资源简介

初中数学解直角三角形单元作业
一、 单元信息
学科 年级 学期 教材版本 单元名称
基本
信息 第23章
数学 九年级 第一学期 沪科版
解直角三角形
单元组
■自然单元 □重组单元
织方式
序号 课时名称 对应教材内容
23.1锐角的三角函数
1 锐角的三角函数----正切
(P112-114)
锐角的三角函数----正弦 23.1锐角的三角函数
2
和余弦 (P115-116)
23.1锐角的三角函数
3 特殊角的三角函数值
(P117-118)
4 互余角三角函数的关系 23.1锐角的三角函数(P119)
课时
23.1锐角的三角函数
信息 5 一般锐角的三角函数值
(P120-122)
23.2解直角三角形及其应用
6 解直角三角形
(P124-125)
解直角三角形的应用1 23.2解直角三角形及其应用
7
（仰角与俯角） (P126-127)
解直角三角形的应用2 23.2解直角三角形及其应用
8
（方位角与方向角） (P127-128)
解直角三角形的应用3 23.2解直角三角形及其应用
9
（坡度与坡角） (P128-129)
二、单元分析
（一）课标要求（2021年版）
1.内容标准
利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sinA，cosA，tanA），
知道30o，45 o，60 o角的三角函数值；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数
值，由已知三角函数值求它的对应锐角；能用锐角三角函数解直角三角形，并用
相关知识解决一些简单的实际问题。
- 1 -
2.课程目的
课标在“知识技能”方面指出：体验从具体情境中抽象出数学符号的过程，
理解代数式、方程、函数；探索具体问题中的数量关系和变化规律，掌握用代数
式、方程、不等式、函数进行表述的方法。
在“数学考虑”方面指出：通过用代数式、方程、不等式、函数等表示数量
关系的过程，体会模型的思想，建立符号意识；在研究图形性质过程中，进一步
发展空间观念，经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观。
在“问题解决”方面指出：初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题
和提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识，
提高实践能力；经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解
决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法。
在“情感态度”方面指出：积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲；
在运用数学表述和解决问题的过程中，认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特
点，体会数学的价值。
3.核心素养
数学核心素养包括以下几个方面：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想
象、数学运算、数据分析。中学阶段是培养学生数学核心素养的一个重要时期，
而三角函数、解直角三角形就是一个很好的载体。
数学运算能力作为初中学生数学核心素养的基本功，它既是学生数学学习的
核心能力，也是教师数学“双基”教学的关键组成部分，学生数学运算能力的培
养和提升是初中数学教学的硬核标准，真可谓是重中之重。本单元涉及的数学运
算有：特殊角的三角函数值参与的实数运算、三角函数中的边角关系计算、数学
建模中运用三角函数建立方程的求解计算等，这些运算方法和技能是学生必须掌
握的，是各类测试考查的重要方面，所以应重视学生运算能力的培养。
数学建模，就是将实际问题抽象成纯数学问题而建立数学模型，对数学模型
来进行求解，然后根据结果去解决实际问题。直观想象这一数学核心素养形成的
过程，是“数学化”的过程，即探究的过程，思考的过程，抽象的过程，预测的
过程，推理的过程，反思的过程。数学建模和直观想象的思想是非常重要的数学
思想，而解直角三角形应用（如仰角俯角、方位角、坡度等）作为考查应用能力
- 2 -
的题目一直是中考的热点，这类问题都可以通过建立三角形等模型，运用三角形
的相关知识理解题目给出的示意图或自己画出示意图，找出要解的直角三角形，
从而解决实际问题。
（二）教材分析
1.知识网络
2.内容分析
本单元内容包括:“锐角的三角函数”、“特殊角的三角函数值”、“解直角三
角形及其应用”三个方面。直角三角形中边角之间的关系，是现实世界中应用广
泛的关系之一，它是联系几何与代数的桥梁,在解决现实问题中有着重要的作用。
“三角形”、 “勾股定理”、“相似形”等单元已经让学生了解了直角三角形的概
念，知道了直角三角形角与角、边与边之间的关系，掌握了三角形的相似和推理
证明等知识，为本单元的学习打下了一定的基础。因此，本单元的内容是对直角
三角形的边与角之间关系的进一步探究和应用， 是相似的延续和升华。同时,
解直角三角形还有利于数形结合，通过这一单元的学习, 学生对直角三角形的概
念有较为完整的认识。另外有些简单的几何图形可分解为-些直角三角形的组合,
从而也能用本章的知识加以处理，以后学生学习斜三角形的余弦定理,正弦定理
和任意三角形的面积公式时,也要用到解直角三角形的知识，因此，它又是沟通
初中数学和高中数学的一条通道。本单元的内容是直角三角形知识的重点部分之
一，也是解决数学问题和利用数学知识解决实际问题的有效工具。
（三）学情分析
- 3 -
本单元是学生在学习了函数、数的开方、二次根式、勾股定理、相似三角形
基础上学习的，主要由锐角三角函数和解直角三角形两部分内容构成。通过前面
的学习，学生已认识了直角三角形中角的关系（直角三角形两个锐角互余）和边
的关系（勾股定理），本单元的内容是对直角三角形的边与角之间关系的进一步
探究和应用，是相似的延续和升华。锐角三角函数中的“函数”，是学生理解的
难点，因为锐角三角函数与学生以前所学的一次函数、二次函数及反比例函数有
所不同，它揭示的是角度与数值（线段比值）的对应关系。通过相似三角形得出
结论：当一个锐角的度数一定时，这个角的对边与邻边的比始终是一个常数，这
就揭示了锐角与比值的对应关系，让学生对变量的性质以及变量之间的对应关系
有更深刻的认识，加深对函数概念及数学本质的理解，通过学习有利于学生对函
数的理解更加完善。解直角三角形的应用也是本单元学生掌握的重点和难点，解
直角三角形中的知识被广泛运用于测量、建筑、工程技术与物理中，主要是用来
测量高度、宽度与角度，将实际问题贯穿本单元，充分体现三角函数与现实生活
的密切联系。通过应用让学生了解在有关直角三角形的问题时，光靠过去学过的
勾股定理是不够的，三角函数有着不可替代的重要作用。本单元是三角学的最基
础内容，也是今后进一步学习三角学的必要基础，为今后高中阶段深入学习三角
函数做好知识储备和积累，因此本单元在中学数学中有着承上启下的作用。
（四）重难点分析
解直角三角形的重点是锐角三角形的概念和直角三角形的解法。特殊锐角三
角函数值，由于其应用的广泛与基础，要让学生牢记，即给出特殊的锐角，能说
出它的三个三角函数值；反过来，给出特殊锐角的三角函数值，能求出这个角的
度数。
本单元的难点是锐角三角函数的概念，因为三角函数的概念里隐含着角度与
线段比值之间一对应的函数思想，并且用几个符号 sinA（直角三角形中一个锐
角为 A ），cosA，tanA来表示各个比值，同时这几个符号所表示的两条线段的比
是不能颠倒、是有严格规定的，这是学生第一次接触到这样的表示。此外，只有
正确理解锐角三角函数的概念，才能准确把握直角三角形中边、角的关系，也才
能利用这些关系来解直角三角形。所以说，对锐角三角函数概念的理解，既是学
习本单元的难点，也是学好本单元的关键所在。
- 4 -
三、单元学习与作业目标
1.掌握正弦、余弦、正切的概念；
2.知道并熟记特殊角 30°，45°，60°角的三角函数值并能进行简单的代
数计算；
3.能根据已知角度求三角函数值以及已知三角函数值求角的度数；
4.运用三角函数解决与直角三角形有关的简单的实际问题；
5.能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题。
四、单元作业整体设计思路
分层设计作业。每课时均设计 “基础性作业”（面向全体，体现课标，题量
3-4 大题，要求学生必做）和“发展性作业”（体现个性化，探究性、实践性，
题量 2-3题，要求学生有选择的完成）。具体设计体系如下：
五、课时作业
第一课时（锐角的三角函数----正切）
作业1（基础性作业）
1.作业内容
- 5 -
（1）在 中， ，各边都扩大到原来的 倍，则 的值（ ）
A. 不变 B. 扩大到原来的 倍
1
C. 缩小到原来的 D. 不能确定
5
（2）如图，在 中， ，则 （ ）
G
13m
5m
E F
5 12 5 12
A. B. C. D.
12 5 13 13
（3）在 中， ， ，则 __．
（4）某人从水平地面开始沿着有一定坡度的坡面前进了 ，此时他与水平地
面的垂直距离为 ，则这个坡面的坡度 ．
2.时间要求
10分钟以内
3.评价设计
作业评价表
作业评 等级
价表评 备注
A B C
价指标
A等：答案正确、过程正确。
答题的 B等：答案正确、过程有问题。
准确性 C等：答案不正确，有过程不完整；答案
不准确，过程错误、或无过程。
A等：过程规范，答案正确。
答题的
B等：过程不够规范、完整，答案正确。
规范性
C等：过程不规范或无过程，答案错误。
A等：解法有新意和独到之处，答案正确。
B等：解法思路有创新，答案不完整或错
解法的
误。
创新性
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂
或无过程。
AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、
综合评
AAC综合评价为B等；其余情况综合评价
价等级
为C等。
- 6 -
4.作业分析与设计意图
第（1）题考查正切的定义，锐角的正切其实是直角三角形中两直角边的比，
它的值是一个比值，只与角的大小有关，与所在的直角三角形边的长短无关，本
题加深学生对正切定义和三角函数中的“函数”的理解；第（2）题仍然考查正
切的定义，在直角三角形中已知斜边和一直角边，可由勾股定理求另一直角边，
再根据正切定义求比值；第（3）题以等腰三角形为背景求正切值，需要将等腰
三角形通过作垂直或高构造直角三角形，在直角三角形中按正切定义求比值，“化
斜为直”是本章三角函数的常用作法，三角函数就是在直角三角形中建立边角关
系的，要让学生熟悉这一基本方法；第（4）题是正切的应用：坡度与坡角问题，
坡度是竖直高度与水平长度的比值，是坡角的正切值，“沿着有一定坡度的坡面
前进了 ”，就是斜边为 10，“与水平地面的垂直距离为 ”，就是一直角
边为 ，这样本题与第（1）题解法相似，先有勾股定理求出另一直角边，在
根据坡度的定义求出比值，从而解决问题。
5.参考答案与解析
（1）A
（2）A
12
（3）
5
【解析】解：如图，过点 作 于点 ，易知 ，
在 中， ， ，则 ，
AD 12
tanB ．
BD 5
（4） ：
作业2（发展性作业）
1.作业内容
（1）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，在计算 时，
如图，在 中， ， ，延长 使 ，连接 ，得
- 7 -
o AC 1
，假设 ，所以 tan15 2 3，类比这种方法，
CD 2 3
计算 的值为（ ）
1
A. B. C. D.
2
（2）（实践性、探究性、开放性作业）想要测量学校操场上旗杆的高度，根据
本节课所学内容，请和同学一起共同完成．
测量时间 测量对象
测量工具
参与同学
测量数据 绘制图形
计算过程
自我评价
- 8 -
2.时间要求
20分钟以内
3.评价设计
作业评价表
作业评 等级
价表评 备注
A B C
价指标
A等：答案正确、过程正确。
答题的 B等：答案正确、过程有问题。
准确性 C等：答案不正确，有过程不完整；答案
不准确，过程错误、或无过程。
A等：过程规范，答案正确。
答题的
B等：过程不够规范、完整，答案正确。
规范性
C等：过程不规范或无过程，答案错误。
A等：解法有新意和独到之处，答案正确。
B等：解法思路有创新，答案不完整或错
解法的
误。
创新性
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂
或无过程。
AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、
综合评
AAC综合评价为B等；其余情况综合评价
价等级
为C等。
4.作业分析与设计意图
第（1）题是以构建几何图形求正切的问题，通过构造等腰三角形，利用内
外角之间的关系，构造半角，在直角三角形中通过线段的比求正切，本题有助于
培养学生的自主学习能力和知识迁移能力，是一道综合性题目；第（2）题是实
践性和探究性作业，是一个开放性作业，让学生测量学校操场上旗杆的高度，通
过教师设计的表格，在一定程度上给学生以引导，避免学生无处着手，学生通过
表格的提示逐步逐项完成，同时通过学生自己画图，自己动手操作和计算得出旗
杆的高度，既培养学生的实践能力、动手操作能力，也训练了学生的计算能力和
解决问题的能力，最后设计自我评价，引导学生改进方法，对自己的学习反思总
结提高，培养良好的学习习惯和学习数学的兴趣。
5.参考答案与解析
（1）B
- 9 -
【解析】解：如图，在 中， ， ，延长 使 ，
连接 ，得 ，
设 ，则 ，
AC 1
tan22.5o 2 1，故选 B．
CD 1 2
（2）无
第二课时（锐角的三角函数----正弦和余弦）
作业1（基础性作业）
1.作业内容
（1）如图，已知 ， ， ， ，则下列结论正确的
是（ ）
3
A.
4 B
4
B.
5
3
C.
5 C A
4
D.
5
（2）在 中，
1
， ， ，则 等于（ ）
3
1 1
A. B. C. D.
5 45
（3）如图， 的顶点在直角坐标系的原点，一边在 轴上，另一边经过点 ， ，
则 ， ， ．
- 10 -
3
（4）如图，在 中， ， ， ，求 的长和
5
的值．
2.时间要求
10分钟以内
3.评价设计
作业评价表
作业评 等级
价表评 备注
A B C
价指标
A等：答案正确、过程正确。
答题的 B等：答案正确、过程有问题。
准确性 C等：答案不正确，有过程不完整；答案
不准确，过程错误、或无过程。
A等：过程规范，答案正确。
答题的
B等：过程不够规范、完整，答案正确。
规范性
C等：过程不规范或无过程，答案错误。
A等：解法有新意和独到之处，答案正确。
B等：解法思路有创新，答案不完整或错
解法的
误。
创新性
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂
或无过程。
AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、
综合评
AAC综合评价为B等；其余情况综合评价
价等级
为C等。
4.作业分析与设计意图
第（1）题考查正弦、余弦、正切三角函数的定义，在 3，4，5 的直角三角
形中，直接运用三角函数的定义求出比值，学生分清找准各个三角函数的比值即
可做出选择判断，是考查定义的基础题；第（2）题是在直角三角形中，已知正
弦值求线段长度，仍然属于定义的考查，对于学生初学三角函数，在做题时，引
导学生自己画出图形，准确找到边角关系，不张冠李戴，培养学生动手画图的能
力和良好的解题习惯；第（3）题是在平面直角坐标系中已知点的坐标求各个三
角函数值，形式上学生由新鲜感，方法上过 P点需要向坐标轴作垂直构造直角三
角形，内容上根据点的坐标结合勾股定理先求出斜边的长度，分清定义谁比谁仍
- 11 -
然是解题的本质和关键，注重对基础知识的理解和掌握，也突出计算能力的培养；
是以构建几何图形求正切的问题，通过构造等腰三角形，利用内外角执教的关系，
第（4）题是解答题，在前面三题掌握三角函数概念的基础上，本题着重训练学
生的解答题书写，培养学生严谨的书写习惯。
5.参考答案与解析
（1）
（2）
3 1
（3） 3
2 2
3 3
（4）解： ， ，
5 5
， ，
，
AC 12 4
tanB = ．
BC 9 3
作业2（发展性作业）
1.作业内容
（1）如图，在 中， ， ，若 ，则 的长为（ ）
A.
B.
C.
D.
4
（2）如图，在菱形 中， 于点 ， ， ，则菱形 的周
5
长是（ ）
A.
B.
C.
D.
（3）（探究性作业）【关注数学文化】阅读材料，解答下列问题．
- 12 -
年，我国学者徐光启和德国传教士邓玉函、汤若望合编的《大测》一书将
三角函数的概念传入我国．根据材料内容，完成下列探究．
计算： ；
3
如图，已知 ，其中 为锐角，试求 的值．
5
2.时间要求
10分钟以内
3.评价设计
作业评价表
作业评 等级
价表评 备注
A B C
价指标
A等：答案正确、过程正确。
答题的 B等：答案正确、过程有问题。
准确性 C等：答案不正确，有过程不完整；答案
不准确，过程错误、或无过程。
A等：过程规范，答案正确。
答题的
B等：过程不够规范、完整，答案正确。
规范性
C等：过程不规范或无过程，答案错误。
A等：解法有新意和独到之处，答案正确。
B等：解法思路有创新，答案不完整或错
解法的
误。
创新性
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂
或无过程。
AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、
综合评
AAC综合评价为B等；其余情况综合评价
价等级
为C等。
- 13 -
4.作业分析与设计意图
第（1）题考查正弦的应用，在直角三角形中已知锐角的正弦和对边长度，
根据正弦定义求出斜边的长度，再运用勾股定理求第三边，让学生进一步熟悉三
角函数问题的基本模型：直角三角形+勾股定理，是常用的解题思路和方法；第
AE 4
（2）题以菱形为背景，三角函数概念为基本，由 ，可设 AE 4x，
AB 5
AB 5x，由勾股定理得BE 3x，则BC 3x 4，根据菱形边长相等建立方程：
5x 3x 4，求出 x的值，从而求出菱形的周长，本题让学生体验设未知数建立
方程的思想，用代数的方法解决几何问题；第（3）题是数学文化类问题，以我
国古代著作为问题切入点引出问题，引发学生数学学习的兴趣，培养学生的阅读
能力、自主学习能力和知识迁移能力，激发学生的探索精神和钻研精神，鼓励学
生努力尝试，综合性强，难度略高。
5.参考答案与解析
（1）
（2）
（3）解： ；
设 ，则 ， ．
在 边上取一点 ，使得 ，则 ，
过点 作 于点 ，连结 ，
，
，
AD AE
，
BD CE
4x 4x CE
，
x CE
4
CE x，
5
DE AD
同理： ，
BC AB
DE 4x
，
3x 5x
12
DE x，
5
- 14 -
在 中，
4 10
x，
5
CD 10
在等腰 中， sadA ．
AD 5
第三课时（特殊角的三角函数值）
作业1（基础性作业）
1.作业内容
1
（1）已知 为锐角，且 ，则 （ ）
2
A. B. C. D.
3
（2）若 为锐角，且 ，则 （ ）
2
3 2 1
A. B. C. D.
2 2 2
（3）式子 的值是（ ）
2 2
A. B. C. D.
2 2
（4）计算： ° ° °；
cos30o
°．
1 sin30o
2.时间要求
10分钟以内
3.评价设计
作业评价表
作业评 等级
价表评 备注
A B C
价指标
A等：答案正确、过程正确。
答题的 B等：答案正确、过程有问题。
准确性 C等：答案不正确，有过程不完整；答案
不准确，过程错误、或无过程。
- 15 -
A等：过程规范，答案正确。
答题的
B等：过程不够规范、完整，答案正确。
规范性
C等：过程不规范或无过程，答案错误。
A等：解法有新意和独到之处，答案正确。
B等：解法思路有创新，答案不完整或错
解法的
误。
创新性
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂
或无过程。
AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、
综合评
AAC综合评价为B等；其余情况综合评价
价等级
为C等。
4.作业分析与设计意图
本节作业主要考查特殊角（30°，45°，60°）的三角函数值，涉及实数的运
算，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键，解答此类问题的方法就是把这些函
数值代入计算，已知函数值求角，已知特殊角求函数值，属于基础题．
5.参考答案与解析
（1）
（2）
3
（3） 【解析】解： 2 1 3 1，故选 C．
2
1 2
（4）解： 原式 3 4 3 2；
2 2
3
4 3
原式 2 3 ．
1 3
1
2
作业2（发展性作业）
1.作业内容
（1）李红同学遇到了这样一道题： ，你猜想锐角 的度数应
是（ ）
A. B. C. D.
3
sinA (1 tanB)2（2）在锐角三角形 中，若 0，则 的度数是 ．
2
（3）（探究性作业）计算下列各式：
- 16 -
° °；
° °．
你发现了什么？对任意锐角 ，是否都有 ？请说明理由．
2.时间要求
10分钟以内
3.评价设计
作业评价表
作业评 等级
价表评 备注
A B C
价指标
A等：答案正确、过程正确。
答题的 B等：答案正确、过程有问题。
准确性 C等：答案不正确，有过程不完整；答案
不准确，过程错误、或无过程。
A等：过程规范，答案正确。
答题的
B等：过程不够规范、完整，答案正确。
规范性
C等：过程不规范或无过程，答案错误。
A等：解法有新意和独到之处，答案正确。
B等：解法思路有创新，答案不完整或错
解法的
误。
创新性
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂
或无过程。
AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、
综合评
AAC综合评价为B等；其余情况综合评价
价等级
为C等。
4.作业分析与设计意图
第（1）题考查30°角的正切，已知正切求角度；第（2）题是有特殊角三角
函数参与的实数运算，绝对值加平方等于0，0+0=0类型问题，求出两个角度数，
利用三角形内角和求第三角；第（3）题规律探究问题，通过特殊角的正弦和余
弦的平方和关系，推导证明一般角的正弦和余弦的平方和关系，让学生体会从特
殊到一般的过程，发现、概括并证明。总之，特殊角的三角函数值是学生熟悉掌
握的内容，在作业和练习强化。
5.参考答案与解析
（1）
- 17 -
（2）
2 2 1 1
（3）解： 原式 ( )2 ( )2 1；
2 2 2 2
1 3 1 3
原式 ( )2 ( )2 1；
2 2 4 4
发现对任意锐角 ，都有 ，
如图，在 中，
a b
， ，
c c
b a b2 a2 a2 2 2
( )2 2
b c
( ) 1，即 ．
c c c2 c2 c2 c2
第四课时（互余角三角函数的关系）
作业1（基础性作业）
1.作业内容
（1）已知锐角 满足 ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
（2）若 是锐角， ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
（3）若 ，则 的值约为 ．
（4）观察下列等式：
1 1
， ；
2 2
2 2
， ；
2 2
- 18 -
3 3
， ；
2 2
；
根据上述规律，计算 ______．
2.时间要求
10分钟以内
3.评价设计
作业评价表
作业评 等级
价表评 备注
A B C
价指标
A等：答案正确、过程正确。
答题的 B等：答案正确、过程有问题。
准确性 C等：答案不正确，有过程不完整；答案
不准确，过程错误、或无过程。
A等：过程规范，答案正确。
答题的
B等：过程不够规范、完整，答案正确。
规范性
C等：过程不规范或无过程，答案错误。
A等：解法有新意和独到之处，答案正确。
B等：解法思路有创新，答案不完整或错
解法的
误。
创新性
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂
或无过程。
AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、
综合评
AAC综合评价为B等；其余情况综合评价
价等级
为C等。
4.作业分析与设计意图
第（1）题考查当两角互余时，一个角的正弦值（余弦值）等于另一个角的
余弦值（正弦值），根据正弦值等于余弦值，可得两个角互余；第（2）题是考
查互余两个角的正切值互为倒数关系，由两个正切值乘积等于1得两角互余；互
余两个角的正弦和余弦、正切和正切之间的关系常用于直角三角形求角的度数。
第（3）题规律探究问题，通过特殊角的正弦和余弦的值，引导发现规律，让学
生体会从特殊到一般的过程，发现、概括得出结论，培养学生自主学生，归纳总
结的习惯，另外 是个恒等式，同学们可以记住并直接
运用。
- 19 -
5.参考答案与解析
（1）
（2）
（3）
（4）
作业2（发展性作业）
1.作业内容
（1）若 ，且 ，则 ．
（2）（探究性作业）如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：
________；
________；
________．
观察上述等式，猜想：在 中， ，都有：
________；
如图 ，在 中， ， ， ， 的对边分别是 ， ， ，
利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想；
5
已知 ，且 ，求 的值；
13
12
已知 ，且 ，求 值．
25
2.时间要求
10分钟以内
3.评价设计
作业评价表
作业评 等级
价表评 备注
A B C
价指标
- 20 -
A等：答案正确、过程正确。
答题的 B等：答案正确、过程有问题。
准确性 C等：答案不正确，有过程不完整；答案
不准确，过程错误、或无过程。
A等：过程规范，答案正确。
答题的
B等：过程不够规范、完整，答案正确。
规范性
C等：过程不规范或无过程，答案错误。
A等：解法有新意和独到之处，答案正确。
B等：解法思路有创新，答案不完整或错
解法的
误。
创新性
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂
或无过程。
AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、
综合评
AAC综合评价为B等；其余情况综合评价
价等级
为C等。
4.作业分析与设计意图
第（1）题考查互余两角，正弦值和余弦值之间的关系，本题中，学生需要
发现 和 之间的互余关系；第（2）题是规律探究应用题，还是考查
了互余两角的三角函数的关系，即 ，是作业1第（4）
题的深入和延续，学生不仅发现规律发现结论，还要运用结论解决问题，提高学
生解决数学问题的能力。其中，第 小题利用锐角三角函数的定义证明
；第 小题利用关系式 ，结合已知条件
5
，进行求解；第 小题利用关系式 ，结合已知条件
13
12
，利用完全平方公式求解。
25
5.参考答案与解析
（1）
（2）解： ； ； ；
；
如图，在 中， °．
a b
， ，
c c
a 2 b2
，
c 2
°，
，
- 21 -
；
5
， ，
13
2
5 12
1 ；
13 13
12
， = ，
25
12 49
1 2 ，
25 25
7
．
5
第五课时（一般锐角的三角函数值）
作业1（基础性作业）
1.作业内容
（1）下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
（2） °和 °的大小关系是（ ）
A. ° ° B. ° °
C. ° ° D. 不能确定
（3）用计算器求 °， °， °， °， °， °， °，
°的值，研究 的值随锐角 变化的规律，根据这个规律判断：
1 3
若 ，则（ ）
2 2
A. ° ° B. ° °
C. ° ° D. ° °
（4）某款国产手机上有科学计算器，依次按键： 显示的
结果在哪两个相邻整数之间（ ）
A. ～ B. ～ C. ～ D. ～
- 22 -
（5）用计算器计算 °的结果（精确到 ）是（ ）
A. B. C. D.
2.时间要求
10分钟以内
3.评价设计
作业评价表
作业评 等级
价表评 备注
A B C
价指标
A等：答案正确、过程正确。
答题的 B等：答案正确、过程有问题。
准确性 C等：答案不正确，有过程不完整；答案
不准确，过程错误、或无过程。
A等：过程规范，答案正确。
答题的
B等：过程不够规范、完整，答案正确。
规范性
C等：过程不规范或无过程，答案错误。
A等：解法有新意和独到之处，答案正确。
B等：解法思路有创新，答案不完整或错
解法的
误。
创新性
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂
或无过程。
AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、
综合评
AAC综合评价为B等；其余情况综合评价
价等级
为C等。
4.作业分析与设计意图
通过学习，让学生明确正弦值和正切值随锐角的增大而增大，余弦值随锐角
的增大而减小，掌握三角函数值的变化规律，为近似计算和估算提供帮助，学生
了解计算器的功能和简单的使用方法，能使用计算器进行计算，对计算器给出的
结果，根据精确度要求用四舍五入法取近似数。
5.参考答案与解析
（1）D
（2）
（3）
【解析】 的值随锐角 的增大而增大，
- 23 -
1 3
，
2 2
° °，故选 ．
（4）
（5）
作业2（发展性作业）
1.作业内容
（探究性作业）今年疫情期间，针对各种入口处人工测量体温存在的感染风险高、
效率低等问题，清华大学牵头研制一款“测温机器人”，如图 ，机器人工作时，
行人抬手在测温头处测量手腕温度，体温合格则机器人抬起臂杆行人可通行，不
合格时机器人不抬臂杆并报警，从而有效阻隔病原体．
（ ）为了设计“测温机器人”的高度，科研团队采集了大量数据．下表是抽样
采集某一地区居民的身高数据：
测量对象 男性（ 岁） 女性（ 岁）
抽样人数
平均身高
（厘米）
根据你所学的知识，若要更准确地表示这一地区男、女的平均身高，男性应采
用 厘米，女性应采用 厘米；
- 24 -
（ ）如图 ，一般地，人抬手的高度与身高之比为黄金比时给人的感觉最舒适，
由此利用（ ）中的数据得出测温头点 距地面 厘米，指示牌挂在两臂杆 ，
的连接点 处， 点距地面 厘米，臂杆落下时两端点 ， 在同一水平线上，
厘米，点 在点 的正下方 厘米处 若两臂杆长度相等，求两臂杆的夹
角．（参考数据表）
计算器按键顺序 计算结果 近似值 计算器按键顺序 计算结果 近似值
2.时间要求
15分钟以内
3.评价设计
作业评价表
作业评 等级
价表评 备注
A B C
价指标
A等：答案正确、过程正确。
答题的 B等：答案正确、过程有问题。
准确性 C等：答案不正确，有过程不完整；答案
不准确，过程错误、或无过程。
A等：过程规范，答案正确。
答题的
B等：过程不够规范、完整，答案正确。
规范性
C等：过程不规范或无过程，答案错误。
A等：解法有新意和独到之处，答案正确。
B等：解法思路有创新，答案不完整或错
解法的
误。
创新性
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂
或无过程。
AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、
综合评
AAC综合评价为B等；其余情况综合评价
价等级
为C等。
- 25 -
4.作业分析与设计意图
本题以实际生活为背景，选用当前社会防疫的关键话题，以学生常见测量体
温为切入角，三角形函数的应用，涉及统计的思想，体现了逻辑推理、数学抽象、
数学建模的核心素养。学生通过感知问题、分析问题、解答问题，进一步加强对
一般角三角函数的理解和认识，通过参考数据的获得，了解使用计算器辅助计算
的方法。
5.参考答案与解析
解：（1）由已知可得，男性应采用 厘米，女性应采用 厘米．
（2） ， ，
1
BC 50 ， ，
2
由题意知 ，
FC 50
5，
AF 10
，
，
即两臂杆的夹角约为 ．
第六课时（解直角三角形）
作业1（基础性作业）
1.作业内容
（1）如图，在 中， °， °， ，则 的长是（ ）
4 3
A.
3
B.
C.
D.
（2）在 中， ， ， ，则 ， ．
（3）在 中， ， ， ， 分别是 A， B， 的对边．
已知 ， ，求 ；
- 26 -
1
已知 ， ，求 ．
3
2.时间要求
10分钟以内
3.评价设计
作业评价表
作业评 等级
价表评 备注
A B C
价指标
A等：答案正确、过程正确。
答题的 B等：答案正确、过程有问题。
准确性 C等：答案不正确，有过程不完整；答案
不准确，过程错误、或无过程。
A等：过程规范，答案正确。
答题的
B等：过程不够规范、完整，答案正确。
规范性
C等：过程不规范或无过程，答案错误。
A等：解法有新意和独到之处，答案正确。
B等：解法思路有创新，答案不完整或错
解法的
误。
创新性
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂
或无过程。
AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、
综合评
AAC综合评价为B等；其余情况综合评价
价等级
为C等。
4.作业分析与设计意图
第（1）题在直角三角形中，已知斜边 和一个锐角 （特殊角 ），求一直
角边 ，可根据 及特殊角的三角函数值解题，主要考查了三角函数的定
义及特殊角的三角函数值，是基础知识，需要熟练掌握的；第（2）题在直角三
角形中，已知一直角边 和斜边 可由勾股定理求第三边 ，同时根据三角函数边
之间的比值求角度，是已知边求角度的过程；第（3）题第①小题，已知 ， ，
- 27 -
利用 ， 的比值确定角的度数，在此过程中，学生需要选择判断使用哪一角的哪
个三角函数去求解，这是在解直角三角形中经常考虑的问题，有助于学生进一步
理解解直角三角形的方法和意义；第②小题，已知斜边 和锐角 的正弦值，根
据正弦的定义，先求出直角边 ，再根据勾股定理求出直角边 。第（1）题给出
了图形，第（2）（3）题没有图形，学生可以先画出图形，有助于培养学生画图、
读图、识图的能力。
5.参考答案与解析
（1）
BC
【解析】解： 在 中， °， °， ， ，
AB
BC
即 ° ，
8
3
8 4 3，故选 D；
2
（2） ；
b 6 2
（3）解： ，
c 2 3 2
．
1 a
， ，
3 c
，
．
作业2（发展性作业）
1.作业内容
（1）在 中， ，已知 ， ，则下列各组式子中，能正确求出
， 的一组是（ ）
c c c c
A. a ，b B. a ，b
cosA sinA sinA cosA
C. ， D. ，
- 28 -
3
（2）如图，在 中， °， ， 的平分线 交 于
3
点 ， ，求 的长．
3
（3）如图所示，在 中， ， ， °，求 和 的
4
长．
2.时间要求
15分钟以内
3.评价设计
作业评价表
作业评 等级
价表评 备注
A B C
价指标
A等：答案正确、过程正确。
答题的 B等：答案正确、过程有问题。
准确性 C等：答案不正确，有过程不完整；答案
不准确，过程错误、或无过程。
A等：过程规范，答案正确。
答题的
B等：过程不够规范、完整，答案正确。
规范性
C等：过程不规范或无过程，答案错误。
A等：解法有新意和独到之处，答案正确。
B等：解法思路有创新，答案不完整或错
解法的
误。
创新性
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂
或无过程。
AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、
综合评
AAC综合评价为B等；其余情况综合评价
价等级
为C等。
- 29 -
4.作业分析与设计意图
第（1）题在直角三角形中，已知斜边 和一个锐角 ，求两直角边 ， ，既
也是对锐角三角函数定义的考查，也是对解直角三角形的综合运用，已知一些元
素求未知元素，灵活选择使用三角函数求解是学生需要巩固的方法和技能；第（2）
3
题根据 ， ，可求出 ， ，再根据 是
3
的平分线，求出 ，让学生在不同的直角三角形中寻
找边角关系求解，本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系，是正确
解答的关键；第（3）题是非直角三角形中已知边角和三角函数值，求线段长度
问题，学生需要添加辅助线，过三角形的顶点作垂直，构造直角三角形，在直角
三角形中，利用三角函数关系求线段长度，让学生体会利用三角函数关系解决问
题的前提是在直角三角形中进行的，作垂直构造直角三角形是解直角三角形的常
用方法。
5.参考答案与解析
（1） ；
3
（2）解：在 中， °， ，
3
°，
°，
是 的平分线，
°，
又 ，
CD
BC 3，
tan30o
在 中， °， °，
BC
AB 6．
sin30o
答： 的长为 ．
（3）解：如图所示，过点 作 于点 ．
- 30 -
在 中， ， ，
CD CD CD 1
，即 ，
BC 12 12 2
．
BD BD BD 3
，即 ，
BC 12 12 2
．
CD 6 3
在 中， ，
AD AD 4
，
， ．
第七课时（解直角三角形的应用1--仰角与俯角）
作业1（基础性作业）
1.作业内容
（1）从一艘船上测得海岸上高为 米的灯塔顶部的仰角为 °时，船离灯塔的
水平距离是（ ）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
（2）下图是某商场营业大厅自动扶梯示意图，自动扶梯 的倾斜角为 °，在
自动扶梯下方地面 处测得扶梯顶端 的仰角为 °， ， 之间的距离为 ，则
自动扶梯的垂直高度 ．（结果保留根号）
- 31 -
（3）如图，广场上空有一个气球 ，地面上点 ， ， 在一条直线上， ，在
点 ， 分别测得气球 的仰角 为 °， 为 °，求气球 离地面的
高度 ．（精确到 ）
2.时间要求
10分钟以内
3.评价设计
作业评价表
作业评 等级
价表评 备注
A B C
价指标
A等：答案正确、过程正确。
答题的 B等：答案正确、过程有问题。
准确性 C等：答案不正确，有过程不完整；答案
不准确，过程错误、或无过程。
A等：过程规范，答案正确。
答题的
B等：过程不够规范、完整，答案正确。
规范性
C等：过程不规范或无过程，答案错误。
A等：解法有新意和独到之处，答案正确。
B等：解法思路有创新，答案不完整或错
解法的
误。
创新性
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂
或无过程。
AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、
综合评
AAC综合评价为B等；其余情况综合评价
价等级
为C等。
- 32 -
4.作业分析与设计意图
第（1）题考查仰角在实际生活中的应用，仰角的概念是基础，利用三角函
数求解是关键，学生可先画出图形（直角三角形），已知一个锐角（仰角）和对
边（高度），求水平距离（邻边），利用仰角的正切求解；第（2）题根据 和 之间
的内外角关系，可以判断△ 是等腰三角形， ，由
BD
计算出 ，本题涉及三角形外角、等腰三角形判定、仰角概念、正弦定义和
BC
特殊角的三角函数值计算，略有综合性；第（3）题在图形上与第（2）题由相同
之处，都是共直角边的双直角三角形，不同在于第（3）题是非特殊角 56°，涉
及近似计算，训练学生的计算能力，同时可以设未知数列方程求解，也体现了方
程的思想。
5.参考答案与解析
（1）A 【解析】解：根据题意得，船离灯塔的水平距离为 °
（米），故选 A．
（2） 【解析】解： ， ， ，
，
，
．
BD
在 中， ，
BC
BD 3
，
4 2
．
（3）解：根据题意，得 °， °，
°，
，
，
在 中， °，
- 33 -
AD
° ，
CD
AD
即1.48 ，
AD 20
解得 （ ）．
答：气球 离地面的高度 约为 ．
作业2（发展性作业）
1.作业内容
（1）如图所示，甲、乙两楼相距 米，乙楼高度为 米，自甲楼楼顶 处看乙
楼楼顶 处的仰角为 °，则甲楼高度为（ ）
A. 米 B. （ ）米
C. 米 D. （ ）米
（2）如图，从楼顶 处看楼下荷塘 处的俯角为 ，看楼下荷塘 处的俯角为 ，
已知楼高 为 米，则荷塘的宽 为 米．（结果保留根号）
（3）比萨斜塔是意大利有名的建筑，资料显示：斜塔的倾斜角度为 °，观测者
在距离塔底部 米处，测得塔顶部的仰角为 °，你能帮他计算出斜塔顶端离
地面的距离吗？（结果精确到 ，参考数据： ° ， ° ，
° ， ）
- 34 -
2.时间要求
15分钟以内
3.评价设计
作业评价表
作业评 等级
价表评 备注
A B C
价指标
A等：答案正确、过程正确。
答题的 B等：答案正确、过程有问题。
准确性 C等：答案不正确，有过程不完整；答案
不准确，过程错误、或无过程。
A等：过程规范，答案正确。
答题的
B等：过程不够规范、完整，答案正确。
规范性
C等：过程不规范或无过程，答案错误。
A等：解法有新意和独到之处，答案正确。
B等：解法思路有创新，答案不完整或错
解法的
误。
创新性
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂
或无过程。
AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、
综合评
AAC综合评价为B等；其余情况综合评价
价等级
为C等。
4.作业分析与设计意图
第（1）题考查仰角在实际生活中的应用，仰角的概念是基础，本题是直角
三角形和矩形的组合图，是测量高度问题中常见的几何图形；第（2）题考查俯
角的概念，利用俯角求线段长度，在共直角边 AB的两个直角三角形中，由正切
- 35 -
函数分别求出 BC，BD的长度，由 CD=BC-BD得出答案；第（3）题仍然是考查
仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形。过点 作
于点 ，构造直角三角形： 、 ，通过解这两个直角三
角形求得相关线段的长度。
5.参考答案与解析
（1）D 【解析】解：如图所示，
在 中， 米， °，
° 米 ，
（ ）米，
甲楼高度为（ ）米．
（2）（ ）
【解析】解：由题意可得， ， ， 米．
在 中， ，
米．
在 中， ，
3
BD AB 10 3米，
3
（ ）米．
（3）解：如图，过点 作 于点 ，
- 36 -
根据题意得， °， °，设 ，
BD
在 中， ，
AD
°．
CD
在 中， ，
AD
°．
，
° ．
．
答：斜塔顶端离地面的距离约为 ．
第八课时（解直角三角形的应用2--方位角与方向角）
作业1（基础性作业）
1.作业内容
（1）如图所示，一渔船在海岛 南偏东 °方向的 处遇险，测得海岛 与 的
距离为 ，渔船将险情报告给位于 处的救援船后，沿北偏西 °方向向
海岛 靠近，同时，从 处出发的救援船沿南偏西 °方向匀速航行， 后，
救援船和渔船在海岛 处恰好相遇，那么救援船航行的速度为（ ）
A. B.
C. D.
- 37 -
（2）如图，海中有一个小岛 ，一艘轮船由西向东航行，在点 处测得小岛 位
于它的东北方向，此的轮船与小岛相距 海里，继续航行至点 处，测得小岛 在
它的北偏西 方向，此时轮船与小岛的距离 为 海里．
（3）如图，一艘船由 港沿北偏东 °方向航行 至 港，然后再沿北偏西
°方向航行 至 港．
求 ， 两港之间的距离 结果保留到 ，参考数据： ，
；
确定 港在 港的什么方向．
2.时间要求
10分钟以内
3.评价设计
作业评价表
作业评 等级
价表评 备注
A B C
价指标
A等：答案正确、过程正确。
答题的
B等：答案正确、过程有问题。
准确性
C等：答案不正确，有过程不完整；答案
- 38 -
不准确，过程错误、或无过程。
A等：过程规范，答案正确。
答题的
B等：过程不够规范、完整，答案正确。
规范性
C等：过程不规范或无过程，答案错误。
A等：解法有新意和独到之处，答案正确。
B等：解法思路有创新，答案不完整或错
解法的
误。
创新性
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂
或无过程。
AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、
综合评
AAC综合评价为B等；其余情况综合评价
价等级
为C等。
4.作业分析与设计意图
第（1）题考查方向角在实际生活中的应用，方向角的概念是基础，本题中
设计三个方向角，在读取方向角时首先要确定观测位置，以观测位置为中心，得
出角度大小，本题的直角三角形是含有特殊角的，已知斜边 AB，利用三角函数
求直角边 AC，根据路程和时间求出速度，边角关系简单，读取方位角是关键；
是测量高度问题中常见的几何图形；第（2）题在明确方位角后，其问题本质是
已知两角和一边求另一边，解决问题的方法是过三角形一个顶点作垂直，构造直
角三角形，通过解直角三角形求边长，是解直角三角形涉及方位角的一个简单应
用；第（3）题第 问，通过方向角判断 ，由勾股定理，从而得出 的
长，第 小问中，根据角度关系得出 ，由角度判断 点
在 点北偏东 的方向上，有角度写出方向角是方向角定义的一种逆向思维有
助于学生真正理解方向角。
5.参考答案与解析
（1）C
【解析】解：由题意知 °， °，
° °．
- 39 -
3
在 中， ° 10 3
2
（ ），
30
救援船的速度为10 3 20 3（ ）．
60
（2）
【解析】解：如图，过点 作 于点 ，
在点 处测得小岛 位于它的东北方向，
此时轮船与小岛相距 海里，继续航行至点 处，测得小岛 在它的北偏西 方
向，
， 海里， ．
在 中， （海里）．
在 中， （海里）．
（3）解： 由题意可得， °， °，
°， °，
°，
°．
，
，
答： 、 两地之间的距离为 ．
由 知， 为等腰直角三角形，
°，
° ° °，
- 40 -
港在 港北偏东 °的方向上．
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
（1）如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河
的南岸点 处，测得河的北岸边点 在其北偏东 °方向，然后向西走 米到达
点，测得点 在点 的北偏东 °方向，则这段河的宽度为（ ）米
A. 米 B. 米
C. 米 D. 米
（2）某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门 测得历下亭 在北偏东 方
向上，继续向北走 后，到达游船码头 ，测得历下亭 在游船码头 的北偏
东 方向上，则南门 与历下亭 之间的距离约为 （参考数据：
3
，
4
）
4 3
（3）如图所示，为了测量一条两岸平行的河流宽度，三个数学研究小组设计了
不同的方案，他们在河南岸的点 处测得河北岸的树 恰好在 的正北方向．测量
方案与数据如下表：
- 41 -
课题 测量河流宽度
测量
测量角度的仪器，皮尺等
工具
测量
第一小组 第二小组 第三小组
小组
测量
方案
示意
图
点 ， 在点 的正东 点 ， 在点 的正东点 在点 的正东方向，
说明
方向 方向 点 在点 的正西方向
， ， ，
测量
°， °， °，
数据
° ° °
哪个小组的数据无法计算出河宽？
请选择其中一个方案及其数据求出河宽（精确到 ）．（参考数据：
， ， ， ）
2.时间要求
15分钟以内
3.评价设计
作业评价表
- 42 -
作业评 等级
价表评 备注
A B C
价指标
A等：答案正确、过程正确。
答题的 B等：答案正确、过程有问题。
准确性 C等：答案不正确，有过程不完整；答案
不准确，过程错误、或无过程。
A等：过程规范，答案正确。
答题的
B等：过程不够规范、完整，答案正确。
规范性
C等：过程不规范或无过程，答案错误。
A等：解法有新意和独到之处，答案正确。
B等：解法思路有创新，答案不完整或错
解法的
误。
创新性
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂
或无过程。
AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、
综合评
AAC综合评价为B等；其余情况综合评价
价等级
为C等。
4.作业分析与设计意图
将实际问题抽象成纯数学问题而建立数学模型，对数学模型来进行求解，然
后根据结果去解决实际问题，这种数学建模思想是数学的核心素养之一。本节作
业设计突出数学建模思想，第（1）题是以社会实践活动实地测量为背景确定河
道宽度，第（2）题是数学社团开展实践性研究测量两地之间的距离，第（3）题
是数学研究小组方案设计问题，前两小题在建立数学模型之后，通过作垂直构造
直角三角形，利用三角函数、方程思想解决问题，最后一题，在不同方案中根据
不同的测量数据，引导学生思考判断如何求解和怎样优化完善设计方案，从不同
角度思考解决问题，有助于发挥学生的自主学习能动性，培养学生思考解决问题
的习惯。
5.参考答案与解析
- 43 -
（1）B
【解析】本题考查的是解直角三角形的应用 方向角问题，正确标注方向角、熟
记锐角三角函数的定义是解题的关键．
作 交 的延长线于 ，设 米，根据正切的定义用 表示出 、 ，
根据题意列出方程，解方程即可．
【解答】解：作 交 的延长线于 ，
设 米，
°，
BD
CD 3x米，
tan30o
°，
米，
则 ，
60
解得 x 30( 3 1)，
3 1
即这段河的宽约为 （ ）米．
故选 ．
（2）
【解析】如图，过 作 ，交直线 于 ．
设 ， ．
- 44 -
o EC 4 x
在 中， tan53 ，即 ，
EB 3 y
EC 3 x
在 中， tan37
o ，即 ，
AE 4 105 y
， ，
， ，
（ ）．
（3）解： 第二个小组的数据无法计算出河宽；
第一个小组的解法：
， ， °，
°，
，
° （ ），
第三个小组的解法：设 ，
AH AH
则CA ， AB ,
tan35o tan70o
，
x x
101，
0.70 2.75
解得 ．
答：河宽为 ．
第九课时（解直角三角形的应用3--坡度与坡角）
作业1（基础性作业）
1.作业内容
（1）某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度 ，坝外斜坡的坡度
，则两个坡角的和为（ ）
A. B. C. D.
- 45 -
（2）如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形 ， ， 长 ，
坡角 为 ， 的坡角 为 ，则 长为 （结果保留根号）
（3）为了促进主城区与江东新区联动发展，某越江通道将于今年年底竣工通车.
某校数学实践活动小组利用无人机测算该越江通道的隧道长度．如图所示，隧道
在水平直线上，且无人机和隧道在同一个铅垂面内，无人机在距离隧道 米
的高度上水平飞行，到达点 处测得点 的俯角为 °，继续飞行 米到达点
处，测得点 的俯角为 °．
填空： 度， 度；
求隧道 的长度．（结果精确到 米，参考数据： ， ）
2.时间要求
10分钟以内
3.评价设计
作业评价表
作业评 等级
价表评 备注
A B C
价指标
A等：答案正确、过程正确。
答题的 B等：答案正确、过程有问题。
准确性 C等：答案不正确，有过程不完整；答案
不准确，过程错误、或无过程。
- 46 -
A等：过程规范，答案正确。
答题的
B等：过程不够规范、完整，答案正确。
规范性
C等：过程不规范或无过程，答案错误。
A等：解法有新意和独到之处，答案正确。
B等：解法思路有创新，答案不完整或错
解法的
误。
创新性
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂
或无过程。
AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、
综合评
AAC综合评价为B等；其余情况综合评价
价等级
为C等。
4.作业分析与设计意图
第（1）题考查坡度的概念以及坡度和坡角之间的关系，坡度是坡角的正切
值，本题中的涉及的坡度是特殊值，两个坡角为特殊角，学生掌握坡度的概念后
很容易确定坡角大小；第（2）题以在建高铁的某段路基横断面为梯形为背景，
已知坡角大小（特殊角），通过作垂直分割梯形，在直角三角形中利用三角函数
求解；第（3）题以过江隧道为背景，以梯形为基本图形，将俯角转化后实际就
是坡角问题，和第（2）题类似，通过作垂直分割梯形，在直角三角形中利用三
角函数求解。这些实际问题的载体千变万化，但是解决的关键是划成为解直角三
角形的问题，必要时应添加辅助线，构造直角三角形，再结合锐角三角函数来解
决。
5.参考答案与解析
（1）C
（2）
解：过点 D作 ED⊥AB于 E，过点 C作 CF ⊥AB于 F，
- 47 -
CD//AB，DE⊥AB，CF⊥AB，
DE=CF，
在 Rt CFB中，CF=BCsin45°=3 2（米），
DE=CF= 3 2（米），
在 Rt ADE中， A=30°， AED=90°，
AD=2DE= 6 2（米）．
（3）解： 点 处测得点 的俯角为 °，点 处测得点 的俯角为 °，
， ．
故答案为 ， ．
如图所示，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
则 米， 米．
PM
在 中， tanA ，
AM
PM 450AM 450 3 (米)，
tanA 3
3
QN
在 中， tanB ，
NB
QH 450
NB 450 (米)，
tan45o 1
米 ．
答：隧道 的长度约为 米．
作业2（发展性作业）
1.作业内容
（1）如图所示，防洪大堤的横断面是梯形 ，其中 ，坡角 ，
汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角 ，若原坡长 ，
求改造后的坡长 ．（结果保留根号）
- 48 -
（2）如图，水坝的横断面是梯形，背水坡 的坡角 ，坝高 米
汛期来临，为加大水坝的防洪强度，将坝底从 处向后水平延伸到 处，使新的
背水坡 的坡角 ，求 的长度．（结果精确到 米，参考数据：
， ）
（3）某兴趣小组为了测量大楼 的高度，先沿着斜坡 走了 米到达坡顶点
处，然后在点 处测得大楼顶点 的仰角为 ，已知斜坡 的坡度为 ，
点 到大楼的距离 为 米，求大楼的高度 ．
4 3 4
（参考数据： sin 53o ， cos53o ， tan53o ）
5 5 3
2.时间要求
15分钟以内
3.评价设计
作业评价表
作业评 等级
价表评 备注
A B C
价指标
- 49 -
A等：答案正确、过程正确。
答题的 B等：答案正确、过程有问题。
准确性 C等：答案不正确，有过程不完整；答案
不准确，过程错误、或无过程。
A等：过程规范，答案正确。
答题的
B等：过程不够规范、完整，答案正确。
规范性
C等：过程不规范或无过程，答案错误。
A等：解法有新意和独到之处，答案正确。
B等：解法思路有创新，答案不完整或错
解法的
误。
创新性
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂
或无过程。
AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、
综合评
AAC综合评价为B等；其余情况综合评价
价等级
为C等。
4.作业分析与设计意图
第（1）（2）两题都是以坡度、坡角为背景的斜坡改造问题，且均涉及特殊
角度，第（1）题求斜坡长度，第（2）题求水平长度，由于坡度和坡角的正切值
相对应，在求解中需要根据题目条件在不同直角三角形中灵活转化；第（3）题
是与坡度相关的高度测量问题，同时涉及坡角和仰角，这些概念都和直角三角形
密不可分，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，再
利用锐角三角函数、勾股定理等计算。此外，有关解直角三角形的实际问题，常
常需要近似计算，在做题时，学生需要读懂题意，读清要求，细心耐心计算，关
注解题细节，培养严谨的数学思维和解题习惯。
5.参考答案与解析
（1）
【解析】如图，过点 作 于点 ，
在 中， ，
则 ，
- 50 -
在 中， ，
AF
则 AE 10 6 ，
sin
答：改造后的坡长 为
（2）解：在 中，
， ， 米，
米．
在 中，
， ， 米，
BE 20
EF 20 3
tan30o 3 （米），
3
（米），
即 的长度约是 米．
（3）解：如图，过点 作 于点 ，作 于点 ．
在 中， ，
，
BE 1
tan BAE ，
AE 2.4
，
又 ，
，解得 ，
- 51 -
，
，
四边形 是矩形，
， ，
CF
在 中， tan CBF ，
BF
CF 4
即 tan53
o ，
BF 3
4
CF BF 32，
3
，
答：大楼的高度 约为 米．
六、单元质量检测作业
（一）单元质量检测作业内容
一、选择题
1．如图，在 中， ， °，点 是 延长线上的一点，
且 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
2．在 中，已知 °， ， ， 的对边分别是 ， ， ，若 ，
，则下列解该直角三角形的结果中完全正确的一组是（ ）
2 3
A. °， °，
3
B. °， °，
C. °， °，
6
D. °， °，
2
- 52 -
3．下列各式中正确的是（ ）
A. ° ° B. ° °
C. ° ° D. ° °
5
4．在 中， °， ，则 的值为（ ）
13
12 5 13 12
A. B. C. D.
13 12 12 5
5．如图 是一个小区入口的双翼闸机，它的双翼展开时，双翼边缘的端点 与 之
间的距离为 （如图 ），边缘 ，且与闸机侧立面夹角
，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为
（ ）
A. （ ） B. （ ） C. D.
二、填空题
2 3
6．已知 是锐角， ，则 的取值范围是 ．
2 2
1
7．锐角 满足 ，则 ° ______．
3
3
8．如图，在菱形 中， ， ， ，则 的值是
5
________．
三、解答题
- 53 -
1
9．在 中， ， ， 为锐角且 ．
2
（1）求 的度数；
（2）求 的面积；
（3）求 ．
4 3
10．如图， ， ， ， ，求 和 的长．
5 3
11．如图，某市郊外景区内一条笔直的公路 经过 ， 两个景点，景区管委会又
开发了风景优美的景点 ，经测量， 位于 的北偏东 °的方向上， 位于 的
北偏东 °的方向上，且 ．
（1）求景点 与 的距离；
（2）求景点 与 的距离． 结果保留根号
12．定义：在 中， °，我们把 的对边与 的对边的比叫做
的对边 BC
的邻弦，记作 ，即 ．
的对边 AB
请解答下列问题：
已知：在 中， °
（1）若 °，求 的值；
（2）若 ，则 ______；
（3）若 是锐角，探究 与 的数量关系．
- 54 -
（二）单元质量检测作业属性表
序 对应单元 对应学 完成时
类型 难度 来源
号 作业目标 了解 理解 应用 间
1 选择题 3、5 √ 易 原创
2 选择题 2、5 √ 易 原创
3 选择题 3 √ 易 改编
4 选择题 1 √ 中 原创
5 选择题 4 √ 较难 改编
6 填空题 2 √ 易 改编
40分钟
7 填空题 2 √ 易 改编
8 填空题 5 √ 中 原创
9 解答题 1、5 √ 易 原创
10 解答题 1、2、5 √ 易 改编
11 解答题 2、4 √ 中 改编
12 解答题 4 √ 较难 选编
（三）参考答案及解析
1．
【解析】解：如图， 在 中， ， °，
AC
， 3AC，
tan30o
，
，
DC (2 3)AC
2 3，故选 A．
AC AC
2．
【解析】解： °，且 ， ，
，
- 55 -
b 3
1，
a 3
°，
°，故选 C．
3．
【解析】解： ° ° ° °，因此选项 A不符合题意；
° °，因此选项 B不符合题意；一个锐角的余弦值随着角度的增
大而减小，于是有 ° °，因此选项 不符合题意； °
° ° ° ，因此选项 符合题意；故选 ．
4．
5
【解析】解： ，
13
设 ， ，
则 ，
AC 12
故 ，故选 ．
BC 5
5．
【解析】过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，如图，
， ，
1
AC 30 ，
2
同理可得 ，
- 56 -
通过闸机的物体的最大宽度为 ，故选 D．
6．
2 3
【解析】解： ，
2 2
2 3
° ， ° ，
2 2
° °，
° °．
故答案为 ．
2 2
7．
3
1 2
【解析】解： ，得： ( ) 1，
3
2 2
（负值舍去），
3
° ，
2 2 2 2
° ，故答案为 ．
3 3
8．
【解析】解：设菱形的边长为 ，在 中，
°，
， ，
AE 3
，
AD 5
a 2 3
，
a 5
，
，
， ，
- 57 -
DE 4
2，故答案为 ．
EB 2
1
9．解： 为锐角且 ，
2
°；
作 于 ，如图所示，
°，
° ° °，
1
AB 3，
2
，
1 1
的面积 BC AD 4 3 3 6 3；
2 2
， ，
，
AD 3 3
tanC 3 3．
CD 1
3
10．解： tanB ，
3
°，
4
cos ADC ，
5
DC 4
，
AD 5
，
，
，
- 58 -
；
°，
AC 3
，
BC 3
18
BC 6 3，
3
．
11．解：（ ）过点 作 直线 ，垂足为 ，如图所示．
根据题意，得： °， °．
设 ．
CD 3
在 中， tan CAD ，
AD 3
；
CD CD 3
在 中， tan CBD 3，sin CBD ，
BD BC 2
3 2 3
BD x ，CB x ，
3 3
3 2 3
3x x x 10，
3 3
，
2 3
CB x 10 ；
3
CD 1
（ ）在 中， sin CAD ，
AC 2
．
- 59 -
12．解：（ ）如图，作 ，垂足为 ，
BH 1
在 中， sinC ，即 ，
BC 2
BH 2
在 中， sinA ，即 ．
AB 2
BC
2；
AB
（ ） °或 °；
BC
（ ）在 中， ，
AB
BH
在 中， ，
AB
BH 1
在 中， ，即 ．
BC 2
2BH
2sinA．
AB
- 60 -

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