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第二节 平行线及其性质和判定
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课标内容 课标要求 目标层次
平行线 理解平行线的概念，知道在同一平面内两条直线的位置关系；掌握平行公理及其推论 ★
会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线 ★★
平行线的判定 掌握平行线的判定方法，能判定两条直线平行 ★
会进行简单的推理论证 ★★
平行线的性质 掌握平行线的性质，了解平行线的性质与判定的区别 ★
能依据平行线的性质进行简单的推理 ★
二、核心纲要
1.平行线
(1)定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记作
(2)平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.
注：点必须在直线外，而不是在直线上.
(3)平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.即“平行于同一条直线的两条直线平行”.
2.两条直线的位置关系
在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：(1)相交；(2)平行.
注：判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：
①有且只有一个公共点，两直线相交；
②无公共点，两直线平行；
3.两直线平行的判定方法
(1)平行线的定义.
(2)平行公理的推论.
(3)同位角相等，两直线平行.
(4)内错角相等，两直线平行.
(5)同旁内角互补，两直线平行.
4.平行线的性质
(1)两直线平行，同位角相等.
(2)两直线平行，内错角相等.
(3)两直线平行，同旁内角互补.
本节重点讲解：一个定义(平行线)，一个位置，五个判定，三个性质.
三、全能突破
基础演练
1.在同一平面内，两条直线的位置关系可能是( )
A.平行或相交 B.垂直或相交 C.垂直或平行 D.平行、垂直或相交
2.下列说法正确的是( )
A.经过一点有一条直线与已知直线平行
B.经过一点有无数条直线与已知直线平行
C.经过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D.经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
3.如图5-2-1所示，下列推理中错误的是( )
A.∵∠A+∠ADC=180°,∴AB∥CD B.∵∠DCE=∠ABC,∴AB∥CD
C.∵∠3=∠4,∴AD∥BC D.∵∠1=∠2,∴AD∥BC
4.一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的角度可能是( )
A.第一次右拐50°,第二次左拐130°
B.第一次左拐50°，第二次右拐50°
C.第一次左拐50°,第二次左拐130°
D.第一次右拐50°，第二次右拐50°
5.(1)如图5-2-2所示,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D,C分别落在D',C'的位置.若∠EFB=65°,则∠AED'等于 .
(2)如图5-2-3所示,AD∥EF,EF∥BC,且EG∥AC.那么图中与∠1 相等的角(不包括∠1)的个数是
(3)如图5-2-4所示,AB∥CD ,直线AB,CD 与直线l 相交于点E,F,EG平分∠AEF ,FH 平分∠EFD ,则GE 与FH 的位置关系为 .
6.解答题.
(1)填写推理理由
如图5-2-5 所示,D、F、E分别是BC、AC、AB上的点,DF∥AB,DE∥AC,试说明:.
解:∵DF∥AB( ),
∵DE∥AC(已知)
∴∠AFD+ =180°( )
∴∠EDF=∠A( )
(2)推理填空,如图5-2-6 所示,EF∥AD,∠1=∠2,∠BAC=70°.将求∠AGD的度数过程填写完整：
解:∵EF∥AD( ),
∴∠2= ( )
又∵∠1=∠2( ),
∴∠1=∠3( )
∴AB∥ ( )
∴∠BAC+ =180°( )
又∵∠BAC=70°( ),
∴∠AGD= .
7.已知:如图5-2-7所示,AD⊥BC于点D,EG⊥BC于点G,∠E=∠3.
求证:AD平分∠BAC.
能力提升
8.若α和β是同位角，且(α= 30°,则β的度数是( )
A.30° B.150°
C.30°或150° D.不能确定
9.如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且其中一个角比另一个角的4 倍少30°，那么这两个角分别是( )
A.30°和150° B.42°和138°
C.都等于10° D.42°和138°或都等于10°
10.学行线后，小敏想出了过己知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的,如图5-2-8(a)~(d)所示.
从图中可知，小敏画平行线的依据可能有( )
①两直线平行，同位角相等； ②两直线平行，内错角相等；
③同位角相等，两直线平行； ④内错角相等，两直线平行.
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
11.如图5-2-9 所示,点 E 在CA 延长线上,DE、AB 交于点 F,且∠BDE=∠AEF,∠B=∠C,∠EFA 比∠FDC的余角小10°,P 为线段 DC 上一动点,Q为PC上一点,且满足∠FQP=∠QFP,FM为∠EFP 的平分线.则下列结论:①AB∥CD,②FQ平分∠AFP,③∠B+∠E=140°,④∠QFM的角度为定值.其中正确的结论有( )个
A.1 B.2
C.3 D.4
12.如图 5-2-10 所示,AB∥EF,EF∥CD,EG平分∠BEF,∠B+∠BED+∠D=192°,∠B-∠D=24°,则∠GEF= .
13.在同一平面内有 2002 条直线 a ,a ,…,a ,如果. a ⊥a ,a //a ,… ,,那么a 与a 的位置关系是 .
14.如图5-2-11所示,AB∥CD,∠1=∠2,∠3=∠4,试说明:AD∥BE.
15.已知,如图5-2-12 所示,∠ABC=∠ADC,BF、DE 分别平分 与∠ADC,且∠1=∠3.
求证:AB∥DC.
16.如图5-2-13 所示,已知. 垂足为E,∠BDA+ 求证:DA⊥ FE.
17.已知,如图5-2-14所示,∠1+∠2=180°,∠1+∠EFD=180°,∠3=∠B,试判断 与 的关系，并证明你的结论.
18.已知,如图5-2-15所示,AC∥DE,DC∥EF,CD平分∠BCA.求证:EF平分∠BED.
19.阅读材料:
材料1：如图5-2-16(a)所示，科学实验证明：平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和反射出的光线与平面镜所夹的角相等.即∠1=∠2.
材料2:如图5-2-16(b)所示,已知△ABC,过点A作AD∥BC,则∠DAC=∠C.
又∵AD∥BC,∴∠DAC+∠BAC+∠B=180°,∴∠BAC+∠B+∠C=180°.
即三角形内角和为 180°.
根据上述结论，解决下列问题：
(1)如图5-2-16(c)所示，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射，若b反射出的光线n平行于m,且∠1=50°,则∠2= ,∠3= ;
(2)在(1)中,若∠1=40°,则∠3= ,若∠1=55°,则∠3= ;
(3)由(1)(2)请你猜想：当∠3= 时，任何射到平面镜a上的光线m经过平面镜a 和b的两次反射后，入射光线m与反射光线n 总是平行，请说明理由.
20.已知直线 点A 在直线MN 上,点 D 在线段BC 上,AB 平分. AC平分.
(1)如图5-2-17(a)所示,若 DE⊥AC 于E,求证:
(2)若点 F 为线段AB上不与点A、B重合的一动点,点 H在线段AC 上,FQ 平分. 交AC 于点Q,设∠HFQ=x°,∠MAB=α,∠BDF =β,∠AFD=∠FBD+∠FDB ,点D在线段BC上(不与B、C两点重合)，问当α、β、x之间满足怎样的等量关系时， (如图5-2-17(b)所示) 试写出α、β、x之间满足的某种等量关系，并以此为条件证明FH∥MN.
21.如图5-2-18所示,已知射线( 点 E、F 在 CB 上,且满足 OE 平分
(1)求 的度数.
(2)若平行移动AB，那么 的值是否随之发生变化 若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值.
(3)在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使 若存在，求出其度数；若不存在，说明理由
中考链接
22.(绍兴)如图5-2-19所示,已知AB∥CD,BC平分∠ABE,∠C=34°,则∠BED的度数是( )
A.17° B.34°
C.56° D.68°
23.(浙江丽水)如图5-2-20所示,有一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上.如果∠1=20°，那么∠2 的度数是( )
A.30° B.25°
C.20° D.15°
巅峰突破
24.如图5-2-21所示，直线a，b被直线c所截，现给出下列四个条件：
①∠1=∠5;②∠1=∠7;③∠2+∠3=180°;④∠4=∠7.其中能说明a∥b的条件序号为( )
A.①② B.①③
C.③④ D.①②④
25.如图5-2-22 所示,在△ABC中,CE⊥AB于点E,DF⊥AB于点F,AC∥ED,CE是△ACB的角平分线.求证:∠EDF=∠BDF.
26.平面上有5条直线，其中任意两条都不平行，那么在这5条直线两两相交所成的角中，至少有一个角不超过36°，请说明理由.
基础演练
1. A
【提示】垂直是特殊的相交.
2. D;3. C;4. B
5. (1)50°;(2)5个.
【提示】由AD∥EF∥BC,且 EG∥AC 可得:∠1=∠DAH=∠FHC=∠HCG=∠EGB=∠GEH,除∠1共5个.
(3)平行.
6.(1)已知;∠AFD;两直线平行,同旁内角互补；∠EDF；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等
(2)已知；∠3；两直线平行，同位角相等；已知；等量代换；DG；内错角相等，两直线平行；∠AGD；两直线平行，同旁内角互补；已知；110°.
7. ∵AD⊥BC,EG⊥BC(已知),
∴∠ADC=∠EGC=90°(垂直的定义).
∴AD∥EG(同位角相等,两直线平行).
∴∠2=∠3(两直线平行,内错角相等),
∠1=∠E(两直线平行，同位角相等).
∵∠E=∠3(已知)
∴∠1=∠2(等量代换).
∴AD 平分∠BAC(角平分线的定义).
能力提升
8. D
9. D
【提示】设其中一个角为α，则另一个角为4α-30°，
由一个角的两边分别平行于另一个角的两边，可知这两个角相等或互补.
解得:α= 10°.
,解得: 则另一个角为138°.
10. C
11. D
12. 30°
13. 垂直
【提示】 与a 平行;a k+2,a k+3与a 垂直(k≥0,且k为正整数)
14.∵AB∥CD(已知)
∴∠4=∠BAF(两直线平行,同位角相等).
∵∠3=∠4(已知),
∴∠3=∠BAF(等量代换).
∵∠1=∠2(已知)
∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF(等量加等量和相等).
即∠BAF=∠DAC.
∴∠3=∠DAC(等量代换).
∴AD∥BE(内错角相等,两直线平行).
15. ∵∠ABC=∠ADC(已知),
(等式的性质).
又∵BF、DE 分别平分∠ABC与∠ADC,
(角平分线的定义).
∴∠1=∠2.
∵∠1=∠3(已知),
∴∠2=∠3(等量代换).
∴AB∥DC(内错角相等,两直线平行).
16.∵∠DBF =∠CAF(已知),
∴ AC ∥BD(同位角相等,两直线平行).
∴∠BDA = ∠DAC (两直线平行,内错角相等).
∵∠BDA+∠ECA = 180°(已知),
∴∠DAC +∠ECA = 180°(等量代换).
∴CE ∥AD (同旁内角互补,两直线平行).
∴∠CEF = ∠ADF (两直线平行,同位角相等).
∵CE⊥FE(已知),
∴∠CEF = 90°(垂直的定义).
∴∠ADF = 90°.
∴DA ⊥ FE.
17. 结论:∠AED=∠C.
∵∠1+∠2= 180°,∠1+∠EFD =180°(已知),
∴∠2 =∠EFD(同角的补角相等).
∴ EF ∥AB(内错角相等,两直线平行).
∴∠3 =∠ADE(两直线平行,内错角相等).
又∵∠3=∠B(已知),
∴∠B =∠ADE(等量代换).
∴DE∥BC(同位角相等,两直线平行)
∴∠AED =∠C(两直线平行,同位角相等).
18.∵AC∥DE(已知),
∴∠1=∠5(两直线平行,内错角相等).
∵DC ∥EF(已知),
∴∠5=∠3(两直线平行,内错角相等).
∠2=∠4(两直线平行，同位角相等).
∴∠1=∠3(等量代换).
∵CD平分∠ACB(已知),
∴∠1=∠2(角平分线定义).
∴∠3=∠4(等量代换).
∴EF平分∠BED(角平分线的定义).
19.(1)100°,90°.
(2)90°,90°.
(3)90°.
理由:∵∠3=90°,
∴∠4+∠5=90°,
由题意知∠1=∠4,∠5=∠6,
=180°.
∴m∥n.
20.(1)∵AB 平分∠MAD,AC 平分∠NAD(已知),
(角平分线的定义).
∵∠MAD +∠NAD = 180°(平角的定义),
+∠NAD)= 90°.
∵DE⊥AC(已知),
∴∠DEC = 90°(垂直的定义).
∴∠DEC =∠BAC.
∴DE∥AB(同位角相等,两直线平行).
∴∠1 =∠B(两直线平行,同位角相等).
∵MN∥BC(已知),
∴∠2 =∠B(两直线平行,内错角相等).
∴∠1=∠2(等量代换).
(2)等量关系是：当 时,FH∥MN.
【理由】∵MN∥BC,
∴∠MAB =∠ABD =α.
∵∠AFD=∠ABD+∠FDB,∠FDB=β,
∴∠AFD =∠ABD+∠FDB =α+β,
∵FQ平分∠AFD ,
∴∠AFD =2∠AFQ=2(∠AFH+∠HFQ).
∵∠HFQ=x°,
∴α+β=2∠AFH+2x°.
∵β-α=2x°,
∴α+β=2∠AFH+β-α
∴∠AFH =α.
∴FH∥MN.
21.(1)∵CB∥OA,
∴∠C+∠AOC = 180°.
∵∠C= 100°,
∴∠AOC=80°.
又∵OE 平分∠COF,
∵∠FOB =∠AOB ,
(2)不变.
∵CB∥OA,
∴∠OBC=∠AOB,∠OFC=∠FOA.
∴∠OBC:∠OFC=∠AOB:∠FOA.
∵∠FOB =∠AOB,
∴∠FOA=∠FOB+∠AOB=2∠AOB,
∴∠OBC:∠OFC=∠AOB:∠FOA=∠AOB:2∠AOB=1:2.
(3)存在.
∵OE 平分∠COF,
∴∠COE=∠EOF.
∵∠FOB =∠AOB ,
∴设∠COE=∠EOF=x°,∠FOB =∠AOB = y°.
∵CB∥OA,
∵AB ∥OC,
∴∠OBA =∠BOC =2x°+y°.
∵∠OEC =∠OBA,
由①可知:∠EOB = 40°.∠EOB =∠EOF +
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22. D;23. B
巅峰突破
24. D
25. ∵CE⊥AB,DF⊥AB(已知),
∴∠AEC=∠AFD=90°(垂直的定义).
∴DF∥CE(同位角相等,两直线平行).
∴∠BDF =∠BCE(两直线平行,同位角相等).
∠FDE=∠DEC(两直线平行,内错角相等).
又∵AC∥ED,
∴∠DEC=∠ACE(两直线平行,内错角相等).
∵CE 是∠ACB的角平分线,
∴∠ACE=∠ECB(角平分线的定义).
∴∠EDF=∠BDF(等量代换).
26.任取一点O，过O作5条直线分别与已知的5条直线平行.所得的5条直线将O点处的周角分为10个角，若 10 个角相等，则每个角都是36°，若不全相等，则其中必有一个小于或等于 即已知5条直线所成的角中至少有一个不超过36°.

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