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专题06 平面向量
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高考频度 ★★★☆☆
考情分析 高考数学中，平面向量这个考点考查平面向量基本定理、加减法运算、向量数量积的坐标与模长运算，会进行数量积的运算，会用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断向量的垂直关系，会用坐标运算表示向量的平行关系。体会数形结合思想，强化运算求解能力与转化化归能力。
一、选择题
【真题1】（2023 新高考Ⅰ）已知向量（1，1），（1，﹣1）．若（λ）⊥（μ），则（　　）
A．λ+μ＝1 B．λ+μ＝﹣1 C．λμ＝1 D．λμ＝﹣1
【真题2】（2023 甲卷）已知向量（3，1），（2，2），则cos ， ＝（　　）
A． B． C． D．
【真题3】（2023 甲卷）向量||＝||＝1，||，且，则cos ， ＝（　　）
A． B． C． D．
【真题4】（2023 乙卷）正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则 （　　）
A． B．3 C．2 D．5
【真题5】（2023 北京）已知向量，满足（2，3），（﹣2，1），则||2﹣||2＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
二、填空题
【真题6】（2023 新高考Ⅱ）已知向量，满足||，||＝|2|，则||＝　 　．
【真题7】（2023 天津）在△ABC中，∠A＝60°，||＝1，点D为AB的中点，点E为CD的中点，若设，，则可用，表示为　 　；若，则 的最大值为　 　．
考向1 平面向量的线性运算
解法技巧 平面向量的线性运算： （1）平面向量的加法：“首尾相连”． （2）平面向量的减法：“起点重合”． （3）若A，B，C三点共线，O为直线外一点 存在实数x，y，使＝x＋y，且x＋y＝1．
【模拟01】（2024 遂宁模拟）已知D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，若，则点C的坐标为（　　）
A．（1，1） B．（4，5） C．（﹣5，﹣7） D．（﹣8，﹣11）
【模拟02】（2024 西城区模拟）在△ABC中，，E是AD的中点，则（　　）
A． B．
C． D．
【模拟03】（2024 长安区一模）在△ABC中，点D是线段AC上一点，点P是线段BD上一点，且，则λ＝（　　）
A． B． C． D．
【模拟04】（2024 山西模拟）已知D是△ABC的AB边上一点，若，则λ﹣μ＝（　　）
A． B． C．0 D．
【模拟05】（2024 浙江模拟）已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（　　）
A．A、B、C三点共线 B．A、B、D三点共线
C．A、C、D三点共线 D．B、C、D三点共线
考向2 平面向量的数量积
解法技巧 平面向量的数量积： （1）||||cosθ． （2）在上的投影||cosθ． （3）x1x2+y1y2．
【模拟01】（2024 金东区校级模拟）在边长为1的正方形ABCD中，E为线段BC的中点，F为线段CD上的一点，若DF＝2CF，则（　　）
A． B． C． D．
【模拟02】（2024 沙坪坝区校级模拟）已知，，，则（　　）
A．﹣8 B．8 C．﹣6 D．6
【模拟03】（2024 岳麓区校级模拟）在△ABC中，角A为，角A的平分线AD交BC于点D，已知，且，则（　　）
A．1 B． C．9 D．
【模拟04】（2024 江西模拟）过点P（﹣1，1）的直线与圆C：x2+y2﹣6x﹣4y+12＝0相切于点M，则（　　）
A．4 B．16 C． D．17
【模拟05】（多选）（2024 重庆模拟）下列命题中正确的是（　　）
A．若向量，满足，则
B．若非零向量，满足，则
C．若，，为平面向量，则
D．若，，为非零向量，且满足，则
考向3 平面向量的平行与垂直
解法技巧 平面向量的平行与垂直： （1）a∥b 存在实数λ使a＝λb x1y2－x2y1＝0． （2）a⊥b x1x2＋y1y2＝0．
【模拟01】（2024 济南模拟）已知（m，1），（3m﹣1，2），若∥，则m＝（　　）
A．1 B．﹣1 C． D．
【模拟02】（2024 山东模拟）已知向量（，1），（3，），若λ与λ垂直，则λ＝（　　）
A． B． C． D．
【模拟03】（2024 河南模拟）已知向量（3，3），（x，﹣3），则“（）⊥”是“x＝﹣3”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【模拟04】（2024 乌鲁木齐模拟）已知向量，，则（　　）
A．∥（） B．∥（） C．⊥（） D．⊥（）
【模拟05】（2024 邢台模拟）已知向量，，若，则λ＝　 　．
考向4 平面向量的夹角
解法技巧 平面向量的夹角： （1）cosθ＝． （2）cosθ＝．
【模拟01】（2024 皇姑区二模）已知||＝5，（﹣1，2），在上的投影向量为（﹣2，4），则向量与夹角余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【模拟02】（2024 赤峰模拟）若向量与满足．且，，则向量与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
【模拟03】（2024 商洛四模）已知非零向量，，满足⊥（），||||，，60°，则，（　　）
A．45° B．60° C．120° D．150°
【模拟04】（多选）（2024 清江浦区模拟）已知向量（1，﹣2），（1，3），则下列结论正确的是（　　）
A．在上的投影向量是（1，﹣2）
B．|2|＝||
C．与的夹角为
D．（）⊥
【模拟05】（2024 云南模拟）设向量，且，则m＝　 　；和所成角为　 　．
考向5 平面向量的模长
解法技巧 平面向量的模长： （1）|a|＝． （2）|a|＝．
【模拟01】（2024 河南模拟）已知向量，满足||＝1，||，，则|2|＝（　　）
A． B． C． D．
【模拟02】（2024 新城区校级三模）已知平面向量，的夹角为60°，若，，则（　　）
A．2 B． C．﹣1或2 D．2或
【模拟03】（2024 呼伦贝尔一模）在△ABC中．AB⊥AC，，则|AC|＝（　　）
A． B．6 C．2 D．3
【模拟04】（多选）（2024 武汉模拟）已知向量，，则（　　）
A．若，则
B．若，则
C．的最大值为6
D．若，则
【模拟05】（多选）（2024 贵州模拟）已知，，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．
C．与的夹角为
D．在方向上的投影向量是专题06 平面向量
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高考频度 ★★★☆☆
考情分析 高考数学中，平面向量这个考点考查平面向量基本定理、加减法运算、向量数量积的坐标与模长运算，会进行数量积的运算，会用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断向量的垂直关系，会用坐标运算表示向量的平行关系。体会数形结合思想，强化运算求解能力与转化化归能力。
一、选择题
【真题1】（2023 新高考Ⅰ）已知向量（1，1），（1，﹣1）．若（λ）⊥（μ），则（　　）
A．λ+μ＝1 B．λ+μ＝﹣1 C．λμ＝1 D．λμ＝﹣1
【答案】D
【分析】由已知求得λ与μ的坐标，再由两向量垂直与数量积的关系列式求解．
【解答】解：∵（1，1），（1，﹣1），
∴λ（λ+1，1﹣λ），μ（μ+1，1﹣μ），
由（λ）⊥（μ），得（λ+1）（μ+1）+（1﹣λ）（1﹣μ）＝0，
整理得：2λμ+2＝0，即λμ＝﹣1．
故选：D．
【真题2】（2023 甲卷）已知向量（3，1），（2，2），则cos ， ＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，求出和的坐标，进而求出||、||和（） （）的值，进而由数量积的计算公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，向量（3，1），（2，2），
则（5，3），（1，﹣1），
则有||，||，（） （）＝2，
故cos ， ．
故选：B．
【真题3】（2023 甲卷）向量||＝||＝1，||，且，则cos ， ＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，用、表示，利用模长公式求出cos，，再计算与的数量积和夹角余弦值．
【解答】解：因为向量||＝||＝1，||，且，所以，
所以2 ，即2＝1+1+2×1×1×cos，，
解得cos，0，所以⊥，
又2，2，
所以（） （）＝（2） （2）＝225 2+2+0＝4，
||＝||，
所以cos ， ．
故选：D．
【真题4】（2023 乙卷）正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则 （　　）
A． B．3 C．2 D．5
【答案】B
【分析】由已知结合向量的线性表示及向量数量积的性质即可求解．
【解答】解：正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，
所以1，，，2×2＝4，
则 （） （）1+0+0+4＝3．
故选：B．
【真题5】（2023 北京）已知向量，满足（2，3），（﹣2，1），则||2﹣||2＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【答案】B
【分析】根据向量的坐标运算，向量的模公式，即可求解．
【解答】解：∵（2，3），（﹣2，1），
∴，，∴||2﹣||2＝4﹣5＝﹣1．
故选：B．
二、填空题
【真题6】（2023 新高考Ⅱ）已知向量，满足||，||＝|2|，则||＝　 　．
【答案】．
【分析】根据向量数量积的性质及方程思想，即可求解．
【解答】解：∵||，||＝|2|，
∴，，
∴，∴3，
∴．
故答案为：．
【真题7】（2023 天津）在△ABC中，∠A＝60°，||＝1，点D为AB的中点，点E为CD的中点，若设，，则可用，表示为　 　；若，则 的最大值为　 　．
【答案】；．
【分析】由平面向量的线性运算，结合平面向量数量积的运算及基本不等式的应用求解即可．
【解答】解：在△ABC中，∠A＝60°，||＝1，点D为AB的中点，点E为CD的中点，，，则；
设，，由余弦定理可得：1＝x2+y2﹣xy，
又x2+y2≥2xy，即xy≤1，当且仅当x＝y时取等号，
又，则，
则
，
即 的最大值为．
故答案为：；．
考向1 平面向量的线性运算
解法技巧 平面向量的线性运算： （1）平面向量的加法：“首尾相连”． （2）平面向量的减法：“起点重合”． （3）若A，B，C三点共线，O为直线外一点 存在实数x，y，使＝x＋y，且x＋y＝1．
【模拟01】（2024 遂宁模拟）已知D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，若，则点C的坐标为（　　）
A．（1，1） B．（4，5） C．（﹣5，﹣7） D．（﹣8，﹣11）
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合中位线定理，以及向量的坐标运算，即可求解．
【解答】解：D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，
则，B（﹣2，﹣3），
则点C的坐标为（4，5）．
故选：B．
【模拟02】（2024 西城区模拟）在△ABC中，，E是AD的中点，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由，可知D为BC边的中点，又因为E是AD的中点，向量可以用，表示出来．
【解答】解：由，可知D为BC边的中点，所以，
∵E是AD的中点，∴，
．
故选：A．
【模拟03】（2024 长安区一模）在△ABC中，点D是线段AC上一点，点P是线段BD上一点，且，则λ＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知结合向量的线性运算及向量共线定理即可求解．
【解答】解：在△ABC中，点D是线段AC上一点，点P是线段BD上一点，且，则2，
因为B，P，D三点共线，所以1，即λ．
故选：A．
【模拟04】（2024 山西模拟）已知D是△ABC的AB边上一点，若，则λ﹣μ＝（　　）
A． B． C．0 D．
【答案】B
【分析】根据题意可知，从而利用即可确定λ与μ的值，进一步即可确定λ﹣μ的值．
【解答】解：∵，∴，
∴（），
又∵λμ，∴λ，μ，
∴λ﹣μ．
故选：B．
【模拟05】（2024 浙江模拟）已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（　　）
A．A、B、C三点共线 B．A、B、D三点共线
C．A、C、D三点共线 D．B、C、D三点共线
【答案】C
【分析】结合向量共线的性质，即可求解．
【解答】解：，
则A、C、D三点共线．
故选：C．
考向2 平面向量的数量积
解法技巧 平面向量的数量积： （1）||||cosθ． （2）在上的投影||cosθ． （3）x1x2+y1y2．
【模拟01】（2024 金东区校级模拟）在边长为1的正方形ABCD中，E为线段BC的中点，F为线段CD上的一点，若DF＝2CF，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】以为基底表示出和，再由向量数量积的运算法则，求解即可．
【解答】解：由题意知，，，
因为正方形ABCD，所以0，
所以（） （）．
故选：D．
【模拟02】（2024 沙坪坝区校级模拟）已知，，，则（　　）
A．﹣8 B．8 C．﹣6 D．6
【答案】B
【分析】根据题意建立方程求出a的值，再根据向量数量积的坐标运算，即可求解．
【解答】解：∵，，
∴（a﹣3，﹣2），
∴||2，∴a＝3，
∴，，
∴8．
故选：B．
【模拟03】（2024 岳麓区校级模拟）在△ABC中，角A为，角A的平分线AD交BC于点D，已知，且，则（　　）
A．1 B． C．9 D．
【答案】C
【分析】根据B、C、D三点共线，结合题意算出，然后以A为原点建立平面直角坐标系，算出D点的坐标，根据求出点B的坐标，进而利用数量积的坐标运算公式求出的值．
【解答】解：根据，可得，
∵B、C、D三点共线，可得，即．∴．
以A为原点、AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
则D（，），即，设，
由，得，解得．
∴B（3，0），可得．
故选：C．
【模拟04】（2024 江西模拟）过点P（﹣1，1）的直线与圆C：x2+y2﹣6x﹣4y+12＝0相切于点M，则（　　）
A．4 B．16 C． D．17
【答案】B
【分析】由题意求得|PM|，再根据数量积的几何意义即可求得．
【解答】解：化圆C：x2+y2﹣6x﹣4y+12＝0为标准方程，
可得：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝1，则圆心为C（3，2），半径r＝1，
点P（﹣1，1）到圆心C（3，2）的距离，
所以|PM|，
故|PC||PM|cos∠MPC＝|PM|2＝16．
故选：B．
【模拟05】（多选）（2024 重庆模拟）下列命题中正确的是（　　）
A．若向量，满足，则
B．若非零向量，满足，则
C．若，，为平面向量，则
D．若，，为非零向量，且满足，则
【答案】AB
【分析】由平面向量数量积的运算，结合向量共线及垂直的运算逐一判断．
【解答】解：对于选项A，若向量，满足，当，至少有一个为时，则，当，均不为时，则，即或π，即，即选项A正确；
对于选项B，若非零向量，满足，则，则，即选项B正确；
对于选项C，若，，为平面向量，取，，为非零向量，且，，则，，其中λ≠0，此时，即选项C错误；
对于选项D，若，，为非零向量，且满足，则，则或，即选项D错误．
故选：AB．
考向3 平面向量的平行与垂直
解法技巧 平面向量的平行与垂直： （1）a∥b 存在实数λ使a＝λb x1y2－x2y1＝0． （2）a⊥b x1x2＋y1y2＝0．
【模拟01】（2024 济南模拟）已知（m，1），（3m﹣1，2），若∥，则m＝（　　）
A．1 B．﹣1 C． D．
【答案】A
【分析】根据向量平行的坐标关系列方程即可求解．
【解答】解：由题意，（m，1），（3m﹣1，2），
由∥，可得2m﹣（3m﹣1）＝0，解得m＝1．
故选：A．
【模拟02】（2024 山东模拟）已知向量（，1），（3，），若λ与λ垂直，则λ＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知结合向量数量积性质的坐标表示即可求解．
【解答】解：因为向量（，1），（3，），
所以λ（3λ，1λ），λ（3λ，1λ），
若λ与λ垂直，则（λ） （λ）＝3﹣9λ2+1﹣7λ2＝0，
则λ．
故选：C．
【模拟03】（2024 河南模拟）已知向量（3，3），（x，﹣3），则“（）⊥”是“x＝﹣3”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由平面向量的坐标运算分别判断充分性和必要性是否成立即可．
【解答】解：因为（3，3），（x，﹣3），所以，
若（）⊥，则，解得x＝0，x＝﹣3，故充分性不成立；
若x＝﹣3，则，此时，所以（）⊥，故必要性成立．
故“（）⊥”是“x＝﹣3”的必要不充分条件．
故选：B．
【模拟04】（2024 乌鲁木齐模拟）已知向量，，则（　　）
A．∥（） B．∥（） C．⊥（） D．⊥（）
【答案】D
【分析】根据已知条件，结合向量平行、垂直的性质，即可求解．
【解答】解：，，则，，
1×（﹣1）≠2×2，故与不平行，故A错误；
1×5≠0×2，故与不平行，故B错误；
，故C错误；
，则，故D正确．
故选：D．
【模拟05】（2024 邢台模拟）已知向量，，若，则λ＝　 　．
【答案】﹣1．
【分析】根据已知条件，结合直线垂直的性质，即可求解．
【解答】解：因为，所以，解得λ＝﹣1．
故答案为：﹣1．
考向4 平面向量的夹角
解法技巧 平面向量的夹角： （1）cosθ＝． （2）cosθ＝．
【模拟01】（2024 皇姑区二模）已知||＝5，（﹣1，2），在上的投影向量为（﹣2，4），则向量与夹角余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．
【解答】解：设向量与夹角余弦值为cosθ，，则，
在上的投影向量为（﹣2，4），
则，解得cosθ．
故选：A．
【模拟02】（2024 赤峰模拟）若向量与满足．且，，则向量与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，以及向量的夹角公式，即可求解．
【解答】解：设向量与的夹角为θ，θ∈[0，π]，
向量与满足，则，
，，则1+1×2×cosθ＝0，解得cos，故．
故选：A．
【模拟03】（2024 商洛四模）已知非零向量，，满足⊥（），||||，，60°，则，（　　）
A．45° B．60° C．120° D．150°
【答案】D
【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，以及向量的数量积运算，即可求解．
【解答】解：⊥（），
则，
||||，，60°，，则，
，∈[0，π]，则，150°．
故选：D．
【模拟04】（多选）（2024 清江浦区模拟）已知向量（1，﹣2），（1，3），则下列结论正确的是（　　）
A．在上的投影向量是（1，﹣2）
B．|2|＝||
C．与的夹角为
D．（）⊥
【答案】BD
【分析】选项C利用向量夹角坐标表示求解即可；选项A根据坐标求解投影向量即可，选项B利用平面向量模的公式计算即可，利用向量垂直坐标表示验证选项D．
【解答】解：因为，，，所以，又，故C错误；
所以在方向上的投影向量是：，故A错误；
因为，因为，所以，故B正确；
因为，所以，所以，故D正确．
故选：BD．
【模拟05】（2024 云南模拟）设向量，且，则m＝　 　；和所成角为　 　．
【答案】﹣2；90°．
【分析】将化简变形，并将坐标代入求出m，根据判断两个向量夹角为直角．
【解答】解：因为，所以，
所以，所以1×m+2×1＝0，所以m＝﹣2．
因为，所以和 所成角为90°．
故答案为：﹣2；90°．
考向5 平面向量的模长
解法技巧 平面向量的模长： （1）|a|＝． （2）|a|＝．
【模拟01】（2024 河南模拟）已知向量，满足||＝1，||，，则|2|＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平面向量的模长公式求解即可．
【解答】解：|2|．
故选：C．
【模拟02】（2024 新城区校级三模）已知平面向量，的夹角为60°，若，，则（　　）
A．2 B． C．﹣1或2 D．2或
【答案】A
【分析】由向量模的计算法及向量数量积计算即可．
【解答】解：因为，所以，
因为，所以，
即，即，解得（舍去负值），
故选：A．
【模拟03】（2024 呼伦贝尔一模）在△ABC中．AB⊥AC，，则|AC|＝（　　）
A． B．6 C．2 D．3
【答案】A
【分析】根据题意利用平面向量的线性运算法则，算出，结合AB⊥AC且，列式解出|AC|，可得答案．
【解答】由得，
所以，
因为AB⊥AC，所以，解得．
故选：A．
【模拟04】（多选）（2024 武汉模拟）已知向量，，则（　　）
A．若，则
B．若，则
C．的最大值为6
D．若，则
【答案】ACD
【分析】由平面向量平行的坐标表示建立方程即可判定A；由平面向量垂直的坐标表示结合平方关系计算即可判断B；由模的坐标表示和三角函数的有界性可判断C；由平面向量数量积的运算计算可判断D．
【解答】解：对于A，因为，所以4cosθ+3sinθ＝0，即tanθ，故A正确；
对于B，因为，所以，又因为sin2θ+cos2θ＝1，所以，所以，故B错误；
对于C，，（其中），所以，故C正确；
对于D，因为，所以，所以，1﹣2+25＝24，所以，故D正确．
故选：ACD．
【模拟05】（多选）（2024 贵州模拟）已知，，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．
C．与的夹角为
D．在方向上的投影向量是
【答案】AC
【分析】由平面向量的坐标运算，结合平面向量数量积的运算及平面向量夹角的运算逐一判断即可．
【解答】解：已知，，则，对于选项A，5﹣（22+12）＝0，即，即选项A正确；
对于选项B，，即，即选项B错误；
对于选项C，设，的夹角为θ，则，又θ∈[0，π]，则，即选项C正确；
对于选项D，在方向上的投影向量是，即选项D错误．
故选：AC．

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