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专题08 解三角形
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高考频度 ★★★★★
考情分析 高考数学中，解三角形这个考点主要以选择题、解答题的形式出现．考查正余弦定理和三角形面积公式．借助正余弦定理和三角形面积公式以及恒等变形公式进行边角转换和化简，求边长、角度、面积等。
一、选择题
【真题1】（2023 乙卷）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acosB﹣bcosA＝c，且C，则∠B＝（　　）
A． B． C． D．
【真题2】（2023 北京）在△ABC中，（a+c）（sinA﹣sinC）＝b（sinA﹣sinB），则∠C＝（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
【真题3】（2023 甲卷）在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC，D为BC上一点，AD为∠BAC的平分线，则AD＝　 　．
【真题4】（2023 上海）已知△ABC中，角A，B，C所对的边a＝4，b＝5，c＝6，则sinA＝　 　．
三、解答题
【真题5】（2023 新高考Ⅰ）已知在△ABC中，A+B＝3C，2sin（A﹣C）＝sinB．
（1）求sinA；
（2）设AB＝5，求AB边上的高．
【真题6】（2023 甲卷）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2．
（1）求bc；
（2）若1，求△ABC面积．
【真题7】（2023 乙卷）在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1．
（1）求sin∠ABC；
（2）若D为BC上一点．且∠BAD＝90°，求△ADC的面积．
【真题8】（2023 天津）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a，b＝2，∠A＝120°．
（Ⅰ）求sinB的值；
（Ⅱ）求c的值；
（Ⅲ）求sin（B﹣C）的值．
考向1 正弦定理
解法技巧 正弦定理： （1）2R． （2）变形：a：b：c＝sinA：sinB：sinC． （3）已知两角和任一边，求另一角和其他两条边． （4）已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角．
【模拟01】（2024 泸州模拟）在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的（　　）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
【模拟02】（2024 齐齐哈尔二模）在△ABC中，2sinA＝3sinB，AB＝2AC，则cosC＝（　　）
A． B． C． D．
【模拟03】（多选）（2024 福建模拟）在△ABC中，AB，BC＝2，∠A＝45°，则△ABC的面积可以为（　　）
A． B． C． D．
【模拟04】（2024 丰台区一模）在△ABC中，若b＝5，，，则a＝　 　．
【模拟05】（2024 山东模拟）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）若，求角C的大小；
（2）求证：，，成等差数列．
考向2 余弦定理
解法技巧 余弦定理： （1）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accosB，c2＝a2+b2﹣2abcosC． （2）变形：cosA，cosB，cosC． （3）已知三边，求各角． （4）已知两边和它们的夹角求第三边和其他两角．
【模拟01】（2024 葫芦岛一模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，△ABC的面积为，则b＝（　　）
A． B．4 C．2 D．
【模拟02】（2024 福州模拟）在△ABC中，，则△ABC的面积为（　　）
A．2 B． C．4 D．
【模拟03】（多选）（2024 邯郸模拟）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，面积为，则下列说法正确的是（　　）
A．cosAcosC的取值范围是
B．若D为边AC的中点，且BD＝1，则△ABC的面积的最大值为
C．若△ABC是锐角三角形，则的取值范围是
D．若角B的平分线BE与边AC相交于点E，且，则a+4c的最小值为10
【模拟04】（2024 莆田模拟）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则cosA＝　 　．
【模拟05】（2024 宜宾模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2b cosA＝c cosA+a cosC．
（1）求角A的大小；
（2）若a，b+c＝4，求bc的值．
考向3 解三角形
解法技巧 解三角形： （1）内角和定理：A+B+C＝π． （2）正弦定理：2R． （3）余弦定理：a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accosB，c2＝a2+b2﹣2abcosC． （4）射影定理：acosB+bcosA＝c，acosC+ccosA＝b，bcosC+ccosB＝a． （5）面积公式：S△absinCacsinBbcsinA．
【模拟01】（2024 西安三模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2bcosC．sin（A）＝cos（B﹣C）．
（1）求A；
（2）若a＝2，求△ABC的面积．
【模拟02】（2024 盐城一模）在△ABC中，．
（1）求B的大小；
（2）延长BC至点M，使得，若，求∠BAC的大小．
【模拟03】（2024 安康模拟）在三边均不相等的△ABC中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，若a（sin2A﹣sin2C）＝b（sin2B﹣sin2C）．点D在线段AB上，且CD平分角C．
（1）求C；
（2）若a＝3，b＝5，求CD的长度．
【模拟04】（2024 沈阳模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＝ac+a2．
（1）求证：B＝2A；
（2）当取最小值时，求cosB的值．
【模拟05】（2024 嘉定区二模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，．
（1）求角B，并计算的值；
（2）若，且△ABC是锐角三角形，求a+2c的最大值．专题08 解三角形
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考情分析 高考数学中，解三角形这个考点主要以选择题、解答题的形式出现．考查正余弦定理和三角形面积公式．借助正余弦定理和三角形面积公式以及恒等变形公式进行边角转换和化简，求边长、角度、面积等。
一、选择题
【真题1】（2023 乙卷）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acosB﹣bcosA＝c，且C，则∠B＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由acosB﹣bcosA＝c得sinAcosB﹣sinBcosA＝sinC，
得sin（A﹣B）＝sinC＝sin（A+B），
即sinAcosB﹣sinBcosA＝sinAcosB+sinBcosA，
即2sinBcosA＝0，得sinBcosA＝0，在△ABC中，sinB≠0，
∴cosA＝0，即A，则B＝π﹣A﹣C．
故选：C．
【真题2】（2023 北京）在△ABC中，（a+c）（sinA﹣sinC）＝b（sinA﹣sinB），则∠C＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由正弦定理（R为三角形外接圆半径）可得：
sinA，sinB，sinC，
所以（a+c）（sinA﹣sinC）＝b（sinA﹣sinB）可化为（a+c）（a﹣c）＝b（a﹣b），
即a2+b2﹣c2＝ab，∴cosC，
又C∈（0，π），∴C．
故选：B．
二、填空题
【真题3】（2023 甲卷）在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC，D为BC上一点，AD为∠BAC的平分线，则AD＝　 　．
【答案】2．
【解答】解：如图，∵在△ABC中，AB＝2，，
∴由正弦定理可得，
∴sin∠ACB，又∠BAC＝60°，
∴∠ACB＝45°，∴∠ABC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
又AD为∠BAC的平分线，且∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝30°，又∠ABC＝75°，∴∠ADB＝75°，
∴AD＝AB＝2．
故答案为：2．
【真题4】（2023 上海）已知△ABC中，角A，B，C所对的边a＝4，b＝5，c＝6，则sinA＝　 　．
【答案】．
【解答】解：a＝4，b＝5，c＝6，
由余弦定理得，cosA，
又∵A∈（0，π），∴sinA＞0，∴sinA．
故答案为：．
三、解答题
【真题5】（2023 新高考Ⅰ）已知在△ABC中，A+B＝3C，2sin（A﹣C）＝sinB．
（1）求sinA；
（2）设AB＝5，求AB边上的高．
【答案】（1）；（2）6．
【解答】解：（1）∵A+B＝3C，A+B+C＝π，∴4C＝π，∴C，
∵2sin（A﹣C）＝sinB，∴2sin（A﹣C）＝sin[π﹣（A+C）]＝sin（A+C），
∴2sinAcosC﹣2cosAsinC＝sinAcosC+cosAsinC，∴sinAcosC＝3cosAsinC，
∴，∴sinA＝3cosA，即cosAsinA，
又∵sin2A+cos2A＝1，∴，解得sin2A，
又∵A∈（0，π），∴sinA＞0，
∴sinA；
（2）由（1）可知sinA，cosAsinA，
∴sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，
∴5，
∴AC＝5sinB＝52，BC＝553，
设AB边上的高为h，则，∴，解得h＝6，
即AB边上的高为6．
【真题6】（2023 甲卷）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2．
（1）求bc；
（2）若1，求△ABC面积．
【答案】（1）bc＝1；
（2）．
【解答】解：（1）因为2bc＝2，
所以bc＝1；
（2）1，
所以1，
所以sin（A﹣B）﹣sinB＝sinC＝sin（A+B），
所以sinAcosB﹣sinBcosA﹣sinB＝sinAcosB+sinBcosA，即cosA，
由A为三角形内角得A，
△ABC面积SbcsinA．
【真题7】（2023 乙卷）在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1．
（1）求sin∠ABC；
（2）若D为BC上一点．且∠BAD＝90°，求△ADC的面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）在△ABC中，由余弦定理可知BC2＝22+12﹣2×1×2×cos120°＝7，
，∴由余弦定理可得cos∠ABC，
又∠ABC∈（0°，60°），
∴sin∠ABC，
（2）由（1）知：cos∠ABC，sin∠ABC，
∴tan∠ABC，∴AD，∴AD，
∴△ADC的面积为AD×AC×sin∠DAC1．
【真题8】（2023 天津）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a，b＝2，∠A＝120°．
（Ⅰ）求sinB的值；
（Ⅱ）求c的值；
（Ⅲ）求sin（B﹣C）的值．
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）c＝5；
（Ⅲ）．
【解答】解：（Ⅰ）a，b＝2，∠A＝120°，
则；
（Ⅱ）a，b＝2，∠A＝120°，
则a2＝b2+c2﹣2bc cosA＝4+c2+2c＝39，化简整理得（c+7）（c﹣5）＝0，
解得c＝5（负值舍去）；
（Ⅲ），c＝5，a，∠A＝120°，
则sinC，故cosC，
所以sin（B﹣C）＝sinBcosC﹣sinCcosB．
考向1 正弦定理
解法技巧 正弦定理： （1）2R． （2）变形：a：b：c＝sinA：sinB：sinC． （3）已知两角和任一边，求另一角和其他两条边． （4）已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角．
【模拟01】（2024 泸州模拟）在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的（　　）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解答】解：由正弦定理知 2R，
∵sinA＞sinB，∴a＞b，∴A＞B．
反之，∵A＞B，∴a＞b，
∵a＝2RsinA，b＝2RsinB，∴sinA＞sinB
故选：A．
【模拟02】（2024 齐齐哈尔二模）在△ABC中，2sinA＝3sinB，AB＝2AC，则cosC＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：2sinA＝3sinB，
则2BC＝3AC，又AB＝2AC，
不妨设AC＝2k，BC＝3k，AB＝4k，
由余弦定理可知，．
故选：D．
【模拟03】（多选）（2024 福建模拟）在△ABC中，AB，BC＝2，∠A＝45°，则△ABC的面积可以为（　　）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解答】解：在△ABC中，AB，BC＝2，∠A＝45°，
所以由正弦定理，可得，可得sinC，
所以C＝60°或120°，
所以△ABC的面积SAB BC sinB
AB BC sin（A+C）
2×（sin45°cosC+cos45°sinC）
（sinC+cosC）
或．
故选：AC．
【模拟04】（2024 丰台区一模）在△ABC中，若b＝5，，，则a＝　 　．
【答案】4．
【解答】解：因为b＝5，，，
所以sinA，
由正弦定理，可得，
解得a＝4．
故答案为：4．
【模拟05】（2024 山东模拟）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）若，求角C的大小；
（2）求证：，，成等差数列．
【答案】（1）；
（2）证明见解析．
【解答】解：（1）由得，，
由正弦定理得，即c2＝2abcosC，
∵，∴c2＝4S△ABC＝2absinC，
∴2absinC＝2abcosC，即tanC＝1，
∵C∈（0，π），∴；
证明：（2）由题意得，，
由正弦定理得，即，
又sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，
∴，
即，
则，，成等差数列．
考向2 余弦定理
解法技巧 余弦定理： （1）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accosB，c2＝a2+b2﹣2abcosC． （2）变形：cosA，cosB，cosC． （3）已知三边，求各角． （4）已知两边和它们的夹角求第三边和其他两角．
【模拟01】（2024 葫芦岛一模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，△ABC的面积为，则b＝（　　）
A． B．4 C．2 D．
【答案】C
【解答】解：由于，故a，
由于，△ABC的面积为，
故，
整理得，解得c＝2，a＝2，
利用余弦定理16﹣12＝4，
解得b＝2．
故选：C．
【模拟02】（2024 福州模拟）在△ABC中，，则△ABC的面积为（　　）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【解答】解：因为在△ABC中，，
由余弦定理得，
又A为三角形内角，
所以A＝120°，
所以．
故选：B．
【模拟03】（多选）（2024 邯郸模拟）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，面积为，则下列说法正确的是（　　）
A．cosAcosC的取值范围是
B．若D为边AC的中点，且BD＝1，则△ABC的面积的最大值为
C．若△ABC是锐角三角形，则的取值范围是
D．若角B的平分线BE与边AC相交于点E，且，则a+4c的最小值为10
【答案】BC
【解答】解：由题意知，整理得，
由余弦定理知a2+c2﹣b2＝2accosB，所以cosB，即，
再由B∈（0，π），所以，
对于A，，因为，所以，所以，所以cosAcosC的取值范围为（，]，故A不正确；
对于B，因为D为边AC的中点，所以，则，所以，当且仅当a＝c时，等号成立，所以，故B正确；
对于C，，因为△ABC是锐角三角形，
所以，可得，所以，所以，故C正确；
对于D，由题意得S△ABE+S△BCE＝S△ABC，即，整理得a+c＝ac，即，所以，当且仅当a＝2c时，等号成立，故D错误．
故选：BC．
【模拟04】（2024 莆田模拟）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则cosA＝　 　．
【答案】．
【解答】解：因为，
由余弦定理得，cosC，
解得c＝3b，
则cosA．
故答案为：．
【模拟05】（2024 宜宾模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2b cosA＝c cosA+a cosC．
（1）求角A的大小；
（2）若a，b+c＝4，求bc的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）已知等式2b cosA＝c cosA+a cosC，
由正弦定理化简得2sinB cosA＝sinCcosA+sinAcosC，
即2sinBcosA＝sin（A+C）＝sinB，
在△ABC中，sinB≠0，∴cosA，
∴A；
（2）a，A；
由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bccos60°＝7，
代入b+c＝4得（b+c）2﹣3bc＝7
bc＝3．
考向3 解三角形
解法技巧 解三角形： （1）内角和定理：A+B+C＝π． （2）正弦定理：2R． （3）余弦定理：a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accosB，c2＝a2+b2﹣2abcosC． （4）射影定理：acosB+bcosA＝c，acosC+ccosA＝b，bcosC+ccosB＝a． （5）面积公式：S△absinCacsinBbcsinA．
【模拟01】（2024 西安三模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2bcosC．sin（A）＝cos（B﹣C）．
（1）求A；
（2）若a＝2，求△ABC的面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵a＝2bcosC sinA＝2sinBcosC sin（B+C）＝2sinBcosC；
即sinBcosC+sinCcosB＝2sinBcosC tanC＝tanB B＝C；
又sin（A）＝cos（B﹣C） sin（A）＝cos0＝1．
∴A2kπ，k∈Z；
∴取k＝0，可得A；
（2）∵a2＝b2+c2﹣2bccosA 8＝2b2﹣2b2 b24（）；
∴△ABC的面积Sbc sinAb22+2．
【模拟02】（2024 盐城一模）在△ABC中，．
（1）求B的大小；
（2）延长BC至点M，使得，若，求∠BAC的大小．
【答案】（1）；（2）．
【解答】解：（1）在△ABC中，sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，
sin（B﹣A）＝sinBcosA﹣sinAcosB，
由题意可得sinA＝2cosBsinA，而sinA＞0，
可得cosB，B∈（0，π），
解得B；
（2）设BC＝x，∠BAC＝θ，则CM＝2x，
由（1）得：B，
又，则在△ABM中，，
在△ABC中，由正弦定理，即，①，
在△ACM中，由正弦定理得，即，②，
故得：，所以，
故，
整理得．
【模拟03】（2024 安康模拟）在三边均不相等的△ABC中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，若a（sin2A﹣sin2C）＝b（sin2B﹣sin2C）．点D在线段AB上，且CD平分角C．
（1）求C；
（2）若a＝3，b＝5，求CD的长度．
【答案】（1）C＝120°；（2）．
【解答】解：（1）由a（sin2A﹣sin2C）＝b（sin2B﹣sin2C），
得a（a2﹣c2）＝b（b2﹣c2），
化简得（a﹣b）（a2+b2+ab﹣c2）＝0，
因为△ABC三边均不相等，所以a≠b，
即a2+b2+ab﹣c2＝0，
由余弦定理得，
在△ABC中，由0＜C＜180°，得C＝120°；
（2）在△ABC中，c2＝a2+b2+ab＝49，故c＝7，
由得，易得，
在△ACD中，，∠ADC+∠A+∠ACD＝180°，
所以，
在△ACD中，由，
得．
【模拟04】（2024 沈阳模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＝ac+a2．
（1）求证：B＝2A；
（2）当取最小值时，求cosB的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）证明：由余弦定理知b2＝a2+c2﹣2accosB，
又因为b2＝a2+ac，所以a2+ac＝a2+c2﹣2ac cosB，化简得a＝c﹣2acosB，
所以sinA＝sinC﹣2sinAcosB，
因为A+B+C＝π，所以sinA＝sin（A+B）﹣2sinAcosB，
所以sinA＝sinAcosB+cosAsinB﹣2sinAcosB＝cosAsinB﹣sinAcosB，
所以sinA＝sin（B﹣A），
因为A∈（0，π），B﹣A∈（﹣π，π），
所以A＝B﹣A或A+（B﹣A）＝π（舍），
所以B＝2A．
（2）由题知，，当且仅当时取等，
又因为b2＝ac+a2，所以，
所以．
【模拟05】（2024 嘉定区二模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，．
（1）求角B，并计算的值；
（2）若，且△ABC是锐角三角形，求a+2c的最大值．
【答案】（1）B或，sin（B）＝1或；
（2）2．
【解答】解：（1）因为cos2B且B为三角形内角，
所以B或B，
当B时，sin（B）＝sin1，
当B时，sin（B）＝sin；
（2）由题意结合（1）得A+C，
所以，解得，，
因为b，由正弦定理得，2，
所以a＝2sinA，c＝2sinC＝2sin（）cosA+sinA，
所以a+2c＝4sinA+2cosA＝2（sinAcosA）
＝2sin（A+φ），cosφ，sinφ，
则，A+φ∈（，），
故当A+φ时，a+2c取得最大值2．

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