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17.1第1课时 勾股定理
一、教学目标及重难点
教学目标
1.了解勾股定理的文化背景,能利用拼图验证勾股定理的方法。
2.能说出勾股定理,并能应用其进行简单的计算。
3.在勾股定理的探索过程中,经历观察——猜想——归纳——验证的数学发现过程。
4.发展合情推理的能力,体会数形结合思想、由特殊到一般的数学思想。
重难点
1.了解勾股定理的文化背景,能利用拼图验证勾股定理的方法。
2.能说出勾股定理,并能应用其进行简单的计算。
二、教学过程
（一）创设情境
人类一直想要弄清楚其他星球上是否存在着“人”，并试图与“他们”取得联系. 那么我们怎样才能与“外星人”接触呢？
曾经有科学家建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号。
板书标题
那什么是勾股定理呢？让我们一起跟随2000多年前的数学家毕达哥拉斯一起去一探究竟。
（二）探索新知
相传2500多年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家作客时，发现朋友家用砖铺成的地面图案，他被这一图案深深的吸引，他发现这图案中反映了直角三角形三边的某种数量关系.
究竟他发现了什么样的数量关系呢？同学们你们知道吗？
那我们也来观察一下地面的图案，看看能从中发现什么数量关系？
（先让同学们观察一会地砖，待同学疑惑疑惑时，再出示需要关注的三个正方形图案。再逐步追问。）
问：正方形A，B和C面积之间的存在什么数量关系？
SA+SB=SC
问：右图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系？
引导学生回答：两条直角边的平方和等于斜边的平方。
板书：等腰直角三角形的三边关系。
问：观察下面两幅图，在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系？(每个小正方形的面积为单位1)
问：怎样求C的面积呢？
你想到了哪些方法？
学生思考，适当引导学生用割补两种方法求C的面积。
学生思考后让学生到讲台上来展示。
学生展示后老师在梳理一下两种方法求正方形C的面积。如图2
求了正方形C的面积后，让学生结合表格和以下问题思考。
问：每幅图中三个正方形A、B、C 的面积有怎样的关系？
SA+SB=SC
问：至此，我们在网格中验证了:直角三角形两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积，即SA+SB=SC . 去掉网格结论会改变吗？
不会改变.
问：式子SA+SB=SC能用直角三角形的三边a、b、c来表示吗
a2 + b2 = c2
问：去掉正方形结论会改变吗？
不会改变.
问：那么直角三角形三边a、b、c之间的关系式是什么呢？
a2 + b2 = c2
板书:一般直角三角形三边关系
猜想：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c,那么________.
（三）探索证明
问：如何证明呢？
让我们一起跟随我国古代数学家赵爽的脚步，看一看我国古代数学家赵爽是怎样证明这个命题的．
以直角三角形的两条直角边a、b为边作两个正方形，把两个正方形如图1连在一起，通过剪、拼把它拼成图2的样子.你能做到吗？试试看.
老师引导学生一起拼出图2，这幅图就是赵爽弦图。
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因为，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学大会的会徽.
问：让我们根据我国汉代数学家赵爽的“赵爽弦图”，思考如何用它证明直角三角形的三边关系？师生共同讨论后解答如下：
问：通过证明，那我们知道直角三角形的三边满足怎样的数量关系呢？
答：如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
这一定理就是我们今天要学习的勾股定理。
问：为什么叫做勾股定理呢？
播放勾股定理的视频（让学生了解勾股定理的文化）
问：勾股定理给出了什么样的三角形的三边关系？
直角三角形
问：在直角三角形中如果只知道两条边的长度，能否求出第三边的长？
公式变形：
（四）例题讲解
接下来我们运用勾股定理求直角三角形边的长度。
例1 如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，若a=b=5,求c，
（出题意图：直接运用勾股定理求直角三角的边。让同学们知道直角三角形中“知二求一”）
如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，若a=12,c=13,求b和斜边上的高h 。
（出题意图：直角三角形中“知二求一”再次运用，以及面积法求斜边上的高。）
例2 在Rt△ABC中， ∠C=90°，
若a：b=3：4 ，c=20,求a;
若b=15，∠A=30°,求a,c.
（出题意图：已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解。以及回顾30°的直角三角形的三边关系。）
（五）课堂小结 ：
一个定理：勾股定理。一种思想：从特殊到一般。
一种态度：严谨 求实。一份自豪：中国人的自豪，文化自信。
(六）练习巩固：书上24页，练习1、2
1.设直角三角的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.
(1)已知a=6，c=10，求b；
(2)已知a=5，b=12，求c；
(3)已知c=25，b=15，求a.
解：(1)；
(2)；
(3).
2.如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形A，B，C，D的边长分别是12，16，9，12，求最大正方形E的面积.
解：依题意，得
S1=SA+SB=122+162=144+256=400
S2=SC+SD=92+122=81+144=225
所以，SE=S1+S2=400+225=625
作业设计：
1. 若一个直角三角形的两直角边长分别为9和12，则斜边的长为（ ）
A.13 B.17 C. 15 D.18
2.若一个直角三角形的斜边长为17，一条直角边长为15，则另一直角边长为（ ）
A.8 B.40 C.50 D.36
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，若a︰b=3︰4，c=100，则a= _____，b = ______.
4.在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.（分类讨论）
5.在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的长.（面积法）
教学反思
课堂教学中，要注意调动学生的积极性.让学生满怀激情地投入到学习中，提高课堂效率.勾股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点，为了突破这一难点，设计一些拼图活动，并自制精巧的课件让学生从形上感知，再层层设问，从面积(数)入手，师生共同探究突破本节课的难点.
证明：∵S大正方形＝________，
S小正方形＝________,
S大正方形＝___·S三角形＋S小正方形，
∴________=________+__________.

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