资源简介

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8.3.1二项式定理
知识 能力与素养
经历二项式展开式的推导过程，会展开一个二项式，会用二项展开式的通项公式求展开式中的某一项. 通过猜想、证明、归纳，体会化归思想，形成科学严谨的态度，养成认真规范、注重细节的思维习惯.经历合作学习的过程，培养团队协作的意识．
学习目标
学习重难点
重点 难点
二项式定理及其运用. 二项式定理及其运用.
教材分析
本课利用多项式乘法法则推导了(a+b) 和(a+b) 的展开式，然后利用多项式运算法则和计数原理推导出(a+b)4 及(a+b)n 的展开式，然后将多项式乘积展开的问题转化为一个计数问题，用计数原理的知识去解决多项式乘积展开的问题是跨领域知识的运用，帮助学生转换看问题的角度，建立不同领域知识之间的联系，灵活运用数学知识.然后借助二项式系数的应用问题探究二项式系数的各种性质和一般规律并提出提出了 4 条二项式系数的性质.
学情分析
上几节课学生已学习了两个基本计数原理，排列组合的定义及应用，大多数学生能正确运用，学生具备了一定的分析问题的能力，探究问题的能力.
教学工具
教学课件
课时安排
2课时
教学过程
作为计数原理与排列组合的一个应用，二项式定理研究的是的展开式. 本节我们一起来探索二项式定理的推导过程，研究二项展开式的特征，了解二项展开式的通项公式及二项式系数的性质.
（一）创设情境，生成问题
根据多项式乘法法则，
(a+b) =(a+b)(a+b)=a×a+a×b+b×a+b×b=a +2ab+b .
(a+b) =(a+b)(a+b)(a+b)
= a×a×a + a×a×b+ a×b×a+ a×b×
b+b×a×a + b×a×b+ b×b×a+ b×b×b
=a +3a b+3b a+b .
照这个方法，能否求出的展开式呢？
【设计意图】创设情境，引发思考.
（二）调动思维，探究新知
首先以(a+b)4为例，分析按多项式乘法展开的规律．
(a+b)4 =(a+b)(a+b)(a+b)(a+b).
可以看到， (a+b)4 是4个(a+b)相乘. 根据多项式乘法法则，其结果中的每一项都是由 4个(a+b)中各取一项相乘得到的，均为4 次式.按所含字母a的次数降幂排列为
a4，a3b，a2b2，ab3，b4.
4 个(a+b)中都不选b的选法有种，得到a4的系数为种；4 个(a+b)中有1个选b，3个选a的选法有种,得到a3b的系数为；4个(a+b)中有2个选b，2个选a的选法有种，得到a2b2的系数为；4个(a+b)中有3个选b， 1个选a的选法有种，得到ab3的系数为；4个(a+b)中都选b的选法有种，得到b4的系数为.
因此
一般地，对于任意实数a、b和任意正整数n，有
上述公式称为二项式定理.
公式右端称为二项展开式，其中 (k∈{0,1,2,…,n})称为二项式系数，式中的第k+1项称为二项展开式的通项，记作，即 .
【设计意图】关键是要明确两件事：一是多项式相乘如何转化为计数问题；二是用组合知识确定展开式每
一项的形式和系数
（三）巩固知识，典例练习
【典例1】(1) 写出(a+b) 7 的展开式；
(2) 写出(1+x)n 的展开式.
解：（1）因为所以
（2）在二项式定理中，令a=1，b=x，可得
【设计意图】第二问考查了二项展开式的特例.
【典例2】 (1) 求(2x-1)7 的展开式的第4 项的系数；
(2) 求的展开式中含x3 的二项式系数；
解：(1) (2x-1)7 的展开式的第4 项是
(2) 的展开式的通项是
依题意，得5-2=3.
解得 k=1.
即二项展开式中含 x3 的项为第 2 项，此项的二项式系数为
【设计意图】目的在于熟悉二项展开式及其通项公式，培养学生的数学运算核心素养
温馨提示
一个二项展开式中某一项的系数与这一项的二项式系数是两个不同的概念. 求解二项展开式的某项或某项系数相关问题时，通常先化简通项的表达式，根据题设要求确定k的取值，再代人写出该项.
【典例3】求的展开式中常数项
解： 的展开式中通项是
依题意得 4-k=0.
解得 k=4.
所以二项展开式中第5项是常数项，为
【设计意图】是二项式中的典型问题，要注意符号和系数
探究与发现
二项展开式的项数、各项的次数和二项式系数具有怎样的关系？
（四）巩固练习，提升素养
1. 求下列各式的展开式.
（1） （2）
2. 求 的展开式的第4 项，并指出这项的二项式系数及系数.
3. 求的展开式中含x3 的项及常数项.
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（五）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.自我反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想与方法？
（3）你的学习效果如何？需要注意或提升的地方有哪些？
【设计意图】培养学生反思学习过程的能力
（七）作业布置，继续探究
(1)读书部分： 教材章节8.3.1；
(2)书面作业： P122习题8.3的3，4.
（八）教学反思
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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