资源简介

专题16 概率
◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆
高考频度 ★★★★★
考情分析 高考数学中，概率这个考点概率多为小题，随机变量的分布列与数学期望是高考热点之一，常考查二项分布、正态分布、超几何分布等常见的分布，多为解答题。
一、选择题
【真题1】（2023 甲卷）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名，
从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，
基本事件总数n6，
这2名学生来自不同年级包含的基本事件个数m4，
则这2名学生来自不同年级的概率为P．
故选：D．
【真题2】（2023 甲卷）某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪，在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（　　）
A．0.8 B．0.4 C．0.2 D．0.1
【答案】A
【解答】解：根据题意，在该地的中学生中随机调查一位同学，设选出的同学爱好滑冰为事件A，选出的同学爱好滑雪为事件B，
由于中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪，
则P（B）＝0.5
则同时爱好两个项目的占50%+60%﹣70%＝40%，
则P（AB）＝0.4，
则P（A|B）0.8．
故选：A．
【真题3】（2023 乙卷）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，
甲、乙两位参赛同学构成的基本事件总数n＝6×6＝36，
其中甲、乙两位参赛同学抽到不同主题包含的基本事件个数m30，
则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为P．
故选：A．
二、多选题
【真题4】（2023 新高考Ⅱ）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为α（0＜α＜1），收到0的概率为1﹣α；发送1时，收到0的概率为β（0＜β＜1），收到1的概率为1﹣β．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）（　　）
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为（1﹣α）（1﹣β）2
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为β（1﹣β）2
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β（1﹣β）2+（1﹣β）3
D．当0＜α＜0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
【答案】ABD
【解答】解：采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为：（1﹣β）（1﹣α）（1﹣β）＝（1﹣α）（1﹣β）2，故A正确；
采用三次传输方案，若发送1，依次收到1，0，1的概率为：（1﹣β）β（1﹣β）＝β（1﹣β）2，故B正确；
采用三次传输方案，若发送1，
则译码为1包含收到的信号为包含两个1或3个1，
故所求概率为：，故C错误；
三次传输方案发送0，译码为0的概率P1，
单次传输发送0译码为0的概率P2＝1﹣α，
（1﹣α）3
＝（1﹣α）（2α2﹣α）
＝（1﹣α）α（2α﹣1），
当0＜α＜0.5时，P2﹣P1＜0，
故P2＜P1，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题
【真题5】（2023 天津）甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5：4：6．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%，25%，50%．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为　 　；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为　 　．
【答案】；．
【解答】解：设盒子中共有球15n个，则甲盒子中有黑球2n个，白球3n个，
乙盒子中有黑球n个，白球3n个，丙盒子中有黑球3n个，白球3n个，
从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为；
将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率．
故答案为：；．
四、解答题
【真题6】（2023 新高考Ⅰ）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
（1）求第2次投篮的人是乙的概率；
（2）求第i次投篮的人是甲的概率；
（3）已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P（Xi＝1）＝1﹣P（Xi＝0）＝qi，i＝1，2， ，n，则E（）．记前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，求E（Y）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设第2次投篮的人是乙的概率为P，
由题意得P＝0.5×0.4+0.5×0.8＝0.6；
（2）由题意设Pn为第n次投篮的是甲，
则Pn+1＝0.6Pn+0.2（1﹣Pn）＝0.4Pn+0.2，
∴Pn+10.4（Pn），
又P10，则{Pn}是首项为，公比为0.4的等比数列，
∴Pn（）n﹣1，即Pn（）n﹣1，
∴第i次投篮的人是甲的概率为Pi（）i﹣1；
（3）由（2）得Pi（）i﹣1，
∴当n∈N*时，E（Y）＝P1+P2+...+Pn[1﹣（）n]，
综上所述，E（Y）[1﹣（）n]，n∈N*．
【真题7】（2023 甲卷）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）．
（1）设X表示指定的两只小鼠中分配到对照组的只数，求X的分布列和数学期望；
（2）试验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
（i）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表：
＜m ≥m
对照组
实验组
（ii）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？
附：K2，
P（K2≥k） 0.100 0.050 0.010
k 2.706 3.841 6.635
【答案】（1）分布列见解答；期望为1；（2）（i）m＝23.4；列联表见解答；（ii）能有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用．
【解答】解：（1）根据题意可得X＝0，1，2，
又P（X＝0），
P（X＝1），
P（X＝2），
∴X的分布列为：
X 0 1 2
P
∴E（X）1；
（2）（i）40个数据从小到大排列后，中位数m即为第20位和第21位数的平均数，
第20位数为23.2，第21位数为23.6，
∴m，
∴补全列联表为：
＜m ≥m 合计
对照组 6 14 20
实验组 14 6 20
合计 20 20 40
（ii）由（i）可知6.400＞3.841，
∴能有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用．
【真题8】（2023 北京）为了研究某种农产品价格变化的规律，收集到了该农产品连续40天的价格变化数据，如表所示，在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“﹣”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．
时段 价格变化
第1天到 第20天 ﹣ + + 0 ﹣ ﹣ ﹣ + + 0 + 0 ﹣ ﹣ + ﹣ + 0 0 +
第21天 到第40天 0 + + 0 ﹣ ﹣ ﹣ + + 0 + 0 + ﹣ ﹣ ﹣ + 0 ﹣ +
用频率估计概率．
（Ⅰ）试估计该农产品“上涨”的概率；
（Ⅱ）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的，在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；
（Ⅲ）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格的影响，判断第41天该农产品价格“上涨”、“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）
【答案】（Ⅰ）0.4；（Ⅱ）0.168；（Ⅲ）“不变”的概率估值最大．
【解答】解：（Ⅰ）由表可知，40天中“上涨”的有16天，则该农产品“上涨”的概率为0.4．
（Ⅱ）由表可知，40天中“下跌”的有14天，则该农产品“下跌”的概率为0.35，
40天中“不变”的有10天，则该农产品“不变”的概率为0.25，
则该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率0.25＝0.168．
（Ⅲ）由于第40天处于“上涨”状态，从前39天中15次“上涨”进行分析，
“上涨”后下一次仍“上涨”的有4次，概率为，
“上涨”后下一次“不变”的有9次，概率为，
“上涨”后下一次“下降”的有2次，概率为，
故第41天该农产品价格“不变”的概率估值最大．
【真题9】（2023 上海）2023年6月7日，21世纪汽车博览会在上海举行，已知某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：
红色外观 蓝色外观
棕色内饰 12 8
米色内饰 2 3
（1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到红色外观的模型，事件B为小明取到棕色内饰的模型，求P（B）和P（B|A），并判断事件A和事件B是否独立；
（2）该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下假设：
假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以及仅外观或仅内饰同色；
假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高；
假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖600元，二等奖300元、三等奖150元；
请你分析奖项对应的结果，设X为奖金额，写出X的分布列并求出X的数学期望．
【答案】（1）P（A），P（B）．P（B|A）．事件A和事件B不独立．
（2）EX＝277（元）．
【解答】解：（1）若红色外观的模型，则分棕色内饰12个，米色内饰2个，则对应的概率P（A），
若小明取到棕色内饰，分红色外观12，蓝色外观8，则对应的概率P（B）．
取到红色外观的模型同时是棕色内饰的有12个，即P（AB），
则P（B|A）．
∵P（A）P（B），∴P（A）P（B）≠P（AB），
即事件A和事件B不独立．
（2）由题意知X＝600，300，150，
则外观和内饰均为同色的概率P，
外观和内饰都异色的概率P，
仅外观或仅内饰同色的概率P＝1，
∵，
∴P（X＝150），P（X＝300），P（X＝600），
则X的分布列为：
X 150 300 600
P
则EX＝150300600277（元）．
考向1 概率
解法技巧 概率： （1）古典概率：如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）． （2）概率乘法公式：将事件A和事件B同时发生的事件即为A B，若两个相互独立事件A、B同时发生，则事件A B发生的概率P（A B）＝P（A） P（B）． （3）条件概率：对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P（B|A）来表示，P（B|A）．
【模拟01】（2024 陕西模拟）已知在某次乒乓球单打比赛中，甲、乙、丙、丁四人进入半决赛．将四人随机分为两组进行单打半决赛，每组的胜出者进行冠军的争夺．已知四人水平相当，即半决赛每人胜或负的概率均为．若甲、丙分在一组，乙、丁分在一组，则甲、乙两人在决赛中相遇的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：甲、乙两人在决赛中相遇，
甲、丙比赛中甲获胜，乙、丁比赛中乙获胜，
故甲、乙两人在决赛中相遇的概率为．
故选：B．
【模拟02】（2024 拉萨二模）从3，4，5，6，7这5个数字中任取3个，则取出的3个数字的和为大于10的偶数的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：从3，4，5，6，7这5个数字中任取3个，有10种不同的结果，分别为：
（3，4，5），（3，4，6），（3，4，7），（3，5，6），（3，5，7），
（3，6，7），（4，5，6），（4，5，7），（4，6，7），（5，6，7），
其中取出3个数字的和为大于10的偶数的结果有6个，分别为：
（3，4，5），（3，4，7），（3，5，6），（3，6，7），（4，5，7），（5，6，7），
∴取出的3个数字的和为大于10的偶数的概率是．
故选：D．
【模拟03】（2024 保定一模）已知某羽毛球小组共有20名运动员，其中一级运动员4人，二级运动员6人，三级运动员10人．现在举行一场羽毛球选拔赛，若一级、二级、三级运动员能够晋级的概率分别为0.9，0.6，0.2，则这20名运动员中任选一名运动员能够晋级的概率为（　　）
A．0.62 B．0.58 C．0.46 D．0.42
【答案】C
【解答】解：某羽毛球小组共有20名运动员，其中一级运动员4人，二级运动员6人，三级运动员10人，
现在举行一场羽毛球选拔赛，一级、二级、三级运动员能够晋级的概率分别为0.9，0.6，0.2，
设事件A表示“选中一级运动员”，事件B表示“选中二级运动员”，事件C表示“选中三级运动员”，
事件D表示“选中的运动员能晋级”，
则P（A），P（B），P（C），
PD|A）＝0.9，P（D|B）＝0.6，P（D|C）＝0.2，
则这20名运动员中任选一名运动员能够晋级的概率为：
P（D）＝P（A）P（D|A）+P（B）P（D|B）+P（C）P（D|C）
＝0.2×0.9+0.3×0.6+0.5×0.2
＝0.46．
故选：C．
【模拟04】（多选）（2024 河北一模）投掷一枚质地不均匀的硬币，已知出现正面向上的概率为p，记An表示事件“在n次投掷中，硬币正面向上出现偶数次”，则下列结论正确的是（　　）
A．A2与是互斥事件
B．
C．P（An+1）＝（1﹣2p）P（An）+p
D．P（A2n）＞P（A2n+2）
【答案】ACD
【解答】解：对A，因为对立事件是互斥事件，所以A正确；
对B，，所以B错；
对C，由全概率公式可知
＝（1﹣2p）P（An）+p，所以C正确；
对D，由C可知，
因为，
所以是以为首项，1﹣2p为公比的等比数列，
所以，
所以，
所以，因为0＜p＜1且，
所以1﹣2p∈（﹣1，0）∪（0，1），所以（1﹣2p）2∈（0，1），
所以是关于n的递减数列，
所以P（A2n）＞P（A2n+2），D正确．
故选：ACD．
【模拟05】（2024 南昌二模）一次知识竞赛中，共有A，B，C，D，E5个题，参赛人每次从中抽出一个题回答（抽后不放回）．已知参赛人甲A题答对的概率为，B题答对的概率为，C，D，E题答对的概率均为，则甲前3个题全答对的概率为　 　．
【答案】．
【解答】解：参赛人甲A题答对的概率为，B题答对的概率为，C，D，E题答对的概率均为，
则甲前3个题全答对的概率为P[（）3]．
故答案为：．
考向2 离散型随机变量及其分布列
解法技巧 一、离散型随机变量分布列、数学期望、方差： （1）离散型随机变量X的概率分布列 Xx1x2…xn…Pp1p2…pn…
（2）数学期望：称EX＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为X的数学期望，简称期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平． （3）方差、标准差：D(X)＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，其算术平方根为随机变量X的标准差． （4）期望方差的性质：E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)(a,b为常数)． 二、常见随机变量的分布列： （1）两点分布: 若随机变量X服从两点分布，则其分布列为 X01P1－pp
（2）超几何分布: 在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列为超几何分布列． X01…mP…
（3）二项分布: 如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(X＝k)＝CPkqn－k，其中k＝0，1，2，3，…，n，q＝1－P.于是得到随机变量X的概率分布如下： X01…k…nPCP0qnCP1qn－1…CPkqn－k…CPnq0
由于CPkqn－k恰好是二项展开式(P＋q)n＝CP0qn＋CP1qn－1＋…＋CPkqn－k＋…＋CPnq0中的第k＋1项(k＝0，1，2，…，n)中的值，故称随机变量X为二项分布，记作X～B(n，P)．
【模拟01】（2024 安徽模拟）为发展体育运动增强学生体质，甲乙两班各选3名同学进行乒乓球单打比赛，3场比赛每人参加一场比赛，各场比赛互不影响，每场比赛胜者本班获得相应积分，负者班级积分为0．据统计可知甲班3名参赛学生的情况如下表：
学生 A B C
获胜概率 0.4 0.6 0.8
获胜积分 6 5 4
（1）求甲班至少获胜2场的概率；
（2）记甲班获得积分为X，求X的分布列与数学期望．
【答案】（1）0.656；
（2）分布列见解析，8.600．
【解答】解：（1）记A，B，C参赛获胜事件分别记为A，B，C表示，
参赛失败分别记为，
所以P（A）＝0.4，P（B）＝0.6，P（C）＝0.8，
，
则甲班至少获胜2场事件记为M，则，
＝0.4×0.6×0.8+0.4×0.6×0.2+0.4×0.4×0.8+0.6×0.6×0.8＝0.656，
所以甲班至少获胜2场的概率为0.656；
（2）由已知X取值为0，4，5，6，9，10，11，15，
，
，
，
P（X＝11）＝P（AB）＝0.4×0.6×0.2＝0.048，P（X＝15）＝P（ABC）＝0.4×0.6×0.8＝0.192，
所以E（X）＝0×0.048+4×0.192+5×0.072+6×0.032+9×0.288+10×0.128+11×0.048+15×0.192＝0.768+0.360+0.192+2.592+1.280+0.528+2.880＝8.600．
【模拟02】（2024 烟台一模）联合国新闻部将我国农历二十四节气中的“谷雨”定为联合国中文日，以纪念“中华文字始祖”仓颉的贡献．某大学拟在2024年的联合国中文日举行中文知识竞赛决赛决赛分为必答、抢答两个环节依次进行．必答环节，共2道题，答对分别记30分、40分，否则记0分：抢答环节，包括多道题，设定比赛中每道题必须进行抢答，抢到并答对者得15分，抢到后未答对，对方得15分：两个环节总分先达到或超过100分者获胜，比赛结束．已知甲、乙两人参加决赛，且在必答环节，甲答对两道题的概率分别，乙答对两道题的概率分别为，在抢答环节，任意一题甲、乙两人抢到的概率都为，甲答对任意一题的概率为，乙答对任意一题的概率为，假定甲、乙两人在各环节、各道题中答题相互独立．
（1）在必答环节中，求甲、乙两人得分之和大于100分的概率；
（2）在抢答环节中，求任意一题甲获得15分的概率；
（3）若在必答环节甲得分为70分，乙得分为40分，设抢答环节经过X道题抢答后比赛结束，求随机变量X的分布列及数学期望．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）两人得分之和大于100分可分为甲得4（0分）、乙得7（0分），甲得7（0分）、乙得4（0分），甲得7（0分）、乙得7（0分）三种情况，
所以得分大于100分的概率；
（2）抢答环节任意一题甲得（15分）的概率；
（3）X的可能取值为2，3，4，5，由抢答任意一题甲得（15分）的概率为，得抢答任意一题乙得（15分）的概率为，
，，
，．
所以X的分布列为：
X 2 3 4 5
P
数学期望．
【模拟03】（2024 金华模拟）为鼓励消费，某商场开展积分奖励活动，消费满100元的顾客可抛掷骰子两次，若两次点数之和等于7，则获得5个积分：若点数之和不等于7，则获得2个积分．
（1）记两次点数之和等于7为事件A，第一次点数是奇数为事件B，证明：事件A，B是独立事件；
（2）现有3位顾客参与了这个活动，求他们获得的积分之和X的分布列和期望．
【答案】（1）证明过程见解析；
（2）X的分布列为：
X 6 9 12 15
P
E（X）＝7.5．
【解答】解：（1）证明：由题意可知，总共有36种情况，和为7有6种，
所以，，
∵第一次为奇数且和为7有三个情况，∴P（AB），
∵P（A） P（B）＝P（AB），
∴事件A，B是独立事件；
（2）由题得：X＝6，9，12，15，
则，，，，
∴X的分布列为：
X 6 9 12 15
P
∴E（X）＝67.5．
【模拟04】（2024 T8联考模拟）乒乓球（tabletennis），被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目．已知某次乒乓球比赛单局赛制为：两球换发制，每人发两个球，然后由对方发球，先得11分者获胜．
（1）若单局比赛中，甲发球时获胜的概率为，甲接球时获胜的概率为，甲先发球，求单局比赛中甲11：2获胜的概率；
（2）若比赛采用三局两胜制（当一队赢得两场胜利时，该队获胜，比赛结束），每局比赛甲获胜的概率为，每局比赛结果相互独立，记X为比赛结束时的总局数，求X的期望．（参考数据66＝46656）
【答案】（1）；
（2）．
【解答】（1）因为甲先发球，且甲11：2获胜，所以一共有13局比赛，
最后1次由甲发球，且最后一次甲赢，前12局，甲发球6次，乙发球6次，乙共获胜2次，
所以单局比赛中甲11：2获胜的概率为；
（2）由题意得X的取值为2，3，
，，
所以X的期望为．
【模拟05】（2024 湖南模拟）现有甲、乙、丙三个工厂生产某种相同的产品进入市场．已知甲、乙、丙三个工厂生产的产品能达到优秀等级的概率分别为，，现有某质检部门，对该产品进行质量检测，首先从三个工厂中等可能地随机选择一个工厂，然后从该工厂生产的产品抽取一件进行检测．
（1）若该质检部门的一次抽检中，测得的结果是该件产品为优秀等级，求该件产品是从乙工厂抽取的概率；
（2）因为三个工厂的规模大小不同，假设三个工厂进入市场的产品的比例为2：1：1，若该质检部门从已经进入市场的产品中随机抽取10件产品进行检测，求能达到优秀等级的产品的件数ξ的分布列及数学期望．
【答案】（1）；
（2）分布列见解析；．
【解答】解：（1）设A＝“抽的产品是优秀等级”，B1＝“产品是从甲工厂生产”，
B2＝“产品是从乙工厂生产”，B3＝“产品是从丙工厂生产”，
则,，，，
则P（A）＝P（B1）P（A|B1）+P（B2）P（A|B2）+P（B3）P（A|B3），
则，
所以该件产品是从乙工厂抽取的概率为．
（2）依题意，设从市场中任抽一件产品达到优秀等级的概率为p，
则，由题意可知ξ～，
则，
则ξ的分布列为：
ξ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P
故．
考向3 正态分布
解法技巧 正态分布： （1）正态分布完全由参数，确定，因此正态分布常记作．如果随机变量服从正态分布，则记为． （2）原则：,,．
【模拟01】（2024 重庆模拟）已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），P（X＞1）＝0.7，则P（2＜X＜3）＝（　　）
A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.2
【答案】D
【解答】解：根据题意，随机变量X服从正态分布N（2，σ2），
则P（X＜2）＝P（X＞2）＝0.5，
若P（X＞1）＝0.7，则P（1＜X＜2）＝P（X＞1）﹣P（X＞2）＝0.2，
故P（2＜X＜3）＝P（1＜X＜2）＝0.2．
故选：D．
【模拟02】（多选）（2024 河南模拟）下列结论正确的是（　　）
A．数据36，28，22，24，22，78，32，26，20，22的第80百分位数为34
B．用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是
C．已知随机变量，若η＝2ξ+1，则D（η）＝3
D．随机变量X N（2，σ2），若P（x＞1）＝0.68，则P（2≤x＜3）＝0.18
【答案】AD
【解答】解：对于A，将数据按照从小到大的顺序排列为20，22，22，22，24，26，28，32，36，78，因为10×80%＝8，所以第80百分位数为，故A正确；
对于B，用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是，故B错误；
对于C，因为随机变量ξ～B（8，），所以，因为η＝2ξ+1，所以，故C错误；
对于D，因为随机变量X～N（2，σ2），所以正态曲线的对称轴为直线x＝2，因为P（1＜x＜2）＝0.68﹣0.5＝0.18，所以P（2≤x＜3）＝0.18，故D正确．
故选：AD．
【模拟03】（2024 佛山模拟）统计学中通常认为服从于正态分布N（μ，σ2）的随机变量X只取[μ﹣3σ，μ+3σ]中的值，简称为3σ原则．假设某厂有一条包装食盐的生产线，正常情况下食盐质量服从正态分布N（400，σ2）（单位：g），某天生产线上的检测员随机抽取了一包食盐，称得其质量大于415g，他立即判断生产线出现了异常，要求停产检修．由此可以得出，σ的最大值是　 　．
【答案】5．
【解答】解：由题意可知，400+3σ≤415，解得σ≤5，即σ的最大值为5．
故答案为：5．
【模拟04】（2024 福建模拟）某企业生产一种零部件，其质量指标介于（49.6，50.4）的为优品．技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布N（50，0.16）；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布N（50，0.04）．那么，该企业生产的这种零部件技术改造后的优品率与技术改造前的优品率之差为　 　．（若X N（μ，σ2），则P（|X﹣μ|＜σ）＝0.6827，P（|X﹣μ|＜2σ）＝0.9545，P（|X﹣μ|＜3σ）＝0.9973）
【答案】0.2718．
【解答】解：技术改造前，易知μ1＝50，σ1＝0.4，
则其优品率为P（49.6＜X＜50.4）＝P（μ1﹣σ1＜X＜μ1+σ1）＝P（|X﹣μ1|＜σ1）＝0.6827，
技术改造后，其中μ2＝50，σ2＝0.2，
则其优品率为P（49.6＜X＜50.4）＝P（μ2﹣2σ2＜X＜μ2+2σ2）＝P（|X﹣μ1|＜2σ2）＝0.9545，
所以优品率之差为0.9545﹣0.6827＝0.2718．
故答案为：0.2718．
【模拟05】（2024 南昌二模）一条生产电阻的生产线，生产正常时，生产的电阻阻值X（单位：Ω）服从正态分布N（1000，52）．
（1）生产正常时，从这条生产线生产的电阻中抽取2只，求这两只电阻的阻值在区间（995，1000]和（1005，1010]内各一只的概率；（精确到0.001）
（2）根据统计学的知识，从服从正态分布N（μ，σ2）的总体中抽取容量为n的样本，则这个样本的平均数服从正态分布．某时刻，质检员从生产线上抽取5只电阻，测得阻值分别为：1000，1007，1012，1013，1013（单位：Ω）．你认为这时生产线生产正常吗？说明理由．
（参考数据：若X～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≈0.9974）
【答案】（1）0.093；
（2）不正常，理由见解析．
【解答】解：（1）μ＝1000，σ＝5，生产正常时从生产线生产的电阻中抽取1只，
则这只电阻阻值在（995，1000]和在（1005，1010]的概率分别为：，p2＝[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）]＝0.1359，
因此所求概率为：p＝2p1p2≈0.093；
（2）生产正常时，这5个样本的平均数服从正态分布，
记σ'，计算可得，这时，即，
小概率事件发生了，因此认为这时生产线生产不正常．专题16 概率
◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆
高考频度 ★★★★★
考情分析 高考数学中，概率这个考点概率多为小题，随机变量的分布列与数学期望是高考热点之一，常考查二项分布、正态分布、超几何分布等常见的分布，多为解答题。
一、选择题
【真题1】（2023 甲卷）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（　　）
A． B． C． D．
【真题2】（2023 甲卷）某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪，在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（　　）
A．0.8 B．0.4 C．0.2 D．0.1
【真题3】（2023 乙卷）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
【真题4】（2023 新高考Ⅱ）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为α（0＜α＜1），收到0的概率为1﹣α；发送1时，收到0的概率为β（0＜β＜1），收到1的概率为1﹣β．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）（　　）
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为（1﹣α）（1﹣β）2
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为β（1﹣β）2
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β（1﹣β）2+（1﹣β）3
D．当0＜α＜0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
三、填空题
【真题5】（2023 天津）甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5：4：6．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%，25%，50%．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为　 　；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为　 　．
四、解答题
【真题6】（2023 新高考Ⅰ）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
（1）求第2次投篮的人是乙的概率；
（2）求第i次投篮的人是甲的概率；
（3）已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P（Xi＝1）＝1﹣P（Xi＝0）＝qi，i＝1，2， ，n，则E（）．记前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，求E（Y）．
【真题7】（2023 甲卷）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）．
（1）设X表示指定的两只小鼠中分配到对照组的只数，求X的分布列和数学期望；
（2）试验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
（i）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表：
＜m ≥m
对照组
实验组
（ii）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？
附：K2，
P（K2≥k） 0.100 0.050 0.010
k 2.706 3.841 6.635
【真题8】（2023 北京）为了研究某种农产品价格变化的规律，收集到了该农产品连续40天的价格变化数据，如表所示，在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“﹣”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．
时段 价格变化
第1天到 第20天 ﹣ + + 0 ﹣ ﹣ ﹣ + + 0 + 0 ﹣ ﹣ + ﹣ + 0 0 +
第21天 到第40天 0 + + 0 ﹣ ﹣ ﹣ + + 0 + 0 + ﹣ ﹣ ﹣ + 0 ﹣ +
用频率估计概率．
（Ⅰ）试估计该农产品“上涨”的概率；
（Ⅱ）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的，在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；
（Ⅲ）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格的影响，判断第41天该农产品价格“上涨”、“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）
【真题9】（2023 上海）2023年6月7日，21世纪汽车博览会在上海举行，已知某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：
红色外观 蓝色外观
棕色内饰 12 8
米色内饰 2 3
（1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到红色外观的模型，事件B为小明取到棕色内饰的模型，求P（B）和P（B|A），并判断事件A和事件B是否独立；
（2）该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下假设：
假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以及仅外观或仅内饰同色；
假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高；
假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖600元，二等奖300元、三等奖150元；
请你分析奖项对应的结果，设X为奖金额，写出X的分布列并求出X的数学期望．
考向1 概率
解法技巧 概率： （1）古典概率：如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）． （2）概率乘法公式：将事件A和事件B同时发生的事件即为A B，若两个相互独立事件A、B同时发生，则事件A B发生的概率P（A B）＝P（A） P（B）． （3）条件概率：对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P（B|A）来表示，P（B|A）．
【模拟01】（2024 陕西模拟）已知在某次乒乓球单打比赛中，甲、乙、丙、丁四人进入半决赛．将四人随机分为两组进行单打半决赛，每组的胜出者进行冠军的争夺．已知四人水平相当，即半决赛每人胜或负的概率均为．若甲、丙分在一组，乙、丁分在一组，则甲、乙两人在决赛中相遇的概率为（　　）
A． B． C． D．
【模拟02】（2024 拉萨二模）从3，4，5，6，7这5个数字中任取3个，则取出的3个数字的和为大于10的偶数的概率是（　　）
A． B． C． D．
【模拟03】（2024 保定一模）已知某羽毛球小组共有20名运动员，其中一级运动员4人，二级运动员6人，三级运动员10人．现在举行一场羽毛球选拔赛，若一级、二级、三级运动员能够晋级的概率分别为0.9，0.6，0.2，则这20名运动员中任选一名运动员能够晋级的概率为（　　）
A．0.62 B．0.58 C．0.46 D．0.42
【模拟04】（多选）（2024 河北一模）投掷一枚质地不均匀的硬币，已知出现正面向上的概率为p，记An表示事件“在n次投掷中，硬币正面向上出现偶数次”，则下列结论正确的是（　　）
A．A2与是互斥事件
B．
C．P（An+1）＝（1﹣2p）P（An）+p
D．P（A2n）＞P（A2n+2）
【模拟05】（2024 南昌二模）一次知识竞赛中，共有A，B，C，D，E5个题，参赛人每次从中抽出一个题回答（抽后不放回）．已知参赛人甲A题答对的概率为，B题答对的概率为，C，D，E题答对的概率均为，则甲前3个题全答对的概率为　 　．
考向2 离散型随机变量及其分布列
解法技巧 一、离散型随机变量分布列、数学期望、方差： （1）离散型随机变量X的概率分布列 Xx1x2…xn…Pp1p2…pn…
（2）数学期望：称EX＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为X的数学期望，简称期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平． （3）方差、标准差：D(X)＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，其算术平方根为随机变量X的标准差． （4）期望方差的性质：E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)(a,b为常数)． 二、常见随机变量的分布列： （1）两点分布: 若随机变量X服从两点分布，则其分布列为 X01P1－pp
（2）超几何分布: 在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列为超几何分布列． X01…mP…
（3）二项分布: 如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(X＝k)＝CPkqn－k，其中k＝0，1，2，3，…，n，q＝1－P.于是得到随机变量X的概率分布如下： X01…k…nPCP0qnCP1qn－1…CPkqn－k…CPnq0
由于CPkqn－k恰好是二项展开式(P＋q)n＝CP0qn＋CP1qn－1＋…＋CPkqn－k＋…＋CPnq0中的第k＋1项(k＝0，1，2，…，n)中的值，故称随机变量X为二项分布，记作X～B(n，P)．
【模拟01】（2024 安徽模拟）为发展体育运动增强学生体质，甲乙两班各选3名同学进行乒乓球单打比赛，3场比赛每人参加一场比赛，各场比赛互不影响，每场比赛胜者本班获得相应积分，负者班级积分为0．据统计可知甲班3名参赛学生的情况如下表：
学生 A B C
获胜概率 0.4 0.6 0.8
获胜积分 6 5 4
（1）求甲班至少获胜2场的概率；
（2）记甲班获得积分为X，求X的分布列与数学期望．
【模拟02】（2024 烟台一模）联合国新闻部将我国农历二十四节气中的“谷雨”定为联合国中文日，以纪念“中华文字始祖”仓颉的贡献．某大学拟在2024年的联合国中文日举行中文知识竞赛决赛决赛分为必答、抢答两个环节依次进行．必答环节，共2道题，答对分别记30分、40分，否则记0分：抢答环节，包括多道题，设定比赛中每道题必须进行抢答，抢到并答对者得15分，抢到后未答对，对方得15分：两个环节总分先达到或超过100分者获胜，比赛结束．已知甲、乙两人参加决赛，且在必答环节，甲答对两道题的概率分别，乙答对两道题的概率分别为，在抢答环节，任意一题甲、乙两人抢到的概率都为，甲答对任意一题的概率为，乙答对任意一题的概率为，假定甲、乙两人在各环节、各道题中答题相互独立．
（1）在必答环节中，求甲、乙两人得分之和大于100分的概率；
（2）在抢答环节中，求任意一题甲获得15分的概率；
（3）若在必答环节甲得分为70分，乙得分为40分，设抢答环节经过X道题抢答后比赛结束，求随机变量X的分布列及数学期望．
【模拟03】（2024 金华模拟）为鼓励消费，某商场开展积分奖励活动，消费满100元的顾客可抛掷骰子两次，若两次点数之和等于7，则获得5个积分：若点数之和不等于7，则获得2个积分．
（1）记两次点数之和等于7为事件A，第一次点数是奇数为事件B，证明：事件A，B是独立事件；
（2）现有3位顾客参与了这个活动，求他们获得的积分之和X的分布列和期望．
【模拟04】（2024 T8联考模拟）乒乓球（tabletennis），被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目．已知某次乒乓球比赛单局赛制为：两球换发制，每人发两个球，然后由对方发球，先得11分者获胜．
（1）若单局比赛中，甲发球时获胜的概率为，甲接球时获胜的概率为，甲先发球，求单局比赛中甲11：2获胜的概率；
（2）若比赛采用三局两胜制（当一队赢得两场胜利时，该队获胜，比赛结束），每局比赛甲获胜的概率为，每局比赛结果相互独立，记X为比赛结束时的总局数，求X的期望．（参考数据66＝46656）
【模拟05】（2024 湖南模拟）现有甲、乙、丙三个工厂生产某种相同的产品进入市场．已知甲、乙、丙三个工厂生产的产品能达到优秀等级的概率分别为，，现有某质检部门，对该产品进行质量检测，首先从三个工厂中等可能地随机选择一个工厂，然后从该工厂生产的产品抽取一件进行检测．
（1）若该质检部门的一次抽检中，测得的结果是该件产品为优秀等级，求该件产品是从乙工厂抽取的概率；
（2）因为三个工厂的规模大小不同，假设三个工厂进入市场的产品的比例为2：1：1，若该质检部门从已经进入市场的产品中随机抽取10件产品进行检测，求能达到优秀等级的产品的件数ξ的分布列及数学期望．
考向3 正态分布
解法技巧 正态分布： （1）正态分布完全由参数，确定，因此正态分布常记作．如果随机变量服从正态分布，则记为． （2）原则：,,．
【模拟01】（2024 重庆模拟）已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），P（X＞1）＝0.7，则P（2＜X＜3）＝（　　）
A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.2
【模拟02】（多选）（2024 河南模拟）下列结论正确的是（　　）
A．数据36，28，22，24，22，78，32，26，20，22的第80百分位数为34
B．用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是
C．已知随机变量，若η＝2ξ+1，则D（η）＝3
D．随机变量X N（2，σ2），若P（x＞1）＝0.68，则P（2≤x＜3）＝0.18
【模拟03】（2024 佛山模拟）统计学中通常认为服从于正态分布N（μ，σ2）的随机变量X只取[μ﹣3σ，μ+3σ]中的值，简称为3σ原则．假设某厂有一条包装食盐的生产线，正常情况下食盐质量服从正态分布N（400，σ2）（单位：g），某天生产线上的检测员随机抽取了一包食盐，称得其质量大于415g，他立即判断生产线出现了异常，要求停产检修．由此可以得出，σ的最大值是　 　．
【模拟04】（2024 福建模拟）某企业生产一种零部件，其质量指标介于（49.6，50.4）的为优品．技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布N（50，0.16）；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布N（50，0.04）．那么，该企业生产的这种零部件技术改造后的优品率与技术改造前的优品率之差为　 　．（若X N（μ，σ2），则P（|X﹣μ|＜σ）＝0.6827，P（|X﹣μ|＜2σ）＝0.9545，P（|X﹣μ|＜3σ）＝0.9973）
【模拟05】（2024 南昌二模）一条生产电阻的生产线，生产正常时，生产的电阻阻值X（单位：Ω）服从正态分布N（1000，52）．
（1）生产正常时，从这条生产线生产的电阻中抽取2只，求这两只电阻的阻值在区间（995，1000]和（1005，1010]内各一只的概率；（精确到0.001）
（2）根据统计学的知识，从服从正态分布N（μ，σ2）的总体中抽取容量为n的样本，则这个样本的平均数服从正态分布．某时刻，质检员从生产线上抽取5只电阻，测得阻值分别为：1000，1007，1012，1013，1013（单位：Ω）．你认为这时生产线生产正常吗？说明理由．
（参考数据：若X～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≈0.9974）

展开更多......

收起↑