资源简介

第15章 轴对称图形与等腰三角形
单元作业设计
一、单元信息
基本 学科 年级 学期 教材版本 单元名称
信息 轴对称图形
数学 八年级 第一学期 沪科版
与等腰三角形
单元
组织
自然单元 □重组单元
方式
序号 课时名称 对应教材内容
1 轴对称图形和轴对称 15.1(P118-120)
2 轴对称的性质与作图 15.1(P120-122)
3 线段的垂直平分线的性质 15.2(P128-129)
课时
4 线段的垂直平分线的判定 15.2(P129-132)
信息
5 等腰三角形的性质 15.3(P132-135)
6 等腰三角形的判定 15.3(P135-140)
7 角的平分线的性质 15.4(P141-144)
8 角的平分线的判定 15.4(P144-145)
二 、单元分析
（一）课标要求
1.轴对称图形
（1）通过具体实例理解轴对称的概念，探索它的基本性质：成轴对称的两个图形中对应
点的连线被对称轴垂直平分.
（2）能画出简单平面图形（点、线段、直线、三角形等）关于给定对称轴的对称图形.（3）
理解轴对称图形概念；探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质.
（4）认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形.
（5）运用图形的轴对称进行图案设计
2.线段的垂直平分线
（1）理解线段垂直平分线的概念.
（2）探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离
相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
3.等腰三角形
（1）理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底
角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合.
（2）探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.探索等边
三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°.
（3）探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形(或有一个角是60°的等腰三角
形)是等边三角形.
4.角的平分线
（1）理解角平分线的概念.
（2）探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角
的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
（二）教材分析
1.知识网络
2.内容分析
《轴对称图形与等腰三角形》是《课标（2022年版）》“图形与几何”部分的内容.本章
主要内容分为四部分：轴对称图形，线段的垂直平分线，等腰三角形和角的平分线.线段的垂
直平分线，等腰三角形和角的平分线都可以看作轴对称图形的特例，而轴对称图形与等腰三角
形又为本章的重点，对今后的学习有着至关重要的作用.通过本章的学习让学生了解轴对称现
象的数学本质，进而研究线段的垂直平分线、等腰三角形及角的平分线，体现由一般认识到特
殊认识的数学思想.轴对称现象在生活中是很常见的，轴对称是一种最基本的图形变换，是学
生学习空间与图形的必要基础，了解轴对称图形，对于帮助学生建立空间观念，训练初步的审
美能力和初步的图案设计操作技能，培养学生的空间想象力都有着不可忽视的作用.线段的垂
直平分线的性质定理及逆定理的学习，是安排在对称、命题与定理、三角形全等的判定、逆命
题等概念的学习之后，是在学生能够使用逻辑推理的方法认识几何图形，并能解决问题后，利
用尺规作图得到线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的作法的合理性和正确性进一步得到加
深和巩固，使学生体会逻辑推理的方法，探索图形的属性.
等腰三角形是最常见的图形，赋予它一些特殊的性质，因而在生活中被广泛应用.等腰三
角形的性质，特别是它的两个底角相等的性质，可以实现一个三角形中边相等与角相等之间的
转化，也是今后论证两角相等的重要依据之一.等腰三角形沿底边上的高对折是今后论证两条
线段相等及线段垂直的重要依据.等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相
重合的性质以及等边三角形的概念及性质在以后的几何证明问题中都会发挥很重要的作用.
角的平分线的尺规作图法渗透了轴对称、三角形全等等内容，在此基础上接着学习了过一
点作已知直线垂线的尺规作法，它们是几何的基本作图，也是今后进一步学习、研究几何知识
的重要基础.
本章所研究的轴对称变换是基本的几何变换，线段的垂直平分线、角的平分线和等腰三角
形，是基本的几何图形，它们的性质与判定不仅可以直接用来解决实际问题，而且对今后继续
学习几何知识具有十分重要的意义.本章的后面三节内容：线段的垂直平分线、等腰三角形、
角的平分线的研究和学习，都是以第一节轴对称图形为基础，围绕图形的轴对称性的研究展开
的.线段的垂直平分线、角的平分线、等腰三角形的性质和判定是证明线段和角相等的重要依
据，应用十分广泛.
本章在知识结构上，遵循几何研究的一般路径：定义-性质-判定-应用，性质和判定互逆；
在研究方法上，让学生经历：观察-实验-猜想-证明的过程；在命题的探索和证明过程中，也
蕴含着一些数学思想方法，如转化的思想方法（如证明同一个三角形中的角相等可以转化为证
明这两个角所对的边相等等）、类比的思想方法（如类比等腰三角形性质得到等边三角形性质
等）、还有归纳的思想方法(一点关于x轴、y轴对称的点的坐标规律).通过本单元的学习，学
生能够建立起比较完善的轴对称图形和等腰三角形的知识结构，进一步感受几何图形研究的一
般路径，体现整体观念.同时，也为勾股定理、四边形、相似形、圆、解直角三角形等内容的
学习奠定基础.因此，本单元的学习重点是：轴对称的性质、线段的垂直平分线、等腰三角形
的性质和判定、角的平分线.
（三）学情分析
我校是市直学校中的薄弱学校，优秀生较少，后进生占相当大一部分.所以，作业难度和
容量要适中，不能过分加重学生负担.我们要按比例设计基础性作业、提升性作业和拓展性作
业，体现分层，便于选择.适当设计探究性和实践性作业，引导解决生活中真实的问题.充分考
虑学生实际能力和地域特点，作业内容和形式便于操作，预期学生作业完成度较高，设计不同
类型的作业，充分考虑到学生能力和条件的差异.
在小学阶段，主要侧重学生对图形认识、图形性质，以及图形变化与度量的感知.到了初
中阶段，主要侧重学生对图形概念的理解，以及对基于概念的图形性质、关系、变化规律的理
解，要培养学生初步的抽象能力、更加理性的几何直观和空间想象力.八年级的学生已经具备
了一定的学习能力，观察、操作、猜想能力较强，但演绎推理、归纳、运用数学的意识还比较
薄弱，思维的广阔性、紧密性还比较欠缺.在前面的学习中，学生已经学习了三角形中的边角
关系和全等三角形，并对轴对称图形有了一定的认识，所以从认识上没有太大的难度.只是在
前面学习的基础上，本章对于学生图形认知能力和逻辑推理能力的要求更高，表现在推理依据
增多了，学生所接触到的题目难度也明显增大，证明思路不再那么简单，这样就需要学生对于
证明思路有一个更为清晰的认识，特别对于书写规范方面有了更高的要求. 所以，要求学生会
用准确的语言描述研究对象的概念，提升抽象能力，会用数学的眼光观察现实世界；要通过生
活中的或者数学中的现实情境，引导学生感悟基本事实的意义，经历几何命题发现和证明的过
程，感悟归纳推理过程和演绎推理过程的传递性，增强推理能力，会用数学的思维思考现实世
界；要引导学生经历针对图形性质、关系、变化确立几何命题的过程，体会数学命题中条件和
结论的表述，感悟数学表达的准确性和严谨性，会借助图形分析问题，形成解决问题的思路，
发展模型观念，会用数学的语言表达现实世界.因此，本单元学习的难点是：轴对称和轴对称
图形的区别和联系；线段的垂直平分线、角的平分线尺规作法的正确性的证明；线段的垂直平
分线、角平分线、等腰三角形的性质和判定的综合应用.
三、单元学习与作业目标
1.理解轴对称图形、轴对称、线段垂直平分线、等腰三角形、角平分线的概念，通过作业
练习进一步认识几何图形的本质特征，形成和发展抽象概括能力.
2.探索并证明轴对称的性质和判定定理、线段垂直平分线的性质和判定定理、等腰三角形
的性质和判定定理、角平分线的性质和判定定理、等边三角形的性质和判定定理，学生通过数
学思维训练，形成言必有据，言之有理的正确思维习惯，为以后进一步学习推理论证打下良好
的基础.在具体现实情境中，学会从几何的角度发现问题和提出问题，经历用几何直观和逻辑
推理分析问题和解决问题的过程，形成应用意识和创新意识，提升几何直观、空间观念和空间
想象力、抽象能力、推理能力等.
3.通过轴对称图形、轴对称、线段垂直平分线、等腰三角形、角平分线的“定义、性质、
判定、应用”的学习和运用，体会欧几里得平面几何的基本思想，感悟几何体系的基本框架：
通过定义确定论证的对象，通过基本事实确定论证的起点，通过证明确定论证的逻辑，通过命
题确定论证的结果.经历图形分析与比较的过程，学会关注事物的共性、分辨事物的差异、形
成合适的类，从而达到“三会”的目的.感悟数学论证的逻辑，体会数学的严谨性，形成推理
能力和重事实、讲道理的科学精神.
四、单元作业设计思路
分层设计作业.每课时均设计“基础性作业”（面向全体， 体现课标， 题 量 3-4 大题， 要求学生必
做） 和“发展性作业”（体现个性化， 探究性、实践性， 题量 3 大题，要求学生有选择的完成）.具体设
计体系如下：
五、课时作业
第一课时（ 15.1（ 1）轴对称图形）
作业目标
1.会根据定义判断生活中物体的图案是否为轴对称图形，进一步认识几何图形的本质特征
，学会运用数学的眼光观察世界.
2.会根据定义判断一个几何图形是否为轴对称图形，并且能画出它的对称轴.能从直观感
知上升到理性认识，提升几何直观、空间观念.
3.会用折叠的方法制作轴对称图形，发展动手能力、空间观念和空间想象力、应用意识和
创新意识，增强学习数学的兴趣，体会数学的应用价值.
作业 1（基础性作业）
1.作业内容
（1）第24届冬奥会将于2022年2月在北京和张家口举办，下列四个图分别是第24届冬奥会图
标中的一部分，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
(2)(原创）判定下列图形是否为轴对称图形，如果是，画出它的所有对称轴.
(3)（改编）在学习“轴对称现象”内容时,邱老师让同学们寻找身边的轴对称图形,小明
有一 副三角尺和一个量角器(如图所示).
①小明的这三件文具中,可以看成轴对称图形的是____(填字母代号);
②请用这三个图形中的两个拼成一个轴对称图案,画出草图(至少画出一种).
2. 时间要求（ 10分钟以内）
3. 评价设计
作业评价表
学科 班级 教师姓名 职称
全班人数 受检学生人数
作业类别 评价作业总数
自评等级 他评等级
评价内容
A B C A B C
教 及时批阅作业
师 批阅格式规范
工 批语尊重学生人格
作 所留作业注重学生能力的培养
作业量适度、讲究实效
书写工整、字迹规范
答题的准确性（A等,答案正确、过程正
确。B等,答案正确、过程有问题。C等,
答案不正确,有过程不完整;答案不准确,
过程错误、或无过程。）
学
答题的规范性（A等,过程规范,答案正确
生
。B等,过程不够规范、完整,答案正确。
作
C等,过程不规范或无过程,答案错误）
业
解法的创新性（A等,解法有新意和独到
之处,答案正确。B等,解法思路有创新,
答案不完整或错误。C等,常规解法,思路
不清楚,过程复杂或无过程。）
总 优秀作业数
评价方式 作业总量 较差作业数量 突出的优点
体 量
情 自评
况 他评
教师工作态度 学生学习态度 学生作业质量 需要改进的问题
结 A B C A B C A B C
论
4.作业分析与设计意图
第（1）题判断冬奥会会标涉及的图案是否是轴对称图形，加深对定义的理解和运用.本
题的求解过程渗透了直观想象、数学抽象素养.帮助学生理解和领悟中华民族独特的数学智慧，
增强文化自信和民族自豪感.第（2）题要求学生会根据轴对称图形的定义判断几何图形是不是
轴对称图形，并会画出对称轴.培养学生观察能力，形成和发展抽象能力；第(3)题根据轴对称
图形的概念选择轴对称图形进行拼图即可得.提升几何直观、空间观念和空间想象力，培养学
生的发散思维与综合应用能力.
5. 答案：
（1）B
（2）
不是 是 不是 是 是 是 是（有无数条对称轴）
(3)①B、C ②
作业 2（发展性作业）
1. 作业内容
（1）．如图，是由4个大小相同的正方形组成的L形图案．
(1)请你改变其中一个正方形的位置，使它变成轴对称图形；
(2)请你再添加一个小正方形，使它变成轴对称图形．
第（1）题 第（2）题
（2）如下图图是一块长方形空地，要在空图地上建一些正方形和圆形花坛，并使整个图形为
轴对称图形，请你在图中画出你的设计草图.
（3）（原创）用折叠法制作多个轴对称图形，并用简洁的语言描述你所制作的图形，并
在全班展示交流.
2.时间要求（ 12 分钟）
3.评价设计
作业评价表
学科 班级 教师姓名 职称
全班人数 受检学生人数
作业类别 评价作业总数
自评等级 他评等级
评价内容
A B C A B C
及时批阅作业
教 批阅格式规范
师 批语尊重学生人格
工 所留作业注重学生能力的培养
作 作业量适度、讲究实效
书写工整、字迹规范
答题的准确性（A等,答案正确、过程正
确。B等,答案正确、过程有问题。C等,
学
答案不正确,有过程不完整;答案不准确,
生
过程错误、或无过程。）
作
答题的规范性（A等,过程规范,答案正确
业
。B等,过程不够规范、完整,答案正确。
C等,过程不规范或无过程,答案错误）
解法的创新性（A等,解法有新意和独到
之处,答案正确。B等,解法思路有创新,
答案不完整或错误。C等,常规解法,思路
不清楚,过程复杂或无过程。）
总 优秀作业数
评价方式 作业总量 较差作业数量 突出的优点
体 量
情 自评
况 他评
教师工作态度 学生学习态度 学生作业质量 需要改进的问题
结 A B C A B C A B C
论
4.作业分析与设计意图
第（1）题应用轴对称图形的定义解决问题，加深对轴对称图形定义的理解，培养学生的
想象力.第（2）题应用轴对称图形的知识解决实际问题，训练思维的发散性、开拓性，提升几
何直观和空间想象能力. 第（3）题会用折叠的方法制作轴对称图形，培养学生的动手能力、
空间观念、应用意识和创新意识，激发学生学习数学的兴趣，体会数学的应用价值.
答案：（1）(I)如图①所示.答案不唯一；
(II)如图②所示.答案不唯一；
（2） 要想是整个图形为轴对称图形，首先确定对称轴，然后根据轴对称的兴致设计正方
形和圆形花坛的位置
第二课时（ 15.1（ 2）轴对称）
作业目标
1.会根据定义判断生活中物体的图案是否成轴对称，认识几何图形的本质特征，发展辨析
能力和空间想象能力.
2.通过练习体会轴对称和轴对称图形的区别和联系，引导学生学会关注事物的共性、分辨
事物的差异，发展学生抽象概括的能力
3.会利用成轴对称的性质画两个图形成轴对称图形的方法，提升几何直观、空间观念.
4.能运用轴对称的性质进行图案设计，发展想象能力、创造能力，激发学生学习数学的兴
趣.
作业 1（基础性作业）
1.作业内容
（1）（原创）下列各组中的两个图形是否关于给定的直线对称？为什么？
(2)如下图，画出如图所示图形关于直线 l的对称图形.
（3）（原创）填表：
轴对称图形 轴对称
关系 名称
图例
对象不同
意义不同
区别
对称点位置不同
对称轴的数量
联系
2. 时间要求（ 8分钟以内）
3. 评价设计
作业评价表
学科 班级 教师姓名 职称
全班人数 受检学生人数
作业类别 评价作业总数
自评等级 他评等级
评价内容
A B C A B C
教 及时批阅作业
师 批阅格式规范
工 批语尊重学生人格
作 所留作业注重学生能力的培养
作业量适度、讲究实效
书写工整、字迹规范
答题的准确性（A等,答案正确、过程正
确。B等,答案正确、过程有问题。C等,
答案不正确,有过程不完整;答案不准确,
过程错误、或无过程。）
学
答题的规范性（A等,过程规范,答案正确
生
。B等,过程不够规范、完整,答案正确。
作
C等,过程不规范或无过程,答案错误）
业
解法的创新性（A等,解法有新意和独到
之处,答案正确。B等,解法思路有创新,
答案不完整或错误。C等,常规解法,思路
不清楚,过程复杂或无过程。）
总 优秀作业数
评价方式 作业总量 较差作业数量 突出的优点
体 量
情 自评
况 他评
教师工作态度 学生学习态度 学生作业质量 需要改进的问题
结 A B C A B C A B C
论
4.作业分析与设计意图
第（1）题判断生活中物体的图案是否成轴对称，利用定义进一步认识几何图形的本质特
征，培养学生对图形进行辨析的能力.第（2）题运用轴对称的性质画出与已知图形成轴对称的
图形.在找点、绘图的过程中使学生体验数形结合的思想，准确作图的能力，体会数学的严谨
性.第（3）题通过练习体会轴对称和轴对称图形的区别和联系，进一步发展学生抽象概括的能
力，学会关注事物的共性、差异，分辨事物的差异的能力.
5. 答案：（1）三组图形都不关于所给的直线成轴对称
（2）
（ 3）
轴对称图形 轴对称
关系 名称
图例
对象不同 一个图形 两个图形
两个图形之间的特殊关
意义不同 一个形状特殊的图形
系
区别
对称点分别在两个图形
对称点位置不同 对称点在这个图形上
上
对称轴的数量 一条或多条 只有一条
（1）沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重
合：
联系 （2）把轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一
个轴对称图形.把一个轴对称图形沿对称轴分成两个
图形，这两个图形关于这条对称轴对称
作业 2（发展性作业）
1. 作业内容
（1）小强站在镜前，从镜中看到镜子对面墙上挂着的电子钟，则如图所
示的电子钟的实际时刻是__________．
（2）如图，在3×3的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶
点的三角形称为格点三角形，图中 △ABC 是一个格点三角形.
(I)请在下面每一个备选图中作出一个与 △ABC成轴对称的格点三角形.(不能重复)
(II)在这个 3×3的正方形格纸中，与 △ABC成轴对称的格点三角形最多有 个.
2. 时间要求（ 15分钟以内）
3. 评价设计
作业评价表
学科 班级 教师姓名 职称
全班人数 受检学生人数
作业类别 评价作业总数
自评等级 他评等级
评价内容
A B C A B C
教 及时批阅作业
师 批阅格式规范
工 批语尊重学生人格
作 所留作业注重学生能力的培养
作业量适度、讲究实效
书写工整、字迹规范
答题的准确性（A等,答案正确、过程正
确。B等,答案正确、过程有问题。C等,
答案不正确,有过程不完整;答案不准确,
过程错误、或无过程。）
学
答题的规范性（A等,过程规范,答案正确
生
。B等,过程不够规范、完整,答案正确。
作
C等,过程不规范或无过程,答案错误）
业
解法的创新性（A等,解法有新意和独到
之处,答案正确。B等,解法思路有创新,
答案不完整或错误。C等,常规解法,思路
不清楚,过程复杂或无过程。）
总 优秀作业数
评价方式 作业总量 较差作业数量 突出的优点
体 量
情 自评
况 他评
教师工作态度 学生学习态度 学生作业质量 需要改进的问题
结 A B C A B C A B C
论
4.作业分析与设计意图
第（1）题考察成轴对称的性质在实际生活中的应用，培养学生的想象能力.第（2）题要
画与已知图形成轴对称的图形，就要先确定对称轴，再根据轴对称的性质作出与与已知图形成
轴对称的图形，此题是一道开放题，可以训练学生严密的思维能力,培养学生的想象能力、空
间观念、几何直观.
答案：
（1）21:05
（2）1、如图所示 2、6个
第三课时（ 15.2（ 1）线段的垂直平分线的性质）
作业目标
1. 会用线段垂直平分线的概念和性质定理解决数学问题，提高逻辑推理能力.
2.通过添加辅助线创造使用线段垂直平分线的条件，综合应用线段垂直平分线的性质定理
和之前学过的知识解决问题.提升几何直观、空间观念.
3.能够有意识地运用数学语言表达现实生活和其他学科中事物的性质、关系和规律，并能
解释表达的合理性.逐步养成用数学语言表达与交流的习惯，形成跨学科的应用意识与实践能
力.
作业 1（基础性作业）
1. 作业内容
（1）.已知：如图，y轴垂直平分线段BC，点A在y轴上，点B，C在x轴上
①若点C的坐标为(3，0)，则点B的坐标是什么
②若点B的坐标为(m，0)，则点C的坐标是什么
第（1）题图 第（2）题图 第（3）题图
（2）.如图，MP，NQ分别垂直平分AB，AC，且BC＝13cm，则△APQ的周长为　 　．
（3）.已知：如图，AB=CD, 线段AC的垂直平分线与线段BD的垂直平分线相交于点E.求证：
∠ABE=∠CDE.
2. 时间要求（ 12分钟以内）
3. 评价设计
作业评价表
学科 班级 教师姓名 职称
全班人数 受检学生人数
作业类别 评价作业总数
自评等级 他评等级
评价内容
A B C A B C
及时批阅作业
教 批阅格式规范
师 批语尊重学生人格
工 所留作业注重学生能力的培养
作 作业量适度、讲究实效
书写工整、字迹规范
答题的准确性（A等,答案正确、过程正
确。B等,答案正确、过程有问题。C等,
答案不正确,有过程不完整;答案不准确,
过程错误、或无过程。）
学
答题的规范性（A等,过程规范,答案正确
生
。B等,过程不够规范、完整,答案正确。
作
C等,过程不规范或无过程,答案错误）
业
解法的创新性（A等,解法有新意和独到
之处,答案正确。B等,解法思路有创新,
答案不完整或错误。C等,常规解法,思路
不清楚,过程复杂或无过程。）
总 优秀作业数
评价方式 作业总量 较差作业数量 突出的优点
体 量
情 自评
况 他评
教师工作态度 学生学习态度 学生作业质量 需要改进的问题
结 A B C A B C A B C
论
4.作业分析与设计意图
第（1）题考查线段垂直平分线的定义，体会数形结合、特殊到一般的思想方法.第（2）
题考查线段垂直平分线的性质实现线段的转化，体会转化的思想方法.第（3）题通过添加辅助
线创造使用线段垂直平分线的条件，提高综合运用知识的能力.提升几何直观、空间观念.
5.答案：
（1）∵y轴垂直平分线段BC，点A在y轴上，点B、C在x轴上，
∴OB=OC, 点B和点C的纵坐标都是0，横坐标互为相反数.
①若点C的坐标为(3，0)，则点B的坐标为 ( 3,0);
②若点B的坐标为(m，0)，则点C的坐标为 ( m,0).
（2）13cm
（3）证明：连接AE、CE，∵AC、BD的垂直平分线相交于E，
∴AE=CE,BE=DE,
在 △ABE和 △CDE 中，
AB=CD
AE=CE
BE=DE
∴△ABE △CDE(SSS),
∴∠ABE=∠CDE.
作业2（发展性作业）
1.作业内容
（1）如图，已知AB比AC长2cm，BC的垂直平分线交AB于D，交BC于E，△ACD的周长是14cm，求AB
和AC的长． E H
B
A
F G
第（1）题图 第（2）题图
（2）如图，EFGH为长方形的弹子球台面，有黑、白两球分别位于A,B两点的位置上，怎样撞
击黑球，使黑球先碰撞台边FG，反弹后再撞击台边GH，在反弹后击中白球？分别画出在台边FG，GH
上的撞击点的位置和黑球的运行路线.
2. 时间要求（ 15分钟以内）
3. 评价设计
作业评价表
学科 班级 教师姓名 职称
全班人数 受检学生人数
作业类别 评价作业总数
自评等级 他评等级
评价内容
A B C A B C
及时批阅作业
教 批阅格式规范
师 批语尊重学生人格
工 所留作业注重学生能力的培养
作 作业量适度、讲究实效
书写工整、字迹规范
答题的准确性（A等,答案正确、过程正
学 确。B等,答案正确、过程有问题。C等,
生 答案不正确,有过程不完整;答案不准确,
作 过程错误、或无过程。）
业 答题的规范性（A等,过程规范,答案正确
。B等,过程不够规范、完整,答案正确。
C等,过程不规范或无过程,答案错误）
解法的创新性（A等,解法有新意和独到
之处,答案正确。B等,解法思路有创新,
答案不完整或错误。C等,常规解法,思路
不清楚,过程复杂或无过程。）
总 优秀作业数
评价方式 作业总量 较差作业数量 突出的优点
体 量
情 自评
况 他评
教师工作态度 学生学习态度 学生作业质量 需要改进的问题
结 A B C A B C A B C
论
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题利用线段垂直平分线的性质实现等边转化，列出二元一次方程组，从而解
决问题.运用了方程思想，用代数知识解决几何问题是常用的一种方法.第（2）题将实际问题
转化为数学问题，体现建模思想.能够意识地运用数学语言表达现实生活和其他学科中事物的
性质、关系和规律，并能解释表达的合理性.逐步养成用数学语言表达与交流的习惯，形成跨
学科的应用意识与实践能力
5.答案：
（1）∵BC的垂直平分线交AB于点D，
∴DB=DC,
∵△ACD的周长是14，
∴AD+AC+CD=14,
即AC+AB=14,
则
AC+AB=14
AB AC=2
解得，AB=8cm,AC=6cm.
（2）思路引导：黑球经台边反弹，类似于物理中光的反射规律，即反射角等于入射角（实际
上是轴对称），所以可以利用轴对称的性质找到运行路线.
解：如下图所示. H
（1）画出点A关于台边FG的对称点A ，点B关于台边GH的对称点B ；E B B
（2）连接A B ，分别交FG，GH于点P，Q； A
（3）连接AP，PQ，QB，则折线A P Q B就是黑球的运行路线，而点P,Q分别是黑球在Q
台边FG，GH上的撞击点的位置. F P G
A
第四课时（ 15.2（ 2）线段的垂直平分线的判定）
作业目标
1.通过运用线段垂直平分线的判定定理，养成言必有据，言之有理的正确思维习惯.
2.会尺规作图作出线段的垂直平分线，解决实际问题.体会数学知识的应用价值.
3.能够建立几何模型，将实际问题抽象为数学的最短路径问题.通过数学实践活动，学会
思考、交流、合作、实践，切实地提高学生地生活实践能力和解决实际问题的能力.体会成功
的快乐，提升数学学习的兴趣.
作业 1（基础性作业）
1.作业内容
（1）如图，AC=AD，BC=BD，则有( )
A.AB垂直平分CD B.CD垂直平分AB C.AB与CD互相垂直平分 D.CD平分∠ACB
B村
A村
l
（2）公路l同侧的A，B两村，共同出资在公路边修建一个停靠站C，使停靠站到A，B两村
距离相等.请你确定停靠站C的位置.
（3）下列条件不能判定直线MN是线段AB的垂直平分线的是(　　)
A.MA=MB,NA=NB B.MA=MB,MN⊥AB
C.MA=NA,MB=NB D.MA=MB,MN平分AB且点M不在AB上
2. 时间要求（ 10分钟以内）
3. 评价设计
作业评价表
学科 班级 教师姓名 职称
全班人数 受检学生人数
作业类别 评价作业总数
自评等级 他评等级
评价内容
A B C A B C
及时批阅作业
教 批阅格式规范
师 批语尊重学生人格
工 所留作业注重学生能力的培养
作 作业量适度、讲究实效
书写工整、字迹规范
答题的准确性（A等,答案正确、过程正
确。B等,答案正确、过程有问题。C等,
学
答案不正确,有过程不完整;答案不准确,
生
过程错误、或无过程。）
作
答题的规范性（A等,过程规范,答案正确
业
。B等,过程不够规范、完整,答案正确。
C等,过程不规范或无过程,答案错误）
解法的创新性（A等,解法有新意和独到
之处,答案正确。B等,解法思路有创新,
答案不完整或错误。C等,常规解法,思路
不清楚,过程复杂或无过程。）
总 优秀作业数
评价方式 作业总量 较差作业数量 突出的优点
体 量
情 自评
况 他评
教师工作态度 学生学习态度 学生作业质量 需要改进的问题
结 A B C A B C A B C
论
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题加深对判定定理的理解和掌握，发展几何直观.第（2）题要作出线段垂直平分
线，才能解决问题.经历尺规作图的过程，增强动手能力，发展空间观念和空间想象力.第（3）
题考线段垂直平分线的判定的条件辨识，牢固掌握判定定理.进一步认识几何图形的本质特征.
培养学生的辨析能力，形成言必有据，言之有理的正确思维习惯.
5.答案：（1）A B村
（2）如图所示
（3）C A村
l
C
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
（1）设计实践性作业（将军饮马）
一.展示情景，提出问题：学校打算在前楼后面靠墙安装一台饮水机，学校八（5）班、办
公室和后面的墙如下图所示：
办公室
八（5）班教室
前楼后墙
二．情景抽象
八（5）班教室
办公室
室
M 前楼后墙 N
三．提出问题：数学老师从八（5）班去接开水，再回到办公室，饮水机放到后墙什么位
置，老师走的总路程最短？
四．合作讨论测量方案：教师引导下，全班学生进行合作讨论，确定测量方案.
五．实验分组：每组四人测量，两人记录计算，两人整理汇报.
六．准备实验用具：卷尺、记录表、足够长的绳、三角板、量角器、计算器等.
七．实验记录表
八（5）班门口到饮水 办公室到饮水机的直
试验次数 s s s1 s 之和机的直线距离（ 1） 线距离（ 22）
1
2
3
4
5
......
八．总结归纳：通过对测量的分析计算得出结论
九．理论验证：通过建立将军饮马模型分析，从理论证明测量的所得结论的正确性
十．总结反思：通过本次实验有什么心得体会？你能对你的方进行优化吗？本次实验会在
以后生活那些问题有所应用，请您写一篇小论文吧.
2. 时间要求（ 30分钟以内）
3. 评价设计
作业评价表
学科 班级 教师姓名 职称
全班人数 受检学生人数
作业类别 评价作业总数
自评等级 他评等级
评价内容
A B C A B C
及时批阅作业
教 批阅格式规范
师 批语尊重学生人格
工 所留作业注重学生能力的培养
作 作业量适度、讲究实效
书写工整、字迹规范
答题的准确性（A等,答案正确、过程正
确。B等,答案正确、过程有问题。C等,
答案不正确,有过程不完整;答案不准确,
过程错误、或无过程。）
学
答题的规范性（A等,过程规范,答案正确
生
。B等,过程不够规范、完整,答案正确。
作
C等,过程不规范或无过程,答案错误）
业
解法的创新性（A等,解法有新意和独到
之处,答案正确。B等,解法思路有创新,
答案不完整或错误。C等,常规解法,思路
不清楚,过程复杂或无过程。）
总 优秀作业数
评价方式 作业总量 较差作业数量 突出的优点
体 量
情 自评
况 他评
教师工作态度 学生学习态度 学生作业质量 需要改进的问题
结 A B C A B C A B C
论
4.作业分析与设计意图
本题考查将军饮马模型在实际生活中的应用.现实生活既是数学的起点，又是数学的归宿.
学以致用，把所学的知识运用到实际生活中，才是学习数学的最终目标.只有真正运用数学知
识，解决生活实际问题，才能实现数学和生活的有效地结合，才能切实地提高学生地生活实践
能力和解决实际问题的能力
第五课时（ 15.3（ 1）等腰三角形的性质）
作业目标
1.通过运用等腰三角形的轴对称性，发展观察能力、形象思维能力.
2.通过对定理和推论的运用，进一步掌握证明的基本步骤和书写格式.养成多角度思考问
题的习惯，提升几何直观、空间观念、抽象能力、推理能力.
作业 1（基础性作业）
1.作业内容
（1）如果等腰三角形的两边长分别是2、7，那么三角形的周长是________．
（2）已知：如图，点D、E在VABC的底边BC 上，AB AC , AD AE .求证：BD CE .
第（2）题图 第（3）题图
（3）例1 如图，PQ是 △ABC边BC上的两点，且 BP=PQ=QC=AP=AQ,求∠BAC的度数.
2. 时间要求（ 12分钟以内）
3. 评价设计
作业评价表
学科 班级 教师姓名 职称
全班人数 受检学生人数
作业类别 评价作业总数
自评等级 他评等级
评价内容
A B C A B C
及时批阅作业
教 批阅格式规范
师 批语尊重学生人格
工 所留作业注重学生能力的培养
作 作业量适度、讲究实效
书写工整、字迹规范
学 答题的准确性（A等,答案正确、过程正
生 确。B等,答案正确、过程有问题。C等,
作 答案不正确,有过程不完整;答案不准确,
业 过程错误、或无过程。）
答题的规范性（A等,过程规范,答案正确
。B等,过程不够规范、完整,答案正确。
C等,过程不规范或无过程,答案错误）
解法的创新性（A等,解法有新意和独到
之处,答案正确。B等,解法思路有创新,
答案不完整或错误。C等,常规解法,思路
不清楚,过程复杂或无过程。）
总 优秀作业数
评价方式 作业总量 较差作业数量 突出的优点
体 量
情 自评
况 他评
教师工作态度 学生学习态度 学生作业质量 需要改进的问题
结 A B C A B C A B C
论
4.作业分析与设计意图
第1题作业分析：运用等腰三角形的性质、三角形的三边关系解决问题，体会分类讨论的
思想的运用.第2题作业分析：运用等腰三角形的性质,解过程中渗透了直观想象、逻辑推理素
养.第3题作业分析：运用等腰三角形的性质，培养直观想象、空间观念.
5.答案：
（1）16
当2为腰长时，三边分别为2、2、7，因为2+2=4＜7，根据三角形三边关系得，此三边不能
组成三角形．
当7为腰长时，三边分别为2、7、7，根据三角形三边关系得，此三边能组成三角形．所以
三角形的周长=7+7+2=16；
综上，此三角形的周长为16．
（2）.过点A作AF BC，交BC于点F.
AB=AC,AD=AE,AF DE ,
BF=CF,DF=EF.
BD=CE.
（3）解：∵PA=PQ=AQ,(已知)
∴∠APQ=∠PQA=∠QAP=60°.(等边三角形三个角都为 60°)
∵PA=PB,
∴∠B=∠PAB.(等边对等角)
又∠B+∠PAB=60°,(三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角和)
∴∠PBA=∠PAB=30°,同理 ∠QAC=30°,
∴∠BAC=∠BAP+∠PAQ+∠QAC=30°+60°+30°=120°.
作业 2（发展性作业）
1. 作业内容
(阅读题)数学课上，张老师举了下面的例题：
例1 等腰三角形ABC中，∠A=110°,求∠B的度数.(答案：35°)
例2 等腰三角形ABC中，∠A=40°,
求∠B的度数.(答案：40°或70°或100°)
张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下
一题：
变式 等腰三角形ABC中，∠A=80°,求∠B的度数.
①请你解答以上的变式题.
②解答(1)后，小敏发现，∠A的度数不同，得
到∠B的度数的个数也可能不同.如果在等腰三
角形ABC中，设∠A=x°,当∠B有三个不同的
度数时，请你探索x的取值范围.
2. 时间要求（ 10分钟以内）
3. 评价设计
作业评价表
学科 班级 教师姓名 职称
全班人数 受检学生人数
作业类别 评价作业总数
自评等级 他评等级
评价内容
A B C A B C
及时批阅作业
教 批阅格式规范
师 批语尊重学生人格
工 所留作业注重学生能力的培养
作 作业量适度、讲究实效
书写工整、字迹规范
答题的准确性（A等,答案正确、过程正
确。B等,答案正确、过程有问题。C等,
答案不正确,有过程不完整;答案不准确,
过程错误、或无过程。）
学
答题的规范性（A等,过程规范,答案正确
生
。B等,过程不够规范、完整,答案正确。
作
C等,过程不规范或无过程,答案错误）
业
解法的创新性（A等,解法有新意和独到
之处,答案正确。B等,解法思路有创新,
答案不完整或错误。C等,常规解法,思路
不清楚,过程复杂或无过程。）
总 优秀作业数
评价方式 作业总量 较差作业数量 突出的优点
体 量
情 自评
况 他评
教师工作态度 学生学习态度 学生作业质量 需要改进的问题
结 A B C A B C A B C
论
4.作业分析与设计意图：本题考查了等腰三角形的性质，要对已知角是顶角还是底角进行
分类讨论.提高学生分类讨论的能力，培养思维的缜密性、发散性、开拓性，发展学生独立思
考、勇于探索的精神.提升几何直观、推理能力.
5.答案：
(1)①若∠A为顶角，则∠B=(180° ∠A)÷2=50°;
若∠A为底角，∠B
为顶角，则∠B=180° 2×80°=20°;
若∠A为底角，∠B为底角，则∠B=80°;
故∠B的度数为50°或20°或80°.
②分两种情况：
当90 x<180时，∠A只能为顶角，
∴∠B的度数只有一个；
当0若∠A为顶角，则∠B=(180 x)°;
180 x
若∠A为底角，∠B为顶角，则 B （ ）;
2
若∠A为底角，∠B为底角，则∠B=x°.
180 x 180 x
当 ≠180 2x且180 2x≠x且 ≠x,
2 2
即x≠60时，∠B有三个不同的度数
综上所述，可知当0第六课时（ 15.3（ 2）等腰三角形的判定）
作业目标
1.通过运用等腰三角形、等边三角形的判定定理，形成言必有据，言之有理的正确思维习
惯.
2.通过综合运用性质定理、判定定理和推论的过程，提高学生多角度思考问题的习惯，综
合运用知识的能力.
作业 1（基础性作业）
（1） 如图，一条船从A处出发，以15里/小时的速度向正北方向航行，10个小时到达B处，
从A、B望灯塔，得∠NAC=37°，∠NBC=74°，则B到灯塔C的距离是_____里．
第（1）题图 第（2）题图 第（3）题图
（2） 已知：如图，CD平分△ACB， AE∥DC,交BC的延长线于点E.求证： △ACE是等腰三
角形.
（3）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A 、 B 是两格点，如果C 也
是图中的格点，且使得VABC为等腰三角形，则点C 的个数是（ ）
A．10 B．6 C．7 D．8
2. 时间要求（ 13分钟以内）
3. 评价设计
作业评价表
学科 班级 教师姓名 职称
全班人数 受检学生人数
作业类别 评价作业总数
自评等级 他评等级
评价内容
A B C A B C
及时批阅作业
教 批阅格式规范
师 批语尊重学生人格
工 所留作业注重学生能力的培养
作 作业量适度、讲究实效
书写工整、字迹规范
答题的准确性（A等,答案正确、过程正
确。B等,答案正确、过程有问题。C等,
答案不正确,有过程不完整;答案不准确,
过程错误、或无过程。）
学
答题的规范性（A等,过程规范,答案正确
生
。B等,过程不够规范、完整,答案正确。
作
C等,过程不规范或无过程,答案错误）
业
解法的创新性（A等,解法有新意和独到
之处,答案正确。B等,解法思路有创新,
答案不完整或错误。C等,常规解法,思路
不清楚,过程复杂或无过程。）
总 优秀作业数
评价方式 作业总量 较差作业数量 突出的优点
体 量
情 自评
况 他评
结 教师工作态度 学生学习态度 学生作业质量 需要改进的问题
论 A B C A B C A B C
4.作业分析与设计意图
第1题作业分析：根据三角形的外角和以及等角对等边的性质，得出BC=AB，再由路程公式
即可得出答案．体会数学知识的广泛应用.第2题作业分析：本题结合角平分线和平行线考查了
等腰三角形的判定.求解过程中渗透了直观想象、逻辑推理素养.第3题作业分析：本题考查的
知识点是等腰三角形的定义，体会分类讨论的思想.考查学生思维的缜密性，发展好奇心、求
知欲、想象力和勇于探索的科学精神
5.答案：
（1）∵∠NAC=37°，∠NBC=74°
∴∠C=37°∴BC=AB=10×15=150里
（2）∵CD平分∠ACB
∴∠BCD=∠ACD
∵AE∥DC
∴∠BCD=∠BEA,∠ACD=∠EAC
∴∠BEA=∠EAC
∴CA=CE
∴△ACE是等腰三角形.
（3）如图，分情况讨论：
①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
如图(1)，AB=AC，BD平分 ∠ABC,CD平分∠ACB.
(1)图(1)中有哪几个等腰三角形 ②如图(2)，若过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，则该
图较图(1)增加了几个等腰三角形
(2)如图(3)，若 AB≠AC,其他条件不变，则该图中有哪几个等腰三角形 请直接写出线段EF，
BE，CF之间的数量关系.
(3)如图(4)，若 ∠ABC的平分线BO与 △ABC的外角 ∠ACG的平分线CO相交于点O，过点O作； OE
∥BC,，分别交AB于点E，交AC于点F，这时图中有哪几个等腰三角形 请写出线段EF、BE、CF
之间的数量关系，并说明理由.
2. 时间要求（ 15分钟以内）
3. 评价设计
作业评价表
学科 班级 教师姓名 职称
全班人数 受检学生人数
作业类别 评价作业总数
自评等级 他评等级
评价内容
A B C A B C
及时批阅作业
教 批阅格式规范
师 批语尊重学生人格
工 所留作业注重学生能力的培养
作 作业量适度、讲究实效
书写工整、字迹规范
答题的准确性（A等,答案正确、过程正
确。B等,答案正确、过程有问题。C等,
答案不正确,有过程不完整;答案不准确,
过程错误、或无过程。）
学
答题的规范性（A等,过程规范,答案正确
生
。B等,过程不够规范、完整,答案正确。
作
C等,过程不规范或无过程,答案错误）
业
解法的创新性（A等,解法有新意和独到
之处,答案正确。B等,解法思路有创新,
答案不完整或错误。C等,常规解法,思路
不清楚,过程复杂或无过程。）
总 优秀作业数
评价方式 作业总量 较差作业数量 突出的优点
体 量
情 自评
况 他评
教师工作态度 学生学习态度 学生作业质量 需要改进的问题
结 A B C A B C A B C
论
4.作业分析与设计意图
作业分析：本题考查了角平分线定义和平行线的性质，运用了特殊到一般思想方法.发展
学生的类比思想、探究能力，经历用几何直观和逻辑推理分析问题和解决问题的过程，提升几
何直观、空间观念、推理能力.
5.答案：
解(1)①图(1)中共有两个等腰三角形：△ABC,△BDC.②图(2)中增加了三个等腰三角形：△
AEF,△EBD,△FDC.
(2)图(3)中共有两个等腰三角形：△EBD,△FDC.线段EF，BE，CF之间的数量关：EF=BE+CF.
(3)图(4)中共有两个等腰三角形：△EBO,△FOC.线段EF，BE，CF之间的数量关系是EF=BE CF.
理由如下：
∵EO∥BC,∴∠EOB=∠OBC,∠EOC=∠OCG.
∵BO，CO分别平分∠ABC与∠ACG,
∴∠EBO=∠OBC,∠ACO=∠OCG.
∴∠EOB=∠EBO,∠FCO=∠FOC.
∴BE=OE,CF=FO.
∵EO=EF+FO,∴BE=EF+CF,∴EF=BE CF.
第七课时（ 15.4（ 1）角的平分线的性质）
作业目标
1. 会用角平分线的性质定理解决数学问题，形成言必有据，言之有理的正确思维习惯.
2. 通过添加辅助线创造使用角平分线的条件，综合应用角平分线的性质定理和之前学过
的知识解决问题.提升推理能力.
作业 1（基础性作业）
1.作业内容
（1）如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝80°，观察图中尺规作图的痕迹，则∠DCE的度
数为______.
第（1）题图 第（2）题图 第（3）题图
（2）如图，在四边形ABCD中，∠A = 90 ，∠BDC = 90 ，AD = 2，∠ADB = ∠C，则点D
到BC边的距离等于 ______ .
（3）如图，在 △ ABC中，∠ACB = 90°，BE平分∠ABC，DE ⊥ AB于D，如果AC = 3cm，那
么AE + DE等于( )
A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm
2. 时间要求（ 10分钟以内）
3. 评价设计
作业评价表
学科 班级 教师姓名 职称
全班人数 受检学生人数
作业类别 评价作业总数
自评等级 他评等级
评价内容
A B C A B C
及时批阅作业
教 批阅格式规范
师 批语尊重学生人格
工 所留作业注重学生能力的培养
作 作业量适度、讲究实效
书写工整、字迹规范
答题的准确性（A等,答案正确、过程正
确。B等,答案正确、过程有问题。C等,
答案不正确,有过程不完整;答案不准确,
过程错误、或无过程。）
学
答题的规范性（A等,过程规范,答案正确
生
。B等,过程不够规范、完整,答案正确。
作
C等,过程不规范或无过程,答案错误）
业
解法的创新性（A等,解法有新意和独到
之处,答案正确。B等,解法思路有创新,
答案不完整或错误。C等,常规解法,思路
不清楚,过程复杂或无过程。）
总 优秀作业数
评价方式 作业总量 较差作业数量 突出的优点
体 量
情 自评
况 他评
教师工作态度 学生学习态度 学生作业质量 需要改进的问题
结 A B C A B C A B C
论
4.作业分析与设计意图
第（1）题学生能够辨识此尺规作图作的是已知角的角平分线，利用三角形的外角和角平
分线的知识解决问题.提升几何直观、逻辑推理能力;第（2）题考查角平分线的性质，通过添
加辅助线创造使用角平分线的条件，解题过程渗透了直观想象和逻辑推理素养；第（3）题利
用角平分线的性质实现线段的转化，体会转化思想
5.答案：（1）65°（2）2（3）3cm
作业 2（发展性作业）
如图(1)所示，在△ABC中，点D在边BC上，DE⊥AB,DF⊥AC,
垂足分别为点E，F，连接EF，AD相交于点O，请你添加一个条件使AD⊥EF.
①你添加的条件是 ，并证明AD⊥EF.
②如图(2)，AD为∠BAC的平分线，当有一点G从点D出发沿DA向点A运动时，GE⊥AB,GF⊥AC,，
垂足分别为点E，F.这时AD是否垂直于EF
③如图(3),当点G沿AD方向且在其延长线上运动时，其他条件不变，这时AD是否垂直于EF
2. 时间要求（ 15分钟以内）
3. 评价设计
作业评价表
学科 班级 教师姓名 职称
全班人数 受检学生人数
作业类别 评价作业总数
自评等级 他评等级
评价内容
A B C A B C
及时批阅作业
教 批阅格式规范
师 批语尊重学生人格
工 所留作业注重学生能力的培养
作 作业量适度、讲究实效
书写工整、字迹规范
答题的准确性（A等,答案正确、过程正
确。B等,答案正确、过程有问题。C等,
答案不正确,有过程不完整;答案不准确,
过程错误、或无过程。）
学
答题的规范性（A等,过程规范,答案正确
生
。B等,过程不够规范、完整,答案正确。
作
C等,过程不规范或无过程,答案错误）
业
解法的创新性（A等,解法有新意和独到
之处,答案正确。B等,解法思路有创新,
答案不完整或错误。C等,常规解法,思路
不清楚,过程复杂或无过程。）
总 优秀作业数
评价方式 作业总量 较差作业数量 突出的优点
体 量
情 自评
况 他评
结 教师工作态度 学生学习态度 学生作业质量 需要改进的问题
论 A B C A B C A B C
4.作业分析与设计意图
本题考查角平分线的性质.学生体会动态的过程中的数量不变性，学生的直观想象素养、数学
抽象素养、逻辑推理素养得到充分锻炼，提升几何直观、空间观念、逻辑推理能力.
5.答案：解①添加的条件是AD平分∠BAC.
证明如下：
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF.
在Rt△AED和Rt△AFD中，
∵AD=AD,DE=DF,∴Rt△AED Rt△AFD.∴∠EDA=∠FDA.
在△DOE和△DOF中，
∵DE=DF,∠EDO=∠FDO,DO=DO,∴△DOE △DOF.∴∠DOE=∠DOF.
∵∠DOE+∠DOF=180°,∴∠DOE=∠DOF=90°.∴AD⊥EF.
②AD⊥EF,证明方法同(1).
③AD⊥EF,证明方法同(1).
另解:可添加的条件不唯一，如还可添加的条件有：DE=DF,AE=AF,∠EDA=∠FDA等.证明AD⊥EF
的过程可参考左栏(1)中的证明过程，都是先证Rt△AED Rt△AFD,
再证△DOE △DOF.
第八课时（ 15.4（ 2）角的平分线的判定）
作业目标
1.通过运用角平分线的判定定理，发展应用能力、逻辑推理能力.
2.经历尺规作图的过程，增强动手能力，能想象出通过尺规作图的操作所形成的图形，理
解尺规作图的基本原理与方法，发展空间观念、空间想象力和几何直观.
3.能够综合应用角平分线的性质定理和判定定理，增强综合运用知识的能力.
作业 1（基础性作业）
1.作业内容
（1）如图，DA ⊥ AC，DE ⊥ BC.若AD = 5 cm，DE = 5 cm，∠ACD = 40 ，则∠DCE = (
)
A.30
B.40 C50
D60
第（1）题图 第（2）题图 第（3）题图
（2）.已知：如图，线段CD与∠AOB,通过作图求一点P，使 PC=PD,并且点P到∠AOB两边的距
离相等.
（3）.如图，在 △ABC中，外角 ∠CBE 和 ∠BCG的平分线相交于点F，求证：点F在∠BAC
的平分线上.
2. 时间要求（ 12分钟以内）
3. 评价设计
作业评价表
学科 班级 教师姓名 职称
全班人数 受检学生人数
作业类别 评价作业总数
自评等级 他评等级
评价内容
A B C A B C
及时批阅作业
教 批阅格式规范
师 批语尊重学生人格
工 所留作业注重学生能力的培养
作 作业量适度、讲究实效
书写工整、字迹规范
答题的准确性（A等,答案正确、过程正
确。B等,答案正确、过程有问题。C等,
答案不正确,有过程不完整;答案不准确,
过程错误、或无过程。）
学
答题的规范性（A等,过程规范,答案正确
生
。B等,过程不够规范、完整,答案正确。
作
C等,过程不规范或无过程,答案错误）
业
解法的创新性（A等,解法有新意和独到
之处,答案正确。B等,解法思路有创新,
答案不完整或错误。C等,常规解法,思路
不清楚,过程复杂或无过程。）
总 优秀作业数
评价方式 作业总量 较差作业数量 突出的优点
体 量
情 自评
况 他评
教师工作态度 学生学习态度 学生作业质量 需要改进的问题
结 A B C A B C A B C
论
4.作业分析与设计意图
第（1）题直接应用角平分线的判定，培养言必有据，言之有理的正确思维习惯.第（2）
题经历尺规作图的过程，增强动手能力，能想象出通过尺规作图的操作所形成的图形，发展空
间观念、空间想象力和几何直观.第（3）题本题考查能够综合应用角平分线的性质定理和判定
定理，增强综合运用知识的能力.提升几何直观、推理能力.
5.答案：
（1）B（2）如图所示（3）.证明：过F作 FM⊥AE,FP⊥AC,FN⊥BC, BF，CF分别是 ∠EBC,∠BCG
平分线，∴FN=FM,FM=FP.∴FN=FP.∴F在 ∠EAG的平分线上.
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
八年级(1)班同学上数学活动课“利用角尺平分一个任意角(如图所示)”，设计了如下方案：
(Ⅰ) AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P放于射线OA，OB之间，移动角尺使角尺两边相
同的刻度与M，N重合，即PM=PN,过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线；
( Ⅱ )∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON,将角尺的直角顶点P放于射线OA，OB之
间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M，N重合，即PM=PN,，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的
平分线.
(1)方案(Ⅰ)、方案(Ⅱ)是否可行 若可行，请证明；若不可行，请说明理由.
(2)在方案(Ⅰ)PM=PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA,PN⊥OB.此方案
是否可行 请说明理由.
2. 时间要求（ 15分钟以内）
3. 评价设计
作业评价表
学科 班级 教师姓名 职称
全班人数 受检学生人数
作业类别 评价作业总数
自评等级 他评等级
评价内容
A B C A B C
及时批阅作业
教 批阅格式规范
师 批语尊重学生人格
工 所留作业注重学生能力的培养
作 作业量适度、讲究实效
书写工整、字迹规范
答题的准确性（A等,答案正确、过程正
确。B等,答案正确、过程有问题。C等,
答案不正确,有过程不完整;答案不准确,
过程错误、或无过程。）
学
答题的规范性（A等,过程规范,答案正确
生
。B等,过程不够规范、完整,答案正确。
作
C等,过程不规范或无过程,答案错误）
业
解法的创新性（A等,解法有新意和独到
之处,答案正确。B等,解法思路有创新,
答案不完整或错误。C等,常规解法,思路
不清楚,过程复杂或无过程。）
总 优秀作业数
评价方式 作业总量 较差作业数量 突出的优点
体 量
情 自评
况 他评
教师工作态度 学生学习态度 学生作业质量 需要改进的问题
结 A B C A B C A B C
论
4.作业分析与设计意图：综合应用角平分线和全等三角形的知识，.经历用几何直观和逻
辑推理分析问题和解决问题的过程，提升空间观念、抽象能力、推理能力.
5.答案：
解：(1)方案(Ⅰ)不可行.理由如下：
只有OP=OP,PM=PN, 不能判断△OPM △OPN, 无法证明∠MOP=∠NOP.
无法判定OP是∠AOB的平分线.
方案(Ⅱ)可行.证明如下：
在△OPM和△OPN中， OM=ON,PM=PN,OP=OP, △OPM △OPN,(SSS)
∠AOP=∠BOP. OP是∠AOB的平分线.
(2) ∠OMP=∠ONP=∠MPN=90°, ∠AOB=360° 90° 90° 90°=90°.
当∠AOB是直角时，此方案可行.理由如下：
PM=PN,PM⊥OA,PN⊥OB, 点P在∠AOB的平分线上，即OP为∠AOB的平分线.
当∠AOB不是直角时，此方案不可行.理由如下：由上述计算可知，
∠AOB必为90°,如果∠AOB不是90°,则不能找到同时使PM⊥OA,PN⊥OB的点P的位置.
六、单元质量检测作业
作业目标
1.通过练习进一步认识轴对称图形、轴对称、线段垂直平分线、等腰三角形、角平分线的本
质特征，形成和发展抽象概括能力.
2.在具体现实情境中，经历用几何直观和逻辑推理分析问题和解决问题的过程，形成应用意识
和创新意识，提升几何直观、空间观念和空间想象力、抽象能力、推理能力.
3.学生通过数学思维训练，形成言必有据，言之有理的正确思维习惯，感悟数学论证的逻辑，
体会数学的严谨性，形成推理能力和重事实、讲道理的科学精神.从而达到“三会”的目的.
（一）单元质量检测作业内容
一、单选题
1．下列标志是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，若BC=20cm，AB=12cm，则△ABD的周长为（ ）
A．20 cm B．22 cm C．26 cm D．32cm
3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，AB的垂直平分线DE分别交AB、BC于D、E．EF⊥AC，
垂足为F，连接AE，则AF=（ ）
1
AD B． 2 AE C．AC D．DE
第（2）题图 第（3）题图 第（4）题图 第（5）题图
4．如图，点P 是 AOB平分线OC 上的一点，PD ^OB ，垂足为D，若PD =3，则点P 到边
OA的距离是（ ）
A． 3 B．3 C．5 D．4
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC
1
于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于 2 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于
点D，若CD＝3，则BD的长是（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
6．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平
分线相交于点D，则∠D的度数为（　　）
A．15°B．17.5° C．20°D．22.5°
7．将一张四条边都相等的四边形纸片按下图中①②的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的
虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应是（ ）
A． B． C． D．
8．点P(2，3)关于直线x＝m的对称点为(－4，3)，关于直线y＝n的对称点为(2，－5)，则m－n＝(　　
)
A．2 B．－2 C．0 D．3
9．如图，Rt△ABC，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，则下列结论中不正确的是（　　）
A．BD+ED=BC B．DE平分∠ADB C．AD平分∠EDC D．ED+AC＞AD
第（9）题图 第（10）题图
二、填空题
10．如图，等边三角形ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上的一点，当PA＝CQ
1 1
时，连接PQ，交AC于点D.下列结论：①PD＝DQ；②∠Q＝30°；③DE＝ AC；④AE＝ CQ.其中正确的
2 2
是________(填序号).
第（11）题图 第（12）题图 第（13）题图
11．如图，∠BAC=120°，AB=AC，AB=14，则AD=________．
12．如图：在△ABC中，AB=AC，BC=BD，AD=DE=EB，则∠A=________．
13．如图，在VABC 中， AB =3, AC =4, AB ^ AC, EF 垂直平分BC ，点P为直线EF 上一动
点，则△ABP周长的最小值是________．
三、解答题
14．如图，在 ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.
求证：∠CBE=∠BAD．
15．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．
（1）若BC=8，则△ADE周长是多少？
（2）若∠BAC=118°，则∠DAE的度数是多少？
16．在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点(不与点B、C重合)，以AD为一边
在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
(1)求证：△ABD≌△ACE；
(2)如图1，当点D在线段BC上运动时，
①若∠BAC＝48°，则∠BCE＝______度；
②猜想∠BAC与∠BCE之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)当点D在线段BC的反向延长线上运动时，②中的结论是否仍然成立？若
成立，试加以证明；若不成立，请你给出正确的数量关系，并说明理由．
17.已知：△ABC中，AB=AC.
如图(1)，点O是BC的中点，过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，求证：OD=OE.
(2) 如图(2),点O在△ABC的内部，且OB=OC，过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，OD=OE还
成立吗 若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
(3)点O在△ABC的外部，且OB=OC,过点O作OD垂直直线AB于点D，作OE垂直直线AC于点E,OD=OE还
成立吗 请直接回答是否成立，不需要说明理由.
（二）单元质量检测作业属性表
对应单元 对应学
序号 类型 难度 来源
作业目标 了解 理解 应用
1 选择题 15.1 √ 容易 改编
2 选择题 15.2 √ 容易 选编
3 选择题 15.3 √ 一般 改编
4 选择题 15.4 √ 容易 选编
5 选择题 15.3 15.4 √ 容易 选编
6 选择题 15.3 15.4 √ 一般 选编
7 选择题 15.1 √ 一般 改编
完成时间
8 选择题 15.1 √ 容易 选编 90分钟
9 选择题 15.4 √ 容易 改编
10 填空题 15.3 √ 一般 改编
11 填空题 15.3 √ 一般 选编
12 填空题 15.3 √ 一般 真题
13 填空题 15.2 √ 一般 选编
14 解答题 15.3 √ 一般 选编
15 解答题 15.2 15.3 √ 一般 选编
16 解答题 15.3 √ 较难 选编
17 解答题 15.3 15.4 √ 较难 真题
参考答案
1．A
解：A、是轴对称图形和中心对称图像，故本选项正确；
B、是轴对称图形但是不是中心对称图形，故本选项错误；
C、是中心对称图像但是不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是不是中心对称和轴对称图形，故本选项错误；
2．D
由垂直平分线的性质可知： AD =CD ，
\ CVABD =AB +BD +AD =AB +BD +DC =AB +BC =20 +12 =32cm，
3．B
180°- 100°
∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，∴∠B=∠C= 2 =40°，∵AB的垂直平分线DE分
别交AB，BC于点D，E，∴BE=AE，∴∠BAE=∠B=40°，∴∠FAE=∠BAC-∠BAE=100°-40°=60°，
1
∵EF⊥AC，∴∠AFE=90°，则∠AEF=30°，∴AF= 2 AE．
4．B 作PE⊥OA于E ∵点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，PE⊥OA
∴PE=PD=3 故选B．
5．B由题意可知，AD是∠BAC的角平分线，∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，∴∠CAD=∠BAD=30°，∴AD=2CD=6，∠B=∠BAD，∴BD=AD=6.
6．A解答：解：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵∠ACE＝∠A＋∠ABC，即∠1＋∠2＝∠3＋∠4＋∠A，∴2∠1＝2∠3＋∠A，
1 1
∵∠1＝∠3＋∠D，∴∠D＝ 2 ∠A＝ 2 ×30°＝15°．
7．A
严格按照图中的顺序，向右对折，向上对折，从斜边处剪去一个直角三角形，从直角顶点处剪
去一个等腰直角三角形，展开后实际是从原菱形的四边处各剪去一个直角三角形，从菱形的中心
剪去一个和菱形位置基本一致的正方形，得到结论．
8．C 点P（2，3）关于直线x=m的对称点的坐标为（－4，3），∴2m=2－4，解得：m=－1，
关于直线y=n的对称点的坐标为（2，－5），∴2n=3－5，解得：n=－1，∴m-n=－1－（－1）=0．
故选C．
9．B
CD=DE，∴BD+DE=BD+CD=BC；又有AD=AD，可证△AED≌△ACD∴∠ADE=∠ADC即AD平分∠EDC；
在△ACD中，CD+AC>AD所以ED+AC>AD.
综上只有B选项无法证明,B要成立除非∠B=30 ，题干没有此条件，B错误，
10．①③④
①过P作PF∥BQ，交AC于F，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=∠A=60°，∵PF∥BQ，
∴∠AFP=∠ACB=60°，∠PFD=∠QCD，∴△AFP是等边三角形，∴PF=PA，∵PA=CQ，
∴PF=CQ，在△PFD和△QCD中，
{∠ADP＝∠CDQ∵ ∠PFD＝∠QCD ，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴PD=DQ；所以①结论正确；PF＝CQ
②由①得：△PFD≌△QCD，∴∠DPF=∠Q，∵△APF等边三角形，∴∠APF=60°，∵
QP与AB不一定垂直，∴∠Q不一定为30°，所以②结论不正确；
1
③∵△APF是等边三角形，PE⊥AC，∴EF= AF，∵△PFD≌△QCD，∴DF=DC，∴DF=
2
1
FC，
2
1 1 1
∴DE=EF+DF= AF+ FC= AC，所以③结论正确；
2 2 2
1 1
④在Rt△AEP中，∠A=60°，∴∠APE=30°，∴AE= AP，∴AE= CQ，所以④结论正确；
2 2
所以本题结论正确的有：①③④；
故答案为：①③④．
1 1
11．7 详解：∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝ 2 （180° ∠BAC）＝ 2 （180° 120°）＝30
°，
1 1
∴AD＝ 2 AB＝ 2 ×14＝7．
12．45°设∠EBD=x°，∵BE=DE，∴∠EDB=∠EBD=x°，∴∠AED=∠EBD+∠EDB=2x°，∵AD=DE，
∴∠A=∠AED=2x°，∴∠BDC=∠A+∠ABD=3x°，∵BD=BC，∴∠C=∠BDC=3x°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠
C=3x°，∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴2x+3x+3x=180，解得：x=22.5，∴∠A=2x°=45°．
13．7 解：∵EF 垂直平分BC ，∴B，C关于直线EF 对称．设 AC 交EF 于点D，∴当P和D重
合时， AP +BP 的值最小，最小值等于 AC 的长，∴△ABP周长的最小值是
4 +3 =7 ．
14． ∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，又∵BE⊥AC，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴
∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°，∴∠CBE=∠CAD．
15．（1）8 （2）56°
（1）∵在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，∴AD=BD，AE=EC，∵BC=8，∴△ADE
周长=AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC=8；
（2）∵∠BAC=118°，∴∠B+∠C=62°，∵DA=DB，EA=EC，∴∠BAD=∠B，∠EAC=∠C，
ο
∴∠BAD+∠EAC=62°，∠DAE=56
16．（1）∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，
ì AB＝AC
í BAD＝ CAE
在△ABD与△ACE中，
AD＝AE
，∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）①∵△ABD≌△ACE，∠BAC=48°，∴∠B=∠ACE，∵∠BAC+∠ABD+∠BCA=180°，
∴∠ACE+∠ACB+∠BAC=∠BCE+∠BCA=180°，则∠BCE=132°；
②∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC．即∠BAD=∠CAE．在△ABD与△ACE中，
ì AB＝AC
í BAD＝ CAE
AD＝AE ，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B=∠ACE，∵∠BAC+∠ABD+∠BCA=180°，∴∠
BAC+∠BCE=∠BAC+∠BCA+∠ACE=∠BAC+∠BCA+∠B=180°；
（3不）成立如．当：图点D在射线BC的反向延长线上时∠，BAC=∠BCE理．∵：由∠DAE=∠BAC∴，∠DAB=∠EAC，在△ADB
ì AB＝AC
í BAD＝ CAE
AD＝AE和△AEC中， ，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴∠ABD=∠ACE，∵∠ABD=∠BAC+∠ACB，∠
ACE=∠BCE+∠ACB，∴∠BAC=∠BCE．
17．(1)证明图15-9(1)，连接AO.∵AB=AC,OB=OC,∴AO平分 ∠BAC.又 OD⊥AB,OE⊥AC,∴
OD=OE.(2)解:成立.证明如下：如图 15 9(2), 连接AO.∵AB=AC,点A在BC的垂直平分线上.∵OB=OC,
∴点O在BC的垂直平分线上.∵两点确定一条直线，∴AO是BC的垂直平分线.∵AB=AC;∴AO平分∠BAC.
又 OD⊥AB,OE⊥AC,∴OD=OE.(3)成立.
、

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