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第五单元 认识方程
（考点聚焦+重点速记+学以致用）
知识点一：用字母表示数
1、用字母或者含有字母的式子都可以表示数量，也可以表示数量关系。
2、字母表示数的时候，字母与数字相乘，字母与字母相乘，中间的乘号可以用小圆点代替或者省略。数字一般都写在字母的前面。数字1与字母相乘时，1省略不写，字母按顺序写。
3、用字母表示有关图形的计算公式
①用C表示长方形的周长，a表示长方形的长，b表示长方形的宽，长方形周长公式:C=(a+b)×2=2(a+b)。
②用S表示长方形的面积，a表示长方形的长，b表示长方形的宽，长方形面积公式:S=a×b=ab。
③用C表示正方形的周长，a表示正方形的边长，正方形周长公式:C=4×a=4a。
④用S表示正方形的面积，a表示正方形的边长，正方形面积公式:S=a×a=a2。
4、用含有字母的式子表示运算律
①加法交换律:a+b=b+a。
②加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。
③乘法交换律:a×b=b×a。
④乘法结合律:(a×b)×c=a×(b×c)。
⑤乘法分配律:(a±b)×c=a×c±b×c。
⑥减法的性质:a-b-c=a-(b+c)。
⑦除法的性质:a÷b÷c=a÷(b×c)
知识点二：等量关系
1、数学术语中的等量关系
一般和差关系或倍数关系，常用“一共有”“比……多”“比……少”“是……的几倍”等术语表示。在解题时可抓住这些术语去找等量关系。
2、常见的数量关系中的等量关系
①速度×时间=路程
②单价×数量=总价
③工作效率×工作时间=工作总量
④增长后的量=原量×(1+增长率)
3、常用的计算公式中的等量关系:
①正方形周长=边长×4
②正方形面积=边长×边长
③长方形周长=(长+宽)×2
④长方形面积=长×宽
知识点三：方程
1、方程的含义:含有未知数的等式叫方程。
2、方程必须具备的条件:①必须是等式;②必须含有未知数。
3、看图列方程:
看图列方程的关键是看懂图意，从中找出等量关系，然后再根据等量关系列出方程。
4、方程与等式的联系:方程是等式，但等式却不都是方程。
知识点四：解方程（一）
1、列出的方程要满足的条件
①未知数写在等号的左边;
②方程无单位;
③等号左右两边是相等的量;
④未知数不能单独放在等号的一边。
2、等式的性质(一)
等式两边都加上(或减去)同一个数，等式仍然成立。
3、方程的解
使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
4、解方程
求方程的解的过程叫做解方程。
5、解方程步骤
(1)先写“解”;
(2)等号对齐;
(3)运用等式性质或者加减乘除各部分间的关系(“直接想”)解方程;
(4)代入检验。
知识点五：解方程（二）
1、等式的性质(二)
等式两边都乘(或除以同一个数0除外)，等式仍然成立。
2.解形如ax=c的方程
如　5x=25
解:5x÷5=25÷5
x=5
知识点六：列方程解决问题
1、用方程解决实际问题时，先要用字母表示未知数，然后根据题目中数量之间的等量关系列出一个含有未知数的等式，也就是方程，再解出来，最后检验,写出答语。
考点1 用字母表示数
1．1张桌子和4把椅子为一套桌椅，1张桌子的价格为a元，1把椅子的价格为b元，求买10套桌椅应付多少元，正确的列式是（ ）。
A．10a＋10b B．10a＋b C．10a＋40b
2．比x的7倍少4.5的数是（ ）。
A． B． C．
3．像下图这样用小棒摆六边形。摆第n个图形时需要用( )根小棒。
4．贝贝和乐乐看同一本书，都看了7天，贝贝每天看页，乐乐每天看页，表示( )，表示( )。
5．一种故事书的单价是a元，李老师买了5本这样的故事书，用去( )元。付出100元，应找回( )元。
6．在图形里任意选几个，拼成一个长方形，并按要求做题。
（1）我选择（ ）拼成一个长方形。（填序号）
（2）画出所拼的这个长方形的示意图。（标上所选择的长方形的序号）
（3）所拼的这个长方形两条邻边的长分别是（ ）和（ ），周长是（ ），面积是（ ）。（用含字母的式子表示）
考点2 等量关系
1．乐乐植树28棵，比花花植树棵数的2倍少4棵。下列等量关系正确的是（ ）。
A．花花植树棵数×2＋4棵＝28棵
B．花花植树棵数×2－4棵＝28棵
C．28棵÷2－4棵＝花花植树棵数
2．投篮比赛。
结合上面情境，同学们找出了以下等量关系：
①淘气的得分÷2＝妙想的得分
②妙想的得分＋4分＝笑笑的得分
③淘气的得分÷2＝笑笑的得分－4分
以上等量关系，正确的（ ）。
A．只有① B．只有①② C．只有②③ D．有①②③
3．一辆公共汽车到站时，有5人下车，8人上车，车上现有15人，车上原有x人，等量关系式为( )。
4．
2个西瓜的质量＝( )个梨的质量
5．根据下面图意，写出等量关系( )。
6．课内四基达标（找出下面数量间的相等关系）
（1）某班男生人数比女生人数多7人．
（2）篮球的个数是足球个数的4倍．
（3）梨树比苹果树的3倍多15棵．
（4）买3支钢笔比买5支圆珠笔多花1.5元．
（5）两根同样长的铁丝，一根围成正方形，一根围成圆．
考点3 方程
1．下列式子中，共有（ ）个是方程。
①6x＝2；②a＋3c＝b；③1＋9＝10；④3m－7＜10；⑤10m－7＝3m
A．2 B．3 C．4 D．5
2．心里想一个数乘3，再减去20，等于80，根据等量关系列方程是（ ）。
A．3x－20＝80 B．x－20＝8 C．x÷3－20＝80 D．3x－80＝20
3．看图列方程。
两个热水瓶的盛水量＋200毫升＝2000毫升，用z表示每个热水瓶的盛水量，列方程为( )。
4．妈妈共买了28个苹果，平均放在5个盘子里还剩3个，平均每盘有几个苹果？设平均每盘有x个苹果，列方程是( )。
5．根据图意只列方程不计算。
6．吴老师有一个工作盘，存储信息如图。
吴老师的盘已经用了多大的存储空间？请你用列方程的法给同桌讲一讲解题思路。
（1）设（ ）为。
（2）找到等量关系：（ ） （ ）＝（ ）
（3）列方程：（ ）
考点4 列方程解决问题（含性质一和二）
1．解方程时，等式两边要同时（ ）。
A．除以40 B．加上40 C．减去40
2．樱桃园里大丰收，已经运走了60箱，剩下的箱数是运走的3倍。如果设一共有x箱樱桃，那么，正确的方程式是（ ）。
A．x＋60＝3×60 B．x－60＝60×3 C．x÷3＝60 D．3x＝60
3．解方程：8.1x＋2.9x＝27.5，x＝（ ）。
A．x＝7.5 B．x＝4.8 C．x＝2.5 D．x＝5.2
4．为创建全国文明城市，学校开展“我是文明使者，争当最美少年”实践活动。四、五年级学生共有240人报名参加文明交通志愿者行动，其中五年级报名人数是四年级的2倍，五年级有（ ）人报名参加文明交通志愿者行动。
A．80 B．200 C．100 D．160
5．洗衣机厂去年每日生产260台洗衣机，受疫情影响今年产量不佳，去年的平均日产量比今年的2.5倍少40台，今年平均日产洗衣机（ ）台。
A．120 B．88 C．104 D．690
6．用方程表示下列等量关系。
(1)x加20的和是50。方程：( )。
(2)妈妈买了两条单价为x元的裤子，付出100元，找回20元。方程：( )。
(3)一袋苹果50千克，每a千克装一箱，装了3箱，还剩5千克。方程：( )。
7．根据等式的性质在圆圈里填运算符号，在括号里填数：如果x＋3＝9，那么x＋3－3＝9○（ ）。
8．一个长方形长是x厘米，宽是2厘米，面积是8平方厘米，求长。列方程为( )，x＝( )。
9．上海东方明珠广播电视塔高468m，大约是青岛电视塔高度的2倍。青岛电视塔高约多少米？解：设青岛电视塔高约x米，可列方程为( )。
10．四川省凉山州坚持多元化、差异化发展，突出地方特色，宜种则种、宜养则养。三河村依靠种植云木香和冬桃增加了村民的年收入。
（1）要想求出三河村种植的云木香和冬桃各多少亩，你选择的信息是（ ）和（ ）。（填序号）
（2）根据你选择的信息列方程解答。
11．甲、乙、丙三位小朋友共有85本书。如果把甲的书的本数加2，乙的书的本数减2，丙的书的本数乘2后，三人书的本数相等。甲、乙、丙原来各有多少本书？
16．老师买来一些铅笔奖给三好学生，如果其中二人每人分4支，其余每人分2支，则多出4支；如果其中一人分6支，其余每人分4支，则又缺12支。老师买来多少支铅笔？班上一共有多少名三好学生？
参考答案
考点一
1．A
【解析】
【分析】
1套桌椅包括1张桌子和1把椅子；10套桌椅包括10张桌子和10把椅子；用10乘a的积加上10乘b的积即可解答。
【解答】
根据分析可知：正确的列式是10a＋10b。
故答案为：A
【分析】
本题考查了用字母表示数，当字母和数字相乘时，省略乘号，数字写在前面，字母写在后面。
2．A
【解析】
【分析】
先求出x的7倍是多少，再用其减去4.5即可。
【解答】
由分析可得：比x的7倍少4.5的数是7x－4.5。
故答案为：A
【分析】
本题主要考查用字母表示数及含有字母式子的化简。
3．5n＋1
【分析】由图可知，第一个图形需要6根小棒，第二个图形需要（6＋5）根小棒，第三个图形需要（6＋5＋5）根小棒。每增加一个六边形就需要5根小棒，六边形的个数与小棒的关系为：6＋5（n－1）＝5n＋1，由此解答即可。
【解答】六边形的个数与小棒的关系为：6＋5（n－1）＝5n＋1。
摆第n个图形时需要用（5n＋1）根小棒。
4．贝贝7天看了多少页 贝贝和乐乐每天共看多少页
【分析】贝贝看了7天，每天看a页，则一共看了（7×a）页，贝贝每天看a页，乐乐每天看b 页，，页页和乐乐每天共看（a＋b）页。
【解答】贝贝和乐乐看同一本书，都看了7天，贝贝每天看a页，乐乐每天看b页，7a表示（贝贝7天看了多少页），a＋b表示（贝贝和乐乐每天共看多少页）
【分析】此题主要考查的知识点是用含有字母的式子表示数。
5．5a 100－5a
【解析】
【分析】
根据单价×数量＝总价，代入数据表示出总价，用100元－总价＝找回的钱数；据此解答。
【解答】
由分析可得：一种故事书的单价是a元，李老师买了5本这样的故事书，用去5a元。付出100元，应找回100－5a元。
【分析】
本题主要考查用字母表示数。
6．（1）①和②
（2）见详解
（3）m；n＋a；2m＋2n＋2a；mn＋ma
【分析】本题有多种组合的方法，我们就选①和②图形进行组合，把②放在①的上面，这样就组成了长方形，依据长方形的周长及面积公式，分别计算出图形的周长和面积。长方形的周长＝（长＋宽）×2，长方形的面积＝长×宽。
【解答】（1）我选择①和②拼成一个长方形。
（2）拼图如下：
（3）（m＋n＋a）×2＝2m＋2n＋2a
m（n＋a）＝mn＋ma
所拼的这个长方形两条邻边的长分别是m和n＋a，周长是2m＋2n＋2a，面积是mn＋ma。
【分析】本题考查了学生的动手操作能力，同时考查了长方形的面积公式、周长公式的灵活应用。
考点二
1．B
【分析】根据题意可知，花花植树棵数乘2，再减4等于乐乐植树棵数；
或者乐乐植树棵数＋4，再除以2，即等于花花植树棵数；据此即可解答。
【解答】A．根据分析可知，花花植树棵数×2－4棵＝28棵，原等量关系错误。
B．根据分析可知，花花植树棵数×2－4棵＝28棵，原等量关系正确。
C．根据分析可知，（28棵＋4棵）÷2＝花花植树棵数，原等量关系错误。
故答案为：B
【分析】分析清楚数量之间的关系是解答本题的关键。
2．D
【分析】淘气的得分是妙想的2倍，则用淘气的得分除以2，即可求出妙想的得分是22÷2＝11分。笑笑的得分比妙想多4分，则用妙想的得分加上4分，可以求出笑笑的得分为11＋4＝15分，据此解答。
【解答】22÷2＝11（分）
11＋4＝15（分）
①淘气的得分÷2＝妙想的得分，等量关系正确；
②妙想的得分＋4分＝笑笑的得分，等量关系正确；
③淘气的得分÷2＝笑笑的得分－4分＝妙想的得分，等量关系正确；
等量关系正确的有①②③
故答案为：D
【分析】本题关键是根据题目中给出的量与量之间的关系，列出等量关系式。
3．x－5＋8＝15
【解析】
【分析】
根据题意，车上原有的人数减去下车的人数再加上上车的人数等于车上现有的人数，即可解答。
【解答】
根据分析可得：等量关系式为x－5＋8＝15
【分析】
解答此题的关键：先分析各部分之间的关系，再列出方程。
4．12
【解析】
【分析】
1个西瓜的重量等于4个苹果的重量；3个梨的重量等于2个苹果的重量，根据等量代换问题的解答方法计算即可。
【解答】
2个西瓜的重量＝8个苹果的重量，8个苹果可分成4组2个苹果，1组苹果的重量等于3个梨子的重量，即4组苹果的重量等于4×3＝12个梨子的重量。
【分析】
熟练掌握等量代换问题的计算是解答此题的关键。
5．1张桌子的钱数＋5把椅子的钱数＝230元
【分析】根据图意可知：1把桌子和5把椅子一共230元，1把桌子需要80元，椅子的单价和总价都是未知的，据此写出等量关系式。
【解答】等量关系：1张桌子的钱数＋5把椅子的钱数＝230元。
【分析】此题关键是根据题意找出基本数量关系。
6．（1）男生人数=女生人数+7；
（2）篮球的个数=足球个数×4；
（3）梨树棵数=苹果数的棵数×3+15；
（4）钢笔价格×3=圆珠笔的价格×5+1.5；
（5）正方形的周长=圆的周长．
【解析】
【解答】
（1）根据题意，女生人数加上7等于男生人数，由此列出等式；
（2）根据题意，足球个数乘上4等于篮球的个数，由此列出等式；
（3）根据题意，苹果树的棵数乘3，再加上15棵，等于梨树的棵数；
（4）5支圆珠笔的价格加上1.5元等于3支钢笔的价格，据此解答；
（5）因为两根同样长的铁丝围成正方形和圆形，因此它们的周长相等，据此解答．
考点三
1．B
【解析】
【分析】
含有未知数的等式叫方程，看下面每个式子只要满足两个条件：1、有未知数，2、必须是等式，即为方程。
【解答】
①有未知数，且是等式，是方程；
②有未知数，且是等式，是方程；
③没有未知数，是等式，但不是方程；
④有未知数，但不是等式，不是方程；
⑤有未知数，且是等式，是方程；
故答案为：B
【分析】
看一个式子是不是方程，把握两点：有未知数，是等式两个同时满足才是方程。
2．A
【解析】
【分析】
根据题意可设心里想的这个数为X，然后再用这个数乘3后再减去20，结果等于80，依此选择即可。
【解答】
根据分析可知，心里想一个数乘3，再减去20，等于80，根据等量关系列方程是3x－20＝80；
故答案为：A
【分析】
此题考查的是根据已知条件列简易方程，应熟练掌握。
3．2z＋200＝2000
【分析】把等量关系式“两个热水瓶的盛水量＋200毫升＝2000毫升”中的“两个热水瓶的盛水量”用2z进行替换即可。
【解答】两个热水瓶的盛水量＋200毫升＝2000毫升，用z表示每个热水瓶的盛水量，列方程为：2z＋200＝2000。
【分析】本题主要考查学生对方程的认识。
4．5x＋3＝28
【分析】由题意可知：盘子里苹果的数量＋剩余的苹果数量＝28个，设平均每盘有x个苹果，则5个盘子有5x个苹果，依据这个等量关系式，即可进行解答。
【解答】根据分析列出方程为：5x＋3＝28。
【分析】解答此类题目的关键是：分析题意，弄清楚数量间的关系，得出等量关系式，列方程解答即可。
5．x＋2x＋4＝85
【解析】
【分析】
根据上图可知，儿童票x元，成人票比儿童票的2倍还多4元，儿童票和成人票共85元，等量关系为：儿童票＋成人票＝85元，据此即可列方程。
【解答】
列方程为：x＋2x＋4＝85
【分析】
本题主要考查学生找等量关系和列方程知识的掌握。
6．（1）已经用去的存储空间
（2）已经用去的空间＋可用的空间＝一共的存储空间
（3）
考点四
1．C
【分析】方程x＋40＝120，方程左边是x＋40，只需要减去40，方程左边就是x。同时方程的右边也要减去40，据此解答。
【解答】x＋40＝120，等式两边要同时减去40。
故答案为：C
2．B
【分析】设一共有x箱樱桃，根据等量关系：一共有樱桃的箱数－运走的箱数＝剩下的箱数，列方程即可。
【解答】x－60＝60×3
x－60＝180
x－60＋60＝180＋60
x＝240
故答案为：B
【分析】本题主要考查了列方程解应用题，关键是找等量关系。
3．C
【分析】先化简方程的左边，把原方程化为11x＝27.5，再根据等式的性质，在方程两边同时除以11即可。
【解答】8.1x＋2.9x＝27.5
解：11x＝27.5
11x÷11＝27.5÷11
x＝2.5
故答案为：C
【分析】本题考查解方程，熟练运用等式的性质是解题的关键。
4．D
【分析】将四年级报名的人数设为x人，那么五年级有2x人报名。根据“四年级报名人数＋五年级报名人数＝240人”这一等量关系，列方程解方程即可。
【解答】解：设四年级有x人报名。
x＋2x＝240
3x＝240
x＝240÷3
x＝80
80×2＝160（人）
所以，五年级有160人报名参加文明交通志愿者行动。
故答案为：D
【分析】本题考查了简易方程的应用，根据题意找出数量关系是解题的关键。
5．A
【分析】根据题目可知，可以设今年的平均日产量为x台，由于去年的平均日产量比今年的2.5倍少40台，即今年的日产量×2.5－40＝去年的日产量，据此即可列出方程，再根据等式的性质解方程即可。
【解答】解：设今年平均日产洗衣机x台。
2.5x－40＝260
2.5x＝260＋40
2.5x＝300
x＝300÷2.5
x＝120
所以今年平均日产洗衣机120台。
故答案为：A
【分析】本题主要考查方程的应用，找准等量关系是解题的关键。
6．(1)x＋20＝50
(2)2x＋20＝100
(3)3a＋5＝50
【分析】（1）一个加数是x，另一个计算是20，和是50，据此列出方程。
（2）花去的钱数＋找回的钱数＝付出的钱数，根据此等量关系式列出方程。
（3）已经装箱苹果质量＋剩下苹果质量＝一袋苹果质量，根据此等量关系式列出方程。
【解答】（1）x加20的和是50。方程：（x＋20＝50）。
（2）妈妈买了两条单价为x元的裤子，付出100元，找回20元。方程：（2x＋20＝100）。
（3）一袋苹果50千克，每a千克装一箱，装了3箱，还剩5千克。方程：（3a＋5＝50）。
【分析】找出题中等量关系式，再根据等量关系式列方程是解题关键。
7．－；3
【分析】根据等式的性质1，等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式，进行填空。
【解答】如果x＋3＝9，那么x＋3－3＝9－3
8．2x＝8 4
【分析】根据长方形面积公式：长×宽＝面积。据此列方程：2x＝8，根据等式的性质2，方程两边同时除以2即可。
【解答】2x＝8
解：2x÷2＝8÷2
x＝4
一个长方形长是x厘米，宽是2厘米，面积是8平方厘米，求长。列方程为2x＝8，x＝4。
9．2x＝468
【分析】青岛电视塔高乘2是东方明珠广播电视塔的高度，青岛电视塔高约x米，可据此进行解答。
【解答】2x＝468
【分析】本题主要考查对方程的认识，掌握方程和等式之间的关系是解答本题的关键。
10．（1）A；B
（2）云木香1000亩；冬桃370亩
【分析】（1）根据A、B、C提供的信息，选择可以求出云木香和冬桃面积的两条信息即可。
（2）根据信息B“云木香的面积比冬桃的2倍多260亩”，设种植冬桃的面积为亩，则种植云木香的面积为（2＋260）亩；
根据信息A“种植云木香的面积比冬桃多630亩”可得等量关系：云木香的面积－冬桃的面积＝云木香比冬桃多的面积，据此列出方程，并求解。
【解答】（1）要想求出三河村种植的云木香和冬桃各多少亩，我选择的信息是A和B。
（答案不唯一）
（2）解：设种植冬桃的面积为亩。
2＋260－＝630
＋260＝630
＋260－260＝630－260
＝370
云木香：370＋630＝1000（亩）
答：种植云木香1000亩，冬桃370亩。
【分析】本题考查列方程解决问题，从题目中找到等量关系，按等量关系列出方程。
11．甲32本；乙36本；丙17本
【分析】根据甲的书的本数加2，乙的书的本数减2，丙的书的本数乘2后，三人书的本数相等可知：甲＋2＝乙－2＝2丙；设丙的本数为x，所以甲的本数为：（2x－2）本；乙的本数为：（2x＋2）本，再根据甲、乙、丙三位小朋友共有85本书可知甲＋乙＋丙＝85，即可解方程求得x，然后再求得甲乙即可。
【解答】解：设丙的本数为x。
甲：（2x－2）本；乙：（2x＋2）本
（2x－2）＋ （2x＋2）＋x＝85
2x－2＋2x＋2＋x＝85
5x＝85
5x÷5＝85÷5
x＝17
甲：2×17－2
＝34－2
＝32（本）
乙：2×17＋2
＝34＋2
＝36（本）
答：甲有32本，乙有36本，丙有17本。
【分析】明确甲、乙的书本数和丙的本数的关系是解决本题的关键。
12．26支；9名
【分析】两种发放方式的铅笔的数量相等，所以（三好学生人数－2）×2＋4×2＋4＝（三好学生人数－1）×4＋6－12，设三好学生有x名，根据等量关系式列出方程，求出三好学生人数，再求铅笔的支数，据此即可解答。
【解答】解：设三好学生有x名。
（x－2）×2＋4×2＋4＝（x－1）×4＋6－12
2x－4＋12＝4x－4－6
2x＋8＝4x－10
2x＋8＋10＝4x－10＋10
2x＋18＝4x
4x－2x＝18
2x＝18
x＝9
（9－2）×2＋4×2＋4
＝7×2＋8＋4
＝14＋12
＝26（支）
答：老师买来26支铅笔，班上一共有9名三好学生。
【分析】根据题意找出等量关系是解答本题的关键。

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