资源简介
《解直角三角形》单元作业设计
一、单元信息
基本 学科 年级 学期 教材版本 单元名称
信息 数学 九年级 第一学期 沪科版 解直角三角形
单元
组织 自然单元 □重组单元
方式
序号 课时名称 对应教材内容
1 正切 第23.1(P112-114)
2 正弦、余弦 第23.1(P115-116)
3 30°,45°,60°角的三角函数值 第23.1(P117-118)
课时 4 三角函数的性质 第23.1(P118-119)
信息 5 一般锐角的三角函数值 第23.1(P120-122)
6 解直角三角形 第23.2(P124-125)
7 与视角有关的解直角三角形 第23.2(P126-127)
8 与方位角有关的解直角三角形 第23.2(P127-128)
9 与坡角有关的解直角三角形 第23.2(P128-130)
二、单元分析
(一)课标要求
(8)利用相似的直角三角形,探索并认识锐角三角函数(sinA,cosA,tanA),
知道30°,45°,60°角的三角函数值.
(9)会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值,由己知三角函数值求它的
对应锐角.
(10)能用锐角三角函数解直角三角形,能用相关知识解决些简单的实际问题.
本单元属于“图形的变化”中“图形的相似”的内容.课标中学业要求学生知
道直角三角形的边角关系,理解锐角三角函数,能用锐角三角函数解决简单的实
际问题.课标中教学提示图形的变化的教学,应当通过信息技术的演示或者实物的
操作,让学生感悟图形轴对称、旋转、平移变化的基本特征,知道变化的感知是
需要参照物的,可以借助参照物述说变化的基本特征;知道这三类变化有一个基
本性质,即图形中任意两点间的距离保持不变,夹角也保持不变这样的教学活动
不仅有助于学生理解几何学的本质,还能引导学生发现自然界中的对称之美,感
悟图形有规律变化产生的美,会用几何知识表达物体简单的运动规律,增强对数
学学习的兴趣.课标中学业质量标准要求学生知道运动过程中的不变量、图形运动
的变化特征,能运用几何图形的基本性质进行推理证明,初步掌握几何证明方法,
进一步增强几何直观、空间观念和推理能力.
从课程标准来看,中学阶段把三角学内容分成两个部分,第一部分放在初中
阶段,第二部分放在高中阶段.在初中阶段,主要研究锐角三角函数和解直角三
角形的内容,它是高中阶段的三角学的主体部分,包括解斜三角形、三角函数、
反三角函数和简单的三角方程.无论是从内容还是思考问题的方式,前一部分都
是后一部分的重要基础.在学习本章节的过程中,可以开拓学生思路,发展学生
的思维能力以及改变学生的学习方式.与此同时,数学不仅是一串串数字堆积而
成,它来源于生活并且服务于生活,解直角三角形的学习对于解决生活中的不可
测高度问题、坡度坡角问题、方向角问题提供了便利.
(二)教材分析
1.知识网络
2.内容分析
《解直角三角形》属于三角学,是《课标(2022 年版)》中“图形与几何”领
域的重要内容. 课标中提出“图形的变化”强调从运动变化的观点来研究图形,
理解图形在轴对称、旋转和平移时的变化规律和变化中的不变量.这样的学习过程,
有助于学生在空间观念的基础上进一步建立几何直观,提升抽象能力和推理能力.
中学数学把三角学分成两部分,第一部分安排在义务教育第三学段,研究锐角三角
函数的概念和解直角三角形;第二部分安排在高中阶段,主要研究任意角的三角函
数、解斜三角形等.无论是从内容上看,还是从思考问题的方法上看,前一部分都
是后一部分的重要基础,掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法,是学
习三角函数和解斜三角形的重要准备.本单元在已研究了直角三角形的三边之间
关系——勾股定理、两个锐角之间关系的基础上,利用相似三角形的性质进一步
讨论直角三角形边角之间的关系.主要包括正弦、余弦和正切等锐角三角函数的概
念,以及运用锐角三角函数等知识解直角三角形等.
学习本单元的关键是结合图形,遵循“从特殊到一般,从实践探索到证明”
的方式呈现锐角三角函数概念,让学生充分经历“实际问题引入——研究特殊
直角三角形——研究一般直角三角形—给出锐角三角函数的正切概念”的过程,
在学生通过实验、观察、归纳、猜想等求知过程的基础上,建立起角度与数值
之间的对应关系,从而正确掌握锐角三角函数的概念,真正理解直角三角形中
边、角之间的关系,进而才能利用这些关系解直角三角形.
本单元核心概念就是围绕解直角三角形展开.从整体认知中的锐角三角函
数概念以及特殊的锐角三角函数值、整体探究中解直角三角形与非直角三角形、
整体迁移构建中的解决实际问题,其最终就是让学生可以建立直角三角形模型
去解决实际问题.在作业设计的过程中,把解直角三角形放在探究部分,起到承
上启下的作用.学生先认知锐角三角函数概念以及特殊的三角函数值,基本可以
进行简单的运算,在探究直角三角形解法时可以利用所学知识去总结归纳解决
思路,最后运用到实际生活中. 引导学生在发现问题、提出问题的同时,会用
数学的眼光观察现实世界;在分析问题的同时,会用数学的思维思考现实世界;
在用数学方法解决问题的过程中,会用数学的语言表达现实世界.
本单元需要落实五个教学内容:锐角三角函数的概念;特殊角的三角函数值;
根据三角函数值求角度;解直角三角形的含义;实际问题与解直角三角形.
本单元需要认识三个教学要点:基本点——对锐角三角函数的认识与应用;
支撑点——相似和勾股定理;能力提升点一一组合图形的转化求解,根据具
体问题构造直角三角形.
(三)学情分析
从学生的认知规律看:学生在学习三角形的证明的过程中已经掌握了直
角三角形的边、角方面的知识,在此基础上,进步探索直角三角形的边和角
之间的关系就成了学生学习本章内容的重点,而利用锐角三角函数解决相关
的实际问题则是学生学习的难点.本章辅助线的添加、直角三角形的构造是
利用三角函数解决问题的关键,对学生来说稍有难度,所以老师应注意在解
题思路和方法上的引导,并要及时进行总结归纳.三角函数也是函数知识的
一部分,所以学生可以利用类比正比例函数、一次函数和反比例函数的学习
方法进行学习,但是本章知识不像其他函数那样抽象,所以学生在学习时可
以通过自主探究和合作交流的方式进行探究,另外,在探究的过程中还要注
重数形结合思想的运用,拓展从具体问题的研究中提炼出数学思想方法的能
力.
从学生的学习习惯、思维规律看:九年级学生的思维活跃,接受能力较
强,具备了一定的数学探究活动经历和应用数学的意识.并且学生已经掌握直
角三角形中各边和各角的关系,有较强的推理证明能力,这为顺利完成本节
课的教学任务打下了基础.心理上九年级学生逻辑思维从经验型逐步向理论
型发展,观察能力,记忆能力和想象能力也随着迅速发展.学生要得出直角三
角形中边与角之间的关系,需要观察、思考、交流,进一步体会数学知识之
间的联系,感受数形结合、转化和数学建模思想,体会锐角三角函数的意义,
提高应用数学和合作交流的能力.
三、单元学习与作业目标
本单元主要任务就是去利用锐角三角函数去解决实际问题,根据课标的要求
其本质就是在建立直角三角形模型并利用特殊的锐角三角函数值求解即可.在单
元的划分分为四个板块:认知锐角三角函数的概念以及特殊的三角函数值、解直
角三角形与非直角三角形、利用锐角三角函数解决问题、纠错总结反思提升,分
别对应大单元学习中的整体认知构建、整体探究构建、整体迁移构建、整体重构
过关.本章的设计旨在帮助孩子去培养数学建模、数学运算的核心素养.从单元目
标出发,利用锐角三角函数解决实际问题贯穿着整个学习过程中.
1.作业目标
(1)利用相似的直角三角形,探索并认识锐角三角函数(sin A ,cos A, tan A ),
能够应用sin A ,cos A, tan A表示直角三角形中两边的比;知道30°,45°,60°角
的正弦、余弦和正切值,并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角.
(2)会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值,由已知三角函数值求它
的对应锐角.
(3)理解直角三角形中边与边之间的关系、角与角之间的关系、边与角之
间的关系,能运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余以及锐角三角函数解直
角三角形,并能用解直角三角形等有关知识解决简单的实际问题,体会数学在解
决实际问题中的作用.
2.核心价值
(1)学生在掌握直角三角形边、角关系的基础上,根据情况选择合适的方
法解直角三角形,在解决问题的过程中感悟模型思想,感受数学的价值,提升学
生的核心素养;
(2)通过掌握解直角三角形的基本类型与方法,去解决生活中高度、方向
角等问题.
3.学科素养
(1)能将实际问题转化为数学问题,建立直角三角形模型,发展数学建模
的学科素养;
(2)在锐角三角函数概念的形成过程中,发展数感和符号感,发展抽象思
维能力;
(3)利用特殊的三角函数值计算过程中,学生数学运算的核心素养的提高;
(4)从特殊到一般,发展学生逻辑推理能力.
4.必备知识
(1)能运用直角三角形的角与角(两锐角互余),边与边(勾股定理)、边与
角关系解直角三角形,并选取合适的方法;
(2)在含特殊角的斜三角形中构建直角三角形,利用转化的思想解决问题.
5.关键能力
(1)梳理直角三角形中的边角关系,归纳解直角三角形的基本类型与方法,
能求解含特殊角的非直角三角形;
(2)在小组讨论合作的过程中,学会与人合作,并与他人交流思维过程与
结果;
(3)从探究到生成,培养学生发现问题、解决问题的能力;
(4)能意识到数学是解决实际问题和交流的工具.
课标中提出初中阶段综合与实践领域,可釆用项目式学习的方式,以问题解
决为导向,整合数学与其他学科的知识和思想方法,积累数学活动经验,体会数
学的科学价值,提高发现与提出问题、分析与解决问题的能力,发展应用意识、
创新意识和实践能力.
依据课标要求,安排了项目实践活动作业:测量本地南北分界标志的高度.
学生完成此项目实践活动作业经历了项目式学习的全过程.学生能综合运用
数学和其他学科的知识与方法,在实际情境中发现问题,并将其转化为合理的数
学问题;能独立思考,与他人合作,提出解决问题的思路,设计解决问题的方案;
能根据问题的背景,通过对问题条件和预期结论的分析,构建数学模型;能合理
使用数据,进行合理计算,借助模型得到结论;能根据问题背景分析结论的意义,
反思模型的合理性,最终得到符合问题背景的模型解答.
在这样的过程中,学生理解数学,应用数学,形成和发展应用意识、模型观
念等,感悟数学与生活、数学与其他学科的关联,发展学习能力、实践能力和创
新意识.
四、单元作业设计思路
本单元在整个学习过程中强调数学建模的构建以及数形结合的思想.在
已经学习锐角三角函数和特殊角的三角函数值基础上,学生已经拥有简单计算的
能力.直角三角形的学习在八年级就已经涉及,学生在知识理解上并不困难,难
点就在于:①学生在利用锐角三角函数解直角三角形时,边角关系容易找错;②
解非直角三角形不知如何构建模型;③二次根式的运算与化简问题;④方程思想
的运用不熟练.
在设计作业时,紧扣从知识结构,逻辑结构,能力结构,价值意义结构四个
方面立足分层设计作业.每课时均设计“基础性作业”(面向全体,体现课标,
题量 3-4 大题,要求学生必做)和“发展性作业”(体现个性化,探究性、实
践性,题量1-2大题,要求学生有选择的完成).
五、课时作业
23.1锐角的三角函数
【学情分析】
从学生的认知规律看:学生在学习三角形的证明的过程中已经掌握了直
角三角形的边、角方面的知识;从学生的学习习惯、思维规律看:九年级学
生的思维活跃,接受能力较强,具备了一定的数学探究活动经历和应用数学
的意识并且学生已经掌握直角三角形中各边和各角的关系,有较强的推理证
明能力.
【本节重难点】
重点:锐角三角函数的概念,特殊角的三角函数值及应用;
难点:锐角三角函数的概念.
【课标要求】
1.利用相似的直角三角形,探索并认识锐角三角函数(sin A,cos A,
tan A),知道30°,45°,60°角的三角函数值.
2.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值,由已知三角函数值求它
的对应锐角.
【设计理念】
1.基于课程标准理念,培养学生经历概念的形成过程,并在知识的形成
过程中渗透数学思想和方法.
2.落实国家的双减政策,根据学生的特点和学习规律,紧扣从知识结构,
逻辑结构,能力结构,价值意义结构四个方面立足分层设计作业每课时均设
计“基础性作业”和“发展性作业”,体现素质教育导向.
【设计目标】
1. 理解锐角三角函数及特殊角的三角函数值,并能运用它们解决简单
的实际问题.
2.理解并掌握任意两个锐角角度互余时,正、余弦之间的关系,并利用
这个性质进行简单的三角变换或计算.
3.熟练运用计算器求出锐角的三角函数值,或是根据三角函数值求出相
应的锐角,并且能够进行简单的三角函数式的计算;理解正余弦值都在0与1
之间.
4.发展几何直观和模型意识.
【设计特色】
1.注重落实“四基”,每一份作业都落实和巩固基础知识、基本技能、
基本思想、基本活动经验,体现立德树人的教育导向;
2.设置多种题型,包括知识梳理、填空、选择、解答,采用不同的形式
考察学生,使学生能够灵活掌握所学的知识;
3.在“双减”政策的背景下,作业设置时由易到难,由基础性作业到发
展性作业,真正做到让学生在作业中有收获,并且不同的学生得到不同的发
展;
4.发展学生的综合能力,学生完成作业,不仅巩固了基础知识,还可以
通过解决一些实际问题,培养学生用数学的眼光观察世界,用数学的思维思
考世界,用数学的语言表达世界.
第一课时(23.1(1)锐角的三角函数——正切)
作业1(基础性作业)
1. 作业内容
(1)在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,则 tanA的值是( )
A. 3 B 4 3 4. C. D.
4 3 5 5
(2)如图,在直角坐标系中,点 A的坐标是(2,3),则 tanα的值是( )
A. 2 B.3 C.2 13 D. 3 13
3 2 13 13
第(2)题图 第(3)题图
(3)如图所示,梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度i=1∶3,坝高BC=2米,则
斜坡AB的长是( )
A.2 5米 B.2 10米 C.4 5米 D.6米
4
(4)在△ABC 中,∠C=90°,BC=8cm,tanA= ,求 AC 的长.
3
2.时间要求(15分钟以内)
3.评价设计
(1)作业评价表
等级
评价指标 A B C 备 注
A 等,答案正确、过程正确。
B 等,答案正确、过程有问题。
C 等,答案不正确,有过程不完整;答案不准确,过
答题的准确性
程错误、或无过程。
A 等,过程规范,答案正确。
答题的规范性 B 等,过程不够规范、完整,答案正确。
C等,过程不规范或无过程,答案错误。
A 等,解法有新意和独到之处,答案正确。
解法的创新性 B 等,解法思路有创新,答案不完整或错误。
C 等,常规解法,思路不清楚,过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为A 等; ABB、BBB、AAC 综合评
综合评价等级
价为B 等;其余情况综合评价为 C 等。
(2)年级展示:各班收集优秀作业在年级楼道内进行展示
4.作业分析与设计意图
作业 1、2、4题设计意图是让学生理解直角三角形中锐角三角函数正切的概
念,而第 1题是在直角三角形中直接对正切概念的运用,第 2题是在平面直角坐
标系中对正切概念的运用,第 4题是在直角三角形中已知正切值求线段的长度,
逆向运用正切的概念;作业第 3题设计意图是让学生了解坡度的概念,解决与坡度
有关的简单实际问题。作业评价时要关注学生对锐角三角函数正切概念的理解,
是否在直角三角形中利用概念解决问题.
5. 学科核心素养
本课时作业设计主要体现了数学抽象和数学运算的核心素养,发展学生的运
算能力、几何直观、应用意识、模型意识的能力.
6.参考答案:
(1)A (2)B (3)B (4)6cm
作业 2(发展性作业)
1.作业内容
(1)在等腰△ABC 中, AB=AC=13, BC=10,求 tanB.
第(1)题图
2. 时间要求(10分钟)
3. 评价设计
(1) 作业评价表
等级
评价指标 A B C 备注
A 等,答案正确、过程正确。
B 等,答案正确、过程有问题。
C 等,答案不正确,有过程不完整;答案不准确,过
答题的准确性
程错误、或无过程。
A 等,过程规范,答案正确。
答题的规范性 B 等,过程不够规范、完整,答案正确。
C等,过程不规范或无过程,答案错误。
A 等,解法有新意和独到之处,答案正确。
解法的创新性 B 等,解法思路有创新,答案不完整或错误。
C 等,常规解法,思路不清楚,过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为A 等; ABB、BBB、AAC 综合评
综合评价等级
价为B 等;其余情况综合评价为 C 等。
(2)年级展示:各班收集优秀作业在年级楼道内进行展示
4.作业分析与设计意图
设计意图是让学生正确运用锐角三角函数的概念,在等腰三角形中首先需要
学生构建直角三角形,然后运用锐角三角函数的概念解决问题,加深对概念的理
解,体会数学的应用价值.
5.学科核心素养
本课时作业设计主要体现了数学抽象和数学运算的核心素养,发展学生的运
算能力、应用意识、模型意识的能力.
6. 参考答案:
12
(1)
5
第二课时(23.1(2)锐角的三角函数——正弦、余弦)
作业1(基础性作业)
1.作业内容
(1)在Rt△ABC中,∠C = 90°,若三角形的各边都扩大3倍,则tanA的数值
( )
1
A.没有变化 B.扩大了3倍 C.缩小到 D.不能确定
3
(2)如图,点A为∠α边上的任意一点,作AC⊥BC于点C,CD⊥AB于点D,下
列用线段比表示cosα的值,错误的是( )
A. B. C. D.
第(2)题图
5
(3)(课本P116页第6题改编)已知:在△ABC中,∠C=90°,sinA= ,
13
求∠B的三角函数值.
(4)在平面直角坐标系内有一点P(2,5),连接OP,求OP与x轴正方向所夹
锐角α的各个三角函数.
2.时间要求(10分钟以内)
3.评价设计
(1)作业评价表
等级
评价指标 A B C 备 注
A 等,答案正确、过程正确。
B 等,答案正确、过程有问题。
C 等,答案不正确,有过程不完整;答案不准确,过
答题的准确性
程错误、或无过程。
A 等,过程规范,答案正确。
答题的规范性 B 等,过程不够规范、完整,答案正确。
C等,过程不规范或无过程,答案错误。
A 等,解法有新意和独到之处,答案正确。
解法的创新性 B 等,解法思路有创新,答案不完整或错误。
C 等,常规解法,思路不清楚,过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为A 等; ABB、BBB、AAC 综合评
综合评价等级
价为B 等;其余情况综合评价为 C 等。
(2)年级展示:各班收集优秀作业在年级楼道内进行展示
4.作业分析与设计意图
设计意图是在不同背景下正确理解锐角三角函数的概念,第(1)题让学生
理解锐角三角函数是直角三角形中两边的比值,与边的长短无关;第(2)题让
学生在不同的直角三角形中,表示锐角三角函数;第(3)题让学生根据直角三
角形中的边角关系,能够由给出的数据求出锐角三角函数值;第(4)题让学生
在平面直角坐标系中,根据点的坐标转化为线段长度,从而构建直角三角形求出
锐角三角函数。评价时要关注学生在不同的情境下对锐角三角函数概念的理解.
5.学科核心素养
本课时作业设计主要体现了数学抽象、数学建模和数学运算的核心素养,学
生在解决问题的过程中发展了学生的运算能力、应用意识、模型意识的能力.
6.参考答案:
12 5 12
(1)A (2)C (3)sinB= cosB= tanB=
13 13 5
4 sinα=5 29( ) cosα=2 29 tanα=5
29 29 2
作业 2(发展性作业)
1.作业内容
3
(1)如图,在2×2的正方形网格中,以格点为顶点的△ABC的面积等于 ,
2
求sin∠CAB的值.
第(1)题图 第(2)题图
(2)如图,矩形 ABCD 中,AB=10,BC=8,E 为 AD 边上一点,沿 CE 将△
CDE 对折,使点 D正好落在 AB 边上,求 tan∠AFE.
2.时间要求(15 分钟)
3.评价设计
(1)作业评价表
等级
评价指标 A B C 备注
A 等,答案正确、过程正确。
B 等,答案正确、过程有问题。
C 等,答案不正确,有过程不完整;答案不准确,过
答题的准确性
程错误、或无过程。
A 等,过程规范,答案正确。
答题的规范性 B 等,过程不够规范、完整,答案正确。
C等,过程不规范或无过程,答案错误。
A 等,解法有新意和独到之处,答案正确。
解法的创新性 B 等,解法思路有创新,答案不完整或错误。
C 等,常规解法,思路不清楚,过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为A 等; ABB、BBB、AAC 综合评
综合评价等级
价为B 等;其余情况综合评价为 C 等。
(2)年级展示:各班收集优秀作业在年级楼道内进行展示
4.作业分析与设计意图
设计意图是在不同背景下正确理解锐角三角函数的概念,第(1)题让学生
在网格背景下能够构建直角三角形,由给出的数据求出锐角三角函数值;第(2)
题让学生在翻折的背景下利用勾股定理求出直角三角形中的未知元素,并求出锐
角三角函数的值.评价时要关注学生在不同的情境下对锐角三角函数概念的应
用.
5.学科核心素养
本课时作业设计主要体现了数学抽象、数学建模和数学运算的核心素养,学
生在解决问题的过程中发展了学生的运算能力、几何直观、应用意识、模型意识
的能力.
6.参考答案:
5 3
(1)sin∠CAB= (2)tan∠AFE=
10 4
第三课时(23.1(3)30°、45°、60°角的三角函数值)
作业1(基础性作业)
1. 作业内容
(1)下列各式不正确的是( )
A.sin30°=cos60° B.tan45°=2sin30°
C.sin30°+cos30°=1 D.tan60° cos60°=sin60°
(2)计算:(课本 P118页练习第 2题选编)
①2sin30°+2cos60°+4tan45°;
②cos230°+sin245°-tan60°·tan30°
3
(3)在△ABC中,若∠A,∠B满足 +(1-tanB)2=0,则∠C的大
2
小是( )
A.45° B.60° C.75° D.105°
2.时间要求(10 分钟)
3.评价设计
(1)作业评价表
等级
评价指标 A B C 备注
A 等,答案正确、过程正确。
B 等,答案正确、过程有问题。
C 等,答案不正确,有过程不完整;答案不准确,过
答题的准确性
程错误、或无过程。
A 等,过程规范,答案正确。
答题的规范性 B 等,过程不够规范、完整,答案正确。
C等,过程不规范或无过程,答案错误。
A 等,解法有新意和独到之处,答案正确。
解法的创新性 B 等,解法思路有创新,答案不完整或错误。
C 等,常规解法,思路不清楚,过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为A 等; ABB、BBB、AAC 综合评
综合评价等级
价为B 等;其余情况综合评价为 C 等。
(2)年级展示:各班收集优秀作业在年级楼道内进行展示
4.作业分析与设计意图
设计意图是掌握特殊角的三角函数值,第(1)(2)题让学生能够根据特殊
角度求出三角函数值;第(3)题让学生利用特殊角的三角函数值求出角的度数.
评价时要关注学生对特殊角的三角函数值的掌握.
5.学科核心素养
本课时作业设计主要体现了数学运算的核心素养,学生在解决问题的过程中
发展了学生的运算能力和应用意识的能力.
6.参考答案:
(1)C (2 6 1)① ② (3)D
4
作业 2(发展性作业)
1.作业内容
(1)已知:如图,Rt ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°,延长 CA至 D
点,使 AD=AB。①求∠D及∠DBC的度数;②求 tanD及 tan∠DBC;③用类似
的方法求 tan22.5°.
B
D A C
第(1)题图
2.时间要求(10 分钟)
3.评价设计
(1)作业评价表
等级
评价指标 A B C 备注
A 等,答案正确、过程正确。
B 等,答案正确、过程有问题。
C 等,答案不正确,有过程不完整;答案不准确,过
答题的准确性
程错误、或无过程。
A 等,过程规范,答案正确。
答题的规范性 B 等,过程不够规范、完整,答案正确。
C等,过程不规范或无过程,答案错误。
A 等,解法有新意和独到之处,答案正确。
解法的创新性 B 等,解法思路有创新,答案不完整或错误。
C 等,常规解法,思路不清楚,过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为A 等; ABB、BBB、AAC 综合评
综合评价等级
价为B 等;其余情况综合评价为 C 等。
(2)年级展示:各班收集优秀作业在年级楼道内进行展示
4.作业分析与设计意图
设计意图是加强学生对锐角三角函数概念的理解以及在直角三角形中特殊
角的边角关系。通过对特殊角三角函数值的研究,进一步研究特殊角的半角的三
角函数值.评价时要关注学生在不同的情境下对锐角三角函数概念的理解和应
用.
5.学科核心素养
本课时作业设计主要体现了数学抽象、数学建模和数学运算的核心素养,学
生在解决问题的过程中发展了学生的运算能力、几何直观、应用意识、模型意识
的能力.
6.参考答案:
①∠D=15° ∠DBC=75° ②tanD=2- 3 tan∠DBC=2+ 3 ③tan225°= 2-1
第四课时(23.1(4)互余两角的三角函数值)
作业1(基础性作业)
1. 作业内容
(1)知识梳理:(课本P118页练习第1题改编)
观察你的一副三角板,①说出三角板中所有锐角的三角函数值;②找出值相
等的三角函数,并用等式表示;③如果用α表示锐角,该等式如何表示,你能证
明吗。
第(1)题图
(2 3)已知α为锐角,且 sinα= ,求 sin(90°-α).
5
(3)已知 cosα=3,α + β=90°,则 cosβ=( )
5
A.1 B.2 C.4 D.3
5 5 5 4
(4)下列式子不成立的是( )
A.sin35°=cos55° B.sin30°+sin45°=sin75°
C.cos30°=sin60° D.sin260°+cos260°=1
(5)在△ABC中,∠A、∠B是锐角,tanA、tanB是方程 3x2-tx+3=0的两个
根,则∠C=________.
2.时间要求(10 分钟)
3.评价设计
(1)作业评价表
等级
评价指标 A B C 备注
A 等,答案正确、过程正确。
B 等,答案正确、过程有问题。
C 等,答案不正确,有过程不完整;答案不准确,过
答题的准确性
程错误、或无过程。
A 等,过程规范,答案正确。
答题的规范性 B 等,过程不够规范、完整,答案正确。
C等,过程不规范或无过程,答案错误。
A 等,解法有新意和独到之处,答案正确。
解法的创新性 B 等,解法思路有创新,答案不完整或错误。
C 等,常规解法,思路不清楚,过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为A 等; ABB、BBB、AAC 综合评
综合评价等级
价为B 等;其余情况综合评价为 C 等。
(2)年级展示:各班收集优秀作业在年级楼道内进行展示
4.作业分析与设计意图
设计意图是利用互余角的锐角三角函数关系来解决问题。第(1)题是对互
余的两个锐角的正余弦之间的关系的知识巩固,并体会从特殊到一般的学习方法;
第(2)(3)(4)题在直角三角形中,利用锐角三角函数的概念及互为余角的
两个锐角之间正、余弦函数的关系解决相关问题;第(5)题利用tanA tan(90° A)
=1来解决问题。作业评价时要关注学生互余角的锐角三角函数关系的掌握.
5.学科核心素养
本课时作业设计主要体现了数学抽象、数学建模和数学运算的核心素养,学
生在解决问题的过程中发展了学生的运算能力、几何直观、应用意识、模型意识
的能力.
6.参考答案:
1 3 3 2 2
(1)①sin30°= cos30°= ° °= °= °=1
2 2
tan30 = 3 sin45 cos45 tan452 2
3 1
sin60°= 2 cos60°= tan60°= 32
②sin30°=cos60° sin45°=cos45° sin60°= cos30°
③sinα=cos(90°-α)
2 4( ) (3)C (4)B (5)90°
5
作业 2(发展性作业)
1.作业内容(课本 P138 页 B 组第 3题改编)
阅读下面的材料,先完成阅读填空,再按要求答题:
1 3 2 2
sin30°= ,cos30°= ,则 sin 30°+cos 30°=____;①
2 2
2 2 2 2
sin45°= ,cos45°= ,则 sin 45°+cos 45°=____;②
2 2
3 1 2 2
sin60°= ,cos60°= ,则 sin 60°+cos 60°=____;③
2 2
…
2 2
观察上述等式,猜想:对任意锐角 A,都有 sin A+cos A=____.④
(1)如图,在锐角三角形 ABC 中,利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证
明你的猜想;
3
(2)已知∠A为锐角(cosA>0)且 sinA= ,求 cosA.
5
2.时间要求(10 分钟)
3.评价设计
(1)作业评价表
等级
评价指标 A B C 备注
A 等,答案正确、过程正确。
B 等,答案正确、过程有问题。
C 等,答案不正确,有过程不完整;答案不准确,过
答题的准确性
程错误、或无过程。
A 等,过程规范,答案正确。
答题的规范性 B 等,过程不够规范、完整,答案正确。
C等,过程不规范或无过程,答案错误。
A 等,解法有新意和独到之处,答案正确。
解法的创新性 B 等,解法思路有创新,答案不完整或错误。
C 等,常规解法,思路不清楚,过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为A 等; ABB、BBB、AAC 综合评
综合评价等级
价为B 等;其余情况综合评价为 C 等。
(2)年级展示:各班收集优秀作业在年级楼道内进行展示
4.作业分析与设计意图
设计意图是由特殊角的三角函数关系,再归纳出一般的锐角三角函数的关系.
作业评价时关注学生对锐角三角函数的理解,能否构建直角三角形来解决问题.
5.学科核心素养
本课时作业设计主要体现了数学抽象、数学建模和数学运算的核心素养,学
生在解决问题的过程中发展了学生的运算能力、几何直观、应用意识、模型意识
的能力,培养学生数形结合的能力.
6.参考答案:
(1)证明:过点 B做 BD AC,垂足为 D,
BD AD
∵ 在 RtΔABD 中,sinA= cosA=
AB AB
2 2 BD 2 22 AD 2 BD +AD
∴ sin A+ cos A=( ) +( ) =
AB AB AB2
又 ∵ 在 RtΔABD 中,由勾股定理可得BD2+AD2=AB2 D
AB22 2
∴ sin A+ cos A= =1
AB2
4
(2)cosA=
5
第五课时(23.1(5)一般锐角的三角函数值)
作业1(基础性作业)
1.作业内容
(1)利用计算器,比较下列各题中两个值的大小:
①sin46°,sin44°;②cos20°,cos50°;③tan33°15′,tan33°14′
通过比较,你有什么发现?把每小题中的角度换成其他的锐角,结论还成立
吗?
(2)在 ABC中,∠C=90°,a=5,c=13,用计算器求∠A约等于( )
A14°38′ B65°22′ C67°23′ D22°37′
2
(3)当锐角 A的正弦值 sin A> 时,∠A的值 ( )
2
A小于 45° B小于 30° C大于 45° D大于 30°
(4)①如图①,已知 AB1=AB2=AB3,B1C1⊥AC于点 C1,B2C2⊥AC于
点 C2,B3C3⊥AC于点 C3,试比较 sin∠B1AC、sin∠B2AC和 sin∠B3AC的值的
大小;
②如图②,在 Rt△ACB3中,点 B1和 B2是线段 B3C上的点(与点 B3,C不
重合),试比较 cos∠B1AC、cos∠B2AC和 cos∠B3AC的值的大小;
③总结(1)(2)中的规律,根据你总结的规律试比较 18°,34°,50°,
62°,88°这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小.
2.时间要求(10 分钟)
3.评价设计
(1)作业评价表
等级
评价指标 A B C 备注
A 等,答案正确、过程正确。
B 等,答案正确、过程有问题。
C 等,答案不正确,有过程不完整;答案不准确,过
答题的准确性
程错误、或无过程。
A 等,过程规范,答案正确。
答题的规范性 B 等,过程不够规范、完整,答案正确。
C等,过程不规范或无过程,答案错误。
A 等,解法有新意和独到之处,答案正确。
解法的创新性 B 等,解法思路有创新,答案不完整或错误。
C 等,常规解法,思路不清楚,过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为A 等; ABB、BBB、AAC 综合评
综合评价等级
价为B 等;其余情况综合评价为 C 等。
(2)年级展示:各班收集优秀作业在年级楼道内进行展示
4.作业分析与设计意图
设计意图是第(1)题让学生会利用计算器根据角度计算三角函数值;第(2)
题让学生利用计算器根据三角函数值求角度;第(3)题让学生能理解三角函数
值随角度的变化而发生的增减变化规律;第(4)题让学生在直角三角形中,利
用三角函数的概念理解三角函数的增减变化.
5.学科核心素养
本课时作业设计主要体现了数学建模和数学运算的核心素养,学生在解决问
题的过程中发展了学生的运算能力、几何直观、应用意识、模型意识的能力.
6.参考答案:
(1)①sin46°>sin44°;cos20°>cos50°;tan33°15′>tan33°14′
②成立 (2)D (3)C
(4)①sin∠B1AC>sin∠B2AC>sin∠B3AC
②cos∠B1AC>cos∠B2AC>cos∠B3AC
③sin18°cos18°>cos34°>cos50°>cos62°>cos88°
作业 2(发展性作业)
1.作业内容
(1)①用计算器探究:tan1° tan89°=____,tan2°·tan88°=_____,
…tan44°·tan46°=____,tan45°·tan45°=_____;
②tan15°25′·tan74°35′=_____,tan89°21′·tan0°39′=_____;
③依据①、②你所发现的规律,当α为锐角时,填空:
tanα·tan( )=1,并用一句话总结出规律;
④你能用上面的规律计算:tan1°·tan2°·tan3°…tan89°的值吗?
(2)通过计算(可用计算器),比较下列各对数的大小,并提出你的猜想:
①sin 30°__________2sin 15°cos 15°;
②sin 36°__________2sin 18°cos 18°;
③sin 45°___________2sin 225°cos 225°;
④sin 60°___________2sin 30°cos 30°;
⑤sin 80°___________2sin 40°cos 40°
猜想:已知 0°<α<45°,则 sin 2α____________2sinαcosα
应用:如图,在△ABC 中,AB=AC=1,∠BAC=2α,请根据提示,利用面积方法验证
结论.
第(2)题图
2.时间要求(15 分钟)
3.评价设计
(1)作业评价表
等级
评价指标 A B C 备注
A 等,答案正确、过程正确。
B 等,答案正确、过程有问题。
C 等,答案不正确,有过程不完整;答案不准确,过
答题的准确性
程错误、或无过程。
A 等,过程规范,答案正确。
答题的规范性 B 等,过程不够规范、完整,答案正确。
C等,过程不规范或无过程,答案错误。
A 等,解法有新意和独到之处,答案正确。
解法的创新性 B 等,解法思路有创新,答案不完整或错误。
C 等,常规解法,思路不清楚,过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为A 等; ABB、BBB、AAC 综合评
综合评价等级
价为B 等;其余情况综合评价为 C 等。
(2)年级展示:各班收集优秀作业在年级楼道内进行展示
4.作业分析与设计意图
设计意图是通过一般三角函数值的计算,感悟三角函数之间的关系。第(1)
题通过一般三角函数值的计算,让学生感悟互余两角的三角函数关系;第(2)
题通过三角函数值的计算理解三角函数式之间的关系,并通过图形利用面积法进
行验证,渗透数形结合的数学思想.
5.学科核心素养
本课时作业设计主要体现了数学抽象、数学建模和数学运算的核心素养,学
生在解决问题的过程中发展了学生的运算能力、几何直观、应用意识、模型意识
的能力.
6.参考答案:
(1)①1,1,1,1 ②1,1 ③90°-α,互余两角的正切值乘积为 1 ④1
(2)①=,=,=,=,=,=
②∵在 RtΔABE 中,sin2α=BE
在 RtΔABD 中,sinα=BD,cosα=AD
∴2sinα cosα=2BD AD
1 1
又∵SΔABC= ×1 BE= ×BC AD2 2
∴BE=BC AD
又∵AB=AC,∠BAD=∠CAD
∴BC=2BD
∴BE=2BD AD
∴sin2α=2sinα cosα
23.2 解直角三角形
【学情分析】
学生在在此之前,学生已经熟练掌握了锐角三角函数关系式,并能够选
择适当的三角函数关系解直角三角形,但对于本节课,如何把实际问题转化
为数学问题,抽象出直角三角形去解,学生会感到困难.
【本节重难点】
重点:学会将简单的实际问题转化为数学问题,并能选用适当的锐角三
角函数关系式解决,提高分析和解决实际问题的能力;
难点:三角函数在解直角三角形中的灵活运用.
【课标要求】
1.理解直角三角形五个元素的关系,会运用勾股定理、直角三角形的两
个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形;
2.了解仰角、俯角的概念,使学生根据直角三角形的知识解决实际问题;
3.使学生理解方位角概念的意义,理解坡度的有关术语,并能适当的选择
锐角三角函数关系式去解决有关直角三角形实际问题;
4.能够掌握综合性较强的题型、融会贯通地运用相关的数学知识,进一步提
高运用解直角三角形知识分析解决问题的综合能力.
【设计理念】
1.基于课程标准理念,培养学生经历概念的形成过程,并在知识的形成
过程中渗透数学思想和方法.
2.落实国家的双减政策,根据学生的特点和学习规律,紧扣从知识结构,
逻辑结构,能力结构,价值意义结构四个方面立足分层设计作业每课时均设
计“基础性作业”和“发展性作业”,体现素质教育导向.
【设计目标】
1.使学生掌握仰角、俯角的概念,并学会正确运用这些概念和解直角三
角形的知识解决一些实际问题.
2.让学生体验方程思想和数学结合思想在解直角三角形中的用途,发展
几何直观和模型意识.
3.使学生感知本节课与现实生活的密切联系,进一步认识到数学知识运
用于实践的意义.
【设计特色】
1.注重落实“四基”,每一份作业都落实和巩固基础知识、基本技能、
基本思想、基本活动经验,体现立德树人的教育导向;
2.设置多种题型,包括知识梳理、填空、选择、解答,采用不同的形式
考察学生,使学生能够灵活掌握所学的知识;
3.在“双减”政策的背景下,作业设置时由易到难,由基础性作业到发
展性作业,真正做到让学生在作业中有收获,并且不同的学生得到不同的发
展;
4.发展学生的综合能力,学生完成作业,不仅巩固了基础知识,还可以
通过解决一些实际问题,培养学生用数学的眼光观察世界,用数学的思维思
考世界,用数学的语言表达世界.
第一课时(23.2(1)解直角三角形)
作业1(基础性作业)
1.作业内容
(1)在△ABC中,∠C = 90°,AC=2,AB=6,求∠A的值,最适宜的做法
是( )
A.计算 tanA的值求出 B.计算 sinA的值求出
C.计算 cosA的值求出 D.先算出 sinB求出,再用 90°-∠B的值
(2)等边三角的边长为 2,那么这个三角形的面积是多少?
A.2 B.4 C. 3 D.2 3
(3)如图,角∠1的顶点为 O,它的一边在 x轴的正半轴上,另一边 OA上
4
一点 D(b,4),若 sin∠AOx= ,则 b= __________ .
5
第(3)题图
2.时间要求(10 分钟)
3.评价设计
(1)作业评价表
等级
评价指标 A B C 备注
A 等,答案正确、过程正确。
B 等,答案正确、过程有问题。
C 等,答案不正确,有过程不完整;答案不准确,过
答题的准确性
程错误、或无过程。
A 等,过程规范,答案正确。
答题的规范性 B 等,过程不够规范、完整,答案正确。
C等,过程不规范或无过程,答案错误。
A 等,解法有新意和独到之处,答案正确。
解法的创新性 B 等,解法思路有创新,答案不完整或错误。
C 等,常规解法,思路不清楚,过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为A 等; ABB、BBB、AAC 综合评
综合评价等级
价为B 等;其余情况综合评价为 C 等。
(2)年级展示:各班收集优秀作业在年级楼道内进行展示
4.作业分析与设计意图
设计意图是理解直角三角形中锐角三角函数的概念,第(2)题让学生会构
造出直角三角形中,运用勾股定理和三角函数解决问题;第(3)题让学生在坐
标系中构建直角三角形,正确应用锐角三角函数的概念来解决问题.
5.学科核心素养
本课时作业设计主要体现了数学建模和数学运算的核心素养,学生在解决问
题的过程中发展了学生的运算能力、几何直观、应用意识、模型意识的能力.
6.参考答案:
(1)C (2)C (3)3
作业 2(发展性作业)
1.作业内容(改编)
已知在△ABC中,∠A是锐角,AB=c,BC=a,CA=b
(1)当∠A=30 1°,b=6,c=3时,S△ABC=________, bc·sinA=________2
(2)当∠A=45°,b=6,c=3时,S△ABC=________
1
, bc·sinA=________
2
(3)当∠A=60°,b=4,c=3时,S△ABC=________
1
, bc·sinA=________
2
(4)根据(1)(2)(3) 1题的结论,试猜想 S△ABC与 bc·sin A的大小关系,并给出证2
明.
2.时间要求(15 分钟)
3.评价设计
(1)作业评价表
等级
评价指标 A B C 备注
A 等,答案正确、过程正确。
B 等,答案正确、过程有问题。
C 等,答案不正确,有过程不完整;答案不准确,过
答题的准确性
程错误、或无过程。
A 等,过程规范,答案正确。
答题的规范性 B 等,过程不够规范、完整,答案正确。
C等,过程不规范或无过程,答案错误。
A 等,解法有新意和独到之处,答案正确。
解法的创新性 B 等,解法思路有创新,答案不完整或错误。
C 等,常规解法,思路不清楚,过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为A 等; ABB、BBB、AAC 综合评
综合评价等级
价为B 等;其余情况综合评价为 C 等。
4.作业分析与设计意图
设计意图是通过三角函数解决面积问题。让学生经历从特殊到一般的过程,
发现三角形面积和三角函数之间关系.
5.学科核心素养
本课时作业设计主要体现了数学抽象、数学建模和数学运算的核心素养,学
生在解决问题的过程中发展了学生的运算能力、几何直观、应用意识、模型意识
的能力.
6.参考答案:
(1) 45 45 (2) 9 2 9 2 (3) 3 3 3 3
2 2
(4) S△ =1猜想 ABC bc·sin A 理由:作△ABC的高 CD,在 Rt△ACD中,2
∵CD=AC·sin A=bsin A,S△ 1 1 1ABC= AB·CD= c·bsin A= bc·sin A.2 2 2
第二课时(23.2(2)与视角有关的解直角三角形)
作业1(基础性作业)
1.作业内容
(1)某飞机于空中 A处探测到地面目标 B,此时从飞机上看目标 B的俯角
α=30°,飞行高度 AC=1200 米,则飞机到目标 B的距离 AB 为()
A.1200 米 B.2400 米 C.400 3 米 D.1200 3 米
第(1)题图
(2)小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点 D处后进球,已知小明与篮筐
底的距离 BC=5 米,眼睛与地面的距离 AB=1.7 米,视线 AD 与水平线的夹角为α,
3
且 tan α= ,则点 D到地面的距离 CD 是( )
10
A.2.7米 B.3.0米 C.3.2米 D.3.4米
第(2)题图
(3)如图是某高速蚌埠段的公路边的交通警示牌,经测量得到如下数
据:AM=4 米,AB=8 米,∠MAD=45°,∠MBC=30°,则警示牌的高 CD 为( )
A.4 3 米 B.(2 3+2)米 C.(4 2-4)米 D.(4 3-4)米
第(3)题图
2.时间要求(10分钟以内)
3.评价设计
(1)作业评价表
等级
评价指标 A B C 备 注
A 等,答案正确、过程正确。
B 等,答案正确、过程有问题。
C 等,答案不正确,有过程不完整;答案不准确,过
答题的准确性
程错误、或无过程。
A 等,过程规范,答案正确。
答题的规范性 B 等,过程不够规范、完整,答案正确。
C等,过程不规范或无过程,答案错误。
A 等,解法有新意和独到之处,答案正确。
解法的创新性 B 等,解法思路有创新,答案不完整或错误。
C 等,常规解法,思路不清楚,过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为A 等; ABB、BBB、AAC 综合评
综合评价等级
价为B 等;其余情况综合评价为 C 等。
(2)年级展示:各班收集优秀作业在年级楼道内进行展示
4.作业分析与设计意图
作业第(1)题的设计意图是让学生理解俯角,利用平行线移角,通过正弦
求出距离;作业第(2)题的设计意图是让学生了解仰角的概念,运用正切求出竖
直距离;作业第(3)题的设计意图让学生了解仰角的概念,在不同的三角形中利
用正切解决问题。同时,让学生感受数学与生活相联系。作业评价时要关注学生
将生活实际问题抽象出数学问题,是否在直角三角形中利用概念解决问题。
5.学科核心素养:培养学生运算能力、几何直观、应用意识、模型意识。
6.参考答案:
(1)B (2)C (3)D
作业 2(发展性作业)
1.作业内容
(1)如图,小华、小迪两家住在同一个小区两栋相对的居民楼里,他们先测
了两栋楼之间的距离 BD 为 48 米,从小华家的窗户 E处测得小迪家所住居民楼顶
部 C的仰角为 30°,底部 D的俯角为 45°.请你求出小迪家所住居民楼的高
度.(结果精确到 1米,参考数据: 2≈1.4, 3≈1.7
(2)如图是疫情期间班主任用“额温枪”对学生测温时的实景图,图2是其侧面
示意图,其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上,枪身BA与额头保持垂直.量得
胳膊MN=28cm,MB=42cm,肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为25.3cm(即MP的长
度),枪身BA=8.5cm.
(1)求∠ABC的度数;
(2)测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3—5cm.在图2中,若测得
∠BMN=68.6°,学生与班主任之间距离为50cm.问此时枪身端点A与学额头
的距离是否在规定范围内 并说明理由.(结果保留小数点后一位)
(参考数据: sin66.40≈0.92,cos66.4"≈0.40,sin23.6°≈0.40,√2≈1.414)
2.时间要求(5 分钟)
3.评价设计
(1)作业评价表
等级
评价指标 A B C 备注
A 等,答案正确、过程正确。
B 等,答案正确、过程有问题。
C 等,答案不正确,有过程不完整;答案不准确,过
答题的准确性
程错误、或无过程。
A 等,过程规范,答案正确。
答题的规范性 B 等,过程不够规范、完整,答案正确。
C等,过程不规范或无过程,答案错误。
A 等,解法有新意和独到之处,答案正确。
解法的创新性 B 等,解法思路有创新,答案不完整或错误。
C 等,常规解法,思路不清楚,过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为A 等; ABB、BBB、AAC 综合评
综合评价等级
价为B 等;其余情况综合评价为 C 等。
(2)年级展示:各班收集优秀作业在年级楼道内进行展示
4.作业分析与设计意图
作业第(1)题设计意图是让学生正确理解仰角与俯角的概念,首先根据视
角画出水平线,从而建直角三角形;作业第(2)题设计意图是让学生添加辅助
线构建合适的直角三角形,然后运用解直角三角形和勾股定理知识解决问题,加
深学生对概念的理解,加强学生对知识的运用,让学生体会数学的应用价值。
5.学科核心素养:培养学生运算能力、应用意识、模型意识。
6.参考答案:
3
1.解:在Rt△ECF中,CF=EF·tan 30°=48× =16 3(米),
3
∴CD=CF+FD=16 3+48≈75(米),
答:小迪家所住居民楼的高度约为 75 米.
2. (1)如图,过点 B作 BK⊥_MP 于点 K.由题意可知,
四边形 ABKP 为矩形,∴MK=MP-AB=25.3-8.5=16.8(cm).
MK 16.8
在 Rt△BMK 中,cos∠BMK= = =0.4,
MB 42
∴∠BMK≈66.4°,
∴∠MBK=90 一 66.4=23.6°,
∴∠ABC=23.6'+90"=113.6°.
答:∠ABC 的度数约为 113.6°.
(2)枪身端点 A与小红额头的距离在规定范围内.理由:
如图,延长 PM 交 FG 于点 H.
由题意得∠NHM=90°
∵∠BMN=68.6°,∠BMK=66.4°,
∴∠NMH=180-68.6-66.4=45°
MH HM
在 Rt△MNH 中,cos45= =
MN 28
√2
∴HM= 28x ≈5~19.796(cm).
2
∴枪身端点 A与学生额头的距离为
50-19.796-25.3=4.904(cm)≈4.9cm.
∵3<4.9<5,
∴枪身端点 A与小红额头的距离在规定范围内.
第三课时(23.2(3)与方位角有关的解直角三角形)
作业1(基础性作业)
1.作业内容
(1)在一次夏令营活动中,小亮从位于 A点的空地出发,沿北偏东 60°方
向走了 5km 到达 B地,然后再沿北偏西 30°方向走了若干千米到达 C地,测得 A
地在 C地南偏西 30°方向,则 A,C两地的距离为( )
10 3 5 3
A. km B. km C. 5 2km D.5 3km
3 3
(2)如图,小岛在港口 P的北偏西 60°方向,距港口 56 海里的 A处,货船从
港口P出发,沿北偏东45°方向匀速驶离港口P,4小时后货船在小岛的正东方向,
则货船的航行速度是( )
A.7 2 海里/小时 B.7 3 海里/小时
C.7 6 海里/小时 D.28 2 海里/小时
第(2)题图
(3)轮船从 B处以每小时 50 海里的速度沿南偏东 30°方向匀速航行,在 B
处观测灯塔 A位于南偏东 75°方向上,轮船航行半小时到达 C处,在 C处观测
灯塔 A位于北偏东 60°方向上,则 C处与灯塔 A的距离是( )
A.25 3海里 B. 25 2海里 C.50 海里 D. 25 海里
第(3)题图
2.时间要求(10 分钟以内)
3.评价设计
(1)作业评价表
等级
评价指标 A B C 备注
A 等,答案正确、过程正确。
B 等,答案正确、过程有问题。
C 等,答案不正确,有过程不完整;答案不准确,过
答题的准确性
程错误、或无过程。
A 等,过程规范,答案正确。
答题的规范性 B 等,过程不够规范、完整,答案正确。
C等,过程不规范或无过程,答案错误。
A 等,解法有新意和独到之处,答案正确。
解法的创新性 B 等,解法思路有创新,答案不完整或错误。
C 等,常规解法,思路不清楚,过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为A 等; ABB、BBB、AAC 综合评
综合评价等级
价为B 等;其余情况综合评价为 C 等。
(2)年级展示:各班收集优秀作业在年级楼道内进行展示
4.作业分析与设计意图
第(1)题设计意图是让学生根据题意画出图像,加深对方位角的理解,运
用解直角三角形解决问题;第(2)题设计意图是让学生理解方位角的概念,解
决与方位角有关的简单实际问题;第(3)题设计意图加深学生对方位角的理解,
将特殊角度转化为熟悉的含有 30°、45°、60°的直角三角形去解决。作业评
价时要关注学生对方位角的理解,如何将实际问题抽象成数学问题并建立直角三
角形,利用解直角三角形解决问题.
5.学科核心素养:培养学生运算能力、几何直观、应用意识、模型意识.
6.参考答案:
(1)A (2)A (3)B
作业 2(发展性作业)
1.作业内容
(1)如图,我市正在进行商业街改造,商业街起点在古民居 P的南偏西 60°
方向上的 A处,现已改造至古民居 P南偏西 30°方向上的 B处,A与 B相距 150m,
且 B在 A的正东方向.为不破坏古民居的风貌,按照有关规定,在古民居周围 100m
以内不得修建现代化商业街.若工程队继续向正东方向修建200米商业街到C处,
则对于从 B到 C的商业街改造是否违反有关规定?
2.时间要求(5 分钟)
3.评价设计
(1)作业评价表
等级
评价指标 A B C 备注
A 等,答案正确、过程正确。
B 等,答案正确、过程有问题。
C 等,答案不正确,有过程不完整;答案不准确,过
答题的准确性
程错误、或无过程。
A 等,过程规范,答案正确。
答题的规范性 B 等,过程不够规范、完整,答案正确。
C等,过程不规范或无过程,答案错误。
A 等,解法有新意和独到之处,答案正确。
解法的创新性 B 等,解法思路有创新,答案不完整或错误。
C 等,常规解法,思路不清楚,过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为A 等; ABB、BBB、AAC 综合评
综合评价等级
价为B 等;其余情况综合评价为 C 等。
(2)年级展示:各班收集优秀作业在年级楼道内进行展示
4.作业分析与设计意图
设计意图是让学生正确理解方位角概念,在图中作出辅助线,构建直角三角
形,明确点到直线的距离,然后运用解直角三角形解决问题。加强学生的模型意
识,将数学与生活结合,让学生体会数学的应用价值.
5.学科核心素养:培养学生运算能力、应用意识、模型意识.
6.参考答案:(1)解:过点 P作 PD⊥BC,垂足为 D.在 Rt△APD 中,∠APD
AD
=60°,∴tan60°= = 3,∴AD= 3PD.在 Rt△BPD 中,∠BPD=30°,
PD
BD 3 3 3
∴tan30°= = ,∴BD= PD.∵AD-BD=AB,∴ 3PD- PD=150,
PD 3 3 3
3 3
解得 PD=75 3,BD= PD= ×75 3=75,75<200.∵75 3>100,
3 3
∴从 B到 C的商业街改造不违反有关规定.
第四课时(23.2(4)与坡角有关的解直角三角形)
作业1(基础性作业)
1.作业内容
(1)如图,河堤横断面迎水坡AB的坡比是1∶ 5,堤高BC=4 m,则迎水坡宽度
AC的长为( )
A. 5 m B.4 5m C.2 6 m D.4 6 m
第(1)题图
(2)如图,传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1∶2,物体从地面沿着该斜坡
前进了10米,那么物体离地面的高度为( )
A.5 米 B.5 3 米 C.2 5 米 D.4 5 米
第(2)题图
(3)如图,小王在长江边某瞭望台D处,测得江面上的渔船A的俯角为40°,
若DE=3米,CE=2米,CE平行于江面AB,迎水坡BC的坡度i=1∶0.75,坡长BC=10
米,则此时AB的长约为(参考数据:sin 40°≈0.64,cos 40°≈0.77,tan
40°≈0.84) ( )
A.5.1米 B.6.3米 C.7.1米 D.9.2米
2.时间要求(10分钟以内)
3.评价设计
(1)作业评价表
等级
评价指标 A B C 备 注
A 等,答案正确、过程正确。
B 等,答案正确、过程有问题。
C 等,答案不正确,有过程不完整;答案不准确,过
答题的准确性
程错误、或无过程。
A 等,过程规范,答案正确。
答题的规范性 B 等,过程不够规范、完整,答案正确。
C等,过程不规范或无过程,答案错误。
A 等,解法有新意和独到之处,答案正确。
解法的创新性 B 等,解法思路有创新,答案不完整或错误。
C 等,常规解法,思路不清楚,过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为A 等; ABB、BBB、AAC 综合评
综合评价等级
价为B 等;其余情况综合评价为 C 等。
(2)年级展示:各班收集优秀作业在年级楼道内进行展示
4.作业分析与设计意图
作业(1)(2)题设计意图是让学生理解坡角概念,将坡比与正切相联系,
加强解直角三角形能力;作业第(3)题设计意图是加深学生对视角与坡角的理
解,通过辅助线构造直角三角形,解决简单实际问题。作业评价时要关注学生对
坡角的理解,如通过辅助线何构造直角三角形,以及解直角三角形的过程.
5.学科核心素养:培养学生运算能力、几何直观、应用意识、模型意识.
6.参考答案:
(1)B (2)C (3)A
作业 2(发展性作业)
1.作业内容
(1)如图,防洪大堤的横断面是梯形ABCD,其中AD∥BC,坡角α=60°,汛期来
临前对其进行了加固,改造后的背水面坡角β=45°.若原坡长AB=20 m,求改造后
的坡长AE.(结果保留根号)
2.时间要求(5分钟)
3.评价设计
(1)作业评价表
等级
评价指标 A B C 备注
A 等,答案正确、过程正确。
B 等,答案正确、过程有问题。
C 等,答案不正确,有过程不完整;答案不准确,过
答题的准确性
程错误、或无过程。
A 等,过程规范,答案正确。
答题的规范性 B 等,过程不够规范、完整,答案正确。
C等,过程不规范或无过程,答案错误。
A 等,解法有新意和独到之处,答案正确。
解法的创新性 B 等,解法思路有创新,答案不完整或错误。
C 等,常规解法,思路不清楚,过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为A 等; ABB、BBB、AAC 综合评
综合评价等级
价为B 等;其余情况综合评价为 C 等。
(2)年级展示:各班收集优秀作业在年级楼道内进行展示
4.作业分析与设计意图
设计意图是让学生正确理解坡角与正切的关系,首先需要学生构建直角三角
形,在共直角边的两个直角三角形中运用解直角三角形求出公共边的长度,加深
对概念的理解,加强学生的模型意识,让学生体会数学的应用价值.
5.学科核心素养:培养学生运算能力、应用意识、模型意识.
6.参考答案:(1)解:过点A作AF⊥BC于点F. 由题知,在Rt△ABF中,α=60°,
3
∴AF=AB·sin 60°=20× =10 3 (m). 在Rt△AEF中,β=45°,
2
AF
∴AE= =10 6 (m).
sin45°
答:改造后的坡长AE为10 6 m.
六、实践活动作业
蚌埠地处我国东部南北气候分界线的淮河中游,因古代盛产河蚌而出名,有
“珠城”的美誉如图是蚌埠著名的南北气候分界标志雕塑,位于蚌埠市区东部的
龙子湖西畔,由工艺美术大师韩美林设计其红色代表温暖的南方,蓝色代表相对
寒冷的北方,顶部一条苍龙展翅欲飞,中部一颗明珠象征蚌埠珠城,基座上根据
中国传统文化,分别是朱雀、玄武、青龙、白虎,代表四面八方,引无数人驻足
欣赏现请各位同学们以小组为单位,利用身边的工具制作一个测角仪,并通过所
学知识实地测量此南北分界标志的高度,记录相关数据并完成活动报告.
[活动一]:制作测角仪
把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处,细线的另一端系一个小重物,制
成一个简单的测角仪,利用它可以测量仰角和俯角.
[活动二]:测数据
在地面选择一处记为A点,此时人站在A处将这个仪器用手托起,拿到眼前,
使视线沿着仪器的直径刚好到达南北分界标志的最顶端C处,得出仰角α,最后
用皮尺测出人离标志物底部B的距离AB及人的身高AD(标志物底部凹陷于水平地
面的部分高度忽略不计).
[活动三]:计算
利用上述测量的数据计算南北分界标志的高度.
[思考]:在实际测量过程中,因标志物底部凹陷于地面,难以准确测得人离
底部的水平距离,误差较大,你有什么好的解决方案吗?
表1 实践活动报告
课题 测量南北分界标志的高度 活动时间
成员 组长 组员
准备工具
说明:
1、A、B两点需在同一条
水平直线上;
测量示意图 2、测量数据会有一定误
差,可以多次测量取平
均值,减小误差
身高AD
测量数据 距离AB
仰角α
标志物高度BC
成果展示
方案改进
(预设方案)
收获与反思
表2 综合评价表
评价指标 评价内容 自评 组评 教师评价
1、测量工具准备充分;
前期准备 2、提前搜集相关资料素材;
3、预先计划好出行路线
1、积极参与活动;
情感态度 2、不怕困难和辛苦;
3、主动承担相应活动任务
1、积极动手,记录测量数据;
活动实施 2、积极动脑,由测量数据计算得出结论;
3、实践操作方法方式多样
1、积极提出合理的想法;
方案改进 2、思路新颖有创造性;
3、能合理对不同方案进行分析,优化方案
1、小组分工明确,能够顺利完成;
合作交流 2、主动与他人沟通和交往;
3、认真听取其他同学想法
1、实践中有较好的团结合作精神;
团队表现 2、活动报告的完成程度;
3、汇报成果的表现及面对其他小组质疑的
应对能力
注:评价标准:A-优秀;B-良好;C-一般;D-较差
七、单元质量检测作业
【学情分析】
从知识结构来看,九年级学生已经掌握了勾股定理,学习过锐角三角函数,
能够用定义法求三角函数正弦sin、余弦cos、正切tan值;并且也已掌握了直角
三角形三边之间的关系(勾股定理),三角之间的关系(两锐角互余),以及有
一锐角是30°的特殊直角三角形的边角关系(直角三角形中,30°角所对的直角
边是斜边的一半);掌握了一般直角三角形的边角关系和特殊角(30°,45°,
60°的角)的三角函数值,并能应用三角函数知识解决相关的实际问题.
从认知规律来看,学生正处于抽象逻辑思维发展的关键期,抽象概括能力尚
未成熟,把实际问题抽象为数学问题的能力不够强,因此在锐角三角函数的运用
上不太熟练,综合运用所学知识解决问题的能力较弱同时九年级学生对学习的主
动性、积极性较高,有克服困难的意志,可以利用学生这些特征帮助学生增强学
习能力.
【本单元重难点】
重点:熟练运用锐角三角函数及掌握特殊角的三角函数值;运用有关三
角函数知识解直角三角形,解决仰角、俯角、坡角等实际问题.
难点:添加辅助线解决实际问题.
【课标要求】
1.利用相似的直角三角形,探索并认识锐角三角函数(sinA,cosA,tanA),
知道30°,45°,60°角的三角函数值;
2.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值,由已知三角函数值求它
的对应锐角;
3.能用锐角三角函数解直角三角形,能用相关知识解决一些简单的实际
问题.
【设计理念】
1. 体现本单元教材特点,通过解直角三角形在实际生活中的应用,让学生
体会数学与人类生活和社会发展的紧密联系,认识到数学作为自然科学的基础学
科,其应用已渗透到现代社会及人们日常生活的各个方面,感知数学不仅源于生
活也可以创造生活价值,提高学生学习数学的兴趣;
2.基于课程标准理念,体现以学生为主体,提高学生主动建立数学模型、探
索并解决数学问题的能力,培养求知精神;
3.落实国家的双减政策,根据学生的特点和学习规律,紧扣教材,合理设置
题量及难度,让学生在有限时间内,巩固知识,发现问题及时解决问题,达到较
好的检测效果.
【设计目标】
1.了解锐角三角函数的概念,会根据已知条件解直角三角形;
2.掌握特殊角30°、45°、60°的各个三角函数值,并能进行各种运算;
3.能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单问题;
4.可以将解直角三角形应用于实际生活,解决简单的俯角、仰角、方向角、
坡角等实际问题;
5.渗透数形结合思想和模型意识,发展学生的发散思维和抽象逻辑思维;
6.在问题解决的过程中,体验获得成功的乐趣,锻炼克服困难的意志,建立
自信心,养成认真勤奋、独立思考的学习习惯.
【设计特色】
1.注重落实“四基”,每一题都落实和巩固基础知识、基本技能、基本
思想、基本活动经验,体现立德树人的教育导向;
2.设置多种题型,包括选择题、填空题、解答题,采用不同的形式考察
学生,使学生巩固所学知识,建立新旧知识之间的联系,同时题目中也涉及
一题多解,可以开阔学生的思路,培养发散思维;
3.在“双减”政策的背景下,题目难度设置有梯度,难易占比适中,符
合学生的认知发展规律,在减轻学生学业负担的前提下达到较好的检测学生
知识掌握的效果,发现不足并及时反馈纠正;
4.所涉及的解直角三角形的应用题,是学生较为熟悉的事物,更贴近生
活,让学生不易产生畏难情绪,磨练意志的同时培养严谨求实的科学态度.
【学科核心素养】
本单元质量检测作业设计主要体现了数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观
想象和数据分析的核心素养,发展学生的数学运算、几何直观、应用意识、模型
意识的能力.
(一)单元质量检测作业内容
一、单选题(本大题共6题,每题3分,共18分)
1.在Rt ABC中,∠C=90°,BC=5,AC=12,则下列结论正确的是( )
5 12 5 12
Asin A= Bcos A= Ctan A= Dcos B=
12 13 13 13
[设计意图]:本题属于基础题,主要考察学生对锐角三角函数(sin、cos、
tan)概念的掌握,及由边求角的三角函数值的简单计算,加强记忆,感受成功
的喜悦,增强自信.
2.如图是边长为1的小正方形组成的网格图, ABC的顶点均为格点,则sin A
为( )
2 10 5 1
A. B. C. D.
2 5 5 2
[设计意图]:本题属于中等题,考察学生对三角函数的理解,图中∠A 不在
直角三角形中,需要学生利用格点构造∠A 所在的直角三角形,再利用正弦 sin
的概念求解,可以看出学生对三角函数概念的理解情况.
3.如图,AB是以O为支点的跷跷板的一部分,明明和强强分别坐在跷跷板的
两端,此时AB刚好处于水平位置,某个时刻,AB绕支点旋转到A B 的位置,已知
AO长为2米,旋转角∠AOA =α,则跷跷板A端升高了多少米( ).
2 2
A. B.2cosα C. D.2sinα
[设计意图]:本题属于中等题,是解直角三角形的在仰角问题中的简单应用,
以学生感兴趣的游戏出发,激发兴趣和求知欲,不仅考察了三角函数知识的运用
也考察了学生的实际生活经验,在跷跷板旋转过程中OA与OA 是相等的,这是解
决本题的关键之一,体现数学与生活实际息息相关,另一方面也为学生对三个三
角函数的选择增加了一点难度.
3
4.在Rt ABC中,∠C=90°,若sinA= ,则tanB=( )
5
4 3 5 3
A. B. C. D.
3 4 3 5
[设计意图]:本题属于基础题,考察学生利用锐角三角函数求三角形边长并
进行三角函数之间相互转化的能力,综合性相对第1题高一点,增强学习信心.
5.如图,水库大坝的横断面是梯形ABCD,AD//BC,坝顶AD宽为7m,坝高为20m,
斜坡AB的坡度i1=1: 3,斜坡CD的坡度i2=2:1,则坝底BC为( )
A.20 3+17 B.37 C. 20 2+17 D.20+17 3
[设计意图]:本题属于中等题,把坡度与正切函数结合起来,考察学生对两
者之间关系的掌握,题目中涉及的量较多,也考察了学生的数学运算能力,同时
体现数学源于生活又可以解决生活实际问题的特点,感受数学的魅力,从而提高
学习的积极.
3
6.在锐角 ABC中,AB=AC=10,tan B= ,则底边BC的长为( )
4
A.6 B.8 C.12 D.16
[设计意图]:本题属于中等题,在设计时特意未给出图形,考察学生数形结
合的思想,从而使得难度有所增长由题意可得三角形ABC为等腰三角形,利用等
腰三角形的性质三线合一,再结合正切函数概念即可顺利解决本题,考察新知的
同时也巩固了旧知,可以看出学生对知识间是否能搭建联系的能力.
二、填空题(本大题共4题,每题4分,共16分)
7. 3sin60°的值为________
[设计意图]:本题属于基础题,旨在考察学生对特殊角的三角函数值的掌握
情况.
3
8.已知∠A、∠B、∠C分别为△ABC的内角,且满足(tan B- 3) + =0,
2
则∠C=________.
[设计意图]:本题属于基础题,共考察了三个知识点,第一平方与绝对值的
非负性,第二由特殊角的三角函数值得角的度数,第三三角形内角和为180°学生
处于九年级毕业班阶段,适当穿插旧知有利于学生新旧知识建立联系,既巩固新
知又回忆了旧知.
9.在Rt ABC中,∠C=90°,BC=3 2,AB=2 6,则∠B的度数为________.
[设计意图]:本题属于中等题,考察数形结合的同时,重在学生是否能结合
题意熟练的选择合适的三角函数sin、cos、tan来解决问题,再由三角函数值求
角度,通过练习进一步加强学生对函数的理解,自变量与因变量的对应关系.
10.如图,正方形ABCD的边长为3,点M在边DC上,M,N两点关于对角线AC
对称,若DM=1,则tan ∠ADN=________.
[设计意图]:本题属于较难题,综合性较强,需要根据对称性添加辅助线,
考察正切tan的概念的同时还运用到了正方形的性质以及相等的角的转化的思想,
可以看出学生综合运用知识的能力本题思路也较多,可以训练学生一题多解的思
维能力,培养学生的发散思维,拓展视野.
三、解答题(本大题共4题,共46分)
11.计算(10分):
(1)(cos60°) 1 |1 sin60°| + ( 1)2019;
(2)2sin245° + (tan45° 3)0 3tan60° cos30°
[设计意图]:本题属于基础题,是本单元重点考察的内容,反复考察学生对
特殊角的三角函数值的掌握,有利于巩固知识,这也是中考必考的内容之一,有
其存在的必要性,提高学生数学运算能力.
1 1
12.(10分)如图,在△ABC中,sin B= ,tan C= ,AB=6,求BC的长.
3 2
(第12题图)
[设计意图]:本题属于中等题,根据初中阶段三角函数的概念适当添加辅助
线,构造直角三角形,常见的辅助线做法即作垂线段紧扣教材,使学生巩固综合
利用直角三角形的有关知识解决实际问题,考察方程思想以及转化的数学思想在
学习中的应用,从而提高学生分析问题解决问题的能力,也让学生发现不足及时
反馈纠正.
13.(12分)如图,有一艘渔船在作业时出现故障,急需抢修,调度中心通
知附近两个小岛A,B上的观测点进行观测.从A岛测得渔船在南偏东37°方向的C
处,B岛在南偏东66°方向;从B岛测得渔船在正西方向.已知两个小岛间的距离
为72海里.A岛上维修船的速度为20海里/时,B岛上维修船的速度为27海里/时.为
及时赶到维修,调度中心应派遣哪个岛上的维修船前去维修?(参考数据:cos
37°≈0.8,sin 37°≈0.6,sin 66°≈0.9,cos 66°≈0.4)
(第13题图)
[设计意图]:本题属于较难题,是解直角三角形的应用在方向角问题中常考
的题型,考察学生将实际问题转化为数学模型来解决的能力题目中创设了渔船故
障维修的问题情境,引起学生兴趣,激发探究欲,既达到运用知识的目的,也培
养了学生不畏困难的科学精神.
14.(14分)某挖掘机的底座高AB=08米,动臂BC=12米,CD=15米,BC与CD
的固定夹角∠BCD=140°初始位置如图(1)所示,斗杆顶点D与铲斗顶点E所在直线
DE垂直地面AM于点E,测得∠CDE=70°(示意图如图(2)所示)工作时如图(3)所
示,动臂BC会绕点B转动,当点A,B,C在同一直线时,斗杆顶点D升至最高点(示
意图如图(4)所示).
(1)求挖掘机在初始位置时动臂BC与AB的夹角∠ABC的度数;
(2)问斗杆顶点D的最高点比初始位置高多少米?(精确到01米)(参考数
据:sin50 ≈ 0.77,cos50 ≈ 0.64,sin70 ≈ 0.94,cos70 ≈ 0.34, 3 ≈ 1.73)
(第14题图)
[设计意图]:本题属于难题,学生难以在这样一个模型中找出直角三角形,
需要添加多条辅助线来解决,旨在考察学生学完全单元内容,能否利用所学知识
建立数学模型来解决实际生活中遇到的问题,将知识运用于生活,体现数学知识
的应用价值.
(二)单元质量检测作业参考答案
1.B 2.C 3.D 4.A 5.A 6.D
3 3
7. 8.60° 9.30° 10.
2 2
1 1 3
11. (1)解:原式=( ) |1 | +( 1) 2分
2 2
3
=2-(1- )-1 4分
2
3 3
=2-1+ -1= 5分
2 2
2 2 3
(2)解:原式=2×( ) + 1 3 × 3 × 2分
2 2
1 9
=2× +1- 4分
2 2
= 5 5分
2
12. 解:过A作AD⊥BC,垂足为D点
在Rt AD 1ABD中,∵sin B= = ,AB=6,∴AD=2 3分
AB 3
∴BD= 2 2= 62 22=4 2 6分
在Rt AD 1ACD中,又∵tan C= = ,∴CD=4 8分
DC 2
∴BC=BD+CD=4 2 + 4 10分
13.解:作 AD⊥BC,交 BC 的延长线于点 D
在 Rt△ADB 中,AD=AB·cos∠BAD=72×cos 66°≈72×04=288 海里
BD=AB·sin ∠BAD=72×sin 66°≈72×09=648 海里 4 分
AD 28.8 28.8
在 Rt△ADC 中,AC= ≈ ≈ =36 海里
cos ∠DAC cos 37° 0.8
CD=AC·sin ∠CAD≈36×sin 37°≈36×06=216 海里 8 分
∴BC=BD-CD≈648-216=432 海里,∴A岛上维修船赶到 C处需要的时间
36 43.2
tA= ≈ =18 时,B岛上维修船赶到 C处需要的时间 tB= ≈ =16 时20 20 27 27
11 分
∵tA>tB,∴调度中心应派遣 B岛上的维修船前去维修 . 12 分
14. 解:(1)过点 C作 CG AM 于点 G,∵AB⊥AM,DE⊥AM,CG⊥AM,∴AB∥DE∥CG.
∴∠DCG=180°-∠CDE=110° 3 分
∴∠BCG=∠BCD-∠DCG=30°∴∠ABC=180°-∠BCG=150° 5 分
∴挖掘机在初始位置时动臂 BC 与 AB 的夹角∠ABC=150° 6 分
(2)过点 C作 CP⊥DE 于点 P,过点 B作 BQ⊥DE 于点 Q,交 CG 于点 N.
在 Rt CPD 中,DP=CD cos70°≈0.51 米,在 Rt BCN 中,CN=BC cos30°≈1.038
米.∴DE=DP+PQ+QE=DP+CN+AB≈0.51+1.038+0.8=2.348 米 9 分
过点 D作 DH⊥AM 于点 H,过点 C作 CK⊥DH 于点 K.
∴∠DCK=140°-90°=50°,在 Rt CKD 中,DK=CD sin50°≈1.155 米,
DH=DK+KH=DK+BC+AB≈1.155+1.2+0.8=3.155 米 12 分
∴DH-DE=0.807≈0.8 米 13 分
∴斗杆顶点 D的最高点比初始位置高 0.8 米. 14 分
(三)单元质量检测作业属性表
对应单元 对应学
序号 类型 难度 来源 完成时间
作业目标 了解 理解 应用
1 选择题 1 √ 易 原创
2 选择题 1 √ 中 改编
3 选择题 3 √ 中 原创
4 选择题 1 √ 易 改编
5 选择题 3 √ 中 原创
6 选择题 3 √ 中 改编
45 分钟
7 填空题 1 √ 易 原创
8 填空题 1 √ 易 原创
9 填空题 3 √ 中 改编
10 填空题 3 √ 较难 改编
11 解答题 1 √ 易 原创
12 解答题 3 √ 中 原创
13 解答题 3 √ 较难 改编
14 解答题 3 √ 难 选编
(四)单元质量检测作业评价表
等级
评价指标 A B C 备 注
A 等,答案正确、过程正确。
答题的准确性
B 等,答案正确、过程有问题。
C 等,答案不正确,有过程不完整;答案不准确,过
程错误、或无过程。
A 等,过程规范,答案正确。
答题的规范性 B 等,过程不够规范、完整,答案正确。
C等,过程不规范或无过程,答案错误。
A 等,解法有新意和独到之处,答案正确。
解法的创新性 B 等,解法思路有创新,答案不完整或错误。
C 等,常规解法,思路不清楚,过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为A 等; ABB、BBB、AAC 综合评
综合评价等级
价为B 等;其余情况综合评价为 C 等。
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