资源简介

沪科版八年级上册单元作业设计
《全等三角形》
教材版本： 上海科学技术出版社
学 科： 数 学
年 级： 八年级（上）
章 节： 第 14 章 全等三角形
目 录
单元整体设计.............................................................................................................................1
一、单元信息.............................................................................................................................1
二、单元分析.............................................................................................................................1
（一）课标要求.........................................................................................................................1
（二）教材分析.........................................................................................................................2
1．本单元知识结网络图...........................................................................................................2
2．内容分析...............................................................................................................................2
（三）学情分析.........................................................................................................................3
三、单元学习与作业目标.........................................................................................................3
四、单元作业设计思想.............................................................................................................3
五、作业设计.............................................................................................................................4
14.1 全等三角形.........................................................................................................................4
14.2.1 三角形全等的判定 SAS ................................................................................................8
14.2.2 三角形全等的判定 ASA ..............................................................................................12
14.2.3 三角形全等的判定 SSS .............................................................................................16
14.2.4 三角形全等的判定 AAS ............................................................................................19
14.2.5 三角形全等的判定 HL ...............................................................................................23
14.2.6 三角形全等的判定综合运用.......................................................................................27
小结与复习...................................................................................................................32
数学活动.......................................................................................................................36
六、单元质量检测练习...........................................................................................................40
七、参考答案...........................................................................................................................45
初中数学《全等三角形》单元作业设计
一、 单元信息
基本 学科 年级 学期 教材版本 单元名称
信息 数学 八年级 第二学期 沪科版 全等三角形
单元
□√ 自然单元 □重组单元
组织方式
序号 课时名称 对应教材内容
1 全等三角形 第 14.1 （P94-96）
2 三角形全等的判定（SAS） 第 14.2.1（P97-P100）
3 三角形全等的判定（ASA） 第 14.2.2（P101-P103）
4 三角形全等的判定（SSS） 第 14.2.3（P103-P105）
课时
5 三角形全等的判定（AAS） 第 14.2.4（P105-P107）
信息
6 三角形全等的判定（HL） 第 14.2.5（P107-P109）
7 三角形全等的判定综合运用 P109-P110
8 小结与复习 P113
9 数学活动
10 单元评价
二、单元分析
（一）课标要求
理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角；掌握基本
事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等、两角及其夹边分别相等的两个
三角形全等、三边分别相等的两个三角形全等；能证明定理：两角及其中一组等
角的对边分别相等的两个三角形全等。
课标在“知识技能”方面指出：探索并掌握三角形的基本性质与判定，掌握
基本的证明方法和基本的作图技能；在“数学思考”方面指出：能独立思考，体
会数学的基本思想和思维方式。体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理
加以证明的过程，在多种形式的数学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力。
在研究图形性质和运动、确定物体位置等过程中，进一步发展空间观念；经历借
助图形思考问题的过程，初步建立几何直观。
1
（二）教材分析
1. 知识网络
2. 内容分析
本章学习是基于学生已学过线段、角、相交线、平行线以及三角形有关知识，
也学习了一些说理内容，这些都为学习全等三角形提供了准备。本章通过全等三
角形的有关概念及全等三角形的性质和判定的学习和运用，进一步培养学生的推
理论证能力，主要包括用分析法分析条件与结论的关系，用综合法书写证明格式，
以及掌握证明几何命题论证的一般过程。由于利用全等三角形可以证明线段、角
等基本几何元素相等，所以本章的内容也是后面将学习的等腰三角形、四边形、
圆等内容的基础。
通过本单元的学习，向学生重点渗透图形变换的数学思想，使学生掌握推理
论证的方法，有利于培养学生逻辑推理能力。因此，本章节内容在教材中处于非
常重要的地位，起着承前启后的作用.
（三）学情分析
从学生的认知规律看：学生在本章学习之前已对三角形有了初步、直观的认
识，对三角形的边和角已经具备了一定的推理能力、合作与交流的能力，所以学
2
生很容易接受全等三角形的定义和性质，为顺利完成本章的学习打下了基础，但
对于“对应”的理解和识别上，即判断对应边对应角，可能会产生一些困难，从
而对三角形全等的判定带来一定的困难，需要学生有一个渐进的过程。
从学生的学习习惯、思维规律看：八年级学生有比较强的自我表现和展示的
意识，对新鲜事物有一定的好奇心，在情感上也具有学习新知识的强烈欲望，所
以教学中遵循循序渐进的原则，增加学生自主探究的设计内容，注重对学生推理
论证能力的培养。
三、 单元学习与作业目标
1.理解全等三角形的概念，认识全等三角形中的对应边、对应角，掌握全等
三角形的性质。通过作业练习加深学生的认识和理解；
2.经历探索三角形全等条件的过程，掌握判定三角形全等的基本事实(“边
边边”“边角边”和“角边角”)和定理(“角角边”)，能运用以上基本事实和判
定定理判定两个三角形全等并规范几何推理语言和格式；
3.通过学习和作业训练，是学生能正确分析命题条件，熟练准确地运用几种
判定方法证明两个三角形全等或通过全等证明两条线段或者角相等，培养学生的
几何推理论证能力。
四、单元作业设计思路
分层设计作业。每课时均设计“基础性作业”（面向全体，体现课标，题量 3-4
大题，要求学生必做）和“发展性作业”（体现个性化，探究性、实践性，题量 3
大题，要求学生有选择的完成）。具体设计体系如下：
3
五、课时作业
第一课时（14.1 全等三角形）
1.作业内容
（1）下列选项中表示两个全等的图形的是（ ）.
A．形状相同的两个图形 B．周长相等的两个图形
C．面积相等的两个图形 D．能够完全重合的两个图形
（2）如图，△ABC≌△DEF ，则 E 的度数为（ ）.
A E
F
80°
B
62°
C D
A．80 B． 40 C．62 D．38
（3）已知△ABC≌△DEF ，下列结论中不正确的是（ ）.
A D
B E C F
A． AB DE B． BE CF C．BC EF D． AC DE
（4）如图，△ACB≌△A CB ， BCB 30 ，则 ACA 的度数为（ ）.
A' A
B
B' C
A．20 B．30 C．35 D．40
（5）已知△ABC≌△DEF ， A 50 ， E 60 ，则 F ．
2. 时间要求（10分钟以内）
3. 评价设计
4
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
A 等，答案正确、过程正确．
B 等，答案正确、过程有问题．
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，
过 程错误、或无过程．
A 等，过程规范，答案正确．
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确．
C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
A等，解法有新意和独到之处，答案正确．
B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误．
解法的创新性
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无
过程．
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综
综合评价等级
合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
4. 作业分析与设计意图
作业第（1）题要求学生对全等三角形的本质有深刻的认识，理解什么是“完
全重合”；第（2）题考查全等三角形的基本性质，即对应边相等、对应角相等，
这里要着重强调“对应”二字，学会通过全等的符号表达式来得出相对应的角；
第（3）题需要学生通过全等找出正确的对应边，特别注意有些结论是由对应边
再进一步转化而来，比如对应边同时加上或者减去公共边后得到的两条线段仍然
相等；第（4）题同第（3）题的解法，需要通过全等三角形的对应角进一步的转
化得到相应的结论；第（5）题考查全等三角形对应角相等，在解答时要将已知
度数的角转化为和所求角在同一个三角形中的角，同时不要忘记了三角形内角和
为 180°这一重要的隐藏条件．
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
（1）一个三角形的三边为 6、10、 x，另一个三角形的三边为 y 、6、12，如果
这两个三角形全等，则 x y ．
（2）如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点 B 到
C 的方向平移到△DEF 的位置， AB 8，DO 3，平移距离为 4，则阴影部分
面积为（ ）.
5
A D
O
B E C F
A．18 B．24 C．26 D．32
（3）如图，D 在 BC 边上，△ABC≌△ADE， EAC 40 ，则 B的度数为 ．
E
A
A
A
B D C
（4）在如图所示的3 3的正方形网格中， 1 2 3的度数为 ．
2 3
1
（5）如图，已知△ABC≌△DEF ，DF / /BC ，且 B 60 ， F 40 ，点 A 在
DE 上，则 BAD的度数为（ ）.
E
A
F
D
B C
A．15 B． 20 C．25 D．30
2. 时间要求（10分钟以内）
3. 评价设计
6
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
A 等，答案正确、过程正确．
B 等，答案正确、过程有问题．
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，
过 程错误、或无过程．
A 等，过程规范，答案正确．
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确．
C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
A等，解法有新意和独到之处，答案正确．
B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误．
解法的创新性
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无
过程．
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综
综合评价等级
合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
4. 作业分析与设计意图
作业第（1）题没有给出全等的符号表达式，但是根据全等三角形的对应边
相等，结合具体已知的边长，找出相对应的边；第（2）题主要让学生了解平移
不改变三角形的形状和大小，即平移前后的两个三角形是全等的，所以阴影部分
的面积实际上可转化为直角梯形的面积；第（3）题考查了一类非常普遍的几何
图形模型，即八字形三角形，利用三角形内角和不变，可得出 EAC EDC，
再根据全等三角形对应边相等（ AB AD ）和对应角相等（ ADE B），从而
ADE ADB；第（4）题实际上由于 3的度数是确定的，所以问题就在于如
何去就 1+ 2的值，是分开独自求每个角还是整体求和，这是重点，如何充分
挖掘网格的隐藏性质是解决本题的突破口；第（5）题考查学生能否充分利用图
中条件（特殊位置），准确的将角进行转化．从角的构成进行转化求角是惯用的
方法，于是问题就变为如何求 BAC和 DAC，而这两个角和题中的 B, F 并
无直接关联，此时我们需要去回头再去观察条件，看哪些条件遗漏．此题对角的
转化要求比较高，充分挖掘条件，快速准确的转化角是关键．
7
第二课时（14.2.1 三角形全等的判定 SAS）
作业 1（基础性作业）
1.作业内容
（1） 如图，AC 和 BD相交于O点，若OA OD，用“ SAS ”证明△AOB≌△DOC
还需（ ）.
A D
O
B C
A． AB DC B．OB OC C． C D D． AOB DOC
（2）如图，AB AC ，点D ，E 分别是 AB ，AC 的中点，则判定△ACD与△ABE
全等的依据是（ ）.
A
D E
B C
A． SSS B． SAS C． ASA D． AAS
（3）如图，点 D 、 E 分别在线段 AB 、 AC 上，且 AD AE，若由 SAS判定
△ABE≌△ACD，则需要添加的一个条件是 ．
A
D E
B C
（4）如图，若 AB AD ， BAC DAC，则△ABC ≌ADC△ ，全等的依据是 .
（用字母表示即可）．
B
A C
8
D
（5）如图：已知： AD AE ， AF 是公共边，要让△ADF 和△AEF 全等只要给
出条件： 就能用“ SAS ”证明这两个三角形全等．
B
D
A F
E
C
（6）如图，已知 AE AC，AD AB ， EAC DAB．求证：△EAD≌△CAB ．
E
C
D
A B
2. 时间要求（10分钟以内）
3. 评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
A 等，答案正确、过程正确．
B 等，答案正确、过程有问题．
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，
过 程错误、或无过程．
A 等，过程规范，答案正确．
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确．
C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
A等，解法有新意和独到之处，答案正确．
B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误．
解法的创新性
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无
过程．
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综
综合评价等级
合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
9
4. 作业分析与设计意图
作业第（1）题考查的是判定 SAS，题中给出了一组对应边的条件，另外还
隐藏了一组对顶角相等这一条件；第（2）题看似题中只有一组边对应相等，即
AB AC ，实际上，通过特殊点D、E ，又可得到一组对应边相等，即 AD AE ，
这时候要想证明三角形全等，要么再寻找一组对应边，要么证明这两组边的夹角
相等即可．第（3）题中只给出了一组对应边相等，根据指定的判定要求，不难
想到要还需要一组对应角和一组对应边，实际上题中已经有一组公共角对应相等，
所以只需添加一组边相等即可；第（4）题中给出了两组条件，对于非直角三角
形，两组条件是不可以判定两个三角形全等的，那么就意味着图中还隐藏了其他
条件，观察图形，不难发现还有一组条件为公共边 AC AC ，这样结合三组条
件就可以轻松得到判定的方法是 SAS .第（5）题中要求用“ SAS ”证明两三角形
全等，而其中 AD AE ， AF 为公共边为已知条件，由此可知只需添加
BAF CAF ，即 AF 平分 BAC 即可．第（6）题考查了全等三角形的判定；
由 EAC DAB 得出 EAD CAB是正确解决问题的关键，实际上这个图形
是三角形全等中的一类重要模型——手拉手．手拉手模型证全等实际和 SAS 的
判定是紧密联系的；
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
（1）已知，如图， AC 、 BD相交于点 E ， EA ED，EB EC ．
求证：△ABC≌△DCB ．
A D
E
B C
（2）如图，在△ABC 中，AB AC 10，BC 8，点D 为 AB 的中点，如果点P
在线段BC 上以每秒 3 个单位长度由 B 点向C 点运动，同时点Q在线段CA上由
C 点向 A 点运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．在某一时
刻，△BPD 与△CQP全等，此时点Q的运动速度为每秒（ ）个单位长度．
10
A
D
Q
B P C
4
A．3 B． C．3或 3.75 D．2或 3
3
2. 时间要求（10分钟以内）
3. 评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
A 等，答案正确、过程正确．
B 等，答案正确、过程有问题．
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，
过 程错误、或无过程．
A 等，过程规范，答案正确．
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确．
C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
A等，解法有新意和独到之处，答案正确．
B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误．
解法的创新性
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无
过程．
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综
综合评价等级
合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
4. 作业分析与设计意图
作业第第（1）题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的 5 种判
定方法．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则
找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，
且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应
邻边．第（2）题两个三角形有一组角始终是对应相等的，另外 BD的长度保持不
变，BP, PC,CQ都和两个动点的运动路程有关，另一方面，题目中并没有给出这
两个三角形全等的对应方式，这就意味着可能存在多种对应方式，结合已知的一
11
组对应角，于是问题就分成了两类情况去讨论，即 BD CP, BP CQ 和
BD CQ, BP CP.
第三课时（14.2.2 三角形全等的判定 ASA）
作业 1（基础性作业）
1.作业内容
（1）根据下列已知条件，能画出唯一△ABC 的是( )
A. A 50 ， B 70 ， AB 6 B. C 90 ， AB 10
C. AB 10，BC 4， AC 4 D. AB 5，BC 8， A 40
（2）如图所示，已知在△ABC 和△DEF 中， B E，BF CE ，点 B ，F ，
C ， E 在同一条直线上.若使△ABC≌△ DEF，则还需添加的一个条件是
__________(只填一个即可)，判定的理由:______________.
A
C
B E
F
D
（3）如图，△ADE 与△CBF 的边 AE ，CF 在同一条直线上，DE∥BF ，AD∥BC
AF CE . 求证: △ADE≌△CBF .
C
E
D
F B
A
（4）如图，△ABC 的两条高 AD ， BE 相交于点 H ，且 AD BD .
求证：① DBH= DAC ；②△BDH≌△ADC .
A
E
H
B D C 12
（5）如图，点D在△ABC 的外部，点C 在DE 边上，BC 与 AD 交于点O，若
BAD BCD CAE ，AB AD . 求证：① B D； ②△ABC≌△ADE .
A E
B
O C
D
（6）如图， A B ， AE BE ，点D 在 AC 边上， CED ADB， AE 和
BD相交于点O .求证：△AEC≌△BED； ②若 C 69 ，求 BDE 的度数.
B
E
O
A D C
2.时间要求（10分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B 等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过
程错误、或无过程。
A 等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。
C 等，过程不规范或无过程，答案错误。
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合
综合评价等级 评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题考察判定三角形形状和大小的元素，通过本题进一步让学生
明确要确定三角形形状和大小一般需要三个元素，以及哪几个元素可以确定。同
13
时，还能让学生了解确定三角形的形状大小与判定两个三角形全等的条件之间的
联系；第（2）题是全等三角形的添加条件问题，可以帮助学生对比熟悉 SAS 和 ASA
两种判定定理的条件.通过本题引导学生掌握这种问题的解题思路：先通过条件
转化得到已有的边角相等，再根据所学判定定理添加需要的边角相等或者可转化
为边角相等的其它条件；第（3）、（4）、（5）、（6）题考察学生通过条件转化得到
全等所需要的边角相等的能力.让学生明确证明两个三角形全等的基本方法就是
先证明相应的边角相等；其中，第（3）题是利用平行线证明角度相等和由一组
等边加上公共边得到边长相等；第（4）题是用“同余或等余”来证明角度相等；
第（5）题是由一组等角加上公共角得到角度相等和利用三角形内角和关系证明
角度相等；第（6）题是考察从图形条件中找三角形的内外角关系来证明角度相
等.同时，本题还可以让学生灵活选择不同的方法解决问题，拓展学生的解题思
路.但无论方法有几种，都要通过本题明确利用全等三角形解决几何问题一般思
路：先证明边角相等得到三角形全等，再利用全等三角形的性质计算或者证明.
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
（1）如图，在△ACB中， ACB 90 ， AC BC ,直线 l 经过点C , AD l
于D ，BE l 于 E .求证：DE AD BE
E l
C
D
A B
（2）如图，在△ABC 中，MN AC ，垂足为 N ，且MN 平分 AMC ，
△ABM 的周长为 9cm， AN =2cm，求△ABC 的周长.
A
N
B C
M
14
（3）如图，在△ABC 中， BE 是 ABC 的平分线， AD BE ，垂足为D .
求证： BAD DAE C .
A
E
D
B C
2.时间要求（15分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B 等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过
程错误、或无过程。
A 等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。
C 等，过程不规范或无过程，答案错误。
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合
综合评价等级 评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
4.作业分析与设计意图
第(1)题是一道利用全等证明线段数量关系的问题.通过本题的训练，让学生
掌握在利用全等证明线段数量关系时，往往要先找到线段相等关系（通常利用全
等找相等关系居多），然后用相等的线段进行替换，得到几条线段在一条直线上，
从而便于计算和证明。第(2)题是一道周长计算问题。通过本题，让学生认识周
长问题的解题方法和线段数量关系问题类似，通常要先转化为边长相加，然后找
到线段相等关系（利用全等找相等关系居多），最后，用相等的线段进行替换，
得到几条线段在一条直线上，从而解决问题.第(3)题需要通过辅助线构造全等三
角形，对学生的基本功要求较高，留给学有余力的同学探究思考。在解题中，直
接通过现有的条件不能解决问题时，要有找三角形的解题思想，需要的三角形如
果找不到，那就要通过辅助线构造相应的三角形。本题构造的△FBD 也可以由
15
△ABD 沿直线 BD翻折得到。因此，这种作辅助线的方法，我们称之为延长法（或
翻折法）。
第四课时（14.2.3 三角形全等的判定 SSS）
作业 1 基础性作业
1.作业内容
（1）如图，丁师傅用 4根木条钉成一个四边形木架，要使这个木架不变形，他
至少要再钉上木条的根数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
（2）如图，已知 AD CB，若利用”边边边”定理来判定△ABC≌△CDA，则
需要添加的条件是( )
A． AB CD B． AC AD C． AC BC D． AB AC
A D
B C
（3）如图，在△ABC 和△FED 中，AC FD，BC ED，要利用“ SSS ”来判
定△ABC 和△FED 全等时，下面的 4个条件中：① AB FE ；② AE BE ；
③ AE FB；④ BE BF ，可利用的是 .
D
E
F
A B
C
16
（4）如图， AB AC ， AD AE ，BE CD .求证：△ABD≌△ACE .
A
B E D C
（5）已知：如图，点C 是 AB 的中点， AD CE ，CD BE．求证：CD∥BE .
A
C D
B E
2.作业时间（10分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B 等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，
过程错误、或无过程。
A 等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。
C 等，过程不规范或无过程，答案错误。
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
解法的创新性
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无
过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综
综合评价等级 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
4.作业分析及设计意图
作业第（1）题意在考查学生对三角形稳定性的理解，沿四边形的任意一条
对角线添加一根木条，使之形成两个三角形.作业第（2）、（3）题，学生需分析
17
出证明两个三角形全等已经具备的条件，从而根据“边边边”定理，添加出合适
的条件.作业第（4）、（5）题，学生需通过简单的证明，从而得到判定全等的条
件，进而证明结论，同时也是考验学生几何语言表达的规范性.
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
（1）已知:如图, AB AC ,且 AB AC , AD AE ,BD CE .试猜想 AD 与 AE
的位置关系并说明理由.
C
D
B A
E
（2）如图，已知线段 AB ，CD相交于点O，AD ，CB的延长线交于点 E ，OA OC ，
EA EC，求证： A C .
A C
D B
E
（3）全等三角形的应用十分广泛，尤其在其他几何图形中，可以运用全等三角
形证明出各种结论.如图，在四边形 ABCD中，如果 AB CD， AD BC，你能
否运用全等三角形的相关知识，证明出 A C ？如果将条件改成 AB∥CD，
AD∥BC 呢？如果将条件改成 AB∥CD，AB CD呢？请分别就以上问题写出详
细证明过程.
A D
B C
18
2.作业时间（10分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B 等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，
过程错误、或无过程。
A 等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。
C 等，过程不规范或无过程，答案错误。
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
解法的创新性
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过
程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综
综合评价等级 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
4.作业分析及设计意图
作业第（1）题，学生需利用“边边边”定理证明三角形全等，进而运用全
等三角形对应角相等的性质，求 AD 与 AE 的夹角.作业第（2）题需通过添加辅
助线OE 构造△AOE 与△COE ，进而证明全等，证得 A C ，意在考查学生
几何思维的灵活性，培养学生构造全等的几何思维.作业第（3）题旨在让学生感
受全等三角形的重要作用，本题中的三个问题分别对应了 SSS ，ASA，SAS 三种
判定方法，是对已学知识的综合巩固，学生需通过连接 AC 或BD构造全等三角
形完成证明.
第五课时（14.2.4 三角形全等的判定 AAS）
作业 1 基础性作业
1.作业内容
（1）如图，BD CE， B C，那么可以判定△BDF 与△CEF 全等的依据
是（ ） C
A． SSS B． SAS
C． ASA D． AAS E
A
D
B 19
（2）如图，已知 ABC DCB，下列条件不能证明△ABC≌△DCB 的是( )
A． A D B． AB DC C． ACB DBC D． AC BD
A D
B
C
（3）如图， BAD CAD ,由 AAS 判定△ABD≌△ACD，则需添加的条件是
.
A
D
B
C
（4）如图，在△ABC 中， C 50 ，AD 是 BAC 的平分线，交 BC 于D ，且DC
=15，则点D 到 AB 的距离DE 长为 .
C
D
B E
A
（5）如图，已知在△AFD 和△CEB中，点 A ，E ，F ,C 在同一直线上，AE CF ，
B D , AD∥BC ，求证：△AFD≌△CEB .
A D
E
F
B C
2.作业时间（10分钟）
3.评价设计
20
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B 等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，
过程错误、或无过程。
A 等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。
C 等，过程不规范或无过程，答案错误。
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综
综合评价等级
合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
4.作业分析及设计意图
作业第（1）题意在直接考查学生对“边边角”判定定理的理解.作业第（2）
题考查证明三角形全等的各种方法，学生需根据选项条件，灵活对应已学判定定
理，添加 A D ，则可用 AAS 进行判定；添加 AB DC，则可用 SAS 进行判
定；添加 ACB DBC ，则可用 ASA进行判定.作业第（3）题，学生需分析出
证明两个三角形全等已经具备的条件，从而根据“边边角”定理，添加出合适的
条件.作业第（4）是全等三角形判定与性质的简单综合，教师在运用本题时，还
可以隐藏DE ，从而引导学生主动构造全等三角形.作业第（5）题，学生需通过
简单的证明，从而得到判定全等的条件，进而证明结论，同时也是考验学生几何
语言表达的规范性.
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
（1）如图，△ABC 中， AD BC于 D ， BE AC 于 E ， AD 与 BE 相交于 F ，
若BF AC ,则 ABC .
A
F E
B D C
21
（2）在△ABC中， ACB 90 ，AC BC，直线 l 经过点C ，AD l 于D ，BE l
于 E ，求证：①△ADC≌△CEB ；②DE AD BE .
E l
C
D
B
A
（3）如图①， AD 平分 BAC ， B C 180 ， B 90 ，易知DB DC .
探究：如图②， AD 平分 BAC ， ABD ACD 180 ， ABD＜90 ，
求证：DB DC .
C
C
D D
A B B
① ②
2.作业时间（10分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B 等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，
过程错误、或无过程。
A 等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。
C 等，过程不规范或无过程，答案错误。
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综
综合评价等级 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
22
4.作业分析及设计意图
作业第（1）题考查全等三角形判定和性质的综合运用，题目涉及余角性质、
等腰直角三角形等多个几何知识点的应用，具有一定综合性.作业第（2）题考查
全等三角形判定和性质的综合运用，意在锻炼学生几何综合运用的能力，题目的
第（2）问充分体现了全等三角形转化线段的特点.同时，教师在运用本题时，可
进一步变式为：当直线 l 绕点C 旋转与边 AB 相交时，探索DE ， AD ， BE 的关
系.作业第（3）题从图①到图②，本题在一定程度上体现了几何图形的变式，学
生需通过添加辅助线构造全等三角形，从而将将图②的问题转化为图①的问题，
体现了几何图形的转化.题目体现了从特殊到一般的数学思想，将未知转化为已
知的迁移方法.同时，两次判定全等的证明过程，也是考查学生全等三角形判定
的综合运用能力.
第六课时（14.2.5 三角形全等的判定 HL）
作业 1（基础性作业）
1.作业内容
（1）如图，已知 AB BD ，CD BD，添加下列条件能用“HL ”判定Rt△ABD
和 Rt△CDB全等的是( )
A. AB CD B. AD BC C. A C D. ADB CBD
A D
B C
（2）如图，CD AB ，BE AC ，垂足分别为D ，E ，BE ，CD相交于点O .
如果 AB AC ，那么图中全等的直角三角形的对数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
B C
O
D
E
A
23
（3）如图，AC BC 于点C ，DE AC于点 E ，BC AE ，AB AD ，则 BAD
______.
A
E
D
B C
（4）如图，已知CE AB，DF AB ，垂足分别为 E ，F ，AC BD，CE DF .
求证: AC∥BD .
C
F
A BE
D
（5）如图所示，在△ABC 中，AC BC，AE CD，AE CE于点 E ，BD CD
于点D ， AE 7， BD 2，求DE 的长.
C
E
A B
D
（6）如图，已知 AC 与 BD相交于点O， A D 90 ， AC DB.
求证：OB OC .
A D
O
B C
24
2.时间要求（10分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B 等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过
程错误、或无过程。
A 等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。
C 等，过程不规范或无过程，答案错误。
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合
综合评价等级 评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
4.作业分析与设计意图
作业第(1)题让学生明确用“HL ”判定两个三角形全等的条件.同时，通过
其它选项的分析，也能让学生了解证明一般三角形全等的定理同样适用于两个直
角三角形全等；第(2)题进一步巩固学生在复杂图形中，灵活运用多种方法，找
到并证明多次三角形全等的基本能力和意识；第(3)题是一道利用全等进行角度
计算的简单题型，通过本题渗透全等性质结合角度关系来解决角度计算问题的思
路，为后面复杂的计算做铺垫；第(4)题是一道教材例题的变式题.巩固直角三角
形全等证明的方法，让学生熟悉用“HL ”证明直角三角形全等的规范书写，反
馈学生对基础知识的熟悉程度；第(5)题可以帮助学生巩固全等解题的一般思路：
先证明两个三角形全等，再利用全等性质结合边角关系进行计算或证明；第(6)
题是运用两次全等三角形的判定来解决问题的题型，帮助学生初步掌握多种判定
方法的综合运用，为下一课做准备.
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
（1）如图，在 Rt△ABC 中， C 90 ，AC 10 cm，BC 5 cm，P ，Q两点
25
分别在线段 AC 上和过点 A 且垂直于 AC 的射线 AM 上运动，且PQ AB，则点
P 运动到 AC 上什么位置时△ABC 才能和△QPA全等？
M
Q
B
C P A
（2）如图，在△ABC 与△DEF 中，AB DE ，AC DF ，AH ，DG 分别是△ABC
和△DEF 的高，且 AH DG.
①求证: △ABC≌△DEF ；
②你认为“有两边和第三边上的高分别相等的两个三角形全等”这句话对
吗 为什么
A D
B H C E G F
（3）如图，在四边形 ABCD中，BC＜BA， AD CD，BD平分 ABC .
求证: A BCD 180 .
A
D
B C
2.时间要求（10分钟）
3.评价设计
26
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B 等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过
程错误、或无过程。
A 等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。
C 等，过程不规范或无过程，答案错误。
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合
综合评价等级 评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
4.作业分析与设计意图
作业第(1)题是一道动点问题，本题中△ABC 和△QPA并没有用全等符号对
应，因此，本题存在多种可能。通过本题的训练，让学生了解到，动点背景下的
全等问题，往往需要先根据边长的对应情况进行分类讨论，再利用全等的性质解
题；第(2)题是一道综合应用题，考察学生对题目条件和结论的转化分析能力，
图形不复杂，有利于学生理解，促进学生掌握解题思路；第(3)题的训练可以帮
助学生再一次梳理作辅助线构造全等三角形的解题思路，汇总常用的辅助线类型。
本题围绕角平分线这个条件，通过作垂线的方法，把较长的边 AB 截短，把较短
的边BC 补长.这种作辅助线构造全等三角形的方法，我们称之为“截长补短法”.
第七课时（14.2.6 三角形全等的判定综合运用）
作业 1（基础性作业）
1.作业内容
（1）如图， C D 90 ， AC BD，则判定△ABC≌△BAD全等的依据是
( ).
C D
A B
A． SAS B． ASA C． AAS D．HL
27
（2）如图，已知 1 2 ，若用“ AAS ”证明△BDA≌△ACB，还需加上条件
( ).
D C
O
1 2
A B
A． AD BC B．BD AC C． D C D．OA OB
（3）下列条件中，能判断两个三角形全等的是( ).
A．两边和它们的夹角分别相等
B．两边及其中一边所对的角分别相等
C．三个角分别相等
D．两个三角形面积相等
D
A C
B
（4）如图，在△ABC 与△ADC 中，已知 BAC DAC ，在不添加任何辅助线
的前提下，要使△ABC≌△ADC，
①若以“ SAS ”为依据，则需添加一个条件是 ．
②若以“ AAS ”为依据，则需添加一个条件是 ．
③若以“ ASA”为依据，则需添加一个条件是 ．
（5）如图， AB AE ， 1 2， B AED ．求证：△ABC≌△AED．
A
2
1
D
B E C
2. 时间要求（10 分钟以内）
28
3. 评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
A等，答案正确、过程正确．
B等，答案正确、过程有问题．
答题的准确性
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，
过程错误、或无过程．
A 等，过程规范，答案正确．
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确．
C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确．
B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误．
解法的创新性
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无
过程．
AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、BBB、AAC综
综合评价等级
合评价为 B等；其余情况综合评价为 C等．
4. 作业分析与设计意图
作业第（1）题考查了三角形全等的几种判定，即 AAS, ASA, SAS, SSS ,对于
直角三角形还有一个特殊的判定方法，即 HL ，本题中要证明△ABC≌△BAD，
还需要挖掘出本题中的隐藏条件——公共边 AB BA,故不难得出所用的判定是
HL ；第（2）题中只给出了一组角对应相等，如果再添加一组即可证明全等，
那意味着此题中还隐藏了一个条件，如 AB BA ,而这一组边也恰好是 1和 2
的一条边，故若选用 AAS 判定，那显然这时候添加的应该是这一组对应边的对
角，即 D C；第（3）题考查利用全等的判定条件判定全等时，一定要注意：
满足 AAA、SSA是无法证明两个三角形全等的，我们在利用两边夹一角的判定时，
一定要切记判定中的角必须是两边的夹角. 同时，本题中的第四个选项也在其实
反映了全等图形的本质：能够完全重合，所以两个三角形全等不仅仅是大小相同，
形状也应该一样，而仅凭面积大小并不能说明形状相同；第（4）题实际上考查
的是一题多解，我们从不同的角度去思考问题，就能创造不同的方法.我们在做
几何题时，一定要仔细观察图形，结合所给条件，从而快速的发现便捷的解题思
路；第（5）题中直接可用的条件只有两组，一组边和一组角，这时候如想证明
两个三角形全等，可以添加一组边或一组角，虽然 1、 2并不是要证的这两个
三角形中的内角，但是 1、 2同时加上 EAC 后得到的 BAC, EAD恰是我们
29
需要证明全等的两个三角形中的内角，同时，本题也是全等三角形中的一种重要
模型——手拉手模型.
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
（1）如图，OE 是 AOB的平分线，BD OA于点D，AC OB于点C ，BD 、
AC 都经过点E ，则图中全等的三角形共有多少对( ).
O
D C
E
A B
A．3 对 B．4 对 C．5 对 D．6 对
（2）如图，△ABC 中， AC BC ， AC 8 cm，BC 4 cm， AP AC，垂足
为点 A，现有两点 D、E 分别在 AC 和 AP 上运动，运动过程中总有DE AB ，
当 AD cm时，能使△ADE 和△ABC 全等．
P
E
B
C D A
（3）如图，已知CB AD， AE CD，垂足分别为 B ， E ， AE 、 BC 相交于
点F ，若 AB BC 8，CF 2，连结DF ，则图中阴影部分面积为 ．
C
E
F
A B D
30
（4）在四边形 ABCD中， E 为 BC 边中点．已知：如图，若 AE 平分 BAD ，
AED 90 ，点F 为 AD 上一点， AF AB ．
求证：① △ABE≌△AFE ；
② AD AB CD．
B A
F
E
C D
2. 时间要求（10 分钟以内）
3. 评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
A等，答案正确、过程正确．
B等，答案正确、过程有问题．
答题的准确性
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，
过程错误、或无过程．
A 等，过程规范，答案正确．
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确．
C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确．
B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误．
解法的创新性
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无
过程．
AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、BBB、AAC综
综合评价等级
合评价为 B等；其余情况综合评价为 C等．
4. 作业分析与设计意图
作业第（1）题主要考查全等三角形判定条件的综合运用，能利用图中的条件
准确选择恰当的判定找出对应的全等三角形，另外在寻找全等三角形时，我们可
以从较小的三角形到较大的三角形这样的顺序去判断，不要遗漏；第（2）题，
实际上在两个直角三角形满足斜边对应相等时，若要使得二者全等，可以增加一
组对应角相等，也可以增加一组边相等. 结合题中所求，我们知道当其中一组直
角边对应相等时，就可以说明这两个三角形全等. 但是在不确定是哪两条直角边
31
对应相等的情况下，就需要进行分类讨论，分类讨论其实是初中数学中的一类重
要的数学思想；第（3）题把求面积的问题转化为求边 BD 的问题，再结合一个
重要模型——八字形三角形得出角相等，结合条件 AB BC就可以得出△ABF
和△CBD全等，从而将 BD 的长度转为 BF 的长度，实际上本题思路环环相扣，
寻找思路的过程其实就是几何中的分析法；第（4）题本题是常考的二次全等证
明问题，也是常见的线段和差问题。将线段和差问题转化为线段相等问题，从而
再转化为三角形全等问题，是我们解题中处理此类问题的惯用手法.同时，本题
也是全等三角形证明中的一个经典模型—— 一线三等角.
第八课时（小结与复习）
作业 1（基础性作业）
1.作业内容
（1）如图，△ABE≌△ACF ， A 30 ， C 25 ，则 AEB ．
A
A
F
F E E
B
B C D
第（1）题图 第（2）题图
（2）如图，点 A ，F ，C ，D 在一条直线上，△ABC≌△DEF ，AF 1，FD 3，
则线段FC 的长是（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
（3）如图，已知 AE BE ，DE 是 AB 的垂线， F 为DE 上一点，BF 10 cm，
CF 3cm，则 AC cm．
A D
A
F
D F
F E A C B
E C B B D C
E
第（3）题图 第（4）题图 第（5）题图
32
（4）已知：如图，在△ABC 中， A 40 ， AB AC ， BF CD，BD CE ，
则 FDE ．
（5）如图，点C 在线段 AB 上， AD∥EB， AC BE ， AD BC， F 是 DE 的
中点．求证：①△ACD≌△BEC ；②CF DE．
2. 时间要求（15分钟以内）
3. 评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
A 等，答案正确、过程正确．
B 等，答案正确、过程有问题．
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过
程错误、或无过程．
A 等，过程规范，答案正确．
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确．
C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
A等，解法有新意和独到之处，答案正确．
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误．
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程．
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合
综合评价等级
评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
4. 作业分析与设计意图
作业第（1）题所给出的两个已知角均为△AFC 的两个内角，但所求的角并
不是△AFC 的内角，这是我们注意到已知△ABE≌△ACF ，即可把所求的角转
化为它的对应角 AFC ,再利用三角形内角和等于180 即可求得；第（2）题中所
求的FC 并不是题中所给出的两个全等三角形的边，但是它和这一对全等三角形
中的两条对应边 AC 、FD有密不可分的关系，结合已知条件 AF 1就不难得出
答案. 我们在解题是要充分结合所求的对象（是边还是角）来利用全等三角形的
性质；第（3）题我们要求的线段 AC 实际上是由两段构成，即 AF 和FC ，FC 的
长度已经告知，于是问题就转化为能否求出 AF 的长度，观察题中还有一个数据，
即 BF 10 cm，我们不禁思考这二者有何关系，再进一步的结合还未使用的已
知条件不难得出△ADF≌△BDF ，即可得到 AF BF ；第（4）题实际上是三角
形全等模型中的一类重要模型——一线三角型，从给出三组条件不难得出
33
△BDF≌△CED，从而可得 EDC DFC，进一步可得 FDE B；第（5）
题中的全等条件还是显而易见的，两组边都是这两个三角形的对应边，一组夹角
可以通过平行得出.对于第二问，则结合第一问的结论，由两个三角形全等得出
DC CE，根据等腰三角形的三线合一定理推出即可．
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
（1）如图，点 A 在 DE 上，AC EC，AB 4 ， 1 2 3，则DE ．
A E
D 1
3
B 2 C
（2）下列条件能够判断两个三角形全等的是（ ）
A．两个三角形周长相等
B．两个三角形有两条边和第三条边上的高分别相等
C．两个三角形有两条边和其中一条边上的中线分别相等
D．两个三角形有两条边和一对角分别相等
（3）已知 AD 是△ABC 的边 BC 上的中线， AB 12， AC 8，则中线 AD 的取
值范围是（ ）
A．2 AD 10 B． 4 AD 20 C．1 AD 4 D．以上都不对
（4）如图是由 4个相同的小正方形组成的网格图，则 1与 2 的关系是（ ）
A．相等 B．互余 C．互补 D．无法确定
1
2
（5）如图：E 在△ABC 的 AC 边的延长线上，AB AC ，D 点在 AB 边上，DE
交BC 于点 F ， DF EF ，求证：BD CE．
34
A
D
C
B F
B
2. 时间要求（10分钟以内）
3. 评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
A 等，答案正确、过程正确．
B 等，答案正确、过程有问题．
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，
过 程错误、或无过程．
A 等，过程规范，答案正确．
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确．
C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
A等，解法有新意和独到之处，答案正确．
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误．
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程．
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综
综合评价等级
合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
4. 作业分析与设计意图
作业第（1）题中只有唯一一个数据，即 AB 4 ，我们不禁思考DE 和 AB 到
底具有怎样的关系，从猜测它们相等到证明两个三角形全等，实际上是有一些难
度的，此题中的三角形全等是一类重要全等模型——手拉手，但此题中的证明全
等的条件有两组都是需要挖掘出来的，通过 1+ BAC 3 E 可以得出
BAC E，通过 2= 3可以得出 BCA DCE ，从而为手拉手全等创立条
件；第（2）题根据三角形全等的性质，我们可以推导出两个全等三角形的对应
边上的中线、高，对应角的角平分线，以及周长都是相等的，但是反之，是否成
立呢？这其实是数学问题中的一种逆向思维（是否具备充要性）；第（3）题是三
角形中点问题的一类常用的方法——倍长中线，在倍长的过程中，其实就无形的
产生了一组对应角，所谓倍长就是指延长后的线段和原线段等长，从而结合 SAS
35
即可证明两个三角形全等；第（4）题在网格中，要注意直角的运用，同时边的
关系也是相当灵活，比如本题中的 CD BC , FD BE ,于是我么就证明了
△EBC≌△FDC ，根据全等三角形的对应角相等可以得到 BEC 1，再根据
邻补角的概念证明结论；第（5）题在图中，BD,CE所在的三角形分别是△BDF
和△CEF ,从直观上，我们很容易发现这两个三角形是不全等的，那么如何利用
好 DF EF 这个条件是相当重要，这就需要我们重新构造一组全等三角形，如
何添加辅助线是解决本题的关键，实际上过D 作DG∥CE ，交BC 于点G ，证明
△DGF≌△ECF(ASA) ，由全等三角形的性质得到 DG CE，证明 BD GD，
即可解决问题．
第九课时（数学活动）
作业 1 基础性作业
1.作业内容
（1）如图，在△CAB与△FED 中， B DEF ， ACB F ，要使△ABC
≌△DEF ，还需要添加一组相等的边，则这组相等的边可以是：
① ；（判定依据： ）
② ；（判定依据： ）
③ ；（判定依据： ）
A D
B E C F
（2）如上题图，如果 AB∥DE ，AB=DE ，BE=CF ，则 AC∥DF 且 AC=DF 吗？
为什么？
（3）仔细观察上述两题的图形，我们可以发现它是由两个全等的三角形通过平
移拼成的，如果我们将两个全等的直角三角形重叠到一起，并将其中一个直角三
角形绕着直角顶点进行旋转，得到下图：
36
已知 AB ED ,BC DC ， BCA DCE 90 ，
①求证：△ABC≌△EDC .
②若BE 8，CD 3，求 AC 的长.
A
D
B C E
（4）如图，已知 AC 分别平分 BAD和 BCD，O是 AC 上任意一点.
求证：① AB AD ；②BO DO.
A
B D
O
C
（5）如图，已知 AB DB , ABC DBF ， C F ,
①求证：△ABC≌△DBF .
②连接 AD ，CF ，如果 AB CB，证明：△ABD≌△CBF .
A
D
B C
F
2.作业时间（15分钟）
3.评价设计
37
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B 等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，
过程错误、或无过程。
A 等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。
C 等，过程不规范或无过程，答案错误。
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综
综合评价等级 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
4.作业分析及设计意图
本课时作业设计的核心，是基于各种几何变换背景下的全等三角形判定和性
质的综合应用.作业第（1）题意在突出平移变换下图形的全等判定，学生需结合
已知条件，根据不同的判定定理，添加需要的条件.作业第（2）题在第（1）题
的基础做简单变式，学生需根据已知证明判定全等的相关条件，同时对全等的结
论作进一步的应用，是体现全等三角形判定和性质的综合运用.作业第（3）题意
在突出旋转变换下的全等判定及应用.作业第（4）题则是突出轴对称变换下的全
等判定及其应用.作业第（5）题是在旋转的背景，考查两次全等判定的综合应用，
是中考“手拉手”模型的典型.
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
（1）如图，已知△ABC 与△DCE 是等边三角形， B ，C ， E 三点在同一条直
线上，①求证： AE BD .②求 AE 与 BD的夹角 AOB的大小.
A
O D
B C E
38
（2）若将上题图中的△DCE 绕着点C 旋转，可以构成不同的图形，△ABC 与
△DCE 仍是等边三角形，你能找出三幅图中的全等三角形么？上题中的结论仍
然成立么？请选择任意一幅图，写出证明过程.
A A A
D E
E
D D
E
B C B C B C
图 1 图 2 图 3
2.作业时间（10分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级 备 注
评价指标
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B 等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，
过程错误、或无过程。
A 等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。
C 等，过程不规范或无过程，答案错误。
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综
综合评价等级 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
4.作业分析及设计意图
发展性作业的设计，是基于旋转背景下的“手拉手”全等模型的应用，在这
里取特殊的等边三角形为例.作业第（1）题来自经典的“手拉手”等边三角形全
等模型，学生可通过等边三角形中边与角的特殊性质，证明出△BCD≌△ACE ，
从而得到 AE=BD，进而再通过对应角相等，结合 AOB= OBE OEB，求得
答案.在这一图形中，还可以证明出其他的全等三角形及相关结论，教师可深入
挖掘应用.作业第（2）题则是在第（1）题的基础加以变式，而证法则极为类似，
本题体现了图形从特殊到一般的变化，体现旋转变换下的结论的不变性，教师在
39
应用本题时，还可进一步的将等边三角形拓展到一般三角形甚至是正方形等其他
图形，也可以进一步的总结出关于 AE与 BD 的夹角的相关结论.
六、单元质量检测作业
（一）单元质量检测作业内容
1．选择题
（1）如图的四个三角形中，与△ABC 全等的是 ( )
C
a b a b c
a
b a B c A
A． B． C． D．
（2）如图，在△ABC 和△DEF 中，AC∥DF ，AC=DF ，点 A ，D，B ，E 在
一条直线上，下列条件不能判定△ABC≌△DEF 的是 ( )
A． C F B． ABC DEF C． AB DE D．BC EF
A C F
D
B C F
A D B E
E
第（2）题图 第（3）题图
（3）如图，为了测量池塘两岸相对的 A ，B 两点之间的距离，小明同学在池塘
外取 AB 的垂线BF 上两点C ，D，BC CD ，再画出BF 的垂线DE ，使点E 与
A ， C 在同一条直线上，可得 △ABC≌△EDC ，从而 D E A B．判定
△A B C≌△ E D的C依据是 ( )
A． ASA B． SAS C． AAS D． SSS
（4）下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是 ( )
A．一个锐角和一条斜边分别对应相等
B．两条直角边分别对应相等
C．一条直角边和斜边分别对应相等
D．两个锐角分别对应相等
40
（5）根据下列条件不能画出唯一△ABC 的是 ( )
A． AB 5，BC 6， AC 7 B． AB 5，BC 6， B 30
C． AB 5， AC 4， C 90 D． AB 5， AC 4， C 45
（6） 如图，△ABC≌△DEC， A D ， B DEC，则下列结论：①BC CE ；
② AB DE ；③ ACE DCA；④ DCA ECB ．成立的是 ( )
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
（7）如图，在△ABC 中， B 40 ， C 60 ，AD 平分 BAC 交BC 于点D，
在 AB 上截取 AE AC，则 EDB的度数为 ( )
A．30 B．20 C．10 D．15
（8）如图， D 是 ABC 平分线上的一点， DA DC， DE AB ， DF BC ，
垂足分别为 E ，F ，已知 AB 4 ，BC 8，则CF 的长为 ( )
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
E
A
D
A D
C
E
A E B B D C B F C
第（6）题图 第（7）题图 第（8）题图
2．填空题
（9）已知：如图， CAB DBA，只需补充条件 ，就可以根据“ SAS ”
得到△ABC≌△BAD．
（10） 如图， A E ，AC BE ，AB EF ，BE 25，CF 8，则 AC ．
A
A
C D D E
F C P D
A B B C E B A B C
第（9）题图 第（10）题图 第（11）题图 第（12）题图
（11） 如图，已知 AB 3， AD 2，C 是 AD 的中点， D BAC 90 ，则
△ACE 的面积是 ．
（12） 如图， AB BC AD，点 P 在四边形 ABCD中， PA PC， PA平分
BAD，设 ABC ， ADP ，则 与 满足的数量关系是 ．
41
3．解答题
(13) 已知，如图， AB AE ， AB∥DE ， ECB 65 ， D 115 ，
求证：△ABC≌△EAD．
D E
C
A B
(14) 已知：Rt△ABC中， B 90 ，D是BC 上一点，DF BC交 AC 于点H ，
且DF BC ，FG AC 交BC 于点E ．求证： AB DE ．
F
A
G
H
B E D C
(15) 如图所示，在△ABC 中，AD BC 于D，CE AB 于 E ，AD 与CE交于
点F ，且 AD CD ．①求证：△ABD≌△CFD； ②已知BC 6，AD 4，求 AF
的长．
A
E
F
B D C
4、素养拓展选做题
(1) 如图，在△ABC 中，BD平分 ABC，若 AD BC，2 C 180 A ,则下
列关于 AB、BC的关系描述正确的是（ ）提示：在三角形中，相等的角对的
边相等.
A
D
B C
42
A. AB 2BC B. AB 2BC
C. AB 2BC D. AB 与2BC的关系无法判断
(2) 如图， 在△ABC 中， AB AC , ABC ACB , BAC 130 ,点D、E 是
边BC 上的两点，且满足 ADC AEB 60 ,将△AEC 沿着直线 AE 翻折得到
△AEF ,连接BF ，则 BFE
A
B D E C
F
(3) 如图，△ABC 是等腰直角三角形， ACB 90 ，点D是BC 的中点，以 AD
为腰，点D为直角顶点向下作等腰直角△ADE ，连接CE，求证： DCE ACE .
B
D
C
A
E
(二)命题设计说明:
（1）本题考查了全等三角形的判定定理，考查学生对全等三角形的判定定理的
辨析理解熟练程度.
（2）本题考查了全等三角形的判定，能根据题目中的已知条件正确选用全等三
角形的判定方法是解决问题的关键．
（3）此题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的
关键．
（4）本题考查了直角三角形全等的判定方法；本题主要利用三角形全等的判定，
43
运用好有一对相等的直角这一隐含条件是解题的关键．
（5）本题全面考查了全等三角形的判定定理，能理解并熟记全等三角形的判定
定理是解此题的关键（ SAS ， ASA， AAS ， SSS ，HL ）
（6）此题主要考查了全等三角形的判定和性质，掌握并运用全等三角形的对应
边相等，对应角相等的性质是解决问题的关键．
（7）本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，利
用 SAS 证明△EAD≌△CAD是解题的关键．
（8）本题主要考查了全等三角形的判定与性质，方程的思想运用，利用 AAS ，
HL 证明△DEA≌△DFC ，得到CF AE ,再利用方程思想求得CF 是解题的关键．
（9）此题主要考查了对全等判定定理的理解．
（10）本题考查了全等三角形的判定和性质的综合运用，证明三角形全等是解题
的关键．
（11）本题考查全等三角形的判定和性质的综合运用，理解三角形面积的求法，
掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
（12）本题考查学生熟练结合题目已知条件，做出简单的辅助线，利用三角形全
等判定定理及性质定理，得到题目答案.正确添出辅助线是解决本题的关键.
（13）此题考查全等三角形的判定，关键是根据 AAS 证明三角形全等．也考查
了平行线的性质及邻补角定义，培养学生综合分析和处理问题的能力.
（14） 本题综合考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关
键．
（15）本题综合考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，证
明△ABD≌△CFD是解题的关键．
第 4 大题设计了三道素养拓展选做题，供学有余力的同学参考，意在满足部
分优秀学生深入拓展的需求，培养学生的探究精神和战胜困难的毅力。
（二）单元质量检测作业属性表
对应单元 对应学
序号 类型 难度 来源 完成时间
作业目标 了解 理解 应用
1 选择题 1 √ 易 选编
40分钟
2 选择题 2 √ 易 选编
44
3 选择题 3 √ 易 选编
4 选择题 2 √ 易 选编
5 选择题 2 √ 易 改编
6 选择题 1、2 √ 易 改编
7 选择题 1、2、3 √ 中 选编
8 选择题 1、2、3 √ 较难 改编
9 填空题 2 √ 易 选编
10 填空题 2、3 √ 易 选编
11 填空题 1、2 √ 中 改编
12 填空题 1、2、3 √ 较难 选编
13 解答题 2 √ 易 选编
14 解答题 2、3 √ 中 选编
15 解答题 1、2、3 √ 较难 改编
1 选择题 2、3 √ 中等 创编
2 填空题 1、2、3 √ 中等 创编 选做题
3 解答题 1、2、3 √ 较难 创编
七、作业答案与简析
14.1 全等三角形
作业 1（基础性作业）
（1）【答案】D
【解析】
A.形状相同的两个图形大小不一定相等，所以，不是全等图形，故本选项错误；
B.周长相等的两个图形形状、大小都不一定相同，所以，不是全等图形，故本选
项错误；
C.面积相等的两个图形形状、大小都不一定相同，所以，不是全等图形，故本选
项错误；
D.能够完全重合的两个图形是全等图形，故本选项正确．
（2）【答案】D
【解析】 △ABC≌△DEF， A 80 ， C 62 ，
F C 62 ， D A 80 ，
E 180 D F 180 80 62 38 ，．
45
（3）【答案】D
【解析】 △ABC≌△DEF ， AB DE ， AC DF ， BC EF ， BE CF ，
故 A ， B ，C 正确．
（4）【答案】 B
【解析】 △ACB≌△A CB ， ACB A CB ，
ACB A CB A CB A CB，
ACA BCB 30 ．
（5）【答案】70
【解析】 △ABC≌△DEF ， B E 60 ， F C 180 A B 70 ．
作业 2（发展性作业）
（1）【答案】22
【解析】 两个三角形全等， x 12， y 10， x y 10 12 22．
（2）【答案】26
【解析】由平移的性质可知，△ABC≌△DEF ， DE AB 8 ， BE 4 ，
S ， ABC S DEF
OE DE DO 8 3 5， 阴影部分的面积 S ABC S OEC S =26梯形 ， ABEO
（3）【答案】70
【解析】 △ABC≌△ADE ， AB AD， BAC DAE，
BAC DAC DAE DAC，
BAD EAC， EAC 40 ， BAD 40 ， AB AD，
1
B ADB (180 BAD) 70 ．
2
（4）【答案】135
AB AE

【解析】 在 ABC 和 AEF 中， B E ， △ABC≌△AEF(SAS)， 4 2，

BC FE
46
1 4 90 ， 1 2 90 ， AE DE ， AED 90 ， 3 45 ，
1 2 3 135
（5）【答案】 B
【解析】 △ABC≌△DEF ， B E 60 ， C F 40 ，
DF / /BC 1 C， 1 F ，
AC / /EF ，
2 E 60 ．
BAC 180 B C 180 60 40 80
BAD BAC 2 80 60 20 ．
E
A
2
1
F
D
B C
14.2.1 三角形全等的判定 SAS
（1）【答案】 B
【解析】 A . AB DC，不能根据 SAS 证两三角形全等，故本选项错误；
B . 在△AOB 和△DOC 中
OA OD

AOB COD， △AOB≌△DOC(SAS)，故本选项正确；

OB OC
C .两三角形相等的条件只有OA OD和 AOB DOC，不能证两三角形全等，
故本选项错误；
D .根据 AOB DOC和OA OD，不能证两三角形全等，故本选项错误；
（2）【答案】 B
1 1
【解析】 点 D ， E 分别是 AB ， AC 的中点， AD AB， AE AC ，
2 2
47
AB AC，
AD AE ，在△ACD和△ABE 中
AD AE

A A ，

AC AB
△ACD≌△ABE(SAS) ．
（3）【答案】添加 AB AC
【解析】 AB AC ， A A， AD AE ，
△ABE≌△ACD(SAS)
（4）【答案】 SAS
【解析】在△ABC 和△ADC 中
AB AD

BAC DAC ，

AC AC
△ABC≌△ADC(SAS)．
（5）【答案】 AF 平分 BAC
【解析】所给条件为 AF 平分 BAC ．
BAF CAF DAF EAF ，
又 AD AE ， AF 为公共边．
△ADF≌△AEF (SAS)．
（6）【答案】△ABC ，△DBE
【解析】 ABD EBC，
ABD DBC EBC DBC，
ABC DBE ，
AB BD

在△ABC 和△DBE 中 ABC DBE，

BC BE
△ABC≌△DBE(SAS) .
48
作业 2（发展性作业）
（1）【证明】
在△AEB和△DEC 中
AE DE

AEB DEC ，

EB EC
△AEB≌△DEC(SAS) ，
BAE CDE ， AB CD，
EA ED ，EB EC ，
AC BD，
在△ABC 和△DCB中
BA CD

BAC CDB

AC DB
△ABC≌△DCB(SAS)．
（2）【答案】C
【解析】设当△BPD 与△CQP全等时点Q的运动速度为每秒 x单位长度，时间
为 t ，
AB AC，
B C ，
AB 10，D 为 AB 的中点，
BD 5，
要使△BPD 与△CQP全等有两种情况：①BD CP ，BP CQ，
即3t xt ，
解得： x 3；
②BD CQ，BP CP，
即5 xt ，3t 8 3t ，
49
4 15
解得： t ， x 3.75．
3 4
14.2.2 三角形全等的判定 ASA
作业 1（基础性作业）
（1）【答案】 A
【解析】A.已知两角及其夹边可以确定唯一的一个三角形；
B.只有两个元素，不能确定三角形形状大小；
C.不满足三角形的三边关系，不能构成三角形；
D.已知两边及一边所对的角，不能确定唯一的三角形.
（2）【答案】(答案不唯一) ∠ACB ∠DFE ASA.
【解析】根据题目的条件，可得BC=EF ，∠B ∠E，因此，根据 ASA可添加
∠ACB ∠DFE ，也可根据添加 AB=DE .
（3）【解析】∵DE∥BF，AD∥BC
∴∠DEA BFC， A C
∵ AF CE，
∴ AF EF CE EF ，即 AE CF .
在△ADE和△CBF中，
DEA BFC

AE CF

A C
△ADE≌△CBF ( ASA)
（4）【解析】证明：1)∵∠BHD AHE， BDH AEH 90 ，
∴ DBH BHD ∠HAE AHE 90 ，
∴∠DBH HAE，即 DBH DAC .
2)∵ AD BC
∴ ADB ADC 90 .
在△BDH和△ADC中,
50
BDH ADC

BD AD

DBH DAC
△BDH≌△ADC ( ASA)
（5）【解析】证明：1)在△AOB和△COD中，
∵∠1和∠2，∠AOB ∠COD，
∴∠B ∠D .
2)∵∠1 ∠3，
∴∠1 ∠DAC ∠3+∠DAC ，即∠BAC ∠DAE .
在△ABC与△ADE中，
BAC DAE

AB AD

B D
△ABC≌△ADE(ASA) .
（6）【解析】（本题还可找外角关系）
1)证明：∵ AE 和 BD相交于点O，
∴∠AOD ∠BOE .
在△AOD与△BOE中，
∵∠A ∠B，∠AOD ∠BOE，
∴∠2 ∠BEO.
又∵∠1 ∠2 ，
∴∠1 ∠BEO .
∴∠AEC ∠BED .
在△AEC与△BED中，
A B

∵ AE BE

AEC BED
∴△AEC≌△BED(ASA)
51
2)∵△AEC≌△BED，
∴∠C ∠BDE .
∵∠C 69 ,
∴∠BDE 69 .
作业 2（发展性作业）
（1）【解析】题目中有两个垂直条件： AD⊥l ，BE⊥l .可以转化得到∠ACD 的
两个互余关系：∠ACD ∠ECB 90 和∠ACD ∠1 90 ，根据同角的余角相等，
可以得到∠1 ∠ECB.再结合∠ADC ∠CEB 90 ，AC BC，即可利用 AAS 证
明△ADC≌△CEB .从而得到线段相等关系： AD CE,DC BE .
最后，我们可以把结论中的 AD 和用相等的边 CE 和 DC 替换，得到
AD BE CE CD DE ，即DE AD BE .
（2）【解析】∵MN 平分 AMC ，
∴∠AMN CMN .
∵MN⊥AC ，
∴∠MNA ∠MNC 90 .
在△AMN和△CMN中，
AMN CMN

MN MN

MNA MNC
∴△AMN≌△CMN .( ASA)
∴ AN=CN，AM CM .(全等三角形的对应边相等)
∵ AN=2 cm
∴ AC=2 2 4 (cm).
∵ AB BM AM 9cm，所以 AB BM CM AB BC 9cm.
∴ AB BC AC 9 4 13cm，即△ABC的周长为13cm.
（3）【解析】这道题中出现了条件： BE 是∠ABC 的平分线，可转化为
∠ABD ∠CBD .尝试围绕角度相等作辅助线：延长 AD 交BC 于点F .
52
利用 ASA可证△ABD≌△FBD．所以∠2 ∠DFB .
最后，根据图形条件，我们可以找到外角关系∠DFB ∠1+ C，用相等的
角替换之后，即可证明∠2 ∠1+ C .
14.2.3 三角形全等的判定 SSS
作业 1 基础性作业
（1）【答案】 B （2）【答案】 A （3）【答案】①③
（4）【解析】 BE CD，
BE ED CD ED ，即BD CE .
在△ABD和△ACE中，
AB AC， AD AE ，BD CE ，
△ABD ≌△ACE .
（5）【解析】 点C 是 AB 的中点，
AC CB .
在△ACD和△CBE中，
AC CB， AD CE ，CD BE，
△ABD ≌△ACE，
∠ACD=∠B，
CD∥BE .
作业 2 发展性作业
（1） 【解析】 AD AE ，理由如下：
在△ACD和△CBE中，
AB AC， AD AE ，BD CE ，
53
△ABD ≌△ACE，
∠BAD=∠CAE ，
∠BAD ∠CAD=∠CAE ∠CAD，即∠BAC=∠DAE ，
AD⊥AE .
（2）【解析】如图，连接OE ， A C O
在△AOE和△COE中，
D B
OA OC ，EA EC ，OE OE，
△AOE≌△COE， E
∠A=∠C .
（3）【解析】连接BD ，
1）在△ABD和△DCB中， A D
AB CD，AD BC，BD DB，
△ABD≌△DCB ， B C
∠A=∠C .
2） AB∥CD，AD∥BC，
∠ABD ∠CDB，∠ADB ∠CBD.
在△ABD和△DCB中，
∠ABD ∠CDB，BD DB，∠ADB ∠CBD，
△ABD≌△DCB ，
∠A=∠C .
3） AB∥CD，
∠ABD ∠CDB，
在△ABD和△DCB中，
54
AB CD，∠ABD ∠CDB，BD DB，
△ABD≌△DCB，
∠A=∠C .
14.2.4 三角形全等的判定 AAS
作业 1 基础性作业
（1）【答案】A （2）【答案】A （3）【答案】∠B=∠C （4）【答案】15
（5）【解析】 AE CF ，
AE EF CF EF ，即 AF CE .
AD∥BC ，
∠A=∠C .
在△AFD和△CEB中，
AF CE，∠A ∠C，∠D ∠B，
△AFD≌△CEB .
作业 2 发展性作业
（1）【答案】45°
（2）【解析】 ∠ACB=90 ， AD l，BE l .
ADC CEB 90 ， DAC DCA DCA ECB 90 ，
DAC ECB.
在△ADC和△CEB中，
DAC ECB， ADC CEB，AC CB，
△ADC≌△CEB，
AD CE，DC EB，
DE DC+CE AD BE .
55
（3）【解析】如图，过点D作DE AC，DF AB ，分别交 AC 的延长线和 AB
边于点E，F ，
DE AC，DF AB ，
E
AED AFD BFD 90 . C
D
AD 平分 BAC ， ∠EAD=∠FAD .
在△AED和△AFD中， A F B
②
AED AFD， EAD FAD，AD AD
△AED≌△AFD ， ED FD .
∠A B D ∠ A C=D1 8 0，∠ E C∠D A =C1D，8 0
∠ECD ∠FBD，.
在△CED和△BFD中，
CED BFD， ECD FBD，ED FD，
△CED≌△BFD，
DC DB.
14.2.5 三角形全等的判定HL
作业 1（基础性作业）
（1）【答案】 B .
【解析】两个直角三角形有一条公共边和一个直角分别相等，添加 AB CD可用
“SAS”判定两个三角形全等，故 A 项不符合题意；添加 AD BC可用 “HL”判定
两个三角形全等，故 B 项符合题意；添加 A C 可用“AAS”判定两个三角形
全等，故C 项不符合题意；添加 ADB CBD可用“ASA”判定两个三角形全等，
故D 项不符合题意.
（2）【答案】C .
【解析】共有 3对直角三角形全等，分别为:△ADC≌△AEB，△BOD≌△COE ，
56
△ADO≌△AEO .
（3）【答案】90 .
【解析】 AC BC ，DE AC， C AED 90 .
在 Rt△ABC 和 Rt△DAE 中，
BC AE

AB DA
Rt△ABC≌Rt△DAE. HL .
B CAD.
C 90 ,
B BAC 90 .
BAD BAC CAD BAC B 90 .
（4）【证明】 CE AB，DF AB ，
CEA DFB 90 .
在 Rt△ACE和 Rt△BDF 中，
AC BD

CE DF
Rt△ACE≌Rt△BDF. HL .
A B .
AC / /BD.
（5）【答案】 B .
【解析】 AE CE 于点 E ，BD CD于点D ，
AEC D 90 .
在 Rt△AEC 与 Rt△CDB中，
AC CB

AE CD
Rt△AEC≌Rt△CDB. HL .
CE BD 2，CD AE 7，
57
DE CD CE 7 2 5.
（6）【证明】 A D 90 ,
∴△ABC和△DCB都是直角三角形.
在 Rt△ABC 和 Rt△DCB中，
AC DB

BC CB
Rt△ABC≌Rt△DCB. HL .
AB DC .
在△ABO 和△DCO 中，
AOB DOC

A D

AB DC
△ABO≌△DCO. AAS .
OB OC .
作业 2（发展性作业）
（1）【解析】根据直角三角形全等的判定方法HL 可知：
①当点 P 运动到 AC 的中点时，有CP AP 5 cm， BC PA.
在 Rt△ABC 与Rt△QPA中，
BC PA

AB QP
Rt△ABC≌Rt△QPA. HL .
∴当点 P 运动到 AC 的中点时, △ABC 和△QPA全等；
②当点 P 运动到与C 点重合时， AC AP .
在 Rt△ABC 与Rt△PQA中，
CA AP

AB PQ
58
Rt△ABC≌Rt△PQA. HL .
∴当点 P 与点C 重合时，△ABC 和△PQA全等.
综上所述，当点 P 运动到 AC 的中点或点 P 与点C 重合时，△ABC 才能和△PQA
全等.
（2）【解析】①证明：在 Rt△ABH 和Rt△DEG 中，
AB DE

AH DG
Rt△ABH≌Rt△DEG. HL .
BH EG .(全等三角形的对应边相等)
在 Rt△ACH 和 Rt△DFG 中，
AC DF

AH DG
Rt△ACH≌Rt△DFG. HL .
CH FG .
BH CH EG FG，即BC EF .
在△ABC和△DEF 中，
AB DE

AC DF

BC EF
△ABC≌△DEF. SSS .
②这句话不对.
理由：如图所示，在△ABC 和△ABD 中，AC AD，AB AB ，AE AE ，
两个三角形具备两边及第三边上的高分别相等，但这两个三角形不全等.
（3）【解析】过点D 作DE BA于点 E ，DF BC交BC 的延长线于点F .
BD 平分 ABC，
ABD CBD，
59
又 DEB＝ DFB＝90 ， BD＝BD
△DBE≌△DBF. AAS .
DE DF .
又 AD AD ，
Rt△DEA≌Rt△DFC. HL .
A DCF.
A BCD DCF BCD 180 .
14.2.6 三角形全等的判定综合运用
作业 1 基础性作业
（1）【答案】D
【解析】在Rt△ABC≌和Rt△BAD中，
AB BA
，
AC BD
∴ Rt△ABC≌ Rt△BAD（HL）
（2）【答案】C
【解析】
A ． AD BC ， AB BA ， 1 2 ，不符合全等三角形的判定定理，不能推出
△BDA≌△ACB ，故本选项不符合题意；
B ． AB BA ， 1 2 ， BD AC ，符合全等三角形的判定定理 SAS ，能推出
△BDA≌△ACB ，但不是 AAS ，故本选项不符合题意；
C ． 1 2 ， D C ， AB BA，符合全等三角形的判定定理 AAS ，能推出
△BDA≌△ACB，故本选项不符合题意；
D ． OA OB ， 1 2 ，
条件 1 2和 AB BA，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△BDA≌△ACB ，
故本选项不符合题意；
（3）【答案】A
【解析】
A ．根据 SAS 定理可判定两个三角形全等，故此选项符合题意；
60
B ． SSA不能证明两个三角形全等，故此选项不符合题意；
C ． AAA不能证明两个三角形全等，故此选项不符合题意；
D．两个三角形面积相等不能证明两个三角形全等，故此选项不符合题意；
（4）【答案】 AB AD ； B D； ACB ACD
【解析】1）添加条件 AB AD ，
在△ABC 和△DCB中，
AB AD

BAC DAC，

AC AC
△ABC≌△ADC(SAS) ，
2）添加条件 B D，
在△ABC 和△DCB中，
BAC DAC

B D ，

AC AC
△ABC≌△ADC(AAS) ，
3）添加 ACB ACD，
在△ABC 和△DCB 中，
BAC DAC

AC AC ，

ACB ACD
△ABC≌△ADC(ASA)，
（5）【解析】 1 2，
1 EAC 2 EAC ，
即 BAC EAD，
在△ABC 和△AED 中，
BAC EAD

AB AE ，

B AED
△ABC≌△AED(ASA)．
61
作业 2（发展性作业）
（1）【答案】B
【解析】 OE是 AOB的平分线，BD OA， AC OB，
ED EC ，
在 Rt△OED和 Rt△OEC 中，
OE OE
，
ED EC
Rt△OED≌ Rt△OEC(HL)
OD OC ，
在△AED 和△BEC 中，
EDA ECB

ED EC ，

AED BEC
△AED≌△BEC(ASA)；
AD BC，
OD AD OC BC，即OA OB ，
在△OAE 和△OBE 中，
OA OB

AOB BOC ，

OE OE
△OAE≌△OBE(SAS) ，
在△OAC 和△OBD中，
OA OB

AOC BOD ，

OC OD
△OAC≌△OBD(SAS)．
（2）【答案】8 或 4．
【解析】 AC BC ， AP AC，
62
ACB EAD 90 ，
DE AB ，
当 AD AC 8cm 时，根据“HL ”可判断Rt△ADE≌Rt△CAB；
当 AD BC 4cm 时，根据“HL ”可判断Rt△ADE≌Rt△CAB；
综上所述，当 AD 8cm或4cm时，△ADE 和△ABC 全等．
（3）【答案】6
【解析】 CB AD， AE CD，
ABF CBD 90 ， FEC 90 ，
AFB EFC ，
A C ，
在△ABF 和△CBD中，
ABF CBD

AB BC ，

A C
△ABF≌△CBD(ASA) ，
BF BD ，
BF BC CF 8 2 6，
BD 6，
1 1
图中阴影部分面积 FC BD 2 6 6．
2 2
（4）【解析】
①证明： AE 平分 BAD，
BAE FAE ，
在△ABE 和△AFE 中，
AB AF

BAE FAE ，

AE AE
△ABE≌△AFE(SAS)；
②证明：由（1）知，△ABE≌△AFE ，
EB EF ， AEB AEF ，
63
BEC 180 ， AED 90 ，
AEB DEC 90 ， AEF DEF 90 ，
DEC DEF ，
点 E 为BC 的中点，
EB EC ，
EF EC，
在△ECD和△EFD 中，
EC EF

DEC DEF ，

ED ED
△ECD≌△EFD(SAS) ，
DC DF ，
AD AF DF ， AB AF ，
AD AB CD．
B A
F
E
C D
数学活动
作业 1 基础性作业
（1） 【答案】1）CB FE ；（判定依据： ASA）
2）CA FD；（判定依据： AAS ）
3） AB DE ；（判定依据： AAS ）
（2）【解析】 AC∥DF 且 AC=DF ，理由如下：
AB∥DE ，
64
B= DEF .
BE=CF ，
BC=EF .
在△ABC和△DEF中，
AB=DE ， B= DEF ，BC=EF ，
△ABC≌△DEF(SAS)，
AC=DF， ACE= F ，
AC∥DF .
（3）【解析】1）证明：在Rt△ABC和Rt△EDC中，
AB ED，BC EF ，
Rt△ABC≌Rt△EDC .
2）由 1）可知：Rt△ABC≌Rt△EDC ，BC DC 3，
AC EC BE BC 8 3 5.
（4）【解析】 1） AC 分别平分 BAD和 BCD，
BAC和 DAC ， BCA和 DCA.
在△ABC和△ADC中，
BAC= DAC， AC=AC ， BCA= DCA，
△ABC≌△ADC，
AB=AD .
2） 在△ABO和△ADO中，
BAC= DAC， AO=AO， AB=AD ，
△ABO≌△ADO，
BO=DO .
（5）【解析】1） 在△ABC和△DBF中，
65
AB=DB， ABC= DBF ， C= F ，
△ABC≌△DBF .
2）由 1）可知：△ABC≌△DBF ， AB=DB ，
BC=BF .
AB BC，
BD BF .
ABC= DBF ，
A B C D B=C D B F D，B即C ABD= CBF .
在△ABD和△CBF中，
AB BC， ABD= CBF，BD BF ，
△ABD≌△CBF .
作业 2 发展性作业
（1）【解析】
1） △ABC与△DCE 是等边三角形，
BC AC，DC EC， ACB DCE 60 ，
BCD ACE 120 .
在△DBC和△EAC中，
BC AC， BCD ACE，DC EC，
△DBC≌△EAC，
AE BD .
2）由 1）可知：△DBC≌△EAC，
CBD CAE .
AOB CBD CEA，
AOB CAE CEA 180 ACE 60
（2）成立，以第一幅图为例，证明如下：
△ABC与△DCE是等边三角形，
BC AC，DC EC， ACB DCE 60 ，
66
BCD ACE .
在△DBC与△EAC中，
BC AC， BCD ACE，DC EC，
△DBC≌△EAC，
AE BD ， CBD CAE .
AOB CAE CBD ACB，
AOB ACB 60 .
单元评价
1.【答案】B
【解析】 A ．两边和其中一边的对角对应相等，不符合全等三角形的判定定理，
不能推出两三角形全等，故本选项不符合题意；
B ．两边和两边的夹角（夹角的度数是50 分别对应相等，符合全等三角形的判
定定理 SAS ，能推出两三角形全等，故本选项符合题意；
C ．两三角形的三角对应相等，不符合全等三角形的判定定理，不能推出两三角
形全等，故本选项不符合题意；
D．两三角形的三角对应相等，不符合全等三角形的判定定理，不能推出两三角
形全等，故本选项不符合题意；
2.【答案】D
【解析】 AC / /DF ，
A FDE ，
AC DF ，
当添加 C F 时，根据“ ASA”可判断△ABC≌△DEF ；
当添加 ABC DEF 时，根据“ AAS ”可判断△ABC≌△DEF ；
当添加 AB DE 时，根据“ SAS ”可判断△ABC≌△DEF ．
3. 【答案】 A
【解析】因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：BC CD，
ABC EDC 90 ， ACB ECD（对顶角相等），
67
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等，即 ASA这一方法．
4.【答案】D
【解析】A.可以利用角角边判定两三角形全等，不符合题意；
B.可以利用边角边判定两三角形全等，不符合题意；
C.可以利用边角边或HL 判定两三角形全等，不符合题意；
D.两个锐角对应相等，不能说明两三角形能够完全重合，符合题意．
5.【答案】D
【解析】解： A ．符合全等三角形的判定定理 SSS ，能作出唯一的△ABC ，故
本选项不符合题意；
B ．符合全等三角形的判定定理 SAS ，能作出唯一的△ABC ，故本选项不符合
题意；
C ．符合两直角三角形全等的判定定理HL ，能作出唯一的△ABC ，故本选项不
符合题意；
D．不符合全等三角形的判定定理，不能作出唯一的△ABC ，故本选项符合题
意；
6. 【答案】 B
【解析】 △ABC≌△DEC ，
BC CE ， AB DE ， DCE ACB，
DCE ACE ACB ACE，
即 DCA BCE ，
只由CE是 ACB 的平分线时，才能证明 ACE DCA，
正确的结论有①③④，共 3 个，
7. 【答案】 B
【解答】 AD平分 BAC ，
BAC CAD，
在△EAD 和△CAD中，
68
AE AC

EAD CAD，

AD AD
△EAD≌△CAD(SAS)，
AED C 60 ，
EDB AED B 60 40 20 ，
8.【答案】CF 2
【解析】∵ BD 平分 ABC
∴ EBD FBD
∵ DE AB ，DF BC
∴ DEB DFB
在△BED 和△BFD 中
DEB DFB

EBD FBD

BD BD
∴△BED≌△BFD(AAS)
∴ DE DF
又在Rt△AED和Rt△CFD中
DE DF , DA DC
∴ Rt△AED≌Rt△CFD
∴CF AE
设CF a，可得：8 a 4 a，解得：a 2
9.【答案】 AC BD
【解析】补充条件 AC BD．
理由：在△ABC 和△BAD 中，
AC BD

CAB DBA，

AB BA
∴△ABC≌△BAD(SAS)．
69
10【答案】17
【解析】在△ABC 和△EFC 中，
A E

ACB ECF ，

AB EF
△ABC≌△EFC(AAS) ，
BC CF 8， AC CE，
BE BC CE 25，
CE 25 8 17，
AC CE 17，
3
11. 【答案】
2
【解析】在△ABC 和△DEC 中，
D BAC

AC CD ，

DCE ACB
△ABC≌△DEC(ASA)，
DE AB 3，
又 D 90 ，
1 1 3
S ACE AC DE 1 3 ，
2 2 2
A
12.【答案】 2
【解析】连接PB，
P D
PA平分 BAD，
B C
PAB PAD ，
在△PAB和△PAD 中，
AB AD

PAB PAD，

AP AP
△PAB≌△PAD(SAS) ，
70
PB PD， ABP ADP ，
在△ABP和△CBP 中，
AB CB

PB PB ，

PA PC
△ABP≌△CBP(SSS)，
ABP CBP，
ABC 2 ABP，
2 ．
13. 【解析】 ECB 65 ，
ACB 180 ECB 115 ．
又 D 115 ，
ACB D．
AB / /DE ，
CAB E ．
在△ABC 和△EAD 中，
ACB D

CAB E ，

AB AE
△ABC≌△EAD(AAS) ．
14. 【解析】 FG AC，FD BC，
ABC FDE EGC 90 ，
A C 90 C GEC ，
A GEC，
在△ABC 和△EDF 中，
A GEC

ABC FDE ，

BC DF
△ABC≌△EDF(AAS)，
71
AB DE ．
15. 【解析】（1）证明： AD BC ，CE AB ，
ADB CDF CEB 90 ，
BAD B FCD B 90 ，
BAD FCD，
在△ABD 和△CFD中，
ADB CDF

AD DC ，

BAD FCD
△ABD≌△CFD(ASA)；
（2）解： △ABD≌△CFD，
BD DF ，
BC 9， AD DC 6，
BD BC CD 3，
AF AD DF 6 3 3．
素养拓展选做题
（1）【答案】 B
【解析】在BA上取一点

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