资源简介

人教版八年级下册数学
第 17 章 勾股定理
作业设计
人教版八年级下册数学
目录
单元内容 ............................................................................................................................3
教材分析 ............................................................................................................................3
单元学习目标 ................................................................................................................3
单元作业目标 ................................................................................................................4
单元作业整体设计思路 .........................................................................................4
作业评价设计 ................................................................................................................5
作业课时安排 ................................................................................................................6
课时作业 ............................................................................................................................6
单元质量检测作业 ...................................................................................................17
参考答案 ..........................................................................................................................24
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《勾股定理》作业设计
主题 勾股定理 学校
年级 八年级下册 参与者
单 元 内 容
序号 课时名称 对应教材内容
1 勾股定理的探究、证明与简单应用 17.1 P22-24
2 勾股定理的实际应用 17.1 P25-26
课时 3 勾股定理在作图、计算、几何证明中的应用 17.1 P26-27
信息 4 勾股定理的逆定理 17.2 P31-32
5 勾股定理及其逆定理的综合应用 17.2 P32-33
教 材 分 析
《勾股定理》是人教版新课标八年级数学第十七章内容，勾股定理是学生在已经掌握了
直角三角形的有关性质的基础上进行学习的，它是初等几何中最重要的定理之一。它揭示了
直角三角形三条边之间的数量关系，是直角三角形的一条重要性质。它可以用来解决许多直
角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要依据之一，在生产生活实际中用途很广。它
不仅在数学中，而且在其他自然学科中也被广泛应用。
从学生认知结构上看，它把形的特征转化成数量关系，架起了几何与代数之间的桥梁;勾
股定理的发现、验证和应用蕴含着丰富的文化价值，是对学生进行爱国主义教育的良好素材，
因此具有相当重要的地位和作用，学好本章至关重要。
单 元 学 习 目 标
根据《初中数学新课程标准》对本章内容的要求：探究勾股定理及其逆定理，并能运用它
们解决一些简单的实际问题。结合教材分析和学情分析，为实现“五育并举”，设置如下的单
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元学习目标：
1.经历勾股定理及其逆定理的探索过程，发展对图形性质或数量关系猜想及检验的能力，
体会拼图验证的合理性，体会勾股定理逆定理的探究和证明过程。
2.了解这两个定理的联系和区别，能应用这两个定理解决一些简单的实际问题。
3.初步认识勾股定理及其逆定理的重要意义，会用这两个定理解决一些几何问题。
4.通过具体的例子，了解逆命题、逆定理的概念，会识别两个互逆的命题，知道原命题
成立时其逆命题不一定成立。
5.通过对我国古代研究勾股定理成就的介绍，培养民族自豪感；通过对勾股定理的探索
和交流，培养数学学习的自信心。
单 元 作 业 目 标
作业内容：运用勾股定理求直角三角形的边长的有关计算及解决实际问题，运用勾股定
理及其逆定理判断一个三角形是不是直角三角形。在求解线段长度的问题中除直接求解外，
有时还要利用同一个量来表示两条或三条线段，需要构造方程思想来解决；勾股定理及其逆
定理在实际生活中也有广泛的应用。所以在设计作业时，既要注重勾股定理及其逆定理的综
合运用，又要适当考查“数形结合”“方程”等数学思想方法和数学建模模能力。
“双减”下的特色作业：根据不同学生的特点，设计个性化的作业，给每个学生提供思考、
创造、表现和成功的机会，给每个学生一个自主选择协调发展的空间，从而为每一个学
生创设练习、提高、发展的环境，使每个学生在做作业中获得成功的体验，获得轻松、愉快、
满足的心理体验，随之对学习产生浓厚的兴趣。
单 元 作 业 整 体 设 计 思 路
数学作业是学生学习数学最基本的活动形式，是数学课堂教学的补充和延续，是学生掌
握知识、培养能力的重要手段，是发展学生潜能和个性的实践活动。根据不同学生的特点，
可以设计个性化的作业，用不同方式要求学生完成，并且以不同的方式评价、反馈。
一、分层型作业
学生的知识水平、生活经验、家庭背景及自身因素的差异，学生学习数学的能力也存在
着差异不同层次的作业，由易到难。主要是基础类、综合类、拓展类习题，学生根据自己的
实际情况自由选择自己需要的作业，给每个学生提供思考、创造、表现和成功的机会，给每
个学生一个自主选择协调发展的空间，从而为每一个学生创设练习、提高、发展的环境，使
每个学生在做作业中获得成功的体验，获得轻松、愉快、满足的心理体验，随之对学习产生
浓厚的兴趣。
二、纠错型作业
纠错型作业指在教学过程中，教师收集学生经常做错的习题并进行整理编辑，而后让学
生练习，让学生在纠错中掌握知识、发展进步，这样做针对性强，有效性高。
三、开放型作业
开放型作业指教师充分挖掘教材中的智力因素，依据学生的心理特点，根据学生之间的
差异，设计形式多样、内容现实有趣，富于思考、探究的开放性作业，启发引导学生自主地
运用自己的思维方法从不同的角度，从不同的层面，沿着不同的方向去思考，用不同的方法
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解答问题，以开拓学生的思维空间，满足不同学生的需要，让每个学生的个性得到自由地发展，
学习能力和知识水平都得到提高。
四、实践型作业
数学来源于实践，服务与实践。实践型作业指在作业设计时，创设生活性的实际问题，
促使学生尝试从数学的角度运用所学的数学知识和方法寻求解决问题的方法，体验数学在现
实生活中价值，使学生认识到生活中处处有数学，生活离不开数学，从而使教学的影响延续
到全部的生活中，使学生逐步成为一个知识的实践者。
五、学科整合型作业
比如与语文学科整合。语文是与数学联系十分紧密的一门学科。我们可以利用语文学科
的人文性将数学名人故事、数学发展史、生活中的数学等用文字进行描述下，把抽象的数学
知识具体化、形象化，不仅能激发学生学习数学的兴趣，还能增强学生对数学知识的理解和
识记，将数学活动变成一个充满生命力的过程。
在作业设计过程中，要尊重学生的主体地位，关注学生的个体差异，改革作业的形式与
内容，设计个性化作业，让学生在做作业过程中体验成功、提高能力，从而使每个学生的个
性得到充分发展。
作 业 评 价 设 计
在新课程标准理念下，作业的设计与评价要以学生发展为本，作业的布置与评价要多元
化，并充分调动学生进行自主评价，另外，也提出了一些可操作性的作业评价方式与方法，
旨在兼顾学生双基发展的基础上，更让学生在练习与评价中获得成功体验，体现发展性作业
评价功能，对初中生数学作业评价。
一、教师评价法，进行教师点评问题设计，对于学生的作业进行初次批改和二次批改。
其中书面作业中的必做题全批全改，有利于了解班级整体学生对基础知识的掌握情况，为下
一步教学提供方向；对于自主完成选做题的学生进行当面批改，及时反馈。作业讲解完成后，
学生进行自主订正，教师再次批改，了解学生课上学习效果，对个别仍存在疑问的学生进行
个性化辅导。
二、学生互评法，适合开放性作业和纠错性作业的反馈，具体做法是对于开放性作业学
生分小组进行交流讨论，归纳总结，小组间相互分享。例如一题多解型题目通过学生间的这
种讨论可以拓展其数学思维，提高学生的参与度，丰富学生的体验感。对于纠错型作业，学
生完成练习后，可以相互讲解错题，调动双方主动思考的积极性，加深对题目的理解并引发
对同类型题目的探索和总结。
三、自我评价法，建立学生作业自评表，改变传统的批改方式，让学生参与作业评价，
自我评价对于教材课后习题或课件展示习题，可选择部分题目，分层次进行批改。口算题可
指定学生口答。如有答错的全班或老师指正后，根据正确答案全班口头批改，解答题可选择
一些典型的解法或错法小黑板书写或投影，或讨论或修正后学生自行批改。
四、建立作业留言栏，给作业写评语。《数学课程标准》中指出数学学习评价，既要重视
定量的认识，又要重视定性的分析，对作业评价中，根据不同情况给学生写评语，更突出评
价的激励与发展功能，同时，为了能突出师生的相互交流，既有老师的评价，亦有学生的反馈，
在此基础上，可在作业本上建立师生留言栏，学生亦可随时写上自己的感想。作业留言格式
不限，在每次批改完作业后，老师可写上一、两句话，或一段话的评语，作为对学生该此作业、
或课堂，或近段表现的评价。学生则在收到作业本，看到老师的评语后，可立即回话，也可
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在完成作业之后，针对本节课，本次作业或近阶段情况写下自己的评价，感受。经过实践，
学生从多角度、多方位对自己进行评价，有的写自己课掌表现，有的写作业体会，也有写自
己对数学学习的情感态度。老师则以高度表扬，热情的激励回应学生。最后，能欣赏到孩子
们完美的答卷是一种享受，但愿你的优秀成为我的骄傲。
作 业 课 时 安 排
课时 1：勾股定理的探究、证明与简单应用
课时 2：勾股定理的实际应用
课时 3：勾股定理在作图、计算、几何证明中的应用勾股定理及其逆定理的综合应用
课时 4：勾股定理的逆定理
课时 5：勾股定理及其逆定理的综合应用
章节总结：单元检测作业
17.1.1 勾股定理
基础性作业（必做题---8 分钟）
1、如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，以 Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为 S1，
S2，S3，若 S1=4，S2=16，则 AB的长为（ ）
A．2 3 B．12 C．2 5 D．20
设计意图：学生应能将正方形的面积关系和直角三角形三边之间的关系进行联系。
2.在 Rt△ABC 中，∠C=90°
① 若 a=40，c=41， 则 b= ；
② 若 c=13， b=5，则 a= ；
③ 己知 a：b=3：4， c=15， 则 a= ；b= ．
设计意图：在直角三角形中，应用勾股定理已知两边求第三边，也可建立方程解决问题，
渗透方程思想。
3.已知一个直角三角形的两边长分别为 3和 4，则第三边长为 。
设计意图：当边不明确时，应注意分类讨论。
4. 阜阳双清湾公园有一块长方形长为 4米，宽为 3米的草坪，有极少数人为了避开拐角走
“捷径”，在草坪内走出了一条“径路”，却踩伤了花草.他们仅仅少走了几米？
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设计意图：考察勾股定理在实际生活中的简单应用。
强化性作业（选做---4 分钟）
1.如图，以一个直角三角形的三边为直径作 3个半圆，若半圆 B、C的面积分别是 4、5，则半
圆 A的面积是（ ）
A．1 B．3 C．4.5 D．9
设计意图：引导学生思考以直角三角形三边围成的其他形状图形的面积之间的关系。
2.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵
爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，大正方形的面积
为 64，小正方形的面积为 9，设直角三角形较长直角边长为 a，较短直角边长为b ，给出四个
2
结论：① a +b2 =64；② a - b =5；③ 2ab =55；④ a +b =9．其中正确的结论是_____．
设计意图：进一步加强对弦图的认识理解。
拓展性作业（3 分钟）
1、如图，第 1个正方形（设边长为 2）的边为第一个等腰直角三角形的斜边，第一个等腰直
角三角形的直角边是第 2个正方形的边，第 2个正方形的边是第 2个等腰三角形的斜边…依
此不断连接下去．通过观察与研究，写出第 2016个正方形的边长 a2016为（　　）
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1 2
A．a2016＝4（ ）20152 B．a2016＝2（ ）
2015
2
1 2
C．a2016＝4（ ）20162 D．a2016＝2（ ）
2016
2
设计意图：运用勾股定理找规律。
实践作业：（周末）
1、通过上网等方式查找勾股定理的有关史料、趣事及其他证明方法。
2、了解勾股树，运用几何画板制作一棵漂亮的勾股树。
3、去阜阳科技馆参观勾股定理的展品并向父母朋友介绍有关知识。
设计意图：使学生对勾股定理有较好的理解，提升民族自豪感，增强学生学习数学的趣味性。
教师点评问题设计：
1、评价学生是否掌握了勾股定理的基本内容。
2、评价学生是否能应用勾股解决简单的问题。
3、评价学生是否了解勾股定理的探索与证明方法。
4、评价学生是否理解赵爽弦图？
教师评价表：
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性
A 等，答案正确，过程正确。
B 等，答案正确，过程有问题。
C 等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，
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过程错误或无过程。
答题的规范性
A 等，过程规范，答案正确。
B 等，过程不够规范、完整，答案正确。
C 等，过程不规范或无过程，答案错误。
解法的创新性
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过
程。
综合评价等级
AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、BBB、AAC
综合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
学生作业自评表
自评内容 等级(不同星级） 备注
1、你对“勾股定理”的基本内容、方法掌握了吗？ ☆☆☆☆☆
2、你对勾股定理的数学文化了解的怎么样？ ☆☆☆☆☆
3、自认为完成作业时最满意的表现是
4、完成作业时有待改进的地方是？
5、作业中出现的错误反思订正了吗？ ☆☆☆☆☆
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17.1.2 勾股定理的实际应用
基础性作业（必做题---10 分钟）
1. 有一个小朋友拿着一根竹竿通过一个长方形的教室的门，如果把竹竿竖放就比门高出 1
尺，斜入就恰好等于门的对角线长，已知门宽 4尺，求竹竿的长度．
设计意图:渗透方程思想来解决与勾股定理有关的实际问题
2.实验中学想在操场的阶梯表面铺地毯，如图：在一个高 5米，长 13米的楼梯表面铺地毯，
则该地毯的长度至少是
设计意图：从实际铺地毯问题出发，结合平移知识，借助勾股定理解决问题。
3.如图，已知长方体的长为 6 cm，宽为 5 cm，高为 3 cm，那么虫子想沿表面从 A爬到 B的最
短路程是（ ）cm
A．14 B．10 C． 130 D．6
设计意图：勾股定理在立体图形中求最短距离的应用，展开图的分类讨论。
4. 如图，一个长为 10米的梯子 AB斜靠在墙上，梯子的顶端 A距地面的垂直距离为 8米，如
果梯子的顶端下滑 1米，那么它的底端 B也滑动 1米吗？试说明理由．
设计意图：教材例题的变式，建立模型解决问题
强化性作业（选做---8 分钟）
1. 如图，矩形 ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿 AC折叠，点 D落在点 D′处，则重叠部分
△AFC的面积为　 　．
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设计意图：勾股定理在折叠问题中的应用。
2.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极
强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向 AB 由A 行驶向 B，已知点C 为一海港， ACB
=90°，且点C 与直线 AB 上的两点A ， B的距离分别为 AC =300km，BC =400km，以台风中心
为圆心周围 250km以内为受影响区域．
（1）海港C 受台风影响吗？为什么？CE =CF =250km
（2）若台风的速度为 20千米/小时，当台风运动到点E 处时，海港C 刚好受到影响，当台风
运动到点F 时，海港C 刚好不受影响，即，则台风影响该海港持续的时间有多长？
设计意图：从实际问题中抽象出几何模型，运用勾股定理解决实际问题。
实践性作业（必做---5 分钟）
仔细观察身边的事物，自编一道与勾股定理有关的题目并求解。
设计意图：进一步体验勾股定理在实际生活中的应用
教师点评问题设计：
1，评价学生是否能应用勾股定理解决与实际生活有关的问题；
2，评价学生是否渗透了勾股定理求线段长度的基本模型。
教师评价表：
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性
A 等，答案正确，过程正确。
B 等，答案正确，过程有问题。
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C 等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，
过程错误或无过程。
答题的规范性
A 等，过程规范，答案正确。
B 等，过程不够规范、完整，答案正确。
C 等，过程不规范或无过程，答案错误。
解法的创新性
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过
程。
综合评价等级
AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、BBB、AAC
综合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
学生作业自评表
自评内容 等级(不同星级） 备注
1、你会应用“勾股定理”解决一些实际问题、折叠问题了吗？ ☆☆☆☆☆
2、你完成作业时遇到的疑难问题认真思考解决了吗？ ☆☆☆☆☆
3、自认为完成作业时最满意的表现是
4、完成作业时有待改进的地方是？
5、作业中出现的错误反思订正了吗？ ☆☆☆☆☆
17.1.3 勾股定理的作图、在几何中的计算及证明
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基础性作业（必做题---8 分钟）
1.如图，长方形 OABC的 OA长为 2，AB长为 1，OA在数轴上，点 O与原点重合，以原点为圆心，
对角线 OB的长为半径画弧，交负半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）
A．2.5 B．－2 2 C． 3 D．－ 5
设计意图：考查了勾股定理的运用和如何在数轴上表示一个无理数的方法。
2.如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD ⊥AB，垂足为 D，CD＝1，则 AB的长为（　　）
A． 3 B．2 3 C 3 1 D． 2 3 1
设计意图：运用勾股定理求几何图形中线段的长度。
3.如图，在△ABC中，∠C=90°，M是 BC的中点，MD⊥AB于 D，求证： AD2 =AC 2 +BD2 .
设计意图：勾股定理在几何证明中的应用。
强化性作业（选做题---12 分钟）
1.如图，在正方形网格中，每个小正方形的方格的边长均为 1，则点A 到边BC的距离为
（ ）
3 2 3
A． 55 B．
2
3 C．
2
2 D．3 2
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设计意图：勾股定理与等面积法、割补法在求网格中线段长度中的应用。
2. 如图，将VABC放在平面直角坐标系中，B、C两点在x轴上，点A在y轴上，已知AC＝BC，AB＝5，
点 A的坐标为（0，3），则点 C的坐标是（　　）
(- 7 5A． ,0)8 B．
(- ,0)
4 C．（﹣1，0） D．（﹣2，0）
设计意图：考查坐标与图形以及勾股定理的应用。
3. 在△ABC中， AB=15， AC=13，AD是 BC上的高，AD=12，求△ABC的周长和面积。
设计意图：考查文字语言到图形语言的转化，分类讨论的思想，建立有“公共边的直角
三角形”的模型，借助勾股定理解决问题。
实践作业（选做题）
借助几何软件制作一幅漂亮的海螺图
设计意图：加深学生对用勾股定理在数轴上表示无理数的应用，让学生进一步体会勾股
定理的美。
教师点评问题设计：
1，评价学生是否能利用勾股定理在数轴上作出一些表示无理数的点；
2，评价学生是否会应用勾股定理解决有关的几何证明问题。
教师评价表：
评价指标 等级 备注
A B C
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答题的准确性
A 等，答案正确，过程正确。
B 等，答案正确，过程有问题。
C 等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，
过程错误或无过程。
答题的规范性
A 等，过程规范，答案正确。
B 等，过程不够规范、完整，答案正确。
C 等，过程不规范或无过程，答案错误。
解法的创新性
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过
程。
综合评价等级
AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、BBB、AAC
综合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
学生作业自评表
自评内容 等级(不同星级） 备注
1、你会在数轴上作出表示无理数的点了吗？ ☆☆☆☆☆
2、你会应用勾股定理解决有关的几何证明问题吗？ ☆☆☆☆☆
3、你完成作业时遇到的疑难问题认真思考解决了吗？ ☆☆☆☆☆
3、自认为完成作业时最满意的表现是
4、完成作业时有待改进的地方是？
5、作业中出现的错误反思订正了吗？ ☆☆☆☆☆
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17.2.1 勾股定理的逆定理
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基础性作业（必做题---10 分钟）
1.如图，以三角形的三边长为直径向外作三个半圆，若较小的两个半圆的面积之和等于较大
的半圆的面积，则这个三角形是( )
A. 锐角三角形 B.直角三角形
B. 钝角三角 D.锐角三角形或钝角三角形
设计意图：从勾股定理逆定理概念出发，结合图形，加深理解。
2. 写出下列命题的逆命题，这些逆命题成立吗？
（1）同旁内角互补，两直线平行；
（2）如果两个角是直角，那么它们相等；
（3）全等三角形的对应边相等；
（4）如果两个实数相等，那么它们的平方相等。
设计意图：理解逆命题的概念。
3. 若的三边 a,b，c满足 a2 b2 c2 50 6a 8b 10c 0，则此三角形是_______三角形，面
积为_______。
设计意图：把勾股定理逆定理和因式分解紧密结合起来，加强知识之间的联系 。
4.小芳家门前有一个花圃，呈三角形状，小芳想知道该三角形是不是一个直角三角形，请问
她可以用什么办法来作出判断 你能帮她设计一种方法吗
设计意图：考察勾股定理逆定理在实际生活中的简单应用，开拓学生创新思维。
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强化性作业（选做题---8 分钟）
1
1．如图，在正方形 ABCD中，E是 BC的中点，F是 CD上一点，且 CF= 4 CD，求证∠AEF=90°.
（设计意图：考察学生灵活运用勾股定理来解决问题。）
2.我们知道 3，4，5是一组勾股数，那么 3k,4k,5k（k是正整数）也是一组勾股数吗？ 一般
地， 如果 a，b，c是一组勾股数，那么 ak,bk,ck
（k是正整数）也是一组勾股数吗？
设计意图：更深层次的向学生展示勾股定理逆定理的广泛性。
拓展性作业（8 分钟）
1、如图，OC、AB互相垂直，已知 OA=8，OC=6，且 AB=AC．
(1)求 OB的长；
(2)如图②，若点 E为边 AC的中点，动点 M从点 B出发以每秒 2个单位长度的速度沿线段 BA
向点 A匀速运动，设点 M运动的时间为 t(秒)；
①若三角形 OME的面积为 1，求 t的值；
②如图③，在点 M运动的过程中，三角形 OME能否成为直角三角形 若能，求出此时 t的值，
并写出相应的 OM的长；若不能，请说明理由。
设计意图：本题考查了勾股定理，三角形的面积，直角三角形的性质，坐标与图形的性质，
综合性强，正确画出图形进行分类讨论是解题的关键。
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教师点评问题设计：
1、评价学生是否掌握了勾股定理的逆定理基本内容。
2、评价学生是否能应用勾股定理逆定理解决简单的问题。
3、评价学生是否了解勾股定理逆定理的探索与证明方法。
教师评价表：
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性
A 等，答案正确，过程正确。
B 等，答案正确，过程有问题。
C 等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，
过程错误或无过程。
答题的规范性
A 等，过程规范，答案正确。
B 等，过程不够规范、完整，答案正确。
C 等，过程不规范或无过程，答案错误。
解法的创新性
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过
程。
综合评价等级
AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、BBB、AAC
综合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
学生作业自评表
自评内容 等级(不同星 备注
级）
1、你会应用“勾股定理逆定理”解决一些基础问题了吗？ ☆☆☆☆☆
2、你完成作业时遇到的疑难问题认真思考解决了吗？ ☆☆☆☆☆
3、自认为完成作业时最满意的表现是
4、完成作业时有待改进的地方是？
5、作业中出现的错误反思订正了吗？ ☆☆☆☆☆
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17.2.2 勾股定理及其逆定理的综合应用
基础性作业（必做题---15 分钟）
1.如图，某港口 P 位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各
自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行 16 海里,“海天”号每小时航行 12 海里.它们离
开港口一个半小时后分别位于点 Q,R 处，且相距 30 海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,
N
能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ Q
R 2 1
P E
设计意图：利用勾股定理的逆定理解答角度问题，并逐步分析解决实际问题的步骤：①标注有用信息,明
确已知和所求；②构建几何模型(从整体到局部)；③应用数学知识求解.
2.如图，四边形 ABCD中，AB⊥AD，已知 AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形 ABCD
A
的面积.
B C
设计意图：利用勾股定理的逆定理解答面积问题。
3.如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发
现 AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？
20
人教版八年级下册数学
设计意图：利用勾股定理的逆定理解答检测问题。
强化性作业（选做题---10 分钟）
1.已知 A(1，2)，B(5，0)，O(0，0)，试判断△ABO 的形状，并说明理由．
设计意图：结合平面直角坐标系考查勾股定理逆定理的内容，举一反三。
2.在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝5 cm，AC＝3 cm，动点 P 从点 B 出发，沿射线 BC 以 2 cm/s 的速度
移动．设运动的时间为 t s 当 t＝___时，△ABP 为直角三角形．
设计意图：结合动点问题考查勾股定理逆定理，发散学生思维。
21
人教版八年级下册数学
拓展性作业（6 分钟）
1.如图，A，B，C，D 是四个小城镇，它们之间(除 B，C 外)都有笔直的公路连接(如图)，公共汽车行
驶于各城镇之间，其票价与路程成正比，已知城镇公共汽车的票价如下：A B：10 元；A C：12.5
元；A D：8 元；B D：6 元；C D：4.5 元，为了 B，C 之间交通方便，在 B，C 之间建成笔直的
公路，请按上述标准计算出 B，C 之间公共汽车的票价．
设计意图：进一步体验勾股定理逆定理在实际生活中的应用
教师点评问题设计：
1、评价学生是否掌握了勾股定理的逆定理相关应用内容。
2、评价学生是否能应用勾股定理逆定理解决简单的实际问题。
教师评价表：
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性
A 等，答案正确，过程正确。
B 等，答案正确，过程有问题。
C 等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，
过程错误或无过程。
22
人教版八年级下册数学
答题的规范性
A 等，过程规范，答案正确。
B 等，过程不够规范、完整，答案正确。
C 等，过程不规范或无过程，答案错误。
解法的创新性
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过
程。
综合评价等级
AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、BBB、AAC
综合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
学生作业自评表
自评内容 等级(不同星 备注
级）
1、你会应用“勾股定理逆定理”解决相关实际问题了吗？ ☆☆☆☆☆
2、你完成作业时遇到的疑难问题认真思考解决了吗？ ☆☆☆☆☆
3、自认为完成作业时最满意的表现是
4、完成作业时有待改进的地方是？
5、作业中出现的错误反思订正了吗？ ☆☆☆☆☆
23
人教版八年级下册数学
单元质量检测作业
基础性检测作业（必做题、40 分钟）
一、选择题
1.如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB = 90°，AE = 6，BE = 8，则
阴影部分的面积是( )
A. 48 B. 60 C. 76 D. 80
设计意图：勾股定理的运用，引导学生思考正方形的边长和直角三角形三边之间的联系。
2.放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的
速度都是200米/分，小红用3分钟到家，小颖4分钟到家，小红和小颖家的直线距离为( )
A. 600米 B. 800米 C. 1000米 D. 1400米
设计意图：勾股定理的在实际情境中的运用，从实际问题中抽象出几何模型。
3.点A( 3, 4)到原点的距离为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 7
设计意图：勾股定理在平面直角坐标系中的运用。考察学生对点到坐标轴、原点之间的
距离的概念的理解。
4.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，
顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右
墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为( )
A. 0.7米 B. 1.5米 C. 2.2米 D. 2.4米
设计意图：教材例题的变式，建立模型解决问题. 24
人教版八年级下册数学
5.已知 △ ABC，AB = 5，BC = 12，AC = 13，点P是AC上一个动点，则线段BP长的最小值是(
)
60 30
A. B . 5 C. D. 12
13 13
设计意图：勾股定理的逆定理及等面积法的运用，考查文字语言到图形语言的转化。
6.如图所示，折叠直角三角形纸片 △ ABC，使点C落在斜边AB上的点E处，已知AB = 8 3，
∠B = 30°，则DE的长为( )．
A. 4 B. 6 C. 2 3 D. 4 3
设计意图：勾股定理在折叠问题中的应用。
二、填空题
7. 命题“如果a + b = 0，那么a，b互为相反数”的逆命题为 .逆命题是 .(填
“真命题”或“假命题”)
设计意图：考察逆命题的概念及真假关系。
8. 《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所
示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，
问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈(1丈 = 10尺)，中部有一处折断，竹
梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？答：折断处离地面
尺高．
设计意图：渗透方程思想来解决与勾股定理有关的问题，加深对传统数学的认识，培养民族自豪感。
9. 如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C距离是5，一只蚂蚁如果要沿着长方体
的表面从点A爬到点B，则需要爬行的最短距离为____．
设计意图：勾股定理在立体图形中求最短距离的应用，运用了分类讨论思想。
10.如图所示为一次国际数学教育大会会徽的图案，其中蕴藏着许多数学知识．在 △ AB1C中，
∠C是直角，AC = CB1 = 1，以AB1为直角边在 △ AB1C外作Rt △ AB1B2，且CB1 = B1B2；以AB2
25
人教版八年级下册数学
为直角边在 △ AB1B2外作Rt △ AB2B3，且CB1 = B1B2 = B2B3……照此方式继续下去，从 △ ACB1
开始，则第n个三角形的周长与1的差为______．
设计意图：利用勾股定理找出规律进行解题，考察学生总结归纳能力。
三、解答题
11.如图，在Rt △ ABC中，∠C = 90°，AB = 5 cm，AC = 3 cm，动点P从点B出发，沿射线BC
以1 cm/s的速度移动，设运动的时间t s．
(1)求 BC边的长．
(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值．
设计意图：动点问题，渗透分类讨论思想。
12.如下图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴上，
点C在y轴上，OA = 10，OC = 8，在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E
处，求：
(1)线段 AE和 BE的长度;
(2)点 E和点 D的坐标．
设计意图：勾股定理在折叠问题中的应用,同时考察坐标与线段长度的关系，渗透方程思想来解决
与勾股定理有关的问题。
13.如图是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形(两直角边长分别是a，b，斜边长为c)和一
个以c为直角边的等腰直角三角形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．
c
(1)画出拼成图形的示意图．
c
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人教版八年级下册数学
2)利用画出的图形证明勾股定理．
设计意图：勾股定理的证明，感受数形结合的思想。
14.在某台风登陆期间，A市接到台风警报时，在该市正南方向 150km的点 B处台风中心正以
20km/h的速度沿 BC方向移动，已知城市 A到 BC的距离 AD=90km．
（1）台风中心经过多长时间从点 B移动到点 D？
（2）如果在距台风中心 30km的圆形区域内都有受到台风破坏的危险．为让处
于点 D的人脱离危险，人必须在接到台风警报后的几小时内撤离(撤离速度为
6km/h）？
设计意图：从实际问题中抽象出几何模型，运用勾股定理解决实际问题。
题目序号 类 型 对应单元 对应学 难度 完成时间
作业目标 了解 理解 应用
1 选择题 3 ﹡ 易
2 选择题 2 ﹡ 易
3 选择题 3 ﹡ 易
4 选择题 2 ﹡ 中 40分钟
5 选择题 3 ﹡ 中
6 选择题 3 ﹡ 中
7 填空题 4 ﹡ 易
8 填空题 2,5 ﹡ 易
9 填空题 3 ﹡ 中
10 填空题 3 ﹡ 较难
11 解答题 3 ﹡ 易
12 解答题 3 ﹡ 中
27
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13 解答题 1 ﹡ 较难
14 解答题 2 ﹡ 较难
单元质量检测作业属性表
28
人教版八年级下册数学
强化性检测作业（选做，5 分钟）
勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，
他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下
面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB = 90 ，求证：a2 + b2 = c2．
证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF = EC = b a．
1 1
∴ S 2四边形 ADCB = S △ ACD + S △ ABC = b + ab．2 2
1 1
又 ∵ S 2四边形 ADCB = S △ ADB + S △ DCB =
2c + a(b a)，2
1
∴ b2
1 1 2 1+ ab = c + a(b a)．2 2 2 2
∴ a2 + b2 = c2．
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明.将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中
∠DAB = 90 ，求证：a2 + b2 = c2．
设计意图：拓展勾股定理的不同证明方法，感受数形结合的思想。
29
人教版八年级下册数学
拓展性作业（8 分钟）
1. 直角三角形三条边长对应的3个正整数(a,b,c)，称为勾股数，《周髀算经》中记载的“勾
三股四弦五”中的“3，4，5”就是一组最简单的勾股数．显然，这组数的整数倍，如
(6,8,10)(9,12,15)(12,16,20)等都是勾股数．当然，勾股数远远不止这些，如
(5,12,13)(8,15,17)等也都是勾股数．怎样探索勾股数呢？即怎样才能使一组正整数（a,b,c）
成为勾股数呢？
活动 1：设（a,b,c）为一组勾股数，如下表所示：
a b c
a b c 6 8 10
3 4 5 8 15 17
5 12 13 10 24 26
7 24 25 12 35 37
9 40 41
表 1 表 2
活动 2：(1)观察表 1，b，c与 a2之间的关系是_________．
(2)根据表 1的规律写出勾股数(11，_________，_________)．
活动 3：(1)观察表 2，b，c与 a2之间的关系是_________．
(2)根据表 2的规律写出勾股数(16，_________，_________)．
活动 4：一位数学家在他找到的勾股数的表达式中，用2n2 + 2n + 1(n为任意正整数)表示勾
股数中最大的一个数，则另两个数的表达式为_____________________(认真观察表 1、表 2后
直接写出结果)．
30
人教版八年级下册数学
设计意图：考察学生观察分析问题的能力及总结运用规律的能力。
章末总结作业（实践作业）
回忆本章知识点，绘制本章勾股定理的思维导图。
设计意图：使学生更快的学习新知识并复习整合旧知识，激发学生的联想与创意，使学生形成系统
学习与思维的习惯。
学生作业展示：
作业批改教师点评问题设计：
1. 评价学生是否掌握了勾股定理及其逆定理，是否整合了本章知识点。
2. 评价学生是否能应用这两个定理解决几何问题及简单的实际问题。
3.评价学生是否了解逆命题、逆定理的概念，会识别两个互逆的命题。
4.评价学生是否提高了对图形性质或数量关系猜想及检验的能力。
教师评价表：
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性
A 等，答案正确，过程正确。
B 等，答案正确，过程有问题。
C 等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，
过程错误或无过程。
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人教版八年级下册数学
答题的规范性
A 等，过程规范，答案正确。
B 等，过程不够规范、完整，答案正确。
C 等，过程不规范或无过程，答案错误。
解法的创新性
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过
程。
综合评价等级
AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、BBB、AAC
综合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
学生作业自评表
自评内容 等级(不同星级） 备注
1、你对“勾股定理”本次作业中涉及到的知识掌 ☆☆☆☆☆
握了吗？
2、你完成作业时遇到的疑难问题认真思考解决了 ☆☆☆☆☆
吗？
3、自认为完成作业时最满意的表现是
4、完成作业时有待改进的地方是？
5、作业中出现的错误反思订正了吗？ ☆☆☆☆☆
参 考 答 案
17.1.1
基础题：
1、C 2、①9；②12；③9；12 3、5或 7 4．2米．
强化题：
1、A 2、①③
拓展题：B
32
人教版八年级下册数学
17.1.2
基础题：
1、竹竿的长度为 8.5尺． 2、17米。 3、B 4、不是
强化题：
1、10 2、（1）海港C 受台风影响，（2）台风影响该海港持续的时间为 7小时．
17.1.3
基础题：
1、D 2、C 3、证明：连接 MA，∵MD⊥AB，
∴AD2=AM2-MD2，BM2=BD2+MD2， ∵∠C=90°， ∴AM2=AC2+CM2
∵M为 BC中点， ∴BM=MC． ∴AD2=AC2+BD2
强化题：
1、C 2、A 3、△ABC的周长为 42或32；△ABC的面积为84或 24
17.2.1
基础题：
1. D
2.(1)两直线平行，同旁内角互补。成立。
(2)如果两个角相等，那么这两个角是直角。不成立。
(3)三条边对应相等的三角形全等。成立。
(4)如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等。不成立。
3.直角 6
4.答案不唯一。
强化题：
1.设 AB=4k，则 BE=CE=2k，CF=k，DF=3k.
因为∠B=90°，
所以 AE 2 (4k)2 (2k)2 20k 2
同理，EF 2 5k 2 , AF 2 25k 2
所以 AE 2 EF 2 AF 2
根据勾股定理的逆定理，△AEF为直角三角形.所以∠AEF=90°
2.因为 (3k)2 (4k)2 9k 2 16k 2 25k 2 (5k)2
所以 3k，4k，5k(k是正整数)为勾股数.
如果 a，b，c为勾股数，即 a2 b2 c2 ，那么
(ak)2 (bk)2 a2k 2 b2k 2 (a2 b2 )k 2 c2k 2 (ck)2
因此，ak,bk，ck (k是正整数)也是勾股数.
拓展题:
(1)2
2 4 33 25
(2)①t的值为 3 或 3 . ②t=3，OM=4或 t= 8 ，OM= 4 ．
33
人教版八年级下册数学
17.2.2
基础题：
1. 沿西北方向航行
2. 6cm2
3. 该农民挖的不合格。
强化题：
1.△ABO 为直角三角形．理由如下：过点 A 作 AC⊥x 轴，垂足为 C.由题意可知 OC＝1，AC＝2，BC＝4.
在 Rt△AOC 中，AO＝ OC2＋AC2＝ 5.在 Rt△ABC 中，AB＝ AC2＋BC2＝ 20＝2 5.在△ABO 中，∵AO2＝
5，AB2＝20，∴AO2＋AB2＝25＝OB2，∴△ABO 为直角三角形
25
2. 2s 或 s8
拓展题：票价为 7.5元
单元质量检测作业
基础题：
1. C 2. C 3. C 4. C 5. A 6. C
7. 如果a，b互为相反数，那么a + b = 0;真命题 8. 4.55 9. 25
10. n + 1 + n
25
11. 解：(1)BC = 4 cm．(2)t = 4或 ．
4
12. (1)6． (2)D点坐标为(0,5)，E点坐标为(4,8)．
13略
14.台风中心经过6 从点B移动到点D.
(2)游人必须在接到台风警报后的1小时内撤离，撤离的方向最好是沿AD所在的方向．
强化题：
1.证明：连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BF = b a，
1 1 1
∴ S 2五边形 ACBED = S △ ACB + S △ ABE + S △ ADE = ab +
2 2b + ab．2
1 1 1
又 ∵ S 2五边形 ACBED = S △ ACB + S △ ABD + S △ BDE = ab + c + a(b a)，2 2 2
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人教版八年级下册数学
1 1 1 1 1 1
∴ ab + 2 + ab = ab + 2 + a(b a)．
2 2b 2 2 2c 2
∴ a2 + b2 = c2．
拓展题：
1.解：活动2：(1)a2 = b + c； (2)60；61；
1
活动3：(1) a2 = b + c；(2)63；65；2
活动4：2n2 + 2n，2n + 1．
35

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