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第二十章 数据的分析
第一部分 知识点梳理
一、课标要求
考点 课标要求 知识与技能目标
了解 理解 掌握 灵活应用
总体、个体、样本、样本容量 了解总体、个体、样本 、样本容量等概念的意义
平均数、众数、中位数 理解平均数、加权平均数的意义，会求一组数据的平均数
了解众数、中位数的作用
会求一组数据的众数与中位数
极差、方差、标准差 了解极差、方差和标准差的概念
了解极差、方差和标准差的作用
会求一组数据的极差、方差、标准差
知识点：
一、数据的代表
1、算术平均数：（课本P111）
把一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商.
公式：
使用：当所给数据，，…，中各个数据的重要程度相同时，一般使用该公式计算平均数.
2、加权平均数：（课本P112）
若个数，，…，的权分别是，，…，，则
，叫做这个数的加权平均数.
使用：当所给数据，，…，中各个数据的重要程度（权）不同时，一般选用加权平均数计算平均数.
权的意义：权就是权重即数据的重要程度.
常见的权：1）数值、2）百分数、3）比值、4）频数等。
3、组中值：（课本P114）
数据分组后，一个小组的组中值是指这个小组的两个端点的数的平均数，统计中常用各组的组中值代表各组的实际数据.
4、中位数：（课本P116）
将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.
意义：在一组互不相等的数据中，小于和大于它们的中位数的数据各占一半.
5、众数：（课本P118）
一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数.
特点：可以是一个也可以是多个.
用途：当一组数据中有较多的重复数据时，众数往往是人们所关心的一个量.
6、平均数、中位数、众数的区别：
平均数能充分利用所有数据，但容易受极端值的影响；中位数计算简单，它不易受极端值的影响，但不能充分利用所有数据；当数据中某些数据重复出现时，人们往往关心众数，但当各个数据的重复次数大致相等时，众数往往没有意义.
二、数据的波动
1、极差：
一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差.
2、方差：（课本P125）
各个数据与平均数之差的平方的平均数，记作.用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，计算公
式是：
意义：方差（）越大，数据的波动性越大，方差越小，数据的波动性越小.
结论：①当一组数据同时加上一个数时，其平均数、中位数、众数也增加,而其方差不变；
②当一组数据扩大倍时，其平均数、中位数和众数也扩大倍，其方差扩大倍.
三、统计量的选择
用样本估计总体：（课本P131）
1．统计的基本思想：用样本的特征（平均数和方差）估计总体的特征．
2．统计的决策依据：利用数据做决策时，要全面、多角度地去分析已有数据，从数据的变化中发现它们的规律和变化趋势，减少人为因素的影响．
第二部分 典型例题
加权平均数
例 一次面试中，评委将三个方面位选手打分。各项成绩均按百分制计，然后再按笔试成绩占50%，面试成绩占30%，综合素质成绩占20%，计算选手的综合成绩。进入决赛的前两名选手的单项成绩如表所示，请确定两人的名次。
选手 笔试成绩 面试成绩 综合素质成绩
A 85 95 95
B 95 85 95
分析:这个问题可以看成是求两名选手三项成绩的加权平均数，50%，
30%，20%说明笔试成绩、面试成绩、 综合素质成绩三项成绩在总成绩中的重要程度，是三项成绩的权.
解:选手 A的最后得分是 =90
选手B的最后得分是 =92
由上可知选手B获得第一名，选手A获得第二名.
数据的波动
例 为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中随机抽取10株麦苗，测得苗高(单位:cm)如下表.
甲 12 13 14 15 10 16 13 11 15 11
乙 11 16 17 14 13 19 6 8 10 16
分别计算两种小麦的平均苗高;
哪种小麦的长势比较整齐
分析:这个问题可以看成是求两种小麦的苗高的平均数，及其判定数据的波动性较小是哪一种.
解:（1）甲种小麦的苗高的平均数是 =13
乙种小麦的苗高的平均数是 =13
甲种小麦的苗高的方差是
=3.6
乙种小麦的苗高的方差是
=15.8
由上可知甲种小麦的长势比较整齐.
（2019年第5题，5分）甲乙两人连续5次射击成绩如图所示，下列说法正确的是（ ）
甲的成绩最稳定
乙的成绩最稳定
甲，乙的成绩一样稳定
无法判定谁的成绩更稳定
答：B【解析】由折线图可知，乙的成绩与其平均值的离散程度较小，所以稳定性更好。故选B。…………………………………………5分.
4.（2020年中考第19题，10分）为了解某校九年级学生的体质健康状况，随机抽取了该校九年级学生的10%进行测试，将这些学生的测试成绩分为四个等级：优秀85≤ ≤100；良好75≤ 85；及格60≤ ≤75；不及格0≤ ≤60，并绘制成以下两幅统计图。
根据以上信息，解答下列问题：
（1）在抽取的学生中不及格人数所占的百分比是 ；
（2）计算所抽取学生测试成绩的平均分；
（3）若抽取的学生中，不及格学生的人数为2人，请估算出该校九年级学生中优秀等级的人数.
解：（1）不及格人数所占的百分比为100%-20%-25%-50%=5%……2分。
所抽取学生测试成绩的平均分为90X50%+78X25%+66X20%+42X5%=79.8（分）………………………6分
抽取的总人数为2÷5%=40（人）
该校九年级人数为40÷10%=400（人）
所以该校九年级学生中优秀等级的人数约为400X50%=200（人）…………………………………………………………10分.
5.（2023年中考第19题，11分）跳绳是某校体育活动的特色项目，体育组为了了解七年级学生1分钟跳绳次数情况，随机抽取20名七年级学生进行1分钟跳绳测试（单位:次），数据如下:
100 110 114 114 120 122 122 131 144 148 152 155 156 165 165 165 165 174 188 190
对这组数据进行整理和分析，结果如下：
平均数 众数 中位数
145 a b
请根据以上信息解答下列问题:
(1)填空：a= , b= ;
(2)学校规定1分钟跳绳165次及以上为优秀，你估计七年级240名学生中约有多少名学生能达到优秀？
(3)某同学一分钟跳绳152次，请推测该同学的1分钟跳绳次数是否超过年级一半的学生？说明理由.
解：（1）出现次数最多的是165，所以a=165，因为有20名学生，且数据已按从小到大排列，所以第10，11名学生的跳绳次数的平均数为中位数，所以b=150.………………………………………4分.
（2）20人中1分钟跳绳165次及以上的学生有7人，所以七年级240名学生中约有（人）能达到优秀，…………………………………………………………………8分.
因为中位数是150,152>150，所以可以认为“该同学的1分钟跳绳次数超过年级一半的学生”。
【1】今年9月，第十四届全国运动会将在陕西省举行.本届全运会主场馆在西安，开幕式、闭幕式均在西安举行.某校气象兴趣小组的同学们想预估一下西安市今年9月份日平均气温状况.他们收集了西安市近五年9月份每天的日平均气温，从中随机抽取了60天的日平均气温，并绘制成如下统计图：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）这60天的日平均气温的中位数为__________ ，众数为__________-；
（2）求这60天的日平均气温的平均数；
（3）若日平均气温在18°C~21°c的范围内（包含18°c和21°c）为“舒适温度”.请预估西安市今年9月份日平均气温为"舒适温度”的天数.
【解析】（1）这60天的日平均气温的中位数力
（19+20）÷2=19.5（°C），众数为19°C，
故答案为：19.5°C，19°C；
（2）这60天的日平均气温的平均数为
×（17×5+18×12+19×13+20×9+21×6+22 ×4+23×6+24×5）=20（°C）
（3）：×30=20（天）
估计西安市今年9月份日平均气温为“舒适温度”的天数为20天.
【2】（2018新疆中考）甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，参赛学生每分钟输入汉字个数的统计结果如下表：
某同学分析该表后得出如下结论：①甲、乙两班学生的平均成绩相同；②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字的个数≥150为优秀）；③甲班成绩的波动比乙班大.上述结论中，正确的是（）
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
【解析】：（D）因为两班的平均数皆为135，故甲、乙两班学生的平均成绩相同，①正确；因为甲班的中位数为149，乙班的中位数为151，所以甲班至少有28人没有得到优秀，少于乙班优秀人数（乙班至少有28人优秀），故②正确；因为甲班的方差比乙班的大，所以甲班成绩的波动比乙班大，从而③正确.综上，正确的力①②③.
【3】名学生演讲赛的成绩各不相同，若某选手想知道自己能否进入前8名，则他不仅要知道自己的成绩，还应知道这15名学生成绩的（）
A.平均数
B.众数
C.方差
D.中位数
【解析】由于总共有15个人，且他们的成绩互不相同，第8名的成绩是中位数，要判断是否进入前8名，故应知道中位数的多少.
故选：D.
【4】有甲、乙两组数据，如下表所示：
乙两组数据的方差分别为_________（填”>”<”或”=”）．
【解析】
【5】 某校九年级在“停课不停学”期间，为促进学生身体健康，布置了“云健身”任务.为了解学生完成情况，体育教师随机抽取一班与二班各10名学生进行网上视频跳绳测试，他的测试结果与分析过程如下：
（1）收集数据：两班学生每分钟跳绳个数分别记录如下（二班一个数据不小心被墨水遮盖）：
一班：100 94 86 86 84 94 76 69 59 94
二班：99 96 墨水遮盖 82 96 79 65 96 55 96
（2）整理、描述数据：根据上面得到的两组数据，分别绘制了频数分布直方图如图；
分析数据：两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如表所示：
根据以上数据填出表格中①、②两处的数据并补全二班的频数分布直方图；
得出结论：根据以上信息，判断哪班完成情况较好？说明理由（至少从两个不同角度说明判断的合理性）.
【答案】（3）84.2，89，补全的二班的频数分布直方图:
【分析】（3）根据（1）中一班的数据，可以计算出表格中①对应的数据；根据（1）中二班的数据和（2）中二班对应的频数分布直方图，可以得到表格中②对应的数据；再根据（3）中二班对应的平均数，可以计算出被遮盖的数据，从而可以将频数分布直方图补充完整；
一班完成情况较好
【解析】（3）表格中①对应的数据为：
(100+94+86+86+84+94+76+69+59+94)÷10 =84.2，
由（1）中二班的数据和（2）中二班对应的频数分布直方图可得，表格中②对应的数据是（82+96)÷2=89，
由二班的平均数是83.7 可得，被墨水遮盖的数据是：83.7X10-（99+96+82+96+79+65+96+55+96） =837- 764=73，则二班60~70对应的频数是1，70～80对应的频数是2，
（4） 一班完成情况较好，
理由：一班的平均数高于二班，说明一班的成绩好于二班；一班的方差小于二班，说明一班的同学成绩波动小，大部分同学都在参加锻炼，所以一班的完成情况较好。
第三部分 学习诊断
第20章 （A卷）
一，选择题
1、若m个数的平均数为x，n个数的平均数为y，则这(m+n)个数的平均数是（ ）
A.(x+y)/2 B.(x+y)/(m+n) C.(mx+ny)/(x+y) D.(mx+ny)/(m+n)
2、甲、乙、丙三种糖果售价分别为每千克6元，7元，8元，若将甲种8千克，乙种10千克，丙种3千克混在一起，则售价应定为每千克.
A.6.7元 B.6.8元 C.7.5元 D.8.6元
3、如果在一组数据中，23、25、28、22出现的次数依次为2、5、3、4次，并且没有其他的数据，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A.24、25 B.23、24 C.25、25 D.23、25
4、一组数据从小到大排列为2，4，8，x，10，14，若这组数据的中位数为9，则这组数据的众数为 (　　 )
A．6　　 　 B．8　　　 C．9　　　 D．10
5、10名工人某天生产同一种零件，生产的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，15，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（ ）．
A．a>b>c B．b>c>a C．c>a>b D．c>b>a
6、在方差的计算 公式中，数字10和20分别表示的意义可以是( )
A．数据的个数和方差 B．平均数和数据的个数
C．数据的个数和平均数 D．数据组的方差和平均数
7、下图是甲、乙两人10次射击成绩（环数）的条形统计图，则下列说法正确的是
A、甲比乙的成绩稳定 B.乙比甲的成绩稳定
C.甲、乙两人的成绩一样稳定 D.无法确定谁的成绩更稳定
8、已知数据2，-1,3,5,6,5，则这组数据的众数和极差分别是（ ）
A 5和7 B 6和7 C 5和3 D 6和3
填空题
9、已知一组数据4，13，24的权数分别是，，，则这组数据的加权平均数是______．
10、为筹备班级毕业晚会，班长对全班同学爱吃哪几种水果作了民意调查，最终买什么水果该由调查数据的_______决定．(填“平均数”或“中位数”或“众数”)
11、从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中各抽取8件产品，对其使用寿命跟踪调查，结果如下：（单位：年）
甲：3，4，5，6，8，8，8，10
乙：4，6，6，6，8，9，12，13
丙：3，3，4，7，9，10，11，12
三个厂家在广告中都称该产品的使用寿命是8年，请根据结果判断厂家在广告中分别运用了平均数，众数，中位数中的哪一种集中趋势的特征数：
甲：________；乙：_________；丙______．
12、甲、乙两台包装机同时分装质量为400g的奶粉。从他们各自分装的奶粉中随机抽取了10袋，测得他们的实际质量如下：
甲：401 400 408 406 410 409 400 393 394 394
乙：403 404 396 399 402 401 405 397 402 399
包装的奶粉质量比较稳定的是（ ）？
13、甲、乙、丙三名射击手的20次测试的平均成绩都是8环，方差分别是S甲2=0.4（环2），S乙2=3.2（环2），S丙2=1.6（环2），则成绩比较稳定的是（ ）。（填“甲”、“乙”、“丙”中的一个）
计算题
14、某学校对初中毕业班经过初步比较后，决定从九年级（1），（4），（8）班这三个班中推荐一个班为市级先进班集体的候选班，现对这三个班进行综合素质考评，下表是五项素质考评的得分表（以分为单位，每项满分为10分）
班级 行为规范 学习成绩 校运动会 艺术获奖 劳动卫生
九（1）班 10 10 6 10 7
九（4）班 10 8 8 9 8
九（8）班 9 10 9 6 9
（1）请问各班五项考评分的平均数、中位数和众数中哪个统计量不能反映三个班的考评结果的差异？并从中选择一个能反映差异的统计量将它们得分进行排序；
（2）根据你对表中五个项目的重要程度的认识，设定一个各项考评内容的占分比例（比例的各项须满足：①均为整数；②总和为10；③不全相同），按这个比例对各班的得分重新计算，比较好大小关系，并从中推荐一个得分最高的班级作为市级先进班集体的候选班．
15、射箭时，新手成绩通常不太稳定．小明和小华练习射箭，第一局12支箭射完后，两人的成绩如图所示．请根据图中信息估计小明和小华谁是新手，并说明你这样估计的理由
答案
1、D 2、B 3、C 4、D 5、D 6、C 7、B 8、A
9、答案：17
解析：平均数为：4×+13×+24×=17，
10、众数
11、众数 平均数 中位数
12、解：
计算其方差,或标准差,哪个小,说明哪个质量比较稳定.
甲=(401+400+408+406+410+409+400+393+394+394)/10=401.5
乙=(403+404+396+399+402+401+405+397+402+399)/10=400.8
甲的方差是
乙方差是：
所以乙比较稳定
13、解：根据方差的定义，方差越小数据越稳定，因为S甲2=0.4，S乙2=3.2，S丙2=1.6，方差最小的为甲，所以本题中成绩比较稳定的是甲．
故填答案为甲．
14、解：
（1）平均数都为8.6分，中位数依次为10分，8分，9分；众数依次为10分，8分，9分；平均数不能反映，中位数和众数可以反映，
（2）（给出一种参考答案）选定：行为规范：学习成绩：校运动会：艺术获奖：劳动卫生=3：2：3：1：1……
设k1、k4、k8顺次为3个班的考评分，
则：k1=0.3×10+0.2×10+0.3×6+0.1×10+0.1×7=8.5，
k4=0.3×10+0.2×8+0.3×8+0.1×9+0.1×8=8.7，
k8=0.3×9+0.2×10+0.3×9+0.1×6+0.1×9=8.9，
∵k8>k4>k1，
∴推荐九（8）班为市级先进班集体的候选班.
15、解析：小华是新手，因为小华有两次为10，两次为2，因此极差为10－2=8．
小明最高为9，最低为6，∴极差为9－6=3．
∴小华是新手．(也可以通过计算方差来说明)．
第20章（B卷）
一、选择题（每小题4分，共20分）
1.10名学生的体重（单位：㎏）分别是41，48，50，53，49，50，53，53，51，67，这组数据的极差是（ ）
A.27 B.26 C.25 D.24
2.某校五个绿化小组一天植树的棵数如下：10，10，12， ，8.已知这组数据的众数与平均数相等，那么这组数据的中位数是（ ）
A.8 B.9 C.10 D.12
3.某班50名学生身高测量结果如下表：
身高 1.51 1.52 1.53 1.54 1.55 1.56 1.57 1.58 1.59 1.60 1.64
人数 1 1 3 4 3 4 4 6 8 10 6
该班学生身高的众数和中位数分别是（ ）
A.1.60，1.56 B.1.59，1.58 C.1.60，1.58 D.1.60，1.60
4.一个射手连续射靶22次，其中3次射中10环，7次射中9环，9次射中8环，3次射中7环．则射中环数的中位数和众数分别为（ ）
　　A．8，9 B．8，8 C．8．5，8 D．8．5，9
5．为鼓励市民珍惜每一滴水，某居委会表扬了100个节约用水模范户，8月份节约用水的情况如下表：
每户节水量（单位：吨） 1 1.2 1.5
节水户数 52 30 18
那么，8月份这100户平均节约用水的吨数为（精确到0.01t） （ ）
　　A．1.5t B．1.20t C．1.05t D．1t
6．已知一组数据-2，-2，3，-2，-x，-1的平均数是-0.5，那么这组数据的众数与中位数分别是（ ）
　　A．-2和3 B．-2和0.5 C．-2和-1 D．-2和-1.5
7．方差为2的是（ ）
　　A．1，2，3，4，5 B．0，1，2，3，5
　　C．2，2，2，2，2 D．2，2，2，3，3
8．某校把学生的纸笔测试、实践能力、成长纪录三项成绩分别按50%、20%、30%的比例计入学期总评成绩，90分以上为优秀．甲、乙、丙三人的各项成绩如下表（单位：分），学期总评成绩优秀的是（ ）
纸笔测试 实践能力 成长记录
甲 90 83 95
乙 98 90 95
丙 80 88 90
A．甲 B．乙丙 C．甲乙 D．甲丙
二、填空题（每小题4分，共20分）
9.某次射击练习，甲、乙二人各射靶5次，命中的环数如下表：
甲射靶环数 7 8 6 8 6
乙射靶环数 9 5 6 7 8
那么射击比较稳定的是
10.为了调查某一路段的汽车流量，记录了30天中每天同一时段通过该路口的汽车辆数，其中有4天284辆，4天290辆，12天312辆，10天314辆，那么这30天该路口同一时段通过的汽车平均数为 .
11.某地两校联谊晚会上甲、乙两个文艺节目均由10名演员表演，他们的年龄（单位：岁）分别如下：甲节目：13，13，14，15，15，15，15，16，17，17；乙节目：5，5，6，6，6，6，7，7，50，52
（1）甲节目中演员年龄的中位数是 ，众数是 .乙节目中演员年龄的中位数是 ，众数是 .
（2）不计算直接指出两个节目中，演员年龄波动较小的一个是 .
12.某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对甲、乙两名跳高运动员进行了8次选拔比赛，他们的成绩（单位：米）如下：
甲 1.70 1.65 1.68 1.69 1.72 1.73 1.68 1.67
乙 1.60 1.73 1.72 1.61 1.62 1.71 1.70 1.75
这两组数据的方差是（ ）经预测，跳高1.65米就很肯获得冠军，该校为了获取跳高比赛冠军，可能选（ ）运动员比赛？若预测跳高1.70米可获得冠军，可能选（ ）运动员比赛？
三、解答题（每小题12分，共60分）
13.一养鱼专业户为了估计池塘里有多少条鱼，先捕上100条做上标记，然后放回湖里，过一段时间，待带标记的鱼完全混合于鱼群后，再捕捞了五次.记录如下：第一次捕上90条鱼，其中带标记的鱼有11条；第二次捕上100条，其中带标记的鱼有9条；第三次捕上120条鱼，其中带标记的鱼有12条；第四次捕上100条鱼，其中带标记的鱼有9条；第五次捕上80条鱼，其中带标记的鱼有8条.池塘里大约有多少条鱼？
14.某公司招聘职员，对甲、乙两位候选人进行了面试和笔试，面试中包括形体和口才，笔试中包括专业水平和创造能力考察，他们的成绩（百分制）如下表：
候选人 面试 笔试
形体 口才 专业水平 创新能力
甲 86 90 96 92
乙 92 88 95 93
（1） 若公司根据经营性质和岗位要求认为：形体、口才、专业水平、创新能力按照5：5：4：6的比确定，请计算甲、乙两人各自的平均成绩，看看谁将被录取？
（2） 若公司根据经营性质和岗位要求认为：面试成绩中形体占5%，口才占30%，笔试成绩中专业水平占35%，创新能力占30%，那么你认为该公司应该录取谁？
15、(1)从下面两幅图中，分别“读”出甲、乙两队员射击成绩的平均数．
(2)通过估计，比较甲、乙两队员射击成绩的方差的大小，说说你是怎么估计的；
(3)分别计算甲、乙两队员射击成绩的方差，看看刚才自己的估计是否正确；
(4)如果丙队员的射击成绩如下，那么三人射击成绩的方差谁的最大，谁的最小 你是怎样判断的
答案
1.B；2.C；3.C；4.B；5.A；6.D；7；A；8.；C；
9、甲 ；
10、 8，306；
11、（1）15，15，6，6；
（2）甲节目中演员的年龄波动较小；
12、解：解：（1）甲的极差为：1.73﹣1.65=0.08；
乙的极差为：1.75﹣1.60=0.15；
（2）甲=（1.70+1.65+1.68+1.69+1.72+1.73+1.68+1.67）=×13.52=1.69
乙=（1.60+1.73+1.72+1.61+1.62+1.71+1.70+1.75）=×13.44=1.68
s甲2=[（1.70﹣1.69）2+（1.65﹣1.69）2+…+（1.67﹣1.69）2]=0.000 6
s乙2=[（1.60﹣1.68）2+（1.73﹣1.68）2+…+（1.75﹣1.68）2]=0.003 15
∵s甲2＜s乙2，
∴甲的成绩比乙的成绩稳定．
（3）该校要获取跳高比赛冠军应选甲参加比赛，因为甲的跳高成绩8次都不低于1.65m，而乙只有5次超过1.65m．
13、1000条
14、（1）甲、乙各自成绩分别为90.8，91.9，录取乙；
（2）甲、乙各自成绩分别为92.5，92.15，录取甲.
15、解：（1）甲8环，乙8环
（2）甲图平均数的程度大于乙图平均数的程度，因此乙图比甲图更稳定
【出处：】
（3）甲图的方差是
乙图的方差是
正确
（4）丙图的方差是

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