资源简介

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8.2.2组合
知识 能力与素养
通过实例探究，理解组合的概念，并并结合实际问题进行对比分析，体会排列与组合的联系与区别，能准确选择相应公式进行计算，并掌握使用计算器计算组合数,会用组合数性质进行组合数化简. 通过经历用两个计数原理推导组合数公式及组合数的性质的过程，体会从特殊到一般的探究方法，培养类比学习能力．
学习目标
学习重难点
重点 难点
组合概念和组合数公式. 与组合有关的概率计算等实际应用．
教材分析
本课从“从甲、乙、丙 3 名工作人员中选 2 人入户开展活动”这一情境引出组合问题，通过从特殊到一般，从具体到抽象的探究方法概括出组合概念.最后通过几个典型的实际问题介绍排列组合应用的主要方法.
学情分析
上几节课学生已学习了两个基本计数原理，排列的定义，排列数公式及应用，大多数学生能正确运用，学生具备了一定的分析问题的能力，探究问题的能力.
教学工具
教学课件
课时安排
3课时
教学过程
（一）创设情境，生成问题
为助力文明城市创建工作，某社区准备从甲、乙、丙3名工作人员中选2人深入住户开展创建文明城市宣传活动,有多少种不同的选法？
【设计意图】创设情境，引发思考.
（二）调动思维，探究新知
选法有如下3种：
甲乙，甲丙，乙丙.
这个问题与上一小节的“情境与问题”不同，上一小节中不仅要从甲、乙、丙3人中选出 2人，还要明确谁担任正组长、谁担任副组长，而此处要研究的问题只是从了人中选出2人即可，不需要考虑他们的顺序.
一般地，从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素组成一组，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素的所有组合的个数，成为从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示.
【设计意图】引导学生与8.2.1中情境与问题进行对比分析.
（三）巩固知识，典例练习
【典例1】写出从红、蓝、黄、绿4种不同的颜色中任取3种不同颜色的所有组合.
分析：从红、蓝、黄、绿4 种不同的颜色中任取了种颜色的组合与 所取颜色的排列顺序无关．
解：从红、蓝、黄、绿4种不同的颜色中任取了种不同颜色的所有组合为
红蓝黄，红蓝绿，红黄绿，蓝黄绿.
【设计意图】使用树形图或看作一个未被选中.
探究与发现
根据例5可知，=4. 列出例5中3种颜色的所有排列与组合，通过对比分析， 探究与的关系．尝试利用所发现的结果，找到与的关系.
从红、蓝、黄、绿4种不同的颜色中取3种颜色的组合和排列，如图所示.
可以看出，对于每一个组合，相应的都有种不同的排列.因此，从4个不同的元素中取3个元素的排列数，可以分以下两个步骤完成.
第1步，先从4个不同的元素中选出3个元素组成一组，有种选法；
第2步，再将取出来的这3个元素进行全排列，有种排法.
根据分步计数原理，得 ，
因此
一般地，从n个不同元素中任取m个元素的组合数为 (8-7)
公式称为组合数公式，其中m,n∈N* ，且m≤n.
由于 ，因此，组合数的公式也可以写作
. (8-8)
另外，规定=1.
【设计意图】组合数公式的推导过程的关键是引导学生研究组合与排列的关系，通过探索排列数和组合数的关系从而得到组合数计算公式
温馨提示
公式(8-7)与公式(8-8)都是计算组合数的公式.计算组合数，通常使用公式(8-7)，而进行有关组合数的证明，则通常使用公式(8-8).
【典例2】计算．
(1)
(2)
（3）
解：(1)
(2)
（3）
利用计算器也可以方便地计算组合数.以计算为例，依次输入“”，即得560.
【设计意图】旨在引导学生观察计算结果，大胆猜想组合数性质
探究与发现
根据例6的计算结果可知，
你还能举出一些类似例子么？这些等式是否具有一般性？
一般地，组合数具有如下性质：
性质1
证明： ，，
所以
性质1说明，从n个不同的元素中取出 m 个元素的组合数就等于从n个不同的元素中取出 n-m 个元素的组合数.
一般地，当时，可以利用性质1，通过计算得到的值，从而简化运算.
性质2 （m≤n）.
证明：
=
即
【设计意图】验证猜想结论证明组合恒等式可以从纯粹的代数运算进行，也可以通过构建实际背景得出
【典例3】计算
解：由性质2，得
【典例4】中国传统餐饮文化源远流长，菜肴在烹饪中形成了“八大菜系”，即鲁菜、川菜、粤菜、苏菜、闽菜、浙菜、湘菜、徽菜.某学校中餐烹饪专业为传承传统美食、弘扬工匠精神，计划举办“八大菜系” 厨艺大赛.
(1) 从 8个菜系中选出3个菜系作为比赛项目，有多少种选法？
(2) 从 8个菜系中选出3个菜系作为比赛项目，且川菜系必选，有多少种选法？
分析：从8个菜系中选了个菜系的选法个数，等于从8 个不同的元素中取3个元素的组合数．如果川菜系必选，等于从除了川菜系以外的7个菜系中再取2个菜系的组合数.
解：(1)从 8个菜系中选出3个菜系作为比赛项目，不同的选法有(种）
(2)从 8个菜系中选出3个菜系作为比赛项目，且川菜系必选，不同的选法有(种）
【典例5】有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29 十个质数.
(1)从中任取两个数求它们的积,可以得到多少个不同的数？
(2)从中任取两个数求它们的商,可以得到多少个不同的数？
分析：在(1)中,求得的积与选出来的两个数的顺序无关,相当于求从10个不同元素中选出2个元素的组合数；在(2)中,商的结果与选出来的两个数谁是被除数、谁是除数有关,即与顺序有关,相当于求从10个不同的元素中选出2个元素的排列数.
解：(1)从中任取两个数求它们的积,可以得到不同的数的个数为
(2)从中任取两个数求它们的商,可以得到不同的数的个数为
【设计意图】例3综合运用组合数的两个性质，例 4一个没有限制条件的组合问题，一个有限制条件，同时了解饮食文化树立工匠精神，例 5旨在让学生更好理解组合概念.
（四）巩固练习，提升素养
1. 从正五边形ABCDE的5个顶点中任取3个顶点，可以确定多少个三角形？请你一一列举出来.
2. 计算.
（1） （2） （3） （4）
3. 为提升学生综合素质，促进学生全面发展，某校设立了12个社团．如果每位学生从中任选2个社团加入，那么每位学生有多少种不同的选择方法？
4. 在某次国际物流与供应链博览会上，有14个展区的项目负责人在筹备会中交流商谈.
(1)若他们每两人之间互赠一张名片,则共赠出多少张名片？
(2)若他们每两人互相握手一次，则共握多少次手？
5. “职业生涯规划”是某校“文明风采”活动之一，某年级经过初选有 9件优秀作品.
(1) 从9件作品中挑选4件参加学校活动，有多少种选法？
(2) 从9件作品中挑选4件参加学校活动，且有两件作品必选，有多少种选法？
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（五）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.自我反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想与方法？
（3）你的学习效果如何？需要注意或提升的地方有哪些？
【设计意图】培养学生反思学习过程的能力
（七）作业布置，继续探究
(1)读书部分： 教材章节8.2.2；
(2)书面作业： P112习题8.2的2，3.
（八）教学反思
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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