资源简介

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9.2 正态分布
知识 能力与素养
了解正态分布的概念与正态曲线；了解利用标准正态分布表计算服从正态分布的随机变量的概率；初步了解用正态分布和正态曲线解决实际问题的方法． 通过学习，逐步提升数学运算、数据分析、逻辑推理和数学建模等核心素养．
学习目标
学习重难点
重点 难点
正态分布的概念；正态分布的概率计算. 正态分布在实际问题中的简单应用.
教材分析
本课从高尔顿钉板实验引入，借助频率分布直方图引出了正态曲线和正态分布的概念．正态曲线方程是一个非常难的知识点，课标并没有对此提出要求，教学中可一带而过．
学情分析
学生已学习了统计与概率的相关知识，能够画出所给数据的频率分布直方图和折线图，部分学生会用数形结合思想研究一些简单的数学问题，但本节课需要学生由离散型随机变量到连续型随机变量，由离散型随机变量得到连续型随机变量的分布密度函数，对学生来说是一个挑战.
教学工具
教学课件
课时安排
2课时
教学过程
（一）创设情境，生成问题
在日常生活和生产实践中，经常还会遇到这样一类随机变量，它们受众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素共同作用，其概率分布往往服从或近似服从正态分布.
如图所示为高尔顿钉板实验的示意图，每一圆点表示 钉在木板上的一颗钉子，所有相邻钉子之间的距离均相等．在入口处放入一个直径小于两颗钉子之问距离的小圆球，在小圆球向下降落的过程中，碰到钉子后皆以0.5 的概率向左或向右滚下，直到最后落入木板下方的空槽内.试作小球落入空槽内的频率分布直方图.
【设计意图】创设情境，引出课题.
（二）调动思维，探究新知
把空槽从左向右分成区间段，根据实验数据可得如图所示的频率分布直方图.
如果把上述小球落入的区间从左往右编号 1,2,…,10,那么区间的编号 ξ 可以看做离散型随机变量.
若将相邻钉子之间的距离逐渐缩小,则上述频率分布直方图中的折线就会逐渐接近下图中的钟形曲,称为正态曲线.相应 于上述正态曲线，其随机变量 ξ 的取值范围是一个区间，称这样的随机变量为连续型随机变量.
对于上图所示的正态曲线，可以用左图中阴影部分的面积 F(x1<5ξ 的每一个值 x 都有唯一的 F(x)与之相对应，称 F(x)为连续型随机变量 ξ 的正态分布.
研究表明，正态曲线的方程为
其中 σ 和 μ 是两个参数.习惯上,与正态曲线 f(x)对应的正态分布记为 N(μ, σ ).有时，也说随机变量 ξ 服从参数为
σ 和 μ 的正态分布，记作 ξ ~ N(μ, σ ). 在生产实践和科学研究中，经常会遇到类似的随机现象. 如，测量的误差、某地区人群的身高、某月的平均气温等.
图中画出的是 μ=0 时某些正态曲线.
可以看出，正态曲线具有以下基本性质：
(1)曲线在 x 轴上方，并且关于直线 x=μ 对称；
(2)曲线在 x=μ 时处于最高点，呈现“中间高，两边低”的钟形形状；
(3)当 μ 确定时，曲线的形状依赖于 σ 的取值. σ 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
参数 μ=0， σ =1 的正态分布称为标准正态分布，记作N(0,1). 当随机变量 ξ 服从标准正态分布时，将 ξ 的取值小于 x 的概率记作 Φ(x)，即 Φ(x)=P(ξ可以证明 Φ(x)有如下性质：
Φ(-x)=1-Φ(x).
当随机变量 ξ 服从正态分布 N(μ, σ )时，有以下计算公式.
【设计意图】教学中，只要求学生记住会用即可，对公式的推导证明可做简单的解释说明，不进行深入研
究；学生了解指导知道即可；此处要求较低，只作了解要求.
（三）巩固知识，典例练习
【典例1】若 ξ ~N(0,1)，查表计算：
(1) P(ξ <2.8) ；
(2) P(ξ≥2)；
(3) P(ξ <-1).
解 (1) 查表可知，P(ξ <2.8)= Φ(2.8)=0.9974 ；
(2) P(ξ ≥2)=1-P(ξ <2)=1-Φ(2)=1-0.9972=0.0228 ；
(3) P(ξ <-1)=Φ(-1)=1-Φ(1)=1-0.8413=0.1587.
【典例2】若 ξ ~N(0,2 )，查表计算：
(1) P(ξ <3) ；
(2) P(ξ≥-2).
解：
【设计意图】例 1和例2 直接应用标准正态分布和整体分布知识计算求值解决问题.
温馨提示
研究表明，服从正态分布 N(μ,σ )的随机变量 ξ 在区间(μ-σ, μ+σ)， (μ-2σ, μ+2σ)， (μ-3σ, μ+3σ)内取值的概率分别是 0.6826，0.9544，0.9974，如图所示.
可以看出，服从正态分布的随机变量 ξ 几乎总是取之于区间(μ-3σ, μ+3σ)之内，而在此区间以外取值的概率只有0.0026，也就是说 ξ 在此区间以外取值是小概率事件，这种情况在一次试验中是几乎不可能发生的，在实际应用中，通常认为服从正态分布 N(μ,σ )的随机变量 ξ 只取区间 (μ-3σ, μ+3σ)内的值，这就是正态分布的 3σ 原则.
【设计意图】简单了解，拓宽知识面，对知识形成完整认识
【典例3】在某次数学考试中，考生的成绩 ξ 服从正态分布 N(120, 100).
(1)求考生成绩 ξ 位于区间(110, 130).内的概率；
(2)若此次考试共有 2000 名考生，试估计成绩在区间(100,140)内的考生人数.
解 根据题意，ξ ~N(120,100)，μ=120， σ =10.
(1) P(110< ξ <130) = P(μ-σ < ξ < μ+σ) = 0.6826，所以，考生成绩位于区间(110, 130)内的概率是 0.6826；
(2) P(100< ξ <140) = P(μ-2σ < ξ < μ+2σ) = 0.9544，即考生成绩在区间(100,140)内的概率为 0.9544.
于是，成绩在区间(100,140)内的考生大约有2000×0.954 4 =1909(人)..
【设计意图】3σ原则及简单应用
（四）巩固练习，提升素养
1. 设 ξ ~N(1,9)，求 P ξ (ξ≥13)和P(ξ <4).
2.某校高三男生共 1000 人. 他们的身高 X (cm)近似服从正态分布 N(176,16), 身高在区间(172,180)内的男生人数大约有多少？
3. 某批灯有 10000 个，其寿命服从正态分布N(1000,100 )(单位：小时)，试估计寿命在下列范围内的灯的个数. (1) (900，1100) ；
(2) (800，1200).
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（五）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.自我反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想与方法？
（3）你的学习效果如何？需要注意或提升的地方有哪些？
【设计意图】培养学生反思学习过程的能力.
（七）作业布置，继续探究
(1)读书部分： 教材章节9.2；
(2)书面作业： P148习题9.2的1，2，3.
（八）教学反思
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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