资源简介

沪科版初中数学第 15 章作业设计
一 、单元信息
基本 信息 学 科 年级 学期 教材版本 单元名称
数 学 八年级 第一学期 沪科版 轴对称图形 与等腰三角 形
单元 组织 方式 E自然单元 □重组单元
课时 信息 序 号 课时名称 对应教材内容
1 轴对称图形 第 15.1 (P118-119)
2 轴对称与线段的垂直平分线 第 15.1 (P120-122)
3 平面直角坐标系中的轴对称 第 15.1 (P123-124)
4 线段的垂直平分线尺规作图及其性质 第 15.2 (P128-129)
5 线段的垂直平分线的性质和判定 第 15.2 (P129-130)
6 等腰三角形的性质 第 15.3 (P132-133)
7 等腰三角形性质的应用 第 15.3 (P134-135)
8 等腰三角形的判定 第 15.3 (P136-138)
9 角的平分线的作法及性质 第 15.4 (P141-144)
10 角的平分线的判定 第 15.4 (P144-145)
11 三角形的三个内角的平分线的性质 第 15.4 (P145-146)
二 、单元分析
( 一 ) 课标要求
初步认识轴对称图形 ，理解轴对称图形及对称轴的含义；能找出轴对称图形 的对称轴.了解线段的垂直平分线的概念 ，掌握轴对称的性质 。利用关于x 轴 、y 轴对称的点的坐标特点 ，能作出关于x 轴 、y 轴对称的图形.能够利用直尺和圆规 作已知线段的垂直平分线 ，掌握线段垂直平分线的性质定理及判定定理 ，能够利 用这两个定理解决一些简单的问题.理解并掌握等腰三角形和等边三角形的性 质 ，以及等腰三角形的判定定理.
课标在“图形的轴对称”中要求：通过具体实例了解轴对称的概念 ，探索它的 基本性质：成轴对称的两个图形中 ，对应点的连线被对称轴垂直平分；能画出简 单平面图形 (点 ，线段 ，直线 ，三角形等) 关于给定对称轴的对称图形；了解轴 对称图形的概念；探索等腰三角形 、矩形 、菱形 、正多边形 、圆的轴对称性质； 认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形.
(
线
段的垂
直平分
线
) (
线
段
) (
对
称
轴
) (
角
) (
角
平分线
) (
性
质及判定
) (
等腰三角
) ( 二 ) 教材分析
1.知识网络
(
对
称
图
形
)
2. 内容分析
本单元内容安排在“命题与证明”“全等三角形”之后 ，显然要继续巩固前面的 教学成果 ，注重用几何语言证明几何命题．而本章四节内容体现的轴对称性 ，又 与实际操作密切相关 ，因此教科书内容的呈现注重操作实验的作用 ，注意让学生 从感性认识到理性认识的深化 ，例如 15.3 节 ，教科书首先设计“操作”栏目 ，让 学生自己画出一个等腰三角形 ，通过叠合操作验证了等腰三角形是轴对称图形 ， 折痕就是它的对称轴,进而得到等腰三角形的“等边对等角”以及“三线合一”等性质．
教材是以轴对称为主线串联的．而图形的对称无不可以转化为点的对称来讨 论．例如在 15.1 轴对称图形中 ，教科书将图形的对称放在坐标平面中进行讨论 ， 给出了关于坐标轴对称的点的坐标的特征 ，体现了数形结合的思想和转化化归的 思想．而线段的垂直平分线 、等腰三角形和角的平分线都是通过研究其轴对称性 展开的 ，充分展示了转化化归思想在本章的应用．
通过本单元的学习 ，学生初步认识轴对称图形 ，理解轴对称图形及对称轴的 含义； 能找出轴对称图形的对称轴.了解线段的垂直平分线的概念 ，掌握轴对称 的性质．利用关于x 轴 、y 轴对称的点的坐标特点 ，能作出关于x 轴 、y 轴对称 的图形.能够利用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线 ，掌握线段垂直平分线的 性质定理及判定定理 ，能够利用这两个定理解决一些简单的问题.理解并掌握等 腰三角形和等边三角形的性质 ，以及等腰三角形的判定定理.
本章的教学重点是：轴对称的性质 、线段的垂直平分线 、角的平分线 、等腰 三角形的性质和判定．
本章的教学难点是：轴对称和轴对称图形的区别和联系；线段的垂直平分线 、 角的平分线尺规作法的正确性的证明；线段的垂直平分线 、角的平分线 、等腰三 角形的性质和判定的综合运用．
(三) 学情分析
从学生的认知规律看：在“全等三角形”一章 ，学生已经学习全等形概念 ，掌 握两个完全重合图形的性质 ，以及运用“平行线的性质”“平行线的判定”的互逆关 系 ，感受到性质定理与判定定理在研究几何问题中的一般路径 ，这些学习都为轴 对称图形与等腰三角形的学习打下思想方法基础．
从学生的学习习惯 、思维规律看：八年级 (下) 学生已经具有一定的自主学 生能力和独立思考能力 ，积累了一定的几何学习活动经验 ，并在心灵深处渴望自 己是一个发现者 、研究者和探究者．但是 ，学生的思维方式和思维习惯还不够完
善 ，几何符号语言的规范表述 、推理能力尚且不足．因此 ，应加强学生的动手能 力与空间观念之间的联系的练习 ，教学时应重视操作的重要性 ，给学生充分的操 作时间 ，让他们从操作中思考 、感悟 ，体验乐趣 ，加深对轴对称图形与等腰三角 形的认识 ，架通学生思维的“桥梁” ，提升学生的空间观念 、推理能力．所以 ， 本 单元的学习难点是：轴对称和轴对称图形的区别和联系；线段的垂直平分线 、角 的平分线尺规作法的正确性的证明；线段的垂直平分线 、角的平分线 、等腰三角 形的性质和判定的综合运用．
三 、单元学习与作业目标
( 1 ) 让学生通过具体实例了解轴对称概念 ，能够识别简单的轴对称图形 ， 理解轴对称的基本性质 ，知道对应点所连线段被对称轴垂直平分．
(2)能够作出简单平面图形经过一次轴对称后的图形．了解基本图形(线段 、 角 、等腰三角形等)的轴对称性． 认识轴对称在现实生活中的应用 ，能够利用轴 对称进行简单的图案设计．
(3) 了解线段的垂直平分线的概念 ，理解和掌握线段的垂直平分线的性质 定理和逆定理 、角的平分线的性质定理和逆定理 、等腰三角形 (等边三角形) 的 性质定理和逆定理 ，能够利用它们进行与之相关的证明和计算 ，发展学生推理证 明的能力．
(4) 能够利用尺规作图作已知线段的垂直平分线和已知角的平分线 ，并能 证明其正确性．
(5) 了解三角形三边的垂直平分线相交于一点 ，这点到三角形三个顶点的 路离相等;三角形三条内角平分线相交于一点,这点到三角形三边的距离相等等性 质 。掌握判定两个直角三角形全等的“HL”定理 ，以及“直角三角形中30°锐角所对 边等于斜边的一半” ．
(6) 能够应用所学知识解释生活中的对称现象 ，解决简单的实际问题 ，在 观察 、操作 、论证的过程中 ，发展空间观念 ，激发学习图形的兴趣．
四 、单元作业整体设计思路
( 1 ) 对轴对称及其性质的理解和应用的评价
本章作业设计应关注学生对轴对称性质的理解和应用．例如 ，作业评价时应 关注学生是否识别现实生活中大量存在的轴对称现象 ，欣赏轴对称图案 ，能否对 简单的轴对称图形作适当的分析；能否按要求作出简单平面图形经过轴对称后的 图形； 能否探索简单图形之间的轴对称关系 ，并能指出对称轴等．
(2) 对线段的垂直平分线 、等腰三角形 、角的平分线的性质和判定方法的 掌握程度的评价
以知识和技能目标为基准 ，对图形的基本性质和判定的作业评价 ，恰当考查 学生对本章基础知识和基本技能的理解和掌握程度 ，评价的重点在于考查学生对 几何概念 、图形的性质与判定实质的理解和把握 ，不应只注重形式的记忆和条文 的背诵 ，而是在理解其意义的基础上记忆 ，在理解记忆的基础上应用 ，还应重视 考查学生能否在新的问题情境中灵活应用．
(3) 对学生探索和证明图形性质 、判定和证明命题思路等过程的评价
在本章中 ，一些图形的性质 ，判定等命题的证明思路和方法 ，需要学生通过 操作 、思考等探索活动获得．因此 ，作业设计中要注意对学生在这些探索活动中 的表现进行评价．让学生在探索证明图形的性质 、判定等命题思路时 ，能否尝试
(
落实
“
双减
”
要求
) (
激发学习
兴
趣
) (
数形结
) (
数
学
思
想
渗
透
) (
类
比
) (
几何直
观
) (
归
纳
) (
推
理能力
) (
模型思想
)用不同方法证明同一个命题 ，并选择较简捷的方法给出证明．
(4) 对学生推理论证的能力和水平的评价
对于一个几何命题的证明 ，其关键是要能够分析和探究出一条由已知条件 、 基本事实 、已证定理推向结论的证明思路 ，因此 ，通过作业设计让学生寻求证明 思路和方法 ，看他们是否掌握了一些常见的分析证明思路的方法；能否借助于一 些直观操作和学习经验较为顺利地添加辅助线；能否将待证明的结论转化为已经 获证的结论等．此外 ，还应关注学生能否使用规范的符号语言表述整个思维过程 ， 能否用规范的符号语言表述论证或计算的过程等．
(5) 注重数学思想方法在作业中的渗透
作业设计中应体现数形结合思想 ，应体现类比 、归纳思想等 ，如类比等腰三 角性质得到等边三角形的性质等．
(6) 分层作业设计 ，满足学生多样化的学习需求 ，提升学生数学素养
“双减”要求全面减轻学生作业负担 ，缩短学生作业时长．本章内容中有许多 发挥学生想象和个性的活动 ，这些内容都为学生个性化的学习提供了空间 ，作业 设计应满足学生多样化的学习需求 ，分层作业设计 ，不能用唯一的标准判断全体 学生的成果 。通过分层作业设置 ，激发学生学习数学兴趣 ，提升学生空间观念 、 几何直观 、推理能力 、模型思想 、应用意识和创新意识等数学素养．
(
层
设
计
)
(
空
间观念
)
(
升
素
养
)
(
应
用和创
新
)
15.1 轴对称图形 (第一课时)
课时名称 轴对称图形 时间 要求 基础性作业 10 分钟
发展性作业 10 分钟
作业 1 (基础性作业)
题号 1 下列表情图中 ，属于轴对称图形的是 ( )
设计意图 本题考查了轴对称图形的概念 ，提升学生几何直观素养.
作业分析 轴对称图形的关键是寻找对称轴 ，图形两部分沿对称轴折叠后可重 合．根据轴对称图形的概念求解． 本题中的 A ，B ，C 都不是轴对称图形 ，只有 D 是轴对称图形．
题号 2 在线段 ，角 ，等腰三角形和直角三角形四个图形中 ，不一定是轴对称 图形的有 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4
设计意图 本题考查了轴对称图形的概念 ，提升学生推理能力素养．
作业分析 轴对称图形的关键是寻找对称轴 ，图形两部分折叠后可重合．根据轴 对称图形的概念对各图形分析判断即可得解.线段 、角 、等腰三角形是 轴对称图形 ，但直角三角形不一定是轴对称图形.
题号 3 正三角形ABC 是轴对称图形 ，它的对称轴共有______条．
设计意图 此题考查轴对称图形 ，如果一个图形沿一条直线折叠后 ，直线两旁的 部分能够互相重合 ，那么这个图形叫做轴对称图形 ，这条直线叫做它 的对称轴 ，提升学生推理能力 、应用意识素养.
作业分析 等边三角形 3 条角平分线所在的直线是等边三角形的对称轴 ，所以有 3 条对称轴.
作业 2 (发展性作业)
题号 4 (选做) 如图 ，正方形ABCD 的边长为a，E ，F 分别是对角线BD 上的两点 ， 过点E ，F 分别作AD ，AB 的平行线 ，则图中阴影部分的面积之和为 ．
设计意图 本题考查的是轴对称图形的概念和性质 ，提升学生推理能力素养.
作业分析 本题解题关键是轴对称图形关于对称轴对称的两部分能够完全重合.
所以四边形EFPQ 的面积等于四边形EFNM 的面积 ，所以阴影部分的 面积就转化为△ABD 的面积 ，即正方形面积的一半.
题号 5 (选做) 晓莹和小博士下棋 ，晓莹执圆子 ，小博士执方子.如图 ，期房中心方子 的位置用 ( －1 ，0) 表示 ，右下角方子的位置用 ( 0 ，－1 ) 表示 ，晓 莹将第 4 枚圆子放入棋盘后 ，所有棋子构成一个轴对称图形 ，她放的 位置是 ( ) A. ( －2 ，1 ) B. ( －1 ，1 ) C. ( 1 ，－2) D. ( －1 ，－2)
设计意图 本题考查了轴对称图形和坐标位置的确定 ，提升学生推理能力 、应用 意识素养.
作业分析 正确确定x轴 ，y 轴的位置是关键．首先确定x轴 ，y 轴的位置 ，然后 根据轴对称图形的定义判断即可. 棋盘中心方子的位置用( －1 ，0)表示 ，则这点所在的横线是x轴 ，右 下角方子的位置用(0 ， 1) ，则这点所在的纵线是y轴 ，则当放的位置 是( 1 ，1)时构成轴对称图形.
作业评价表
评价指标 等级 备 注
A B C
答题的准 确性 A 等 ，答案正确 、过程正确 。 B 等 ，答案正确 、过程有问题 。 C 等 ，答案不正确,有过程不完整；答案不准确 ，过 程错误 、或无过程 。
答题的规 范性 A 等 ，过程规范 ，答案正确 。 B 等 ，过程不够规范 、完整 ，答案正确 。 C 等 ，过程不规范或无过程 ，答案错误 。
解法的创 新性 A 等 ，解法有新意和独到之处 ，答案正确 。 B 等 ，解法思路有创新 ，答案不完整或错误 。 C 等 ，常规解法 ，思路不清楚 ，过程复杂或无过程 。
综合评价 等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等 ； ABB 、BBB 、AAC 综合评 价为 B 等 ；其余情况综合评价为 C 等 。
15.1 轴对称图形 (第二课时)
课时名称 轴对称与线段的垂直平分线 时间 要求 基础性作业 10 分钟
发展性作业 10 分钟
作业 1 (基础性作业)
题号 1 如图所示的4 组图形中 ，成轴对称的有 ( ) A.4 组 B.3 组 C.2 组 D.1 组
设计意图 本题考查的是轴对称的概念 ，提升学生几何直观素养.
作业分析 解题的关键是掌握两个图形成轴对称的概念. 解析：本题中只有④是轴对称 ，故答案为 D.
题号 2 如图 ，△ABC ，△DEF 关于直线MN 对称 ，则点E 的对称点是______ ， 线段AC 的对应线段是_______.
设计意图 本题考查了轴对称的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁 的部分能够互相重合 ，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称 轴.提升学生推理能力 、应用意识素养.
作业分析 解体的关键是掌握轴对称的概念，沿着对称轴对折 ，能够重合的线段 是对称线段 ，能够重合的点是对称点. 答案：点C ；线段DE .
题号 3 如图 ，△ABC 与△A'B'C'关于直线MN 对称 ， P 在MN 上 ，下列结论中错误的是( ) A. △AA'P 是等腰三角形 B.MN 垂直平分AA' ，CC' C. △ABC 与△A'B'C' 面积相等 D. 直线AB ，A'B' 的交点不在MN 上
设计意图 本题考查轴对称的性质与运用 ，对应点的连线与对称轴的位置关系是 互相垂直 ，对应点所连的线段被对称轴垂直平分 ，对称轴上的任何一 点到两个对应点之间的距离相等 ，对应的角 、线段都相等．据对称轴 的定义 ， △ABC 与△A'B'C'关于直线MN 对称 ，P 为MN 上任意一点 ，
可以判断出图中各点或线段之间的关系．提升学生推理能力 、应用意 识素养.
作业分析 本题的解题关键是掌握轴对称的性质及应用. 解析： ∵ △ABC 与△A'B'C'关于直线MN 对称 ，P 为MN 上任意一点 ， △AA'P 是等腰三角形 ，MN 垂直平分AA' ，CC' ，这两个三角形的面积 相等 ，A ，B ，C 选项正确 ； 直线AB ，A'B'关于直线MN 对称 ，因此交点一定在MN 上 ，D 错误. 故选D ．
作业 2 (发展性作业)
题号 4 (选做) 如图 ，把△ABC 的一角折叠 ，若∠1+∠2=130° ，则∠A 的度数为______．
设计意图 本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为 180° ，也考查了 折叠的性质．
作业分析 本题解题关键是作出辅助线 ，把图形补充完整.根据折叠性质得到 ∠3 = ∠5 ，∠4 = ∠6 ，利用平角的定义有 ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+ ∠6=360° ，则 2∠3+2∠4+∠1+∠2=360° ，而∠1+∠2=130° ，可计算 出∠3+∠4=115° ，然后根据三角形内角和定理即可得到∠A 的度数．
作业评价表
评价指标 等级 备 注
A B C
答题的准 确性 A 等 ，答案正确 、过程正确 。 B 等 ，答案正确 、过程有问题 。
C 等 ，答案不正确,有过程不完整；答案不准确 ，过 程错误 、或无过程 。
答题的规 范性 A 等 ，过程规范 ，答案正确 。 B 等 ，过程不够规范 、完整 ，答案正确 。 C 等 ，过程不规范或无过程 ，答案错误 。
解法的创 新性 A 等 ，解法有新意和独到之处 ，答案正确 。 B 等 ，解法思路有创新 ，答案不完整或错误 。 C 等 ，常规解法 ，思路不清楚 ，过程复杂或无过程 。
综合评价 等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等 ； ABB 、BBB 、AAC 综合评 价为 B 等 ；其余情况综合评价为 C 等 。
15.1 轴对称图形 (第三课时)
课时名称 平面直角坐标系中的轴对称 时间 要求 基础性作业 10 分钟
发展性作业 10 分钟
作业 1 (基础性作业)
题号 1 点M(a，－5)与点N(－2 ， b)关于x 轴对称 ，则a =___ ， b =_____.
设计意图 本题主要考查的是在平面直角坐标系中 ，点关于 X 轴对称特点.
作业分析 本题解题关键是点在平面直角指标系中的对称变换规律.点关于x 轴对 称：纵坐标变为相反数 ，横坐标不变.
题号 2 已知点P(a＋1 ，2a－1)关于x 轴的对称点在第一象限 ，求a 的取值范 围．
设计意图 本题主要考查点在平面直角坐标系中的对称以及象限内点的坐标特 点.
作业分析 解题关键是掌握点的对称变换以及象限内点的坐标特点. (1)在平面直角坐标系内的点关于x 轴对称 ，横坐标不变 ，纵坐标变为 相反数； (2)第一象限内点的坐标特点 ( ＋，＋ ) ．
题号 3 如图 ，已知△ABC 的顶点分别为A ( －2 ，2) ，B ( －4 ，5) ， C ( －5 ，1 ) 和直线m (直 m 上的各点横坐标都为 1 ) ． ( 1 ) 作出△ABC 关于x 轴 称图形△A1B 1C 1 ，并写出点 的坐标； (2) 作出点C 关于直线m 称的点C2 ，并写出点C2 的 标 ； (3) 在x 轴上找一点P ， PA+PC 的值最小 ，请直接 出点P 的坐标． 线 对 A 1 对 坐 使 写
设计意图 本题主要考查了轴对称变换以及利用轴对称求最短路线 ，提升学生推 理能力 、应用意识素养.
作业分析 (1)直接利用关于x 轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； (2)直接利用关于直线对称点的性质得出答案； (3)利用轴对称求最短路线的方法得出答案． 本题主要考查了轴对称变换以及利用轴对称求最短路线，正确得出对 应点位置是解题关键．
作业 2 (发展性作业)
题号 4 (选做) 如图所示 ，已知O 是∠APB 内的一点 ，点M ，N 分别是O 点关于PA ， PB 的对称点 ，MN 与PA ，PB 分别相交于点E ，F ，已知MN =5cm ， 则△OEF 的周长 cm．
设计意图 此题考查了轴对称的性质．此题比较简单 ，注意掌握转化思想的应用.
作业分析 根据轴对称的性质 ，可得OE=ME ，OF=NF ，继而可得△OEF 的周长为 MN ，则可求得答案． 解析： ∵O 是∠APB 内的一点 ，点M ，N 分别是O 点关于PA ，PB 的对称点 ， ∴OE =ME ，OF =NF ， ∵MN =5cm ， ∴ △OEF 的周长为：OE+EF+OF =ME+EF+NF =5cm．
作业评价表
评价指标 等级 备 注
A B C
答题的准 确性 A 等 ，答案正确 、过程正确 。 B 等 ，答案正确 、过程有问题 。 C 等 ，答案不正确,有过程不完整；答案不准确 ，过 程错误 、或无过程 。
答题的规 范性 A 等 ，过程规范 ，答案正确 。 B 等 ，过程不够规范 、完整 ，答案正确 。 C 等 ，过程不规范或无过程 ，答案错误 。
解法的创 A 等 ，解法有新意和独到之处 ，答案正确 。
新性 B 等 ，解法思路有创新 ，答案不完整或错误 。 C 等 ，常规解法 ，思路不清楚 ，过程复杂或无过程 。
综合评价 等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等 ； ABB 、BBB 、AAC 综合评 价为 B 等 ；其余情况综合评价为 C 等 。
15.2 线段的垂直平分线 (第一课时)
课时名称 线段的垂直平分线尺规作图及其 性质 时间 要求 基础性作业 10 分钟
发展性作业 10 分钟
作业 1 (基础性作业)
题号 1 如图 ，在△ABC 中 ， ∠C =90° .用直尺和圆规在边BC 上确定一点P ， 使点P 到点A ，点B 的距离相等 ，则符合要求的作图痕迹是( ) A. B.
C . D .
设计意图 本题主要考查线段中垂线的性质和尺规作图.
作业分析 ∵点P 到点A ，点B 的距离相等 ， ∴点P 在线段AB 的垂直平分线上 ，故选： C．
题号 2 如图 ，已知AB =AC ，AB =5 ，BC =3 ，以A ，B 两点为圆心 ，大于2 (1A)B 的长为半径画圆弧 ，两弧相交于点M ，N ，连接MN ，MN 与AC 相交 于点D ，则△BDC 的周长为( ) A. 8 B. 10 C. 11 D. 13
设计意图 本题主要考查线段中垂线的尺规作图及其性质，提升学生推理能力 、 应用意识素养.
作业分析 利用基本作图得到MN 垂直平分AB ，利用线段垂直平分线的性质得到
DA =DB ，然后利用等线段代换得到△BDC 的周长=AC+BC ，故选：A.
题号 3 如图 ，在△ABC 中 ，∠C =90° ，AB 的垂直平分线交BC 于点D ，交AB 于点E ，已知∠CAD:∠DAB =1:2 ，则∠B =( ) A. 34° B. 36° C. 60° D. 72°
设计意图 本题考查的是线段垂直平分线的性质 ，直角三角形的性质 ，熟练掌握 线段垂直平分线的性质是解题的关键 ，提升学生应用意识和创新意识 素养.
作业分析 先根据线段垂直平分线及等腰三角形的性质得出三B = 三DAB ，再根据 三DAE 与∠DAC 的度数比为 2:1 可设出∠B 的度数 ，再根据直角三角 形的性质列出方程 ，求出∠B 的度数即可．选 ：B．
作业 2 (发展性作业)
题号 4 (选做) 如图 ，在△ABC 中 ，BD 平分∠ABC . (1)作图：作BC 边的垂直平分线分别交与BC ，BD 于点E ，F 用尺规 作图法 ，保留作图痕迹 ，不要求写作法； (2)在(1)的条件下 ，连结CF ，若∠A = 60° ，∠ABD = 24° ，求∠ACF 的 度数.
设计意图 考查尺规作图 、三角形的外角性质 、线段垂直平分线的性质 、角平分 线的定义等知识点．提升学生应用意识和创新意识素养.
作业分析 (1)用尺规作线段垂直平分线的方法 ，作出图形即可． (2)由角平分线的定义求出∠FBC 的度数 ，由线段垂直平分线的性质得 出BF =CF ，从而求出∠FCB 的度数 ，再根据三角形的外角性质 ，求出 ∠FDC 与∠DFC 的度数 ，即可求解.
作业评价表
评价指标 等级 备 注
A B C
答题的准 确性 A 等 ，答案正确 、过程正确 。 B 等 ，答案正确 、过程有问题 。 C 等 ，答案不正确,有过程不完整；答案不准确 ，过 程错误 、或无过程 。
答题的规 范性 A 等 ，过程规范 ，答案正确 。 B 等 ，过程不够规范 、完整 ，答案正确 。 C 等 ，过程不规范或无过程 ，答案错误 。
解法的创 新性 A 等 ，解法有新意和独到之处 ，答案正确 。 B 等 ，解法思路有创新 ，答案不完整或错误 。 C 等 ，常规解法 ，思路不清楚 ，过程复杂或无过程 。
综合评价 等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等 ； ABB 、BBB 、AAC 综合评 价为 B 等 ；其余情况综合评价为 C 等 。
15.2 线段的垂直平分线 (第二课时)
课时名称 线段的垂直平分线的性质和判定 时间 要求 基础性作业 10 分钟
发展性作业 10 分钟
作业 1 (基础性作业)
题号 1 到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形( )的交点． A. 三个内角平分线 B. 三边垂直平分线 C. 三条中线 D. 三条高
设计意图 本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，熟记 性质是解题的关键．
作业分析 到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点． 故选 ：B．
题号 2 如图 ，AD ⊥BC ，BD =DC ，点C 在AE 的垂直平分线上 ，则AB ，AC ， CE 的长度关系为 ( ) A.AB>AC =CE B.AB =AC>CE CA.B >AC>CE D.AB =AC =CE
设计意图 本题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识，提升学生推理能 力 、应用意识素养.
作业分析 利用线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解答此 题的关键． 因为AD ⊥BC ，BD =DC ，点C 在AE 的垂直平分线上 ， 由 垂直平分线的性质得AB =AC =CE ．故选 D.
题号 3 如图 ，在△ABC 中 ，AB 的垂直平分线EF 分别交AB ，AC 边于点E ， F ，点K 为EF 上一动点 ，则BK+CK 的最小值是以下哪条线段的长度 ( ) A.EF B.AB
C.AC D.BC
设计意图 本题考查的是轴对称最短路线问题 ，线段垂直平分线的性质 ，三角形 的三边关系 ，熟知线段垂直平分线的性质是解答此题的关键 ，提升学 生推理能力 、应用意识素养.
作业分析 解：连接AK ， ∵EF 是线段线AB 的垂直平分线 ， ∴AK =BK ， ∴BK+CK =AK+CK ， ∴ AK+CK 的最小值=BK+CK 的最小值 ∵AK+CK≥AC ， ∴当AK+CK =AC 时 ，AK+CK 的值最小 ∴BK+CK 的最小值是线段AC 的长度 ， 故选：C． ， ，即BK+CK 的值最小 ，
作业 2 (发展性作业)
题号 4 (选做) 在△ABC 中MP ，NO 分别垂直平分AB ，AC 若∠BAC =106° ，则∠PAO 的度数是______．
设计意图 本题考查的是线段的垂直平分线的性质 ，掌握线段的垂直平分线上的 点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
作业分析 ∵ ∠BAC =106° ， ∴ ∠B+∠C =180°– 106°=74° ， ∵MP 是线段AB 的垂直平分线 ， ∴PA =PB ， ∴ ∠PAB =∠B ， 同理 ， ∠OAC =∠C ， ∴∠PAO =∠BAC – (∠PAB+∠OAC)= ∠BAC – (∠B+∠C)=32° ， 故答案为：32° ．
作业评价表
评价指标 等级 备 注
A B C
答题的准 确性 A 等 ，答案正确 、过程正确 。 B 等 ，答案正确 、过程有问题 。 C 等 ，答案不正确,有过程不完整；答案不准确 ，过 程错误 、或无过程 。
答题的规 范性 A 等 ，过程规范 ，答案正确 。 B 等 ，过程不够规范 、完整 ，答案正确 。 C 等 ，过程不规范或无过程 ，答案错误 。
解法的创 新性 A 等 ，解法有新意和独到之处 ，答案正确 。 B 等 ，解法思路有创新 ，答案不完整或错误 。 C 等 ，常规解法 ，思路不清楚 ，过程复杂或无过程 。
综合评价 等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等 ； ABB 、BBB 、AAC 综合评 价为 B 等 ；其余情况综合评价为 C 等 。
15.3 等腰三角形 (第一课时)
课时名称 等腰三角形的性质 时间 要求 基础性作业 10 分钟
发展性作业 10 分钟
作业 1 (基础性作业)
题号 1 已知等腰三角形的一个底角角是 70° ，则这个三角形的顶角是 .
设计意图 考查知识点： 1.等腰三角形的性质： 等边对等角； 2.三角形的内角和定理： 三角形的内角和是 180° .
作业分析 答案：40° . 解析： 由等腰三角形的两个底角相等 ，得另一个底角也为 70° ，再根 据三角形的内角和是 180°可求出顶角的度数.
题号 2 如图所示 ，在△ABC 中 ，AB =AC ，AD 平分∠BAC ，下列结论不一定 成立的是 ( ) A. △ABD ≌△ACDB.AD ⊥BCC.BD =CDD.AD =BD
A (
B
) C D
设计意图 基础题. 考查知识点： 等腰三角形的“三线合一”的性质： 等腰三角形顶角的平 分线垂直平分底边 ，提升学生几何直观素养.
作业分析 答案 ：D. 解析： 由等腰三角形的对称性 ，可得 A 选项正确； 由等腰三角形的“三线合一”性质 (等腰三角形顶角的平分线垂直平分 底边) ，可得 B ，D 选项正确 ； 由已知条件得不出AD =BD ，故选 D.
题号 3 已知等腰三角形的两边长分别为 3 和 7 ，则这个三角形的周长 是 .
设计意图 基础题. 考查知识点： 1.等腰三角形的定义； 2.三角形的三边的关系： 三角形的任意两边之和大于第三边； 3.分类讨论的数学思想.
作业分析 答案 ：17. 解析： ①若长为 3 的边为腰 ，则这个等腰三角形的三边长分别为 3 ，3 ，7 ； 由三角形的三边关系 ，可得此时不能构成三角形 ，故舍去. ②若长为 7 的边为腰 ，则这个等腰三角形的三边长分别为 3 ，7 ，7 ， 符合题意 ，故周长为 17.
作业 2 (发展性作业)
题号 4 (选做) 如图所示 ，在等边三角形ABC 中 ，BD 是∠ABC 的平分线 ，延长BC 到点E ，使CE =CD ，AB =6cm. 求： ( 1 ) ∠E 的度数 ； (2) BE 的长.
设计意图 考查知识点： 1.等边三角形的性质： 等边三角形的三个内角都是 60° ；等边对等角； “三线合一”性质； 2.三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； 考查能力： 识图能力 、数学运算能力和逻辑推理能力 ，提升学生应用 意识和创新意识素养.
作业分析 解： ( 1 ) ∵ △ABC 是等边三角形 ， ∴ ∠ACB =60° ， ∵CE =CD ， ∴ ∠E =∠CDE ， ∵ ∠ACB =∠E+∠CDE ， ∴ ∠E = ∠ACB =30° . (2) ∵ △ABC 是等边三角形 ，AB =6cm ， ∴BC =AC =AB =6cm ， ∵BD 是∠ABC 的平分线 ， ∴D 是AC 的中点 ， ∴CD = 2 (1A)C =3 cm ， ∴CE =CD =3cm ， ∴BE =BC+CE =6+3=9cm .
作业评价表
评价指标 等级 备 注
A B C
答题的准 确性 A 等 ，答案正确 、过程正确 。 B 等 ，答案正确 、过程有问题 。 C 等 ，答案不正确,有过程不完整；答案不准确 ，过 程错误 、或无过程 。
答题的规 范性 A 等 ，过程规范 ，答案正确 。 B 等 ，过程不够规范 、完整 ，答案正确 。 C 等 ，过程不规范或无过程 ，答案错误 。
解法的创 新性 A 等 ，解法有新意和独到之处 ，答案正确 。 B 等 ，解法思路有创新 ，答案不完整或错误 。 C 等 ，常规解法 ，思路不清楚 ，过程复杂或无过程 。
综合评价 等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等 ； ABB 、BBB 、AAC 综合评 价为 B 等 ；其余情况综合评价为 C 等 。
15.3 等腰三角形 (第二课时)
课时名称 等腰三角形性质的应用 时间 要求 基础性作业 10 分钟
发展性作业 10 分钟
作业 1 (基础性作业)
题号 1 如图所示 ，在△ABC 中 ，AB =AC ， ∠A =40° ，CD ∥AB ，则∠BCD 等 于 ( ) A.40° B.50° C.60° D.70°
B (
D
) A (
C
)
设计意图 基础题. 考查知识点： 1.等腰三角形的性质： 等边对等角； 2.三角形的内角和是 180° ； 3.平行线的性质： 两直线平行 ， 内错角相等. 4．提升学生几何直观素养.
作业分析 答案 ：D. 解析： 由AB =AC ， ∠A =40°得∠B =∠ACB =70° ， 再由CD ∥AB ，得∠BCD =∠B =70° ，故选 D.
题号 2 如图所示 ，在△ABC 中 ，∠C =90° ，AB 的垂直平分线MN 分别交AC ， AB 于点D ，E .若∠CBD:∠DBA =2:1 ，则∠A 的度数为 ( ) A.20° B.25° C.22.5° D.30°
(
A
)M C (
D
) (
B
)E N
设计意图 基础题. 考查知识点： 1.线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段两端的 距离相等； 2.等腰三角形的性质： 等边对等角； 3.直角三角形的性质： 直角三角形的两个锐角互余； 4．提升学生几何直观素养. 考查能力： 识图能力和数学运算能力.
作业分析 答案：C. 解析： ∵MN 是AB 的垂直平分线 ， ∴AD =BD ， ∴ ∠A =∠DBA ，
∵ ∠CBD:∠DBA =2:1 ， ∴在△ABC 中 ， ∠A+∠ABC =∠A+∠A+2∠A =90° ， ∴ ∠A =22.5° ，故选 C.
题号 3 如图 ，在△ABC 中 ，AB =AC =10cm ，BC =12cm ，S △ABC=48cm2 ，点D 为BC 的中点 ，DE ⊥AC 于点E ，则DE = . A E B C D
设计意图 能力提高题. 考查知识点： 1.等腰三角形的“三线合一”的性质：等腰三角形的顶角的平分线垂直平 分底边； 2. 中点的定义以及三角形的面积公式. 考查能力：数学计算能力和逻辑推理能力.
作业分析 利用等腰三角形“三线合一”的性质 ，连接AD (如图) ，根据D 为BC 的中点可以得到CD = 2 (1B)C = 6 A，D ⊥BC .又 S BC = 2 (1A·)D B·C = 48cm2 ， BC = 12cm ，可得AD = 8cm. 因为DE ⊥AC ，因此 S DC = 2 (1A)D C·D = AC ·DE ，即AD C·D =AC ·DE ，从而可得DE = 4.8cm.故选 B. A
(
B
) (
E
C
) D
作业 2 (发展性作业)
题号 4 (选做) 如图所示 ，在△ABC 中 ，AB =AC ，D 是BC 边上任意一点 ，过点D 分 别向AB ，AC 引垂线 ，垂足分别为E ，F . ( 1 ) 如图① ，当点D 在BC 的什么位置时 ，DE =DF ？并证明你的结 论 ； (2) 如图② ，过点C 作AB 边上的高CG ，则DE ，DF ，CG 之间存 在怎样的数量关系？并加以证明.
A (
F
)E (
B
)C D 图 ①
设计意图 探究创新题. 考查知识点： 1.等腰三角形的性质： 等边对等角； 2.全等三角形的判定与性质； 3.等积法的应用. 考查能力： 识图能力和逻辑推理能力 ，培养学生的创新意识 ，提升学 生几何直观素养.
作业分析 解： ( 1 ) 如图③所示 ，当D 是BC 的中点时 ，DE =DF . (2 分)
E B A (
F
) D 图 ③ C
证明： ∵AB =AC ， ∴ ∠B =∠C ， ∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴ ∠DEB= ∠DFC =90° . ∵D 是BC 的中点 ， ∴DB =DC . 在△BDE 和△CDF 中 ， ∠B =∠C ， ∵ ∠DEB =∠DFC ， DB =DC ， ∴ △BDE ≌△CDF (AAS) ， ∴DE =DF . (2) DE+DF=CG .
证明： 如图④ ，连接AD ， 由题意知 ， S BD ＝A·B D·E ，S CD ＝A·C D·F ，S BC ＝A·B C·G . ∵S△ABD +S △ACD= S△ABC ， ∴A·B D·E +A·C D·F ＝A·B C·G . ∵AB =AC ， ∴DE+DF=CG .
作业评价表
评价指标 等级 备 注
A B C
答题的准 确性 A 等 ，答案正确 、过程正确 。 B 等 ，答案正确 、过程有问题 。 C 等 ，答案不正确,有过程不完整；答案不准确 ，过 程错误 、或无过程 。
答题的规 范性 A 等 ，过程规范 ，答案正确 。 B 等 ，过程不够规范 、完整 ，答案正确 。 C 等 ，过程不规范或无过程 ，答案错误 。
解法的创 新性 A 等 ，解法有新意和独到之处 ，答案正确 。 B 等 ，解法思路有创新 ，答案不完整或错误 。 C 等 ，常规解法 ，思路不清楚 ，过程复杂或无过程 。
综合评价 等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等 ； ABB 、BBB 、AAC 综合评 价为 B 等 ；其余情况综合评价为 C 等 。
15.3 等腰三角形 (第三课时)
课时名称 等腰三角形的判定 时间 要求 基础性作业 10 分钟
发展性作业 10 分钟
作业 1 (基础性作业)
题号 1 下列关于等边三角形的描述 ，错误的是 ( ) A.三边相等的三角形是等边三角形 B.三个角相等的三角形是等边三角形
C.有一个角是 60°的三角形是等边三角形 D.有两个角是 60°的三角形是等边三角形
设计意图 基础题.考查知识点： 等边三角形的判定.
作业分析 答案：C. 解析：有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形 ，故 C 选项错误. 故选 C.
题号 2 如图所示 ，在△ABC 中 ，∠ABC＝ ∠ACB ，∠ABC 与∠ACB 的平分线 相交于点O ，过O 作EF ∥BC 交AB 于E ，交 AC 于F ，那么图中所有 的等腰三角形个数是 ( ) A．4 个 B ．5 个 C．6 个 D．7 个 A E O F B C
设计意图 基础题. 考查知识点： 1.等腰三角形的判定； 2.角平分线的定义； 3.平行线的性质. 考查能力： 识图能力和逻辑推理能力.
作业分析 答案 ：B. 解析： ∵BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ， ∴ ∠EBO＝CBO ， ∠OCB＝ ∠FCO . ∵EF ∥BC ， ∴ ∠EOB＝ ∠CBO ， ∠FOC＝ ∠BCO ， ∴ ∠EBO＝ ∠EOB ， ∠FOC＝ ∠FCO ， ∴BE＝EO ，CF＝FO ，即△BEO ， △CFO 都为等腰三角形． 又 ∵ ∠ABC＝ ∠ACB ， ∴AB＝AC ， ∴ △ABC 为等腰三角形． ∵EF ∥BC ， ∴ ∠AEF＝ ∠ABC ， ∠AFE＝ ∠ACB ， ∴ ∠AEF＝ ∠AFE ， ∴ △AEF 为等腰三角形． ∵ ∠ABC＝ ∠ACB ， ∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点O ， ∴ ∠OBC＝ ∠OCB ， ∴OB＝OC ，即△BOC 是等腰三角形. 故等腰三角形有： △ABC ， △BEO ， △CFO ， △BOC ， △AEF . 故选 B．
题号 3 如图所示 ，在等腰三角形ABC 中 ，BD 为∠ABC 的平分线 ，∠A =36° ， AB =AC =a，BC =b，则CD 等于 ( ) A． a(+b ) B． a( －b ) C ．a －b D ．b －a A D B C
设计意图 基础题． 考查知识点： 1.等腰三角形的性质与判定； 2.三角形的内角和定理． 考查能力：数学运算能力和逻辑推理能力 ，提升学生几何直观素养．
作业分析 答案：C． 解析： ∵AB =AC ， ∠A= 36° ， ∴ ∠ABC =∠C =72° ， ∵BD 平分∠ABC ， ∴ ∠ABD = ∠ABC = ×72°=36° ， ∴ ∠BDC =∠A+∠ABD =72° ， ∴ ∠BDC =∠C ， ∴BD =BC =b. 同理AD =BD =b， ∴CD =AC－AD =a－b. 故选 C.
作业 2 (发展性作业)
题号 4 (选做) 如图所示 ，上午 8 时 ，一艘船从A 处出发 ，以 15 海里/小时的速度向 正北方向航行 ，10 时到达B 处 ，从A ，B 处望灯塔 ，得∠NAC =37° ， ∠NBC =74° ，则B 到灯塔C 的距离是 海里． N C B A
设计意图 考查知识点： 1．等角对等边； 2．三角形的外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； 3．行程问题中的基本量之间的关系：路程=速度×时间； 4．提升学生应用意识和创新意识素养．
作业分析 答案：30． 解析： ∵ ∠NAC =37° ， ∠NBC =74° ， ∴ ∠C =37° ， ∴BC =AB =15×2=30 海里． 故答案为 30．
题号 5 (选做) 如图所示 ，在△ABC 中 ， ∠ACB =90° ，CD ⊥AB 于点D ，AF 是∠CAB 的平分线 ，交CD 于点E ，交BC 于点F ．求证：CE =CF ． C F E (
B
)A D
设计意图 考查知识点： 1.等角对等边； 2.角平分线的定义． 考查能力： 识图能力和逻辑推理能力 ，提升学生几何直观素养.
作业分析 证明： ∵AF 是角平分线 ， ∴ ∠CAF =∠BAF . ∵ ∠ACB =90° ，CD ⊥AB ， ∴ ∠CAF+∠CFE =90° ， ∠BAF+∠AED =90° ， ∴ ∠CFE = ∠AED . ∵ ∠CEF = ∠AED ， ∴ ∠CFE = ∠CEF ， ∴CE=CF ．
作业评价表
评价指标 等级 备 注
A B C
答题的准 确性 A 等 ，答案正确 、过程正确 。 B 等 ，答案正确 、过程有问题 。 C 等 ，答案不正确,有过程不完整；答案不准确 ，过 程错误 、或无过程 。
答题的规 范性 A 等 ，过程规范 ，答案正确 。 B 等 ，过程不够规范 、完整 ，答案正确 。 C 等 ，过程不规范或无过程 ，答案错误 。
解法的创 新性 A 等 ，解法有新意和独到之处 ，答案正确 。 B 等 ，解法思路有创新 ，答案不完整或错误 。 C 等 ，常规解法 ，思路不清楚 ，过程复杂或无过程 。
综合评价 AAA 、AAB 综合评价为 A 等 ； ABB 、BBB 、AAC
等级 综合评 价为 B 等 ；其余情况综合评价为 C 等 。
15.4 角的平分线 (第一课时)
课时名称 角的平分线的作法及性质 时间 要求 基础性作业 10 分钟
发展性作业 10 分钟
作业 1 (基础性作业)
题号 1 近年来 ，国家实施“村村通”工程和农村医疗卫生改革 ，某县计划在张 村 ，李村之间建一座定点医疗站P ，张李两村坐落在两条相交的公路 内(如图所示). 医疗站必须满足下列条件：①使其到两公路的距离相等 ， ②到张李两村的距离也相等． 请你通过作图确定点P 的位置．
设计意图 本题考察角平分线和垂直平分线的概念及尺规作图，提升学生几何直 观 、应用意识和创新意识素养．
作业分析 (1)画出角平分线； (2)作出垂直平分线.
题号 2 如图 ，OP 平分∠MON ，PA ⊥ON ，垂足为A ，OA =8 ，PA =6 ，Q 是射 线OM 上的一个动点 ，则线段PQ 的最小值是 ( ) A. 10 B. 8 C. 4 D. 6
设计意图 本题考查了角平分线性质，垂线段最短的应用 ，提升学生几何直观素 养.
作业分析 能得出要使PQ 最小时Q 的位置是解此题的关键．根据垂线段最短得 出当PQ ⊥OM 时 ，PQ 的值最小 ，根据角平分线性质得出PQ=PA ，求 出即可．
题号 3 如图 ，AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线 ，DE ⊥AB 于点E ，DE =2 ， AC =3 ，则△ADC 的面积是( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
设计意图 本题考查了三角形的面积 ，角平分线性质的应用.
作业分析 注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等． 过点D 作DF ⊥AC 于F ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可 得DE =DF ，再求△ADC 面积即可．
作业 2 (发展性作业)
题号 4 (选做) 如图 ，BP 平分∠ABC ，D 为BP 上一点 ，E ，F 分别在BA ，BC 上 ，且 满足DE =DF ，若∠BED =140° ，则∠BFD 的度数是( ) A. 40° B. 50° C. 60° D. 70°
设计意图 本题考查的是全等三角形的判定和性质以及角平分线的性质.
作业分析 作DG ⊥AB 于G ，DH ⊥BC 于H ， 角平分线的性质得到DH =DG ，证 △DEG ≌Rt△DFH ，得到∠DEG = DFH ，根据互为邻补角的性质得 案． 掌握角的平分线上的点到角的两 距离相等是解题的关键． 根 明 ∠ 到 边 据 Rt 答 的
作业评价表
评价指标 等级 备 注
A B C
答题的准 确性 A 等 ，答案正确 、过程正确 。 B 等 ，答案正确 、过程有问题 。 C 等 ，答案不正确,有过程不完整；答案不准确 ，过 程错误 、或无过程 。
答题的规 范性 A 等 ，过程规范 ，答案正确 。 B 等 ，过程不够规范 、完整 ，答案正确 。 C 等 ，过程不规范或无过程 ，答案错误 。
解法的创 新性 A 等 ，解法有新意和独到之处 ，答案正确 。 B 等 ，解法思路有创新 ，答案不完整或错误 。 C 等 ，常规解法 ，思路不清楚 ，过程复杂或无过程 。
综合评价 等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等 ； ABB 、BBB 、AAC 综合评 价为 B 等 ；其余情况综合评价为 C 等 。
15.4 角的平分线 (第二课时)
课时名称 角的平分线的判定 时间 要求 基础性作业 10 分钟
发展性作业 10 分钟
作业 1 (基础性作业)
题号 1 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现 ，只用两把完全相同 的长方形直尺就可以作出 一 个角的平分 线．如图： 一把直尺压住射线OB ，另一把 直尺压住射线OA 并且与第一把直尺交于点 P ，小明说：“射线OP 就是∠BOA 的角平分 线．”小明的做法 ，其理论依据是______.
设计意图 本题主要考查了角平分线的判定 ，关键是掌握角的内部到角的两边的 距离相等的点在这个角的平分线上 ，提升学生几何直观素养.
作业分析 过两把直尺的交点P 作PE ⊥AO ，PF ⊥BO ，根据题意可得PE =PF ，再 根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上 ，可得 OP 平分∠AOB .
题号 2 如图 ，要在三条交错的公路区域附近修建一个物流公司仓库，使仓库 到三条公路的距离相等 ，则可以选择的地址有 ( ) 处
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
设计意图 本题考查了角平分线的性质 ，提升学生应用意识和创新意识素养.
作业分析 由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，可得三角形内 角平分线的交点满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形 两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等 ，这样的点有3 个 ，可 得可供选择的地址有 4 个． 此题难度适中 ，注意掌握角平分线上的点到角两边的距离相等定理的 应用 ，注意数形结合思想的应用 ，小心别漏解.
题号 3 已知 ：如图 ，在 Rt△ABC 中 ， ∠C =90° ，D 是AC 上一点 ，DE ⊥AB 于E ，且DE =DC . (1)求证：BD 平分 三A B C ； (2)若∠A =36° ，求∠DBC 的度数．
设计意图 本题主要考查了角平分线性质的运用和直角三角形性质的运用.
作业分析 (1)根据已知条件结合角平分线性质定理的逆定理即可证明； (2)根据直角三角形的两个锐角互余求解． 题目比较简单 ，属于基础题．
作业 2 (发展性作业)
题号 4 (选做) 如图 ， △ABD ， △BCE 均为等边三角形 ，A ，B ，C 三点在一条直线 上 ，下列结论中正确的有哪几个？ ①△ABE ≌△DBC ； ②△CFB ≌△EGB ； ③GF =FB ； ④∠GHB =60° ；
⑤BH ⊥GF .
设计意图 本题考查了等边三角形的性质与判定 、全等三角形的判定与性质 、角 平分线的判定定理.
作业分析 熟练掌握等边三角形的性质 ，证明三角形全等是解决问题的关键． 由等边三角形的性质得出AB =DB ， ∠ABD = ∠CBE =60° ，BE =BC ，得 出∠ABE =∠DBC ， 由 SAS 即可证出△ABE ≌△DBC,得出∠BAE =∠ BDC ，根据三角形外角的性质得出∠ECH =60° ， 由△ABE ≌△DBC 得 到△ABE 和△DBC 面积相等 ，且AE =CD ，从而证得点B 到AE、CD 的距离相等 ，利用角平分线判定定理得到点B 在角平分线上； 由 ASA 证明△CBF ≌△EBG ，得出对应边相等BG =BF ，即可得出△BGF 为等 边三角形；若BH 垂直GF ，得出AE ，CD 分别平分∠ABD ， ∠BCE ， 显然不一定成立．
作业评价表
评价指标 等级 备 注
A B C
答题的准 确性 A 等 ，答案正确 、过程正确 。 B 等 ，答案正确 、过程有问题 。 C 等 ，答案不正确,有过程不完整；答案不准确 ，过 程错误 、或无过程 。
答题的规 范性 A 等 ，过程规范 ，答案正确 。 B 等 ，过程不够规范 、完整 ，答案正确 。 C 等 ，过程不规范或无过程 ，答案错误 。
解法的创 新性 A 等 ，解法有新意和独到之处 ，答案正确 。 B 等 ，解法思路有创新 ，答案不完整或错误 。 C 等 ，常规解法 ，思路不清楚 ，过程复杂或无过程 。
综合评价 等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等 ； ABB 、BBB 、AAC 综合评 价为 B 等 ；其余情况综合评价为 C 等 。
15.4 角的平分线 (第三课时)
课时名称 三角形的三个内角的平分线的性质 时间 要求 基础性作业 10 分钟
发展性作业 10 分钟
作业 1 (基础性作业)
题号 1 如图所示 ，是一块三角形的草坪 ，现要在草坪上建一凉亭供大家休息 ， 要使凉亭到草坪三条边的距离相等 ，凉亭的位置应选在 ( ) A. △ABC 三边的垂直平分线的交点 B. △ABC 三条角平分线的交点 C. △ABC 三条高所在直线的交点 D. △ABC 的三条中线的交点
设计意图 本题主要考查的是角的平分线的性质在实际生活中的应用，提升学生 几何直观 、应用意识和创新意识素养．
作业分析 由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的 距离相等可知是△ABC 三条角平分线的交点 ，由此即可确定凉亭位置．
题号 2 如图 ，△ABC 的三边AB ，BC ，CA 的长分别为 20 ，30 ，40 ，点O 是 △ABC 三条角平分线的交点 ，则△ABO ，△BCO ，△CAO 面积之比等 于 ( ) A. 1 ︰ 1 ︰ 1 B. 1 ︰ 2 ︰ 3 C. 2 ︰ 3 ︰ 4 D.3 ︰ 4 ︰ 5
设计意图 本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质及三角形 的面积公式．
作业分析 利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质 ，可知三个三角形高相等 ，底 分别是 20 ，30 ，40 ，所以面积之比就是 2 ︰ 3 ︰ 4．
题号 3 如图 ，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角 ∠ABC 平分线BP 交 于点P ， ∠BPC = 40° ，则∠CAP =___ .
设计意图 本题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全 等的判定等知识 ，根据角平分线的性质解决问题.提升学生应用意识和 创新意识素养 ，综合性较强.
作业分析 根据外角与内角性质得出∠BAC 的度数 ，再利用角平分线的性质以及 直角三角形全等的判定 ，得出∠CAP =∠FAP ，即可得出答案.
作业 2 (发展性作业)
题号 4 (选做) 如图 ，P 是∠ABC 内一点 ，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥BC 于E ，PF ⊥AC 于 F ，且PD =PE =PF 给出下列结论： ①AD =AF ；②点P 是△ABC 三条角 平分线的交点； ③AB+CE =AC+BE ；④CF+BC =AB+AF . 其中正确是_____ __ (只填写序号) .
设计意图 本题考查利用角平分线的性质和判定及线段和差关系，提升学生几何 直观素养.
作业分析 在角的内部 ，到角的两边距离相等的点在角的平分线上；角平分线上 的点到角两边的距离相等.
作业评价表
评价指标 等级 备 注
A B C
答题的准 确性 A 等 ，答案正确 、过程正确 。 B 等 ，答案正确 、过程有问题 。 C 等 ，答案不正确,有过程不完整；答案不准确 ，过 程错误 、或无过程 。
答题的规 范性 A 等 ，过程规范 ，答案正确 。 B 等 ，过程不够规范 、完整 ，答案正确 。 C 等 ，过程不规范或无过程 ，答案错误 。
解法的创 新性 A 等 ，解法有新意和独到之处 ，答案正确 。 B 等 ，解法思路有创新 ，答案不完整或错误 。 C 等 ，常规解法 ，思路不清楚 ，过程复杂或无过程 。
综合评价 等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等 ； ABB 、BBB 、AAC 综合评 价为 B 等 ；其余情况综合评价为 C 等 。
六 、单元质量检测作业
( 一 ) 单元质量检测作业内容
题号 1 如图的 2×4 的正方形网格中 ， △ABC 的顶点都在小正方形的格点上 ， 这样的三角形称为格点三角形 ，在网格中与△ABC 成轴对称的格点三 角形一共有 ( ) A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个
设计意图 本题考查了轴对称的性质 ，难点在于确定出对称轴的不同位置 ，提升学 生几何直观素养．
作业分析 根据轴对称的性质 ，结合网格结构 ，分横向和纵向两种情况确定出不同 的对称轴的位置 ，然后作出与△ABC 成轴对称的格点三角形 ，从而得 解．
题号 2 如图 ，AD ⊥BC ，BD =DC ，点C 在AE 的垂直平分线上 ，则AB ，AC ， CE 的长度关系为 ( ) (
A
.
AB
>
AC
=
CE
C
.
AB
>
AC
>
CE
)B.AB =AC>CE D.AB =AC =CE
设计意图 本题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识 ，利用线段的垂直平 分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解答此题的关键．提升学生 推理能力 、应用意识素养．
作业分析 因为AD ⊥BC ，BD =DC ，点C 在AE 的垂直平分线上 ，由垂直平分线的 性质得AB =AC =CE ．
题号 3 如图 ，等边△ABC 的边长为 1cm ，D ，E 分别AB ，AC 是上的点 ，将 △ADE 沿直线DE 折叠 ，点A 落在点A’处 ，且点A’在△ABC 外部 ，则 阴影部分的周长为 ( ) A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm
设计意图 此题考查翻折问题 ，折叠问题的实质是“轴对称” ，解题关键是找出经轴
对称变换所得的等量关系 ，提升学生几何直观素养.
作业分析 由题意得AE =A’E ，AD =A’D ，故阴影部分的周长可以转化为△ABC 的周 长．
题号 4 如图 ， △ABC 中 ，AB =AC ，AD =AE ， ∠BAD =18° ， ∠EDC =12° ，则 ∠DAE 的度数为 ( ) A.58° B.56° C. 62° D. 60°
设计意图 本题主要考查等腰三角形的性质及外角的性质 ，用∠ADE 表示出∠DAE 和∠DEA 是解题的关键．提升学生推理能力 、应用意识素养.
作业分析 设∠ADE =x ，则∠B+18°=x+12° ，可用x表示出∠B 和∠C ，再利用外 角的性质可表示出∠DAE 和∠DEA ，在△ADE 中利用三角形内角和求得 x ，即可得∠DAE 的度数．
题号 5 如图 ，在△ABC 中 ，∠ABC =120° ，若DE ，FG 分别垂直平分AB ，BC ， 则∠EBF 的度数为 ( ) A.30° B.45° C. 60° D. 75°
设计意图 本题考查了等腰三角形的性质 ，三角形的内角和定理 ，线段的垂直平分 线定理等知识点的应用 ，提升学生应用意识和创新意识素养.
作业分析 根据线段垂直平分线性质求出AE =BE ，BF =CF ，推出∠A =∠ABE ， ∠ C =∠CBF ，根据三角形内角和定理求出∠A+∠C 的度数 ，即可求出∠ ABE+∠CBF 的度数 ，就能求出答案．
题号 6 在等腰三角形中 ，有一个角是 50° ，它的一条腰上的高与底边的夹角是 ( ) A.25° B.25° 或 40° C. 25° 或 35° D. 40°
设计意图 本题考查了等腰三角形的性质 ，三角形的内角和定理 ，分类讨论 ，余角 有关知识 ，提升学生推理能力 、应用意识素养.
作业分析 根据题意先画出图形 ，再分两种情况： 50°为底角和 50°为顶角求出答 案．
号 7 (选做) 如图 ， ∠AOB =150° ，OC 平分∠AOB ，P 为OC 上一点 ，PD ∥OA 交 OB 于点D ，PE ⊥OA 于点E 若OD =4 ，则PE 的长为 ( )
A.2 B.5 C.3 D. 4
设计意图 此题考查角平分线的性质 ，关键是利用平行线的性质和角平分线的性质 解答．提升学生推理能力 、应用意识素养.
作业分析 过P 点作PF ⊥OD ，利用平行线的性质和角平分线的性质解答即可．
题号 8 如图 ， △ABC 的面积为 1cm2 ，AP 垂直于∠B 的平分线BP 于点P ，则 △PBC 的面积为 ( ) (
2 2
2 2
)A.0.4cm B. 0.5cm C. 0.6cm D. 0.7cm
设计意图 此题主要考查全等三角形的判定与性质及三角形面积 ，提升学生应用意 识和创新意识素养.
作业分析 根据全等三角形面积相等和等高等底的三角形面积相等 ，得到阴影部分 面积与△ABC 的面积的关系 ，进而求解.
题号 9 如图 ，把一张长方形纸条ABCD 沿 EF 折叠 ，若 ∠AEG = 62° ， 则 ∠ DEF = ______ °
设计意图 本题考查翻折变换以及角的计算 ，提升学生应用意识和创新意识素养.
作业分析 由折叠的性质结合平角等于 180° ， 即可得出 ∠DEF = ( 180°－ ∠ AEG) ，再代入∠AEG 的度数即可求出结论．
题号 10 如图 ，在 Rt△ABC 中 ，∠B =90° ，ED 是AC 的垂直平分线 ，交AC 于点 D ，交BC 于点E， 已知∠BAE =16° ，则∠C 的度数为____．
设计意图 此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识 ，提升学生推理能 力 、应用意识素养．
作业分析 由已知条件 ，根据垂直平分线的性质 ，得到EA =EC ，进而得到∠EAD = ∠C ，利用三角形内角和定理解答．
题号 11 如图 ，已知每个小方格的边长为 1 ，A ，B 两点都在小方格的格点(顶点) 上 ，请在图中找一个格点C ，使△ABC 是等腰三角形 ，这样的格点C 有______个．
设计意图 本题考查了等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等 ，那么这 两个角所对的边也相等．等腰三角形是一个轴对称图形 ，它的定义既作 为性质 ，又可作为判定办法．提升学生推理能力 、应用意识素养．
作业分析 以A 点为顶点的等腰三角形可作 3 个 ，以B 点为顶点的等腰三角形可 作 3 个 ，以AB 为底边的等腰三角形可作2 个．
题号 12 如图 ，在锐角三角形ABC 中 ，AB =10 ，△ABC 面积为 30 ，∠ABC 的平 分线BD 交AC 于点D ，点M 、N 分别是BD 和BC 上的动点 ，则CM +
CN 的最小值是______．
设计意图 本题考查的是轴对称中最短路线问题 ，解题的关键是学会利用垂线段最 短解决最短问题. 提升学生应用意识和创新意识素养．
作业分析 过点C 作CE ⊥AB 于点E ，交BD 于点M ，过点M 作M’N’ ⊥BC 于N ， 则CE 即为CM +MN 的最小值 ，再根据三角形的面积公式求出CE 的长 ， 即为CM +MN 的最小值．
题号 13 如图 ，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形 ，在建立平 面直角坐标系之后 ，△ABC 的顶点均在格点上 ，点C 的坐标为 ( 5 ，1 ). ( 1 ) 画出△ABC 关于y 轴对称的△A1B 1C 1 ，并写出点C1 的坐标； (2) 连接OB ，OC ，直接写出△OBC 的面积．
设计意图 本题考查根据轴对称变换作图 ，用割补法求图形的面积．提升学生应用 意识和创新意识素养．
作业分析 ( 1 ) 分别作出点A ，B ，C 关于y 轴对称的点 ，然后顺次连接 ，进而得 到点C1 的坐标； (2) 依据割补法进行计算 ，即可得到△OBC 的面积．
题号 14 如图 ，AB =AC ，∠A =120° ，BC =6cm ，ED ，FG 分别是AB ，AC 的垂直 平分线 ，求BE 的长．
设计意图 本题考查线段垂直平分线的性质及三角形内角与外角的性质 ，熟知线段 的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解答此题的关 键．提升学生推理能力 、应用意识素养．
作业分析 连接AE 、AG ，先由△ABC 中 ，AB =AC ， ∠BAC =120°求出∠B 及∠C 的度数 ，再由线段垂直平分线的性质得出BE =AE ，AG =CG ，∠B =∠BAE ， ∠C =∠CAG ， 由三角形外角的性质求出∠AEG 与∠AGE 的度数 ，判断 出△AEG 是等边三角形 ， 由等边三角形的性质可得到AF =FD =AD ，故 BE =EG =CG ， 由BC =6cm 即可求出答案．
题号 15 如图 ， △ABC 为等边三角形 ，点D ，E 分别在BC ，AC 上 ，AE =CD ， AD ，BE 相交于点P ，BQ ⊥AD 于点Q ，PQ= 6 ，PE= 2． ( 1 ) 求∠BPQ 的度数 ； (2) 求AD 的长．
设计意图 本题考查了等边三角形的性质 、三角形外角性质 、全等三角形的判定与 性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质 ，证明三角形全等是解题的关 键．提升学生推理能力 、应用意识素养．
作业分析 ( 1 ) 由 SAS 证得△ABE ≌△CAD ，得出∠CAD=∠ABE ，由三角形外角 性质推出∠BPD =∠BAD+∠CAD 即可 ； (2) 由 ( 1 ) 得∠BPQ=60° ，即可求得BP 的长 ， 由△ABE ≌△CAD ， 得出AD =BE ，即可得出结果．
题号 16 如图 ，P 为∠ABC 的平分线上的一点 ，点D 和点E 分别在AB 和BC 上 ， 且BD设计意图 本题考查了角平分线性质的运用和三角形全等的性质及判定 ，转化的思 想的应用．正确作出辅助线是解决问题的关键．提升学生推理能力 、应 用意识素养．
作业分析 根据角平分线性质 ，过P 作PM ⊥AB 于点M ，PN ⊥BC 于N 点 ，则PM =PN ，已知PD =PE ，可证 Rt△DPM ≌Rt△EPN ，再利用对应角相等 及平角的性质证明∠BDP+∠BEP =180° ．
题号 17 如图 ，AD 为△ABC 的角平分线． ( 1 ) 如图 1 ，若CE ⊥AD 于点F ，交AB 于点E ，AB =7 ，AC =5 ， 则BE =___ ； (2) 如图 2 ，若AB =7 ，AC =5 ，△ACD 的面积是 10 ，求△ABC 的面积 ； (3) 如图 3 ，若∠C =2∠B ，AB =m ，AC =n，请直接写出BD 的长 (用含m ，n 的式子表示)．
设计意图 本题主要考查了全等三角形的判定与性质 ，角平分线的定义 ，三角形的 面积等知识 ，利用角的轴对称性构造全等三角形是解题的关键．提升学 生推理能力 、应用意识素养 。
作业分析 ( 1 ) 利用ASA 证明△AEF ≌△ACF ，得AE =AC =5 ，得出答案； (2) 过D 作DE ⊥AC 于E，DE ⊥AB 于F ，根据三角形的面积公式即可 得到结论； (3) 在AB 上取AN =AC ，可得CD =DN =m－n，根据△ABD 和△ACD 的高相等 ，面积比等于底之比可求出BD 的长．
( 二 ) 单元质量检测作业属性表
序号 类型 对应单元作业目标 对应学 难度 来源 完成时间
了解 理解 应用
1 选择题 1 √ 易 改编 60 分钟
2 选择题 3 √ 易 改编
3 选择题 1 √ 易 改编
4 选择题 3 √ 中 改编
5 选择题 3 √ 中 改编
6 选择题 2,3 √ 中 原创
7 选择题 3,5 √ 中 改编
8 选择题 2,3 √ 中 改编
9 填空题 2,3 √ 易 改编
10 填空题 3 √ 易 原创
11 填空题 3 √ 易 改编
12 填空题 2 √ 较难 改编
13 解答题 1,2 √ 易 选编
14 解答题 3,5 √ 中 改编
15 解答题 2,3 √ 中 改编
16 解答题 2,6 √ 较难 选编
17 解答题 1,2,3 √ 较难 改编

展开更多......

收起↑