资源简介 第二节 平行线及其性质和判定一、课标导航课标内容 课标要求 目标层次平行线 理解平行线的概念,知道在同一平面内两条直线的位置关系;掌握平行公理及其推论 ★会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线 ★★平行线的判定 掌握平行线的判定方法,能判定两条直线平行 ★会进行简单的推理论证 ★★平行线的性质 掌握平行线的性质,了解平行线的性质与判定的区别 ★能依据平行线的性质进行简单的推理 ★二、核心纲要1.平行线(1)定义:在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线,直线a与直线b互相平行,记作(2)平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行.注:点必须在直线外,而不是在直线上.(3)平行公理的推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.即“平行于同一条直线的两条直线平行”.2.两条直线的位置关系在同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:(1)相交;(2)平行.注:判断同一平面内两直线的位置关系时,可以根据它们的公共点的个数来确定:①有且只有一个公共点,两直线相交;②无公共点,两直线平行;3.两直线平行的判定方法(1)平行线的定义.(2)平行公理的推论.(3)同位角相等,两直线平行.(4)内错角相等,两直线平行.(5)同旁内角互补,两直线平行.4.平行线的性质(1)两直线平行,同位角相等.(2)两直线平行,内错角相等.(3)两直线平行,同旁内角互补.本节重点讲解:一个定义(平行线),一个位置,五个判定,三个性质.三、全能突破基础演练1.在同一平面内,两条直线的位置关系可能是( )A.平行或相交 B.垂直或相交 C.垂直或平行 D.平行、垂直或相交2.下列说法正确的是( )A.经过一点有一条直线与已知直线平行B.经过一点有无数条直线与已知直线平行C.经过一点有且只有一条直线与已知直线平行D.经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行3.如图5-2-1所示,下列推理中错误的是( )A.∵∠A+∠ADC=180°,∴AB∥CD B.∵∠DCE=∠ABC,∴AB∥CDC.∵∠3=∠4,∴AD∥BC D.∵∠1=∠2,∴AD∥BC4.一辆汽车在笔直的公路上行驶,两次拐弯后,仍在原来的方向上平行前进,那么两次拐弯的角度可能是( )A.第一次右拐50°,第二次左拐130°B.第一次左拐50°,第二次右拐50°C.第一次左拐50°,第二次左拐130°D.第一次右拐50°,第二次右拐50°5.(1)如图5-2-2所示,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D,C分别落在D',C'的位置.若∠EFB=65°,则∠AED'等于 .(2)如图5-2-3所示,AD∥EF,EF∥BC,且EG∥AC.那么图中与∠1 相等的角(不包括∠1)的个数是(3)如图5-2-4所示,AB∥CD ,直线AB,CD 与直线l 相交于点E,F,EG平分∠AEF ,FH 平分∠EFD ,则GE 与FH 的位置关系为 .6.解答题.(1)填写推理理由如图5-2-5 所示,D、F、E分别是BC、AC、AB上的点,DF∥AB,DE∥AC,试说明:.解:∵DF∥AB( ),∵DE∥AC(已知)∴∠AFD+ =180°( )∴∠EDF=∠A( )(2)推理填空,如图5-2-6 所示,EF∥AD,∠1=∠2,∠BAC=70°.将求∠AGD的度数过程填写完整:解:∵EF∥AD( ),∴∠2= ( )又∵∠1=∠2( ),∴∠1=∠3( )∴AB∥ ( )∴∠BAC+ =180°( )又∵∠BAC=70°( ),∴∠AGD= .7.已知:如图5-2-7所示,AD⊥BC于点D,EG⊥BC于点G,∠E=∠3.求证:AD平分∠BAC.能力提升8.若α和β是同位角,且(α= 30°,则β的度数是( )A.30° B.150°C.30°或150° D.不能确定9.如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边,且其中一个角比另一个角的4 倍少30°,那么这两个角分别是( )A.30°和150° B.42°和138°C.都等于10° D.42°和138°或都等于10°10.学行线后,小敏想出了过己知直线外一点画这条直线的平行线的新方法,她是通过折一张半透明的纸得到的,如图5-2-8(a)~(d)所示.从图中可知,小敏画平行线的依据可能有( )①两直线平行,同位角相等; ②两直线平行,内错角相等;③同位角相等,两直线平行; ④内错角相等,两直线平行.A.①② B.②③ C.③④ D.①④11.如图5-2-9 所示,点 E 在CA 延长线上,DE、AB 交于点 F,且∠BDE=∠AEF,∠B=∠C,∠EFA 比∠FDC的余角小10°,P 为线段 DC 上一动点,Q为PC上一点,且满足∠FQP=∠QFP,FM为∠EFP 的平分线.则下列结论:①AB∥CD,②FQ平分∠AFP,③∠B+∠E=140°,④∠QFM的角度为定值.其中正确的结论有( )个A.1 B.2C.3 D.412.如图 5-2-10 所示,AB∥EF,EF∥CD,EG平分∠BEF,∠B+∠BED+∠D=192°,∠B-∠D=24°,则∠GEF= .13.在同一平面内有 2002 条直线 a ,a ,…,a ,如果. a ⊥a ,a //a ,… ,,那么a 与a 的位置关系是 .14.如图5-2-11所示,AB∥CD,∠1=∠2,∠3=∠4,试说明:AD∥BE.15.已知,如图5-2-12 所示,∠ABC=∠ADC,BF、DE 分别平分 与∠ADC,且∠1=∠3.求证:AB∥DC.16.如图5-2-13 所示,已知. 垂足为E,∠BDA+ 求证:DA⊥ FE.17.已知,如图5-2-14所示,∠1+∠2=180°,∠1+∠EFD=180°,∠3=∠B,试判断 与 的关系,并证明你的结论.18.已知,如图5-2-15所示,AC∥DE,DC∥EF,CD平分∠BCA.求证:EF平分∠BED.19.阅读材料:材料1:如图5-2-16(a)所示,科学实验证明:平面镜反射光线的规律是:射到平面镜上的光线和反射出的光线与平面镜所夹的角相等.即∠1=∠2.材料2:如图5-2-16(b)所示,已知△ABC,过点A作AD∥BC,则∠DAC=∠C.又∵AD∥BC,∴∠DAC+∠BAC+∠B=180°,∴∠BAC+∠B+∠C=180°.即三角形内角和为 180°.根据上述结论,解决下列问题:(1)如图5-2-16(c)所示,一束光线m射到平面镜a上,被a反射到平面镜b上,又被b镜反射,若b反射出的光线n平行于m,且∠1=50°,则∠2= ,∠3= ;(2)在(1)中,若∠1=40°,则∠3= ,若∠1=55°,则∠3= ;(3)由(1)(2)请你猜想:当∠3= 时,任何射到平面镜a上的光线m经过平面镜a 和b的两次反射后,入射光线m与反射光线n 总是平行,请说明理由.20.已知直线 点A 在直线MN 上,点 D 在线段BC 上,AB 平分. AC平分.(1)如图5-2-17(a)所示,若 DE⊥AC 于E,求证:(2)若点 F 为线段AB上不与点A、B重合的一动点,点 H在线段AC 上,FQ 平分. 交AC 于点Q,设∠HFQ=x°,∠MAB=α,∠BDF =β,∠AFD=∠FBD+∠FDB ,点D在线段BC上(不与B、C两点重合),问当α、β、x之间满足怎样的等量关系时, (如图5-2-17(b)所示) 试写出α、β、x之间满足的某种等量关系,并以此为条件证明FH∥MN.21.如图5-2-18所示,已知射线( 点 E、F 在 CB 上,且满足 OE 平分(1)求 的度数.(2)若平行移动AB,那么 的值是否随之发生变化 若变化,找出变化规律;若不变,求出这个比值.(3)在平行移动AB的过程中,是否存在某种情况,使 若存在,求出其度数;若不存在,说明理由中考链接22.(绍兴)如图5-2-19所示,已知AB∥CD,BC平分∠ABE,∠C=34°,则∠BED的度数是( )A.17° B.34°C.56° D.68°23.(浙江丽水)如图5-2-20所示,有一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上.如果∠1=20°,那么∠2 的度数是( )A.30° B.25°C.20° D.15°巅峰突破24.如图5-2-21所示,直线a,b被直线c所截,现给出下列四个条件:①∠1=∠5;②∠1=∠7;③∠2+∠3=180°;④∠4=∠7.其中能说明a∥b的条件序号为( )A.①② B.①③C.③④ D.①②④25.如图5-2-22 所示,在△ABC中,CE⊥AB于点E,DF⊥AB于点F,AC∥ED,CE是△ACB的角平分线.求证:∠EDF=∠BDF.26.平面上有5条直线,其中任意两条都不平行,那么在这5条直线两两相交所成的角中,至少有一个角不超过36°,请说明理由.基础演练1. A【提示】垂直是特殊的相交.2. D;3. C;4. B5. (1)50°;(2)5个.【提示】由AD∥EF∥BC,且 EG∥AC 可得:∠1=∠DAH=∠FHC=∠HCG=∠EGB=∠GEH,除∠1共5个.(3)平行.6.(1)已知;∠AFD;两直线平行,同旁内角互补;∠EDF;两直线平行,同旁内角互补;同角的补角相等(2)已知;∠3;两直线平行,同位角相等;已知;等量代换;DG;内错角相等,两直线平行;∠AGD;两直线平行,同旁内角互补;已知;110°.7. ∵AD⊥BC,EG⊥BC(已知),∴∠ADC=∠EGC=90°(垂直的定义).∴AD∥EG(同位角相等,两直线平行).∴∠2=∠3(两直线平行,内错角相等),∠1=∠E(两直线平行,同位角相等).∵∠E=∠3(已知)∴∠1=∠2(等量代换).∴AD 平分∠BAC(角平分线的定义).能力提升8. D9. D【提示】设其中一个角为α,则另一个角为4α-30°,由一个角的两边分别平行于另一个角的两边,可知这两个角相等或互补.解得:α= 10°.,解得: 则另一个角为138°.10. C11. D12. 30°13. 垂直【提示】 与a 平行;a k+2,a k+3与a 垂直(k≥0,且k为正整数)14.∵AB∥CD(已知)∴∠4=∠BAF(两直线平行,同位角相等).∵∠3=∠4(已知),∴∠3=∠BAF(等量代换).∵∠1=∠2(已知)∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF(等量加等量和相等).即∠BAF=∠DAC.∴∠3=∠DAC(等量代换).∴AD∥BE(内错角相等,两直线平行).15. ∵∠ABC=∠ADC(已知),(等式的性质).又∵BF、DE 分别平分∠ABC与∠ADC,(角平分线的定义).∴∠1=∠2.∵∠1=∠3(已知),∴∠2=∠3(等量代换).∴AB∥DC(内错角相等,两直线平行).16.∵∠DBF =∠CAF(已知),∴ AC ∥BD(同位角相等,两直线平行).∴∠BDA = ∠DAC (两直线平行,内错角相等).∵∠BDA+∠ECA = 180°(已知),∴∠DAC +∠ECA = 180°(等量代换).∴CE ∥AD (同旁内角互补,两直线平行).∴∠CEF = ∠ADF (两直线平行,同位角相等).∵CE⊥FE(已知),∴∠CEF = 90°(垂直的定义).∴∠ADF = 90°.∴DA ⊥ FE.17. 结论:∠AED=∠C.∵∠1+∠2= 180°,∠1+∠EFD =180°(已知),∴∠2 =∠EFD(同角的补角相等).∴ EF ∥AB(内错角相等,两直线平行).∴∠3 =∠ADE(两直线平行,内错角相等).又∵∠3=∠B(已知),∴∠B =∠ADE(等量代换).∴DE∥BC(同位角相等,两直线平行)∴∠AED =∠C(两直线平行,同位角相等).18.∵AC∥DE(已知),∴∠1=∠5(两直线平行,内错角相等).∵DC ∥EF(已知),∴∠5=∠3(两直线平行,内错角相等).∠2=∠4(两直线平行,同位角相等).∴∠1=∠3(等量代换).∵CD平分∠ACB(已知),∴∠1=∠2(角平分线定义).∴∠3=∠4(等量代换).∴EF平分∠BED(角平分线的定义).19.(1)100°,90°.(2)90°,90°.(3)90°.理由:∵∠3=90°,∴∠4+∠5=90°,由题意知∠1=∠4,∠5=∠6,=180°.∴m∥n.20.(1)∵AB 平分∠MAD,AC 平分∠NAD(已知),(角平分线的定义).∵∠MAD +∠NAD = 180°(平角的定义),+∠NAD)= 90°.∵DE⊥AC(已知),∴∠DEC = 90°(垂直的定义).∴∠DEC =∠BAC.∴DE∥AB(同位角相等,两直线平行).∴∠1 =∠B(两直线平行,同位角相等).∵MN∥BC(已知),∴∠2 =∠B(两直线平行,内错角相等).∴∠1=∠2(等量代换).(2)等量关系是:当 时,FH∥MN.【理由】∵MN∥BC,∴∠MAB =∠ABD =α.∵∠AFD=∠ABD+∠FDB,∠FDB=β,∴∠AFD =∠ABD+∠FDB =α+β,∵FQ平分∠AFD ,∴∠AFD =2∠AFQ=2(∠AFH+∠HFQ).∵∠HFQ=x°,∴α+β=2∠AFH+2x°.∵β-α=2x°,∴α+β=2∠AFH+β-α∴∠AFH =α.∴FH∥MN.21.(1)∵CB∥OA,∴∠C+∠AOC = 180°.∵∠C= 100°,∴∠AOC=80°.又∵OE 平分∠COF,∵∠FOB =∠AOB ,(2)不变.∵CB∥OA,∴∠OBC=∠AOB,∠OFC=∠FOA.∴∠OBC:∠OFC=∠AOB:∠FOA.∵∠FOB =∠AOB,∴∠FOA=∠FOB+∠AOB=2∠AOB,∴∠OBC:∠OFC=∠AOB:∠FOA=∠AOB:2∠AOB=1:2.(3)存在.∵OE 平分∠COF,∴∠COE=∠EOF.∵∠FOB =∠AOB ,∴设∠COE=∠EOF=x°,∠FOB =∠AOB = y°.∵CB∥OA,∵AB ∥OC,∴∠OBA =∠BOC =2x°+y°.∵∠OEC =∠OBA,由①可知:∠EOB = 40°.∠EOB =∠EOF +中考链接22. D;23. B巅峰突破24. D25. ∵CE⊥AB,DF⊥AB(已知),∴∠AEC=∠AFD=90°(垂直的定义).∴DF∥CE(同位角相等,两直线平行).∴∠BDF =∠BCE(两直线平行,同位角相等).∠FDE=∠DEC(两直线平行,内错角相等).又∵AC∥ED,∴∠DEC=∠ACE(两直线平行,内错角相等).∵CE 是∠ACB的角平分线,∴∠ACE=∠ECB(角平分线的定义).∴∠EDF=∠BDF(等量代换).26.任取一点O,过O作5条直线分别与已知的5条直线平行.所得的5条直线将O点处的周角分为10个角,若 10 个角相等,则每个角都是36°,若不全相等,则其中必有一个小于或等于 即已知5条直线所成的角中至少有一个不超过36°. 展开更多...... 收起↑ 资源预览