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专题03 函数
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高考频度 ★★★★☆
考情分析 高考数学中，函数这个考点主要以选择题、填空题的形式出现．函数的图象与性质是高考常考查的热点之一．考查函数的定义域、值域、图象，函数的对称性、周期性、单调性．考查化归与转化思想，考查逻辑推导与计算素养．
一、选择题
【真题1】（2023 乙卷）已知f（x）是偶函数，则a＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据偶函数的性质，运算即可得解．
【解答】解：∵f（x）的定义域为{x|x≠0}，又f（x）为偶函数，
∴f（﹣x）＝f（x），∴，∴，
∴ax﹣x＝x，∴a＝2．
故选：D．
【真题2】（2023 新高考Ⅱ）若f（x）＝（x+a）为偶函数，则a＝（　　）
A．﹣1 B．0 C． D．1
【答案】B
【分析】求出函数的定义域，利用函数奇偶性的定义建立方程进行求解即可．
【解答】解：由0，得x或x，
由f（x）是偶函数，∴f（﹣x）＝f（x），
得（﹣x+a）ln（x+a），
即（﹣x+a）ln（x+a），
即（﹣x+a）ln（）﹣1＝（x+a），
则（x﹣a）ln（x+a），
∴x﹣a＝x+a，得﹣a＝a，得a＝0．
故选：B．
【真题3】（2023 北京）下列函数中在区间（0，+∞）上单调递增的是（　　）
A．f（x）＝﹣lnx B．f（x） C．f（x） D．f（x）＝3|x﹣1|
【答案】C
【分析】根据初等函数的单调性，即可求解．
【解答】解：对A选项，y＝lnx在（0，+∞）上单调递增，所以f（x）＝﹣lnx在（0，+∞）上单调递减，A选项错误；
对B选项，y＝2x在（0，+∞）上单调递增，所以f（x）在（0，+∞）上单调递减，B选项错误；
对C选项，y在（0，+∞）上单调递减，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，C选项正确；
对D选项，f（x）＝3|x﹣1|在（0，+∞）上不是单调的，D选项错误．
故选：C．
【真题4】（2023 甲卷）函数y＝f（x）的图象由y＝cos（2x）的图象向左平移个单位长度得到，则y＝f（x）的图象与直线yx的交点个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】利用三角函数的图象变换，求解函数的解析式，然后判断两个函数的图象交点个数即可．
【解答】解：y＝cos（2x）的图象向左平移得到f（x）＝cos（2x）＝﹣sin2x，
在同一个坐标系中画出两个函数的图象，如图：
y＝f（x）的图象与直线yx的交点个数为：3．
故选：C．
二、多选题
【真题5】（2023 新高考Ⅰ）已知函数f（x）的定义域为R，f（xy）＝y2f（x）+x2f（y），则（　　）
A．f（0）＝0
B．f（1）＝0
C．f（x）是偶函数
D．x＝0为f（x）的极小值点
【答案】ABC
【分析】在已知等式中，取x＝y＝0判断A；取x＝y＝1判断B；求出f（﹣1），再取y＝﹣1判断C；取满足等式的特殊函数判断D．
【解答】解：由f（xy）＝y2f（x）+x2f（y），取x＝y＝0，可得f（0）＝0，故A正确；
取x＝y＝1，可得f（1）＝2f（1），即f（1）＝0，故B正确；
取x＝y＝﹣1，得f（1）＝2f（﹣1），即f（﹣1）f（1）＝0，取y＝﹣1，得f（﹣x）＝f（x），可得f（x）是偶函数，故C正确；
由上可知，f（﹣1）＝f（0）＝f（1）＝0，而函数解析式不确定，不妨取f（x）＝0，满足f（xy）＝y2f（x）+x2f（y），常数函数f（x）＝0无极值，故D错误．
故选：ABC．
【真题6】（2023 新高考Ⅰ）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg，其中常数p0（p0＞0）是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60～90
混合动力汽车 10 50～60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则（　　）
A．p1≥p2 B．p2＞10p3 C．p3＝100p0 D．p1≤100p2
【答案】ACD
【分析】根据题意分别计算p1，p2，p3的范围，进行比较即可求解．
【解答】解：由题意得，60≤20lg90，1000p0≤p1p0，
50≤20lg60，1p0≤p2≤1000p0，20lg40，p3＝100p0，可得p1≥p2，A正确；
p2≤10p3＝1000p0，B错误；
p3＝100p0，C正确；
p1p0＝100×1p0≤100p2，p1≤100p2，D正确．
故选：ACD．
三、填空题
【真题7】（2023 甲卷）若f（x）＝（x﹣1）2+ax+sin（x）为偶函数，则a＝　 　．
【答案】2．
【分析】根据题意，先化简函数的解析式，结合偶函数的定义可得关于a的方程，解可得答案．
【解答】解：根据题意，设f（x）＝（x﹣1）2+ax+sin（x）＝x2﹣2x+ax+1+cosx，
若f（x）为偶函数，则f（﹣x）＝x2+2x﹣ax+1+cosx＝x2﹣2x+ax+1+cosx＝f（x），
变形可得（a﹣2）x＝0在R上恒成立，必有a＝2．
故答案为：2．
【真题8】（2023 上海）已知函数f（x），则函数f（x）的值域为　 　．
【答案】[1，+∞）．
【分析】分段求出f（x）的值域，再取并集即可．
【解答】解：当x≤0时，f（x）＝1，当x＞0时，f（x）＝2x＞1，
所以函数f（x）的值域为[1，+∞）．
故答案为：[1，+∞）．
【真题9】（2023 天津）若函数f（x）＝ax2﹣2x﹣|x2﹣ax+1|有且仅有两个零点，则a的取值范围为　 　．
【答案】（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞）．
【分析】首先要分情况去绝对值，化简函数，再根据对应方程根的情况判定零点个数是否满足题意．
【解答】解：①当a＝0时，f（x）＝﹣2x﹣|x2+1|＝﹣2x﹣x2﹣1，不满足题意；
②当方程x2﹣ax+1＝0满足a≠0且△≤0时，有a2﹣4≤0即a∈[﹣2，0）∪（0，2]，
此时，f（x）＝（a﹣1）x2+（a﹣2）x﹣1，当a＝1时，不满足，
当a≠1时，Δ＝（a﹣2）2+4（a﹣1）＝a2＞0，满足；
③Δ＞0时，a∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），
记x2﹣ax+1的两根为m，n，不妨设m＜n，
则f（x），
当a＞2时，x1，x2＝﹣1且x∈（﹣∞，m]∪[n，+∞），
但此时ax1+10，舍去x1，x3，x4＝1，且x∈（m，n），
但此时ax3+10，舍去x3，
故仅有1与﹣1两个解，即f（x）有且仅有两个零点，
当a＜﹣2时，有ax2+1＝a+2＜0，舍去x2，2﹣a＞0，舍去x4，
故仅有和两个解，即f（x）有且仅有两个零点，
综上，a∈（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞）．
故答案为：（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞）．
考向1 函数的奇偶性
解法技巧 函数奇偶性的性质与判断： （1）如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称． （2）如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
【模拟01】（2024 开封模拟）若函数是奇函数，则实数a＝（　　）
A．0 B．﹣1 C．1 D．±1
【答案】C
【分析】由已知可得f（﹣1）＝﹣f（1），代入即可求解．
【解答】解：因为函数是奇函数，
所以f（﹣1）＝﹣f（1），所以﹣a2﹣1＝﹣1﹣a，解得a＝0或a＝1，
经检验，当a＝0时，不符合题意，
故a＝1．
故选：C．
【模拟02】（2024 赤峰模拟）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且周期T＝6．若当x∈[﹣3，0]时，f（x）＝4﹣x，则f（2024）＝（　　）
A．4 B．16 C． D．
【答案】B
【分析】由已知结合函数的奇偶性及周期性把所求的函数值转化为已知区间上，结合函数解析式代入即可求解．
【解答】解：因为f（x）是定义在R上的偶函数，且周期T＝6．
若当x∈[﹣3，0]时，f（x）＝4﹣x，
则f（2024）＝f（337×6+2）＝f（2）＝f（﹣2）＝42＝16．
故选：B．
【模拟03】（2024 香坊区校级二模）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）+f（x）＝0，则以下说法错误的是（　　）
A．f（0）＝0 B．f（x）是周期函数
C．f（2024）＝1 D．f（1）+f（3）＝f（4）
【答案】C
【分析】根据已知条件，结合奇函数的性质，并求出函数的周期，即可依次判断．
【解答】解：奇函数f（x）的定义域为R，则f（0）＝0，故A正确；
f（x+2）+f（x）＝0，则f（x+4）+f（x+2）＝0，故f（x）＝f（x+4），即f（x）的周期为4，故B正确；
f（2024）＝f（4×506）＝f（0）＝0，故C错误；
f（1+2）+f（1）＝0，即f（3）+f（1）＝0，f（4）＝f（0）＝0，故D正确．
故选：C．
【模拟04】（多选）（2024 周口模拟）已知函数f（x）的定义域为R，且f（x+y）f（x﹣y）＝f2（x）﹣f2（y），f（1）＝1，f（2x+1）为偶函数，则（　　）
A．f（0）＝0 B．f（x）为偶函数
C．f（2+x）＝﹣f（2﹣x） D．
【答案】ACD
【分析】利用赋值法计算出f（0）的值，判断出A项的正误；根据赋值法与函数奇偶性的定义，判断出f（x）为奇函数，从而得出B项的正误；利用换元法、函数的奇偶性加以计算，判断出C项的正误；推导出f（x）的周期为4，再依次求得f（1）、f（2）、f（3）、f（4），从而求出的值，判断出D项的正误．
【解答】解：对于A，由f（x+y）f（x﹣y）＝f2（x）﹣f2（y），令x＝y＝0，则f2（0）＝0，可知f（0）＝0，故A项正确；
对于B，因为f（x）的定义域为R，关于原点对称，令x＝0，则f（y）f（﹣y）＝f2（0）﹣f2（y）＝﹣f2（y），而f（y）不恒等于0，故f（﹣y）＝﹣f（y），可知f（x）为奇函数，故B项错误；
对于C，因为f（2x+1）为偶函数，所以f（﹣2x+1）＝f（2x+1），用代换x，得f（﹣x+1）＝f（x+1），再用﹣x﹣1代换x，可得f（2+x）＝f（﹣x），所以f（2﹣x）＝f（x），由B选项的结论，可得f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（2+x）＝﹣f（2﹣x），故C项正确；
对于D，由选项C的结论，可知f（x+2）＝f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），可知f（x）是周期为4的周期函数，因为f（1）＝1，所以f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣1，可得f（3）＝f（﹣1+4）＝f（﹣1）＝﹣1，由f（x+2）＝f（﹣x），得f（2）＝f（0）＝0，结合f（4）＝f（0）＝0，得f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝1+0+（﹣1）+0＝0，所以506[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]＝0，可得D项正确．
故选：ACD．
【模拟05】（2024 浦东新区二模）已知y＝f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x），则f（）的值是　 　
【答案】．
【分析】由已知可先求出f（），然后结合奇函数的定义即可求解．
【解答】解：因为y＝f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x），
所以f（）．则f（）．
故答案为：．
考向2 函数的单调性
解法技巧 函数单调性的判断： （1）定义法． （2）导数法． （3）函数图象法． （4）基本函数单调性的应用：复合函数遵循“同增异减”．
【模拟01】（2024 石景山区一模）下列函数中，在区间（﹣1，1）上为减函数的是（　　）
A．f（x）＝sinx B．f（x）＝cosx
C．f（x）＝ln（x+1） D．f（x）＝2﹣x
【答案】D
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，f（x）＝sinx，是正弦函数，在区间（﹣1，1）上为增函数，不符合题意；
对于B，f（x）＝cosx，是余弦函数，在区间（﹣1，0）上为增函数，在区间（0，1）上为减函数，不符合题意；
对于C，f（x）＝ln（x+1），由对数函数的性质，f（x）在区间（﹣1，1）上为增函数，不符合题意；
对于D，f（x）＝2﹣x＝（）x，是指数函数，在区间（﹣1，1）上为减函数，符合题意．
故选：D．
【模拟02】（2024 临潼区二模）下列函数中，既是奇函数又在（﹣∞，+∞）上单调递减的是（　　）
A．y B．y＝x3 C．y＝﹣x|x| D．y＝e﹣x
【答案】C
【分析】在A中，减区间为（﹣∞，0），（0，+∞）；在B中，y＝x3增区间为（﹣∞，+∞）；在C中，y＝﹣x|x|是奇函数，减区间为（﹣∞，+∞）；在D中，y＝e﹣x是非奇非偶函数．
【解答】解：在A中，是奇函数，减区间为（﹣∞，0），（0，+∞），故A错误；
在B中，y＝x3是奇函数，没有减区间，增区间为（﹣∞，+∞），故B错误；
在C中，y＝﹣x|x|，是奇函数，减区间为（﹣∞，+∞），故C正确；
在D中，y＝e﹣x是非奇非偶函数，减区间为（﹣∞，+∞），故D错误．
故选：C．
【模拟03】（2024 福州模拟）设函数f（x）＝3|a﹣2x|在区间（1，2）上单调递减，则a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，4] C．[2，+∞） D．[4，+∞）
【答案】D
【分析】根据题意，由复合函数的单调性，列出不等式，代入计算，即可得到结果．
【解答】解：y＝3x在（﹣∞，+∞）上单增，而f（x）＝3|a﹣2x|在（1，2）上单减，
所以y＝|2x﹣a|在区间（1，2）单减，所以，解得a∈[4，+∞）．
故选：D．
【模拟04】（多选）（2024 安庆二模）已知定义在R上的函数f（x），满足对任意的实数x，y，均有f（x+y）＝f（x）+f（y）﹣1，且当x＞0时，f（x）＜1，则（　　）
A．f（0）＝1
B．f（1）+f（﹣1）＝1
C．函数f（x）为减函数
D．函数y＝f（x）的图象关于点（0，1）对称
【答案】ACD
【分析】在f（x+y）＝f（x）+f（y）中，令x＝0，y＝0，可判断A；令x＝1，y＝﹣1，可判断B；令y＝﹣x，分析可判断D；设x1＜x2，则x2﹣x1＞0，结合题意由作差法分析可判断C．
【解答】解：根据题意，f（x）满足对任意实数x，y，均有f（x+y）＝f（x）+f（y）﹣1，令x＝0，y＝0，有f（0）＝f（0）+f（0）﹣1，即f（0）＝1，故A正确；
令x＝1，y＝﹣1，有f（0）＝f（1）+f（﹣1）﹣1＝1，所以f（1）+f（﹣1）＝2，故B错误；
根据题意，对于f（x+y）＝f（x）+f（y）﹣1，令y＝﹣x，则f（x﹣x）＝f（x）+f（﹣x）﹣1＝f（0）＝1，即f（x）+f（﹣x）＝2，故函数y＝f（x）的图象关于点（0，1）对称，故D正确；
设x1＜x2，则x2﹣x1＞0，由已知可得f（x2﹣x1）＜1，f（x2）﹣f（x1）＝f[（x2﹣x1）+x1]﹣f（x1）＝f（x2﹣x1）+f（x1）﹣1﹣f（x1）＝f（x2﹣x1）﹣1＜0，即f（x2）＜f（x1），则函数f（x）在R上是减函数，故C正确．
故选：ACD．
【模拟05】（2024 聊城模拟）若函数的值域为（2，+∞），则实数a的取值范围为　 　．
【答案】（1，+∞）．
【分析】根据题意，由函数的解析式分析f（x）的单调区间，结合单调性可得6a﹣4＞2，解可得答案．
【解答】解：当x＞4时，f（x）＝log2x，此时f（x）为增函数，得f（x）＞log24＝2，
当x≤4时，f（x）＝6a﹣x，此时f（x）为减函数，有f（x）≥f（4）＝6a﹣4，
若函数的值域为（2，+∞），则有6a﹣4＞2，
解可得a＞1，即a的取值范围为（1，+∞）．
故答案为：（1，+∞）．
考向3 指对幂比较大小
解法技巧 一、用函数的单调性比较： （1）对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f（）外衣”比较大小． （2）有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数单调性对称性，以用于比较大小． 二、临界值0与1（或者-1）比较大小： 三、中间变量比较大小： （1）估算要比较大小的两个值所在的大致区间． （2）可以对区间使用二分法（或者利用指对转化）寻找合适的中间值． 四、作差法、作商法比较大小： （1）一般情况下，作差或者做商，可处理底数不一样的的对数比大小． （2）作差或者做商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧和方法解． 五、构造函数比较大小： （1）要先从此处入手，通过这个函数，学习观察，归纳，总结“同构”规律． （2）还要进一步总结“异构”规律，为后续积累更复杂的“构造函数”能力做训练． （3）观察总结“同构”规律，许多时候，三个数比较大小，可能某一个数会被刻意的隐藏了“同构”规律，所以可以优先从结构最接近的两个数规律． 六、放缩法比较大小： （1）对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数． （2）指数和幂函数结合来放缩． （3）利用均值不等式等不等关系放缩．
【模拟01】（2024 厦门模拟）已知a＝log32，b＝log2a，，则（　　）
A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a
【答案】B
【分析】结合对数函数单调性先求出a的范围，进而确定b的范围，再由指数函数单调性确定c的范围，即可比较a．b．c的大小．
【解答】解：因为a＝log32∈（，1），则b＝log2a∈（﹣1，0），∈（1，2），
所以c＞a＞b．
故选：B．
【模拟02】（2024 柳州三模）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k＝1，2）．已知太阳的星等是﹣26.7，天狼星的星等是﹣1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（　　）
A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10﹣10.1
【答案】A
【分析】由题意得关于E1，E2的等式，结合对数的运算法则，即可得出答案．
【解答】解：由题意得两颗星的星等与亮度满足，
令m2＝﹣1.45，m1＝﹣26.7，
则，
故选：A．
【模拟03】（2024 济南模拟）若a＝sin1，b＝lg（tan1），，则（　　）
A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b
【答案】C
【分析】利用正弦函数和正切函数的单调性，结合对数函数的单调性求解．
【解答】解：∵正弦函数y＝sinx在（0，）上单调递增，且0，
∴sin1，即a，
∵正切函数y＝tanx在（0，）上单增，且0，∴tan1＜tan，
∴lg（tan1）＜lg，即b，
∴b＜c＜a．
故选：C．
【模拟04】（2024 红桥区一模）设a＝log0.50.6，b＝0.25﹣0.3，c＝0.6﹣0.6，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．b＞c＞a D．c＞a＞b
【答案】C
【分析】利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性，结合特殊值判定即可．
【解答】解：因为y＝log0.5x在（0，+∞）上单调递减，
所以log0.51＜log0.50.6＜log0.50.5，即0＜a＜1．
因为y＝x0.6在（0，+∞）上单调递增，又0.25﹣0.3＝0.5﹣0.6＝20.6，，
又，所以，故b＞c＞1，所以b＞c＞a．
故选：C．
【模拟05】（2024 海南模拟）已知正实数a，b，c满足，，则（　　）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．c＜a＜b
【答案】D
【分析】先对已知等式进行变形，a，b，c可看作函数图象的交点的横坐标，结合等式特点，合理构造函数，结合函数图象即可比较a，b，c的大小．
【解答】解：因为，，所以log3c＝﹣c，
令f（x）＝log3x，g（x）＝（）x，h（x）＝（）x，φ（x）＝﹣x，
则a，b，c可看作f（x）与g（x），h（x），φ（x）的交点的横坐标，
结合函数图象可知，0＜c＜1＜a＜b．
故选：D．
考向4 函数与方程
解法技巧 函数与方程：函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．
【模拟01】（2024 榆林二模）已知函数恰有3个零点，则整数m的取值个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据题意解出m＝﹣x2+4x，，分别画出函数图象，数形结合求解即可．
【解答】解：令，得m＝﹣x2+4x或；
作出的大致图象，如图所示，
这两个函数的图象的交点为（0，0），（3，3），因为g（x）max＝4，h（x）＞﹣1，
所以由图可知m的取值范围是（﹣1，0）∪（0，3）∪（3，4）．
故整数m＝1或2，个数为2．
故选：B．
【模拟02】（2024 皇姑区二模）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．（﹣1，0]
【答案】B
【分析】根据题意，直线y＝﹣ax﹣2a与半圆x2+y2＝4（0≤y≤2）有两个交点，从而作出图象分析，可得答案．
【解答】解：关于x的方程ax+2a0，即﹣ax﹣2a，
而y＝﹣ax﹣2a＝﹣a（x+2）表示经过点（﹣2，0），斜率为﹣a的直线，
y表示圆x2+y2＝4在x轴上方的半圆（含端点）．
因此，若原方程有两个不相等的实数根，则直线y＝﹣ax﹣2a与半圆x2+y2＝4（0≤y≤2）有两个交点，
同一坐标系内作出它们的图象，如图所示，
当直线与半圆相切时，圆心（2，0）到直线的距离d2，解得a（a不符合题意，舍去），
当直线斜率﹣a＝0时，直线与半圆x2+y2＝4（0≤y≤2）有两个交点（0，0），（4，0），
观察图象，可知a≤0，即实数a的取值范围是（，0]．
故选：B．
【模拟03】（多选）（2024 晋中一模）已知函数则下列说法正确的是（　　）
A．f（x）为增函数
B．方程有两个实根
C．恒成立
D．当n∈N*时，f（2n）＝2n﹣1
【答案】BC
【分析】画出图象，结合函数的性质、方程的根与函数的零点进行求解．
【解答】解：当1≤x＜2时，，则，
当2≤x＜4，，，......，
可以画出f（x）的大致图象如图，则f（x）在定义域内不是增函数，故A错误；
利用函数图象可得y＝f（x）与有两个交点，故B正确；
在图象中作出，利用函数图象可得在整个定义域内恒成立，故C正确；
由f（x）的零点可知，当n∈N*，f（2n）＝0，故D错误．
故选：BC．
【模拟04】（2024 西城区模拟）若关于x的方程|2x+4﹣x2|＝a恰有三个不同实数解，则实数a的值为　 　．
【答案】5
【分析】问题等价于函数y＝|2x+4﹣x2|的图象和y＝a恰有三个不同公共点，数形结合可得．
【解答】解：问题等价于函数y＝|2x+4﹣x2|的图象和y＝a恰有三个不同公共点，
y＝|2x+4﹣x2|的图象可由y＝2x+4﹣x2＝﹣（x﹣1）2+5的图象x轴上方的不动，x轴下方的对称上去，如图数形结合可得a＝5
故答案为：5
【模拟05】（2024 新郑市校级一模）已知函数，当方程f（x）＝k有3个实数解时，k的取值范围是　 　．
【答案】（﹣4，﹣3]．
【分析】根据给定条件将方程f（x）＝k的实数解问题转化为函数y＝f（x）的图象与直线y＝k的交点问题，再利用数形结合思想即可作答．
【解答】解：方程f（x）＝k有3个实数解，等价于函数y＝f（x）的图象与直线y＝k有3个公共点，
因当x≤0时，f（x）在（﹣∞，﹣1]上单调递减，在﹣1，0]上单调递增，f（﹣1）＝﹣4，f（0）＝﹣3，当x＞0时，f（x）单调递增，f（x）取一切实数，
在同一坐标系内作出函数y＝f（x）的图象及直线y＝k，如图：
由图象可知，当﹣4＜k≤﹣3时，函数y＝f（x）的图象及直线y＝k有3个公共点，方程f（x）＝k有3个解，
所以k的取值范围为（﹣4，﹣3]．
故答案为：（﹣4，﹣3]．专题03 函数
◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆
高考频度 ★★★★☆
考情分析 高考数学中，函数这个考点主要以选择题、填空题的形式出现．函数的图象与性质是高考常考查的热点之一．考查函数的定义域、值域、图象，函数的对称性、周期性、单调性．考查化归与转化思想，考查逻辑推导与计算素养．
一、选择题
【真题1】（2023 乙卷）已知f（x）是偶函数，则a＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【真题2】（2023 新高考Ⅱ）若f（x）＝（x+a）为偶函数，则a＝（　　）
A．﹣1 B．0 C． D．1
【真题3】（2023 北京）下列函数中在区间（0，+∞）上单调递增的是（　　）
A．f（x）＝﹣lnx B．f（x） C．f（x） D．f（x）＝3|x﹣1|
【真题4】（2023 甲卷）函数y＝f（x）的图象由y＝cos（2x）的图象向左平移个单位长度得到，则y＝f（x）的图象与直线yx的交点个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
【真题5】（2023 新高考Ⅰ）已知函数f（x）的定义域为R，f（xy）＝y2f（x）+x2f（y），则（　　）
A．f（0）＝0
B．f（1）＝0
C．f（x）是偶函数
D．x＝0为f（x）的极小值点
【真题6】（2023 新高考Ⅰ）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg，其中常数p0（p0＞0）是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60～90
混合动力汽车 10 50～60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则（　　）
A．p1≥p2 B．p2＞10p3 C．p3＝100p0 D．p1≤100p2
三、填空题
【真题7】（2023 甲卷）若f（x）＝（x﹣1）2+ax+sin（x）为偶函数，则a＝　 　．
【真题8】（2023 上海）已知函数f（x），则函数f（x）的值域为　 　．
【真题9】（2023 天津）若函数f（x）＝ax2﹣2x﹣|x2﹣ax+1|有且仅有两个零点，则a的取值范围为　 　．
考向1 函数的奇偶性
解法技巧 函数奇偶性的性质与判断： （1）如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称． （2）如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
【模拟01】（2024 开封模拟）若函数是奇函数，则实数a＝（　　）
A．0 B．﹣1 C．1 D．±1
【模拟02】（2024 赤峰模拟）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且周期T＝6．若当x∈[﹣3，0]时，f（x）＝4﹣x，则f（2024）＝（　　）
A．4 B．16 C． D．
【模拟03】（2024 香坊区校级二模）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）+f（x）＝0，则以下说法错误的是（　　）
A．f（0）＝0 B．f（x）是周期函数
C．f（2024）＝1 D．f（1）+f（3）＝f（4）
【模拟04】（多选）（2024 周口模拟）已知函数f（x）的定义域为R，且f（x+y）f（x﹣y）＝f2（x）﹣f2（y），f（1）＝1，f（2x+1）为偶函数，则（　　）
A．f（0）＝0 B．f（x）为偶函数
C．f（2+x）＝﹣f（2﹣x） D．
【模拟05】（2024 浦东新区二模）已知y＝f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x），则f（）的值是　 　
考向2 函数的单调性
解法技巧 函数单调性的判断： （1）定义法． （2）导数法． （3）函数图象法． （4）基本函数单调性的应用：复合函数遵循“同增异减”．
【模拟01】（2024 石景山区一模）下列函数中，在区间（﹣1，1）上为减函数的是（　　）
A．f（x）＝sinx B．f（x）＝cosx
C．f（x）＝ln（x+1） D．f（x）＝2﹣x
【模拟02】（2024 临潼区二模）下列函数中，既是奇函数又在（﹣∞，+∞）上单调递减的是（　　）
A．y B．y＝x3 C．y＝﹣x|x| D．y＝e﹣x
【模拟03】（2024 福州模拟）设函数f（x）＝3|a﹣2x|在区间（1，2）上单调递减，则a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，4] C．[2，+∞） D．[4，+∞）
【模拟04】（多选）（2024 安庆二模）已知定义在R上的函数f（x），满足对任意的实数x，y，均有f（x+y）＝f（x）+f（y）﹣1，且当x＞0时，f（x）＜1，则（　　）
A．f（0）＝1
B．f（1）+f（﹣1）＝1
C．函数f（x）为减函数
D．函数y＝f（x）的图象关于点（0，1）对称
【模拟05】（2024 聊城模拟）若函数的值域为（2，+∞），则实数a的取值范围为　 　．
考向3 指对幂比较大小
解法技巧 一、用函数的单调性比较： （1）对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f（）外衣”比较大小． （2）有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数单调性对称性，以用于比较大小． 二、临界值0与1（或者-1）比较大小： 三、中间变量比较大小： （1）估算要比较大小的两个值所在的大致区间． （2）可以对区间使用二分法（或者利用指对转化）寻找合适的中间值． 四、作差法、作商法比较大小： （1）一般情况下，作差或者做商，可处理底数不一样的的对数比大小． （2）作差或者做商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧和方法解． 五、构造函数比较大小： （1）要先从此处入手，通过这个函数，学习观察，归纳，总结“同构”规律． （2）还要进一步总结“异构”规律，为后续积累更复杂的“构造函数”能力做训练． （3）观察总结“同构”规律，许多时候，三个数比较大小，可能某一个数会被刻意的隐藏了“同构”规律，所以可以优先从结构最接近的两个数规律． 六、放缩法比较大小： （1）对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数． （2）指数和幂函数结合来放缩． （3）利用均值不等式等不等关系放缩．
【模拟01】（2024 厦门模拟）已知a＝log32，b＝log2a，，则（　　）
A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a
【模拟02】（2024 柳州三模）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k＝1，2）．已知太阳的星等是﹣26.7，天狼星的星等是﹣1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（　　）
A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10﹣10.1
【模拟03】（2024 济南模拟）若a＝sin1，b＝lg（tan1），，则（　　）
A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b
【模拟04】（2024 红桥区一模）设a＝log0.50.6，b＝0.25﹣0.3，c＝0.6﹣0.6，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．b＞c＞a D．c＞a＞b
【模拟05】（2024 海南模拟）已知正实数a，b，c满足，，则（　　）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．c＜a＜b
考向4 函数与方程
解法技巧 函数与方程：函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．
【模拟01】（2024 榆林二模）已知函数恰有3个零点，则整数m的取值个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【模拟02】（2024 皇姑区二模）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．（﹣1，0]
【模拟03】（多选）（2024 晋中一模）已知函数则下列说法正确的是（　　）
A．f（x）为增函数
B．方程有两个实根
C．恒成立
D．当n∈N*时，f（2n）＝2n﹣1
【模拟04】（2024 西城区模拟）若关于x的方程|2x+4﹣x2|＝a恰有三个不同实数解，则实数a的值为　 　．
【模拟05】（2024 新郑市校级一模）已知函数，当方程f（x）＝k有3个实数解时，k的取值范围是　 　．

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