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第一部分 作业体例
初中学科九年级上第 23 章《解直角三角形》单元作业
一、单元信息
基本 学科 年级 学期 教材版本 单元名称
信息 数学 九 上 沪科版 解直角三角形
单元组
自然单元 重组单元
织方式
序 课时名称 对应教材内容
课时 号
信息 1 23.1 锐角的三角函数 1. 锐角三角函数的概念；
2. 特殊角的三角函数值；
3. 一般锐角的三角函数值
2 23.2 解直角三角形及 4. 解直角三角形的概念；
其应用 5. 运用三角函数解决与直角三
角形有关的简单实际问题
说明：1.单元一般是指同一主题下相对独立并自成体系的学习内容，相当于
一个微课程，不一定是一个大概念成为一个单元主题。主题可以是一个观念、一
个专题、一个关键能力或一个真实问题，一个综合性的项目（或跨学科）任务。
2.根据课标，教材内容编排，学情及学习内容之间的关联性进行确定单元主题，
具体做法建议如下：一是自然单元，以教材原先设计的自然章节作为一个单元主
题。二是重组单元，以课标中的某个学习主题、某个大概念或学科关键能力等重
组单元。
二、单元分析
（一）课标要求
（1）利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（ sin A， cos A，
tan A），知道 30°，45°，60°角的三角函数值。
1
（2）会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它
的对应锐角。
（3）能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际
问题。
（二）教材分析
本章的主要内容有锐角三角函数和解直角三角形的概念、有关锐角三角函数
的计算，以及锐角三角函数在解决与直角三角形有关的问题中的应用。解直角三
角形的知识在实际中有较多的应用。本章首先从学生比较感兴趣的汽车爬坡能力
谈起，引出一个锐角三角函数——正切，因为相比之下正切是生活中用得最多的
三角函数概念，如山坡的坡度，物体的倾斜程度都是用正切来刻画的。类比正切
的概念，进而介绍了正弦，余弦的概念。对于一般的锐角三角函数值的计算问题，
教科书中详细介绍了运用计算器由锐角求三角函数值，以及由三角函数值求锐角
的方法，并适当地加强这方面计算能力的训练。这也为进一步学习解直角三角形
的应用题做好充分的准备。
（三）学情分析
前面学生已经学习过相似三角形，勾股定理以及三角形的边角关系等知识，
都为本章的学习做好了充分的铺垫。同时本章是三角学中最基础内容，也是高中
乃至今后进一步学习三角学的必要基础。教科书在运用学习过的相似三角形的基
础上推出直角三角形的锐角大小确定后，直角三角形的两边之比为一定值，从而
引入锐角三角函数的概念，进一步强化了数与形的结合思想，并且有利于数学知
识间的串联，延伸。教师引导总结得当，学生学习起来就会更加得心应手，让知
识体系的构建更加完整和合理。
三、单元学习与作业目标
目标类别 知识技能目标 过程性目标
目标层次 了 理 掌 灵活 经历 体验 探
知识点及相关技能 解 解 握 运用 （感受） （体会） 索
锐角三角函数的概念 √ √
锐 角 锐角的正弦、余弦和正切 √ √
三 角 正弦、余弦、正切的符号 √ √
函数 （ sin A， cos A， tan A）
30°、45°、60°角的三角函 √ √
数值
2
三 角 用计算器求锐角的三角函数值 √ √
函 数 用计算器根据三角函数值求锐 √ √
的 计 角
算
解 直 解直角三角形的概念 √ √
角 三 运用三角函数解决与直角三角 √ √
角形 形有关的简单实际问题
单元作业目标
[知识与技能目标]
①了解并掌握锐角三角函数的概念。
②牢记几个特殊角的三角函数值，并能进行简单的运算。
③理解并掌握任意两个锐角互余时，正、余弦之间的关系，会把互余两角的
正、余弦互化。
④运用三角函数解决与直角三角形有关的简单的实际问题。
⑤结合勾股定理，解决直角三角形的边角转化问题。
[过程与能力目标]
⑥引导学生探索三角函数的推导过程，提升学生的数学推理能力。
⑦培养学生把实际问题转化为数学问题并解决的能力，提高学生的形象思维
能力，渗透转化的数学思想。
[情感与态度能力]
⑧学习中感受数学与生活的密不可分，来源于生活，也服务于生活。培养理
论联系实际，敢于实践，勇于探索的精神。
四、单元作业设计思路
在设计本章作业时，要从唤醒学生的转化能力、推理能力开始，结合生活中
实际内容，按层次分解作业梯度，逐步达成作业目标，尝试运用三角函数，由课
本内容延伸到生活中的实际内容，培养学生探索的精神。同时，应该结合“双减”
政策，优化作业内容，丰富作业形式。对于基础知识，大部分学生能轻松掌握，
但仍有部分后进生或惰性较大的学生会有一点吃力。所以在设计作业时，基础知
识是根本，应该体现在每一节课时中。同时，适当安排一些能力拓展的题目，通
过长时间积累，可以提高学生的数学理解能力。学生可以根据自己的能力选择性
地完成，达到分层的目的。让学生在循序渐进中掌握知识，提高能力，乐在其中。
3
第 23 章 解直角三角形
23.1 锐角的三角函数
23.1.1 锐角的三角函数
单元名称 解直角三角形 课题 正切 节次 1
作业 题 作业内容 设计意图 时间
类型 号 要求
1 在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1， 本题考查正切
的定义，要掌握
BC＝3，则∠B的正切值为（ ） 锐角 A的对边 a
与邻边 b的比叫
A 1 10．3 B． C． D 3 10． 做∠A的正切.
3 10 10
2 在 Rt△ABC中，若各边长都扩大为原来 同上，要理解正
的 3倍，则锐角 A的正切值（ ） 切的值是一个
A．扩大为原来的 3倍 比值，只与角的
1
B．缩小为原来的 大小有关.
3
基础题
C．不变
D．以上都不对
3 如图，点 A（t，3）在第一象限，OA 本题考查正切
3
与 x轴所夹的锐角为α， tan ，则 的定义及运用：
2
t 在直角三角形的值是（ ）
中，锐角正切为 18min
对边比邻边.
A．1 B．1.5 C．2 D．3
4
4 如图，河坝横断面迎水坡 AB的坡比为 本题考查直角
1： 2，坝高 BC＝4m，则 AB的长度 三角形的应用
——坡度坡角
为（ ）
问题，正确掌握
坡比的定义是
解题的关键.
A．2 6 m B．4 2 m
C．4 3m D．6m
5 某人沿坡度 i＝1：2的斜坡向上前进了 本题要掌握坡
10 米，则他上升的高度为（ ） 度的概念，结合
A．5米 B．2 5米 勾股定理设参
数进行解答.
C． 4 5米 D．10 米
6
如图，P（12，a 60）在反比例函数 y 本题考查了反
x
图象上，PH⊥x轴于 H，则 tan∠POH 比例函数图象
上点的坐标特
的值为 ．
征，锐角三角函
数的定义及运
用.
7 如图，在四边形 ABCD中，E、F分别 本题考查的是
是 AB、AD中点，若 EF＝2，BC＝5， 三角形中位线
CD＝3，则 tanC等于（ ） 定理、勾股定理
的逆定理、解直
角三角形的知
识，熟练应用中
A 4 3． B． C 3 4． D．
3 4 5 5 位线定理是解
题的关键.
5
8 如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶 考查了解直角
宽 6m，坝高 23m，斜坡 AB的坡度 i＝ 三角形的应用，
1：3，斜坡 CD的坡度 i′＝1：2.5．求 解决本题的关
斜坡 AB的坡角α（精确到 1度），坝底 键是利用锐角
宽 AD和斜坡 AB的长（精确到 0.1m） 三角函数的概
念和坡度的概
念求解.
9 如图，A、B、C是小正方形的顶点， 本题考查了锐
且每个小正方形的边长为 1，则 角三角函数的
tan∠BAC的值为（ ） 定义，解直角三
角形，以及勾股
定理，熟练掌握
勾股定理是解
A 1 B 1 C 3． ． ． D． 3 本题的关键.
拓展题 2 3
10 如图，在矩形 ABCD中，AB＝11，AD 本题考查折叠 12min
＝6，点 E是边 AB上的点（不与点 A， 问题，能运用三
B重合），将∠A沿 DE折叠，点 A1是 角形相似，全等
点 A的对应点；点 F是边 BC上的点， 三角形，勾股定
将∠B沿 EF折叠，点 B1是点 B的对应 理等知识综合
点，且点 B1在直线 EA1上. 求解是解的关
（1）若 DE＝EF，求 CF的长； 键.
（2）若点 F是 BC的中点，求 tan∠ADE
的值.
评价分为 A、B、C三个等级，A 等：超过 8题过程规范准
评价设计
确，答案正确，解法有独到之处. B等：超过 6题过程不够规范，
6
答案有一些问题，解法较常规. C等：超过 6题过程不规范或无
过程，答案错误，思路不清晰.
参考答案
5
1.B 2.C 3.C 4.C 5.B 6. 7.A 8.解：∵AB 的坡度 i＝1：3，
12
1
∴ tan ＝ ，
3
∴α≈18°，
23 1
＝ ，
AE 3
∴AE＝69，
∴AB＝ 232 692 ≈72.7（m），
∵BC＝6，
∴EF＝6，
∵CD的坡度 i′＝1：2.5，
CF 1
∴tan∠D＝ ，
DF 2.5
23 1
∴ ＝ ，
DF 2.5
∴DF＝57.5，
∴AD＝AE+EF+DF＝69+6+57.5＝132.5（m）．
答：坝底宽 AD 的长是 132.5m，斜坡 AB的长是 72.7m．
9.B
10.解：（1）将∠A沿 DE折叠，点 A1是点 A的对应点，
∴△AED≌△A1ED，
∴∠DEA＝∠DEA1，
∵将∠B沿 EF折叠，点 B1是点 B的对应点，
∴△EFB≌△EFB1，
∴∠BEF＝∠B1EF，
∴∠DEF＝90°，
∵∠EDA+∠DEA＝∠DEA+∠FEB＝90°，
∴∠DEA＝∠FEB，
7
∵DE＝EF，
∴△DAE≌△EBF（AAS），
∴BF＝AE，DA＝BE，
∵AB＝11，AD＝6，
∴EB＝6，AE＝BF＝5，
∴CF＝1；
（2）由（1）知，△DAE∽△EBF，
AE AD
∴
BF BE
∵点 F是 BC的中点，
∴BF＝3，
AE 6
∴ ， ∴AE＝2或 AE＝9，
3 11 AE
1 3
在 Rt△ADE中，tan∠ADE＝ 或 tan∠ADE＝
3 2 .
8
第 2课时 正弦和余弦
单元名称 解直角三角形 课题 正弦和余弦 节次 1
作业 题 作业内容 设计意图 时间
类型 号 要求
1 如图，在△ABC中，∠A＝90°，若 AB 本题考查正弦
＝8，AC＝6，则 sinC的值为（ ） 的定义，结合勾
股定理求解即
可.
A 4 3． B． C 3． D 4．
3 4 5 5
2 在△ABC 中，已知∠C＝90°，AC＝ 同上，注意正弦
4 5 sin A 2， ，那么 BC 边的长是 的表达式，求出
3
基础题 边长.
（ ）
A． 2 5 B．8 C． 4 5 D．12
3 如图，在平面直角坐标系中，点 A的坐 本题需利用网
格的特点，将要
标为（3，4），那么 cos 的值是（ ） 求三角函数的
锐角转化到某
个直角三角形
中是解题的关
键. 20min
A 3 B 4 C 3 4． ． ． D．
4 3 5 5
4 已知，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，如 本题主要考查
果AC＝2，∠A＝α，则AB的长为（ ） 了锐角三角函
A．2sinα B．2cosα 数关系，正确数
C．2tanα D 2． 形结合是解题
cos
关键。
5 在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 本题考查了锐
交于点 D，则下列等式中错误的是 角三角函数定
（ ） 义的应用，主要
9
考查学生对锐
角三角函数的
定义的理解能
A sin B AC． B sin B AD．
AB AC 力和辨析能力.
C． sin B BD D sin B CD ．
BC BC
6
△ABC C sin A 4中，∠ ＝90°， ，求 在直角三角形
5
cos A tan B 中，当给出某一， 的值．
锐角的三角函
数值，求另一个
锐角的三角函
数值时，可以用
设参数的方法
来解决.
7 已知：如图，△ABC中，AB＝9，BC 本题意在训练
＝6，△ABC的面积等于 9，求 sin B 学生做这类题
的值． 目时，构造直角
三角形是关键，
往往在告诉面
积时要结合面
积求高来解决.
8 如图，点 E是矩形 ABCD中 CD边上一 本题考查矩形
点，△BCE沿 BE折叠为△BFE，点 F 的性质、相似三
落在 AD上． 角形的判定和
（1）求证：△ABF∽△DFE； 性质以及锐角
（2）若 sin∠DFE＝ ，求 tan∠EBC 三角函数的概
念，掌握有两个
的值．
角相等的两个
三角形相似是
解题的关键.
10
9 如图所示方格纸中每个小正方形的边 本题是第7题的
长为 1，其中有三个格点 A、B、C，则 变式，放在网格
sin∠ABC＝ ． 中，格点三角形
的边长以及面
积一般方便求
解，再利用第 7
题方式求解。在
做题时要学会
总结，找到同类
题常用的方法。
拓展题 10 如图，在菱形 ABCD中，AC＝6，BD 本题是三角函 12min
＝8． 数与菱形的结
（1）求 sin∠ABD． 合，在解题时运
（2）扬扬发现∠ABC＝2∠ABD，于是 用菱形相关性
她推测：sin∠ABC＝2sin∠ABD，她的 质进行求解。并
推测正确吗？请通过本题图形中的数 在第 2问中，体
据予以说明． 会三角函数值
与对应的角度
之间并没有相
对应的倍数关
系。比如：∠A
是∠B的 2倍，
sin∠A 未必是
sin∠B的 2倍。
评价分为 A、B、C三个等级，A 等：超过 8 题过程规范准
确，答案正确，解法有独到之处. B等：超过 6题过程不够规范，
评价设计 答案有一些问题，解法较常规. C等：超过 6题过程不规范或无
过程，答案错误，思路不清晰.
11
参考答案
1.D 2.B 3.C 4.D 5.C
6. 4解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°， sin A ，
5
可设 BC=4k，AB=5k，根据勾股定理，得 AC=3k.
cos A AC 3 tan B BC 4∴ ，
AB 5 AC 3
7.解：过 C作 CD⊥AB于 D，
∵△ABC中，AB＝9，△ABC的面积等于 9，
∴ ×AB×CD＝9，
∴CD＝2，
∴ sin B CD 2 1 ．
BC 6 3
8.（1）证明：∵四边形 ABCD是矩形
∴∠A＝∠D＝∠C＝90°，
∵△BCE沿 BE折叠为△BFE，
∴∠BFE＝∠C＝90°，
∴∠AFB+∠DFE＝180°﹣∠BFE＝90°，
又∵∠AFB+∠ABF＝90°，
∴∠ABF＝∠DFE，
∴△ABF∽△DFE；
DE 1
（2）解：在 Rt△DEF中，sin∠DFE ，
EF 3
∴设 DE＝a，EF＝3a，DF＝ EF 2 DE 2 2 2a，
∵△BCE沿 BE折叠为△BFE，
∴CE＝EF＝3a，CD＝DE+CE＝4a，AB＝4a，∠EBC＝∠EBF，
又∵△ABF∽△DFE，
EF DF 2 2a 2
∴ ，
BF AB 4a 2
12
∴tan EF 2∠EBF＝ ，
BF 2
tan∠EBC＝tan∠EBF 2＝ .
2
9. 9 145
145
10.解：（1）设 AC、BD交于点 O，
则 AO⊥BO，AO＝3，BO＝4，
根据勾股定理得 AB=5，
∴sin 3∠ABD＝ ．
5
（2）不正确．
理由：如图，作 AE⊥BC，垂足为 E，菱形 ABCD 1的面积＝ AC BD BC AE，
2
1 6 8 5AE AE 24即 ，得 ，
2 5
sin ABC AE 24所以 ．
AB 25
由（1）得 sin 3∠ABD＝ ，
5
∴2sin∠ABD＝2 3 6× ＝ ≠sin∠ABC，
5 5
即扬扬的推测不正确．
13
23.1.2 30°,45°,60°角的三角函数值
第 1课时 30°,45°,60°角的三角函数值
特殊角的三角
单元名称 解直角三角形 课题 节次 1
函数值
作业 题 作业内容 设计意图 时间
类型 号 要求
1 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A 本题考查了特
＝30°，则 sin B的值为（ ） 殊角的三角函
数值，正确记忆
相关数据是解
题关键.
A 1 B C 2 D 3． ．1 ． ．
2 2 2
2 已知在 Rt△ABC 中，∠C＝90°， 本题需熟记特
基础题
tan A 3
殊角的三角函
，则∠B的度数是（ ）
3 数值.
A．30° B．45° C．60° D．75°
3 18min
3 同 上 ， 注 意
已知 cos（α+10°）＝ ，且α是锐角，
2 α+10°看作一
则α＝（ ） 个整体.
A．20° B．45° C．60° D．90°
4 2计算：2sin 45°+tan60° tan30°﹣ 本题要熟记特
cos60°＝ ． 殊角的三角函
数值，认真计算
5 点（﹣sin60°，cos60°）关于原点对 本题主要考查
称的点的坐标是 . 了特殊角的三
角函数值以及
关于原点对称
点的性质.
14
6 菱形 OABC 在平面直角坐标系中的位置 本题综合考查
如图所示．∠AOC＝45°，OC＝ 2， 了菱形的性质
和坐标的确定，
则点 B的坐标为（ ）
综合性较强.
A．（ 2，1） B．（1， 2）
C．（ 2 +1，1） D．（1， 2 +1）
7 数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小 本题考查的是
陆同学发现：一副三角板中，含 45° 特殊角的三角
的三角板的斜边与含 30°的三角板的 函数值的应用，
长直角边相等，于是，小陆同学提出一 掌握锐角三角
个问题：如图，将一副三角板直角顶点 函数的概念、熟
重合拼放在一起，点 B，C，E在同一 记特殊角的三
直线上，若 BC＝2，求 AF的长。请你 角函数值是解
运用所学的数学知识解决这个问题。 题的关键.
8 △ABC 中，∠A，∠B 均为锐角，且 本题考查特殊
tan B 3 2sin A 3 0 ,则△ABC 角的三角函数
拓展题 值、三角形形状
一定是（ ）
A B 的判断，注意分．等腰三角形 ．等边三角形
C 类讨论.．直角三角形
D．有一个角是 60°的三角形
15
9 已知 a△b＝ab+（a﹣b），例如：2△3 本题考查了特
＝2×3+（2﹣3）＝5，求：sin30°△ 殊角的三角函 12min
（tan45°﹣tan60°）的值． 数值，计算时注
意勿漏掉负号.
评价分为 A、B、C三个等级，A 等：超过 6题过程规范准
评价设计 确，答案正确，解法有独到之处. B等：超过 5题过程不够规范，
答案有一些问题，解法较常规. C等：超过 5题过程不规范或无
过程，答案错误，思路不清晰.
参考答案
1.D 2.C 3 3 13.A 4. 5.（ ，- ） 6.C
2 2 2
7.解：在 Rt△ABC中，BC＝2，∠A＝30°，
AC BC＝ 2 3，
tan A
则 EF＝AC＝ 2 3，
∵∠E＝45°，
∴FC＝EF sinE＝ 6 ，
∴AF＝AC﹣FC＝ 2 3 6．
8.D
9.解：原式＝ △（1﹣ 3）
＝ ×（1﹣ 3）+（ ﹣1+ 3）
3
＝ ．
2
16
第 2课时 互余两锐角的三角函数关系
互余两角的三
单元名称 解直角三角形 课题 节次 1
角函数关系
作业 题 作业内容 设计意图 时间
类型 号 要求
1 在直角△ ABC 中，∠ C＝ 90°， 本题考查锐角
sin A 3 ，那么 tan B＝（ ） 三角函数，勾股
5
4 3 3 4 定理，掌握锐角A． B． C． D．
3 4 5 5 三角函数的定
义和勾股定理
是解决问题的
前提.
2 若 sin（70°﹣α）＝cos50°，则α的 本题考查了互
度数是（ ） 余两角三角函
A．20° B．30° C．40° D．50° 数的关系，关键
是根据互余两
基础题 角三角函数的 10min
关系得到关于α
的方程.
3 在 Rt△ABC中，∠C＝90°，则下列式 本题考查了互
子一定成立的是（ ） 余两角三角函
A． sin A sin B B． cos A cosB 数的关系，熟记
C． tan A tan B D． sin A cosB 同角（或余角）
的三角函数关
系式是解题的
关键.
4 ∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角， 本题考查了互
则 sin A B等于（ ） 余两角的三角
2
函数的关系及
A． cosC B． sin C
2 2 等腰三角形的
17
C cosC D cos A B． ． 性质.
2
5 若角α、β是直角三角形的两个锐角，则 本题考查了互
﹣tan 的值为（ ） 余两角三角函
A．0 B 数的关系，利用．1
一个角的正弦
C．1﹣ 2 D 2． ﹣1
2 等于它余角的
余弦是解题关
键，还要熟记特
殊角三角函数
值.
6 若∠A＝35°，∠B＝65°，试比较 本题考查了互
cos A与 sin B的大小，并说明理由． 余两角的正弦
与余弦的关系：
cos
以sin 90
及正弦函数的
拓展题 增减性. 15min
7 如图，已知在 Rt△ABC中，∠C＝90°， 本题利用了锐
角三角函数的
它的三边长分别为 a，b，c，对于同一 概念和勾股定
个锐角 A 的正弦，余弦存在关系式 理对同角的三
角函数的关系：
sin2A+cos2A＝1试说明． sin2A+cos2A＝ 1
进行了证明和
应用.
评价分为 A、B、C三个等级，A等：超过 5题过程规范准确，
答案正确，解法有独到之处. B等：超过 4 题过程不够规范，答
评价设计 案有一些问题，解法较常规. C等：超过 4 题过程不规范或无过
程，答案错误，思路不清晰.
18
参考答案
1.A 2.B 3.D 4.A 5.A
6.解：∵在直角△ABC中，∠A+∠B＝90°，
∴ sin B cos A 12 ；
13
a
7.解：∵ sin A ，cos A b
c c
2
sin2A+cos2A a b
2 a 2 b 2
∴ ＝ 2 c c 2 c 2
∵a2+b2＝c2，∴sin2A+cos2A＝1．
19
23.1.3 一般锐角的三角函数值
23.1.3 一般锐
解直角
单元名称 课题 角的三角函数 节次 1
三角形
值
作业 题 时间
作业内容 设计意图
类型 号 要求
1．用计算器求 sin24°37'的值， 本题通过用计算器
以下按键顺序正确的是（ ） 求三角函数的正确
A． 按键顺序，巩固了用
1 计算器求三角函数
B．
值，掌握 DMS表示
C．
度分秒是解题的关
D． 键．
如图，在△ABC中，∠C＝90°，
∠B＝42°，BC＝8，若用科学计
算器求 AC的长，则下列按键顺序
正确的是（ ） 本题通过用计算器
基础题 求三角函数的正确 10min
按键顺序，巩固了用
2
计算器求三角函数
A． 值以及正切球的概
念.
B．
C．
D．
已知 sin A＝0.1782，则锐角 A的 此题巩固了使用计
度数大约为（ ） 算器解决三角函数
3
A．8° B．9° C．10°D．11° 问题，解题关键是正
确使用计算器.
20
用计算器求 sin15°、sin25°、sin35°、
sin45°、sin55°、sin65°、sin75°、
sin85°的值，研究 sin 的值随锐 本题巩固了用计算
角α变化的规律，根据这个规律判 器求三角函数值的
1 3 方法，解题的关键是
4 断：若 ＜ sin ＜ ，则（ ）
2 2 通过计算得出 sin
A．30°＜α＜60° 的值随锐角α的增大
B．30°＜α＜90° 而增大．
C．0°＜α＜60°
D．60°＜α＜90°
本题巩固了三角函
数的计算，解题的关
用计算器求得 tan65°≈
5 键是正确利用计算
（精确到 0.01）．
器得出答案.
计算： ﹣2sin 245°﹣3．
本题通过用计算器
方式一：（用计算器计算）计算的
求三角函数的正确
结果是 ．
拓展题 按键顺序，巩固了用
6 按键顺序为： 5min
计算器求三角函数
值以及二次根式的
方式二：（不用计算器计算）
运算.
评价分为 A、B、C三个等级，A等：超过 5题过程规范准
确，答案正确，解法有独到之处. B等：超过 4题过程不够规范，
评价设计
答案有一些问题，解法较常规. C等：超过 4题过程不规范或无
过程，答案错误，思路不清晰.
21
参考答案
1. A 2.D 3.C 4.A
5.方式一：（用计算器计算）
计算的结果是﹣9．
按键顺序为：（以卡西欧计算器为例）
方式二：（不用计算器计算）
原式＝ 2 2 2 9
2
＝ ﹣9
＝﹣9．
22
23.2.1 解直角三角形
单元名称 解直角 课题 23.2.1 解直角 节次 1
三角形 三角形
作业 题 作业内容 设计意图 时间
类型 号 要求
1 在Rt△ABC中，斜边AB的长为m， 本题通过利用 40°
∠B＝40°，则直角边 AC的长是 的正弦值进行计算，
（ ） 巩固解直角三角形
A．msin40° B．mcos40° 的方法.掌握锐角三
C．mtan m40° D． 角函数的正弦、余
tan 40
基础题 弦、正切是解决本体
的关键.
2 在 Rt△ABC 中，有下列情况，则 本题通过根据解直
直角三角形可解的是（ ） 角三角形需要满足
A．已知 BC＝6，∠C＝90° 的条件，逐一判断得
B．已知∠C＝90°，∠A＝60°， 出结论，巩固了解直
BC＝5 角三角形，掌握求解
C．已知∠C＝90°，∠A＝∠B 直角三角形的条件
D．已知∠C＝∠B＝45° 是解决本题的关键． 18min
3 如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°， 本题根据正弦的定
AB 1＝4，sin A＝ ，则 BC的长为 义计算，得到答案，
2
巩固了解直角三角
（ ）
形、掌握正弦的定
义，提高了学生的计
算能力.
A．2 B．3 C． D．
4 在 Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A 本题利用直角三角
5 形的边角间关系先
＝ ，BC＝ ，则 AC的长
3 求出 AB，再利用勾
23
为 ． 股定理求出 AC．巩
固了学生解直角三
角形的方法以及综
合运用勾股定理、直
角三角形的边角间
关系解决问题.
5 （1）在△ABC中，∠C＝90°， 本题通过解直角三
∠A＝60°，BC＝8，求 AB和 AC 角形，含 30°角的
的长； 直角三角形，巩固了
（2）在△ABC中，∠C＝90°，a 直角三角形的边角
＝ ，b＝ ，解这个直角三角 关系.
形．
6 在△ABC中，AB＝AC＝10， 本题通过解直角三
cosB 2 ，那么 BC的长是（ ） 角形，等腰三角形的
5
性质，巩固解直角三
A．4 B．8
角形的方法以及综
C． D．
合运用等腰三角形
的三线合一添加辅
助线的能力.
7 如图，在△ABC中，∠A＝90°， 本题通过解直角三
斜边BC的垂直平分线分别交AB、 角形，巩固三角函数
BC 7交于点 D、E，如果 cos B＝ ， 的定义以及线段垂
8
AB CD 直平分线的性质.＝7，那么 的长等
于 ．
8 在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠ 本题巩固了解直角
24
B＝60°，则△ABC的面积 三角形、含 30°角
是 ． 的直角三角形的性
质、勾股定理以及三
角形面积公式等知
识，由勾股定理求出
AD的长是解题的关
键．
9 四边形具有不稳定性，对于四条 本题通过解直角三
边长确定的四边形，当内角度数 角形求三角形边长
发生变化时，其形状也会随之改 以及将阴影部分的
变．如图，改变边长为 2的正方 面积化为面积之差
拓展题 形 ABCD的内角，变为菱形 巩固了解直角三角
ABC'D'，若∠D'AB＝45°，则阴 形的应用，提高了学
影部分的面积是（ ） 生的分析问题，解决
问题的能力.
12min
5 2
A． B．5 2
2
5 2 2
C． D．5 2 2
2
10 在△ABC中，tan∠B 1＝ ，AB＝ 本题需要分两种情
3
况讨论，通过锐角三
，AC＝ ，则线段 BC的长
角函数的定义及运
为 ．
用以及分类讨论的
数学思想方法，巩固
了解直角三角形，勾
股定理，提高了学生
25
的运算能力以及分
析能力.
评价分为 A、B、C三个等级，A等：超过 5题过程规范准
评价设计 确，答案正确，解法有独到之处. B等：超过 4题过程不够规范，
答案有一些问题，解法较常规. C等：超过 4题过程不规范或无
过程，答案错误，思路不清晰.
参考答案
1. A 2.B 3.A 4. 4
5.解：（1）在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝8，
∴AB BC 8 16 3＝ ＝ ＝ ，
sin 60 3 3
2
∴AC＝ABcos 16 3 1 8 360°＝ × ＝ ，
3 2 3
8 3
答：AC= ，AC 16 3= ；
3 3
（2）在△ABC中，∠C＝90°，a＝ ，b＝ ，
a 6 3
∴ tan A＝ ＝ ＝ ，
b 3 2 3
∴∠A＝30°，
∴c＝2a＝2 ，
∴∠B＝90°-∠A＝60°，
∴c=2 ，∠A＝30°，∠B＝60°．
6.B
23
7.
7
8.12
9.D 10.3+ 或 3-
26
23.2.2 解决单一直角三角形的实际问题
解直角 23.2.2 解决单
单元名称 三角形 课题 一直角三角形 节次 1
的实际问题
作业 题 作业内容 设计意图 时间
类型 号 要求
1 如图，坡角为α的斜坡 AB长 本题结合解直角三
角形的应用—坡度
米，若 tan 1＝ ，则斜坡的铅直
2 坡角问题巩固了利
高度 BC长为（ ）
用正切的定义解决
问题.
基础题
A． 米 B．5 米
C．10 米 D． 米 10min
2 如图，在离铁塔 BC底部 30 米的 本题结合解直角三
D处，用测角仪从点 A处测得塔 角形的应用﹣仰角
顶 B的仰角为α＝30°，测角仪高 俯角问题，巩固正确
AD为 1.5 米，则铁塔的高 BC为 作出辅助线，构造出
（ ） 直角三角形解决问
题的方法,提高了分
析问题，解决问题的
能力.
A．16.5 米
B．（10 +1.5）米
C．（15 +1.5）米
D．（15 +1.5）米
27
3 如图要测量小河两岸相对的两点 本题通过解直角三
P，A的距离，点 P位于点 A正北 角形的应用，巩固解
方向，点 C位于点 A的北偏西 直角三角形的一般
46°，若测得 PC＝50 米，则小河 过程.提高了将实际
宽 PA为（ ） 问题抽象为数学问
题的能力以及根据
题目已知特点选用
适当锐角三角函数
A．50sin 或边角关系去解直44°米
B．50cos 角三角形的能力.44°米
C．50tan44°米
D．50tan46°米
4 如图，一艘海轮位于灯塔 P的南 本题通过解直角三
偏东 37°方向，距离灯塔 40 海里 角形的实际应用，巩
的 A处，它沿正北方向航行一段 固了方位角、直角三
时间后，到达位于灯塔的正东方 角形、锐角三角函数
向上的 B处，这时，B处与灯塔 P 的有关知识，结合航
的距离 PB的长可以表示为 海中的实际问题，将
（ ） 解直角三角形的相
关知识有机结合，体
现了数学应用于实
际生活的思想．
A．40 海里
B．40sin37°海里
C．40cos37°海里
D．40tan37°海里
5 人字折叠梯完全打开后如图 1所 本题是将实际问题
28
示，B，C是折叠梯的两个着地点， 转化为直角三角形
D是折叠梯最高级踏板的固定 中的数学问题，熟练
点．图 2是它的示意图，已知 AB 掌握锐角三角函数
＝AC，BD＝140cm，∠BAC＝ 的正弦、余弦、正切
40°，则点 D离地面的高度 DE 是解题的关键．
为 cm．（结果精确到 0.1
cm；参考数据：sin70°≈0.94，
cos70°≈0.34，sin20°≈0.34，
cos20°≈0.94）
6 如图 1是一台手机支架，图 2是 本题结合生活中的
其侧面示意图，AB，BC可分别绕 实际问题巩固解直
点 A，B转动，测量知 BC＝8cm， 角三角形，提高学生
拓展题 AB＝16cm．当 AB，BC转动到∠ 分析问题，解决问题
BAE＝60°，∠ABC＝50°时，点 的能力.构造直角三
C到 AE的距离为 角形，利用直角三角
cm．（结果保留小数点后一位，参 形的边角关系是解
考数据：sin70°≈0.94， ≈ 决问题的关键．
1.73）
15min
29
7 为了解决楼房之间的采光问题， 本题通过解直角三
我市有关部门规定：两幢楼房之 角形的应用巩固了
间的最小距离要使中午12时不能 解直角三角形，解答
遮光．如图，旧楼的一楼窗台高 1 本题的关键是求出
米，现计划在旧楼右侧 50 米处再 AC的长．
建一幢新楼．若我市冬天中午 12
时太阳照射的光线与水平线的夹
角最小为α度，则新楼最高可建多
少米？
评价分为 A、B、C三个等级，A等：超过 5题过程规范准
评价设计 确，答案正确，解法有独到之处. B等：超过 4题过程不够规范，
答案有一些问题，解法较常规. C等：超过 4题过程不规范或无
过程，答案错误，思路不清晰.
参考答案
1． B 2.B 3.C 4.B 5. 131.6 6. 6.3
7.解：设旧楼的一楼阳台处即为点 B，过点 B作 BC⊥AC交 AC于点 C，如右图
AC
所示，则∠ABC＝α，∵BC＝50m，∠BCA＝90°，∴tan ＝ ，
BC
∴AC＝BC tan ＝50tan ，又∵旧楼阳台高 1m，
∴新楼最高可建（50tan +1）m，
30
23.2.3 解决双直角三角形的实际问题
解直角 23.2.3 解决双
单元名称 三角形 课题 直角三角形的 节次 1
实际问题
作业 题 作业内容 设计意图 时间
类型 号 要求
1 如图所示，某拦水大坝的横断面 本题结合解直角三
为梯形 ABCD，AE，DF为梯形的 角形的应用﹣坡度
高，其中迎水坡 AB的坡角α＝ 坡角问题，提高了学
45°，坡长 AB＝10 米，背水坡 生的推理能力和应
用意识.熟练掌握坡
CD的坡度 i＝1： ，则背水坡的
度坡角的概念，由锐
坡长 CD为（ ）米．
角三角函数定义求
基础题 出 AE的长是解题的
关键.
A．20 B．20
C．10 D．20
15min
2 如图，山顶有一座电视塔 BC，在 本题结合解直角三
地面上一点 A处测得塔顶 B的仰 角形的应用—仰角
角α＝60°，在塔底 C处测得 A点 俯角问题，巩固了解
俯角β＝45°，已知塔高 BC为 直角三角形的方法.
60m，则山高 CD等于（ ）. 熟练掌握等腰直角
三角形的判定与性
质和锐角三角函数
定义是解题的关键．
A． m
B．B． m
31
C．30m
D． m
3 如图，一艘轮船在小岛 A的西北 本题结合解直角三
方向距小岛 40 海里的 C处，沿 角形的应用—方向
角问题，巩固直角三
正东方向航行一段时间后到达小
B 角形的边角关系，提岛 A的北偏东 60°的 处，则该
高作垂线构造直角
船行驶的路程为（ ）
三角形的解题能力.
A．80 海里
B．120 海里
C．（40+40 ）海里
D．（40+40 ）海里
4 某数学兴趣小组进行了测量塔高 本题结合解直角三
度的社会实践活动．如图，他们 角形的应用﹣仰角
先在点 D处用高 1.5 米的测角仪 俯角问题，解题的关
AD测得塔顶 M的仰角为 30°， 键是灵活运用所学
然后沿DF方向前行70m到达点E 知识解决问题，本题
处，在点 E处测得塔顶 M的仰角 的突破点是证明 AB
为 60°．求塔的高 MF．（结果保 ＝BM.
留根号）
5 如图，点 A到点 C的距离为 100 本题通过解直角三
米，要测量河对岸 B点到河岸 AD 角形的应用巩固了
的距离．小明在 A点测得 B在北 解直角三角形以及
偏东 60°的方向上，在 C点测得 等腰三角形的判定
32
B在北偏东 30°的方向上，请求 等知识，正确作出辅
出 B点到河岸 AD的距离. 助线构造直角三角
形是解题的关键．
6 如图，灯塔 B在灯塔 A的正东方 本题结合解直角三
向，且 AB＝75km．灯塔 C在灯塔 角形的应用﹣方向
A的北偏东 20°方向，灯塔 C在 角问题巩固了解直
灯塔 B的北偏西 50°方向． 角三角形以及等腰
（1）求∠ACB的度数； 三角形的判定等知
（2）一轮船从 B地出发向北偏西 识，证明 BC＝AB是
50°方向匀速行驶，5h后到达 C 解题的关键．
地，求轮船的速度．
15min
拓展题
7 某数学测量小组准备测量体育场 本题结合解直角三
上旗杆 AB的高度．如图所示，观 角形的应用﹣仰角
礼台斜坡 CD的长度为 10 米，坡 俯角问题，巩固了仰
角为 26.5°，从斜坡的最高点 C 角俯角定义．解决本
测得旗杆最高点 A的仰角为 题需做两条垂线，构
37°，斜坡底端 D与旗杆底端 B 造两个直角三角形，
的距离是 9米，求旗杆 AB的高 结合图形计算，得到
度．（结果保留整数） 答案，提高了学生的
9
参考数据：sin26.5°≈ ， 应用意识以及解决
20
cos 9 tan 1
问题的能力.
26.5°≈ ， 26.5°≈ ，
10 2
33
sin 3 437°≈ ，cos37°≈ ，
5 5
tan 337°≈ ．
4
8 某区域平面示意图如图所示，AB 本题结合解直角三
和 BC是两条互相垂直的公路， 角形的应用﹣方向
AB＝800 米，甲勘测员在 A处测 角问题，巩固了锐角
得点 D位于北偏东 45°，乙勘测 三角函数的定义.正
员在 C处测得点 D位于南偏东 确标注方向角以及
60°，CD＝300 米，则公路 BC 合理添加辅助线是
的长是多少米？ 解决本题的关键.
评价分为 A、B、C三个等级，A等：超过 5题过程规范准确，
评价设计 答案正确，解法有独到之处. B等：超过 4题过程不够规范，答
案有一些问题，解法较常规. C等：超过 4题过程不规范或无过
程，答案错误，思路不清晰.
34
参考答案
1. A
2. A
3. D
4. 解：由题意得：AB＝70 米，CF＝1.5 米，∠MAC＝30°，∠MBC＝60°，
∵∠MAC＝30°，∠MBC＝60°，
∴∠AMB＝30°，
∴∠AMB＝∠MAB，
∴MB＝AB＝70 米，
在 Rt△BCM中，∠MCB＝90°，∠MBC＝60°，
∴∠BMC＝30°．
1
∴BC＝ BM＝35（米），
2
∴MC＝ BC＝35 （米），
∴MF＝CF+CM＝（35 +1.5）米．
即高 MF为（35 +1.5）米．
5.解：过 B作 BM⊥AD于 M，如图：
由题意得：∠BAD＝90°﹣60°＝30°，∠BCD＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ABC＝∠BCD﹣∠BAD＝30°，
∴∠BAD＝∠ABC，
∴BC＝AC＝100米，
∵BM⊥AD，
∴∠BMC＝90°，
在 Rt△BCM中，sin∠BCM BM＝ ，
BC
∴BM＝BC×sin∠BCM＝100 3× ＝50 3（米），
2
即 B点到河岸 AD的距离为 50 3米.
35
6. 解：（1）由题意得：∠BAC＝90°﹣20°＝70°，∠ABC＝90°﹣50°＝
40°，
∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣70°﹣40°＝70°；
（2）由（1）得：∠BAC＝∠ACB＝70°，
∴BC＝AB＝75km，
∴75÷5＝15（km/h），
即轮船的速度为 15km/h．
7. 解：如图，过点 C作 CE⊥AB于点 E，作 CF⊥BD延长线于点 F，
在 Rt△CDF中，∠CDF＝26.5°，CD＝10米，
∴CF＝CD×sin26.5°≈10 9× ＝4.5（米），
20
DF＝CD cos 9∠CDF≈10× ＝9（米），
10
∴BF＝BD+DF＝9+9＝18（米），
由题意得四边形 ECFB是矩形，
∴CE＝BF＝18米，
∴AE＝CE tan37°≈18× ＝13.5（米），
∴AB＝AE+BE＝13.5+4.5＝18（米），
答：旗杆 AB的高度为 18米．
8. 解：过 D作 DE⊥OC于 E，
∵∠C＝60°，CD＝300米，
36
1
∴CE＝ CD＝150（米），
2
∴DE＝ 3 CE＝150 3（米），
∵∠B＝90°，AB＝800米，∠A＝45°，
∴∠AOB＝45°，
∴OB＝AB＝800米，
∵∠DOE＝∠AOB＝45°，
∴△DEO是等腰直角三角形，
∴OE＝DE＝150 3米，
∴公路 BC的长为 150+150 3 +800＝（950+150 3）（米），
37
小专题：平面直角坐标系中的三角函数
小专题：平面直
单元名称 解直角三角 课题 角坐标系中的 节次 1
形 三角函数
作业 题 作业内容 设计意图 时间
类型 号 要求
1
在平面直角坐标系 xOy中，点 P的坐 本题考查了坐
标为（3，4 标与图形性质，），连接 OP，设 OP 与 x
α 勾股定理，解直轴正方向的夹角为 ，则下列结论正确
角三角形等知
的是（ ）
3 3 识点，能熟记锐
A． sin B． cos
4 4 角三角函数的
tan 4C． D． sin 3
3 5 定义是解此题
s 的关键. 8min
基础题
2 如图，P是平面直角坐标系中第一象 本题主要考查
限内一点，OP＝1，且 OP与 x轴正方 解直角三角形，
向夹角为α，则 P点关于 x轴对称的点 解题的关键是
P′的坐标是（ ） 熟练掌握正弦
A．（ cos ， sin ） 和余弦的定义
B．（ sin ， cos ） 及其应用.
C．（ cos ， - sin ）
D．（ sin ， - cos ）
38
3 在平面直角坐标系中，点 A的坐标为 本题主要考查
（0，3），点 B在 x轴上，且 sin∠OAB 了解直角三角
4
＝ ，则点 B的坐标为（ ） 形，熟练掌握解
5
直角三角形的
方法进行求解
A．（4，0） B．（﹣4，0）
是解决本题的
C．（4，0）或（﹣4，0）
关键.
D．（5，0）或（﹣5，0）
4
在平面直角坐标系 xOy中，已知点 A 本题主要考查
三角函数的定
的坐标为（2，3），那么直线 OA与 x
义，根据坐标值
轴夹角的正切值是 .
求夹角正切值
是解题的关键.
5 如图，一束光线从点 A（3，3）出发， 本题考查了直
经过 y轴上点 C反射后经过点 B（1， 角三角形的有
0），则光线从点 A到点 B经过的路径 关知识，同时渗
长为 ． 透光学中反射
原理，构造直角
三角形是解决
本题关键.
6
如图，在平面直角坐标系 xOy中，点 A 本题主要考查
m n 了解直角三角（ ， ）为第一象限内一点，过点 A
形，三角形的面
分别作 x轴，y轴的垂线，垂足分别为
拓展题
B C OAB OA 积，坐标与图形
15min
点 ，点 ，作△ 关于直线
的对称图形△OAB 的变化，轴对′．
（1）当 n＝4 称．利用点的坐时，
①若点 B′落在 y 轴上，则 m 标表示出相应
线段的长度是
＝ ；
39
②若点 B′落在第一象限内，且 tan 解题的关键.
5
∠CAB′＝ ，求 m的值；
12
（2）设△OAB′与四边形 OBAC 重
合部分的面积为 S，若 S 为四边形
OBAC 1 m面积的 ，求 的值．
3 n
评价分为 A、B、C三个等级，A等：超过 5题过程规范准
确，答案正确，解法有独到之处. B 等：超过 4 题过程不够规
评价设计 范，答案有一些问题，解法较常规. C 等：超过 4 题过程不规
范或无过程，答案错误，思路不清晰.
参考答案
1.C 2.C 3.C 4. 3
2
5. 5
6.解：
（1）①∵AB⊥OB，AC⊥OC，CO⊥BO，
∴四边形 OBAC为矩形．
∴OC＝AB，AC＝OB．
由折叠可知，△OAB≌△OAB′．
∴∠BOA＝∠AOB′，AB＝AB′．
∴OC＝AB′．
∵点 A（m，n）为第一象限内一点，
∴AC＝OB＝m，AB＝OC＝AB′＝n．
∵点 B′落在 y轴上，
40
∴∠BOA＝∠AOB′＝45°．
∴矩形 OBAC为正方形．
∴OB＝AB．
∴m＝n＝4．
故答案为：4．
②设 OB′与 AC交于点 D，如图，
由①知：OB＝OB′，AB＝AB′，∠AOB＝∠AOB′．
∵AC∥OB，
∴∠AOB＝∠CAO．
∴∠CAO＝∠AOB′．
∴DA＝DO．
∵tan∠CAB 5′＝ ，
12
∴设 DB′＝5k，则 AB′＝12k．
由勾股定理可得 DO＝DA＝ DB 2 AB 2 ＝13k．
∴OB＝OB′＝DO+DB′＝5k+13k＝18k．
∵AB＝AB′＝n＝4，
∴12k＝4．
1
∴k＝ ．
3
∴m＝OB＝18k＝6．
（2）∵四边形 OBAC为矩形，
∴ ．
1
∵S为四边形 OBAC面积的 ，
3
∴S＝ ．
41
∵高相同的三角形的面积比等于底的比，
AD 2
∴ ．
AC 3
∴AD＝2CD，即 OD＝2CD．
设 CD＝a，则 OD＝AD＝2a．
由勾股定理得 OC＝ OD 2 CD 2 3a
∴n＝AB＝OC＝ 3a
m＝AC＝CD+AD＝3a．
m 3a
∴ 3．
n 3a
当 m＜n时，B′在第二象限，如图，
设 AB′与 OC交于点 D，
∵四边形 OBAC为矩形，
∴ ．
1
∵S为四边形 OBAC面积的 ，
3
∴S＝ ．
∵高相同的三角形的面积比等于底的比，
OD 2
∴ ．
OC 3
∴OD＝2CD．
设 CD＝a，则 OC＝AB＝3a．
∵B′D＝CD＝a，
42
由勾股定理得 OB′＝ OD 2 B D 2 3a
∴m＝OB＝AC＝OB′＝ 3 a．
n＝AB＝3a．
m 3a 3
∴ ．
n 3a 3
m 3
综上， 的值为 3或 ．
n 3
43
《23 章 解直角三角形》单元质量检测
一．选择题（共 10 小题）
1．在 Rt△ABC中，∠C=90°，若△ABC的三边都缩小 3倍，则 sin A的值 ( )
A．缩小 3倍 B．放大 3倍 C．不变 D．无法确定
2．若 sin（70°﹣α）=cos50°，则 的度数是 ( )
A． 20 B．30 C． 40 D．50
3．在 Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2 3，BC ，则 sin B的值是 ( )
2
A 3 B 7 C 4 D 4 7． ． ． ．
4 4 3 7
2
4．已知角 为△ABC的内角，且 cos ，则 的取值范围是 ( )
3
A． 0 30 B． 30 45 C． 45 60 D． 60 90
5．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD AB，D为垂足．若 AC=8，BC=6，
则 sin∠ACD的值为 ( )
A 4 B 3 4 3． ． C． D．
3 4 5 5
6．如图，某停车场入口的栏杆 AB，从水平位置绕点 O旋转到 A B 的位置，已
知 AO的长为 5米．若栏杆的旋转角 AOA α，则栏杆 A端升高的高度为 ( )
A 5． 米 B 5． 米 C．5sin 米 D． 5cos 米
sin cos
7．如图，△ABC的顶点均在正方形网格的格点上，则 sin∠ABC的值为 ( )
44
A 1 5 2 5． B．2 C． D．
2 5 5
8．如图，在平面直角坐标系 xOy中， AB 2 10，连结 AB并延长至 C，连接
OC，若满足OC 2 BC AC， tan =3，则点 C的坐标为 ( )
A． ( 2,6) B 3 9 5 15． ( 3,9) C． ( ， ) D． ( ， )
4 4 3 4
9．如图，点 A到点 C的距离为 100 米，要测量河对岸 B点到河岸 AD的距离．小
明在 A点测得 B在北偏东60°的方向上，在 C点测得 B在北偏东30°的方向上，
则 B点到河岸 AD的距离为 ( )
A 200 3．100 米 B．50 米 C． 米 D．50 3米
3
10．如图，在 Rt△ABC中，CD是斜边 AB上的高，将得到的两个△ACD和△BCD
按图①、图②、图③三种方式放置，设三个图中阴影部分的面积分别为 S1，S2 ，
S3，若 S1 S2，则 S1与 S3之间的关系是 ( )
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A． S1 1.5S3 B． S1 2S3 C． S1 3S3 D． S1 3.5S3
二．填空题（共 4小题）
11．在 Rt△ABC中，∠C=90°， AC BC，那么 sin A ．
12．一条上山直道的坡度为1: 3，沿这条直道上山，每前进 100 米所上升的高度
为 米．
5
13．如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12， sin A ，则 BC= ．
13
14．我们给出定义：如果两个锐角的和为 45°，那么称这两个角互为半余角．如
图，在△ABC BC 2 2中，∠A，∠B互为半余角，且 ，则 tan A ．
AC 3
三．解答题（共 4小题）
15．计算： sin 30 tan 45 sin 2 60 2cos60 ．
4
16．如图，在△ABC中，AB=AC，BD AC于 D，若 AC=15，cos A ,求 BC
5
长．
17．在疫情防控工作中，某学校在校门口的大门上方安装了一个人体测温摄像
头．如图，学校大门高 ME=7.5 米，AB为体温监测有效识别区域的长度，小明
身高 BD=1.5 米，他站在点 B处测得摄像头 M的仰角为30 ，站在点 A处测得摄
像头 M的仰角为 60 ，求体温监测有效识别区域 AB的长度．
46
18. 阅 读 材 料 ： 关 于 三 角 函 数 有 如 下 的 公 式 ：
sin sin cos cos sin ，tan tan tan ．利用这些公式可
1 tan tan
以 将 两 角 和 的 三 角 函 数 值 转 化 成 两 个 三 角 函 数 值 的 和 （ 差 ) ， 如
1
3

tan 75 tan 30 45 tan 45 tan 30 3 3 3 2 3．1 tan 45 tan 30
1 3 3 3 1
3
问题解决：根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下列问题．
（1）求 sin 75 ；
（2）如图，边长为 2的正△ABC沿直线滚动，设当△ABC滚动 240 时，C点的
位置在C ，当△ABC滚动 480 时，A点的位置在 A ．
①求 tan CAC 的值；
②试确定 CAC CAA 的度数．
47
参考答案
一．选择题
1—5 CBBCC 6—10 CCCDA
二．填空题
2
11. 12. 10 3 213. 5 14.
2 5
三．解答题
2
1 1 3 - 2 1 1 3 115.解：原式 -1
2 2 2 2 4 4
16．解：在 Rt△ABC中，
AB AD AC 15， cos A ，
AB
AD AB cos A 15 4 12，
5
BD AB 2 AD 2 152 122 9．
CD AC AD 3．
在 Rt△CBD中，
BC BD 2 CD 2 92 32 3 10．
答：BC的长为3 10．
17．解：根据题意可知：四边形 EFCA和 ABDC是矩形，ME=7.5 米，
CA EF BD 1.5米，CD=AB，
设 FC=x，
在 Rt△MFC中，
MFC 60 , FMC 30 ，
MC 2FC 2x，MF 3x，
MDC 30 ， CMD 60 30 30 ，
CD CM 2x，
ME MF EF， 3x 1.5 7.5，
48
解得： x 2 3， MC 2x 4 3（米 )
答：体温监测有效识别区域 AB的长为 4 3米．
2 6
18.解：（1）
4
（2）①过C 作C E l于 E，
∵△ABC是等边三角形且边长为 2，
C E 3，AE=2+2+1=5，

tan CAC C E 3 ；
AE 5
②过 A 作 A F l于 F，
∵△ABC是等边三角形且边长为 2，
A F 3，AF=2+2+2+2+1=9，

tan CAA A F 3 ．
AF 9
设 CAC ， CAA ，
3 3

tan tan tan 3 5 9 ，
1 tan tan 3 3 31
5 9
30 ， CAC CAA 30 .
未经书面同意，不得复制发布日
49
期：2022/4/1 17:11；用单元质量检测作业属性表
对应单元作 对应学 完成
序号 类型 难度 来源
业目标 了解 理解 应用 时间
1. ① √ 易 选编
2. ③ √ 易 选编
3. ①⑤ √ 易 改编
4. ①⑥ √ 易 选编
5. ①⑤ √ 易 选编
6. 选择题 ①④⑤⑦⑧ √ 中等 选编 30min
7. ①⑤⑥ √ 易 改编
8. ①⑤⑥ √ 中等 选编
9. ①②④⑤⑦⑧ √ 中等 改编
10. ①⑤⑥ √ 较难 选编
11. ①② √ 易 改编
12. 填空题 ①②④⑤⑦⑧ √ 易 选编 15min
13. ①⑤ √ 易 选编
14. ①⑤⑥ √ 中等 选编
15. ② √ 易 改编
16. 解答题 ①⑤⑥ √ 易 选编
17. ①②④⑤⑦⑧ √ 中等 选编 30min
18. ①②④⑤⑥⑦ √ 较难 选编
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