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课 题 8.2.3 样本平均数与标准差 课 型 新授课 课 时 1
授课班级 授课时间 授课教师
教材分析 教材来源：“十四五”职业教育国家规划教材，人民教育出版社出版，高中一年级基础模块下册第八章；教材内容：随机试验与古典概型、用频率估计概率、概率的加法公式、总体、样本和抽样方法、数据的直观表示、样本平均数与标准差；地位与作用：本章内容为高中一年级基础模块下册第八章，以往学过的数学有一个显著的特点，就是确定性．但在自然界与科学实验中，许多问题具有不确定性，即在相同的条件下做试验可能会得到多种不同的结果．对于这些具有不确定性的问题，本章将进行探讨．此外，人们在工作和研究问题时，常常要通过观察和实验收集数据，然后用一些方法对数据进行整理和分析，并对分析的结果进行一定的推断．本章我们将学习随机事件及概率的意义，认识古典概型的特征及概率的简单性质，学习用频率估计概率，理解简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的特点，选择恰当的抽样方法获取数据，分析数据，理解数据所蕴含的信息，并采用统计图表描述和表达数据，使数据直观可视．我们还将结合实例，理解样本平均数、样本标准差的含义，掌握它们的计算方法，了解用样本估计总体的思想．
学情分析 14~16岁年龄段学生身心都有较大程度发展，情感更加丰富，认知发展变化迅速，逻辑思维、记忆能力逐步提高；通过样本平均数与标准差学习，理解总体均值、样本均值概念，理解总体方差、总体标准、样本方差、样本标准差概念，掌握用样本均值估计总体均值的表示方法的意义及应用场景，掌握用样本标准差估计总体标准差的表示方法的意义及应用场景；职教高考学生在初中学业水平偏弱，因此在本节课教学中需通过列举实例来引出样本平均数与标准差的常用方法教学内容，较说教而言，更具说服力、效果更好.
学习目标 1.理解总体均值、样本均值概念，理解总体方差、总体标准、样本方差、样本标准差概念2.学生运用分组探讨、合作学习，掌握用样本均值估计总体均值的表示方法的意义及应用场景，掌握用样本标准差估计总体标准差的表示方法的意义及应用场景；3.通过本节课学习，使学生养成乐于学习、勇于探索的良好品质。
学习重难点 理解总体均值、样本均值概念，理解总体方差、总体标准、样本方差、样本标准差概念；掌握用样本均值估计总体均值的表示方法的意义及应用场景；掌握用样本标准差估计总体标准差的表示方法的意义及应用场景.
教学方法 讲授法、谈话法、谈论法
课前准备 教师：认真备课，设计教学方法，创设问题情境，做好授课过程中出现的突发状况预案；学生：认真预习教材，标记预习中不清楚、模糊的知识点，准备笔记本；
教学媒体 教学课件PPT、多媒体展板
教学过程
第一课时
教学环节 教师活动设计 学生活动设计 设计意图
活动一：创设情境 生成问题 问题情境以下是某学校高一年级98位学生的身高（单位：cm):有了这组数据，怎样描述学生的身高情况？ 根据问题思考，并尝试利用初中所学知识解答 通过创设问题情境，使学生回忆初中所学知识，并引出本节课所讲内容。
活动二： 调动思维探究新知 我们可以用图表直观表示这组数据，例如作出扇形图、频数统计表和频率分布直方图，通过图表反映这组数据的一些特征，从而描述学生的身高情况.
此外，我们在初中学均数，平均数描述了数据的平均水平，定量地反映了数据的集中趋势所处的水平．可以通过求平均数来描述这组数据，从而了解高一年级这98位学生的平均身高．一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为X1,X2,..., XN ,则称为总体均值，又称总体平均数．
如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为x1,x2,...,xn，则称为样本均值，又称样本平均数．
一般情况下，如果样本容量恰当，抽样方法又合理的话，样本平均数与总体平均数相差不会太大．
例如，上述数据中，如果用简单随机抽样抽得的样本为169,169,163,175,163,170,164,151,155,165,容易算出，样本平均数为总体平均数为可以发现样本平均数与总体平均数相差不大．
这就说明，在容许一定误差存在的前提下，可以用样本平均数去估计总体平均数，这样就能节省人力和物力．另外，有时候总体平均数不可能获得，比如质检部门想知道市场上节能灯的平均使用寿命，不可能把所有节能灯都拿来检测，此时只能用样本平均数去估计总体平均数．
一般来说，在估计总体平均数时，只需直接算出样本平均数即可．
同样地，再随机抽取10位学生的身高，计算所得的样本平均数一般会与上述样本平均数不同，这说明样本平均数具有随机性，样本平均数只是总体平均数的近似值． 分组讨论，尝试概括问题情境中问题，理解总体均值、样本均值概念，掌握用样本均值估计总体均值的表示方法的意义及应用场景 通过分组讨论方法，解答问题情境问题，使学生通过理解总体均值、样本均值概念，掌握用样本均值估计总体均值的表示方法的意义及应用场景，有利于提高学生动手动脑能力，使学习效率更高效
活动三：巩固练习素质提升 例1 在为了解某商店2020年的日平均销售额（单位：元），随机选取了2020年中50天的日销售额数据：试计算这50天的日平均销售额，并估计该商店在2020年的日平均销售额． 解 这50天的日平均销售额为由此可以估计该商店在2020年的日平均销售额为3185.3元． 分组讨论，限时完成，学生上台黑板作答，并进行讲解 鼓励学生勇于展示自己，提高学生对知识的准确认识，调动学生的课堂气氛与学习的积极性，培养学生对数学的热爱，巩固学生对本节课知识的掌握，纠正学习过程中的偏差
活动四： 调动思维探究新知 问题情境
有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4
乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
如果你是教练，你如何对两位运动员的射击情况作出评价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何做出选择？通过简单的计算，可以发现甲、乙两名运动员射击成绩的平均数都是7.从这个角度看，两名运动员之间没有差别，但从图8-15中看，甲的成绩比较分散，乙的成绩相对集中，即甲的成绩波动幅度比较大，而乙的成绩比较稳定．可见，他们的射击成绩是存在差异的．那么，如何度量成绩的这种差异呢？一种简单的度量数据离散程度的方法就是用极差．根据甲、乙运动员的10次射击成绩，可以得到
甲命中环数的极差=10-4=6,
乙命中环数的极差=9-5=4.
可以发现甲的成绩波动范围比乙的大．极差在一定程度上刻画了数据的离散程度，但因为极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息，对其他数据的取值情况没有涉及，所以极差所含的信息量很少．数据的离散程度还可以用方差或标准差来描述．
如果总体中所有个体的变量值分别X1,X2,...,XN，总体平均数为，则称为总体方差，为总体标准差.如果一个样本中所有个体的变量值分别为x1,x2,...,xn，样本平均数为，则称为样本方差，为样本标准差．在上述问题情境中，我们可以根据标准差来判断两名运动员成绩的离散程度，其中由s甲＞s乙可知，甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小，从这10次射击成绩来看，乙比甲的射击成绩稳定．
在实际问题中，通常情况下，总体平均数与总体标准差难以得到，就像用样本平均数估计总体平均数一样，一般我们也用样本标准差估计总体标准差．
由此，我们可以根据这10次射击成绩，估计乙比甲的射击成绩稳定．从成绩的稳定性考虑，可以选择乙参赛．
同样地，再随机抽取甲、乙的10次射击成绩，计算所得的样本标准差一般会与上述样本标准差不同，这说明样本标准差具有随机性，样本标准差只是总体标准差的近似值. 分组讨论，尝试概括问题情境中问题，理解总体方差、样本方差概念，掌握用样本方差估计总体方差的表示方法的意义及应用场景 通过分组讨论方法，解答问题情境问题，使学生通过理解总体方差、样本方差概念，掌握用样本方差估计总体方差的表示方法的意义及应用场景，有利于提高学生动手动脑能力，使学习效率更高效
活动五：巩固练习素质提升 例2 为了快速了解某班学生体重（单位： kg )的大致情况，随机抽取了10名学生称重，得到的数据整理成茎叶图如图8-16所示．估计这个班学生体重的平均数和标准差． 解 通过茎叶图可知，样本中的这组数据为这组数据为45,46,46,47,49,49,51,58,59,60.这组数据的平均数为标准差为 由此可以估计这个班学生体重的平均数为51，标准差约为5.51. 分组讨论，限时完成，学生上台黑板作答，并进行讲解 鼓励学生勇于展示自己，提高学生对知识的准确认识，调动学生的课堂气氛与学习的积极性，培养学生对数学的热爱，巩固学生对本节课知识的掌握，纠正学习过程中的偏差
活动六： 调动思维探究新知 信息技术
在GeoGebra软件中，利用表格区100件产品内径尺寸的数据，可以得到这些数据的最大值、最小值、平均数、方差及标准差，具体操作如下.
在软件下方的输入区，依次输入指令（注意：汉字以外的内容都是在换行用回车键）:由于原始数据方差较小，软件默认的精确度不足，故方差显示为0,可以按如下操作提高精确度，如图8-18所示， 从标准差的定义可知，如果样本各数据值都相等，则标准差为0，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性；若各项的值与平均数的差较大，则标准差较大，表明数据的波动幅度较大，数据的离散程度较高．因此标准差描述了数据相对平均数的离散程度，下面给出具体例子．平均数和标准差一起能反映数据取值的信息，我们再来看产品内径尺寸的例子，它的频率分布直方图呈"钟形"分布（图8-20)．样本平均数约为25.401，样本标准差约为0.057．在频率分布直方图中用虚线标出平均数所在的位置，并画出距平均数一倍标准差和两倍标准差的区域．可以看到有大约70％的产品内径尺寸落在平均数两侧一倍标准差的区域内，即区间（-s,+s)内，大约有95％的产品内径尺寸落在平均数两侧两倍标准差的区域内，即区间（-2s，＋2s）内．由此我们估计总体中也有大致比例的产品尺寸落在相应的区域内．实际生产、生活中有大量的例子符合这样的统计规律，比如同一年龄段的人群的身高、体重，同一生产线生产的产品的质量等． 阅读“信息技术”，学会运用计算机验证现实生活中数学问题的准确性阅读“拓展延伸”，学会运用数学知识解决现实生活中数学问题
活动七：课堂小结作业布置 课堂小结
作业布置完成课本中P128 —— A组1. /2. B组1. /2.
活动八：板书设计 8.2.3 样本平均数与标准差一、总体均值、样本均值 练习 小结 二、总体方差、样本方差 练习 作业 三、应用
活动九： 教学反思（留白） 教学反思包括5个方面，教学目标、教学内容、教学实施、教学评价、教学效果。所谓教学反思，是指教师对教育教学实践的再认识、再思考，并以此来总结经验教训，进一步提高教育教学水平。教学反思一直以来是教师提高个人业务水平的一种有效手段，教育上有成就的大家一直非常重视之。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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