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专题01 集合与常用逻辑用语
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高考频度 ★★★★☆
考情分析 高考数学中，集合与常用逻辑用语这个考点主要以选择题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，集合的基本运算、充要条件是历年高考的热点．集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力。
一、选择题
【真题1】（2023 新高考Ⅰ）已知集合M＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，N＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，则M∩N＝（　　）
A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{0，1，2} C．{﹣2} D．{2}
【真题2】（2023 新高考Ⅱ）设集合A＝{0，﹣a}，B＝{1，a﹣2，2a﹣2}，若A B，则a＝（　　）
A．2 B．1 C． D．﹣1
【真题3】（2023 甲卷）设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，N＝{2，5}，则N∪ UM＝（　　）
A．{2，3，5} B．{1，3，4} C．{1，2，4，5} D．{2，3，4，5}
【真题4】（2023 甲卷）设集合A＝{x|x＝3k+1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k+2，k∈Z}，U为整数集，则 U（A∪B）＝（　　）
A．{x|x＝3k，k∈Z} B．{x|x＝3k﹣1，k∈Z}
C．{x|x＝3k﹣2，k∈Z} D．
【真题5】（2023 乙卷）设全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，则M∪ UN＝（　　）
A．{0，2，4，6，8} B．{0，1，4，6，8}
C．{1，2，4，6，8} D．U
【真题6】（2023 乙卷）设集合U＝R，集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|﹣1＜x＜2}，则{x|x≥2}＝（　　）
A． U（M∪N） B．N∪ UM C． U（M∩N） D．M∪ UN
【真题7】（2023 北京）已知集合M＝{x|x+2≥0}，N＝{x|x﹣1＜0}．则M∩N＝（　　）
A．{x|﹣2≤x＜1} B．{x|﹣2＜x≤1} C．{x|x≥﹣2} D．{x|x＜1}
【真题8】（2023 天津）已知集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，B＝{1，2，4}，则（ UB）∪A＝（　　）
A．{1，3，5} B．{1，3} C．{1，2，4} D．{1，2，4，5}
【真题9】（2023 全国）集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{2k|k∈A}，则A∩B＝（　　）
A．{0} B．{0，2} C．{﹣2，0} D．{﹣2，0，2}
【真题10】（2023 上海）已知P＝{1，2}，Q＝{2，3}，若M＝{x|x∈P，x Q}，则M＝（　　）
A．{1} B．{2} C．{3} D．{1，2，3}
【真题11】（2023 天津）“a2＝b2”是“a2+b2＝2ab”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【真题12】（2023 北京）若xy≠0，则“x+y＝0”是“2”的（　　）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
二、填空题
【真题13】（2023 上海）已知集合A＝{1，2}，B＝{1，a}，且A＝B，则a＝　 　．
考向1 集合间的关系
解法技巧 集合间的关系 （1）空集只有一个子集，即它的本身， ． （2）空集是任何集合的子集（即 A）；空集是任何非空集合的真子集（若A≠ ，则 A）． （3）子集个数：若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有个．
【模拟01】（2024 云南模拟）已知集合A＝{x∈Z|0≤x≤4}，B＝{0，1，2，3，4，5}，则（　　）
A．A B B．A＝B C．A∈B D．B A
【模拟02】（2024 抚顺模拟）已知集合A＝{1，a}，B＝{x||x﹣1|＜2}，若A B，则实数a的值是（　　）
A．1 B．0 C．﹣2 D．3
【模拟03】（2024 曲靖模拟）2023年杭州亚运会吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人，三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”，分别代表了杭州的三大世界遗产．这三个吉祥物的中文名字中的汉字组成集合M，则集合M的非空真子集的个数为（　　）
A．9 B．8 C．7 D．6
【模拟04】（2024 焦作一模）已知集合A＝{x∈N|x2≤x}，B＝{x|x3﹣x＝0}，则（　　）
A．A B B．A B C．A＝B D．A∩B＝
【模拟05】（2024 聊城模拟）已知集合A＝{x||x|≤2}，B＝{x|x﹣a＜0}，若A B，则a的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，﹣2] C．（2，+∞） D．[2，+∞）
考向2 集合的基本运算
解法技巧 集合的基本运算： （1）集合平时很常用，数学概念有不同，理解集合并不难，三个要素是关键，元素确定和互译，还有无序要牢记，空集不论空不空，总有子集在其中，集合用图很方便，子交并补很明显． （2）当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算． （3）当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验. 集合常与不等式，基本函数结合，常见逻辑用语常与立体几何，三角函数，数列，线性规划等结合．
【模拟01】（2024 南开区一模）已知全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，则（ UA）∪B＝（　　）
A．{0，2，4} B．{2，3，4} C．{1，2，4} D．{0，2，3，4}
【模拟02】（2024 西安一模）设集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|﹣2＜x≤1}，则（ RA）∩B＝（　　）
A．{x|x＞﹣2} B．{x|x＞0} C．{x|﹣2＜x≤0} D．{x|0≤x≤1}
【模拟03】（2024 河南模拟）已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，则A∩B＝（　　）
A． B．[0，+∞） C．R D．（0，+∞）
【模拟04】（2024 内江一模）集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|x＜a}，若A∪B＝{x|x＜1}，则a的取值范围为（　　）
A．[﹣1，1] B．（﹣1，1] C．[﹣1，1） D．（﹣1，1）
【模拟05】（2024 青岛一模）已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{y|y＝2x，x∈A}，则A∪B的所有元素之和为　 　．
考向3 常用逻辑用语
解法技巧 充分必要条件的应用： （1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． （2）要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象． （3）数学定义都是充要条件．
【模拟01】（2024 安徽模拟）若a＞0，b＞0，则“”是“a+b≤1”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【模拟02】（2024 凉山州模拟）已知命题“m≤0”是假命题，则m的取值范围为（　　）
A．[﹣2，+∞） B．（﹣2，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2]
【模拟03】（多选）（2024 辽宁一模）已知函数，则f（x）在区间上为减函数的充分条件是（　　）
A．
B．f（x）的图象关于直线x对称
C．f（x）是奇函数
D．f（x）的图象关于点对称
【模拟04】（2024 宁波模拟）已知Sn是公比不为1的等比数列{an}的前n项和，则“S2，S6，S3成等差数列”是“存在不相等的正整数m，n，使得am，amn，an成等差数列”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【模拟05】（2024 南充一模）设命题，，若 p是假命题，则实数a的取值范围是　 　．专题01 集合与常用逻辑用语
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高考频度 ★★★★☆
考情分析 高考数学中，集合与常用逻辑用语这个考点主要以选择题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，集合的基本运算、充要条件是历年高考的热点．集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力。
一、选择题
【真题1】（2023 新高考Ⅰ）已知集合M＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，N＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，则M∩N＝（　　）
A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{0，1，2} C．{﹣2} D．{2}
【答案】C
【分析】先把集合N表示出来，再根据交集的定义计算即可．
【解答】解：∵x2﹣x﹣6≥0，∴（x﹣3）（x+2）≥0，∴x≥3或x≤﹣2，
N＝（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞），
则M∩N＝{﹣2}．
故选：C．
【真题2】（2023 新高考Ⅱ）设集合A＝{0，﹣a}，B＝{1，a﹣2，2a﹣2}，若A B，则a＝（　　）
A．2 B．1 C． D．﹣1
【答案】B
【分析】根据题意可得a﹣2＝0或2a﹣2＝0，然后讨论求得a的值，再验证即可．
【解答】解：依题意，a﹣2＝0或2a﹣2＝0，
当a﹣2＝0时，解得a＝2，
此时A＝{0，﹣2}，B＝{1，0，2}，不符合题意；
当2a﹣2＝0时，解得a＝1，
此时A＝{0，﹣1}，B＝{1，﹣1，0}，符合题意．
故选：B．
【真题3】（2023 甲卷）设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，N＝{2，5}，则N∪ UM＝（　　）
A．{2，3，5} B．{1，3，4} C．{1，2，4，5} D．{2，3，4，5}
【答案】A
【分析】由已知结合集合补集及并集运算即可求解．
【解答】解：因为U＝{1，2，3，4，5}，M＝{1，4}，N＝{2，5}，
所以 UM＝{2，3，5}，则N∪ UM＝{2，3，5}．
故选：A．
【真题4】（2023 甲卷）设集合A＝{x|x＝3k+1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k+2，k∈Z}，U为整数集，则 U（A∪B）＝（　　）
A．{x|x＝3k，k∈Z} B．{x|x＝3k﹣1，k∈Z}
C．{x|x＝3k﹣2，k∈Z} D．
【答案】A
【分析】根据集合的基本运算，即可求解．
【解答】解：∵A＝{x|x＝3k+1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k+2，k∈Z}，
∴A∪B＝{x|x＝3k+1或x＝3k+2，k∈Z}，
又U为整数集，
∴ U（A∪B）＝{x|x＝3k，k∈Z}．
故选：A．
【真题5】（2023 乙卷）设全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，则M∪ UN＝（　　）
A．{0，2，4，6，8} B．{0，1，4，6，8} C．{1，2，4，6，8} D．U
【答案】A
【分析】直接利用集合的补集和并集运算求出结果．
【解答】解：由于 UN＝{2，4，8}，
所以M∪ UN＝{0，2，4，6，8}．
故选：A．
【真题6】（2023 乙卷）设集合U＝R，集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|﹣1＜x＜2}，则{x|x≥2}＝（　　）
A． U（M∪N） B．N∪ UM C． U（M∩N） D．M∪ UN
【答案】A
【分析】由数据可直接判断，必要时可借助数轴分析．
【解答】解：由题意：M∪N＝{x|x＜2}，
又U＝R，∴ U（M∪N）＝{x|x≥2}．
故选：A．
【真题7】（2023 北京）已知集合M＝{x|x+2≥0}，N＝{x|x﹣1＜0}．则M∩N＝（　　）
A．{x|﹣2≤x＜1} B．{x|﹣2＜x≤1} C．{x|x≥﹣2} D．{x|x＜1}
【答案】A
【分析】求出集合M、N的范围，再根据交集的定义可得．
【解答】解：由题意，M＝{x|x≥﹣2}，N＝{x|x＜1}，
∴M∩N＝{x|﹣2≤x＜1}．
故选：A．
【真题8】（2023 天津）已知集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，B＝{1，2，4}，则（ UB）∪A＝（　　）
A．{1，3，5} B．{1，3} C．{1，2，4} D．{1，2，4，5}
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合补集、并集的运算，即可求解．
【解答】解：U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，B＝{1，2，4}，
则 UB＝{3，5}，
故（ UB）∪A＝{1，3，5}．
故选：A．
【真题9】（2023 全国）集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{2k|k∈A}，则A∩B＝（　　）
A．{0} B．{0，2} C．{﹣2，0} D．{﹣2，0，2}
【答案】D
【分析】由题意得到B＝{﹣4，﹣2，0，2，4}，利用集合的交集运算即可求解．
【解答】解：因为集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{2k|k∈A}，
所以B＝{﹣4，﹣2，0，2，4}，则A∩B＝{﹣2，0，2}．
故选：D．
【真题10】（2023 上海）已知P＝{1，2}，Q＝{2，3}，若M＝{x|x∈P，x Q}，则M＝（　　）
A．{1} B．{2} C．{3} D．{1，2，3}
【答案】A
【分析】根据题意及集合的概念，即可得解．
【解答】解：∵P＝{1，2}，Q＝{2，3}，M＝{x|x∈P，x Q}，
∴M＝{1}．
故选：A．
【真题11】（2023 天津）“a2＝b2”是“a2+b2＝2ab”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据已知条件，先对原等式变形，再结合充分条件、必要条件的定义，即可求解．
【解答】解：a2＝b2，即（a+b）（a﹣b）＝0，解得a＝﹣b或a＝b，
a2+b2＝2ab，即（a﹣b）2＝0，解得a＝b，
故“a2＝b2”不能推出“a2+b2＝2ab”，充分性不成立，
“a2+b2＝2ab”能推出“a2＝b2”，必要性成立，
故“a2＝b2”是“a2+b2＝2ab”的必要不充分条件．
故选：B．
【真题12】（2023 北京）若xy≠0，则“x+y＝0”是“2”的（　　）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由xy≠0，x+y＝0，可得y＝﹣x≠0，进而判断出2是否成立；反之，若xy≠0，2，令t，可得，通过换元代入解出t，即可判断出结论．
【解答】解：由xy≠0，x+y＝0，∴y＝﹣x≠0，∴2，
反之，若xy≠0，2，
令t，则，于是t2，
化为t2+2t+1＝0，解得t＝﹣1，即1，
∴xy≠0，则“x+y＝0”是“2”的充要条件．
故选：C．
二、填空题
【真题13】（2023 上海）已知集合A＝{1，2}，B＝{1，a}，且A＝B，则a＝　 　．
【答案】2．
【分析】根据已知条件，结合集合相等的定义，即可求解．
【解答】解：集合A＝{1，2}，B＝{1，a}，且A＝B，则a＝2．
故答案为：2．
考向1 集合间的关系
解法技巧 集合间的关系 （1）空集只有一个子集，即它的本身， ． （2）空集是任何集合的子集（即 A）；空集是任何非空集合的真子集（若A≠ ，则 A）． （3）子集个数：若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有个．
【模拟01】（2024 云南模拟）已知集合A＝{x∈Z|0≤x≤4}，B＝{0，1，2，3，4，5}，则（　　）
A．A B B．A＝B C．A∈B D．B A
【答案】A
【分析】先确定集合A中的元素，再确定两个集合的关系．
【解答】解：由题意可得A＝{0，1，2，3，4}，
所以A B．
故选：A．
【点评】本题主要考查集合的包含关系，属于基础题．
【模拟02】（2024 抚顺模拟）已知集合A＝{1，a}，B＝{x||x﹣1|＜2}，若A B，则实数a的值是（　　）
A．1 B．0 C．﹣2 D．3
【答案】B
【分析】先求出集合B，再根据A B可得结果．
【解答】解：由题意得B＝{x|﹣1＜x＜3}，
又A＝{1，a}，A B，
所以a＝0．
故选：B．
【点评】本题主要考查集合的包含关系，属于基础题．
【模拟03】（2024 曲靖模拟）2023年杭州亚运会吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人，三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”，分别代表了杭州的三大世界遗产．这三个吉祥物的中文名字中的汉字组成集合M，则集合M的非空真子集的个数为（　　）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】D
【分析】由集合中元素的个数与非空真子集的个数之间的关系即可求解．
【解答】解：由题意集合M有三个元素 （集合元素间互异性，要去重），
所以集合M的非空真子集的个数为23﹣2＝6．
故选：D．
【点评】本题主要考查集合的真子集，属于基础题．
【模拟04】（2024 焦作一模）已知集合A＝{x∈N|x2≤x}，B＝{x|x3﹣x＝0}，则（　　）
A．A B B．A B C．A＝B D．A∩B＝
【答案】A
【分析】解出集合A，B，再判断包含关系．
【解答】解：依题意，A＝{x∈N|0≤x≤1}＝{0，1}，B＝{x|x3﹣x＝0}＝{﹣1，0，1}，所以A B．
故选：A．
【点评】本题主要考查集合的包含关系，属于基础题．
【模拟05】（2024 聊城模拟）已知集合A＝{x||x|≤2}，B＝{x|x﹣a＜0}，若A B，则a的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，﹣2] C．（2，+∞） D．[2，+∞）
【答案】C
【分析】先求出集合A，B，再利用集合间的包含关系列出不等式，求出a的取值范围即可．
【解答】解：集合A＝{x||x|≤2}＝{x|﹣2≤x≤2}，
B＝{x|x﹣a＜0}＝{x|x＜a}，
又∵A B，
∴a＞2，
即a的取值范围为（2，+∞）．
故选：C．
【点评】本题主要考查了集合间的包含关系，属于基础题．
考向2 集合的基本运算
解法技巧 集合的基本运算： （1）集合平时很常用，数学概念有不同，理解集合并不难，三个要素是关键，元素确定和互译，还有无序要牢记，空集不论空不空，总有子集在其中，集合用图很方便，子交并补很明显． （2）当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算． （3）当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验. 集合常与不等式，基本函数结合，常见逻辑用语常与立体几何，三角函数，数列，线性规划等结合．
【模拟01】（2024 南开区一模）已知全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，则（ UA）∪B＝（　　）
A．{0，2，4} B．{2，3，4} C．{1，2，4} D．{0，2，3，4}
【答案】A
【分析】利用集合的补集与并集的定义求解即可．
【解答】解：因为全集U＝{0，1，2，3，4}，
集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，
则 UA＝{0，4}，
所以（ UA）∪B＝{0，2，4}．
故选：A．
【点评】本题考查了集合的运算，主要考查了集合的补集与并集的定义的理解与应用，属于基础题．
【模拟02】（2024 西安一模）设集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|﹣2＜x≤1}，则（ RA）∩B＝（　　）
A．{x|x＞﹣2} B．{x|x＞0} C．{x|﹣2＜x≤0} D．{x|0≤x≤1}
【答案】C
【分析】根据集合的基本运算即可求（ RA）∩B．
【解答】解：∵A＝{x|x＞0}，∴ RA＝{x|x≤0}，
∵B＝{x|﹣2＜x≤1}，
∴（ RA）∩B＝{x|﹣2＜x≤0}．
故选：C．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
【模拟03】（2024 河南模拟）已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，则A∩B＝（　　）
A． B．[0，+∞） C．R D．（0，+∞）
【答案】B
【分析】根据集合中元素的特性判断出集合A与B，再进行交集运算．
【解答】解：根据描述法表示集合，A＝R；B＝[0，+∞），
∴A∩B＝[0，+∞）．
故选：B．
【点评】本题考查描述法表示集合、交集及其运算．
【模拟04】（2024 内江一模）集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|x＜a}，若A∪B＝{x|x＜1}，则a的取值范围为（　　）
A．[﹣1，1] B．（﹣1，1] C．[﹣1，1） D．（﹣1，1）
【答案】B
【分析】利用并集定义、不等式性质能求出结果．
【解答】解：集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|x＜a}，A∪B＝{x|x＜1}，
∴﹣1＜a≤1，
∴a的取值范围为（﹣1，1]．
故选：B．
【点评】本题考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算运算求解能力，是基础题．
【模拟05】（2024 青岛一模）已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{y|y＝2x，x∈A}，则A∪B的所有元素之和为　 　．
【答案】0．
【分析】结合并集的定义，即可求解．
【解答】解：集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{y|y＝2x，x∈A}＝{﹣2，0，2}，
故A∪B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，
所以A∪B的所有元素之和为﹣2+（﹣1）+0+1+2＝0．
故答案为：0．
【点评】本题主要考查并集的定义，属于基础题．
考向3 常用逻辑用语
解法技巧 充分必要条件的应用： （1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． （2）要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象． （3）数学定义都是充要条件．
【模拟01】（2024 安徽模拟）若a＞0，b＞0，则“”是“a+b≤1”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】举反例说明充分性不成立，而根据a＞0，b＞0，a+b≤1得出0＜a＜1，0＜b＜1，然后即可判断必要性是否成立，从而得出正确的选项．
【解答】解：a＝1.1，b＝0.1，满足，得不出a+b≤1，充分性不成立；
a＞0，b＞0，a+b≤1时，得出0＜a＜1，0＜b＜1，
所以成立，必要性成立，
所以“”是“a+b≤1”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查了充分条件和必要条件的定义，是基础题．
【模拟02】（2024 凉山州模拟）已知命题“m≤0”是假命题，则m的取值范围为（　　）
A．[﹣2，+∞） B．（﹣2，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2]
【答案】B
【分析】 x∈R，sin2x+2sin（x）+m＞0是真命题，然后结合存在性问题与最值关系的转化即可求解．
【解答】解：因为命题“m≤0”是假命题，
所以 x∈R，sin2x+2sin（x）+m＞0是真命题，
即 x∈R，1﹣cos2x+2cosx+m＞0是真命题，
整理得m+2＞（cosx﹣1）2有解，
所以m+2＞（cosx﹣1）2min＝0，
所以m+2＞0，即m＞﹣2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了含有量词的命题真假关系的应用，体现了转化思想的应用，属于中档题．
【模拟03】（多选）（2024 辽宁一模）已知函数，则f（x）在区间上为减函数的充分条件是（　　）
A．
B．f（x）的图象关于直线x对称
C．f（x）是奇函数
D．f（x）的图象关于点对称
【答案】BD
【分析】分别将选项代入解析式，确定f（x）的单调区间，再利用充分必要条件定义进行判断．
【解答】解：对于A，φ时，f（x）＝sin（2x），
由（k∈Z），
得：（k∈Z），
所以f（x）的减区间为[（k∈Z），
当k＝0时，减区间为[]，此时不能推出f（x）在区间（）上为减函数，所以A选项错误；
对于B，若f（x）的图象关于直线x对称，
则2kπ（k∈Z），
因为，
所以φ，
此时f（x）＝2sin（2x），
当x∈（，）时，2x∈（，），
此时f（x）为减函数，
所以B正确；
对于C，若f（x）为奇函数，则φ＝0，
此时f（x）＝sin2x，
当x∈（，）时，2x∈（，），
此时f（x）不是减函数，
所以C错误；
对于D，若f（x）图象关于（，0）对称，
则2kπ（k∈Z），
因为，
所以φ，
此时f（x）＝sin（2x），
当x∈（，）时，2x∈（，π），
此时f（x）为减函数，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质，充分必要条件的判定，属于中档题．
【模拟04】（2024 宁波模拟）已知Sn是公比不为1的等比数列{an}的前n项和，则“S2，S6，S3成等差数列”是“存在不相等的正整数m，n，使得am，amn，an成等差数列”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由已知结合等比数列的求和公式，等差数列的性质分别检验充分必要性即可判断．
【解答】解：对于公比不为1的等比数列{an}，
若S2，S6，S3成等差数列，则2S6＝S2+S3，即，
整理得q2（2q4﹣q﹣1）＝0，结合q≠0得2q4﹣q﹣1＝0，
若存在不相等的正整数m，n，使得am，amn，an成等差数列，则2amn＝am+an，
不妨设m＞n，则2qmn﹣n＝qm﹣n+1，即2qmn﹣1﹣qm﹣n﹣1＝0，
所以2qn（m﹣1）﹣qm﹣n﹣1＝0，
当n（m﹣1）＝4，m﹣n＝1时，m＝3，n＝2，
所以S2，S6，S3成等差数列时，存在不相等的正整数m＝3，n＝2，使得am，amn，an成等差数列，
但am，amn，an成等差数列时，2qn（m﹣1）﹣qm﹣n﹣1＝0成立，但2q4﹣q﹣1＝0不一定成立，
故“S2，S6，S3成等差数列”是“存在不相等的正整数m，n，使得am，amn，an成等差数列”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题以充分必要条件为载体，主要考查了等比数列的求和公式，等差数列的性质的应用，属于中档题．
【模拟05】（2024 南充一模）设命题，，若 p是假命题，则实数a的取值范围是　 　．
【答案】．
【分析】根据命题的否定与原命题的关系得出命题p是真命题，即可根据命题p得出，，再根据基本不等式或对勾函数的性质得出在上的最小值，即可得出答案．
【解答】解：∵ p是假命题，
∴p是真命题，
∵，，
∴，，
当x＞0时，，当且仅当时，即时，等号成立，
∵，可取到，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】本题主要考查全称命题的性质，函数的单调性，属于中档题．

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