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专题14 抛物线
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高考频度 ★★★★★
考情分析 高考数学中，抛物线这个考点考查抛物线的定义、标准方程、几何性质、直线与抛物线．考查运算求解能力、逻辑推导能力、分析问题与解决问题的能力、数形结合思想、化归与转化思想。
一、选择题
【真题1】（2023 北京）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M在C上，若M到直线x＝﹣3的距离为5，则|MF|＝（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
【真题2】（2023 上海）已知P，Q是曲线Γ上两点，若存在M点，使得曲线Γ上任意一点P都存在Q使得|MP| |MQ|＝1，则称曲线Γ是“自相关曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自相关曲线”；②存在双曲线是“自相关曲线”，则（　　）
A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立
二、多选题
【真题3】（2023 新高考Ⅱ）设O为坐标原点，直线y（x﹣1）过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（　　）
A．p＝2
B．|MN|
C．以MN为直径的圆与l相切
D．△OMN为等腰三角形
三、填空题
【真题4】（2023 乙卷）已知点A（1，）在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的准线的距离为　 　．
四、解答题
【真题5】（2023 新高考Ⅰ）在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点（0，）的距离，记动点P的轨迹为W．
（1）求W的方程；
（2）已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于3．
【真题6】（2023 甲卷）已知直线x﹣2y+1＝0与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，|AB|＝4．
（1）求p；
（2）设F为C的焦点，M，N为C上两点，且 0，求△MFN面积的最小值．
【真题7】（2023 上海）已知抛物线Γ：y2＝4x，在Γ上有一点A位于第一象限，设A的纵坐标为a（a＞0）．
（1）若A到抛物线Γ准线的距离为3，求a的值；
（2）当a＝4时，若x轴上存在一点B，使AB的中点在抛物线Γ上，求O到直线AB的距离；
（3）直线l：x＝﹣3，P是第一象限内Γ上异于A的动点，P在直线l上的投影为点H，直线AP与直线l的交点为Q．若在P的位置变化过程中，|HQ|＞4恒成立，求a的取值范围．
考向1 抛物线的方程
解法技巧 抛物线： （1）抛物线第一定义：． （2）抛物线第三定义(中点弦定理)：AB是抛物线的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则． （3）抛物线的方程：y2＝2px(p>0)．
【模拟01】（2024 南充模拟）抛物线x2＝4y的准线方程为（　　）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．y＝1 D．y＝﹣1
【模拟02】（2024 山东模拟）已知抛物线E：x2＝4y的焦点为F，P为E上的动点，点Q（1，2），则|PF|+|PQ|的最小值为（　　）
A． B．2 C．3 D．4
【模拟03】（2024 江西模拟）抛物线线的焦点坐标为（　　）
A．（0，1） B． C． D．
【模拟04】（2024 金山区二模）若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点是椭圆的一个顶点，则p的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．8
【模拟05】（2024 沈阳模拟）抛物线Γ：y＝ax2过点（2，1），则Γ的准线方程为（　　）
A．x＝1 B．y＝﹣1 C．x＝﹣2 D．y＝﹣2
考向2 抛物线的性质
解法技巧 抛物线的焦点弦：设AB是过y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 （1）|AB|＝x1＋x2＋p＝(α是直线AB的倾斜角)． （2）＋＝为定值(F是抛物线的焦点)．
【模拟01】（2024 衡水一模）O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝8x的焦点，M为C上一点，若|MF|＝6，则△MOF的面积为（　　）
A． B． C． D．8
【模拟02】（2024 海南模拟）已知F是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过F且倾斜角为的直线l与C交于M，N两点，与C的准线交于点P（点N在线段MP上），|PN|＝2，则|MF|＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【模拟03】（多选）（2024 南宁模拟）设抛物线E：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，过点P（0，3）的直线与抛物线E相交于点A，B，与x轴相交于点C，|AF|＝2，|BF|＝10，则（　　）
A．p的值为2
B．E的准线方程为y＝﹣2
C．
D．△BFC的面积与△AFC的面积之比为9
【模拟04】（2024 安徽模拟）已知抛物线y＝ax2的焦点F，直线l过F与抛物线交于A，B两点，若A（4，4），则直线l的方程为　 　，△OAB的面积为　 　（O为坐标原点）．
【模拟05】（2024 宜春模拟）已知斜率为k（k＞0）的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点F且与抛物线C相交于A，B两点，过A，B分别作该抛物线准线的垂线，垂足分别为M，N，若S△ABN＝2S△ABM，则k＝　 　．
考向3 直线与抛物线
解法技巧 一、直线与抛物线 弦长：|AB|＝·＝·． 二、最值与范围的求解方法： （1）几何法：若题目的条件和结论明显能体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决． （2）代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数,则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等． 三、过定点问题： （1）把直线或曲线方程中的变量 , 当作常数看待,把方程一端化为零，既然是过定点,那么这个方程就要对任意参数都成立,这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于 , 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点． （2）由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式 ，则直线必过定点 ;若得到了直线方程的斜截式 ，则直线必过定点． （3）从特殊情况入手，先探究定点，再证明该定点与变量无关． 四、定值问题： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
【模拟01】（2024 遵义二模）已知直线l过点P（0，1），抛物线E：y2＝4x．
（1）若直线l与抛物线E于A，B两点，且AB中点的横坐标为3，求直线l的方程；
（2）若直线l与抛物线E有且仅有一个交点，求直线l的方程．
【模拟02】（2024 福州模拟）在直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F的直线l与C交于M，N两点，且当l的斜率为1时，|MN|＝8．
（1）求C的方程；
（2）设l与C的准线交于点P，直线PO与C交于点Q（异于原点），线段MN的中点为R，若|QR|≤3，求△MNQ面积的取值范围．
【模拟03】（2024 宣城模拟）已知P为抛物线E：y2＝2x上的动点，Q为圆C：（x﹣a）2+y2＝1（a＞1）上的动点，若|PQ|的最小值为．
（1）求a的值；
（2）若动点P在x轴上方，过P作圆C的两条切线分别交抛物线E于另外两点A，B，且满足|PA|＝|PB|，求直线AB的方程．
【模拟04】（2024 锦州模拟）已知G是圆T：（x+1）2+y2＝12上一动点（T为圆心），点H的坐标为（1，0），线段GH的垂直平分线交TG于点R，动点R的轨迹为C．
（1）求曲线C的方程；
（2）设P是曲线C上任一点，延长OP至点Q，使，点Q的轨迹为曲线E．
（i）求曲线E的方程；
（ii）M，N为C上两点，若，则四边形OMQN的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
【模拟05】（2024 辽宁二模）已知平面上一动点P到定点F（，0）的距离比到定直线x＝﹣2023的距离小，记动点P的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程；
（2）点A（2，1），M，N为C上的两个动点，若M，N，B恰好为平行四边形MANB的其中三个顶点，且该平行四边形对角线的交点在第一、三象限的角平分线上，记平行四边形MANB的面积为S，求证：．专题14 抛物线
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高考频度 ★★★★★
考情分析 高考数学中，抛物线这个考点考查抛物线的定义、标准方程、几何性质、直线与抛物线．考查运算求解能力、逻辑推导能力、分析问题与解决问题的能力、数形结合思想、化归与转化思想。
一、选择题
【真题1】（2023 北京）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M在C上，若M到直线x＝﹣3的距离为5，则|MF|＝（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【解答】解：如图所示，因为点M到直线x＝﹣3的距离|MR|＝5，
∴点M到直线x＝﹣2的距离|MN|＝4．
由方程y2＝8x可知，x＝﹣2是抛物线的准线，
又抛物线上点M到准线x＝﹣2的距离和到焦点F的距离相等，
故|MF|＝|MN|＝4．
故选：D．
【真题2】（2023 上海）已知P，Q是曲线Γ上两点，若存在M点，使得曲线Γ上任意一点P都存在Q使得|MP| |MQ|＝1，则称曲线Γ是“自相关曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自相关曲线”；②存在双曲线是“自相关曲线”，则（　　）
A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立
【答案】B
【解答】解：∵椭圆是封闭的，总可以找到满足题意的M点，使得|MP| |MQ|＝1成立，故①正确，
在双曲线中，|PM|max→+∞，|PM|min＝0，当|PM|＝0时，Q点不存在；
当|PM|min＝n，0＜n≤1时，|QM|，
但当|PM|，此时|QM|n，这与|PM|min＝n矛盾，故②错误．
故选：B．
二、多选题
【真题3】（2023 新高考Ⅱ）设O为坐标原点，直线y（x﹣1）过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（　　）
A．p＝2
B．|MN|
C．以MN为直径的圆与l相切
D．△OMN为等腰三角形
【答案】AC
【解答】解：直线y（x﹣1）过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，可得1，所以p＝2，所以A正确；
抛物线方程为：y2＝4x，与C交于M，N两点，
直线方程代入抛物线方程可得：3x2﹣10x+3＝0，xM+xN，
所以|MN|＝xM+xN+p，所以B不正确；
M，N的中点的横坐标：，中点到抛物线的准线的距离为：1，
所以以MN为直径的圆与l相切，所以C正确；
3x2﹣10x+3＝0，不妨可得xM＝3，xN，yM＝﹣2，yN，
|OM|，|ON|，|MN|，
所以△OMN不是等腰三角形，所以D不正确．
故选：AC．
三、填空题
【真题4】（2023 乙卷）已知点A（1，）在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的准线的距离为　 　．
【答案】．
【解答】解：点A（1，）在抛物线C：y2＝2px上，则5＝2p，解得p，
由抛物线的定义可知，A到C的准线的距离为．
故答案为：．
四、解答题
【真题5】（2023 新高考Ⅰ）在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点（0，）的距离，记动点P的轨迹为W．
（1）求W的方程；
（2）已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于3．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设点P点坐标为（x，y），由题意得|y|，
两边平方可得：y2＝x2+y2﹣y，
化简得：y＝x2，符合题意．
故W的方程为y＝x2．
（2）解法一：不妨设A，B，C三点在W上，且AB⊥BC．
设A（a，a2），B（b，），C（c，），
则，．
由题意，0，即（b﹣a）（c﹣b）+（b2﹣a2）（c2﹣b2）＝0，
显然（b﹣a）（c﹣b）≠0，于是1+（b+a）（c+b）＝0．
此时，|b+a|．|c+b|＝1．于是min{|b+a|，|c+b|}≤1．
不妨设|c+b|≤1，则a＝﹣b，
则|AB|+|BC|＝|b﹣a||c﹣b|
＝|b﹣a||c﹣b|
≥|b﹣a||c﹣b|
≥|c﹣a|
＝|b+c|．
设x＝|b+c|，则f（x）＝（x），即f（x），
又f′（x）．
显然，x为最小值点．故f（x）≥f（），
故矩形ABCD的周长为2（|AB|+|BC|）≥2f（x）≥3．
注意这里有两个取等条件，一个是|b+c|＝1，另一个是|b+c|，
这显然是无法同时取到的，所以等号不成立，命题得证．
解法二：不妨设A，B，D在抛物线W上，C不在抛物线W上，欲证命题为|AB|+|AD|．
由图象的平移可知，将抛物线W看作y＝x2不影响问题的证明．
设A（a，a2）（a≥0），平移坐标系使A为坐标原点，
则新抛物线方程为y′＝x′2+2ax′，写为极坐标方程，
即ρsinθ＝ρ2cos2θ+2aρcosθ，即ρ．
欲证明的结论为||+||，
也即||+||．
不妨设||≥||，将不等式左边看成关于a的函数，根据绝对值函数的性质，
其最小值当即a时取得，
因此欲证不等式为||，即||，
根据均值不等式，有|cosθsin2θ|
.
.，
由题意，等号不成立，故原命题得证．
【真题6】（2023 甲卷）已知直线x﹣2y+1＝0与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，|AB|＝4．
（1）求p；
（2）设F为C的焦点，M，N为C上两点，且 0，求△MFN面积的最小值．
【答案】（1）p＝2；
（2）12﹣8．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，
消去x得：y2﹣4py+2p＝0，
∴y1+y2＝4p，y1y2＝2p，Δ＝16p2﹣8p＞0，
∴p（2p﹣1）＞0，∴p，
|AB||y1﹣y2|4，
∴16p2﹣8p＝48，∴2p2﹣p﹣6＝0，∴（2p+3）（p﹣2）＝0，
∴p＝2，
（2）由（1）知y2＝4x，所以F（1，0），显然直线MN的斜率不可能为零，
设直线MN：x＝my+n，M（x1，y1），N（x2，y2）
由，可得y2﹣4my﹣4n＝0，所以y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4n，
Δ＝16m2+16n＞0→m2+n＞0，
因为，所以（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2＝0，
即（my1+n﹣1）（my2+n﹣1）+y1y2＝0，即 ，
将y1+y2＝4m，y2＝﹣4n，代入得4m2＝n2﹣6n+1，
∴4（m2+n）＝（n﹣1）2＞0，所以n≠1，且n2﹣6n+1≥0，解得n≥3+2或n≤3﹣2．
设点F到直线MN的距离为d，所以d，
|MN||y1﹣y2|
2|n﹣1|，
所以△MNF的面积S|MN|×d2|n﹣1|，
又或，所以当n＝3﹣2时，△MNF的面积Smin＝（2﹣2）2＝12﹣8．
【真题7】（2023 上海）已知抛物线Γ：y2＝4x，在Γ上有一点A位于第一象限，设A的纵坐标为a（a＞0）．
（1）若A到抛物线Γ准线的距离为3，求a的值；
（2）当a＝4时，若x轴上存在一点B，使AB的中点在抛物线Γ上，求O到直线AB的距离；
（3）直线l：x＝﹣3，P是第一象限内Γ上异于A的动点，P在直线l上的投影为点H，直线AP与直线l的交点为Q．若在P的位置变化过程中，|HQ|＞4恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）（0，2]．
【解答】解：（1）抛物线Γ：y2＝4x的准线为x＝﹣1，
由于A到抛物线Γ准线的距离为3，
则点A的横坐标为2，则a2＝4×2＝8（a＞0），
解得；
（2）当a＝4时，点A的横坐标为，则A（4，4），
设B（b，0），则AB的中点为，
由题意可得，解得b＝﹣2，
所以B（﹣2，0），
则，
由点斜式可得，直线AB的方程为，即2x﹣3y+4＝0，
所以原点O到直线AB的距离为；
（3）如图，
设，则，
故直线AP的方程为，
令x＝﹣3，可得，即，
则，
依题意，恒成立，
又，
则最小值为，即，即，
则a2+12＞a2+4a+4，解得0＜a＜2，
又当a＝2时，，当且仅当t＝2时等号成立，
而a≠t，即当a＝2时，也符合题意．
故实数a的取值范围为（0，2]．
考向1 抛物线的方程
解法技巧 抛物线： （1）抛物线第一定义：． （2）抛物线第三定义(中点弦定理)：AB是抛物线的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则． （3）抛物线的方程：y2＝2px(p>0)．
【模拟01】（2024 南充模拟）抛物线x2＝4y的准线方程为（　　）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．y＝1 D．y＝﹣1
【答案】D
【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x2＝4y，焦点在y轴上；
所以2p＝4，即p＝2，所以1，
∴准线方程y＝﹣1，
故选：D．
【模拟02】（2024 山东模拟）已知抛物线E：x2＝4y的焦点为F，P为E上的动点，点Q（1，2），则|PF|+|PQ|的最小值为（　　）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：过点P作PM垂直于准线y＝﹣1于M，
则|PF|+|PQ|＝|PM|+|PQ|，
故|PF|+|PQ|的最小值为Q到准线的距离：2+1＝3，（此时Q，P，M三点共线）．
故选：C．
【模拟03】（2024 江西模拟）抛物线线的焦点坐标为（　　）
A．（0，1） B． C． D．
【答案】B
【解答】解：∵抛物线可化为：x2＝2y，
∴p＝1，，焦点在y轴上，开口向上，
∴焦点坐标为（0，）．
故选：B．
【模拟04】（2024 金山区二模）若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点是椭圆的一个顶点，则p的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．8
【答案】D
【解答】解：∵抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（，0），中a＝4，
∴4，∴p＝8．
故选：D．
【模拟05】（2024 沈阳模拟）抛物线Γ：y＝ax2过点（2，1），则Γ的准线方程为（　　）
A．x＝1 B．y＝﹣1 C．x＝﹣2 D．y＝﹣2
【答案】B
【解答】解：已知抛物线Γ：y＝ax2过点（2，1），则1＝4a，则，
即抛物线Γ的方程为x2＝4y，
则Γ的准线方程为y＝﹣1．
故选：B．
考向2 抛物线的性质
解法技巧 抛物线的焦点弦：设AB是过y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 （1）|AB|＝x1＋x2＋p＝(α是直线AB的倾斜角)． （2）＋＝为定值(F是抛物线的焦点)．
【模拟01】（2024 衡水一模）O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝8x的焦点，M为C上一点，若|MF|＝6，则△MOF的面积为（　　）
A． B． C． D．8
【答案】C
【解答】解：由抛物线的方程可得F（2，0），设点M（x0，y0），
由抛物线的性质可得：|MF|＝x0+2＝6，得x0＝4，|y0|＝4．
所以△MOF的面积．
故选：C．
【模拟02】（2024 海南模拟）已知F是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过F且倾斜角为的直线l与C交于M，N两点，与C的准线交于点P（点N在线段MP上），|PN|＝2，则|MF|＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：如图，分别过点M，N作抛物线准线的垂线，垂足分别为A，B，
分别过点N，F作ND⊥MA，FH⊥MA，垂足分别为D，H，
设ND交x轴于点E，准线与x轴交于点G，
由题知|GF|＝p，∵l的倾斜角为，∴，
所以，从而，则，∴|PF|＝3，
又，∴|MF|＝|PF|＝3．
故选：C．
【模拟03】（多选）（2024 南宁模拟）设抛物线E：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，过点P（0，3）的直线与抛物线E相交于点A，B，与x轴相交于点C，|AF|＝2，|BF|＝10，则（　　）
A．p的值为2
B．E的准线方程为y＝﹣2
C．
D．△BFC的面积与△AFC的面积之比为9
【答案】AD
【解答】解：设直线AB的方程为y＝kx+3，A（x1，y1）和B（x2，y2），
联立，可得x2﹣2pkx﹣6p＝0，
所以x1+x2＝2pk，x1x2＝﹣6p，故，
因为|AF|＝2，|BF|＝10，所以，，
则，解得p＝2或p＝22，
因为，所以p＝2，则E的准线方程为y＝﹣1，故A正确，B错误；
又y1＝1，y2＝9，不妨取A（﹣2，1），B（6，9），
所以，，故C错误，D正确．
故选：AD．
【模拟04】（2024 安徽模拟）已知抛物线y＝ax2的焦点F，直线l过F与抛物线交于A，B两点，若A（4，4），则直线l的方程为　 　，△OAB的面积为　 　（O为坐标原点）．
【答案】3x﹣4y+4＝0，．
【解答】解：由已知抛物线y＝ax2的焦点F，直线l过F与抛物线交于A，B两点，若A（4，4），
4＝16a，解得，抛物线的方程为x2＝4y，所以F（0，1），kAF，
直线l的方程为，与x2＝4y联立整理得x2﹣3x﹣4＝0，
故x1＝4，x2＝﹣1，故△OAB的面积为．
故答案为：3x﹣4y+4＝0，．
【模拟05】（2024 宜春模拟）已知斜率为k（k＞0）的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点F且与抛物线C相交于A，B两点，过A，B分别作该抛物线准线的垂线，垂足分别为M，N，若S△ABN＝2S△ABM，则k＝　 　．
【答案】2．
【解答】解：已知斜率为k（k＞0）的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点F且与抛物线C相交于A，B两点，过A，B分别作该抛物线准线的垂线，垂足分别为M，N，
由抛物线C：y2＝4x得F（1，0），
设直线AB：y＝k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），
故联立方程，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，所以x1x2＝1，x1+x2，
若S△ABN＝2S△ABM，由已知和抛物线定义知：2，
则有x2+1＝2（x1+1），即x2＝2x1+1，故，
解方程组得x1，x2＝2，k＝2．
故答案为：2．
考向3 直线与抛物线
解法技巧 一、直线与抛物线 弦长：|AB|＝·＝·． 二、最值与范围的求解方法： （1）几何法：若题目的条件和结论明显能体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决． （2）代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数,则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等． 三、过定点问题： （1）把直线或曲线方程中的变量 , 当作常数看待,把方程一端化为零，既然是过定点,那么这个方程就要对任意参数都成立,这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于 , 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点． （2）由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式 ，则直线必过定点 ;若得到了直线方程的斜截式 ，则直线必过定点． （3）从特殊情况入手，先探究定点，再证明该定点与变量无关． 四、定值问题： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
【模拟01】（2024 遵义二模）已知直线l过点P（0，1），抛物线E：y2＝4x．
（1）若直线l与抛物线E于A，B两点，且AB中点的横坐标为3，求直线l的方程；
（2）若直线l与抛物线E有且仅有一个交点，求直线l的方程．
【答案】（1）x+y﹣1＝0或2x﹣3y+3＝0；
（2）x＝0或y＝1或y＝x+1．
【解答】解：（1）由题意得直线斜率一定存在，设直线l的方程为：y＝kx+1，
联立抛物线C：y2＝4x，得k2x2+（2k﹣4）x+1＝0，
Δ＝（2k﹣4）2﹣4k2＝16﹣16k＞0 k＜1，由韦达定理得：，
因为A，B中点的横坐标为3，所以，解得k＝﹣1或，
所以直线l的方程为
（2）①当斜率不存在和斜率为0时，满足题意，
此时直线l的方程为x＝0或y＝1；
②当斜率存在且不为0时，设直线l的方程为y＝kx+1，
联立抛物线C：y2＝4x，得k2x2+（2k﹣4）x+1＝0，
Δ＝（2k﹣4）2﹣4k2＝16﹣16k＝0，解得k＝1，所以y＝x+1，
综上，直线l的方程为x＝0或y＝1或y＝x+1．
【模拟02】（2024 福州模拟）在直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F的直线l与C交于M，N两点，且当l的斜率为1时，|MN|＝8．
（1）求C的方程；
（2）设l与C的准线交于点P，直线PO与C交于点Q（异于原点），线段MN的中点为R，若|QR|≤3，求△MNQ面积的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）不妨设l的方程为，M（x1，y1），N（x2，y2），
联立，得y2﹣2mpy﹣p2＝0，∴y1+y2＝2mp，，
则|，
∴由题可知当m＝1时，|MN|＝8，
∴p＝2，C的方程为y2＝4x；
（2）由（1）知，
将R的纵坐标2m代入x＝my+1，得R（2m2+1，2m），
易知C的准线方程为x＝﹣1，又l与C的准线交于点P，∴，
则OP的方程为，联立OP与C的方程得y2＝2my，即y＝2m，∴Q（m2，2m），
∴Q，R的纵坐标相等，∴直线QR∥x轴，∴|QR|＝|2m2+1﹣m2|＝m2+1，
∴，
∵点Q异于原点，∴m≠0，∵|QR|≤3，∴1＜|QR|≤3，∴，
即．
【模拟03】（2024 宣城模拟）已知P为抛物线E：y2＝2x上的动点，Q为圆C：（x﹣a）2+y2＝1（a＞1）上的动点，若|PQ|的最小值为．
（1）求a的值；
（2）若动点P在x轴上方，过P作圆C的两条切线分别交抛物线E于另外两点A，B，且满足|PA|＝|PB|，求直线AB的方程．
【答案】（1）a＝2；（2）．
【解答】解：（1）圆C：（x﹣a）2+y2＝1（a＞1），半径为1，
设P（x0，y0），|PQ|的最小值为，即|PC|的最小值为，
（x0≥0），
当x0＝a﹣1时，，∴a＝2；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），
直线PA的斜率，
直线PA的方程为：，
则（y﹣y0）（y1+y0）＝2（x﹣x0），y（y1+y0）﹣y0（y1+y0）＝2x﹣2x0，
即2x﹣（y1+y0）y+y0（y1+y0）﹣2x0＝0，化简得2x﹣（y1+y0）y+y0y1＝0，
则，即，
同理，
则y1，y2是方程的两根，
所以，则直线AB的斜率，
∵|PA|＝|PB|，PC平分∠APB，则PC⊥AB，
∴，解得x0＝5，则．
，且，
，
故AB中点为，直线AB的方程为
即．
【模拟04】（2024 锦州模拟）已知G是圆T：（x+1）2+y2＝12上一动点（T为圆心），点H的坐标为（1，0），线段GH的垂直平分线交TG于点R，动点R的轨迹为C．
（1）求曲线C的方程；
（2）设P是曲线C上任一点，延长OP至点Q，使，点Q的轨迹为曲线E．
（i）求曲线E的方程；
（ii）M，N为C上两点，若，则四边形OMQN的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）（i）；
（ii）是定值，定值为．
【解答】解：（1）因为线段GH的中垂线交线段TG于点R，所以|RH|＝|RG|，
此时，
则动点R的轨迹为以T（﹣1，0），H（1，0）为焦点，长轴长为的椭圆，
不妨设椭圆方程为，此时，解得，
又c＝1，所以b2＝a2﹣c2＝2，
则曲线C的方程为；
（2）（i）不妨设Q（x，y），因为，所以，
因为点P在曲线C上，所以，解得，
则曲线E的方程为；
（ii）不妨设M（x1，y1），N（x2，y2），
因为，所以四边形OMQN是平行四边形，
不妨设对角线交点为D，当直线MN的斜率不存在时，
由椭圆的对称性以及，可得Q（2x1，0），
因为点Q在曲线E上，解得，代入曲线C的方程中，解得，
所以S△OMD，则四边形OMQN的面积为；
当直线MN的斜率存在时，不妨设直线MN的方程为y＝kx+b，
联立，消去y并整理得（3k2+2）x2+6kbx+3b2﹣6＝0，
因为Δ＞0，所以3k2﹣b2+2＞0，由韦达定理得，，
所以，则，
可得，，
因为点Q在曲线E上，解得3k2+2＝2b2，
此时
，
又3k2+2＝2b2，解得|MN|，
因为O到直线MN的距离，所以，
所以四边形OMQN的面积为，
综上得，四边形OMQN的面积为定值，定值为．
【模拟05】（2024 辽宁二模）已知平面上一动点P到定点F（，0）的距离比到定直线x＝﹣2023的距离小，记动点P的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程；
（2）点A（2，1），M，N为C上的两个动点，若M，N，B恰好为平行四边形MANB的其中三个顶点，且该平行四边形对角线的交点在第一、三象限的角平分线上，记平行四边形MANB的面积为S，求证：．
【答案】（1）y2＝2x；
（2）证明见解析．
【解答】（1）解：设P（x，y），易知x＞﹣2023，
根据题意可得，
化简得y2＝2x，
所以C的方程为y2＝2x；
（2）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN的斜率为k（k≠0），线段MN的中点为Q，
因为平行四边形MANB对角线的交点在第一、三象限的角平分线上，
所以线段MN的中点Q在直线y＝x上，
设Q（m，m）（m≠0），所以，
两式做差得（y1﹣y2）（y1+y2）＝2（x1﹣x2），
又，所以km＝1，即，
设直线MN的方程为，即x﹣my+m2﹣m＝0，
联立，整理得y2﹣2my+2m2﹣2m＝0，
所以Δ＝8m﹣4m2＞0，解得0＜m＜2，则，
则
，
又点A到直线MN的距离为，
所以，
记，因为0＜m＜2，所以t∈（0，1]，
所以S＝2t（2﹣t2）＝﹣2t3+4t，t∈（0，1]，
令f（t）＝﹣2t3+4t，t∈（0，1]，则f′（t）＝﹣6t2+4，
令f′（t）＝0，可得，
当时，f′（t）＞0，f（t）在区间（0，内单调递增，
当时，f′（t）＜0，f（t）在区间上单调递减，
所以当，即时，f（t）取得最大值，即，
所以．

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