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专题13 双曲线
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高考频度 ★★★★☆
考情分析 高考数学中，双曲线这个考点考查双曲线的定义、标准方程、几何性质、直线与双曲线．考查运算求解能力、逻辑推导能力、分析问题与解决问题的能力、数形结合思想、化归与转化思想。
一、选择题
【真题1】（2023 甲卷）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的离心率为，C的一条渐近线与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于A，B两点，则|AB|＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：双曲线C：1（a＞0，b＞0）的离心率为，
可得ca，所以b＝2a，
所以双曲线的渐近线方程为：y＝±2x，
一条渐近线与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于A，B两点，圆的圆心（2，3），半径为1，
圆的圆心到直线y＝2x的距离为：，
所以|AB|＝2．
故选：D．
【真题2】（2023 乙卷）设A，B为双曲线x21上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（　　）
A．（1，1） B．（﹣1，2） C．（1，3） D．（﹣1，﹣4）
【答案】D
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点为M（x0，y0），
，
①﹣②得k×kAB＝9，
对于选项A：可得k＝1，kAB＝9，则AB：y＝9x﹣8，
联立方程，消去 y 得72x2﹣2×72x+73＝0，
此时Δ（﹣2×72）2﹣4×72×73＝﹣288＜0，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得k＝﹣2，kAB，则AB：y，
联立方程，消去 y 得45x2+90x+61＝0，
此时Δ＝（2×45）2﹣4×45×61＝﹣4×45×16＜0，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C：可得k＝3，kAB＝3，则AB：y＝3x，
由双曲线方程可得a＝1，b＝3，则AB：y＝3x为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
对于选项D：k＝4，kAB，则AB：y，
联立方程，消去 y 得63x2+126x﹣193＝0，
此时Δ＝1262+4×63×193＞0，故直线 AB 与双曲线有交两个交点，故D正确．
故选：D．
【真题3】（2023 天津）双曲线1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P．已知|PF2|＝2，直线PF1的斜率为，则双曲线的方程为（　　）
A．1 B．1
C．1 D．1
【答案】D
【解答】解：因为过F2（c，0）作一条渐近线y的垂线，垂足为P，
则|PF2|b＝2，所以b＝2①，
联立，可得x，y，即P（，），
因为直线PF1的斜率，
整理得（a2+c2）＝4ab②，
①②联立得，a，b＝2，
故双曲线方程为1．
故选：D．
二、填空题
【真题4】（2023 新高考Ⅰ）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．点A在C上，点B在y轴上，⊥，，则C的离心率为　 　．
【答案】．
【解答】解：（法一）如图，设F1（﹣c，0），F2（c，0），B（0，n），
设A（x，y），则，
又，则，可得，
又⊥，且，
则，化简得n2＝4c2．
又点A在C上，
则，整理可得，
代n2＝4c2，可得，即，
解得或（舍去），
故．
（法二）由，得，
设，由对称性可得，
则，
设∠F1AF2＝θ，则，
所以，解得t＝a，
所以，
在△AF1F2 中，由余弦定理可得，
即5c2＝9a2，则．
故答案为：．
【真题5】（2023 北京）已知双曲线C的焦点为（﹣2，0）和（2，0），离心率为，则C的方程为　 　．
【答案】．
【解答】解：根据题意可设所求方程为，（a＞0，b＞0），
又，解得，c＝2，b2＝2，
∴所求方程为．
故答案为：．
三、解答题
【真题6】（2023 新高考Ⅱ）已知双曲线C中心为坐标原点，左焦点为（﹣2，0），离心率为．
（1）求C的方程；
（2）记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点（﹣4，0）的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于P，证明P在定直线上．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）双曲线C中心为原点，左焦点为（﹣2，0），离心率为，
则，解得，
故双曲线C的方程为；
（2）证明：过点（﹣4，0）的直线与C的左支交于M，N两点，
则可设直线MN的方程为x＝my﹣4，M（x1，y1），N（x2，y2），
记C的左，右顶点分别为A1，A2，
则A1（﹣2，0），A2（2，0），
联立，化简整理可得，（4m2﹣1）y2﹣32my+48＝0，
故Δ＝（﹣32m）2﹣4×48×（4m2﹣1）＝256m2+192＞0且4m2﹣1≠0，
，，
直线MA1的方程为，直线NA2方程y，
故
，
故，解得x＝﹣1，所以xP＝﹣1，
故点P在定直线x＝﹣1上运动．
考向1 双曲线的标准方程
解法技巧 双曲线： （1）定义：把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线． （2）这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． （3）||MF1|－|MF2||＝2a．
【模拟01】（2024 海淀区一模）若双曲线上的一点到焦点的距离比到焦点的距离大b，则该双曲线的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：由题意得，c，
设双曲线上的点为P，则|PF1|﹣|PF2|＝2a＝b，
又a2+b2＝c2＝5，故a＝1，b＝2，
故双曲线方程为1．
故选：D．
【模拟02】（2024 门头沟区一模）已知双曲线C经过点（0，1），离心率为2，则C的标准方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：由题意知，双曲线的焦点在y轴上，
故可设设双曲线的方程为（a＞0，b＞0），且a＝1，
因为，所以c＝2，所以b2＝c2﹣a2＝4﹣1＝3，
所以双曲线的标准方程为．
故选：C．
【模拟03】（2024 昆明一模）双曲线1的渐近线方程是（　　）
A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x
【答案】A
【解答】解：双曲线1的渐近线方程是：y＝±x．
故选：A．
【模拟04】（2024 南昌模拟）设双曲线的左焦点为F，直线4x﹣3y+20＝0过点F且与双曲线C在第二象限的交点为P，|OP|＝|OF|，其中O为坐标原点，则双曲线C的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：由左焦点F在直线4x﹣3y+20＝0上，令y＝0，可得x＝﹣5，
由题意可得c＝5，
设右焦点为F'，连接PF，PO，PF'，由|OP|＝|OF|＝|OF'|＝c，故△PFF'为直角三角形，
因为直线4x﹣3y+20＝0的斜率为，设直线倾斜角为α，则tanα，
|FF'|＝2c，则|PF|c，|PF'|c，
由双曲线定义，则|PF'|﹣|PF|c＝2a，
所以a＝1，双曲线C的方程为x21，
故选：D．
【模拟05】（2024 成都三模）若双曲线C的渐近线方程为，则双曲线C的标准方程可以是　 　（写出一个你认为正确的答案即可）．
【答案】（答案不唯一）．
【解答】解：∵双曲线C的渐近线方程为，
∴双曲线C的标准方程可以是．
故答案为：（答案不唯一）．
考向2 双曲线的性质
解法技巧 双曲线的性质： （1）实轴长2a，虚轴长2b，c2＝b2+ a2． （2）e（e＞1）． （3）渐近线方程±0．
【模拟01】（2024 汉中模拟）已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，曲线C上的点M满足，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：因为，
所以MF1⊥MF2，所以|MF1|c，|MF2|＝c，
又|MF1|﹣|MF2|c＝2a，所以e，
即双曲线的离心率为．
故选：A．
【模拟02】（2024 遵义二模）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过点F1且与渐近线垂直的直线与双曲线C左右两支分别交于A，B两点，若tan∠F1BF2，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：根据题意作出如下所示的图形，
由题意知，点F1（﹣c，0）到渐近线yx的距离db，
所以cos∠BF1F2，sin∠BF1F2，
因为tan∠F1BF2，所以sin∠F1BF2，cos∠F1BF2，
在△BF1F2中，由正弦定理知，即，所以|BF2|，
由双曲线的定义知，|BF1|﹣|BF2|＝2a，所以|BF1|＝2a，
在△BF1F2中，由余弦定理知，，
即，整理得，
所以离心率e．
故选：A．
【模拟03】（多选）（2024 安徽模拟）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：x＝my﹣1（m∈R）与C的左、右两支分别交于M，N两点（点N在第一象限），点在直线l上，点Q在直线NF2上，且QF1∥PF2，则（　　）
A．C的离心率为3 B．当时，
C．∠PF2M＝∠NF2P D．|QF2|为定值
【答案】BCD
【解答】解：对于A，双曲线C：，所以离心率为e2，选项A错误；
对于B，m时，xy﹣1，联立，消去x，得，解得y＝0或，所以|MN||0|，选项B正确；
对于C，设PM，PF2的斜率分别为k，﹣k，则直线MP的方程为y＝k（x+1），联立，得（3﹣k2）x2﹣2k2x﹣k2﹣3＝0，设N（x1，y1），则，，所以．当NF2⊥x轴时，|MF2|＝|NF2|＝3，△MF2N是等腰直角三角形，且易知∠PF2M＝∠NF2P＝45°；当NF2不垂直于x轴时，直线NF2的斜率为，所以，因为tan∠PF2M＝k，所以，所以2∠PF2M＝∠NF2M，∠PF2M＝∠NF2P，选项C正确；
对于D，因为QF1∥PF2，所以∠F2F1Q＝∠PF2M＝∠NF2P＝∠F2QF1，所以|QF2|＝|F1F2|＝4，选项D正确．
故选：BCD．
【模拟04】（2024 常德模拟）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线的左、右两支分别相交于M，N两点，直线NF2与双曲线的另一交点为P，若△NPF1为等腰三角形，且ΔNF1F2的面积是△PF1F2的面积的2倍，则双曲线C的离心率为　 　．
【答案】或．
【解答】解：设|NF2|＝m，|PF2|＝n，
由双曲线的定义可得|NF1|＝2a+m，|PF1|＝2a+n，
由ΔNF1F2的面积是△PF1F2的面积的2倍，可得m＝2n，
又△NPF1为等腰三角形，可得|NP|＝|NF1|，或|PF1|＝|NP|，
当|NP|＝|NF1|，即m+n＝2a+m，可得n＝2a，n＝4a，|NF1|＝6a，|PF1|＝4a，
在△F1NP中，cos∠F1NP，
在△NF1F2中，cos∠F1NF2，
化为3c2＝11a2，即e；
当|NP|＝|PF1|，即m+n＝2a+n，可得m＝2a，n＝a，|NF1|＝4a，|PF1|＝3a，
在△F1NP中，cos∠F1NP，
在△NF1F2中，cos∠F1NF2，
化为3c2＝7a2，即e．
故答案为：或．
【模拟05】（2024 金华模拟）设椭圆与双曲线有相同的焦距，它们的离心率分别为e1，e2，椭圆C1的焦点为F1，F2，C1，C2在第一象限的交点为P，若点P在直线y＝x上，且∠F1PF2＝90°，则的值为　 　．
【答案】2．
【解答】解：设椭圆与双曲线相同的焦距为2c（c＞0），则，，
因为∠F1PF2＝90°，所以|OP||F1F2|＝c，
又点P位于第一象限，且在直线y＝x上，所以P（，），
因为点P在椭圆上，所以，即，
整理得，所以，所以，
因为0＜e1＜1，所以1，所以，
当点P在双曲线上时，同理可得，
所以2．
故答案为：2．
考向3 直线与双曲线
解法技巧 一、直线与双曲线： （1）弦长：|AB|＝·＝·． （2）通径：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于两点，则弦长． 二、最值与范围的求解方法： （1）几何法：若题目的条件和结论明显能体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决． （2）代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数,则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等． 三、过定点问题： （1）把直线或曲线方程中的变量 , 当作常数看待,把方程一端化为零，既然是过定点,那么这个方程就要对任意参数都成立,这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于 , 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点． （2）由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式 ，则直线必过定点 ;若得到了直线方程的斜截式 ，则直线必过定点． （3）从特殊情况入手，先探究定点，再证明该定点与变量无关． 四、定值问题： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
【模拟01】（2024 厦门模拟）双曲线的离心率为，点在C上．
（1）求C的方程；
（2）设圆O：x2+y2＝2上任意一点P处的切线交C于M、N两点，证明：以MN为直径的圆过定点．
【答案】（1）；
（2）详见解答过程．
【解答】解：（1）依题意：，解得：a2＝1，b2＝2，
所以双曲线方程为；
证明：（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），
①当切线斜率存在时，设直线方程为y＝kx+m，
因为直线与圆相切，所以，整理得m2＝2+2k2，
联立，可得（2﹣k2）x2﹣2kmx﹣（2+m2）＝0，
则，，Δ＝4k2m2+4（2﹣k2）（m2+2）＝8（m2+2﹣k2）．
由对称性知，若以MN为直径的圆过定点，则定点必为原点，
则，
，
又m2＝2+2k2，所以
所以，故以MN为直径的圆过原点，
②当直线斜率不存在时，直线方程，此时圆方程，恒过原点，
综上所述，以MN为直径的圆过原点．
【模拟02】（2024 济南二模）已知双曲线的中心为坐标原点O，点在双曲线上，且其两条渐近线相互垂直．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若过点Q（0，2）的直线l与双曲线交于E，F两点，△OEF的面积为，求直线l的方程．
【答案】（1）1．
（2）yx+2或yx+2．
【解答】解：（1）因为双曲线C两条渐近线互相垂直，所以双曲线C为等轴双曲线，
所以设所求双曲线方程为x2﹣y2＝m，（m≠0），
又双曲线C经过点P（2，），所以4﹣2＝m，即m＝2，
所以双曲线的方程为x2﹣y2＝2，即1．
（2）根据题意可知直线l的斜率存在，又直线l过点Q（0，2），
所以直线l的方程为y＝kx+2，所以原点O到直线l的距离d，
联立，得（k2﹣1）x2+4kx+6＝0，
所以k2≠1且Δ＝16k2﹣24（k2﹣1）＝24﹣8k2＞0，所以k2＜3，且k2≠1，
所以|EF| ，
所以△OEF的面积为 |EF| d 2，
所以1，解得k2＝2，所以k＝±，
所以直线l的方程为yx+2或yx+2．
【模拟03】（2024 长春模拟）已知F1，F2分别为双曲线C：3x2﹣y2＝λ（λ＞0）的左、右焦点，过F2的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点．当l与x轴垂直时，△ABF1面积为12．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）当l与x轴不垂直时，作线段AB的中垂线，交x轴于点D．试判断是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）为定值1，理由见解析．
【解答】解：（1）双曲线3x2﹣y2＝λ可化为，
则|F1F2|＝22，|AB|2，
所以12，解得λ＝3，
所以双曲线C的标准方程为；
（2）设直线l的方程为x＝ty+2（t≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），
联立双曲线C与直线l：，消去x可得：（3t2﹣1）y2+12ty+9＝0，
因此，，进而可得，
即AB中点M为，
线段AB的中垂线为，则，
即，
所以，
即为定值1．
【模拟04】（2024 哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学一模）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的右顶点E（1，0），斜率为1的直线交C于M、N两点，且MN中点Q（1，3）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）证明：△MEN为直角三角形；
（3）若过曲线C上一点P作直线与两条渐近线相交，交点为A，B，且分别在第一象限和第四象限，若，，求△AOB面积的取值范围．
【答案】（1）．
（2）证明见解答．
（3）．
【解答】解：（1）设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2＝2，y1+y2＝6，
∵M，N两点在双曲线C上，∴，由（1）﹣（2）得，
即，∴，∴，即∴，∴b2＝3a2，
又∵a＝1，∴b2＝3，∴双曲线C的方程为：；
（2）由已知可得，直线MN的方程为：y﹣3＝1 （x﹣1），即y＝x+2，
联立，
则，
（x1﹣1，y1） （x2﹣1，y2）＝（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2＝2x2x1+（x1+x2）+5
＝2×（）+2+5＝0，
∴⊥，∴△EMN为直角三角形；
（3）由题意可知，若直线AB有斜率则斜率不为0，
故设直线AB方程为：x＝my+n，设P（x3，y3），A（x4，y4），B（x5，y5）
∵，∴（x3﹣x4，y3﹣y4）＝λ（x5﹣x3，y5﹣y3），
∴ ，
∵点p在双曲线C上，．
∴，
∴③，
又∵，
∴，∴④．
联立．
m≠±，
⑤，⑥．
∵A．B分别在第一象限 第四象限，∴y4y5＜0，∴3m2﹣1＜0，
由④式得：．
∴（3m2﹣1）y4y5+3mn（y4+y5）+3n2⑦，
将⑤⑥代入⑦得：，
∴，
∴，
，
令，
由对勾函数性质可得h（λ）在上单调递减，在（1，2]上单调递增，
∴，∴．
【模拟05】（2024 贵阳模拟）已知双曲线C的方程为，虚轴长为2，点A（﹣4，﹣1）在C上．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过原点O的直线与C交于S，T两点，已知直线AS和直线AT的斜率存在，证明：直线AS和直线AT的斜率之积为定值；
（3）过点（0，1）的直线交双曲线C于P，Q两点，直线AP，AQ与x轴的交点分别为M，N，求证：MN的中点为定点．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵虚轴长2b＝2，∴b＝1．
又∵点A（﹣4，﹣1）在双曲线上，
∴，解得a＝2，
故双曲线C的方程为．
（2）证明：设S（x0，y0），则T（﹣x0，﹣y0），
∴，
∵S（x0，y0）在双曲线C上，∴，
于是，
∴直线AS和直线AT的斜率之积为定值，定值是．
（3）证明：设直线PQ的方程为y＝kx+1，P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立，
则Δ＝（﹣16k）2﹣4（1﹣8k2）×（﹣16）＝64﹣256k2＞0，
x1x2，x1+x2①，
∴②，
③，
直线AP的方程为，令y＝0，得点M的横坐标为，
同理可得点N的横坐标为，
∴
．
将①②③式代入上式，并化简得到，
∴MN的中点的横坐标为，
故MN的中点是定点（﹣2，0）．专题13 双曲线
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高考频度 ★★★★☆
考情分析 高考数学中，双曲线这个考点考查双曲线的定义、标准方程、几何性质、直线与双曲线．考查运算求解能力、逻辑推导能力、分析问题与解决问题的能力、数形结合思想、化归与转化思想。
一、选择题
【真题1】（2023 甲卷）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的离心率为，C的一条渐近线与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于A，B两点，则|AB|＝（　　）
A． B． C． D．
【真题2】（2023 乙卷）设A，B为双曲线x21上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（　　）
A．（1，1） B．（﹣1，2） C．（1，3） D．（﹣1，﹣4）
【真题3】（2023 天津）双曲线1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P．已知|PF2|＝2，直线PF1的斜率为，则双曲线的方程为（　　）
A．1 B．1
C．1 D．1
二、填空题
【真题4】（2023 新高考Ⅰ）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．点A在C上，点B在y轴上，⊥，，则C的离心率为　 　．
【真题5】（2023 北京）已知双曲线C的焦点为（﹣2，0）和（2，0），离心率为，则C的方程为　 　．
三、解答题
【真题6】（2023 新高考Ⅱ）已知双曲线C中心为坐标原点，左焦点为（﹣2，0），离心率为．
（1）求C的方程；
（2）记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点（﹣4，0）的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于P，证明P在定直线上．
考向1 双曲线的标准方程
解法技巧 双曲线： （1）定义：把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线． （2）这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． （3）||MF1|－|MF2||＝2a．
【模拟01】（2024 海淀区一模）若双曲线上的一点到焦点的距离比到焦点的距离大b，则该双曲线的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【模拟02】（2024 门头沟区一模）已知双曲线C经过点（0，1），离心率为2，则C的标准方程为（　　）
A． B．
C． D．
【模拟03】（2024 昆明一模）双曲线1的渐近线方程是（　　）
A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x
【模拟04】（2024 南昌模拟）设双曲线的左焦点为F，直线4x﹣3y+20＝0过点F且与双曲线C在第二象限的交点为P，|OP|＝|OF|，其中O为坐标原点，则双曲线C的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【模拟05】（2024 成都三模）若双曲线C的渐近线方程为，则双曲线C的标准方程可以是　 　（写出一个你认为正确的答案即可）．
考向2 双曲线的性质
解法技巧 双曲线的性质： （1）实轴长2a，虚轴长2b，c2＝b2+ a2． （2）e（e＞1）． （3）渐近线方程±0．
【模拟01】（2024 汉中模拟）已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，曲线C上的点M满足，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【模拟02】（2024 遵义二模）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过点F1且与渐近线垂直的直线与双曲线C左右两支分别交于A，B两点，若tan∠F1BF2，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【模拟03】（多选）（2024 安徽模拟）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：x＝my﹣1（m∈R）与C的左、右两支分别交于M，N两点（点N在第一象限），点在直线l上，点Q在直线NF2上，且QF1∥PF2，则（　　）
A．C的离心率为3 B．当时，
C．∠PF2M＝∠NF2P D．|QF2|为定值
【模拟04】（2024 常德模拟）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线的左、右两支分别相交于M，N两点，直线NF2与双曲线的另一交点为P，若△NPF1为等腰三角形，且ΔNF1F2的面积是△PF1F2的面积的2倍，则双曲线C的离心率为　 　．
【模拟05】（2024 金华模拟）设椭圆与双曲线有相同的焦距，它们的离心率分别为e1，e2，椭圆C1的焦点为F1，F2，C1，C2在第一象限的交点为P，若点P在直线y＝x上，且∠F1PF2＝90°，则的值为　 　．
考向3 直线与双曲线
解法技巧 一、直线与双曲线： （1）弦长：|AB|＝·＝·． （2）通径：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于两点，则弦长． 二、最值与范围的求解方法： （1）几何法：若题目的条件和结论明显能体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决． （2）代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数,则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等． 三、过定点问题： （1）把直线或曲线方程中的变量 , 当作常数看待,把方程一端化为零，既然是过定点,那么这个方程就要对任意参数都成立,这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于 , 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点． （2）由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式 ，则直线必过定点 ;若得到了直线方程的斜截式 ，则直线必过定点． （3）从特殊情况入手，先探究定点，再证明该定点与变量无关． 四、定值问题： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
【模拟01】（2024 厦门模拟）双曲线的离心率为，点在C上．
（1）求C的方程；
（2）设圆O：x2+y2＝2上任意一点P处的切线交C于M、N两点，证明：以MN为直径的圆过定点．
【模拟02】（2024 济南二模）已知双曲线的中心为坐标原点O，点在双曲线上，且其两条渐近线相互垂直．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若过点Q（0，2）的直线l与双曲线交于E，F两点，△OEF的面积为，求直线l的方程．
【模拟03】（2024 长春模拟）已知F1，F2分别为双曲线C：3x2﹣y2＝λ（λ＞0）的左、右焦点，过F2的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点．当l与x轴垂直时，△ABF1面积为12．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）当l与x轴不垂直时，作线段AB的中垂线，交x轴于点D．试判断是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【模拟04】（2024 哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学一模）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的右顶点E（1，0），斜率为1的直线交C于M、N两点，且MN中点Q（1，3）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）证明：△MEN为直角三角形；
（3）若过曲线C上一点P作直线与两条渐近线相交，交点为A，B，且分别在第一象限和第四象限，若，，求△AOB面积的取值范围．
【模拟05】（2024 贵阳模拟）已知双曲线C的方程为，虚轴长为2，点A（﹣4，﹣1）在C上．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过原点O的直线与C交于S，T两点，已知直线AS和直线AT的斜率存在，证明：直线AS和直线AT的斜率之积为定值；
（3）过点（0，1）的直线交双曲线C于P，Q两点，直线AP，AQ与x轴的交点分别为M，N，求证：MN的中点为定点．

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