资源简介

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8.3.2二项式系数的性质
知识 能力与素养
能通过实例感知二项式系数及其性质，并注意区分二项式系数与项的系数 通过猜想、证明、归纳，体会化归思想，形成科学严谨的态度，养成认真规范、注重细节的思维习惯.经历合作学习的过程，培养团队协作的意识．
学习目标
学习重难点
重点 难点
二项式系数性质. 二项式系数性质的运用.
教材分析
本课利用多项式乘法法则推导了(a+b) 和(a+b) 的展开式，然后利用多项式运算法则和计数原理推导出(a+b)4 及(a+b)n 的展开式，然后将多项式乘积展开的问题转化为一个计数问题，用计数原理的知识去解决多项式乘积展开的问题是跨领域知识的运用，帮助学生转换看问题的角度，建立不同领域知识之间的联系，灵活运用数学知识.然后借助二项式系数的应用问题探究二项式系数的各种性质和一般规律并提出提出了 4 条二项式系数的性质.
学情分析
上几节课学生已学习了两个基本计数原理，排列组合的定义及应用，大多数学生能正确运用，学生具备了一定的分析问题的能力，探究问题的能力.
教学工具
教学课件
课时安排
2课时
教学过程
（一）创设情境，生成问题
某代表队参加校内拔河比賽，需要与其他7个代表队各赛一场.不难发现，比赛结果可分为8类：赢0场，赢1场，…，赢7场. 而赢0场有1(记作)种情况，赢1场有种情况 (即在7场中赢1场)，赢2场有种情况，…赢7场有种情况．那么，该班比赛7场，比赛结果共有多少种？
【设计意图】借助各二项式系数和的应用创设情境.
（二）调动思维，探究新知
运用本节学习的二项式系数的性质，能够快速地解决这个问题.
观察表中n取不同值时各二项展开式的二项式系数，你能发现什么规律？
为了方便观察，我们可计算各个组合数.
可以看出二项式系数具有如下性质：
(1)每一行的两端都是1，其余的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，事实上，假设表中任一不为1的数为 ，那么它“肩上”的两个数分别为，由8.2节组合数的性质2可知.
(2)每一行中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可以直接由8.2节组合数的性质1得到：.
(3)如果二项式的幂指数n是偶数，那么它的展开式正中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数n是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大并且相等.
(4) 的展开式的各个二项式系数之和为.根据二项式定理，取a=b=1,可得
由此可知，在本节的“情境与问题”中，该班比赛7场的结果共有种.
【设计意图】借助表格展示数据方便学生观察表格探索其中的规律 .然后变化表示形式，学生观察算术三角形，再次探索其中的规律学生可以自主计算再观察和归纳其中的规律.
探究与发现
对于(a+b)n展开式的二项式系数，我们还可以从函数的角度分析它们．可将看成是以r为自变量的函数f(r)，你能面出n=6时的函数图像吗？观察图像，二项式系数具有怎样的规律？
（三）巩固知识，典例练习
【典例1】求(x-2y)10的展开式中二项式系数最大的项，并指出这一项的系数.
解：（1）由于(x-2y)10的展开式共有11项，故第6项的二项式系数最大，这一项为
此项的系数为-8064.
【设计意图】体会二项式系数增加规律和最大值.
【典例2】求(1+x)7的展开式中各二项式系数之和、奇数项的二项式系数之和以及偶数项的二项式系数之和.
解： (1+x)7展开式的二项式系数为.
则二项式系数之和为
奇数项的二项式系数之和是
偶数项的二项式系数之和是
【设计意图】引导猜想并验证奇数项和偶数项的二项式系数之和相等.
探究与发现
观察例5的计算结果，你有什么发现和猜想？能否证明你的猜想？
拓展延伸
如图8-16所示,矩形网格由4x5条线段组成，试求从点A到点B的最短路径共有几条
显然，要从点A到达点G,就必须经过与点G相邻的点E或点F.因此,到达点G的最短路径数就是到达点E和点F的最短路径数之和.不难发现,从点A到达第一行及第一列的每个格点的最短路径数都是1.根据以上规律,我们能依次写出从点A到每个格点的最短路径数(图8-17).可以看到,从点A到点B的最短路径共有35条.
将图8-17中从点A到每个格点的最短路径数提取出来,再顺时针转45°,可以发现,它正是二项式系数表的一部分(图8-18).
其实,要从点A以最短路径到达点B,必须经过4次“向右走”和3次“向下走”。因此,只需确定在这7次移动中哪4次是“向右走”(或哪次是“向下走”).可以把“向右走”记为a,"“向下走”记为b,求从点A到点B的最短路径数就等同于在(a+b)” 的展开式中求出含a'b'项的系数.于是,借助(a+b)"的展开式,就可以算出点A到每个格点的最短路径数(图8-19).
（四）巩固练习，提升素养
1. 求的展开式中二项式系数最大的项.
2. 求 的展开式中系数最大的项.
3. 已知(x+π)n的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等，求这两项.
4. 求 (1-x)6的展开式中各二项式系数之和、奇数项的二项式系数之和以及偶数项的二项式系数之和.
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（五）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.自我反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想与方法？
（3）你的学习效果如何？需要注意或提升的地方有哪些？
【设计意图】培养学生反思学习过程的能力
（七）作业布置，继续探究
(1)读书部分： 教材章节8.3.2；
(2)书面作业： P122习题8.3的1，2,B.1,2.
（八）教学反思
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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