资源简介

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9.1.3 二项分布
知识 能力与素养
了解伯努利试验，了解二项分布及其数字特征，能解决简单的实际问题. 通过学习，逐步提升数学运算、数据分析、逻辑推理和数学建模等核心素养．
学习目标
学习重难点
重点 难点
二项分布的计算. 二项分布在实际问题中的应用．
教材分析
通过北京奥运会射击的奖牌数设置情境，引出 n 重伯努利试验的概念，借助问题与情境对学生进行思政教育．
学情分析
学生已学习了概率的意义，具备了一定的抽象、归纳的能力，但还需要从特殊到一般的归纳能力.
教学工具
教学课件
课时安排
2课时
教学过程
（一）创设情境，生成问题
1984 年，在第 23 届奥运会上，我国射击运动员许海峰获得了第一枚金牌，打破了我国在與运会金牌榜上“零”的纪录.在 2021 年第 32 届奥运会上，中国射击队获得 4 金1 银 6 铜共 11 枚奖牌，取得如此优秀的成绩是与每名射击运动员在赛前的刻苦训练分不开的.已知赛前训练中，某射击运动员命中靶心的概率是 0.9. 若该运动员射击 10 次，则恰有 8 次命中靶心的概率是多少？
【设计意图】创设情境，落实课程思政.
（二）调动思维，探究新知
在这个随机试验中，射击运动员射击 10 次，每次命中靶心的概率都是 0.9.并且只有命中和不命中两种结果.因此，所求的概率为 . 在日常生活和社会实践中、有些随机试验和这个例子一样，只有两个结果，并且每次试验结果发生的概率互不影响. 例如、从一批 含有次品的产品中抽出一件产品进行检验，有放回地抽取 n 次、则每件产品被抽到的概率相同，且检验结果只有为合格和不合格两个结果，
像这样，在相同条件下重复地做 n 次试验，每一次试验只有两个可能的结果，并且每一次试验的结果发生的概率都不依赖于其他试验的结果，则称这样的 n 次试验为 n次独立重复试验或 n 重伯努利试验.
显然，前面的两个例子都是 n 次独立重复试验.
在 n 次独立重复试验中，若在一次试验中事件 A 发生的概率是 p，则它不发生的概率 q=1-p，于是事件 A 恰好发生 k(k=0,1,2,…,n)次的概率为.设 ξ 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数，则 ξ 的分布列为下表.
我们把上述概率分布称为二项分布. 有时，也说离散型随机变量 ξ 服从参数为 n，p 的二项分布，记作 ξ ~B(n,p).计算可得E(ξ)=np，D (ξ)=npq，其中 q=1-p.
【设计意图】通过北京奥运会射击的奖牌数设置情境，引出n重伯努利试验的概念，本部分内容不
宜拓展太多.
（三）巩固知识，典例练习
【典例1】某射击运动员每次命中目标的概率是 0.6,该运动员射击 10 次，求：
(1)10 次射击中恰有 4 次命中目标的概率；
(2)10 次射击中恰有 6 次命中目标的概率；
(3)10 次射击全部命中目标的概率. (结果保留 5 位小数)
解设该射击运动员命中目标的次数为 ξ，则服从二项分布.于是，
(1)
(2)
(3)
【设计意图】是直接应用公式计算
【典例2】在 10 件产品中，有 3 件次品. 每次抽取一件，有放回地抽取 3 次，求取得的次品件数 ξ 的概率分布.
解：ξ 可能的值为 0，1，2，3. 由于每次抽取 1 件，有放回地抽取 3 次，故可以看作是 3 次独立重复试验，ξ 服从二项分布. 因为每次抽到次品的概率 p=0.3，所以，
随机变量 ξ 的分布列表为
．
【设计意图】在有放回的随机抽样中，样本中 “ T”出现的次数服从二项分布.
温馨提示
在产品的抽样检验中，若每次抽样都放回，则抽取n件进行检验就相当于做n次独立重复试验，因此，在有放回地抽样检验中，抽取n件产品中含有次品的件数ξ服从二项分布. 一般地，当产品总数很大时，无放回地抽样检验也可以看作是有放回地抽样检验.
【典例3】已知ξ ~B(10,0.2)：, (k=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)，求E(ξ)和D(ξ).
解：根据题意可知，
E(ξ)=np=10×0.2=2，
D(ξ)=npq=10×0.2×0.8=1.6.
【设计意图】直接应用公式
【典例4】某地区发生一种猪瘟疫情，生猪患病的概率是0.2,且每头生猪患病与否是彼此独立的. 现有一种新研制的预防药，任选20头生猪做实验，结果这20头生猪服用此药后均未患病，问此药是否有效？
分析：检验预防药是否有效，我们恪守“小概率事件在一次试验中，几乎不可能发生”的原理. 随机抽取 20 头生猪、计算它们都不患病的概率，若“20头生猪都不患病”发生的概率很小，而现在这20头生猪都未患病，那么可以推断此药有效.
解：令ξ表示任取20头生猪中患病的头数，则ξ服从n=20，p=0.2的二项分布，因此“20头生猪都不患病”的概率为
=0.01153.
这说明，“20头生猪都不患病”是小概率事件.但现在它确实发生了，因此预防药是有效的.
【设计意图】二项分布在实际问题中的简单应用.、
拓展模块
很多公司通常都会跟零件供应商约定供货合格率，并对每批供货进行抽检,这就是来料质量控制.假设约定合格品率为97%，那么随机抽出10个样品中有9个合格品的概率是.
由此可见,10件样品中有1件不合格品的概率还是很大的，因此这时不能说这批零件不合格。同样可以算出，10件样品中有2件不合格品的概率为概率非常小，而且抽出超过2件以上不合格品的概率会更小.因此，如果10件样品中有2个或2个以上的不合格品，则整批零件的合格率达到97%的可能性很小，可以整批退货.
有人会问,在实际工作中到底应该抽多少件产品进行检验呢 这在国家检验标准里有明确规定.假设与供应商约定的接收合格率是99%,本批产品的总数量是1000件,只做一般性检验,查国家标准可得:抽样量为80.在这80个产品中，若抽到2件及以下不合格品，则可接收该批产品;若抽到3件及以上不合格品，则应拒绝接收该批产品，当然,在实际工作中利用上述抽样检验,会存在产品的实际合格率低于约定合格率而仍被接收的风险，这种风险称为使用者风险;同样,即使产品的实际合格率高于约定合格率，也仍然存在被拒收的风险,这种风险称为生产者风险.
（四）巩固练习，提升素养
1.一个袋子中有7个红球、3个白球，有放回地抽取三次，每次取一个，求取得的 红球个数ξ的概率分布.
2. 从优品率为 0.2的产品中任抽20 件进行检验，求优品件数ξ的概率分布.
3. 一份测试中有10道解答题，甲做对一道题的概率是 0.6，求：
(1)甲恰好做对6 道题的概率；
(2)甲至少做对 6道题的概率；
(3)甲全部做对的概率.
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（五）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.自我反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想与方法？
（3）你的学习效果如何？需要注意或提升的地方有哪些？
【设计意图】培养学生反思学习过程的能力.
（七）作业布置，继续探究
(1)读书部分： 教材章节9.1.3；
(2)书面作业： P144习题9.1的3，4.
（八）教学反思
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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