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第五单元 数学广角—鸽巢问题
（考点聚焦+重点速记+学以致用）
知识点一：鸽巢问题
1、把n+1(n是大于0的自然数)个物体放进n个“鸽笼”中，总有一个“鸽笼”至少放进了2个物体。
2、把多于kn(k、n都是大于0的自然数)个物体放进n个“鸽笼”中，总有一个“鸽笼”至少放进(k+1)个物体。
3、如果有n(n是大于0的自然数)个“鸽笼”，要保证有一个“鸽笼”至少放进了2个物品，那么至少需要有n+1个物品。
4、如果有n(n是大于0的自然数)个“鸽笼”，要保证有一个“鸽笼”至少放进了(k+1)(k是大于0的自然数)个物品，那么至少需要有(kn+1)个物品。
5、(分放的物体总数-1)÷(其中一个鸽笼里至少有的物体个数-1)=a……b(b6、利用“鸽巢问题”解决问题的思路和方法:①构造“鸽巢”，建立“数学模型”;②把物体放入“鸽巢”，进行比较分析;③说明理由，得出结论。
考点1 鸽巢问题
一、选择题
1．40名学生中，年龄最大的13岁，最小的11岁，那么至少有(　　)名学生是同年同月出生的。
A．2 B．3 C．4 D．5
2．把5支钢笔分给2名同学，至少有1名同学至少分得（ ）支钢笔．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．一个布袋里有黑、白、灰三种颜色的袜子各10只，最少要摸（　　）只才能保证其中至少有2只颜色不相同的袜子。
A．13 B．14 C．11
二、填空题
4．填一填。
将5个苹果放进3个盘子里。（下面数字5代表5个苹果，括号代表盘子，在括号里填上合适的数。
无论怎么放，总有一个盘子至少放进（ ）个苹果。
5．将9根小棒放入2个杯子中，总有一个杯子里至少放入（　　）根小棒。
6．六年级转来了10名学生,要分到3个班,至少有（　　）人要分进同一个班。
7．盒子里有同样大小的红球、黄球各3个，要想摸出的球一定有2个是同色的，最少要摸出（　　）个球。
8．在2个盒子里放入11块橡皮，总有一个盒子里至少放进（　　）块橡皮。
三、解答题
9．六年级一班同学年龄都相同，并且至少有两个同学出生在同一周内，这个班至少有多少名同学？
10．从1~10这10个数中，任意选6个数，其中一定有两个数的和是11，你能说说其中的道理吗？
11．小明参加飞镖比赛，投了5镖，成绩是36环，小明至少有一镖不低于8环，对吗？为什么？
12．52名同学答2道题，规定答对一道得3分，不答得1分，答错得0分，至少有几名同学的成绩相同？
13．某次数学竞赛有9名学生参加，总分是825分，则至少有一名学生不低于多少分？
14．六（1）班45名同学分成6个组玩“老鹰捉小鸡”游戏，总有一个组至少有多少人？
15．6只鸽子飞回5个鸽舍，至少有几只鸽子要飞进同一个鸽舍？
16．某校六（1）班共有58名同学，能否有2人或2人以上在同一星期内过生日？
17．三个小朋友同行，其中必有两个小朋友的性别相同。
18．一个纸袋中有红、黄、蓝3种颜色的纸各若干张．每个同学可以从纸袋中任意抽取1张或2张,那么至少要几个同学抽过之后,才能保证至少有2人抽到的彩纸颜色相同
19．在今年入学的一年级新生中有 370多人是在同一年出生的。试说明：他们中至少有2个人是在同一天出生的。
参考答案
1．A
2．C
3．C
【分析】
极端思想：用最不利的摸法先摸出同种颜色的袜子，再摸出1只颜色的袜子，都能保证一定有2只袜子是不同色的。
【解答】
考虑最差情况：摸出10只袜子，都是同一种颜色，那么再任意摸出1只袜子，一定可以保证有2只袜子的颜色不相同，即：
10＋1＝11（只）
答：最少要摸11只才能保证其中至少有2只颜色不相同的袜子。
故答案为：C
【分析】
考查了学生分析问题的能力，利用极端思想是解决此题的好方法。
4．1、1、3；1、2、2；1、0、4；2、0、3；5、0、0；2
5．5
【分析】
把9根小棒放入2个杯子里 ，如果每个杯子里平均放4个小棒，那么还剩下1根小棒，剩下的1根小棒无论放在哪个杯子里，总会有一个杯子里放5根小棒。
【解答】
9÷2=4……1
4+1=5（根）
故答案为：5
6．4
7．4
8．6
【分析】
物体个数是11，鸽巢个数是2，根据物体个数÷鸽巢个数＝商……余数；至少个数＝商＋1解答。
【解答】
11÷2＝5（块）……1（块）
5＋1＝6（块）
所以总有一个盒子里至少放进 6块橡皮。
故答案为：6
【分析】
鸽巢原理是一个重要而又基本的组合原理，在解决数学问题时有非常重要的作用。
9．54
【解析】
【分析】一年有365天，最多有366天，每周有7天，用366÷7=52（周）..2（天），把53个周看作53个抽屉，至少有两个同学出生在同一周内，这个班至少有53+1=54人；由此解答即可．
解：用366÷7=52（周）..2（天），把53个周看作53个抽屉，至少有两个同学出生在同一周内，
这个班至少有：53+1=54（人）；
答：这个班至少有54名同学．
【分析】本题考查了抽屉原理：把m个元素任意放入n（n≤m）个集合，则一定有一个集合至少要有k个元素．其中 k=m÷n（当n能整除m时）或k=m÷n+1 （当n不能整除m时）．
10．见详解
【分析】
由题意可知，从1~10这10个数中，任意选6个数，根据鸽巢原理将1~10分成5组（1，10），（2，9），（3，8），（4，7），（5，6），将这5组数看成是5个抽屉，从每个抽屉中抽出一个数，得到的这5个数；它们中的任意两个数之和不等于11，而第6个数必定是这5个抽屉中另一个数，它能和其在同一个抽屉里的数之和等于11；据此解答。
【解答】
将1~10分成5组（1，10），（2，9），（3，8），（4，7），（5，6），因为从这5组数中每一组任选一个数得到5个数，这5个数它们中的两个数之和不等于11，而第6个数必定是这5组数中的一组的另一个数，能够和它同一组的数的和等于11，所以1~10这10个数中任选6个数，其中一定有两个数的和是11。
【分析】
本题主要考查了鸽巢原理的应用，关键是认真分析题意，建立正确的抽屉，运用鸽巢原理进行解答。
11．对，见解析
【分析】
采用假设法思考，如果4次都是7环，那么第五次一定是8环，如果有一次低于7环，那么第五次一定会大于8环，也就是至少有一镖大于或等于8环
【解答】
这句话是对的.36÷5=7……1，投5镖的平均成绩是7环，还余1环，所以至少有一镖应为8环，题中的“不低于”是等于或大于的意思，所以这句话是对的.
12．9(名)
【解析】
【解答】
得分情况有0分、1分、2分、3分、4分和6分共6种。
52÷6＝8……4　8＋1＝9(名)
答：至少有9名同学的成绩相同。
13．92分
【分析】
此题属于简单的抽屉问题，把9名学生看作9个“抽屉”，825看作“物体个数”，
825÷9＝91分……6分，则至少有一名学生不低于91＋1＝92分。
【解答】
825÷9＝91（分）……6（分）
91＋1＝92（分）
答：则至少有一名学生不低于92分。
【分析】
此题考查简单的抽屉问题，解答方法为：至少数＝商＋1（有余数的情况下）。
14．8人
【分析】
因为是每组至少有几人，所以考虑最差的情况，把45个人平均分6组，那么还剩3人需要分配，分给3个组，所以总有一个组最少要有8人。
【解答】
45÷6＝7（人）……3（人）
7＋1＝8（人）
所以总有一个组至少有8人。
【分析】
本题的关键是根据抽屉原理，在考虑最差情况的基础上得出平均数，然后根据至少数＝平均数＋1（在有余数的情况下）。
15．2只
16．366÷7≈53（周）
58÷53=1……5人
1＋1=2（人）
答：58名同学，可以有2人或2人以上在同一个星期过生日。
【解析】一年最多有366天，一周有7天，366÷7≈53周，可以把每周看作一个抽屉，一共有53个抽屉，58名同学看作58个物体，58÷53=1……5，即每周有一个过生日的，还余5个同学，因此至少有1＋1=2个人在同一个星期过生日。
17．32=1……1
1+1=2（个）
18．10个同学．
19．因为一年最多有366天，看做366个抽屉
因为370>366,所以根据抽屉原理至少有2个人是在同一天出生的。

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