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10.2 一元线性回归
知识 能力与素养
能从两个变量的特征判断出这两个变量是否是相关关系；能通过所给数据求出两个变量所符合的一元线性回归方程；能通过一元线性回归方程对相关变量进行预测． 通过学习，逐步提升数据分析、数学运算和数学建模等核心素养．
学习目标
学习重难点
重点 难点
求一元线性回归方程． 通过一元线性回归方程根据变量间的相关关系进行合理预测．
教材分析
本课通过情境与问题中的分析身高与体重这两个变量之间的关系引出相关关系的概念，然后辅以函数图像进行比较，进而引出线性相关关系与一元线性回归分析的定义，理解从感性上升到理性，然后学习对于回归直线、回归直线方程、回归系数，对于比较复杂的数据可以用计算器计算.
学情分析
在学习本节课之前,学生已经在前边学过了两个变量的线性关系,掌握了线性相关的回归直线方程的求法,能够通过对散点图的观察发现变量间的相减关系.
教学工具
教学课件
课时安排
2课时
教学过程
在自然界和人类社会中,经常会遇到一些变量共处于一个统一体中，它们之间存在某种依存关系，既相互联系又相互制约：一般来说，变量 之间的关系可以分为两类：确定性关系和非确定性关系回归分析研究变量之间存在的不确定的数量关系，其目的在于根据一个变量的变化估计或预测另一个变量的变化情况，为做出科学合理的决策提供依据.
（一）创设情境，生成问题
青少年是国家的未来和民族的希望.近年来,我国学生体质与健康水平不断迈上新台阶. 一般来说，身高比较高的人，体重也会比较重，这说明，身高和体重之间有一定的关系. 数学上，如何描述这种关系呢？
【设计意图】激发学习兴趣.
（二）调动思维，探究新知
研究表明，人的身高与体重之间存在着一定的相关性．但人的体重并不是身高的两数，对于确定的身高，体重具有不确定性．像这样，当一个变量取某个值时，另一个变量的取值与它有关，且带有一定的随机性，则称这两个变量之间的关系为不确定性相关关系，简称相关关系.
与函数关系不同，相关关系是两个变量之间的一种非确定性依赖关系．下面以上节表中名同学的身高 x 与体重y 为例，探讨两个变量之间的相关关系的特征.
如图所示，在直角坐标系中以每个同学的身高 x 为横坐标，体重 y 为纵坐标描点作图.像这中以两个变量的取值为坐标画出的用来反应两个变量相关关系的图形称为散点图.
观察所示散点图可以看出，所有的点大致分布在一条 直线附近，如右图所示．一般地，若两个变量具有相关关系，且其散点图中的点大致分布在一条直线附近，就称这两个变量之同具有线性相关关系．对具有线性相关关系的两个变量进行统计、分析的 方法称为一元线性回归分析.
显然，左图中有许多条直线满足使散点图中的点大致分布在其附近这一条件．我们希望能从中选出一条直线，其方程能够较好地近似表达两个变量之间的关系．
研究表明，对于具有线性相关 关系的两个变量 x 和 y，其散点图可以唯一地确定一条直线，称为回归直线，其方程如下：
其中
这个方程称为 y 对 x 的回归直线方程，称为回归系数.
回归直线方程较好地近似表示了具有线性相关关系的两个变量之间的依赖关系，因此利用回归直线方程可以对相关问题进行合理预测.
【设计意图】通过具体的例子以及借助函数图像表明特征学习回归直线、回归直线方程、回归系数等抽象
的概念，数形结合加深理解.
（三）巩固知识，典例练习
【典例1】根据表中的体重和身高数据，求:
(1)体重 y 对身高 x 的回归直线方程(回归系数保留 2位小数)；
(2)当一个人身高为 183cm 时，试推测他的体重.
解 (1)求体重 y 对身高 x 的回归直线方程，步骤如下.
第 1 步：列表.
第 2 步：计算a 和b .
由表中数据，计算可得 =166，=62.
于是，
第 3 步：写出线性回归方程.
体重 y 对身高 x 的回归直线方程为y= 9.38 0.43x；
(2)当身高x=183cm时，
= 9.38 0.43*183=63.91(kg).
因此，当一个人身高为183cm时，其体重大约是69.31kg.
拓展延伸
为了研究父代与子代身高的关系，高尔顿搜集了1078对父亲及其儿子的身高数据。他发现这些数据的散点图大致呈直线状态，也就是说，总的趋势是父亲的身高增加时，儿子的身高也倾向于增加。但是，高尔顿对试验数据进行了深入的分析，发现了一个很有趣的现象—回归效应。因为当父亲高于平均身高时，他们的儿子身高比他更高的概率要小于比他更矮的概率；父亲矮于平均身高时，他们的儿子身高比他更矮的概率要小于比他更高的概率。它反映了一个规律，即这两种身高父亲的儿子的身高，有向他们父辈的平均身高回归的趋势。对于这个一般结论的解释是:大自然具有一种约束力，使人类身高的分布相对稳定而不产生两极分化，这就是所谓的回归效应。
高尔顿和他的学生卡尔 皮尔逊Karl·Pearson通过观察1078对夫妇的身高数据，以每对夫妇的平均身高作为自变量，取他们的一个成年儿子的身高作为因变量，分析儿子身高与父母身高之间的关系，发现父母的身高可以预测子女的身高，两者近乎一条直线。当父母越高或越矮时，子女的身高会比一般儿童高或矮，他将儿子与父母身高的这种现象拟合出一种线形关系，分析出儿子的身高y与父亲的身高x大致可归结为一下关系：
Y= 0.8567+0.516*X (单位为米);
假如父母辈的平均身高为1.75米，则预测子女的身高为1.7597米。
这种趋势及回归方程表明父母身高每增加一个单位时，其成年儿子的身高平均增加0.516个单位。这就是回归一词最初在遗传学上的含义。
有趣的是，通过观察，高尔顿还注意到，尽管这是一种拟合较好的线形关系，但仍然存在例外现象:矮个父母所生的儿子比其父要高，身材较高的父母所生子女的身高却回降到多数人的平均身高。换句话说，当父母身高走向极端，子女的身高不会象父母身高那样极端化，其身高要比父母们的身高更均身高，即有“回归”到平均数去的趋势，这就是统计学上最初出现“回归”时的涵义，高尔顿把这一现象叫做“向平均数方向的回归”。虽然这是一种特殊情况，与线形关系拟合的一般规则无关，但“线性回归”的术语却因此沿用下来，作为根据一种变量(父母身高)预测另一种变量(子女身高)或多种变量关系的描述方法。
（四）巩固练习，提升素养
判断下列各组变最是否具有相关关系 .
(1)某农作物的施肥量与产量；
(2)学生年龄与学生学号；
(3)商品价格与商品销售量；
(4)身高与学习成绩；
(5)今天的温度与猪肉的价格；
(6)学习时间与学习成绩.
2.变量 x 和 y 的观察数据见表.
(1)绘制散点图，并判断变量 x 和 y 是否具有线性相关关系；
(2)若变量 x 和 y 具有线性相关关系，求 x 对 y 的回归直线方程，并预测当 x=6 时，y=6 时，y 大约是多少？
3. 为了解气温对某品牌冷饮销量的影响，厂家随机抽取了 10 天，对某市的气温 x (单位:℃)与冷饮的销量 y(单位:箱)进行了调查，数据见表 .
(1)求销量 y 对气温 x 的回归直线方程(回归系数保留 3位小数)；
(2)当气温为 38 ℃时，试预测该品牌冷饮的销量(结果保留整数) .
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（五）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.自我反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想与方法？
（3）你的学习效果如何？需要注意或提升的地方有哪些？
【设计意图】培养学生反思学习过程的能力.
（六）作业布置，继续探究
(1)读书部分： 教材章节10.2；
(2)书面作业： P176习题10.2的1，2，3.
（八）教学反思
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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