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7.8 整理与练习
三角形的特点
三条线段首尾相接围成的图形叫做三角形。
三角形有3个顶点、3条边和3个角。
每个三角形都有3条高。
从三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底。
三角形三条边之间的关系
三角形任意两边长度的和大于第三边。
判断三条线段能否围成三角形，只要把较短的两条线段相加与最长的线段比较即可。
三角形的内角和
三角形的内角和与三角形的大小、形状无关，任意一个三角形的内角和都是180°。
三角形的分类
按角分类
锐角三角形：3个角都是锐角的三角形。
钝角三角形：有1个角是钝角的三角形。
直角三角形：有1个角是直角的三角形。
按边分类
不等边三角形
等腰三角形
有两条边相等的三角形是等腰三角形。2个底角相等。
3条边都相等的三角形是等边三角形。
3条边都相等的三角形是等边三角形。
3个角相等，每个角都是60°。
两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。
平行四边形容易变形；
平行四边形有4条边，4个角。
平行四边形的两组对边分别平行且相等。
从平行四边形一条边上的一点到它对边的垂直线段，是平行四边形的高，这条对边是平行四边形的底。
平行四边形有无数条高，而同一底边上的高一定相等。
只有一组对边平行的四边形是梯形。
梯形是四边形，有4条边，4个角；
一组对边平行，另一组对边不平行;
互相平行的一组对边的长度不相等。
在梯形里，互相平行的一组对边分别是梯形的上底和下底，不平行的一组对边分别是梯形的腰。
从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫作梯形的高。
两腰相等的梯形是等腰梯形。
例1：梯形（如图）的高是（ ）厘米。
A．5 B．3 C．2
答案：C
分析：
梯形的高是指上下底的距离，在梯形的上底上任取一个点作垂直于下底的线段，叫做梯形的高，据此即可解答。
详解：由分析可知，梯形的高是2厘米。
故答案为：C
例2：已知一个平行四边形的周长是32厘米，其中一条边长是相邻边长的3倍，这个平行四边形相邻两边的长度分别是( )厘米和( )厘米。
答案： 4 12
分析：
根据平行四边形对边平行且相等，则周长÷2即可得到相邻两条边的和，已知其中一条边长是相邻边长的3倍，则周长÷2÷4即可得出较短的一条边的长度，再乘3即可得到另一条边的长度，据此解答即可。
详解：32÷2÷4
＝16÷4
＝4（厘米）
4×3＝12（厘米）
这个平行四边形相邻两边的长度分别是4厘米和12厘米。
例3：有一个角是直角的梯形叫作直角梯形，有两条边相等的梯形叫作等腰梯形。( )
答案：×
分析：
有一个角是直角的梯形叫作直角梯形。如图：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。如图：
详解：有一个角是直角的梯形叫作直角梯形，有两条腰相等的梯形叫作等腰梯形。
故答案为：×
例4：求出每个三角形中未知角的度数。
答案：∠1＝35°；∠2＝122°；∠3＝60°
分析：
根据三角形内角和定理：三角形内角和是180°，用180°减去已知的两个角的度数，求另外一个角的度数即可。
详解：
∠1＝180°－90°－55°
＝90°－55°
＝35°
∠2＝180°－30°－28°
＝150°－28°
＝122°
∠3＝180°－50°－70°
＝130°－70°
＝60°
基础过关练
一、选择题
1．下图中，AC边上的高的正确画法是（ ）。
A． B． C．
2．下面三个图形对应底边上的高（ ）。
A．①号的高最长 B．②号的高最长
C．③号的高最长 D．一样长
3．如图所画的平行四边形的一条高是5厘米，这条高所对应的底应该是（ ）厘米。

A．6 B．4 C．6或4 D．无法确定
4．从平行四边形的顶点B画平行四边形的高，能画出（ ）条。

A．0 B．1 C．2 D．无数
5．三角形的3条边都是（ ）。
A．线段 B．直线 C．射线
6．一个三角形的两条边长分别是3厘米和7厘米，它的第三条边长可能是（ ）。
A．11厘米 B．4厘米 C．5厘米
7．小红用长3厘米、5厘米、7厘米的三根小棒摆一个三角形，小华也用这样的三根小棒摆一个三角形。这两个三角形（ ）。
A．形状相同，大小不等B．形状相同，大小相等 C．形状不同，大小相等
二、填空题
8．一个直角三角形，有一个锐角是28°，另一个锐角是( )。
9．比较大小，填“＞”“＜”或“＝”。
590亿( )58990000000 直角三角形中两个锐角的和( )90°
25×5＋25×8( )25×5×8 124×101( )124×100＋1
10．有两根7厘米长的小棒，再添一根小棒围成一个三角形，这根小棒最长是( )厘米。（小棒长为整厘米数）
11．用两个完全一样的直角梯形拼成一个长方形，已知直角梯形的上底是14厘米，下底是16厘米，高是8厘米，拼成的长方形的面积是( )平方厘米。
12．李明画了一个边长16厘米的等边三角形，它的周长是( )厘米，其中的一个内角是( )°，这个三角形有( )条对称轴。
13．一个直角梯形的下底是上底的4倍。如果将上底延长12厘米，就成了一个正方形，这个梯形的高是( )厘米。
三、判断题
14．用一根长80厘米的铁丝围成一个等腰梯形，上、下底之和为50厘米，一条腰长为30厘米。( )
15．一个等腰三角形，已知其中两条边的长度分别是6厘米和12厘米，则这个等腰三角形的周长可能是30厘米，也可能是24厘米。( )
16．用两块完全一样的三角尺拼成一个三角形，拼成的三角形内角和是。( )
17．有2cm、3cm、4cm、5cm的小棒各一根，任选其中3根可拼成4个不同的三角形。( )
18．如果一个三角形两个内角之和等于90°，它一定是直角三角形。( )
19．4根相同的小棒可以摆成三角形。( )
培优提升练
四、计算题
20．算出每个三角形中未知角的度数。
五、解答题
21．李师傅用一根固定长度的铁丝去给同样大小的三角形玻璃片镶边，如下图。围1个三角形玻璃片一圈，铁丝还多出19厘米；围两个三角形玻璃片1圈（两个三角形重合的边只围一次），铁丝还多出11厘米。这根铁丝的长度是多少厘米？（三角形三条边长度相等）
22．一个等腰梯形的周长是48厘米，它的上底与下底的和是20厘米，这个等腰梯形的腰长多少厘米？
23．一个梯形的下底是上底的3倍，如果将上底延长6分米，就成了一个正方形，这个梯形的上底和高各是多少分米？
24．街心花园中间有一个边长18米的正方形花坛，花坛四周有1米宽的石子路，石子路的面积是多少平方米？（先画出示意图，再解答）

25．用两个完全一样的等腰梯形拼成一个平行四边形，已知每个梯形的周长都是40厘米，梯形的一条腰长8厘米，拼成的平行四边形的底是多少厘米？平行四边形的周长是多少厘米？
26．蚂蚁王国正在进行赛跑。哪只蚂蚁最先从图形的一个顶点跑到它的对边，就是谁赢。看，小选手欢欢和乐乐已经站到自己图形的顶点上了。（如图）
（1）怎样跑的路线最短？请你帮它们画一画。
（2）这个比赛公平吗？为什么？
27．园丁围绕一个边长120米的等边三角形人工湖种了一些柳树和杨树。从一个顶点开始每隔12米种一棵柳树，每两棵柳树中间又种了3棵杨树。园丁种了多少棵杨树？
1．C
分析：从三角形一个端点向它的对边作一条垂线，三角形顶点和它对边垂足之间的线段称为这条边上的高。
详解：A．不是垂线段，故错误；
B．没有从顶点开始，故错误；
C．正确。
故答案为：C
分析：本题主要考查三角形高的画法，需要灵活掌握。
2．D
分析：根据平行四边形的高的定义可知，这三个图形的高一样长，均等于两条平行线的距离。据此解答。
详解：三个图形对应底边上的高一样长。
故答案为：D
分析：本题考查学生对平行四边形高的认识，垂足所在的边叫做底。
3．B
分析：6厘米这条边上的高比4厘米短，4厘米底边上的高比6厘米短。一条高是5厘米，比4厘米高，比6厘米短，这条高对应的底应该是4厘米。
详解：由分析得：
6厘米＞5厘米＞4厘米
这条高所对应的底应该是4厘米。
故答案为：B
分析：本题考查平行四边形高的认识，平行四边形的一条底边对应的高一定小于邻边的长度。
4．C
分析：依题意，结合所学知识分析如下：
平行四边形的顶点，对应有两条底，从顶点出发可以各作一条底边上的高，据此解答即可。
详解：如下图所示：

从平行四边形的顶点B画平行四边形的高，可以画两条。
故答案为：C
分析：本题考查学生对平行四边形底边上的高的认识和画法，从顶点出发作底边上的高有且仅有两条。
5．A
分析：依题意，结合所学知识分析如下：
结合三角形的定义，三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段“首尾”顺次连接所组成的封闭图形。据此解答即可。
详解：由三角形的定义可知，三角形的3条边都是线段。
故答案为：A
分析：本题考查学生对三角形的定义的理解和掌握。
6．C
分析：三角形的三边关系为三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差一定小于第三边；据此解答即可。
详解：3＋7＝10（厘米）
7－3＝4（厘米）
第三条边长小于10厘米，大于4厘米。
A．11厘米＞10厘米，不符合要求；
B．4厘米＝4厘米，不符合要求；
C．10厘米＞5厘米＞4厘米，符合要求；
故答案为：C
分析：熟练掌握三角形的三边关系，灵活运用三角形的三边关系解决问题。
7．B
分析：都是用3厘米、5厘米、7厘米这样三条边组成的，三角形三条边长度固定，首尾相连形成三角形相同，据此解答即可。
详解：摆出三角形三条边的长度分别相同，所以这两个三角形形状相同，大小相等。
故答案为：B
分析：明确同样三条边构成的三角形是同一个三角形是解题的关键。
8．62°/62度
分析：三角形的内角和是180°，在直角三角形里，有一个直角，另一个锐角是180°－90°－28°。
详解：180°－90°－28°＝62°。
另一个锐角是62°。
分析：熟练掌握三角形的内角和定理是解决本题的关键。
9． ＞ ＝ ＜ ＞
分析：（1）根据整数比较大小的方法：先看数位的多少，数位多的数就大，数位相同，从高位比较，高位上的数大则这个数大，高位上的数相同，就比较下一位。
（2）根据三角形的内角和为180°可知，直角三角形中两个锐角的和是180°－90°＝90°。
（3）分别求出两个算式的得数，再比较大小。
（4）根据乘法分配律可知，124×101＝124×100＋124，再与124×100＋1比较大小。
详解：（1）590亿＝59000000000，59000000000＞58990000000，则590亿＞58990000000
（2）直角三角形中两个锐角的和＝180°－90°＝90°
（3）25×5＋25×8＝125＋200＝325
25×5×8＝1000
325＜1000
则25×5＋25×8＜25×5×8
（4）124×101＝124×100＋124，124×100＋124＞＝124×100＋1，则124×101＞124×100＋1
分析：两个算式比较大小，可以先求出得数，再进行比较。也可以根据乘法分配律等运算定律进行比较。熟练掌握三角形的内角和定理。
10．13
分析：任意三角形的两边之和必须大于第三边。再添一根小棒围成一个三角形，这根小棒最长是（7＋7－1）厘米。
详解：7＋7－1
＝14－1
＝13（厘米）
有两根7厘米长的小棒，再添一根小棒围成一个三角形，这根小棒最长是（13）厘米。（小棒长为整厘米数）
分析：本题考查了三角形的三边关系的应用。
11．240
分析：如图：，拼成的长方形长是（14＋16）厘米，宽是8厘米，长方形的面积＝长×宽，把数据代入公式计算即可。
详解：（14＋16）×8
＝30×8
＝240（平方厘米）
用两个完全一样的直角梯形拼成一个长方形，已知直角梯形的上底是14厘米，下底是16厘米，高是8厘米，拼成的长方形的面积是（240）平方厘米。
分析：解答此题关键是找出拼成的长方形的长和宽，再根据面积公式计算，画图直观易懂。
12． 48 60 3
分析：等边三角形是三条边长度相同，周长用边长乘3即可，等边三角形的内角都相等，且均为60°；等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴。
详解：16×3＝48（厘米），等边三角形每个内角都是60°，有3条对称轴。
分析：做题关键对等边三角形特征的熟练运用。
13．16
分析：根据梯形的特征，梯形是只有一组对边平行的四边形，一个直角梯形的下底是上底的4倍。如果将上底延长12厘米，就成了一个正方形，由此可知，12厘米相当于这个直角梯形的上底的（4－1）倍，且梯形的高等于下底，根据已知一个数的几倍是多少，求这个数，用除法求出上底，上底的长度乘4就是下底的长度（高），据此解答。
详解：12÷（4－1）
＝12÷3
＝4（厘米）
4×4＝16（厘米）
即这个梯形的高是16厘米。
分析：此题考查的目的是理解掌握直角梯形的特征、正方形的特征及应用。
14．×
分析：把80厘米的铁丝围成一个等腰梯形，那么这个梯形的周长应为80厘米，求出梯形的周长与80厘米比较，因为是等腰梯形，所以两腰都是30厘米，50加30再加30即为这个梯形的周长，最后与80比较即可。
详解：50＋30＋30
＝80＋30
＝110（厘米）
110≠80
这个梯形的周长是110厘米，所以这句话不对。
故答案为：×
分析：梯形的周长＝上底＋下底＋两腰的长度。
15．×
分析：根据三角形的任意两边之和大于第三边，解答此题即可。
详解：6＋6＝12（厘米），根据三角形的三边关系，6厘米的边不能是腰，只能是底，则这个等腰三角形的腰是12厘米。12＋12＋6＝30（厘米），则这个等腰三角形的周长是30厘米。所以题干说法是错误的。
故答案为：×
分析：熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键。
16．√
分析：无论形状、大小，任何一个三角形的内角和为180°，据此判断即可。
详解：用两块完全一样的三角尺拼成一个三角形，得到的这个三角形应符合三角形内角和定理，即内角和仍是180°。
故答案为：√。
分析：本题考查三角形的内角和，需熟练掌握。
17．×
分析：从这四根小棒中任选3根，可以有2cm、3cm、4cm或者2cm、3cm、5cm或者3cm、4cm、5cm或者2cm、4cm、5cm 这4种选法，根据三角形的三边关系进行分析，看哪几种选法可以拼成三角形。
详解：2＋3＞4，则长2cm、3cm、4cm的三根小棒可以拼成一个三角形；
2＋3＝5，则长2cm、3cm、5cm的三根小棒不可以拼成一个三角形；
3＋4＞5，则长3cm、4cm、5cm的三根小棒可以拼成一个三角形；
2＋4＞5，则长2cm、4cm、5cm的三根小棒可以拼成一个三角形；
则可以拼成3个不同的三角形，原说法错误。
故答案为：×。
分析：本题考查三角形的三边关系，先找出可能的拼法，再根据三边关系，用较短的两根小棒长度和与较长小棒长度比较大小判断。
18．√
分析：三角形的内角和等于180°，用180°减两个内角和的度数等于第三个角的度数，再根据角对三角形进行分类即可解答。
详解：180°－90°＝90°
有一个角等于90°，这个三角形是直角三角形，原说法正确。
故答案为：√
分析：本题主要考查学生对三角形的内角和、三角形的分类知识的掌握。
19．×
分析：若用4根相同的小棒可以摆成一个三角形，则这个三角形的两条边均是1根小棒的长度，第三条边是2根小棒的长度和。三角形的三边关系为三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差一定小于第三边；据此判断这个三角形能否成立。
详解：1＋1＝2，则较短的两条边的长度和等于第三条边的长度。4根相同的小棒不可以摆成三角形。
故答案为：×。
分析：本题考查三角形的三边关系的灵活应用，常用较短的两条边的长度和与较长边的长度比较大小。
20．55°；110°；75°
分析：根据三角形的内角和为180°，用三角形的内角和依次减去已知两个角的度数，即可求出第三个角的度数。
详解：180°－90°－35°＝55°
180°－42°－28°＝110°
180°－65°－40°＝75°
则未知角的度数依次是55°、110°、75°。
21．31厘米
分析：观察上图可知，围2个三角形玻璃片一圈比围1个三角形玻璃片一圈多2个三角形的边长，多用19－11＝8（厘米）长的铁丝，8除以2即等于三角形的边长，因为三角形三边相等，所以周长等于三边之和，用一个三角形的周长加上19厘米即等于铁丝的长度。
详解：（19－11）÷2×3＋19
＝8÷2×3＋19
＝4×3＋19
＝12＋19
＝31（厘米）
答：这根铁丝的长度是31厘米。
22．14厘米
分析：等腰梯形的周长是上底、下底以及两条腰的长度和，则用等腰梯形的周长减去上底与下底的和，求出两条腰的长度和，再除以2，求出一条腰的长度。
详解：（48－20）÷2
＝28÷2
＝14（厘米）
答：这个等腰梯形的腰长14厘米。
23．上底3分米；高9分米
分析：下底是上底的3倍，如果将上底延长6分米，就成了一个正方形，说明延长部分相当于上底的两倍，用6分米除以2即可求出上底；上底乘3求出下底；延长后是正方形则下底和高相等。
详解：6÷2＝3（分米）
3×3＝9（分米）
答：这个梯形的上底3分米，高是9分米。
分析：明确延长部分相当于上底的两倍，下底和高相等是解决本题关键。
24．见详解
分析：周围的石子路又围成一个大正方形，石子路面积＝大正方形面积－小正方形面积。
详解：
（18＋1＋1）×（18＋1＋1）－18×18
＝20×20－18×18
＝400－324
＝76（平方米）
答：石子路的面积是76平方米。
分析：明确正方形面积计算公式是解决本题关键。
25．底是24厘米，周长是64厘米
分析：
如图所示，用两个完全一样的等腰梯形拼成一个平行四边形，平行四边形的底等于等腰梯形的上底与下底的和。等腰梯形的两条腰相等，用梯形的周长减去两条腰的长度，求出上底与下底的和，也就是平行四边形的底。用两个梯形的周长和减去两条腰的长度，求出平行四边形的周长。
详解：40－8－8＝24（厘米）
40＋40－8－8＝64（厘米）
答：拼成的平行四边形的底是24厘米，周长是64厘米。
分析：本题考查平面图形的拼接，等腰梯形的特征以及梯形和平行四边形的周长，关键是明确平行四边形的底等于等腰梯形的上底与下底的和。画图可帮助学生更好理解题意。
26．（1）见详解
（2）不公平；理由见详解
分析：（1）从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。这条垂线的长度最短。据此过顶点作三角形的高，以及过顶点向右边的边作平行四边形的高，这两条高就是最短路线。
（2）过欢欢所在顶点只能画一条高，但是过乐乐所在顶点能画两条高，其中一条高的长度小于欢欢所在图形的高，两只蚂蚁赛跑路程不相等，比赛不公平。
详解：（1）
（2）不公平；乐乐从图形的顶点出发，可以画两种不同长度的高，其中有一条高比欢欢的短。
分析：本题考查三角形和平行四边形高的画法，过三角形的一个顶点只能画一条高，过平行四边形的一个顶点能画两条高。
27．90棵
分析：先根据等边三角形的周长＝边长×3，求出人工湖的周长，再除以两棵柳树之间的间隔长度，求出柳树棵数。用柳树棵数乘3，求出杨树棵数。
详解：120×3÷12
＝360÷12
＝30（棵）
30×3＝90（棵）
答：园丁种了90棵杨树。
分析：本题考查简单间隔和等边三角形的周长公式的应用，关键是明确柳树棵数＝间隔数，杨树棵数＝柳树棵数×3。

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