资源简介

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6.1.1 两角和与差的余弦公式
学习目标
知识 能力与素养
（1）使学生理解两角和与差的余弦公式和诱导公式的推导；（2）使学生能够从正反两个方向运用公式解决简单应用问题． （1）培养学生逆向思维，数形结合的意识和习惯；（2）培养学生的代数意识，特殊值法的应用意识；（3）培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。
学习重难点
重点 难点
通过探索得到两角差的余弦公式；两角和的余弦公式的探究． 探索过程的组织和适当引导学习评价设计．
教材分析
两角和与差的余弦具有承上、启下的作用。它是前面所学的任意角的三角函数和诱导公式等知识的延伸，同时又是两角和与差的正弦、正切和二倍角公式的基础。对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。.
学情分析
学生的自主概括能力有待提高，故采用主讲练结合式教学，提高学生对知识的整体把握能力．
教学工具
教学课件
课时安排
2课时
教学过程
6.1.1 两角和与差的余弦公式
（一）创设情境，生成问题
在基础模块，我们学习了三角函数的诱导公式：
sin(2k＋)= sin；cos(2k＋)= cos；tan(2k＋)= tan. sin(π+)= sin；cos(π+)= cos；tan(π+)=tan. sin( α) )=sinα ；cos( α)= cosα；tan( α)= tanα.
现实中,很多与三角函数有关的实际问题常常涉及两个任意角的和(或差)的三角函数.为此，我们进一步学习两角和与差的三角函数公式.
早在公元2世纪，人们就推导出了两角和与差的余弦公式.
随着时间的推移和研究的深入,现在数学中已很少使用公元2世纪的推导方法，而是首先推导两角差的余弦公式,再通过诱导公式得到两角和的余弦公式.那么现在是怎样推导两角差的余弦公式的呢？
【设计意图】利用特殊到一般的方法说明和角公式解决的问题，结合数学史激发学生学习兴趣.
（二）调动思维，探究新知
如图所示，设单位圆与x轴的交点为P1，角α、β和β-α的终边与单位圆的交点分别为P2、P3和P4，则点P1、P2、P3、P4的坐标分别为(1,0)、(cosα,sin α)、(cos β,sinβ) 、(cos (β-α),sin (β-α)).
当P2、O、P3不在同一条直线上时，
∠P2OP3=∠P4OP1=α-β，
且 |OP1|=|OP2|=|OP3|=|OP4|=1，
因此 ΔP2OP3≌ΔP1OP4，
所以 | P2P3|=| P1P4|.
当P2、O、P3在同一条直线上时，容易看出也有| P2P3|=| P1P4|.
根据两点之间的距离公式，可得
整理可得：
由诱导公式，得
在上式中，以代替，得到
即
于是，我们得到两角和与差的余弦公式：
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ Cα+β
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ Cα-β
【设计意图】利用解析法研究两角和与差的余弦公式，解析法对近代数学的机械化证明提供了有力的工具.
（三）巩固知识，典例练习
【典例1】求cos15°的值.
解：cos15°=cos(45°-30°)
= cos45°cos 30°+sin45°sin 30°
=
【设计意图】如果一个角可以化成两个特殊角的和或差，就可以用和角公式求解.
【典例2】已知并且α、β都是第一象限角，求的值.
解：因为并且α、β都是第一象限角，
所以
因此
【设计意图】强调注意角的范围.
【典例3】证明：
证明：因为
=
所以
【设计意图】与本节开始复习的诱导公式相呼应.
探究与发现
化简：
（1）
（2）
（四）巩固练习，提升素养
（ ）
A． B． C． D．
解：.
故选：A.
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（五）巩固练习，提升素养
1.求下列各式的值.
（1）cos105° ；
(2) cos75° ；
(3) cos55°cos10°+sin55°sin10° ；
(4) cos 22.5°-sin 22.5°.
2. 已知
3. 证明：
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（六）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.自我反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想与方法？
（3）你的学习效果如何？需要注意或提升的地方有哪些？
【设计意图】培养学生反思学习过程的能力
（七）作业布置，继续探究
(1)读书部分： 教材章节6.1.1；
(2)书面作业： P10习题6.1的1（2），（3），2（2）.
（八）教学反思
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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