是以AB为底，OM为高，只能画出一个平行四边形。
故答案为：C
例2：如图的平行四边形中，把涂色的三角形向左平移 厘米，可以转化成一个长方形。
答案：11
分析：由图可知这个平行四边形的底边长是11厘米，将三角形向左平移使得三角形的顶点与平行四边形右上角的顶点重合，此时可以拼成一个长方形。
详解：如图：
平行四边形中，把涂色的三角形向左平移11厘米，可以转化成一个长方形。
例3：可以沿着一个平行四边形的一条高将平行四边形分成两个直角梯形。( )
答案：√
分析：平行四边形的两组对边分别平行，梯形只有一组对边平行，沿着一个平行四边形的一条高将平行四边形分开，正好分成了只有一组对边平行的两个四边形，画一画示意图即可得出结论。
详解：如图，可以沿着一个平行四边形的一条高将平行四边形分成两个直角梯形，说法正确。
故答案为：√
例4：下面哪些图形是平行四边形？

答案：第一、三、四幅图是平行四边形
分析：对边平行且相等的四边形是平行四边形，据此判断即可。
详解：观察图形可知：
是平行四边形。
所以第一、三、四幅图是平行四边形。
分析：正确理解平行四边形的定义，是解答此题的关键。
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一、选择题
1．将一个平行四边形框架拉成一个长方形，这时（ ）。
A．内角和变大 B．高变长 C．周长变大 D．以上都不对
2．小亮在画一个四边形（如图），他画的图形（ ）。
A．可能是长方形 B．可能是平行四边形
C．可能是梯形 D．可能是正方形
3．下面说法正确的是（ ）。
A．一根9厘米长的吸管剪成3段（每段都是整厘米数），可以围成4个不同的三角形。
B．两个梯形可以拼成一个平行四边形。
C．三角形按角分，可分为锐角三角形、钝角三角形、直角三角形。
4．把一个四边形撕成三部分，其中两部分如下图，这个四边形可能是（ ）。
A．长方形 B．正方形 C．平行四边形 D．梯形
5．下面的关系图正确的是（ ）。
A．B．C．D．
6．把如图中两个同样的三角形拼成一个周长最长的平行四边形，这个平行四边形的周长是（ ）。
A．2c＋2a B．2c＋2b C．2a＋2b D．2a＋2b＋2c
7．如图，把平行四边形中涂色的三角形向右平移（ ）厘米，可以转化成一个长方形。
A．3 B．8 C．11
二、填空题
8．一个等腰梯形，腰长20厘米，下底长35厘米，如果把上底延长10厘米，就变成了一个平行四边形，这个等腰梯形的周长是( )厘米。
9．将两张长为8厘米，宽为3厘米的长方形纸片交叉摆放（如下图）重叠部分是( )形，高是( )厘米。

10．如图是一张长方形纸对折两次后的展开图，以展开图上的10个交点为顶点画图形。如果画一个最大的梯形，那么这个梯形的上下底之和是( )厘米；如果画一个最大的平行四边形，这个平行四边形的底是( )厘米。

11．两组对边分别平行的四边形是( )，它容易变形，( )稳定。
12．认识平行四边形。平行四边形可以通过小棒( )、钉子板上( )、方格纸上( )和沿着直尺的边( )得到，但是无论怎样得到的平行四边形，它的两组对边是( )平行的。
13．一个梯形的下底是上底的2倍，如果将上底延长6厘米，就成了平行四边形，原来梯形的上底是( )厘米，下底是( )厘米。
14．一个梯形，下底长度是上底的3倍，如果把上底延长18厘米，就变成一个平行四边形（如图），这梯形的上底长( )厘米，下底长( )厘米。
三、判断题
15．把长方形柜架拉成平行四边形它周长不变。( )
16．有的平行四边形是轴对称图形，有的平行四边形不是轴对称图形。( )
17．平行四边形其中的两条边一定是一组平行的线段。( )
18．平行四边形的对边平行且相等。( )
19．只有完全相同的两个梯形才能拼成一个平行四边形。( )
20．过平行四边形的中心任意画一条直线，都可以把平行四边形分成两个完全一样的图形。( )
21．平行四边形和梯形都是轴对称图形。( )
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四、解答题
22．一个平行四边形的周长为48厘米，其中一条边长为10厘米，其它三条边各为多少厘米？
23．平行四边形的周长是46厘米，其中一条边长是8厘米，平行四边形另外3条边分别是多少厘米？
24．王师傅用一根70厘米长的木条做了一个平行四边形框架，其中一条边的长是20厘米，另一条边长是多少厘米？
25．一个高20厘米的梯形的上底是下底的3倍，如果将下底延长14厘米，就成了一个平行四边形，这个梯形的上底和下底分别长多少厘米？
26．在下面的每个四边形中，分别标出每条边的中点，然后将相邻两条边的中点依次连接起来．新组成的这些图形有什么共同点？用直尺量一量，把你的发现写出来．
1．B
分析：根据平行四边形活动框架拉成长方形后各条边及高的变化来进行判断，据此即可解答。
详解：A．将一个平行四边形框架拉成一个长方形，四边形的内角和是360°，所以内角和不变，原题说法错误；
B．将一个平行四边形框架拉成一个长方形，高变长了，说法正确；
C．平行四边形活动框架拉成长方形之后，每条边的长度不变，所以周长不变；原题说法错误；
D．B项正确，所以原题说法错误；
故答案为：B
分析：解决本题的关键是熟悉前后两个图形的主要变化：边长不变，把一个平行四边形活动框架拉成长方形后，高变长。
2．C
分析：根据他所画图形的特点，分析每个选项图形的特点，找出和所画图形相同特点的即可。
详解：A．长方形的四个角都是直角，不可能是长方形；
B．平行四边形的两组对边分别平行且相等，不可能是平行四边形；
C．梯形只有一组对边平行，他可能在右下方画一条与左上方互相平行的线段，则可能是梯形；
D．正方形的四个角都是直角，不可能是正方形。
故答案为：C
分析：本题考查了学生对长方形、正方形、平行四边形和梯形的特征的掌握与运用。
3．C
分析：三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
两组对边分别平行而且相等的四边形是平行四边形；
三角形按角分类可以分成：锐角三角形；直角三角形；钝角三角形。
1、锐角三角形：三个角都小于90°。
2、直角三角形：其中一个角等于90°。
3、钝角三角形：其中一个角一定大于90°小于180°。
详解：A．2厘米＋3厘米＞4厘米；
1厘米＋4厘米＞4厘米；
2厘米＋4厘米＞3厘米；
3厘米＋3厘米＞3厘米；
3厘米＋4厘米＞2厘米；
4厘米＋4厘米＞1厘米；
则一根9厘米长的吸管剪成3段（每段都是整厘米数），可以围成3个不同的三角形，原题说法错误；
B．两个完全相同梯形可以拼成一个平行四边形，两个不同的梯形不可以拼成一个平行四边形，原题说法错误；
C．三角形按角分，可分为锐角三角形、钝角三角形、直角三角形，原题说法正确。
故答案为：C
分析：熟练掌握三角形的三边关系、平行四边形的特征以及三角形的分类是解答此题的关键。
4．D
分析：根据题图可知，这个四边形有一个直角和一个锐角，看哪一个四边形符合这个要求。
详解：A．长方形中有4个直角，没有锐角；
B．正方形有4个直角，没有锐角；
C．平行四边形有2个锐角，2个钝角，没有直角；
D．梯形中的直角梯形里面有2个直角，1个锐角和1个钝角；
故答案为：D
分析：熟练掌握长方形、正方形、平行四边形和梯形的特征是解决本题的关键。
5．C
分析：依次分析每个选项中的图形的特征及关系，选择正确的答案即可。
详解：A．平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形，而梯形是指只有一组对边平行的四边形，所以梯形不是平行四边形，故关系图错误。
B．等边三角形三个角都是60度，一定是锐角三角形；三角形按角分类可以分成：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；三角形按边分可分为：等边三角形、等腰三角形、不等边三角形。所以等边三角形一定是三角形，故关系图错误。
C．两组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形；正方形两组对边分别平行，四条边都相等，四个角都是直角，是特殊的平行四边形；故关系图正确。
D．长方形两组对边分别平行且相等，是特殊的平行四边形，故关系图错误。
故答案为：C
分析：本题考查平面图形它们之间的关系，掌握平面图形的基本特征是解题的关键。
6．A
分析：先把图中两个完全相同的直角三角形拼成平行四边形，有三种拼法，再比较三种拼法拼成的平行四边形周长即可。
详解：图中两个完全相同的直角三角形拼成平行四边形，有以下三种拼法：
第一种拼法拼得的平行四边形周长是2c＋2a，第二种拼法拼得的平行四边形周长是2c＋2b，第三种拼法拼得的平行四边形周长是2a＋2b，从图中可见c＞a＞b，所以第一种拼法拼得的平行四边形周长最长。
故答案为：A
分析：解答此题关键在于要知道把两个完全相同的三角形拼成平行四边形，可以把三角形的任意一组相同的边重合，拼成的平行四边形周长是另外两组边长度的总和。
7．C
分析：由图可知这个平行四边形的底边长是11厘米，将三角形向右平移使得三角形的顶点与平行四边形右上角的顶点重合，此时可以拼成一个长方形。
详解：根据平行四边形和平移的的特点可得：
3＋8＝11（厘米）
故答案为：C
分析：平移后是长方形，平移的长度为平行四边形底边的长度。
8．100
分析：平行四边形的两组对边相等，把梯形的上底延长10厘米后变成一个平行四边形，则梯形的下底比上底长10厘米，上底长（35－10）厘米。等腰梯形的两条腰相等，根据等腰梯形的周长＝上底＋下底＋2×腰解答。
详解：35－10＋35＋2×20
＝35－10＋35＋40
＝100（厘米）
这个等腰梯形的周长是100厘米。
分析：本题考查等腰梯形的周长，需熟记周长公式，关键是求出梯形的上底。
9． 平行四边 3
分析：重叠部分是由两个长方形的对边围成的，长方形对边平行，重叠部分有两组对边互相平行，两组对边分别平行且相等的四边形叫做平行四边形。重叠部分的平行四边形的高是长方形的宽。
详解：将两张长为8厘米，宽为3厘米的长方形纸片交叉摆放（如下图）重叠部分是（平行四边）形，高是（3）厘米。
分析：熟记平行四边形和长方形的特征是解题关键。
10． 28 12
分析：由题意可得，长方形纸对折两次后的展开图为4个小长方形，长为6cm，宽为16÷4＝4（cm），如果画一个最大的梯形，最大的梯形为，如果画一个最大的平行四边形，这个平行四边形为，据此填空即可。
详解：16÷4＝4（cm）
梯形的上底为：4×3＝12（cm）
梯形的上下底之和：12＋16＝28（cm）
平行四边形的底为：4×3＝12（cm）
分析：此题考查了平行四边形和梯形的应用，关键是先画出图形即可。
11． 平行四边形 不
详解：两组对边分别平行且相等的四边形叫做平行四边形。平行四边形具有不稳定性，容易变形。这种收缩性大门就是利用了平行四边形具有不稳定性的性质。
两组对边分别平行的四边形是（平行四边形），它容易变形，（不）稳定。
12． 摆 围 画 画 分别
详解：认识平行四边形。平行四边形可以通过小棒摆、钉子板上围、方格纸上画和沿着直尺的边画得到，但是无论怎样得到的平行四边形，它的两组对边是分别平行的；如下图是一个平行四边形：
13． 6 12
分析：平行四边形的对边相等，梯形的下底是上底的2倍，即上底是下底的一半，上底延长的6厘米也是梯形的上底长度，故梯形的下底长度为6的2倍，据此解答。
详解：6×2＝12（厘米）
梯形的上底是6厘米，下底是12厘米。
分析：上底延长6厘米后与梯形的下底相等，即梯形下底是6厘米的2倍。
14． 9 27
分析：由题意可得，这个梯形的下底是上底的3倍，即下底是3个上底长；上底延长18厘米后，变成了平行四边形，也就是延长了3－1＝2个上底长，即2个上底长＝18厘米；由此求出上底的长度，用上底的长度乘3即可求出下底的长度，据此求解即可。
详解：上底长：
18÷（3－1）
＝18÷2
＝9（厘米）
下底长：9×3＝27（厘米）
分析：解答本题的关键是要清楚变成平行四边形后对边的长度是相等的。
15．√
分析：长方形是四边形，具有不稳定性，对角一拉，只是两条对边之间的距离变近，四条边长度没变，因此变形后的四边形四条边仍是原长方形的边，所以周长不变。
详解：把长方形柜架拉成平行四边形它周长不变，这句话是对的。
故答案为：√
分析：长方形与平行四边形的周长都是4条边的长度之和。
16．√
分析：正方形与长方形是特殊的平行四边形，这两种图形都是轴对称图形，一般的平行四边形不是轴对称图形。
详解：根据分析只有一些平行四边形是轴对称图形，并不是所有的平行四边形都是轴对称图形。
故答案为：√
分析：把一个图形沿着一条直线对折，这条直线两边的图形能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形。
17．×
分析：两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形，平行四边形的对边平行且相等，据此即可解答。
详解：平行四边形的对边平行且相等，并不是任意两条边都平行，原说法错误。
故答案为：×
分析：本题主要考查学生对平行四边形概念和特征的掌握。
18．√
详解：根据平行四边形的特征可知，平行四边形具有不稳定性，对边平行且相等。
所以判断正确。
19．×
分析：两个完全相同的三角形能拼成一个平行四边形，完全相同的两个梯形也能拼成一个平行四边形。据此解答即可。
详解：由分析可知：
完全相同的两个梯形能拼成一个平行四边形，但不是只有完全相同的两个梯形才能拼成一个平行四边形。
故本题说法错误。
分析：本题考查梯形、三角形和平行四边形的关系。
20．√
分析：依据题意画图如下，经过平行四边形的中心点任意画一条直线，都能把这个平行四边形分成两个完全一样的图形。这两个图形可能是平行四边形和梯形，也可能是三角形。
详解：根据分析可知，过平行四边形的中心任意画一条直线，都可以把平行四边形分成两个完全一样的图形。
故答案为：√
分析：解答此题的关键是依据题目要求，画出正确的图，即可作答。
21．×
分析：根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此判断即可。
详解：平行四边形不是轴对称图形；等腰梯形是轴对称图形，不是所有梯形都是轴对称图形。
故答案为：×
分析：掌握轴对称图形的意义，判断是不是轴对称图形的关键是找出对称轴，看图形沿对称轴对折后两部分能否完全重合。
22．其它三条边分别是10厘米、14厘米、14厘米
分析：平行四边形的对边相等，其中一条边长为10厘米，那么它的对边也是10厘米；平行四边形的周长＝相邻两边的和×2，用48除以2，求出相邻两边的和，再减去10，求出第三条边的长度，也是第四条边的长度。
详解：
（厘米）
答：其它三条边分别是10厘米、14厘米、14厘米。
分析：本题考查了学生对平行四边形的特征及周长公式的掌握与运用。
23．8厘米、15厘米、15厘米
分析：平行四边形的周长是相邻两条边的长度和的2倍。则用周长除以2，求出相邻两条边的长度和。再减去一条边长度，即可求出与其相邻的另一条边的长度。平行四边形的两组对边平行且相等。据此求出另外两条边的长度。
详解：
如图所示，假设AD＝8厘米。
所以AB＝46÷2－8＝23－8＝15（厘米）
CD＝AB＝15厘米，BC＝AD＝8厘米。
答：平行四边形另外三条边分别是8厘米、15厘米、15厘米。
分析：本题考查了平行四边形的周长公式以及性质。平行四边形的两组对边相等。
24．15厘米
详解：（70-20-20）÷2=15（厘米）
25．下底：7厘米 上底：21厘米
详解：下底：14÷（3-1）=7（厘米） 上底：7×3=21（厘米）
答：这个梯形的上底和下底分别长21厘米、7厘米．
26．这些新组成的图形都是平行四边形．
详解：试题分析：按照题目所给方法进行操作，连接相邻两边的中点后再量一量，找出规律．
解答：解：图如下：
通过测量可知各图形中间的图形的形状如下：
正方形的：正方形；
长方形的：菱形；
平行四边形的：菱形；
等腰梯形：平行四边形；
菱形的：长方形；
直角梯形：平行四边形．
正方形、菱形、长方形都是特殊的平行四边形；
这些新组成的图形都是平行四边形．
分析：四边形分别标出每条边的中点，然后将相邻两条边的中点依次连接起来的小四边形肯定是平行四边形，至于是什么形状的平行四边形，那就要看大四边形的形状而定．

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