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专题12 椭圆
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高考频度 ★★★★★
考情分析 高考数学中，椭圆这个考点考查椭圆的定义、标准方程、几何性质、直线与椭圆．考查运算求解能力、逻辑推导能力、分析问题与解决问题的能力、数形结合思想、化归与转化思想。
一、选择题
【真题1】（2023 新高考Ⅰ）设椭圆C1：y2＝1（a＞1），C2：y2＝1的离心率分别为e1，e2．若e2e1，则a＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：由椭圆C2：y2＝1可得a2＝2，b2＝1，∴c2，
∴椭圆C2的离心率为e2，∵e2e1，∴e1，∴，
∴44（）＝4（1），即34，
解得a1（负的舍去），即a．
故选：A．
【真题2】（2023 新高考Ⅱ）已知椭圆C：的左焦点和右焦点分别为F1和F2，直线y＝x+m与C交于点A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的两倍，则m＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：记直线y＝x+m与x轴交于M（﹣m，0），
椭圆C：的左，右焦点分别为F1（，0），F2（，0），
由△F1AB面积是△F2AB的2倍，可得|F1M|＝2|F2M|，
∴|xM|＝2|xM|，解得xM或xM＝3，
∴﹣m或﹣m＝3，∴m或m＝﹣3，
联立可得，4x2+6mx+3m2﹣3＝0，
∵直线y＝x+m与C相交，所以Δ＞0，解得m2＜4，
∴m＝﹣3不符合题意，
故m．
故选：C．
【真题3】（2023 甲卷）已知椭圆1，F1，F2为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，cos∠F1PF2，则|PO|＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：椭圆，F1，F2为两个焦点，c，
O为原点，P为椭圆上一点，，
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，不妨m＞n，得m+n＝6，
4c2＝m2+n2﹣2mncos∠F1PF2，即12＝m2+n2mn，得mn，m2+n2＝21，
（），
可得|PO|2（m2+n2+2mncos∠F1PF2）（m2+n2mn）
（21）．
可得|PO|．
故选：B．
【真题4】（2023 甲卷）设F1，F2为椭圆C：y2＝1的两个焦点，点P在C上，若 0，则|PF1| |PF2|＝（　　）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】B
【解答】解：根据题意，点P在椭圆上，满足 0，可得∠F1PF2，
又由椭圆C：y2＝1，其中c2＝5﹣1＝4，
则有|PF1|+|PF2|＝2a＝2，|PF1|2+|PF2|2＝（2c）2＝16，
可得|PF1| |PF2|＝2，
故选：B．
二、解答题
【真题5】（2023 乙卷）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，点A（﹣2，0）在C上．
（1）求C的方程；
（2）过点（﹣2，3）的直线交C于点P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点．
【答案】（1）椭圆C的方程为；
（2）MN的中点为定点（0，3），证明过程见解析．
【解答】解：（1）由题意，，解得．
∴椭圆C的方程为；
证明：（2）如图，
要使过点（﹣2，3）的直线交C于点P，Q两点，则PQ的斜率存在且小于0，
设PQ：y﹣3＝k（x+2），即y＝kx+2k+3，k＜0，P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立，得（4k2+9）x2+8k（2k+3）x+16k（k+3）＝0．
Δ＝[8k（2k+3）]2﹣4（4k2+9） 16k（k+3）＝﹣1728k＞0．
，，
直线AP：y，取x＝0，得M（0，）；
直线AQ：，取x＝0，得N（0，）．
∴
＝2
＝2
＝2．
∴MN的中点为（0，3），为定点．
【真题6】（2023 北京）已知椭圆E：1（a＞b＞0）的离心率为，A、C分别为E的上、下顶点，B、D分别为E的左、右顶点，|AC|＝4．
（1）求E的方程；
（2）点P为第一象限内E上的一个动点，直线PD与直线BC交于点M，直线PA与直线y＝﹣2交于点N．求证：MN∥CD．
【答案】（1）1．
（2）见证明过程．
【解答】解：（1）由题意可得：2b＝4，e，a2＝b2+c2，
解得b＝2，a2＝9，
∴椭圆E的方程为1．
（2）证明：A（0，2），B（﹣3，0），C（0，﹣2），D（3，0），
直线BC的方程为1，化为2x+3y+6＝0．
设直线AP的方程为：y＝kx+2，（k＜0），∴N（，﹣2）．
联立，化为：（4+9k2）x2+36kx＝0，
解得x＝0或，∴P（，）．
直线PD方程为：y（x﹣3），即y（x﹣3），
与2x+3y+6＝0联立，解得x，y．∴M（，）．
∴kMN，kCD，
∴MN∥CD．
【真题7】（2023 天津）设椭圆1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，右焦点为F，已知|A1F|＝3，|A2F|＝1．
（Ⅰ）求椭圆方程及其离心率；
（Ⅱ）已知点P是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线A2P交y轴于点Q，若△A1PQ的面积是△A2FP面积的二倍，求直线A2P的方程．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，，解得，∴b2＝a2﹣c2＝4﹣1＝3．
则椭圆方程为，椭圆的离心率为e；
（Ⅱ）由题意可知，直线A2P的斜率存在且不为0，
当k＜0时，直线方程为y＝k（x﹣2），取x＝0，得Q（0，﹣2k）．
联立，得（4k2+3）x2﹣16k2x+16k2﹣12＝0．
Δ＝（﹣16k2）2﹣4（4k2+3）（16k2﹣12）＝144＞0，
，得，则．
||＝||＝||．
．
∴||，即2k2＝3，得k（k＜0）；
同理求得当k＞0时，k．
∴直线A2P的方程为y．
【真题8】（2023 上海）已知椭圆Γ：1（m＞0且m）．
（1）若m＝2，求椭圆Γ的离心率；
（2）设A1、A2为椭圆Γ的左右顶点，椭圆Γ上一点E的纵坐标为1，且 2，求实数m的值；
（3）过椭圆Γ上一点P作斜率为的直线l，若直线l与双曲线1有且仅有一个公共点，求实数m的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）若m＝2，则a2＝4，b2＝3，∴a＝2，c1，∴e；
（2）由已知得A1（﹣m，0），A2（m，0），设E（p，1），∴1，即p2m2，
∴（﹣m﹣p，﹣1），（m﹣p，﹣1），
∴ （﹣m﹣p，﹣1） （m﹣p，﹣1）＝p2﹣m2+1＝﹣2，
∵p2m2，代入求得m＝3；
（3）设直线yx+t，联立椭圆可得1，
整理得（3+3m2）x2+2tm2x+（t2﹣3）m2＝0，由△≥0，∴t2≤3m2+3，
联立双曲线可得1，整理得（3﹣m2）x2+2tx+（t2﹣5m2）＝0，
由Δ＝0，t2＝5m2﹣15，∴5m2﹣15≤3m2+3，∴﹣3≤m≤3，
又5m2﹣15≥0，∴m，∵m，
综上所述：m∈（，3]．
考向1 椭圆的定义
解法技巧 椭圆的定义： （1）平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆． （2）|PF1|＋|PF2|＝2a． （3）椭圆第二定义：平面上到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数e，即． （4）椭圆第三定义(中点弦定理)：AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则．
【模拟01】（2024 大连一模）方程表示椭圆，则实数m的取值范围（　　）
A．m＞0 B．m＞4 C．m＞0且m≠4 D．0＜m＜4
【答案】C
【解答】解：方程表示椭圆，则m＞0且m≠4．
故选：C．
【模拟02】（2024 石家庄模拟）已知曲线，则“m∈（0，6）”是“曲线C的焦点在x轴上”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解答】解：曲线，m∈（0，6），
则曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，充分性成立，
若曲线C的焦点在x轴上，则m＜6且m≠0，必要性不成立，
故“m∈（0，6）”是“曲线C的焦点在x轴上”的充分不必要条件．
故选：A．
【模拟03】（2024 安顺二模）已知椭圆E：的左、右焦点分别为F1，F2.点P在E上，且PF1⊥PF2，|PF1||PF2|＝2，则b＝（　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【解答】解：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，因为点P在E上，所以m+n＝2a，
又PF1⊥PF2，所以m2+n2＝4c2，所以m2+n2+2mn＝4a2＝4c2+4，
所以b2＝1，则b＝1．
故选：B．
【模拟04】（2024 云岩区校级一模）已知F1（﹣1，0），F2（1，0）是椭圆M的两个焦点，过点F2且垂直于x轴的直线交椭圆M于A，B两点，且|AB|＝3，则椭圆M的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：根据题意，如图：
|AB|＝3，由椭圆的对称性可得：|AF2|＝|AB|，
又|F1F2|＝2，由勾股定理可得：|AF|，
所以2a＝|AF1|+|AF2|＝4，a＝2，
又c＝1，故离心率e．
故选：A．
【模拟05】（2024 成都模拟）设O为坐标原点，F1，F2为椭圆的两个焦点，点P在C上，，则（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解答】解：由椭圆定义可得|PF1|+|PF2|＝4，
利用余弦定理可得，
所以，解得|PF1| |PF2|，
则||||cos∠F1PF2．
故选：A．
考向2 椭圆的性质
解法技巧 椭圆的性质： （1）椭圆中的关系：a2＝b2+c2． （2）离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e，且0＜e＜1． （3）e＝＝＝）．
【模拟01】（2024 江西模拟）已知F为椭圆的右焦点，A，B分别为椭圆C的上顶点和右顶点，若△ABF的周长为3a，则椭圆C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：由题意A，B分别为椭圆C的上顶点和右顶点，△ABF的周长为3a，
可得，所以2c2﹣a2+2ac＝0，即2e2+2e﹣1＝0，
解得或 （舍去）．
故选：D．
【模拟02】（2024 新乡县校级二模）已知直线经过椭圆的右焦点F和上顶点A，则C的长轴长为（　　）
A．4 B． C．3 D．2
【答案】A
【解答】解：∵直线交x轴与（1，0），交y轴与（0，），
∴椭圆的右焦点F为（1，0）和上顶点A（0，），
∴c＝1，b，∴a2．故C的长轴长为2a＝4．
故选：A．
【模拟03】（2024 邵阳模拟）已知直线l：x﹣2y﹣2＝0与椭圆C：1（a＞b＞0）相交于A，B两点．若弦AB被直线m：x+2y＝0平分，则椭圆C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，，两式相减可得：，
∴，
∵直线l：x﹣2y﹣2＝0的斜率为，
又弦AB被直线m：x+2y＝0平分，∴，∴，
∴，∴a2＝4b2，
∴椭圆C的离心率e．
故选：C．
【模拟04】（2024 昆明一模）已知椭圆E：的左、右焦点为F1，F2，圆x2+y2＝a2﹣b2与E的一个交点为P，直线PF1与E的另一个交点为Q，，则E的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由题意知，圆x2+y2＝a2﹣b2＝c2过椭圆的两个焦点，
因为P为两个椭圆的交点，所以PF1⊥PF2，
因为tan∠F1QF2，设|PF2|＝x，可得|PF1|＝2a﹣x，|PQ|x，
所以|QF1|＝|PQ|﹣|PF1|x﹣（2a﹣x）x﹣2a，所以|QF2|＝2a﹣|QF1|＝4ax，
在Rt△PQF2中，|QF2|2＝|PQ|2+|PF2|2，
即（x）2+x2＝（4ax）2，解得x＝4ax或x＝﹣（4ax），
解得x＝a或x＝6a（舍），此时点P为椭圆短轴的顶点，
cos∠F1DF2，|QF1|a，|QF2|a，
在△QF1F2中，由余弦定理得cos∠F1DF2，
整理得：a2＝2c2，得e．
故选：B．
【模拟05】（多选）（2024 日照一模）如图是数学家GerminalDandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）．在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与球O1，球O2切于点E，F（E，F是截口椭圆C的焦点）．设图中球O1，球O2的半径分别为4和1，球心距，则（　　）
A．椭圆C的中心不在直线O1O2上
B．|EF|＝4
C．直线O1O2与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为
D．椭圆C的离心率为
【答案】ACD
【解答】解：依题意，截面椭圆的长轴与圆锥的轴相交，椭圆长轴所在直线与圆锥的轴确定的平面截此组合体，得圆锥的轴截面及球O1，球O2的截面大圆，如图，
点A，B分别为圆O1，O2与圆锥轴截面等腰三角形一腰相切的切点，线段MN是椭圆长轴，可知椭圆C的中心（即线段MN的中点）不在直线O1O2上，故A正确；
椭圆长轴长2a＝|MN|＝|MF|+|FN|＝|MF|+|ME|＝|MB|+|MA|＝|AB|，过O2作O2D⊥O1A于D，连O2B，显然四边形ABO2D为矩形，又，则，过O2作O2C⊥O1E交O1E延长线于C，显然四边形CEFO2为矩形，椭圆焦距，故B错误；
所以直线O1O2与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为，故C正确；
所以椭圆的离心率，故D正确．
故选：ACD．
考向3 直线与椭圆
解法技巧 直线与椭圆： （1）弦长公式：|AB|＝·＝ ·． （2）点差法求斜率：则．
【模拟01】（2024 榆林三模）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，且F1在抛物线y2＝4x的准线上，点P是C上的一个动点，△PF1F2面积的最大值为．
（1）求C的方程；
（2）设经过C右焦点F2且斜率不为0的直线交C于M、N两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点P（0，y0），求y0的取值范围．
【答案】（1）；
（2）[，]．
【解答】解：（1）因为焦点F1在抛物线y2＝4x的准线x＝﹣1上，所以c＝1，
因为当点P为短轴顶点时，△PF1F2面积最大，
此时 2c b，所以b，a2，
所以椭圆方程为：；
（2）当MN⊥x轴时，显然y0＝0，
当MN与x轴不垂直时，
可设直线MN的方程为y＝k（x﹣1）（k≠0），设M（x1，y1），N（x2，y2），
由，整理可得：（3+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣3）＝0，
可得Δ＞0 k∈R，得x1+x2，x1x2，线段的中点为Q（x3，y3），
所以，
线段MN的垂直平分线方程为：，
令x＝0，得，
当k＜0时，；此时0＞y，
当k＞0时，，此时0＜y，
综上y0的取值范围为．
【模拟02】（2024 萍乡二模）已知椭圆的离心率为，A，B是E上的不同两点，且直线AB的斜率为﹣1，当直线AB过原点时，|AB|＝4．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设P（0，3），点A，B都不在y轴上，连接PA，PB，分别交E于C，D两点，求点P到直线CD的距离的最大值．
【答案】（1）1；
（2）．
【解答】解：（1）依题意，则，因此a2＝2b2，
设AB：y＝﹣x，设A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），联立AB与E的方程得，
又，即，故b2＝3，a2＝6，
即椭圆E的标准方程为：1；
（2）设 A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），
可知PA的斜率存在，设为k，则，PA的方程为y＝kx+3，
联立PA与E的方程，整理得（k2+2）x2+6kx+3＝0，
可得，则，
又，故A（），
同理可得，
易知CD的斜率不为0，设CD的方程为x＝my+n，
则，
，
又，
则2n+5m＝1，对比CD的方程可知，直线CD恒过定点，
设点P到直线CD的距离为d，则，
当且仅当PQ⊥CD时，点P到直线CD的距离取到最大值．
【模拟03】（2024 陕西模拟）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的右焦点为F，右准线l：x与x轴交于点H（6，0）．点P是右准线l上的一个动点（异于点H），过点P作椭圆C的两条切线，切点分别为A，B．已知．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，直线PF的斜率为k0，证明：k1+k2＝2k0．
【答案】（1）；
（2）证明过程见详解．
【解答】（1）解：由题意可知，，且，
解得，所以b2＝a2﹣c2＝24﹣16＝8，
即椭圆C的标准方程为：；
（2）证明：设P（6，t）（t≠0），所作切线斜率为k，设切线方程为y＝k（x﹣6）+t，
联立，整理可得（3k2+1）x2+6k（t﹣6k）x+3（t﹣6k）2﹣24＝0，
则Δ＝36k2（t﹣6k）2﹣4（3k2+1）[3（t﹣6k）2﹣24]＝0，
整理得12k2﹣12tk+t2﹣8＝0，
由韦达定理可得：k1+k2＝t，
又因为k0＝kPF，
所以k1+k2＝2k0．
【模拟04】（2024 渭南二模）已知椭圆的左，右焦点分别为F1，F2，Q为椭圆E短轴的一个端点，若△QF1F2是等边三角形，点在椭圆E上，过点F1作互相垂直且与x轴不重合的两直线AB，CD分别交椭圆E于A，B，C，D，且M，N分别是弦AB，CD的中点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）求证：直线MN过定点；
（3）求△MNF2面积的最大值．
【答案】（1）；
（2）证明过程见解析；
（3）．
【解答】解：（1）因为点在椭圆E上，所以，①
因为△QF1F2是等边三角形，所以，②
又a2＝b2+c2＝4c2，③
联立①②③，解得a2＝4，b2＝3，c2＝1，
则椭圆E的方程为；
（2）证明：易知直线AB的斜率存在且不为零，
不妨设直线AB的方程为x＝my﹣1，
可得则直线CD的方程为，
联立，消去x并整理得（3m2+4）y2﹣6my﹣9＝0，
不妨设A（x1，y1），B（x2，y2），
由韦达定理得，
所以，即，
同理得直线CD的中点，
当m2＝1时，MN所在直线为；
当m2≠1时，可得，
所以直线MN的方程为，即，
则直线MN过定点；
（3）易知△MNF2面积
|，
不妨令，可得S，
因为直线在[2，+∞）上单调递增，
所以当t＝2，即m＝±1时，△MNF2面积取得最大值，最大值为．
【模拟05】（2024 石家庄模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过点F1的动直线l交E于A，B两点，点A在x轴上方，且l不与x轴垂直，△ABF2的周长为，直线AF2与E交于另一点C，直线BF2与E交于另一点D，点P为椭圆E的下顶点，如图①．
（1）当点A为椭圆E的上顶点时，将平面xOy沿x轴折叠如图②，使平面A′F1F2⊥平面BF1F2，求异面直线A′C与BF1所成角的余弦值；
（2）若过F2作F2H⊥CD，垂足为H．
（i）证明：直线CD过定点；
（ii）求|PH|的最大值．
【答案】（1）；
（2）（i）证明过程见解析；（ii）．
【解答】解：（1）由|AF1|+|AF2|＝2a，|BF1|+|BF2|＝2a，故△ABF2的周长，
所以，又E的离心率，所以c＝1，
又b2＝a2﹣c2＝1，所以椭圆E的标准方程为：，
由题意知，直线l方程为y＝x+1，
联立，整理可得：3x2+4x＝0，
解得x＝0或x，所以或，
由题意可得A（0，1），，
由对称性知，以O为坐标原点，折叠后原y轴负半轴，原x轴，原y轴的正半轴所在直线为x，y，z轴建立如图空间直角坐标系，
则A'（0，0，1），，，F1（0，﹣1，0），
所以，，
直线A'C与BF1所成角为θ，则；
（2）（i）证明：设点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），
则直线AF2的方程为，
由 ，得 y﹣1＝0，
所以，
所以，又，
同理，，
由A，F1，B三点共线，得，所以y1x2﹣y2x1＝y2﹣y1，
直线CD的方程为，
由对称性可知，如果直线CD过定点，
则该定点在x轴上，令y＝0得：
，
故直线CD过定点；
（ii）由题意知点P（0，﹣1），点H的轨迹为以为直径的圆（除F2，Q外），
圆心为，故，
即|PH|的最大值为．专题12 椭圆
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高考频度 ★★★★★
考情分析 高考数学中，椭圆这个考点考查椭圆的定义、标准方程、几何性质、直线与椭圆．考查运算求解能力、逻辑推导能力、分析问题与解决问题的能力、数形结合思想、化归与转化思想。
一、选择题
【真题1】（2023 新高考Ⅰ）设椭圆C1：y2＝1（a＞1），C2：y2＝1的离心率分别为e1，e2．若e2e1，则a＝（　　）
A． B． C． D．
【真题2】（2023 新高考Ⅱ）已知椭圆C：的左焦点和右焦点分别为F1和F2，直线y＝x+m与C交于点A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的两倍，则m＝（　　）
A． B． C． D．
【真题3】（2023 甲卷）已知椭圆1，F1，F2为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，cos∠F1PF2，则|PO|＝（　　）
A． B． C． D．
【真题4】（2023 甲卷）设F1，F2为椭圆C：y2＝1的两个焦点，点P在C上，若 0，则|PF1| |PF2|＝（　　）
A．1 B．2 C．4 D．5
二、解答题
【真题5】（2023 乙卷）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，点A（﹣2，0）在C上．
（1）求C的方程；
（2）过点（﹣2，3）的直线交C于点P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点．
【真题6】（2023 北京）已知椭圆E：1（a＞b＞0）的离心率为，A、C分别为E的上、下顶点，B、D分别为E的左、右顶点，|AC|＝4．
（1）求E的方程；
（2）点P为第一象限内E上的一个动点，直线PD与直线BC交于点M，直线PA与直线y＝﹣2交于点N．求证：MN∥CD．
【真题7】（2023 天津）设椭圆1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，右焦点为F，已知|A1F|＝3，|A2F|＝1．
（Ⅰ）求椭圆方程及其离心率；
（Ⅱ）已知点P是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线A2P交y轴于点Q，若△A1PQ的面积是△A2FP面积的二倍，求直线A2P的方程．
【真题8】（2023 上海）已知椭圆Γ：1（m＞0且m）．
（1）若m＝2，求椭圆Γ的离心率；
（2）设A1、A2为椭圆Γ的左右顶点，椭圆Γ上一点E的纵坐标为1，且 2，求实数m的值；
（3）过椭圆Γ上一点P作斜率为的直线l，若直线l与双曲线1有且仅有一个公共点，求实数m的取值范围．
考向1 椭圆的定义
解法技巧 椭圆的定义： （1）平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆． （2）|PF1|＋|PF2|＝2a． （3）椭圆第二定义：平面上到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数e，即． （4）椭圆第三定义(中点弦定理)：AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则．
【模拟01】（2024 大连一模）方程表示椭圆，则实数m的取值范围（　　）
A．m＞0 B．m＞4 C．m＞0且m≠4 D．0＜m＜4
【模拟02】（2024 石家庄模拟）已知曲线，则“m∈（0，6）”是“曲线C的焦点在x轴上”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【模拟03】（2024 安顺二模）已知椭圆E：的左、右焦点分别为F1，F2.点P在E上，且PF1⊥PF2，|PF1||PF2|＝2，则b＝（　　）
A． B．1 C． D．2
【模拟04】（2024 云岩区校级一模）已知F1（﹣1，0），F2（1，0）是椭圆M的两个焦点，过点F2且垂直于x轴的直线交椭圆M于A，B两点，且|AB|＝3，则椭圆M的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【模拟05】（2024 成都模拟）设O为坐标原点，F1，F2为椭圆的两个焦点，点P在C上，，则（　　）
A． B． C．2 D．
考向2 椭圆的性质
解法技巧 椭圆的性质： （1）椭圆中的关系：a2＝b2+c2． （2）离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e，且0＜e＜1． （3）e＝＝＝）．
【模拟01】（2024 江西模拟）已知F为椭圆的右焦点，A，B分别为椭圆C的上顶点和右顶点，若△ABF的周长为3a，则椭圆C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【模拟02】（2024 新乡县校级二模）已知直线经过椭圆的右焦点F和上顶点A，则C的长轴长为（　　）
A．4 B． C．3 D．2
【模拟03】（2024 邵阳模拟）已知直线l：x﹣2y﹣2＝0与椭圆C：1（a＞b＞0）相交于A，B两点．若弦AB被直线m：x+2y＝0平分，则椭圆C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【模拟04】（2024 昆明一模）已知椭圆E：的左、右焦点为F1，F2，圆x2+y2＝a2﹣b2与E的一个交点为P，直线PF1与E的另一个交点为Q，，则E的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【模拟05】（多选）（2024 日照一模）如图是数学家GerminalDandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）．在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与球O1，球O2切于点E，F（E，F是截口椭圆C的焦点）．设图中球O1，球O2的半径分别为4和1，球心距，则（　　）
A．椭圆C的中心不在直线O1O2上
B．|EF|＝4
C．直线O1O2与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为
D．椭圆C的离心率为
考向3 直线与椭圆
解法技巧 直线与椭圆： （1）弦长公式：|AB|＝·＝ ·． （2）点差法求斜率：则．
【模拟01】（2024 榆林三模）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，且F1在抛物线y2＝4x的准线上，点P是C上的一个动点，△PF1F2面积的最大值为．
（1）求C的方程；
（2）设经过C右焦点F2且斜率不为0的直线交C于M、N两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点P（0，y0），求y0的取值范围．
【模拟02】（2024 萍乡二模）已知椭圆的离心率为，A，B是E上的不同两点，且直线AB的斜率为﹣1，当直线AB过原点时，|AB|＝4．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设P（0，3），点A，B都不在y轴上，连接PA，PB，分别交E于C，D两点，求点P到直线CD的距离的最大值．
【模拟03】（2024 陕西模拟）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的右焦点为F，右准线l：x与x轴交于点H（6，0）．点P是右准线l上的一个动点（异于点H），过点P作椭圆C的两条切线，切点分别为A，B．已知．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，直线PF的斜率为k0，证明：k1+k2＝2k0．
【模拟04】（2024 渭南二模）已知椭圆的左，右焦点分别为F1，F2，Q为椭圆E短轴的一个端点，若△QF1F2是等边三角形，点在椭圆E上，过点F1作互相垂直且与x轴不重合的两直线AB，CD分别交椭圆E于A，B，C，D，且M，N分别是弦AB，CD的中点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）求证：直线MN过定点；
（3）求△MNF2面积的最大值．
【模拟05】（2024 石家庄模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过点F1的动直线l交E于A，B两点，点A在x轴上方，且l不与x轴垂直，△ABF2的周长为，直线AF2与E交于另一点C，直线BF2与E交于另一点D，点P为椭圆E的下顶点，如图①．
（1）当点A为椭圆E的上顶点时，将平面xOy沿x轴折叠如图②，使平面A′F1F2⊥平面BF1F2，求异面直线A′C与BF1所成角的余弦值；
（2）若过F2作F2H⊥CD，垂足为H．
（i）证明：直线CD过定点；
（ii）求|PH|的最大值．

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