资源简介

2024年杭州中考模拟考试二次函数综合题合集
前言：
二次函数专题复习，主要题型
题型1:函数的对称轴、数形结合
题型2:函数的新定义题型
题型3:函数恒成立问题
题型4:函数比较大小，增减性问题。用一个字母表示其它，把未知数个数减少
题型5:比较大小，比较到对称轴距离的远近
题型6:交点式，顶点式，一般式，展开项系数相等
题型7:函数过定点、顶点在某曲线上，推理题
知识点1：比较大小问题
方法1：比较到对称轴距离的远近
①二次函数开口向上，到对称轴距离越远（越大），函数值越大；
②二次函数开口向下，到对称轴距离越远（越大），函数值越小。
方法2：作差法
方法3：利用对称性，化至对称轴同侧。
知识点2：函数过定点问题，顶点在某条直线或者曲线上。函数的交点问题
①过定点问题，函数与谁无关，可把谁提出来，令其系数等于0。
②顶点在某条直线上或曲线上，先把函数化成顶点坐标，消参法。
③函数的交点问题，看清楚函数描述的是函数，还是二次函数。若描述的为函数，考虑一次函数的情况。看清题目描述的是与x轴的交点，还是描述的与坐标轴的交点。
知识点3：a，b,c和0的大小关系，函数开口大小问题。数形结合。
①|a|越大，函数开口越窄，|a|越小，开口越宽。|a|相同，函数的形状相同。
②a,b左同右异；c看与y轴的交点，c>0,交于y轴正半轴;c<0,交于y轴负半轴。
函数过哪个点，把点坐标代入，找出a,b,c之间的关系，尽量把未知数个数减少。
③方程解的问题或不等式解集问题，转化为函数的交点问题。
知识点4：函数的最值问题，单调性问题。【涉及到单调性，考虑对称轴】
①取值范围不限制，开口向上有最小值，开口向下有最大值。
②含参数的最值问题。
i：开口方向确定，取值范围确定，对称轴不确定。
ii：对称轴确定，取值范围确定，开口方向不确定。
iii：开口方向确定，对称轴确定，取值范围不确定【取值范围含参数】。
知识点5：函数的变换问题
①平移变换，左加右减，上加下减。
②对称变换。
③旋转变换。
试题：
一．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
1．已知：一次函数与反比例函数．
（1）若一次函数的图象经过点，
①求函数、的表达式，并求出两个函数图象的交点坐标；
②当，写出的取值范围．
试证明：当取任何不为0的值时，两个函数的图象总有交点．
二．二次函数图象与系数的关系（共2小题）
2．在直角坐标系中，设函数，是常数，．
（1）若，当时，，求的函数表达式．
（2）写出一组，的值，使函数的图象与轴只有一个公共点，并求此函数的顶点坐标．
（3）已知函数的图象与直线都经过，求证：．
3．已知二次函数，且与轴交于不同点、．
（1）若二次函数图象经过点，
①求二次函数的表达式和顶点坐标；
②将抛物线在之间的那部分函数图象沿直线翻折，将抛物线翻折前后的这两部分合记为图象，若直线过点，且与图象恰有两个交点，求的取值范围；
若，当时，求实数的取值范围．
三．待定系数法求二次函数解析式（共5小题）
4．二次函数，为常数，的图象经过点，
（1）求该二次函数图象的对称轴（结果用含的代数式表示）．
（2）若该函数图象经过点，
①求函数的表达式，并求该函数的最值．
②设，，，是该二次函数图象上两点，其中，是实数．若，求证：．
5．已知二次函数，是实数，．
（1）若该函数图象经过点，．
①求该二次函数表达式；
②若，，，，是抛物线上的点，且，求的值；
若该二次函数满足当时，总有随的增大而减小，且过点，当时，求的取值范围．
6．在平面直角坐标系中，已知二次函数，是常数）．
（1）当，时，求该函数图象的顶点坐标．
（2）设该二次函数图象的顶点坐标是，当该函数图象经过点时，求关于的函数解析式．
（3）已知，当时，该函数有最大值8，求的值．
7．已知函数（其中、为常数）．
（1）当，且函数图象经过点时，求函数的表达式及顶点坐标．
（2）若该函数图象的顶点坐标为，且经过另一点，求的值．
（3）若该函数图象经过，，，，，三个不同点，记，，求证：．
8．已知二次函数和一次函数．
（1）二次函数的图象过，点，求二次函数的表达式；
（2）若一次函数与二次函数的图象交于轴上同一点，且这个点不是原点．
①求证：；
②若两个函数图象的另一个交点为二次函数的顶点，求的值．
四．抛物线与x轴的交点（共7小题）
9．已知二次函数的图象经过点．．
（1）若该二次函数图象与轴的一个交点是．
①求二次函数的表达式：
②当时，函数最大值为，最小值为．若，求的值；
对于该二次函数图象上的两点，，，当时，始终有．求的取值范围．
10．在平面直角坐标系中，设二次函数，为常数，且．
（1）当，函数图象的对称轴为直线时，求该函数的表达式；
（2）求证：该函数图象与轴一定有交点；
（3）点，在该二次函数图象上，求的最小值．
11．已知二次函数，
（1）若，求函数的对称轴和顶点坐标．
（2）若函数图象向下平移一个单位，恰好与轴只有一个交点，求的值．
（3）若抛物线过点，且对于抛物线上任意一点，都有，若点，是这条抛物线上不同的两点，求证：．
12．在平面直角坐标系中，当和时，二次函数，是常数，的函数值相等．
（1）若该函数的最大值为1，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标．
（2）若该函数的图象与轴有且只有一个交点，求，的值．
（3）记（2）中的抛物线为，将抛物线向上平移2个单位得到抛物线，当时，抛物线的最大值与最小值之差为8，求的值．
13．二次函数的图象与轴的交点为．
（1）求的值．
（2）求二次函数在轴上截得的线段长的值．
（3）对于任意实数，规定：当时，关于的函数的最小值记作：．求的解析式．
14．已知二次函数且为常数）与轴交于点，其对称轴与轴交于点．
（1）求点，的坐标；
（2）若，判断二次函数图象的顶点位于哪个象限，并说明理由；
（3）若方程有两个不相等的实数根，且两根都在1，3之间（包括1，，结合函数的图象，求的取值范围．
15．已知二次函数，当时，，时，．
（1）求与的值．
（2）当取何值时，．
（3）抛物线上有两点，，当时，直接写出的取值范围．
五．二次函数与不等式（组）（共1小题）
16．已知二次函数．
（1）若二次函数的图象经过，，，判定点是否在二次函数的图象上；
（2）一次函数经过二次函数的顶点．
①求二次函数的对称轴；
②当，时，比较与的大小．
六．二次函数的应用（共1小题）
17．汽车刹车后，车速慢慢变小至停止，这个速度变化的快慢称为加速度（加速度是指在某段时间内速度的变化与这段时间的比值：．已知汽车刹车后向前滑行的距离与时间的函数关系如下：表示刹车开始时的速度，表示加速度）．现有一辆汽车沿平直公路行驶，速度为，刹车后加速度为问：
（1）刹车后2秒时，该汽车的速度为多少？
（2）从开始刹车至停止，该汽车滑行了多少时间？滑行的距离是多少？
七．二次函数综合题（共4小题）
18．在直角坐标系中，设函数，是常数，．
（1）已知点，，，若该函数图象只经过其中两点，求函数表达式；
（2）写出一组，的值，使函数的图象与轴只有1个交点，并说明理由；
（3）已知，点，，，在函数图象上，且两点均在轴上方，若，求的取值范围．
19．已知关于的二次函数，为常数）．
（1）若二次函数图象经过，两点，求二次函数的表达式；
（2）若，试说明该函数图象与轴必有两个不同的交点；
（3）若时，函数的最大值为，最小值为，且，求的值．
20．在直角坐标系中，设函数，，是常数，．
（1）已知．
①若函数的图象经过和两点，求函数的表达式；
②若将函数图象向下平移两个单位后与轴恰好有一个交点，求的最小值．
若函数图象经过，和，，且，求的取值范围．
21．已知二次函数．
（1）若，试求该二次函数图象与轴的交点坐标．
（2）若该二次函数图象的顶点坐标为，求证：．
（3）若，且当自变量满足时，，求的值．
参考答案与试题解析
一．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
1．已知：一次函数与反比例函数．
（1）若一次函数的图象经过点，
①求函数、的表达式，并求出两个函数图象的交点坐标；
②当，写出的取值范围．
（2）试证明：当取任何不为0的值时，两个函数的图象总有交点．
解解：（1）①一次函数的图象经过点，
，
，
一次函数解析式为：；反比例函数解析式为：；
联立方程组，解得，或，
两函数的交点坐标为、．
②两个函数图象如图所示：不等式解集为：或．
（2）一次函数与反比例函数联立消去得：
，整理得，
△，
当取任何不为0的值时，两个函数的图象总有交点．
二．二次函数图象与系数的关系（共2小题）
2．在直角坐标系中，设函数，是常数，．
（1）若，当时，，求的函数表达式．
（2）写出一组，的值，使函数的图象与轴只有一个公共点，并求此函数的顶点坐标．
（3）已知函数的图象与直线都经过，求证：．
解（1）解：，
．
当时，，
，
．
的函数表达式；
（2）解：令，则，
当△时，则，
，
若，时，函数的图象与轴只有一个公共点，
此时函数为，顶点坐标是．
（3）证明：函数的图象与直线都经过，
，
，
．
3．已知二次函数，且与轴交于不同点、．
（1）若二次函数图象经过点，
①求二次函数的表达式和顶点坐标；
②将抛物线在之间的那部分函数图象沿直线翻折，将抛物线翻折前后的这两部分合记为图象，若直线过点，且与图象恰有两个交点，求的取值范围；
（2）若，当时，求实数的取值范围．
解解：（1）①二次函数图象经过点，
，
，
二次函数为，
，
顶点为；
②时，，时，，
将抛物线在之间的那部分函数图象沿直线翻折，点的对应点为，
直线过点，
，
，
，
当直线过点时，直线与图象恰有两个交点，此时，，
解得，
当直线过点时，直线与图象恰有三个交点，此时，，
当直线过点时，直线与图象恰有三个交点，此时，，
解得
若直线过点，且与图象恰有两个交点，的取值范围是或；
（2）设，，，，
令，则，
，，
，
，
，
时，不等式成立，
实数的取值范围是．
三．待定系数法求二次函数解析式（共5小题）
4．二次函数，为常数，的图象经过点，
（1）求该二次函数图象的对称轴（结果用含的代数式表示）．
（2）若该函数图象经过点，
①求函数的表达式，并求该函数的最值．
②设，，，是该二次函数图象上两点，其中，是实数．若，求证：．
解（1）解：把代入得：
，
，
，
二次函数图象的对称轴为直线；
（2）解：①把代入得：
，
由（1）知，
，
解得，
，
函数的表达式为；
，
当时，函数有最大值为3；
②证明：，
，
，，，是二次函数图象上两点，
，
，
．
5．已知二次函数，是实数，．
（1）若该函数图象经过点，．
①求该二次函数表达式；
②若，，，，是抛物线上的点，且，求的值；
（2）若该二次函数满足当时，总有随的增大而减小，且过点，当时，求的取值范围．
解解：（1）①由题意，图象经过点，，
．
．
所求二次函数的表达式为：．
②由题意，、在抛物线上，
，．
上述两式相减得，
．
．
显然、是两个点，
．
．
．
．
又是抛物线上的点，
．
即．
（2）由题意，
二次函数满足当时，总有随的增大而减小，
，．
．
二次函数过点，
．
．
又，
．
．
，
．
又，
．
．
6．在平面直角坐标系中，已知二次函数，是常数）．
（1）当，时，求该函数图象的顶点坐标．
（2）设该二次函数图象的顶点坐标是，当该函数图象经过点时，求关于的函数解析式．
（3）已知，当时，该函数有最大值8，求的值．
解解：（1）当，时，，
当，时，该函数图象的顶点坐标为；
（2）该函数图象经过点，
，则，
该二次函数图象的顶点坐标是，
，，
，，
，即；
（3）当时，二次函数的对称轴为直线，开口向下，
，
当即时，该函数的最大值为，即，
解得，，不合题意，舍去；
当即时，时，随的增大而减小，
当时，有最大值为，不合题意，舍去；
当即时，时，随的增大而增大，
当时，有最大值为，
解得，符合题意，
综上，满足条件的的值为2．
7．已知函数（其中、为常数）．
（1）当，且函数图象经过点时，求函数的表达式及顶点坐标．
（2）若该函数图象的顶点坐标为，且经过另一点，求的值．
（3）若该函数图象经过，，，，，三个不同点，记，，求证：．
解解：（1）依题意，有，
解得：，
该函数的表达式为，
，
该函数图象的顶点坐标为；
（2）函数中，二次项系数为1，
该函数图象的顶点坐标为，设抛物线解析式为，
的图象经过另一点，
，
，
解得：或；
（3）函数图象经过，，，，，三个不同点，
，，
，
，
，
，
．
8．已知二次函数和一次函数．
（1）二次函数的图象过，点，求二次函数的表达式；
（2）若一次函数与二次函数的图象交于轴上同一点，且这个点不是原点．
①求证：；
②若两个函数图象的另一个交点为二次函数的顶点，求的值．
解（1）解：二次函数的图象过，点，
，
解得：，
二次函数的表达式为；
（2）①证明：令，则，
解得：或．
抛物线与轴交于，，．
令，则，
．
直线轴交于，，
若一次函数与二次函数的图象交于轴上同一点，且这个点不是原点，
，
；
②解：，
二次函数的顶点为，．
两个函数图象的另一个交点为二次函数的顶点，
．
由①知：，
，
解得：（不合题意，舍去）或．
若两个函数图象的另一个交点为二次函数的顶点，的值为2．
四．抛物线与x轴的交点（共7小题）
9．已知二次函数的图象经过点．．
（1）若该二次函数图象与轴的一个交点是．
①求二次函数的表达式：
②当时，函数最大值为，最小值为．若，求的值；
（2）对于该二次函数图象上的两点，，，当时，始终有．求的取值范围．
解解：（1）①把，分别代入得，
解得，
抛物线解析式为；
②，
抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
，
，
解得，
，
当时，时，函数有最小值，即，
当或时，函数值相等，此时函数有最大值，即，
，
，
解得（舍去），，
的值为；
（2）二次函数的图象经过点．，
，
解得，
，抛物线的对称轴为直线，
，，在抛物线上，且，
点到对称轴的距离大于或等于点到对称轴的距离，
，
或，
，
或，
解得或．
10．在平面直角坐标系中，设二次函数，为常数，且．
（1）当，函数图象的对称轴为直线时，求该函数的表达式；
（2）求证：该函数图象与轴一定有交点；
（3）点，在该二次函数图象上，求的最小值．
解解：（1）①，
该函数解析式为．
该函数图象的对称轴为直线，
，
解得：．
该函数解析式为；
（2）该函数解析式为，
当时，
△
方程有两个相等的实数解，
即该函数图象与轴一定有交点；
（3）点，在该二次函数图象上，
，，
即，
，
．
11．已知二次函数，
（1）若，求函数的对称轴和顶点坐标．
（2）若函数图象向下平移一个单位，恰好与轴只有一个交点，求的值．
（3）若抛物线过点，且对于抛物线上任意一点，都有，若点，是这条抛物线上不同的两点，求证：．
解解：（1），
，
，
，
函数的对称轴和顶点坐标分别为：直线，；
（2）函数图象向下平移一个单位得，
与轴只有一个交点，
△，
解方程得：；
（3）抛物线过点，且对于抛物线上任意一点，都有，
为抛物线的顶点，
抛物线的对称轴为，
，
，
抛物线为：，
，在抛物线上，
，，
，
，
，是这条抛物线上不同的两点，
，
．
12．在平面直角坐标系中，当和时，二次函数，是常数，的函数值相等．
（1）若该函数的最大值为1，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标．
（2）若该函数的图象与轴有且只有一个交点，求，的值．
（3）记（2）中的抛物线为，将抛物线向上平移2个单位得到抛物线，当时，抛物线的最大值与最小值之差为8，求的值．
解解：（1）当和时，的函数值相等，
该二次函数图象的对称轴为直线，
又该函数的最大值为1，
故可设函数解析式为，即，
，
解得，
该函数的表达式为，
图象的顶点坐标为；
（2）二次函数的图象与轴有且只有一个交点，
二次方程满足，
又，
，
把代入得，
，
解得（舍去）或，
；
（3）由（2）可知，，
将抛物线向上平移2个单位得到抛物线，
即，
由于时，抛物线的最大值与最小值之差为8，因此分以下情况讨论：
①当时，
，，
，即，
解得：（不合题意，舍去）
，
②当时，
，，显然，故不合题意，
③当时，
，
，即，
解得：，．（两解均不合题意，故舍去），
综上：．
13．二次函数的图象与轴的交点为．
（1）求的值．
（2）求二次函数在轴上截得的线段长的值．
（3）对于任意实数，规定：当时，关于的函数的最小值记作：．求的解析式．
解解：（1）二次函数的图象与轴的交点为，
，
解得，
的值为；
（2）由（1）知，，
，
令，则，
解得，，
，
答：二次函数在轴上截得的线段长的值为；
（3），
，
对称轴为，
当即时，当时，有最小值，
；
当时，即，当时，有最小值，
；
当即时，当时，有最小值，
．
综上所述，的解析式为．
14．已知二次函数且为常数）与轴交于点，其对称轴与轴交于点．
（1）求点，的坐标；
（2）若，判断二次函数图象的顶点位于哪个象限，并说明理由；
（3）若方程有两个不相等的实数根，且两根都在1，3之间（包括1，，结合函数的图象，求的取值范围．
解解：（1）抛物线与轴交于点，
即当时，，
，
，
抛物线的对称轴为直线
；
（2）的顶点坐标为，
，
，
二次函数图象的顶点位于第一象限；
（3）方程有两个不相等的实数根，且两根都在1，3之间（包括1，，
抛物线与轴有两个交点，交点的横坐标都在1，3之间（包括1，，
抛物线开口向下，顶点在第一象限，
，解得，
当时，，即，解得，
的取值范围为．
15．已知二次函数，当时，，时，．
（1）求与的值．
（2）当取何值时，．
（3）抛物线上有两点，，当时，直接写出的取值范围．
解解：（1）当时，，时，．
，解得．
（2）．
二次函数的图象开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是．
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大．
当时，有，解得或；
当时，有，解得或4．
当或时，．
（3）抛物线上有两点，，且，
，
或．
五．二次函数与不等式（组）（共1小题）
16．已知二次函数．
（1）若二次函数的图象经过，，，判定点是否在二次函数的图象上；
（2）一次函数经过二次函数的顶点．
①求二次函数的对称轴；
②当，时，比较与的大小．
解解：（1）二次函数的图象经过，，，
图象的对称轴为直线，
关于对称轴的对称点是，
点在二次函数的图象上；
（2）①二次函数，
二次函数的顶点为，，
一次函数经过二次函数的顶点，
，
，
，
二次函数的对称轴为直线；
②，
，即，
二次函数的图象开口向上，
，
，
直线与的交点在抛物线与轴交点的下方，如图，
由图象可知，当时，．
（2）②方法二：
，
，
，
，，
，
．
六．二次函数的应用（共1小题）
17．汽车刹车后，车速慢慢变小至停止，这个速度变化的快慢称为加速度（加速度是指在某段时间内速度的变化与这段时间的比值：．已知汽车刹车后向前滑行的距离与时间的函数关系如下：表示刹车开始时的速度，表示加速度）．现有一辆汽车沿平直公路行驶，速度为，刹车后加速度为问：
（1）刹车后2秒时，该汽车的速度为多少？
（2）从开始刹车至停止，该汽车滑行了多少时间？滑行的距离是多少？
解解：（1），
，
答：刹车后2秒时，该汽车的速度为；
（2），
，
当时，有最大值，最大值为50，
答：从开始刹车至停止，该汽车滑行了，滑行的距离是．
七．二次函数综合题（共4小题）
18．在直角坐标系中，设函数，是常数，．
（1）已知点，，，若该函数图象只经过其中两点，求函数表达式；
（2）写出一组，的值，使函数的图象与轴只有1个交点，并说明理由；
（3）已知，点，，，在函数图象上，且两点均在轴上方，若，求的取值范围．
解解：（1），
抛物线经过，
抛物线不经过，
将，代入得，
解得，
函数表达式为．
（2），，理由如下：
令，
当抛物线与轴只有一个交点时，△，
，
当，时符合题意（答案不唯一）．
（3）时，，
两点均在轴上方，则、均大于0，
，
，
，
，则
，
同理可得，
，
，当时，．
当时，，
故．
19．已知关于的二次函数，为常数）．
（1）若二次函数图象经过，两点，求二次函数的表达式；
（2）若，试说明该函数图象与轴必有两个不同的交点；
（3）若时，函数的最大值为，最小值为，且，求的值．
解解：（1）将，代入得，
解得，
二次函数的表达式为：．
（2）若，则，
，
令，
则△，
函数图象与轴有两个不同的交点．
（3），
抛物线开口象限，对称轴为直线，
将代入得，
抛物线的顶点坐标为，
时，函数的最大值为．
当时，时，函数最小值为最小值，
，
．
当时，时，函数最小值，
，
解得（舍或．
综上所述，或3．
20．在直角坐标系中，设函数，，是常数，．
（1）已知．
①若函数的图象经过和两点，求函数的表达式；
②若将函数图象向下平移两个单位后与轴恰好有一个交点，求的最小值．
（2）若函数图象经过，和，，且，求的取值范围．
解解：（1），
．
①将和两点代入．得，
，
解得：．
．
答：函数的表达式．
②函数向下平移两个单位得，此时该函数与轴恰好有一个交点，
△，
即，
，
，
，
当时，的最小值为1．
答：的最小值为1；
（2）当时，，即抛物线和轴的交点为：，
而，，则抛物线的对称轴为，
当时，抛物线开口向上，
函数图象经过，且，
比直线离抛物线对称轴更近，
抛物线的对称轴在的左侧，
则和题设矛盾，故，
，
则，
解得：．
综上，满足条件的或．
21．已知二次函数．
（1）若，试求该二次函数图象与轴的交点坐标．
（2）若该二次函数图象的顶点坐标为，求证：．
（3）若，且当自变量满足时，，求的值．
解（1）解：当时，，
令得，
解得或，
该二次函数图象与轴的交点坐标为，，，；
（2）证明：二次函数图象的顶点坐标为，
，，
；
（3）解：在中，令得，
由（2）知抛物线顶点坐标为，，
，当时，，
当时函数值最小为，当时，函数值最大为2，
，
解得或（不符合题意，舍去），
的值为3．

展开更多......

收起↑