资源简介

专题02 复数
◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆
高考频度 ★★★★☆
考情分析 高考数学中，复数这个考点以选择题、填空题的形式出现．考查复数的相关概念与复数的四则运算交汇．常考的命题角度：①复数的概念问题；②复数的四则运算；③复数的几何意义；④复数的模。
一、选择题
【真题1】（2023 新高考Ⅰ）已知z，则z（　　）
A．﹣i B．i C．0 D．1
【真题2】（2023 新高考Ⅱ）在复平面内，（1+3i）（3﹣i）对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【真题3】（2023 甲卷）若复数（a+i）（1﹣ai）＝2，a∈R，则a＝（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【真题4】（2023 甲卷）（　　）
A．﹣1 B．1 C．1﹣i D．1+i
【真题5】（2023 乙卷）设z，则（　　）
A．1﹣2i B．1+2i C．2﹣i D．2+i
【真题6】（2023 乙卷）|2+i2+2i3|＝（　　）
A．1 B．2 C． D．5
【真题7】（2023 北京）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（﹣1，），则z的共轭复数（　　）
A．1i B．1i C．﹣1i D．﹣1i
【真题8】（2023 全国）已知（2+i）5+5i，则|z|＝（　　）
A． B． C．5 D．5
二、填空题
【真题9】（2023 天津）已知i是虚数单位，化简的结果为　 　．
【真题10】（2023 上海）已知复数z＝1﹣i（i为虚数单位），则|1+iz|＝　 　．
考向1 复数的概念
解法技巧 复数的概念 （1）复数的分类及对应点的位置问题转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． （2）注意a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
【模拟01】（2024 柳州三模）已知i是虚数单位，若（1+i）（a+i）为实数，则实数a的值为（　　）
A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．0
【模拟02】（2024 二模拟）复数z（i是虚数单位）的虚部是（　　）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
【模拟03】（2024 包头二模）已知复数i（i为虚数单位），则的虚部为（　　）
A． B．i C．﹣1 D．﹣i
【模拟04】（2024 金凤区校级一模）已知复数z＝m2﹣1+（m+i2） i（m∈R）表示纯虚数，则m＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．2
【模拟05】（2024 金溪县校级模拟）复数的实部为　 　．
考向2 复数的运算
解法技巧 复数的运算： （1）复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算． （2）复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数． （3）(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i． （4）－b＋ai＝i(a＋bi)． （5）i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0．
【模拟01】（2024 齐齐哈尔二模）若zi＝z+i，则（　　）
A． B．1 C．2 D．4
【模拟02】（2024 江西模拟）已知复数z满足iz＝2﹣i，其中i为虚数单位，则（　　）
A． B． C． D．
【模拟03】（2024 唐山一模）已知i为虚数单位，复数，则（　　）
A．1+i B．1﹣i C． D．2
【模拟04】（2024 赤峰一模）已知复数z满足，为z的共轭复数，等于（　　）
A．2i B．﹣2i C．1 D．﹣i
【模拟05】（2024 红桥区一模）i是虚数单位，复数　 　．
考向3 共轭复数
解法技巧 共轭复数： （1）z=a＋bi的共轭复数=a－bi． （2）|z|＝||＝．
【模拟01】（2024 咸阳模拟）若复数z满足（1﹣i）z＝3+4i，则复数z的共轭复数的虚部为（　　）
A． B． C． D．
【模拟02】（2024 商洛四模）已知复数，复数是复数z的共轭复数，则（　　）
A．1 B． C．2 D．
【模拟03】（2024 海淀区校级模拟）已知表示复数z的共轭复数，z1，z2为非零复数，“z1z2∈R”是“存在非零实数t，使得”（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
【模拟04】（2024 红谷滩区校级模拟）设为复数z的共轭复数，若复数z满足z2+z+3＝0，则　 　．
【模拟05】（2024 漳州模拟）已知复数z1，z2满足，|z2﹣z1|＝1，则|z2+2i|的最大值为　 　．
考向4 复数的几何意义
解法技巧 复数的几何意义： （1）z＝a＋bi(a，b∈R) Z(a，b) ． （2）由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
【模拟01】（2024 宝鸡模拟）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（2，3），则iz＝（　　）
A．2+3i B．2﹣3i C．﹣3+2i D．﹣3﹣2i
【模拟02】（2024 吉林三模）复数z＝sin1+icos1在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【模拟03】（2024 呼伦贝尔一模）设z＝1+i985，则在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【模拟04】（2024 吴忠模拟）若复数z满足z＝i（1+2i），则z在复平面上所对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【模拟05】（2024 石景山区一模）复数z在复平面内对应的点为（﹣1，2），则　 　．
考向5 复数的模
解法技巧 复数的模： （1）复数的模：设对应的复数为z＝a＋bi，则向量的长度叫做复数z＝a＋bi的模，|z|＝|a＋bi|＝． （2）的几何意义∶复平面内与这两复数对应的两点之间的距离.即设复数在复平面内对应的点分别是，则=．
【模拟01】（2024 龙华区校级二模）已知复数z，其中i为虚数单位，则|z|＝（　　）
A． B． C． D．
【模拟02】（2024 武汉模拟）复数z满足，则|z|＝（　　）
A． B．2 C． D．
【模拟03】（2024 河池二模）已知复数z＝1﹣2i，且，其中a，b为实数，则|a+bi|＝（　　）
A． B． C． D．4
【模拟04】（2024 重庆模拟）设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，，则|z1﹣z2|＝（　　）
A． B． C． D．4
【模拟05】（2024 常德模拟）若复数z满足：，则|z+i|＝　 　．专题02 复数
◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆
高考频度 ★★★★☆
考情分析 高考数学中，复数这个考点以选择题、填空题的形式出现．考查复数的相关概念与复数的四则运算交汇．常考的命题角度：①复数的概念问题；②复数的四则运算；③复数的几何意义；④复数的模。
一、选择题
【真题1】（2023 新高考Ⅰ）已知z，则z（　　）
A．﹣i B．i C．0 D．1
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．
【解答】解：z，
则，
故i．
故选：A．
【真题2】（2023 新高考Ⅱ）在复平面内，（1+3i）（3﹣i）对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：（1+3i）（3﹣i）＝3﹣i+9i+3＝6+8i，
则在复平面内，（1+3i）（3﹣i）对应的点的坐标为（6，8），位于第一象限．
故选：A．
【真题3】（2023 甲卷）若复数（a+i）（1﹣ai）＝2，a∈R，则a＝（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据复数的运算法则和复数相等的定义，列方程组求出a的值．
【解答】解：因为复数（a+i）（1﹣ai）＝2，
所以2a+（1﹣a2）i＝2，
即，
解得a＝1．
故选：C．
【真题4】（2023 甲卷）（　　）
A．﹣1 B．1 C．1﹣i D．1+i
【答案】C
【分析】直接利用复数的运算法则化简求解即可．
【解答】解：1﹣i．
故选：C．
【真题5】（2023 乙卷）设z，则（　　）
A．1﹣2i B．1+2i C．2﹣i D．2+i
【答案】B
【分析】先对z进行化简，再根据共轭复数概念写出即可．
【解答】解：∵i2＝﹣1，i5＝i，
∴z
＝1﹣2i，
∴1+2i．
故选：B．
【真题6】（2023 乙卷）|2+i2+2i3|＝（　　）
A．1 B．2 C． D．5
【答案】C
【分析】直接利用复数的模的运算求出结果．
【解答】解：由于|2+i2+2i3|＝|1﹣2i|．
故选：C．
【真题7】（2023 北京）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（﹣1，），则z的共轭复数（　　）
A．1i B．1i C．﹣1i D．﹣1i
【答案】D
【分析】根据复数的几何意义、共轭复数的定义即可得出结论．
【解答】解：∵在复平面内，复数z对应的点的坐标是（﹣1，），
∴z＝﹣1i，
则z的共轭复数1i，
故选：D．
【真题8】（2023 全国）已知（2+i）5+5i，则|z|＝（　　）
A． B． C．5 D．5
【答案】B
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数即复数的模的概念得答案．
【解答】解：由（2+i）5+5i，
得
＝3+i，
则z＝3﹣i，|z|．
故选：B．
二、填空题
【真题9】（2023 天津）已知i是虚数单位，化简的结果为　 　．
【答案】4+i．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简求解即可．
【解答】解：4+i．
故答案为：4+i．
【真题10】（2023 上海）已知复数z＝1﹣i（i为虚数单位），则|1+iz|＝　 　．
【答案】．
【分析】根据复数的基本运算，即可求解．
【解答】解：∵z＝1﹣i，
∴|1+iz|＝|1+i（1﹣i）|＝|2+i|．
故答案为：．
考向1 复数的概念
解法技巧 复数的概念 （1）复数的分类及对应点的位置问题转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． （2）注意a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
【模拟01】（2024 柳州三模）已知i是虚数单位，若（1+i）（a+i）为实数，则实数a的值为（　　）
A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．0
【答案】C
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为0求解．
【解答】解：∵（1+i）（a+i）＝（a﹣1）+（a+1）i是实数，
∴a+1＝0，
即a＝﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
【模拟02】（2024 二模拟）复数z（i是虚数单位）的虚部是（　　）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
【答案】C
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简后得答案．
【解答】解：∵z，
虚部是1，
故选：C．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．
【模拟03】（2024 包头二模）已知复数i（i为虚数单位），则的虚部为（　　）
A． B．i C．﹣1 D．﹣i
【答案】A
【分析】结合复数的概念，即可求解．
【解答】解：i，
则，
其虚部为．
故选：A．
【点评】本题主要考查复数的概念，属于基础题．
【模拟04】（2024 金凤区校级一模）已知复数z＝m2﹣1+（m+i2） i（m∈R）表示纯虚数，则m＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．2
【答案】B
【分析】根据纯虚数的定义求解．
【解答】解：∵复数z＝m2﹣1+（m+i2） i＝m2﹣1+（m﹣1）i表示纯虚数，
∴，
解得m＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题主要考了纯虚数的定义，属于基础题．
【模拟05】（2024 金溪县校级模拟）复数的实部为　 　．
【答案】．
【分析】根据已知条件，先对z化简，再结合实部的定义，即可求解．
【解答】解：因为，
所以的实部为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数的运算，属于基础题．
考向2 复数的运算
解法技巧 复数的运算： （1）复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算． （2）复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数． （3）(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i． （4）－b＋ai＝i(a＋bi)． （5）i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0．
【模拟01】（2024 齐齐哈尔二模）若zi＝z+i，则（　　）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】A
【分析】化简复数z，可得答案．
【解答】解：由题意，，
则z（1﹣i） （1+i）．
故选：A．
【点评】本题考查复数的运算，属于基础题．
【模拟02】（2024 江西模拟）已知复数z满足iz＝2﹣i，其中i为虚数单位，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
【解答】解：iz＝2﹣i，
则z，
故．
故选：A．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
【模拟03】（2024 唐山一模）已知i为虚数单位，复数，则（　　）
A．1+i B．1﹣i C． D．2
【答案】D
【分析】根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘法运算即可求解．
【解答】解：∵i为虚数单位，复数z1﹣i，
∴1+i，
则z （1﹣i）（1+i）＝2．
故选：D．
【点评】本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
【模拟04】（2024 赤峰一模）已知复数z满足，为z的共轭复数，等于（　　）
A．2i B．﹣2i C．1 D．﹣i
【答案】B
【分析】先求出，再利用复数的四则运算求解．
【解答】解：∵，
∴，
∴（）＝﹣2i．
故选：B．
【点评】本题主要考查了共轭复数的概念，考查了复数的运算，属于基础题．
【模拟05】（2024 红桥区一模）i是虚数单位，复数　 　．
【答案】1+3i．
【分析】由已知结合复数的四则运算进行化简即可求解．
【解答】解：1+3i．
故答案为：1+3i．
【点评】本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题．
考向3 共轭复数
解法技巧 共轭复数： （1）z=a＋bi的共轭复数=a－bi． （2）|z|＝||＝．
【模拟01】（2024 咸阳模拟）若复数z满足（1﹣i）z＝3+4i，则复数z的共轭复数的虚部为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的概念，即可求解
【解答】解：（1﹣i）z＝3+4i，
则，
故，其虚部为．
故选：D．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的概念，属于基础题．
【模拟02】（2024 商洛四模）已知复数，复数是复数z的共轭复数，则（　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．
【解答】解：∵，
∴，
∴．
故选：C．
【点评】本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
【模拟03】（2024 海淀区校级模拟）已知表示复数z的共轭复数，z1，z2为非零复数，“z1z2∈R”是“存在非零实数t，使得”（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】根据题意，设z1＝a+bi，z2＝c+di，实数a、b不同时为0，实数c、d不同时为0，由复数的乘法公式和共轭复数的定义分析“z1z2∈R”和“存在非零实数t，使得”的关系，即可得答案．
【解答】解：根据题意，z1，z2为非零复数，设z1＝a+bi，z2＝c+di，（a、b、c、d∈R且实数a、b不同时为0，实数c、d不同时为0），
由于z1z2＝（a+bi）（c+di）＝（ac﹣bd）+（ad+bc）i，
若z1z2∈R，则ad+bc＝0，
又由a、b不同时为0，c、d不同时为0，必存在非零实数t，使得，
则有，
反之，若，即，变形可得ad+bc＝0，
又由z1z2＝（a+bi）（c+di）＝（ac﹣bd）+（ad+bc）i＝0；
故“z1z2∈R”是“存在非零实数t，使得”的充分必要条件．
故选：C．
【点评】本题考查复数的计算，涉及充分必要条件的判断，属于基础题．
【模拟04】（2024 红谷滩区校级模拟）设为复数z的共轭复数，若复数z满足z2+z+3＝0，则　 　．
【答案】﹣1．
【分析】由题意可知，z、是关于实系数方程x2+x+3＝0的两个虚根，利用韦达定理可求得的值．
【解答】解：对于方程x2+x+3＝0，Δ＝1﹣4×3＜0，
由题意可知，z、是关于实系数方程x2+x+3＝0的两个虚根，
由韦达定理可得．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查根与系数的关系，属于基础题．
【模拟05】（2024 漳州模拟）已知复数z1，z2满足，|z2﹣z1|＝1，则|z2+2i|的最大值为　 　．
【答案】．
【分析】令复数z1＝x+yi，x，y∈R，可得x﹣yi，根据z1+23﹣i，解得x，y，由|z2﹣z1|＝1，即在复平面内，复数z2所对应的点的轨迹是以（﹣1，1）为圆心，1为半径的圆．求出点（﹣1，1）到点（0，﹣2）的距离，即可得出结论．
【解答】解：令复数z1＝x+yi，x，y∈R，则x﹣yi，
∴z1+23x﹣yi＝﹣3﹣i，
∴x＝﹣1，y＝1，即z1＝﹣1+i．
又∵|z2﹣z1|＝1，
即在复平面内，复数z2所对应的点的轨迹是以（﹣1，1）为圆心，1为半径的圆．
又点（﹣1，1）到点（0，﹣2）的距离为，
∴|z2+2i|的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查复数的运算、复数的几何意义，考查运算求解能力、应用意识，属于中档题．
考向4 复数的几何意义
解法技巧 复数的几何意义： （1）z＝a＋bi(a，b∈R) Z(a，b) ． （2）由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
【模拟01】（2024 宝鸡模拟）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（2，3），则iz＝（　　）
A．2+3i B．2﹣3i C．﹣3+2i D．﹣3﹣2i
【答案】C
【分析】根据题意写出复数z＝2+3i，再计算iz．
【解答】解：复平面内，复数z对应的点的坐标是（2，3），
则z＝2+3i，
所以iz＝i（2+3i）＝2i﹣3＝﹣3+2i．
故选：C．
【点评】本题考查了复数的定义与运算问题，是基础题．
【模拟02】（2024 吉林三模）复数z＝sin1+icos1在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】根据复数的几何意义求解．
【解答】解：复数z＝sin1+icos1在复平面内对应的点为（sin1，cos1），
∵sin1＞0，cos1＞0，
∴对应的点位于第一象限．
故选：A．
【点评】本题考查复数的几何意义，属于基础题．
【模拟03】（2024 呼伦贝尔一模）设z＝1+i985，则在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】化简复数z，可得答案．
【解答】解：∵985÷4＝246余1，
∴z＝1+i985＝1+i，
1﹣i，
在复平面内对应的点为（1，﹣1），位于第四象限．
故选：D．
【点评】本题考查复数的运算以及复数的几何意义，属于基础题．
【模拟04】（2024 吴忠模拟）若复数z满足z＝i（1+2i），则z在复平面上所对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．
【解答】解：z＝i（1+2i）＝﹣2+i，
则z在复平面上所对应的点（﹣2，1）位于第二象限．
故选：B．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
【模拟05】（2024 石景山区一模）复数z在复平面内对应的点为（﹣1，2），则　 　．
【答案】﹣1﹣2i．
【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解．
【解答】解：复数z在复平面内对应的点为（﹣1，2），
则z＝﹣1+2i，
故．
故答案为：﹣1﹣2i．
【点评】本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．
考向5 复数的模
解法技巧 复数的模： （1）复数的模：设对应的复数为z＝a＋bi，则向量的长度叫做复数z＝a＋bi的模，|z|＝|a＋bi|＝． （2）的几何意义∶复平面内与这两复数对应的两点之间的距离.即设复数在复平面内对应的点分别是，则=．
【模拟01】（2024 龙华区校级二模）已知复数z，其中i为虚数单位，则|z|＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．
【解答】解：复数z，
则|z|．
故选：A．
【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题．
【模拟02】（2024 武汉模拟）复数z满足，则|z|＝（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】利用复数模的性质求复数的模．
【解答】解：设z＝a+bi，（a，b∈R），
因为复数z满足，
即2（a+bi）+3（a﹣bi）＝5a﹣bi＝5﹣2i．
可得a＝1且b＝2，
故|z|．
故选：C．
【点评】本题考查复数的模的运算，属于基础题．
【模拟03】（2024 河池二模）已知复数z＝1﹣2i，且，其中a，b为实数，则|a+bi|＝（　　）
A． B． C． D．4
【答案】C
【分析】根据复数的运算，结合复数相等得，进而再求复数模即可．
【解答】解：因为复数z＝1﹣2i，
所以，
所以，
解得，
所以．
故选：C．
【点评】本题考查复数的模长公式，属于基础题．
【模拟04】（2024 重庆模拟）设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，，则|z1﹣z2|＝（　　）
A． B． C． D．4
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．
【解答】解：设z1＝a+bi，z2，
∵|z1|＝|z2|＝2，
∴，
即，
则
＝2×4+4
＝12，
故．
故选：A．
【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题．
【模拟05】（2024 常德模拟）若复数z满足：，则|z+i|＝　 　．
【答案】2．
【分析】根据题意，设z＝x+yi，由，分析可得|z﹣3i|＝2|z|，变形可得x2+（y+1）2＝4，由向量模的计算公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，设z＝x+yi，
若，即|z﹣3i|＝2|z|，则有2，
等式两边同时平方可得：x2+（y﹣3）2＝4x2+4y2，
变形可得：x2+（y+1）2＝4，
则有|z+i|2．
故答案为：2．
【点评】本题考查复数的除法运算，涉及复数模的性质，属于基础题．

展开更多......

收起↑