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7.7 认识梯形
1.只有一组对边平行的四边形是梯形。
梯形是四边形，有4条边，4个角；
一组对边平行，另一组对边不平行;
互相平行的一组对边的长度不相等。
2.梯形的腰、底和高。
在梯形里，互相平行的一组对边分别是梯形的上底和下底，不平行的一组对边分别是梯形的腰。
从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫作梯形的高。
两腰相等的梯形是等腰梯形。
例1：下面的图形（ ）中，既有互相平行的线段，也有互相垂直的线段。
A． B． C．
答案：A
分析：图中有直角梯形、梯形、平行四边形。梯形只有一组对边互相平行；直角梯形有一组对边互相平行，且有2个角是直角，即有互相垂直的边；平行四边形的两组对边互相平行。
详解：A．，有一组对边互相平行，且有互相垂直的线段；
B．，有一组对边互相平行；
C．，两组对边互相平行。
故答案为：A
分析：两个线段互相垂直时，所成的角是直角。在同一平面内，永不相交的两条直线互相平行。
例2：下图是把长方形纸对折两次后的展开图。以展开图上10个交点为顶点，可以画出不同的梯形，其中能画出的最大梯形的上、下底之和是( )厘米，高是( )厘米。

答案： 21 5
分析：只有一组对边平行的四边形是梯形，则画出的最大梯形如图：这个梯形的上底是（12÷4×3）厘米，下底是12厘米，高是5厘米。
详解：12÷4×3
＝3×3
＝9（厘米）
12＋9＝21（厘米）
下图是把长方形纸对折两次后的展开图。以展开图上10个交点为顶点，可以画出不同的梯形，其中能画出的最大梯形的上、下底之和是（21）厘米，高是（5）厘米。
分析：解答此题要根据梯形和长方形的特征画出最大的梯形，再确定梯形的底和高。
例3：梯形里只有一组对边平行，但这组平行的对边长度一定不相等。( )
答案：√
分析：梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形，梯形的两条腰可以相等，但是互相平行的两条边不可能相等。
详解：梯形里只有一组对边平行，但这组平行的对边长度一定不相等。该说法正确。
故答案为：√。
分析：本题考查了梯形的特征。
例4：先画出下面梯形的高，再量出上底、下底和高各是多少。
上底（ ）毫米 下底（ ）毫米 高（ ）毫米 上底（ ）毫米 下底（ ）毫米 高（ ）毫米 上底（ ）毫米 下底（ ）毫米 高（ ）毫米
答案：见详解
分析：
只有一组对边平行的四边形叫做梯形。互相平行的一组对边是梯形的上底和下底，不平行的一组对边是梯形的腰。高是指梯形上下底的距离，在梯形的上底任取一点作垂直于下底的线段，就是梯形的高。
详解：
上底（ 10 ）毫米 下底（ 24 ）毫米 高（ 18 ）毫米 上底（ 11 ）毫米 下底（ 26 ）毫米 高（ 17 ）毫米 上底（ 14 ）毫米 下底（ 24 ）毫米 高（ 18 ）毫米
基础过关练
一、选择题
1．下图是一个梯形，它的高（ ）。
A．等于7厘米 B．小于7厘米 C．在7厘米和10厘米之间
2．在下边给定的正方形网格图上，找一点D（D在格点上），使依次连接点A、B、C、D、A形成的四边形是一个梯形，那么符合条件的点D共有（ ）个。
A．6 B．4 C．5 D．3
3．利用下面各组纸条可以拼成梯形的是（ ）。
A．
B．
C．
4．如图，已知a∥b，所以图中有（ ）个梯形。
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．下面说法中正确的是（ ）。
A．由四条线段围成的图形，叫梯形。
B．从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段就是梯形的高。
C．计算器上的OFF按键是开机键。
D．一个三角形分成两个小三角形，每个小三角形的内角和是90度。
6．一个梯形的下底是上底的5倍，如果把上底延长20厘米，这个梯形就变成一个平行四边形。这个梯形的上底是（ ）厘米。
A．4 B．5 C．25 D．20
7．下面说法错误的是（ ）。
A．正方形相邻的两条边互相垂直 B．平行四边形不容易变形
C．长方形是特殊的平行四边形 D．只有一组对边平行的四边形叫做梯形
二、填空题
8．从数学的角度观察方格中的两个图形，它们有哪些共同的特征？请至少写2条：
； 。
9．如图，在正方形点子图中找一个点，使得四边形成为一个梯形，你认为点选法有( )种。

10．两组对边分别平行，并且有四个直角的四边形一定是( )。
11．把一个梯形照如图的样子剪拼成一个三角形。如果梯形的上底是4厘米，下底是8厘米，高是5厘米，那么剪拼成的三角形的底是( )厘米，高是( )厘米。
12．将两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形。已知每个梯形的上底是5厘米，下底是7厘米，高是6厘米，则拼成的平行四边形的底是( )厘米，高是( )厘米。
13．如下图：剪两个完全一样的梯形，拼成一个平行四边形。已知梯形的上底是2厘米，下底是5厘米，高是3厘米。拼成的平行四边形的底是( )厘米，高是( )厘米。
14．下图中有( )个三角形，有( )个平行四边形，有( )个梯形。
三、判断题
15．梯形的四条边中有且只有一组对边互相平行。( )
16．长方形的对边相等，梯形中互相平行的两条边相等。( )
17．梯形的对角相等。( )
18．平行四边形和梯形不可能是轴对称图形。( )
19．梯形不可能是轴对称图形。( )
20．如果两个梯形能拼成一个梯形，那么这两个梯形完全相同． ( )
培优提升练
四、解答题
21．若你把一个梯形两腰的中点进行连结，得到的这条线段就是这个梯形的中位线。
（1）试画出这个梯形的中位线。（用铅笔和直尺作图）
（2）量一量中位线的长度，再量一量这个梯形上底和下底的长度，你发现了什么？把你的发现写在下面？
22．一个梯形的下底是上底的4倍，如果将下底缩短9厘米，就成了一个平行四边形。这个梯形的上底和下底分别是多少厘米？
23．如图，一个四边形被遮住了一部分。小明说：“这个四边形一定是一个梯形。”你同意他的说法吗？请写出你的理由。
24．说理题。
如图，在两条平行线之间画了一个平行四边形和一个正方形，则四边形ABCD的形状是（ ）形。请说明理由。
25．数学思想方法是数学的灵魂，等积转换就是重要的思想方法之一，也就是相同的面积互相转换。例如：下面图1中的四个同底三角形面积相等，就可以互相转换。又如图2：两个完全相同的平行四边形中，涂色三角形的面积都等于平行四边形面积的一半，也可以互相转换。

图1 图2
（1）图3中涂色三角形的面积是正方形面积的一半吗？说一说你的理由。
图3
（2）图4为梯形ABCD，在图中找出与涂色三角形面积相等的三角形，涂上颜色。
图4
（3）将上面图3和图4组合成一个图形，利用等积转换求阴影部分的面积。
1．B
分析：因为在直角三角形中，斜边最长，所以此类梯形的高都小于腰。但直角梯形的高等于直角所在的腰。据此解答。
详解：这个梯形不是直角梯形，一条腰长7厘米，另一条腰长10厘米，所以它的高小于腰，小于7厘米。
故答案为：B
分析：本题考查的是对梯形特征的认识与掌握。
2．C
分析：如下图，以AB为底，点D有3个位置符合条件，如果以BC为底，点D有2个位置符合条件，所以符合条件的点D共有5个。
详解：根据分析可知，在给定的正方形网格图上，找一点D（D在格点上），使依次连接点A、B、C、D、A形成的四边形是一个梯形，那么符合条件的点D共有5个。
故答案为：C
分析：本题主要考查学生对梯形定义和特点的掌握及灵活运用。
3．A
分析：根据梯形的定义和特征可知，梯形一定有一组对边平行且不相等，据此即可解答。
详解：A．两条不相等的纸条作为底，两条相等的纸条为腰，可以拼成梯形；
B．四条纸条都相等，只能拼成正方形或平行四边形；
C．有两组纸条分别相等，只能拼成平行四边形或一般四边形。
故答案为：A
分析：本题主要考查学生对梯形定义和特点的掌握。
4．B
分析：梯形是只有一组对边平行的四边形，观察题图可知，四边形ADEB、四边形BEFC及四边形ADFC都是梯形，据此解答。
详解：由分析得：图中一共有3个梯形。
故答案为：B
分析：本题考查梯形的特征，需熟练掌握。
5．B
分析：（1）由四条线段围成的封闭图形是四边形。有一组对边平行的四边形叫做梯形。梯形是四边形的一种，但不是所有的四边形都是梯形。
（2）从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高。
（3）计算器上的ON按键是开机键，OFF按键是关机键。
（4）任何一个三角形的内角和都是180°。
详解：A．由四条线段围成的封闭图形，叫四边形。原说法错误；
B．从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段就是梯形的高。原说法正确；
C．计算器上的OFF按键是关机键。原说法错误；
D．一个三角形分成两个小三角形，每个小三角形的内角和是180度。原说法错误；
故答案为：B。
分析：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。无论形状、大小，三角形的内角和均为180°。
6．B
分析：把上底延长20厘米，这个梯形就变成一个平行四边形，而平行四边形的两组对边平行且相等，则把上底延长20厘米后等于下底，也就是下底比上底长20厘米。底是上底的5倍，则下底比上底长上底的4倍。上底的4倍就是20厘米，上底是20÷4厘米。
详解：20÷（5－1）
＝20÷4
＝5（厘米）
则这个梯形的上底是5厘米。
故答案为：B。
分析：梯形只有一组对边平行，平行四边形的两组对边平行且相等。解决本题的关键是明确下底比上底长20厘米，再进一步解答即可。
7．B
分析：根据题意，对各选项进行依次分析、进而得出结论。
详解：A．根据正方形的特征，正方形相邻的两条边互相垂直，说法正确；
B．平行四边形的特性是容易变形，所以题干说法错误；
C．长方形是特殊的平行四边形，说法正确；
D．只有一组对边平行的四边形叫做梯形，说法正确；
故答案为：B。
分析：此题涉及的知识点较多，但比较简单，只要认真，容易解决，注意平时基础知识的积累。
8． 有4条边和4个角 高相等
分析：图1是平行四边形，两组对边平行。图2是梯形，只有一组对边平行。两个图形都是四边形，有4条边、4个角。两个图形的高相等。据此解答。
详解：共同特征：有4条边和4个角；高相等。
分析：本题考查平行四边形和梯形的特征，需熟练掌握。
9．6
分析：根据梯形的特征：梯形的一组对边平行，当线段AD与BC平行时，有3种选法；当线段AB与CD平行时，有3种选法，一个有3＋3＝6种选法，据此解答。
详解：
根据分析可知，如图：
选法有6种。
如图，在正方形点子图中找一个点，使得四边形成为一个梯形，你认为点选法有6种。
分析：熟练掌握梯形的特征是解答本题的关键。
10．长方形
分析：四条边都相等，并且四个角都是直角的四边形是正方形；只有一组对边平行的四边形是梯形；两组对边平行，没有直角的四边形是平行四边形；两组对边分别平行，并且有四个角是直角的四边形是长方形。
详解：两组对边分别平行，并且有四个直角的四边形一定是长方形。
分析：此题主要考查长方形、正方形、平行四边形和梯形的概念及特征。
11． 12 5
分析：根据题意可知：把梯形剪拼成三角形，三角形的底等于梯形上、下底之和，三角形的高等于梯形的高，据此回答即可。
详解：三角形的底等于梯形的上、下底之和，即4＋8＝12（厘米），三角形的高等于梯形的高，高是5厘米。
分析：此题考查的目的是理解掌握梯形、三角形的特征及应用。
12． 12 6
分析：两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，拼成的平行四边形的底是梯形上底与下底的和，高等于梯形的高。
详解：5＋7＝12（厘米）
则拼成的平行四边形的底是12厘米，高是6厘米。
分析：本题主要考查图形的拼组，关键是知道拼成的平行四边形和梯形的关系。
13． 7 3
分析：两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，拼成的平行四边形的底是梯形上底与下底的和，高等于梯形的高。
详解：2＋5＝7（厘米）
则拼成的平行四边形的底是7厘米，高是3厘米。
分析：本题主要考查图形的拼组，关键是知道拼成的平行四边形和梯形的关系。
14． 4 1 3
分析：三角形是由同一平面内，不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形；平行四边形的两组对边分别平行且相等；只有一组对边平行的四边形是梯形。
详解：图中有4个三角形，有1个平行四边形，有3个梯形。
分析：此题主要考查三角形、平行四边形和梯形的掌握与运用，养成按照一定顺序观察思考问题的习惯，逐步学会通过观察思考探寻事物规律的能力。
15．√
分析：梯形是四边形，有四条边，只有一组对边互相平行。
详解：只有一组对边互相平行的四边形是梯形。
故答案为：√
分析：此题重点考查梯形的定义，注意梯形只有一组对边互相平行，而平行四边形的两组对边互相平行。
16．×
分析：长方形的对边相等，四个角都是直角，梯形只有一组对边平行，且上下底的长度是不相等的，据此解答。
详解：长方形的对边相等，梯形中互相平行的两条边不相等，原题说法错误。
故答案为：×
分析：本题考查了学生对长方形及梯形的特征的掌握与运用。
17．×
分析：梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形，据此可知梯形的对角不相等，从而求解。
详解：梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形，据此可知梯形的对角不相等，所以判断错误。
分析：此题考查了梯形的定义，是基础题型，比较简单。
18．×
分析：根据平行四边形和梯形的特征进行分析。
详解：等腰梯形是轴对称图形。
故答案为：×
分析：本题考查了轴对称图形的辨别与平行四边形和梯形的认识，判断题只要有一处不对就是错。
19．×
分析：把一个平面图形沿一条直线对折，折痕两边的图形能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，折痕所在的直线是轴对称图形的对称轴。长方形、正方形、等腰三角形、等腰梯形、圆都是轴对称图形。
详解：依据分析可知：等腰梯形是轴对称图形。
故答案为：×
分析：此题考查了轴对称图形的意义。
20．×
21．（1）见详解
（2）我发现梯形中位线＝上底和下底的和的一半
分析：（1）先找到两腰的中点，再连结即可求解；
（2）根据线段的测量方法量出中位线的长度，上底和下底的长度，再依此找到它们的规律即可求解。
详解：（1）如图所示：
（2）
答：我发现梯形中位线＝上底和下底的和的一半。
分析：考查了梯形的特征及分类，关键是熟悉梯形中位线＝上底和下底的和的一半。
22．上底3厘米；下底12厘米
分析：根据一个梯形的下底是上底的4倍，如果将下底缩短9厘米，就成了一个平行四边形，说明梯形的下底缩短9厘米上底和下底长度就相同了，则缩短的9厘米就是原来梯形上底的（4－1）倍，用9除以相应的倍数即可求出上底的长度，再乘4即可求出下底的长度。
详解：上底：9÷（4－1）
＝9÷3
＝3（厘米）
下底：3×4＝12（厘米）
答：这个梯形的上底是3厘米，下底是12厘米。
23．不同意；这个四边形可能是一个梯形，有可能是是一个长方形
分析：根据梯形是只有一组对边平行的四边形；长方形对边平行且相等，四个角都是直角，已知未被遮住部分2个角都是直角，所以这个四边形可能是一个梯形，有可能是是一个长方形。。
详解：根据图示，图中一个四边形被遮住了一部分。这个四边形可能是一个梯形，有可能是是一个长方形。所以不同意小明的说法。
24．梯；理由见详解
分析：平行四边形的两组对边分别平行，所以四边形ABCD的边AD与边BC互相平行，根据梯形的定义，只有一组对边平行的四边形，是梯形，据此来解答。
详解：则四边形ABCD的形状是梯形。
答：因为四边形ABCD的边AD与边BC互相平行，另外两条边不平行，所以是梯形。
25．（1）是，因为等底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半。
（2）见详解；
（3）8平方厘米
分析：（1）图3中，三角形的底和高等于正方形的边长，根据三角形的面积公式和正方形的面积公式可知，三角形的面积等于正方形面积的一半；（合理即可，答案不唯一）
（2）根据梯形的特征，上底和下底平行，所以三角形ABD和三角形ABC面积相等；
（3）因为三角形ABD和三角形ABC面积相等，三角形ABC的面积等于正方形面积的一半，所以阴影部分的面积等于正方形面积的一半，代入数据即可解答。
详解：（1）图3中涂色三角形的面积是正方形面积的一半，因为等底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半；（合理即可，答案不唯一）
（2）根据分析作图如下：
（3）4×4÷2＝8（平方厘米）
答：阴影部分的面积为8平方厘米。

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