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沪科版九年级数学第 24 章《圆》作业设计
一、单元内容及教材分析
(一).单元内容
基 本 学 科 年 级 学 期 教材版本 单元名称
信 息 数 学 九年级 第二学期 沪科版 圆
单元组织方式 自然单元
序号 课时名称 对应教材内容
1 旋转 24.1(P2 --P11)
2 圆的基本性质 24.2(P12—P26)
3 圆周角 24.3(P27—P32)
课 时
4 直线与圆的位置关系 24.4(P33—P41)
信 息 5 三角形的内切圆 24.5(P42—P45)
6 正多边形与圆 24.6(P47—P52)
7 弧长与扇形面积 24.7(P53—P61)
综合与实践
8 24.8(P62—P64)
进球线路与最佳射门角
(二).知识网络
(三).教材分析
圆是一种常见的图形，在日常生活和工农业生产中有着广泛的应用。教材在内
容的呈现中，充分体现从生活中的立体图形到平面图形，立足学生已有的生活经验、
初步的数学活动经历以及已经掌握的有关知识，从观察和分析生活中大量存在的事
实人手，在已有经验的基础上，通过操作与推理来探索最简单而最有实用价值的特
殊的曲线形——圆的有关性质与相关定理。
圆是初中几何的最后一章，无论是内容安排还是习题的搭配上，都大量出现对
以往知识和数学思想方法的综合运用，这样一方面提高了教学的难度，另一方面使
得学生的数学思维水平得到一个飞跃。
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本章是在学习了直线、简单几何图形有关性质的基础上,进一步学习最简单的曲
线图形——圆。圆的有关性质不仅在生产、生话中有着极其广泛的应用,圆还是进一
步学习数学、物理和其他课程的基础。圆是初中平面几何的最后一章,学习这章应联
系以前学习的几何知识与方法,因此本章教学在初中最后阶段占有重要的地位。
本章内容主要分为两大部分：
第一部分是旋转对称。这是在学习过的平移、轴对称等全等变换后的另一种全
等变换。把旋转放在圆这一章，是因为在平面上作图形的旋转变换,实质上是对这个
图形上的所有点都作一个以旋转中心为圆心的圆周运动。
第二部分是圆的有关概念和性质。在介绍了圆的对称性后,利用圆既是轴对称图
形又是旋转对称图形,推出垂径性质及同圆中弦、弧、圆心角、弦心距之间关系的性
质。圆周角定理的证明是完全归纳法的一个最好的范例。在此定理基础上推证得圆
内接四边形的性质。直线与圆关系中，重点是切线的作图、判定与性质。多边形与
圆关系中只介绍了三角形与圆、正多边形与圆的有关性质,这些都是最基础的知识。
本章最后介绍了弧长、扇形的面积、圆锥的侧面展开,并利用它们解决一些实际
问题。本章综合运用了直线、几何图形的相关知识,特别展示了一些重要的基本数学
思想方法。如利用运动的观点讨论圆的知识,分类讨论进行证明、反证法的运用等,
这些作为教学内容。显然可以提高学生的逻辑思维能力,树立辩证唯物主义观点。
二、单元学习目标
(一).学段目标要求
探索并理解旋转的知识，掌握圆的基本性质与判定，掌握基本的证明方法和基
本的作图技能。能独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。学会在具体的情境
中从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简单的实
际问题，增强应用意识，提高实践能力。积极参与数学活动，对数学有好奇心和求
知欲。在运用数学表述和解决问题的过程中，认识数学具有抽象、严谨和应用广泛
的特点，体会数学的价值。敢于发表自己的想法、勇于质疑，养成认真勤奋、独立
思考、合作交流等学习习惯，形成实事求是的科学态度。
(二).单元课标要求
1.图形的旋转
(1)通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转。探索它的基本性质：一个
图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别
与旋转中心连线所成的角相等。
(2)了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它的基本性质：成中心对称的两
个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。
2.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念；探索并
了解点与圆的位置关系。
3.探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。
4.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论：
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；直径所对的圆周角是直角；90°
的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补。
5.知道三角形的内心和外心。
6.了解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念，探索切线与过切点的半径的关
系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线。
7.探索并证明切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等。
8.会计算圆的弧长、扇形的面积。
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9.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系。
(三).单元学习目标
1.通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转,探索它的基本性质。了解中
心对称、中心对称图形的概念,探索它的基本性质。
2.通过观察、实验了解圆的旋转不变性,认识圆既是中心对称图形又是轴对称图
形在此基础上理解垂径定理及其逆定理,探索并理解圆心角、弧、弦、弦心距之间相
等关系的定理。
3.探索如何过一点、两点和不在同一条直线上的三点作圆,了解反证法的含义及
其证明的一般步骤。
4.理解圆的概念及点和圆的三种位置关系,并会利用点到圆心的距离和圆的半
径之间的数量关系判定点和圆的位置关系。
5.探索圆周角与圆心角关系,了解并证明圆周角定理及推论,内接四边形性质。
6.了解直线和圆的位置关系,掌握切线的概念,探索切线与过切点的半径之间的
关系。能判定一条直线是否为圆切线,会过一点画圆的切线探索并证明切线长定理。
7.知道三角形内心和外心及内切圆、外接圆、内接三角形、外切三角形等概念。
8.了解正多边形概念及正多边形与圆位置关系,掌握相关的性质。
9.会计算圆的弧长及扇形的面积,会展开圆锥的侧面。
三、学情分析及教学重难点
(一).学情分析
从心理特征来说，初三的学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力，
记忆能力和想象能力也随着迅速发展。但同时，这一阶段的学生好动，注意力易分
散，爱发表见解，希望得到老师的表扬，所以在教学中应抓住这些特点，一方面运
用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方
面，要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。
从认知状况来说，学生在此之前已经学习了圆，对圆已经有了初步的认识，这
为顺利完成本节的教学任务打下了基础，但对于圆的理解，由于其抽象程度较高，
学生可能会产生一定的困难，结合学生学习能力，教学中应子以简单明白，深入浅
出的分析。
(二).重点和难点
重点：圆的有关性质
难点：知识综合性的应用
四、单元作业目标
圆的知识与前面所学知识联系密切，三角形、平行四边形、相似形等在本章中
都有较多的应用。设计作业注意前后知识联系，对以前的几何知识也是一个综合归
纳、提高理解的学习过程。使学生有意识地归纳数学思想方法，培养学生有条理地
思考，并规范的格式解答。
圆是初中几何的最后一章,是对之前的几何知识和数学思想方法的综合运用,这
样一方面提高了应用的难度,另一方面使得学生的数学思维水平得到一个飞跃。因此，
作业设计要兼顾不同层次学生的个性化需求，让大部分学生能在规定时间内完成作
业任务。准确把握学生“学”的情况和教师“教”存在的问题，为教师改进教学方
法、调整教学结构提供依据。通过设计作业培养学生数学建模等核心素养的意识，
根据学生的情况不断更新，以激励学生积极要求进步，让不同层次的学生在成功中
树立学习的自信心，以培养学生学习数学的兴趣，提高学生的数学素养。让学生在
自主探索的过程中获得知识和技能,掌握基本的数学思想方法。充分关注学生的个性
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差异,发挥评价的激励作用。让不同的学生在不同的方面得到不同的发展。
五、单元作业整体设计思路
作业设计一方面关注学生思考方式的多样化，包括学生的主动性、参与程度、
思考与表达的条理性等；另一方面关注学生的数学思维表达能力。比如，对于圆的
有关性质的评价应看学生是否借助于具体的思考方法去理解。
作业设计上要求学生在证明过程的严谨性上、在数学语言表达的准确性上都要
相对有一个较高的层次。这是提高训练学生数学品质的重要方面，所以在设计中要
关注作业的规范，关注学生思维的求异性与批判性，关注证明的完整性。这就要求
在作业设计中，不仅仅关注学生是否计算或推出某个结论，而且应该关注学生在探
索过程中出现的新的方法、新的思路，用尽可能多的方法去解决实际问题。比如，
要求学生创设动态的有关圆的图案，不仅给学生以美的享受，也激发学有余力的学
生更进一步学习数学知识。
分层设计作业，每课时均设计“预习作业”、“课时作业”和“课后作业”，
让学生循序渐进的了解、掌握并运用知识解决问题。“基础性作业”(面向全体，体
现课标，要求学生必做)和“拓展性作业”(体现个性化，探究性，实践性，素养性，
要求学生有选择的完成）。
六、单元作业目录
24.1 旋转……………………………………………………………3 课时(P 5—P13)
24.2 圆的基本性质…………………………………………………4 课时(P14—P28)
24.3 圆周角…………………………………………………………2 课时(P29—P37)
24.4 直线与圆的位置关系…………………………………………2 课时(P38—P47)
24.5 三角形的内切圆………………………………………………1 课时(P48—P52)
24.6 正多边形与圆…………………………………………………2 课时(P53—P61)
24.7 弧长与扇形面积………………………………………………2 课时(P62—P69)
24.8 综合与实践——进球线路与最佳射门角……………………1 课时(P70—P73)
单元作业检测 …………………………………………………………1 课时(P74—P84)
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第一节 旋 转
1.通过作业设置巩固本节主要内容.旋转定义及其基本性质，中心
对称及中心对称图形.
2.作业设置让学生通过生活中旋转现象，认识几何图形的旋转变换
本节作业目标
和旋转对称(中心对称)，提高识图和动手操作能力，理解旋转意义.
3.探索并理解旋转(包括中心对称)的基本性质，能够运用这些性质
进行旋转点的坐标变换.提高解决问题能力提高学生数学素养.
1.通过分层作业设计使每个层次学生都能得到发展，感受数学在生
活中的美，激发学生学习数学兴趣和求知欲望.
2.通过作业设置提高学生动手操作能力，巩固课本上的知识点，让
每个学生都有收获，体会数学在生活中的应用和价值.提升作业为
作业设计思路
中考提升提供训练平台.提高学有余力学生可持续发展.
3.本节作业设计本着让学生通过察，设计，动手操作理解旋转的性
质，中心对称(图形)性质，旋转在全等、线段、角相等的几何证明
中运用，提高学生解题能力.
作业课时安排 本节内容共 3 课时
第 1 课时 24.1.1 旋转的概念
1.通过作业设置使学生有目的的去预习课本知识点，提高学生动手
操作能力，巩固课本上的知识点，提高学有余力学生可持续发展.
课时作业目标
2.本节作业设计本着让学生通过观察、设计、动手操作理解旋转的
性质，旋转在几何证明中运用，提高学生解题能力.
第一部分 课前预习作业 (预计时长：4分)
题号 作业内容及设计意图 核心素养及评价标准
在平面内，一个图形绕着一个定点，旋转一定的角度， 数学核心素养：
空间概念 几何直观
得到另一个图形的变换，叫做 . 这个定 抽象能力
评价标准：
1 点叫做 .转动的角度称为 .
A.能够认真预习课本掌握旋
设计意图、作业分析：通过作业设计帮助学生有目的的预习课本内容， 转概念.
B.基本了解了旋转概念.
了解旋转的相关内容.培养学生良好的学习习惯，提升学生的学习能力.
C.没预习，不了解旋转概念.
数学核心素养：
在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度 θ 几何直观 空间观念
(0°＜θ＜360°)后，能够与原图形重合，这样的图形叫 评价标准：
2 做 ，这个定点就是
A.理解旋转对称图形定义正
.
确填出答案.
B.了解旋转对称概念，不完
设计意图、作业分析：通过作业设计帮助学生有目的的预习课本内容，
全写出答案.
了解旋转对称图形定义.培养学生良好的学习习惯，提升学生学习能力. C.不能说出概念.
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第二部分 课堂巩固作业 (预计时长：4 分)
题号 作业内容及设计意图 核心素养及评价标准
数学核心素养：
一个标准的五角星，若将它绕旋转中心旋转一定角度 抽象能力 几何直观
后能与自身重合，则至少应将它旋转的度数是( ) 评 价 标 准 ：
A．60° B．72° C．90° D．144° A.能熟练运用旋转对称的概
1 念.
设计意图、作业分析：通过身边熟悉的五角星这个旋转对称图形为背景 B.基本能运用旋转知识解
题.
巩固旋转对称图形性质，以实际问题为切入点，体现了数学来源于生活，
C.不能运用旋转对称性解决
又服务于生活. 问题.
我国著名企业商标图案中，是旋转对称图形是( )
数学核心素养：
推理能力 几何直观
A. B. C. D. 评价标准：
2 A.正确运用定义解决问题.
B.基本能掌握旋转对称图形
设计意图、作业分析：通过四个图形的比较理解旋转对称图形概念，提 性质.
C.不能理解定义.
升学生识图能力.
第三部分 课后基础性作业 (预计时长：15 分)
题号 作业内容及设计意图 核心素养及评价标准
下列事件中，属于旋转运动的是( )
数学核心素养：
A.小明向北走了 4米. 几何直观
B.小朋友们在荡秋千时做的运动. 评价标准：
1 C 电梯从 1 楼上升到 12 楼 A.正确运用旋转概念解决问. .
题.理解掌握旋转概念.
D.一物体从高空坠下. B.基本上能了解概念.
设计意图、作业分析：让全体学生了解生活中什么样的运动属于旋转. C.不能运用概念解决问题.
剪纸是我国的非物质文化遗产之一，下列剪纸作品中
是旋转对称图形的是( ) 数学核心素养：
几何直观 空间观念
评价标准：
2 A. B. C. D. A.熟练运用旋转对称概念.
B.能运用旋转知识解题.
C.不能运用旋转对称性解决
设计意图、作业分析：让学生认识旋转对称图形.会在多个图形中找出旋 问题.
转对称图形.
如图，点 A、B、C、D 都在方格纸的
数学核心素养：
格点上，若△AOB 绕点 O 按逆时针方 抽象能力 几何直观
向旋转到△COD 的位置，则旋转的角 评价标准：
3 度为 . A.能熟练运用旋转角概念解
决问题.
B.基本上能解决问题.
设计意图、作业分析：让大部分都会找旋转角，理解旋转中各对对应点
C.不能掌握旋转角概念.
形成的旋转角不变及方格网中怎样计算旋转角的度数.
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如图，将 Rt△ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转一定 角
数学核心素养：
度得 Rt△ADE，点 B 的对应点 D 恰好落在 BC 边上， 推理能力 运算能力
若 AC= 3，∠B=60°，则 CD 的长为 . 几何直观
评价标准：
E
A.能综合运用等边三角形性
4 A 质，旋转概念，直角三角形
，勾股定理解决问题.
B.能解决问题.
C D B
C.不能运用几何综合知识解
设计意图、作业分析：适合大部分学生去做，主要是理解旋转性质，了 决问题.
解旋转属于全等变形，在几何图形旋转过程中会计算线段长度.
第四部分 实践性、开放性作业 (预计时长：8分)
题号 作业内容及设计意图 核心素养及评价标准
2022 年 2月 4 日—2月 20 日，北京冬奥会
将隆重开幕，北京将成为世界上第一个既
数学核心素养：
举办过夏季奥运会，又举办过冬季奥运会 能力抽象 推理能力
的国家．下面图片是在北京冬奥会会徽征 数学运算 几何直观
集过程中，征集到的一副图片，整个图由“京字组成 数据观念
1 的雪花图案”、“beijing2022”、“奥运五环”三部分 评价标准：
A.正确运用旋转概念、掌握
组成．对于图片中的“雪花图案”，至少旋转 ° 正六边形的性质，解决问题.
能与原雪花图案重合． 并计算角度.
设计意图、作业分析：本题考查旋转对称图形，生活中的旋转现象等知 B.基本上能了解概念.
C.不能运用概念解决问题.
识，解题的关键是理解题意，掌握正六边形的性质，属于中考常考题型.
本题是奥运设计图，激发学生爱国情操.
如图，点 E 是正方形 ABCD 内一点，连接 AE，BE，
CE，将△ABE 绕点 B 顺时针旋转 90°到△CBE′的位置， 数学核心素养：
若 AE＝1，BE＝2，CE＝3，则∠BE′C 能力抽象 推理能力
为多少度（提醒：可连接 EE′）. 数学运算 几何直观
数据观念
2 评价标准：
A.能综合运用旋转性质添
加辅助线，运用勾股定理.
设计意图、作业分析：本题适合一半以上学生做，主要是巩固旋转性质(全
B.能添加辅助线基本上解
等变化)，运用等腰三角形性质，勾股定理的逆定理解决几何计算和证明 决了问题.
问题，让学生接触几何综合题和旋转中的运用一些前面的图形性质和定 C.答案不规范思路不明确.
理，提高解决问题能力.
第五部分 答案和详细解析
一.课前预习作业答案
作业 1.旋转，旋转中心，旋转角.
参考 2.旋转对称图形，旋转中心.
答案 解析：预习课本之后运用概念即能做出预习作业正确答案.
二.课堂巩固作业答案
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1.B 解析:五角星至少旋转 72°才能与自身重合.
2.B A,C,D 三个图都是不旋转对称图形.
三.课后基础性作业答案
1.B 解析 A、C、D 三个运动都是平移只有 B 是旋转.
2.A
4.1 解析：∵Rt△ABC 中，AC= 3 ，∠B=60°， ∴ AB=1，BC=2.
由旋转得，AD=AB，∴△ABD 为等边三角形，∴BD=AB=1，∴CD=BC－BD=2－1=1.
四.实践性、开放性作业答案
1. 60 解析：“雪花图案”可以看成正六边形，
∵正六边形的中心角为 60°，
∴这个图案至少旋转 60°能与原雪花图案重合．
2.135° 解析：连接 EE′. 由旋转性质知 BE=BE′，∠EBE′=90°.
∴∠BE'E=45°，EE′=2 2 ，在△EE′C 中，E′C=1，CE=3, EE′=2 2 .
由勾股定理逆定理可知∠EE′C=90°.
∴∠BE′C＝∠BE′E＋∠EE′C=135°.
第 2 课时 24.1.2 中心对称图形
1.通过作业设计使学生能够提前预习课本上的知识点，激发学生学
习数学兴趣和求知欲望.
2.作业设置提高学生动手操作能力，巩固课本上的知识点，提升作
课时作业目标 业为中考提升提供训练平台，提高学有余力学生可持续发展.
3.本节作业设计本着让学生通过观察、设计、动手操作理解中心对
称(图形)性质，中心对称在全等、线段、角相等的几何证明中运用，
提高学生解题能力.
第一部分 课前预习作业 (预计时长：5分)
题号 作业内容及设计意图 核心素养及评价标准
将△ABC 绕定点 O 旋转 180°，得到△DEF，这时，图 数学核心素养：
形△ABC 与图形△DEF 关于点 O 的对称叫做 ， 几何直观
1 点 O 就是 . 评价标准：
A.能熟练掌握中心对称定义.
设计意图、作业分析：通过作业设计帮助学生有目的的预习课本内容， B.基本掌握中心对称定义.
了解中心对称的定义.培养学生良好的学习习惯，提升学生的学习能力. C.没掌握中心对称定义.
把一个图形绕某一个定点旋转 180°，如果旋转后的图
形能和原来图形重合，那么这个图形叫作 ， 数学核心素养：
几何直观
这个定点就是 . 评价标准：
2
A.能掌握中心对称图形概念.
设计意图、作业分析：通过作业设计帮助学生有目的的预习课本内容， B.不完全掌握旋转概念.
C.没掌握中心对称图形概念.
了解中心对称图形的定义.培养学生良好学习习惯，提升学生学习能力.
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第二部分 课堂巩固作业 (预计时长：5分)
题号 作业内容及设计意图 核心素养及评价标准
△OCD 与△OAB 关于点 O 中心对称，那么______是对
称中心，点 A 与______是对称点，点 B 与______是对 数学核心素养：
称点. C 几何直观
B
评价标准：
1 O A.掌握中心对称相关概念.
D B.基本掌握中心对称概念.
A C.不完全掌握中心对称概
设计意图、作业分析：通过作业设计帮助学生巩固中心对称定义，以具 念.
体图形出现提高学生识图能力，提高学习兴趣.
下列标志是我国重要企业的标志，既是轴对称图形，
数学核心素养：
又是中心对称图形的是( ) 模型观念 几何直观
评 价 标 准 ：
2 A.能识别轴对称图形和中心
对称图形.
B.基本上能认识轴对称图形
和中心对称图形.
设计意图、作业分析：通过作业设计帮学生巩固中心对称和中心对称图
C.不能认识两个图形.
形性质，以及中心对称（图形）和轴对称联系于区别.
第三部分 课后基础性作业 (预计时长：10 分)
题号 作业内容及设计意图 核心素养及评价标准
判断正误：
数学核心素养：
（1）轴对称的两个图形一定是全等形，但全等的两个
推理能力 几何直观
图形不一定是轴对称的图形.( ) 评价标准：
（2）成中心对称的两个图形一定是全等形.但全等的 A.能掌握中心对称（图形）
轴对称（图形）全等形关系.
1 两个图形不一定是成中心对称的图形.( )
B.基本上掌握中心对称（图
（3）全等的两个图形，不是成中心对称的图形，就是 形）轴对称（图形）与全等
成轴对称的图形.( ) 变换 .
设计意图、作业分析：了解轴对称，中心对称都是全等变换，理解这两 C.不清楚中心对称（图形）
轴对称（图形）与全等关系.
种变换对图形的位置严格要求.
如下所示的 4组图形中，左边数字与右边数字成中心
对称的有( )组.
数学核心素养：
模型观念 几何直观
2 评价标准： A.掌握中心对称.
A.1组 B.2组 C.3组 D.4 组 B.不完全掌握中心对称.
C.没有掌握中心对称.
设计意图、作业分析：理解中心对称图形的判定，旋转 180°后能与自身
重合.
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如图，已知四边形 ABCD 和点 O，试画出四边形 ABCD
关于点 O 成中心对称的图形 A'B'C'D'. 数学核心素养：
C 几何直观
D 评价标准：
3 O A.正确运用中心对称知识做
出图形.
A
B B.基本能画出图形.
设计意图、作业分析：考察学生作图能力，训练学生动手操作能力，巩 C.不能运用正确画出图形.
固中心对称性质，激发学生学习兴趣.
数学核心素养：
平面直角坐标系中，E(－4，2)，F(－1，－1)，以 O
推理能力 几何直观
为中心，作△EFO 的中心对称图形，则点 E 的对应点 评价标准：
4
E′的坐标为 . A.能运用知识正确求出坐标.
B.基本能求出点的坐标.
C.不能运用知识求出坐标.
设计意图、作业分析：巩固学生理解中心对称性质在坐标系中的运用.
第四部分 实践性、开放性作业 (预计时长：8分)
题号 作业内容及设计意图 核心素养及评价标准
围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有 4000
多年的历史.世界围棋冠军柯洁与智能机器人AlphaGo
进行围棋人机大战.截取首局对战棋谱中的四个部分， 数学核心素养：
推理能力 几何直观
由棋子摆成的图案（不考虑颜色）是中心对称是( ) 评价标准：
1 A.熟记中心对称图形定义是
A. B. C. D. 解答本题．
B.基本能找出对称中心.
C.不能运用中心对称性质.
设计意图、作业分析：为了更好的巩固中心对称（图形）性质，用不同
的方法找到之后会给学生带来极大的学习数学的兴趣.
如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点O，过
点 O 的直线分别交 AD 和 BC 于点 E、F，AB＝2，BC
数学核心素养：
＝3，则图中阴影部分的面积为 .
推理能力 几何直观
评价标准：
A.能综合运用中心对称，全
2
等形相关知识.
B.基本上能运用相关知识.
C.不能灵活运用中心对称知
识解决问题.
设计意图、作业分析：提高学生学习兴趣，巩固本节知识点，让学生了
解中心对称在不同的图形中都有运用，从而更深层次理解中心对称性质.
第五部分 答案和详细解析
作业 一.课前预习作业答案
参考 1.中心对称，对称中心.
答案 2.中心对称图形，对称中心 解析：预习课本后了解中心对称（图形）即可填出答案.
二.课堂巩固作业答案
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1.O,C,D 解析：掌握中心对称性质后即可得到答案.
2.B 解析：了解轴对称图形，中心对称图形即可.
三.课后基础性作业答案
1.（1）√ ，（2）√，（3）×
2.C 解析：第 1 第 2 第 4 这三个图左右两个数字旋转 180°后会重合，第 3 个不会.
3.图略，解析：要画出四边形 ABCD 关于点 O 成中心对称的图形，只要画出 A，B，C，
D 四点关于点 O 的对应点，再顺次连接各对应点即可.
4.(4，－2).
四.实践性、开放性作业答案
1.A
2.解析：由于矩形是中心对称图形，所以依题意可知△BOF 与△DOE 关于点 O 成中心
对称，由此图中阴影部分的三个三角形就可以转化到 Rt△ADC 中，易得面积为 3.
第 3 课时 24.1.3 旋转的应用
1.通过作业设计让学生通过观察，动手操作理解旋转（对称）的性
质，中心对称（图形）性质，理解旋转对称，中心对称在平面直角
课时作业目标 坐标系中运用，在点坐标中的运用，提高学生计算能力，解题能力.
2.通过作业设计使学生能够提前预习课本上的知识点，激发学生学
习数学兴趣和求知欲望.
第一部分 课前预习作业 (预计时长：4分)
题号 作业内容及设计意图 核心素养及评价标准
数学核心素养：
有一点 A(1，-3)绕原点逆时针旋转 90°后对应点坐标 模型观念 几何直观
为 . 分析能力
1 评价标准：
A.能正确掌握旋转对称性质，
设计意图、作业分析：通过作业设计帮助学生有目的的预习课本内容， 正确求出坐标.
B.掌握旋转对称图形性质.
了解旋转对称的相关内容。培养学生良好的学习习惯，提升学生的学习
C.不能掌握旋转对称性质.
能力.
数学核心素养：
有一点 A(1，-3)绕原点逆时针旋转 270°后对应点坐标 模型观念 几何直观
为 . 数据观念
2 评价标准：
A.能正确掌握旋转对称性质，
正确求出坐标.
设计意图、作业分析：通过作业设计帮助学生有目的的预习课本内容，
B.掌握旋转对称图形性质.
并运用旋转对称的点的坐标变化规律解决问题. C.不能掌握旋转对称性质.
第二部分 课堂巩固作业 (预计时长：10 分)
题号 作业内容及设计意图 核心素养及评价标准
- 11 -
在下列某品牌 T 恤的四个洗涤说明图案的设计中，没
有运用旋转或轴对称知识的是( ) 数学核心素养：
几何直观
评价标准：
1 A.掌握旋转变换，轴对称等
A B C D 图形变换.
B.识别旋转变换轴对称图形.
设计意图、作业分析：通过作业设计让学生了解数学来源于生活运用于 C.不能掌握相关知识.
生活中去，提高学生学习兴趣，巩固旋转对称图形性质.
下列图形绕其对角线交点逆时针旋转 90°，所得图形和 数学核心素养：
推理能力 几何直观
自身重合的是( ) 评价标准：
2 A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 A.正确认识旋转对称图形，能
灵活运用特殊四边形性质.
设计意图、作业分析：通过作业设置巩固旋转对称性质，了解特殊四边
B.基本能掌握旋转对称知识.
形的旋转对称性质，让学生熟悉新课内容并运用知识解决问题. C.不能运用特殊四边形知识.
第三部分 课后基础性作业 (预计时长：15 分)
题号 作业内容及设计意图 核心素养及评价标准
将点 P(2，－3) 绕原点逆时针旋转 270°得到的点 P′ 数学核心素养：
模型观念 几何直观
的坐标为( )
数据观念
A.(-2，-3) B.(-3，2)
1 评价标准：
C.(-3，-2) D.(2，-3) A.熟练掌握旋转对称规律.
B.基本能掌握旋转对称坐标
设计意图、作业分析：理解并运用旋转性质，熟记在坐标系中旋转是坐
规律.
标变换规律. C.不能掌握坐标变化规律.
数学核心素养：
推理能力 几何直观
若点 A(m，－2)，B(1，n)关于原点对称,则 m= ， 分析能力
2 n= . 评价标准：
A.能熟练掌握旋转对称坐标
变化规律.
B.基本能掌握变化规律.
设计意图、作业分析：考察点关于原点成中心对称的坐标变换规律.
C.不能掌握坐标变化规律.
如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO
绕 O 按顺时针方向旋转 90°，得△A′B′O，则点 A′的坐 数学核心素养：
标为 . 抽 象 能 力 推 理 能 力
评价标准：
A.能熟练掌握旋转对称坐标
3 变化规律在方格纸中快速求
出坐标.
B.基本能掌握旋转对称坐标
变化规律.
设计意图、作业分析：考察旋转性质的灵活运用，在坐标系中，有方格 C.不能掌握坐标变化规律.
网时旋转 90°时点的坐标可用一线三等角的模型去做.
在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(－3，4)，将 OA 数学核心素养
4 模型观念 几何直观 绕坐标原点 O 逆时针旋转 90°至 OA′，则点 A′的坐标
评价标准：
是 . A.能熟练掌握旋转对称坐标
- 12 -
变化规律.
设计意图、作业分析：了解旋转属于全等变形，在几何图形旋转过程中 B.基本能掌握旋转对称坐标
会根据点的坐标的变化规律求出对称点的坐标. 变化规律.
C.不能掌握坐标变化规律.
第四部分 实践性、开放性作业 (预计时长：10 分)
题号 作业内容及设计意图 核心素养及评价标准
学完本节内容后，利用旋转、中心对称、平移、位似 数学核心素养：
及轴对称知识，设计一个美丽的图案.并体会、比较不 运算能力 分析能力
同图形变换的特点.有条件的同学可以利用几何画板 评价标准：
1 A.能利用所学知识设计一副
完成. 图案，巩固旋转知识．
设计意图、作业分析：利用所学知识设计一副图案，巩固旋转知识，体 B.基本能画出图形．
C.不能运用相关知识．
会数学带来的美感、激发学生学习数学的激情.
数学核心素养：
试写出直线 y=3x－5 关于原点对称的直线的函数关系 抽象能力 运算能力
式. 评价标准：
A．能综合运用中心对称知
2 识，熟练运用一次函数知识
设计意图、作业分析：培养学生转换思想，求解析式转化为求点的坐标 求出解析式.
即可.选做题有一定的难度，让学有余力的学生做，本题涉及旋转性质， B．基本能掌握中心对称知识
和一次函数知识.
设计在这里为尖子生服务.
C.不能解决问题．
第五部分 答案和详细解析
一.课前预习作业答案
1.（3，1）. 2.（-3，-1）.
解析：预习作业 1，2，两题运用旋转对称性质解决，点（x,y）绕原点逆时针旋转 90°、
180°、270°后坐标分别为（-y,x）,（-x,-y）,（y,-x）.
二.课堂巩固作业答案
1.C
2.D 解析：课堂作业用两个旋转对称图形题直观形象，很快就能找出答案
三.课后基础性作业答案
作业 1.C 解析：点（x，y）旋转 270°后坐标变为（y,-x）故选 C.
参考 2.m=-1, n=2 解析：关于原点对称点的横纵坐标都要变为相反数即（x,y）变为（-y.-x）
答案 所以 m=-1, n=2.
3. (1，3) 解析：根据网格结构找出点 A、B 旋转后的对应点 A′、B′的位置，
然后与点 O 顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点 A′的坐标.
点 A′的坐标为(1，3).
4.(-4、-3) 解析：点（x，y）旋转 90°后坐标变为（-y,x）.
四. 实践性、开放性作业答案
1.设计图案．
2.解：y=3x+5.
解析：可选原图像上（0，-5）和关于原点对称后的点（0，5），
对称前后两直线平行所以解析式为 y=3x+5.
- 13 -
第二节 圆的基本性质
1.通过作业设置巩固本节主要内容：圆的轴对称与旋转对称性.利
用圆的轴对称与旋转对称性，研究垂径定理及其逆定理,研究圆心
角、弧、弦、弦心距之间相等关系定理行有关的计算和证明.
本节作业目标 2.通过作业设计让学生体会和理解不共线三个点确定一个圆及其
作图方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形
等概念.培养学生分类讨论与数形结合的数学思想，提高学生分析
问题、解决问题的能力.理解反证法的基本思路和一般步骤.
1.通过分层作业设计使每个层次学生都能得到发展，激发学生学习
数学兴趣和求知欲望.
作业设计思路 2.通过作业设置提高学生动手操作能力，巩固课本上的知识点，每
个学生都有所收获，体会数学在生活中的应用和价值.
3.为中考提升提供训练平台，提高学有余力学生可持续发展.
作业课时安排 本节内容共 4 课时
第 1 课时 24.2.1 圆的有关概念及点与圆的位置关系
1.通过作业设置使学生有目的的去预习课本知识点，提高学生动手
操作能力，巩固课本上的知识点，提高学有余力学生可持续发展.
课时作业目标
2.本节作业设计本着让学生通过观察、设计、动手操作能力，理解
圆的概念及点与圆的位置关系，提高学生的运用和解题能力.
第一部分 课前预习作业 (预计时长：5分)
题号 作业内容及设计意图 核心素养及评价标准
在平面内，线段 OP 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，
数学核心素养：
则另一个端点 P 所形成的封闭曲线叫做 ．固
抽象能力 几何直观
定的端点 O 叫做 ．线段 OP 叫做 ． 模型观念
1 圆可以被看成：平面内到 ．(圆心 O)的距离等
评价标准：
于 ．(半径 r)的所有点组成的图形． A.能够认真预习课本掌握圆
的概念.
B.基本了解了圆的概念.
设计意图、作业分析：通过预习作业的设置让同学们知道圆的两种表述.
C.没预习，不了解圆的概念.
进一步理解圆的概念，为课堂上学习做好铺垫.
数学核心素养：
点 P 与⊙O(半径为 r)的位置关系有以下三种情况. 抽象能力 几何直观
(1)点 P 在⊙O 上 ． 模型观念
(2)点 P 在⊙O 内 ． 评价标准：
2 A.能够认真预习课本掌握点
(3)点 P 在⊙O 外 ．源
与圆的位置关系.
B.基本了解点与圆的位置关
设计意图、作业分析：通过预习作业的设置让学生了解点与圆有三种位 系.
置关系.掌握三种位置关系与距离和半径的关系. C.没预习，不了解.
- 14 -
第二部分 课堂巩固作业 (预计时长：5分)
题号 作业内容及设计意图 核心素养及评价标准
如图，已知 AB、CB 为⊙O 的两条弦，试写出图中的
所有弧． 数学核心素养：
抽象能力 空间观念
评价标准：
1
A.正确运用定义回答问题.
B.基本能掌握定义.
设计意图、作业分析：通过对具体图形的观察和圆中相关概念的学习， C.不能理解定义.
能准确的回答相关问题.
已知⊙O 的半径为 6 cm，A 为线段 OP 的中点，当OP 数学核心素养：
＝8cm 时，点 A 与⊙O 的位置关系是( ) 推理能力 运算能力
A.点 A 在⊙O 内 B.点 A 在⊙O 上 数据观念
2 .点 在⊙ 外 .不能确定 评价标准： C A O D
A.正确运用定义解决问题.
设计意图、作业分析：通过作业设计让学生进一步理解点与圆的位置关 B.基本能掌握定义.
C.不能理解定义.
系. 掌握三种位置关系与距离和半径的关系.
第三部分 课后基础性作业 (预计时长：10 分)
题号 作业内容及设计意图 核心素养及评价标准
一个圆的半径为 4，则该圆的弦长不可能是( ) 数学核心素养：
抽象能力 运算能力
A.1 B.4 C.8 D.10 数据观念
1 评价标准：
A.正确运用定义解决问题.
设计意图、作业分析：本题主要考查圆的基本性质，理解圆的直径是圆 B.基本能掌握定义.
的最长的弦，是解题的关键. C.不能理解定义.
已知⊙O 的半径为 4cm，点 P 到圆心 O 的距离为 3cm， 数学核心素养：
推理能力 几何直观
则点 P( ) 数据观念
2 A.在圆内 B.在圆上 C.在圆外 D.不能确定 评价标准：
A.正确运用定义解决问题.
设计意图、作业分析：本题主要考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与 B.基本能掌握定义.
C.不能理解定义.
圆的关系是解题的关键.较简单.
已知△ABC，AC=3,CB=4，以点 C 为圆心 r 为半径作 数学核心素养：
圆，如果点 A、点 B 只有一个点在圆内，那么半径 r 运算能力 几何直观
的取值范围是( ) 数据观念
3 评价标准：
A.r>3 B.3B.基本能掌握定义.
设计意图、作业分析：本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是明确
C.不能理解定义.
半径的大小与位置关系的关系.难度适中.
- 15 -
若⊙O 所在平面内一点 P 到圆 O 上的点的最大距离为 数学核心素养：
推理能力 推理能力
8，最小距离是 2，则此圆的半径是( ) 数据观念
4 A.5 B.3 C.5 或 3 D.10 或 6 评价标准：
A.正确运用定义解决问题.
设计意图、作业分析：本题考查的是点与圆的位置关系，对题目进行分 B.基本能掌握定义.
类讨论，然后求得结果是解题的关键．难度适中. C.不能理解定义.
第四部分 实践性、开放性作业 (预计时长：20 分)
题号 作业内容及设计意图 核心素养及评价标准
如图，在四边形 ABCD 中，∠A=∠C=90°，求证：A， 数学核心素养：
B，C，D 四个点在同一个圆上. 抽象能力 推理能力
模型观念 几何直观
评价标准：
1 A.正确运用圆的定义以及“直
角三角形斜边上的中线等于
斜边的一半”，解决问题.
设计意图、作业分析:本题考查圆的定义的理解以及“直角三角形斜边上
B.基本能掌握定义.
的中线等于斜边的一半”的灵活运用.有难度. C.不能理解定义.
如图，⊙M 的半径为 4，圆心 M的坐标为(5,12)，点 P
数学核心素养：
是⊙M 上的任意一点，PA⊥PB，且 PA、PB 与 x 轴分别 抽象能力 推理能力
交于 A、B 两点，若点 A、点 B 关于原点 O 对称，则 运算能力 几何直观
AB 的最小值为 . 数据观念
评价标准：
2 A.能综合运用圆的定义，直角
三角形勾股定理及有关知识
解决问题.
B.能解决问题.
设计意图、作业分析：本题考查圆的定义的理解以及“直角三角形斜边 C.不能运用几何综合知识解
决问题.
上的中线等于斜边的一半”和勾股定理的灵活运用.较难.
第五部分 答案和详细解析
一.课前预习作业答案
1.圆，圆心，半径；定点，定长.
2.OP=r , OPr.
二.课堂巩固作业答案
1.一共有 6 条弧： , ， ， , , .
2.A 解析：⊙O 的半径为 6 cm，点 A 到圆心 O 的距离为 4 cm，显然 6 cm＞4 cm，所以点
作业
参考 A 在⊙O 内．
答案 三.课后基础性作业答案
1.D 解析：∵半径为 4，∴直径为 8，∴最长弦长为 8，则不可能是 8.
2.A 解析：根据点与圆的位置关系“当点到圆心的距离等于半径时，点在圆上；当点到圆
心的距离大于半径时，点在圆外；当点到圆心的距离小于半径时，点在圆内”，由此可
由题意得：3＜4，∴点 P 在圆内.
3.C 解析：当点 A 在圆内时点A 到点C 的距离小于圆的半径，即：r>3；点B 在圆上或圆
- 16 -
外时点 B 到圆心的距离应该不小于圆的半径，即：r≤4；即 34.C 解析：由于点 P与⊙O 的位置关系不能确定，故应分两种情况进行讨论．设⊙O 的
8 2 8+ 2
半径为 r ，当点 P在圆外时， r = = 3；当点P在圆 O 内时， r = = 5 ．综上可知此
2 2
圆的半径为 3 或 5.
四.实践性、开放性作业答案
1. 解析：证明： 连接 BD，取 BD 的中点 O，连接 OA,OC．
∴∠BAD=∠BCD=90°,OB=OD.
∴OA=OB=OC=OD
∴ABCD 四个点在同一个圆上.
2. 解析：由 Rt△AOB 中AB = 2OP 知要使 AB 取得最小值，则 PO需取得最小值，连接
OM ，交于⊙M 点 P ，当点 P位于 P 位置时，OP 取得最小值，据此求解可得．
连接OP ，
PA ⊥ PB， APB = 90 ，
AO = BO，
AB = 2PO
第 2 课时 24.2.2 垂径分弦
1.通过作业设计使学生能够提前预习课本上的知识点，激发学生学
习数学兴趣和求知欲望.
2.通过作业设置提高学生动手操作能力，巩固课本上的知识点，提
课时作业目标
升作业为中考提升提供训练平台，提高学有余力学生可持续发展.
3.本节作业设计本着让学生通过观察，设计，动手操作理解垂径定
理及其逆定理的运用，提高学生解题能力.
第一部分 课前预习作业 (预计时长：5分)
题号 作业内容及设计意图 核心素养及评价标准
数学核心素养：
圆是 图形，对称轴是任意一条过 的直线． 抽象能力 几何直观
1 评价标准：
A.能熟练掌握圆的性质.
设计意图、作业分析：通过作业设置让学生了解圆的一些基本性质.掌握 B.基本上了解.
C.不能掌握.
圆是轴对称图形，并知道对称轴.
垂径定理：垂直于弦的直径 这条弦，并且 这 数学核心素养：
抽象能力 推理能力
条弦所对的两条弧．
几何直观
定理：平分弦(不是直径)的直径 弦，并且 弦
2 评价标准：
所对的两条弧． A.能熟练掌握圆的性质.掌握
两个定理的区别和联系.
设计意图、作业分析：通过作业设置让学生了解圆的两条重要性质.初步 B.基本上能掌握.
掌握两个定理的区别和联系. C.不能掌握旋.
- 17 -
第二部分 课堂巩固作业 (预计时长：5分)
题号 作业内容及设计意图 核心素养及评价标准
如图 1 所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的
装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图
2 是一款拱门的示意图，其中拱门最下端 AB=18 分米， 数学核心素养：
C 为 AB 中点，D 为拱门最高点，圆心 O 在线段 CD 上， 抽象能力 推理能力
CD=27 分米，求拱门所在圆的半径． 模型观念 运算能力
数据观念
评价标准：
1
A.能熟练运用圆的有关性质
解决问题. 用垂径定理的知识
解决实际问题.
B.基本上能解决问题.
C.不会解题.
设计意图、作业分析：本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理，能
够准确作出辅助线，根据勾股定理列出方程是解决问题的关键．
学习了本节课以后，小勇逆向思维得出了一个结论： 数学核心素养：
抽象能力 推理能力
“弦的垂直平分线过圆心，并且平分弦所对的两条 数据观念
2 弧”，你认为小勇得出的结论正确吗？并说明理由． 评价标准：
A.能熟练运用圆的性质解决
问题.
设计意图、作业分析：通过作业的设置让学对圆的性质更加的理解.让学
B.基本上能解决问题.
生通过思考，加深对定理的理解和掌握. C.不能解决问题.
第三部分 课后基础性作业 (预计时长：12分)
题号 作业内容及设计意图 核心素养及评价标准
如图，在⊙O 中，半径 OC⊥弦 AB，垂足为 D，AB＝6， 数学核心素养：
OD＝2.则⊙O 半径的长为 . 抽象能力 运算能力
数据观念
评价标准：
1
A.能熟练运用圆的性质解决
问题.
B.基本上能解决问题.
设计意图、作业分析：本题考查垂径定理和勾股定理,难易程度简单. C.不能解决问题.
如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，且
数学核心素养：
AE=CD=6，则⊙O 的半径为 . 推 理 能 力 运 算 能 力
数据观念
评价标准：
2
A.能熟练运用圆的性质解决
问题.
B.基本上能解决问题.
设计意图、作业分析：本题考查垂径定理和勾股定理,难易程度简单. C.不能解决问题.
- 18 -
如图，AB 是⊙O 的弦，AB 长为 8，P 是⊙O 上一个动
点（不与 A、B 重合），过点 O 作 OC⊥AP 于点 C，OD 数学核心素养：
⊥BP 于点 D，则 CD 的长为 . 推理能力 运算能力
数据观念
评价标准：
3
A.能熟练运用圆的性质解决
问题.
B.基本上能解决问题.
设计意图、作业分析：本题主要考查垂径定理，三角形形的中位线定理， C.不能解决问题.
得到 CD 是△ABP 的中位线是解题的关键．难易程度适中.
如图(1)是博物馆展出的古代车轮实物.为测量车轮半
径，如图(2)所示，在车轮上取 A，B 两点，设 AB所在
圆的圆心为 O，作弦 AB 的垂线 OC 交⊙O 于点 C，D 数学核心素养：
为垂足.经测量：AB=90cm，CD=15cm，则车轮半径的 抽象能力 推理能力
模型观念 运算能力
长度是( ) 数据观念
4 A. 60cm B. 65cm 评价标准：
A.能熟练掌勾股定理，垂径定
C. 70cm D. 75cm
理的有关知识．
B.基本上能解决问题.但运用
不够熟练.
C.不能解决问题.
设计意图、作业分析：本题主要考查的是勾股定理，垂径定理的有关知
识．培养学生的爱国热情，激发学习数学的兴趣.
第四部分 实践性、开放性作业 (预计时长：10 分)
题号 作业内容及设计意图 核心素养及评价标准
《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定
了中国传统数学的基本框架．其中卷九中记载了一个
问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，
数学核心素养：
深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意思是：如图， 推理能力 模型观念
AB 为⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 数据观念 运算能力
E，BE=1 寸，CD=1 尺，那么直径 评价标准：
AB 的长为多少寸？ 注 尺 寸 A.能熟练运用利用垂径定理( :1 =10 )
1 由垂直得中点，进而由弦长的
根据题意，该圆的直径为______寸．
一半，弦心距及圆的半径构造
直角三角形，利用勾股定理来
解决问题．
B.基本上能解决问题.
C.不能解决问题.
设计意图、作业分析：此题考查了垂径定理，勾股定理.解答此类题常常
利用垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，弦心距及圆的半径构
造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．难度适中.
- 19 -
若⊙O 的半径为 13cm，AB∥CD,AB=10cm,CD=24cm.
数学核心素养：
则 AB 和 CD 的距离为( ) 推理能力 运算能力
数据观念
A.7cm B.14cm C.7cm 或 17cm D.5cm 或 12cm 评价标准：
2
A.能熟练运用圆的性质解决
设计意图、作业分析：本题考查了勾股定理和垂径定理的应用．此题难 问题.分类讨论思想的运用.
度适中，解题的关键是注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用， B.基本上能解决问题.
小心别漏解． C.不能解决问题.
第五部分 答案和详细解析
一.课前预习作业答案
1.轴对称，圆心.
2.平分，平分；垂直，平分.
二.课堂巩固作业答案
1. 解析：连接 AO，根据垂径定理求得 AC=BC=9 分米，设圆的半径为 x 分米，则
OA=OD=x 分米，OC=（27-x）分米，根据勾股定理即可求得 x．连接 AO，
∵CD 过圆心，C 为 AB 的中点，
∴CD⊥AB，
∵AB=18 分米，C 为 AB 的中点，
∴AC=BC=9 分米，
设圆的半径为 x 分米，则 OA=OD=x 分米，
∵CD=27 分米，
∴OC=（27-x）分米，
在 Rt△OAC 中，AC2+OC2=OA2，
∴92+（27-x）2=x2，
作业 ∴x=15（分米），
参考 答：拱门所在圆的半径是 15 分米．
答案 2.解析：小勇得出 的结论正确．
理由：如图，CD 是 AB 的垂直平分线，连接 OA、OB.
∵OA=OB，∴点 O 在 AB 的垂直平分线上，即弦的垂直平分线过圆心．
由垂直于弦的直径的性质，可知弦 AB 的垂直平分线 CD 平分弦 AB 所对的两条弧．
三.课后基础性作业答案
1. 13
15
2. 解析：根据垂径定理得出 CE=DE，
4
再由勾股定理得出 OD2=DE2+(AE-OA)2，代入求解即可.
1
∵CD⊥AB，∴CE=DE= CD，
2
∵AE=CD=6，∴CE=DE=3，
∵OD=OB=OA，OE=AE-OA，
在 Rt△ODE 中，由勾股定理可得：OD2=DE2+（AE-OA）2，
即：OD2=32+（6-OD）2，
15 15
解得：OD= ，∴⊙O 的半径为： .
4 4
- 20 -
3.4 解析：先利用垂径定理可得 AC = PC ，PD = BD，再根据三角形中位线定理.
4.D 解析：本题主要考查的是勾股定理，垂径定理的有关知识，由垂径定理得 AD=45cm，
设半径为 r（cm），利用勾股定理得 r2=452+（r-15）2，求解即可.
解：∵OC⊥AB，AB=90cm，
∴AD= AB= ×90=45 cm，设
半径为 r，由题意得：OD=r-15，
在 Rt△OAD 中，由勾股定理得：r2=452+(r-15)2，
解得：r=75，即车轮半径为 75cm.
四.实践性、开放性作业答案
1.26 解析：连接 OC，由直径 AB 与弦 CD 垂直，根据垂径定理得到 E 为 CD 的中点，
由 CD 的长求出 DE 的长，设 OC=OA=x 寸，则 AB=2x 寸，OE=(x-1)寸，由勾股定理得出
方程，解方程求出半径，即可得出直径 AB 的长．连接 OC，
∵弦 CD⊥AB，AB 为圆 O 的直径，∴E 为 CD 的中点，
又∵CD=10 寸，∴CE=DE= CD=5 寸，
设 OC=OA=x 寸，则 AB=2x 寸，OE=(x-1)寸，
由勾股定理得：OE2+CE2=OC2，
即(x-1)2+52=x2，
解得：x=13，∴AB=26 寸，即直径 AB 的长为 26 寸，故答案为：26．
2. 解析：两种情况进行讨论：①弦 AB和CD在圆心同侧；②弦 AB 和CD在圆心异侧；
作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．
如图 1，当 AB、CD在圆心O的同侧时，连接OA、OC ，过O作OE ⊥ AB于E ，交CD
于 F ，
AB / /CD， OE ⊥ AB，
AB =10cm，CD = 24cm，
AE = 5cm，CF =12cm， OA = OC =13cm，
OE = OA2 AE2 = 132 52 =12cm，
OF = OC2 CF2 = 132 122 = 5cm，
EF = OE OF =12 5 = 7cm；
如图 2，当 AB、CD在圆心O的异侧时，连接OA、OC ，过O作OF ⊥ CD 于F ，反向
延长OE交 AB于 E，
AB / /CD， OE ⊥ AB，
AB =10cm，CD = 24cm， AE = 5cm，CF =12cm，
OA = OC =13cm OE = OA2 AE2 = 132 52， =12cm，
OF = OC2 CF2 = 132 122 = 5cm
EF = OE OF =12+ 5 =17cm .
- 21 -
第 3 课时 24.2.3 圆心角、弧、弦、弦心距间关系
1.通过作业设置使学生有目的的去预习课本知识点，提高学生动手
操作能力，巩固课本上的知识点，提高学有余力学生可持续发展.
课时作业目标 2.本节作业设计本着让学生通过观察，设计，动手操作得到圆心角、
弧、弦、弦心距之间关系，同时利用这些关系解决几何证明和运算，
提高学生解题能力.
第一部分 课前预习作业 (预计时长：5分)
题号 作业内容及设计意图 核心素养及评价标准
圆是 图形，对称中心为 . 数学核心素养：
抽象能力 模型观念
顶点在圆心的角叫做 . 几何直观
1 评价标准：
A.能熟练掌握圆的有关概念.
设计意图、作业分析：通过作业设置让同学们了解圆心角的概念及圆的
B.基本上能掌握.
基本性质. C.还不能掌握.
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 ，
所对的弦 ，所对弦的弦心距 .
数学核心素养：
定理：在同圆或等圆中，如果两个 以及这两个角 抽象能力 推理能力
所对的 、所对的 、所对弦的 中，有一 几何直观
组量相等，那么其余各组量 ． 评价标准：
2
这个定理可简记为： A.能熟练掌握圆的这两个定
在同圆或等圆中，圆心角相等 弧相等 弦相等 理.并能理解运用.
弦心距相等． B.基本上能掌握.
C.不能掌握.
设计意图、作业分析：过作业设置让同学们了解圆心角等概念间的关系
及圆的基本性质.
第二部分 课堂巩固作业 (预计时长：5分)
题号 作业内容及设计意图 核心素养及评价标准
如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝25°，以 C 点
数学核心素养：
为圆心，CA 的长为半径的圆交 AB 于 D，求 的度数．
推理能力 运算能力
数据观念
评价标准：
A.能熟练运用定理解决问题.
1
掌握弧的度数是所对圆心角
的度数.
B.能掌握知识点，基本上能解
决问题.
设计意图、作业分析：在同圆或等圆中，解决有关弦、弧、圆心角的问 C.不能解决问题.
题时，常常用到此三组量之间的关系.
- 22 -
如图，AB、CD 是⊙O 的直径，DF、BE 是弦，且 DF
＝ .求证：∠ ＝∠ . 数学核心素养： BE B D
抽象能力 推理能力
评价标准：
2
A.能熟练运用定理解决问题.
B.基本上能解决问题.
C.不能解决问题.
设计意图、作业分析：本题旨在考察圆心角，弧，弦，弦心距间的转化.
第三部分 课后基础性作业 (预计时长：15 分)
题号 作业内容及设计意图 核心素养及评价标准
图中 所对的圆心角是_______，所对的圆周角是 数学核心素养：
_______； 所对的圆周角是______. 抽象能力 模型观念
几何直观
评价标准：
1 A.能熟练掌握圆的有关概
念.掌握弧的度数是所对圆
心角的度数.
B.基本上能掌握.
设计意图、作业分析：本题主要考查圆的有关概念，熟练掌握圆心角， C.还不能掌握.
圆周角和优弧的定义是解题的关键.较简单.
如图，AB 为半圆的直径，点 C、D 为 的三等分点， 数学核心素养：
若∠COD＝50°，则∠BOE 的度数是( ) 抽象能力 运算能力
A.25° B.30° 数据观念
评价标准：
2 C.50° D.60° A.能熟练运用定理解决问
题.掌握弧的度数是所对圆
心角的度数.
设计意图，作业分析：本题主要考察圆心角之间的关系的转化.较简单. B.基本上能解决问题.
C.不能解决问题.
AB 是⊙O 的直径，点 C，D 在⊙O 上，∠BOC＝100°， 数学核心素养：
AD∥OC，则 所对圆心角的度数为( ) 推理能力 运算能力
A.20° B.60° 数据观念
评价标准：
3 C.50° D.40° A.能熟练运用定理解决问
题.掌握弧的度数是所对圆
心角的度数.
B.基本上能解决问题.
设计意图，作业分析：本题主要考察圆中角度之间关系的转化.较简单. C.不能解决问题.
已知 A，B，C，D 是圆上的点， = ，AC，BD 交
于点 E，则下列结论正确的是( ) 数学核心素养：
A.AB＝AD B.BE＝CD 抽象能力 推理能力
评价标准：
4 C.AC＝BD D.BE＝AD A.能熟练运用定理解决问
题.
B.基本上能解决问题.
设计意图、作业分析：本题主要考察同圆或等圆中：等弧、等弦、等弦 C.不能解决问题.
心距、圆心角之间的关系及转化.难度适中.
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第四部分 实践性、开放性作业 (预计时长：5 分)
题号 作业内容及设计意图 核心素养及评价标准
数学核心素养：
在⊙O 中，若 =2 ，则 AC 与 2CD 的大小关系： 抽象能力 推理能力
几何直观 数据观念
AC 2CD．(填“<”，“>”或“=”) 评价标准：
1 A.能熟练运用定理解决问题.
掌握弧的度数是所对圆心角
设计意图、作业分析：考察同圆或等圆中：等弧、等弦、等弦心距、圆 的度数.
心角之间的关系及转化和三角形三边关系定理的综合应用.难度适中. B.基本上能解决问题.
C.不能解决问题.
在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，以点 A 为圆心，AC 长为
半径作圆，交 BC 于点 D，交 AB 于点 E，连接 DE． 数学核心素养：
推理能力 运算能力
(1)若∠ABC=20°，求∠DEA 的度数. 数据观念
(2)若 AC=3，AB=4，求 CD 的长. 评价标准：
2 A.能熟练运用定理解决问题.
掌握弧的度数是所对圆心角
的度数.并运用所学知识运用
解题.
B.基本上能解决问题.
设计意图、作业分析：利用等腰三角形，垂径定理，圆心角等综合应用. C.不能解决问题.
难度适中.
第五部分 答案和详细解析
一.课前预习作业答案
1.旋转对称，圆心；圆心角
2.相等，相等，相等；圆心角，弧，弦，弦心距.
二.课堂巩固作业答案
1. 解析：连接 CD，如图．
∵∠ACB＝90°，∠B＝25°，∴∠A＝65°.
∵CD＝CA，∴∠CDA＝65°.∴∠DCA＝180°－65°×2＝50°.∴ 的度数为 50°.
2. 解析：证明：如图，连接 OE、OF.
∵DF=BE，∴∠DOF =∠BOE.
作业 ∵OD=OF=OB=OE，∴△ODF≌△OBE.∴∠B=∠D.
参考 三.课后基础性作业答案
C
答案 1. AOB ， 和 D ， E 和 F 解析：根据圆心角，圆周角和优弧的定义.
2. 解析： 点C 、 D 为 的三等分点， AOC = COD = DOE = 50 ，
AOE =150 ， EOB =180 AOE = 30 ，
3. A 解析： 所对的圆心角为∠AOD，即求出此角即可.
4. C 解析：即 = ,所以 BD=AC.
四.实践性、开放性作业答案
1. 解析：如图，连接 AB、 BC ，根据题意知， AB = BC = CD ，
又由三角形三边关系得到 AB + BC AC 得到： AC 2CD．
- 24 -
连接 AB、 BC ，在⊙O 中，若 = = ，
AB = BC = CD，在 ABC 中， AB + BC AC ． AC 2CD 。
2. 解析：（1）如图，连接 AD． BAC = 90 ， ABC = 20 ， ACD = 70 ．
AC = AD， ACD = ADC = 70 ，
CAD =180 70 70 = 40 ， DAE = 90 40 = 50 ．
1
又 AD = AE， DEA = ADE = (180 50 ) = 65 ．
2
（2）如图，过点 A作 AF ⊥ CD，垂足为 F ．
BAC = 90 ， AC = 3， AB = 4， BC = 5．
1
3 4
1 1 12
又 AF BC = AC AB ， AF = 2 = ，
2 2 1 5 5
2
12 9 18
CF = 32 ( )2 = ． AC = AD， AF ⊥ CD， CD = 2CF = .
5 5 5
第 4 课时 24.2.4圆的确定
1.通过作业设计使学生能够提前预习课本上的知识点，激发学生学
习数学兴趣和求知欲望.
2.通过作业设置提高学生动手操作能力，巩固课本上的知识点提升
课时作业目标
作业为中考提升提供训练平台，提高学有余力学生可持发展.
3.本节作业设计本着让学生通过观察，设计，动手操作理解确定圆
的条件，并会用反证法加以证明，提高学生解题能力.
第一部分 课前预习作业 (预计时长：5分)
题号 作业内容及设计意图 核心素养及评价标准
下列说法错误的是( ) 数学核心素养：
A.已知圆心和半径可以作一个圆. 抽象能力 推理能力
B.经过一个已知点 A 的圆能作无数个. 数据观念
1 评价标准： C.经过两个已知点 A，B 的圆能作两个.
A.能够认真预习课本熟练掌
D.经过不在同一直线上三个点 A,B,C 只能作一个圆. 握确定一个圆的基本条件.
设计意图、作业分析：通过学生的课前预习作业的设置让学生了解确定 B.基本了解确定一个圆条件.
C.没预习，不了解.
一个圆的基本条件：圆心，半径.
小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块
数学核心素养：
碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子， 抽象能力 推理能力
小明带到商店去的碎片应该是( ) 模型观念
评价标准：
2 A.① B.② A.能熟练运用确定一个圆的
C.③ D.④ 条件解题.
B.基本能运用相关知识解题.
设计意图、作业分析：通过作业设置让同学们知道“利用一段完 C.不能运用相关知识解决问
题.
整的弧结合垂径定理确定圆心和半径即可”．
- 25 -
第二部分 课堂巩固作业 (预计时长：5分)
题号 作业内容及设计意图 核心素养及评价标准
过 A、B、C 三点能确定一个圆的条件是( )
数学核心素养：
①AB=2,BC=3,AC=5. 抽象能力 推理能力
②AB=3,BC=3,AC=2. 数据观念
1 评价标准： ③AB=3,BC=4,AC=5. A.正确运用确定一个圆的条
A.①② B.①②③ C.②③ D.①③ 件解决问题.
B.基本能解决问题.
设计意图、作业分析：通过作业设置进一步的巩固确定一个圆的
C.不能理解并解决问题.
条件
如图，△ABC 内接于⊙O，且⊙O 的半径为 2，若
∠ACB=45°，则 AB 为( ) 数学核心素养：
推理能力 运算能力
A.2 B. 2 数据观念
评价标准：
2 A.能熟练的综合运用三角形
C.4 D. 2 2 的外接圆知识及勾股定理解
决问题.
设计意图、作业分析：通过作业设置让学生了解三角形的外接圆 B.基本能解决问题.
C.不能运用几何综合知识解
中的数量关系间的转化，根据一条弧所对的圆周角等于它所对
决问题.
的圆心角的一半及解直角三角形的综合应用.
第三部分 课后基础性作业 (预计时长：15 分)
题号 作业内容及设计意图 核心素养及评价标准
下列条件中，能确定唯一一个圆的是( )
A.以点 O 为圆心的圆. 数学核心素养：
推理能力 数据观念
B.以 2cm 长为半径的圆. 评价标准：
1 C.以点 O 为圆心，5cm 长为半径的圆. A.能熟练运用确定圆的条件
D.经过已知点 A 的圆. 解决问题.
B.基本上能解决问题.
设计意图、作业分析：考察确定一个圆的基本条件（圆的定义）：圆心（定 C.不能掌握，不会解决问题.
点）半径（定长）属于较简单体型.
下列说法正确的是( )
A.三点确定一个圆. 数学核心素养：
推理能力 数据观念
B.圆有且只有一个内接三角形. 评价标准：
2 C.三角形的外心到三角形三边的距离相等. A.能熟练运用确定圆的条件
D.三角形有且只有一个外接圆. 及相关知识解决问题.
B.基本上能解决问题.
设计意图、作业分析：确定一个圆的条件，三角形外接圆与圆的内接三 C.不会解决问题.
角形之间的联系，三角形外心的性质.
- 26 -
一只花猫发现一只老鼠溜进了一个内部连通的鼠洞，
鼠洞只有三个出口 A，B，C，要想同时顾及这三个出
数学核心素养：
口以防老鼠出洞(到三个洞口的距离相等)，这只花猫 抽象能力 模型观念
最好蹲守在( ) 数据观念
A.△ABC 的三边高线的交点 P 处. 评价标准：
3 A.能综合运用三角形“五心”
B.△ABC 的三条角平分线的交点 P 处. 性质，解决问题.
C.△ABC 的三边中线的交点 P 处. B.基本能解决问题.
D.△ABC 的三边垂直平分线的交点 P 处. C.不能运用几何综合知识解
决问题.
设计意图、作业分析：本题主要考察学生能综合运用三角形“五心”的
定义和性质.较简单.
用反证法证明“在同一平面内，若 a⊥c，b⊥c，则 数学核心素养：
抽象能力 推理能力
a∥b”时，应假设( )
几何直观
A.a 不垂直于 c B.a，b 都不垂直于 c
4 评价标准：
C.a⊥b D.a 与 b 相交 A.能熟练运用“反证法”解决
问题.
B.基本上能解决问题.
设计意图、作业分析：本题主要考察“反证法”证明的基本步骤及具体
C.不能掌握，不会解决问题.
题目中“反设”的准确表达.
第四部分 实践性、开放性作业 (预计时长：10 分)
题号 作业内容及设计意图 核心素养及评价标准
直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2），
(1)写出经过 A、B、C 三点的圆弧所在圆的圆心 M 的
坐标 .
数学核心素养：
(2)判断点 D（5，-2） 运算能力 数据观念
与圆 M 的位置关系． 评价标准：
1 A.能熟练运用确定圆的条件
解决问题.
B.基本上能解决问题.
C.不会解决问题.
设计意图、作业分析：本考察学生否会过不在同一条直线上的三点作圆
（即找到圆心和半径）；是否会用勾股定理求一点到圆心的距离再判断点
与原的位置关系.难度适中.
如图是一名考古学家发现的一块古代车轮碎片，现要
将轮子复原，已知弧上三点 A，B，C.
数学核心素养：
(1)画出该轮的圆心.
抽象能力 推理能力
(2)若△ABC 是等腰三角形，底边 BC=16cm，腰 模型观念 运算能力
AB=10cm，求圆片的半径 r. 评价标准：
2 A.能综合运用相关性质及
勾股定理解决问题.
B.基本能解决问题.
C.不能运用几何综合知识解
决问题.
设计意图、作业分析：本题考查学生尺规作图，勾股定理等综合应用.
难度适中.
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第五部分 答案和详细解析
一.课前预习作业答案
1. 解析：A.已知圆心和半径可以作一个圆，说法正确，故不符合题意．
B.只有确定圆心和半径才能确定一个圆，所以经过一个已知点 A 的圆能作无数个，说法
正确，故不符合题意．
C.只有确定圆心和半径才能确定一个圆，所以已知点 A，B 的圆能作无数个，说法错误，
故符合题意．
D.经过不在同一直线上的三个点 A，B，C 只能作一个圆，说法正确，故不符合题意．
故选：C．
2. 解析：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平
分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：A．
二.课堂巩固作业答案
1. 解析：① AB + BC = AC ，即 A、 B、C 三点共线，不能确定一个圆；
② AB = BC ，以 A、 B、C 三点为顶点的等腰三角形，有外接圆；
③ A、 B、C三点为顶点的直角三角形，有外接圆．
故选：C．
2. 解析：如图，连接OA，OB
ACB = 45 ，
AOB = 90 ，
作业
参考 OA = OB = 2， AB = OA2 +OB2 = 2 2 ，故选： D ．
答案
三.课后基础性作业答案
1. C 解析：确定一个圆的基本条件：圆心和半径.
2. D 解析：不在同一条直线上的三点确定一个圆；圆有无数个内接三角形；三角形的外
心到三角形三个顶点的距离相等；三角形有且只有一个外接圆.
3. D 解析：对三角形“五心”的定义和性质的记忆和理解.三角形三边高的交点叫垂心，
三角形三个内角平分线的交点叫内心，到三边的距离相等,三角形三边中线的交点叫重
心，三角形三边垂直平分线的交点叫外心，到三角形三个顶点距离相等，符合题意。
4.D 解析：反证法的基本步骤：反设、推理、结论.
四.实践性、开放性作业答案
1.(1) (2，0)；(2)在圆内．
2. 解析：(1)根据垂径定理，分别作弦 AB 和 AC 的垂直平分线交点即为所求；
(2)连接 AO，OB ，利用垂径定理和勾股定理可求出圆片的半径R ．
(1)分别作弦 AB和 AC 的垂直平分线交点O即为所求的圆心；
(2)连接 AO，OB ， BC ， BC 交OA于 D ．
BC =16cm， BD =8cm，
AB =10cm， AD = 6cm，
设圆片的半径为 R，在Rt BOD中，OD = (R 6)cm ，
R2 = 82 2
25 25
+ (R 6) ，解得： R = cm ， 半径 R为 cm .
3 3
- 28 -
第三节 圆周角
1.通过作业让学生明白探索圆周角与圆心角的关系，了解并证明圆
周角定理及其推论，圆内接四边形性质.
本节作业目标 2.通过作业让学生加深了解圆周角的概念.掌握圆周角定理及其推
论，并会熟练运用它们解决问题.由圆周与圆心角的关系的探索学
会以特殊情形为基础,通过转化来解决一般问题的方法，并渗透.
1.通过分层作业设计使每个层次学生都能得到发展，激发学生学习
数学兴趣和求知欲望.
作业设计思路
2.通过作业设置提高学生动手操作能力，巩固课本上的知识点，每
个学生都有所收获，体会数学在生活中的应用和价值.
作业课时安排 本节内容共 2 课时
第 1 课时 24.3.1 圆周角
1.通过作业设计让学生加深对圆周角的概念的理解，让学生掌握圆
课时作业目标 周角与圆心角的关系.
2.了解并证明圆周角定理及其推论，并会熟练运用它们解决问题.
第一部分 课前预习作业 (预计时长：3分)
题号 作业内容及设计意图 核心素养及评价标准
下列四个图中,∠α 是圆周角的是( )
数学核心素养：
抽象能力 几何直观
模型观念
评价标准：
1
A.能掌握圆周角的概念，并利
用圆周角的概念解题.
A. B. C. D. B.能掌握圆周角的概念，但不
能解决问题.
设计意图、作业分析：让学生理解圆周角的概念，并在多个图形中能根
C.不能掌握圆周角的概念.
据圆周角的两个必要条件进行判断.
数学核心素养：
如图，点 A，B，C 在⊙O 上，∠ACB＝38°，则∠AOB
几何直观 模型观念
等于( ) 推理能力 运算能力
2 A.52° B.68° C.76° D.78°
评价标准：
A.熟练掌握圆周角定理，并运
用握圆周角定理解决问题.
B.能掌握圆周角定理，但不能
设计意图、作业分析：本题考查了圆周角定理，属于基础题目，熟练掌
解决问题.
握该定理是解题关键． C.不能掌握圆周角定理.
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第二部分 课堂巩固作业 (预计时长：5分)
题号 作业内容及设计意图 核心素养及评价标准
如图，已知 AB 是⊙O 的直径，AB＝6，C，D 是圆周 数学核心素养：
几何直观 模型观念
上的点，且∠CDB＝30°，则 BC 的长为 .
推理能力 运算能力
应用意识
评价标准：
1
A．熟练掌握圆周角定理和直
角三角形的性质，并运用圆
周角定理解决问题.
设计意图、作业分析：本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质，熟 B.不会运用定理解决问题.
练掌握圆周角定理是解题关键． C.不能掌握圆周角定理.
如图所示，在⊙O 中，半径 OD⊥弦 AB 于点 C，连接
数学核心素养：
AO 并延长交⊙O 于点 E，连接 EC，若 AB＝8，CD＝2， 抽象能力 几何直观
则 EC 的长度为( ) 模型观念 推理能力
运算能力 应用意识
A.2 5 B.8 评价标准：
2 A．熟练掌握圆周角定理和勾
股定理、垂径定理、三角形
C.2 10 D.2 13
中位线，并运用圆周角定理
解决问题.
设计意图、作业分析：本题考查了勾股定理、垂径定理、三角形中位线、 B.不能运用定理解决问题.
圆、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理、垂径定理、 C.不能掌握.
三角形中位线、圆周角、一元一次方程的性质，从而完成求解．
第三部分 课后基础性作业 (预计时长：15 分)
题号 作业内容及设计意图 核心素养及评价标准
点 A、B、C 在⊙O 上，∠ACB＝54°，则∠ABO 的度数 数学核心素养：
是( ) 抽象能力 几何直观
模型观念 推理能力
运算能力 应用意识
A.54° B.27° C.36° D.108°
1 评价标准：
A.掌握圆周角和圆心角的定
义，会运用圆周角定理.
B.掌握圆周角和圆心角的定
设计意图、作业分析：考查圆周角定理、等腰三角形的性质，掌握圆周 义，但不会运用圆周角定理.
角定理是解题关键. C.不能掌握.
数学核心素养：
抽象能力 模型观念
半径为 3 的⊙O 中有长为3 3 的弦 AB，则弦 AB 所对 推理能力 运算能力
应用意识 空间观念
2 的圆周角为________.
评价标准：
A.掌握垂径定理和掌握圆周
角定理与弦对应两个圆周角.
设计意图、作业分析：此题考查圆周角定理及垂径定理，解答此题时要 B.不能运用一个弦对应两个
圆周角.
注意一条弦所对的圆周角有两个角互为补角.培养学生分析问题能力.
C.不能掌握定理.
- 30 -
在⊙O 中，点 B 是弧 AC 的中点，点 D 在弧 BAC 上， 数学核心素养：
抽象能力 几何直观
连接 OA、OB、BD、CD．若∠AOB=50°，则∠BDC 的 模型观念 推理能力
大小为（ ） 运算能力 应用意识
评价标准：
A.50° B.35° A.掌握等弧所对的圆心角相
3 等与圆周角定理，并运用定理
C.25° D.150° 解题.
B.掌握等弧所对的圆心角相
等与圆周角定理，但不会运用
定理解题.
设计意图、作业分析：本题考查了圆周角定理.也考查了圆心角、弧、弦
C.不能掌握等弧所对的圆心
的关系．解题的关键是理解圆周角定理. 角相等与圆周角定理.
如图，AB 是⊙O 的直径，C，D 是⊙O 上两点，且 AD 数学核心素养：
抽象能力 几何直观
平分∠CAB，作 DE⊥AB 于 E. 模型观念 推理能力
(1)求证： ∥ ； 运算能力 应用意识 AC OD
评价标准：
A.能利用等边对等角.会判定
1
4 (2)求证：OE= AC. 直线平行.能构造相似三角形
2 (或者能判定直角三角形角关
系).
B.能利用等边对等角和判定
设计意图、作业分析：本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、平 直线平行，但不能构造相似三
角形.
行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，通过作辅助线，
C.不能利用等边对等角，也不
构造相似三角形是解题关键. 会判定直线平行.
第四部分 实践性、开放性作业 (预计时长：10 分)
题号 作业内容及设计意图 核心素养及评价标准
已如：如图，△ABC 中，AB＝AC，AB＞BC．
求作：线段 BD，使得点 D 在线段 AC 上，且 2∠CBD
=∠BAC．
作法：①以点 A 为圆心，AB 长为半径画圆；②以点 C
为圆心，BC 长为半径画弧，交⊙A 于点 P（不与点 B 数学核心素养：
重合）；③连接 BP 交 AC 于点 D，线段 BD 就是所求 几何直观 模型观念
推理能力 运算能力
作的线段． 空间观念 应用意识
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； 评价标准：
1 (2)说明 2∠CBD=∠BAC 的理由． A.掌握尺规作图，能把复杂作
图拆解成基本作图，逐步操
作．掌握圆周角定理.
B.能作出图形，基本能解决问
题.
C.不会运用垂径定理和圆周
角定理.
设计意图、作业分析：考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作
图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．培
养学生动手操作的能力.并对圆周角定理的巩固理解和应用.
- 31 -
在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿
基米德提出的有关圆的一个引理.如图，已知 AB ，C 是弦 AB
上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程.
(1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）； 数学核心素养：
①作线段 AC 的垂直平分线 DE，分别交 AB 于点 D，AC 于点 抽象能力 几何直观
E，连接 AD，CD； 模型观念 推理能力
②以点 D 为圆心，DA 长为半径作弧，交AB 于点 F(F，A 两点 应用意识 空间观念
不重合)，连接 DF，BD，BF. 创新意识
2 评价标准： (2)直接写出引理的结论：线段 BC，BF 的数量关系.
A.能熟练掌握五种基本作图，
正确寻找全等三角形解决问
题．
B.基本上能解决问题.但运用
不够熟练.
C.不能解决问题.
设计意图、作业分析：本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性
质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练
掌握五种基本作图，正确寻找全等三角形解决问题．
第五部分 答案和详细解析
一.课前预习作业答案
1.B
2.C
二.课堂巩固作业答案
1.3
2.D 解析：连接 BE∵⊙O 的半径 OD⊥弦 AB于点 C，AB＝8
∴AC＝BC＝4 设 OA＝x
∵CD＝2∴OC＝x-2
在 Rt△AOC 中，AC2+OC2＝OA2
∴42+(x-2)2＝x2 解得：x＝5
∴OA＝OE＝5，OC＝3∴BE＝2OC＝6
作业
参考 ∵AE 是直径∴∠B＝90°∴CE = BC2 + BE2 = 2 13 故选：D．
答案
三.课后基础性作业答案
1. C
1 1
2. 60°或120° 解析：连接OA、OB，过O作OF⊥AB，则AF = AB ， AOF = AOB，
2 2
1 3 3
∵OA=3，AB= 3 3，∴ AF = AB = ，
2 2
AF 3 3 3
∴ sin AOF = = = ，∴∠AOF=60°，
AO 2 3 2
- 32 -
1 1
∴∠AOB=2∠AOF=120°，∴ ADB = AOB = 120
= 60 ，
2 2
∴∠AEB=180°-60°=120°.
3. C
1
4. 解析：（1） OA = OD = AB，∴ OAD = ODA，
2
AD平分 CAB， OAD = CAD，
ODA = CAD， AC//OD；
（2）如图，连接 BC，
由圆周角定理得： ACB = 90 ，
∵DE⊥AB， OED = 90 ，
由（1）已证： AC//OD， DOE = BAC ，
OED = ACB = 90
在△DOE和△BAC 中， ，∴△DOE∽△BAC
DOE = BAC
OE OD 1 1
= = ， OE = AC .
AC AB 2 2
四.实践性、开放性作业答案
1. 解析：(1)如图，BD 为所作.
(2)证明：连接 PC，如图，
∵AB=AC，
∴点 C 在⊙A 上．
∵点 P 在⊙A 上，
∴2∠CPD=∠BAC（圆周角定理），
∵BC=PC，
∴∠CBD=∠CPB，
∴2∠CBD=∠BAC
2. 解析：(1)①根据要求作出图形即可．②根据要求作出图形即可．
(2)证明△DFB≌△DCB 可得结论．
(1)①如图，直线 DE，线段 AD,线段 CD 即为所求．
②如图，点 F，线段 CD,BD,BF 即为所求作．
(2)结论：BF=BC．
理由：∵DE 垂直平分线段 AC．
∴DA=DC．∴∠DAC=∠DCA．
∵AD=DF．
∴DF=DC．
∴∠DBC=∠DBF．
∵∠DFB+∠DAC=180°．∠DCB+∠DCA=180°，
∴∠DFB=∠DCB．
∴△DFB≌△DCB(AAS) ．
∴BF=BC．
- 33 -
第 2 课时 24.3.2 圆内接四边形
1.通过作业设计，让学生掌握圆的内接多边形和多边形外接圆的概
课时作业目标 念.并根据知识点解决实际问题.
2.理解并会运用圆的内接四边形定理和圆的内接四边形逆定理.
第一部分 课前预习作业 (预计时长：5分)
题号 作业内容及设计意图 核心素养及评价标准
. 数学核心素养： 如图四边形 ABCD 内接于⊙O 若∠A=40°,则∠C 的度
几何直观 推理能力
数为( ) 运算能力 应用意识
评价标准：
1 A.110° B.120° A.能掌握并会运用圆的内接
四边形定理.
C.135° D.140° B.能掌握圆的内接四边形定
理,但不会运用定理解题.
设计意图、作业分析：会运用圆的内接四边形定理解决实际问题. 培养 C.不能掌握圆的内接四边形
学生综合运用能力 定理. .
如图,四边形 ABCD是圆内接四边形,E是 BC延长线上
数学核心素养：
一点,若∠BAD=105°,则∠DCE 的度数是( ) 几何直观 推理能力
运算能力 应用意识
A.115° B.105° 评价标准：
2 A.能掌握并会运用圆的内接
C.100° D.95° 四边形逆定理.
B.能掌握圆的内接四边形逆
定理,但不会运用定理解题.
C.不能掌握圆的内接四边形
设计意图、作业分析：能掌握并会运用圆的内接四边形逆定理.培养学生 逆定理.
综合运用能力.
第二部分 课堂巩固作业 (预计时长：5分)
题号 作业内容及设计意图 核心素养及评价标准
数学核心素养：
圆内接四边形 ABCD 中,若∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶6, 推理能力 运算能力
应用意识
则∠D 的度数为( ) 评价标准：
A.能灵活运用圆的内接四边
1 A.67.5° B.135° C.112.5° D.45° 形定理解决问题.
B.会求解多边形内角和与圆
的内接四边形定理，但不会解
设计意图、作业分析：掌握多边形内角和公式，会运用圆的内接四边形 决实际问题.
定理.培养学生综合运用能力. C.不会运用圆的内接四边形
定理解决问题.
- 34 -
如图，AB 为⊙O 的直径，点 C，点 D 是⊙O 上的两点， 数学核心素养：
几何直观 推理能力
连接 CA，CD，AD．若∠CAB＝40°，则∠ADC 的度数
运算能力 应用意识
是( ) 评价标准：
A．掌握并会运用圆周角定理，
2 A.110° B.130° 会运用圆的内接四边形定理
和圆的常规辅助线解题.
C.140° D.160° B.了解圆周角定理会运用圆
的内接四边形定理，但不会运
用.
设计意图、作业分析：本题考察了圆周角定理和圆的内接四边形的定理， C.不能掌握圆周角定理和圆
常规辅助线的作法. 的内接四边形定理.
第三部分 课后基础性作业 (预计时长：15 分)
题号 作业内容及设计意图 核心素养及评价标准
四边形 ABCD 内接于⊙O，点 E 在 BC 的延长线上，若 数学核心素养：
几何直观 运算能力
∠BOD=110°，则∠DCE= .
应用意识
识评价标准：
A.掌握并会运用圆周角定理，
1
会运用圆的内接四边形定理.
B.了解圆周角定理会运用圆
的内接四边形定理，但不会运
用.
设计意图、作业分析：本题考察了圆周角定理和圆的内接四边形的定理， C.不能掌握圆周角定理和圆
属于简单题. 的内接四边形定理.
⊙O 是四边形 ABCD 的外接圆，BD 是⊙O 的直径，弧 数学核心素养：
CB 等于弧 CD，AB=4，AD=2，则 BC 的为 . 几何直观 推理能力
运算能力 应用意识
评价标准：
2 A.掌握并会运用圆周角定理，
会运用圆的内接四边形定理.
B.了解圆周角定理但不会运
用.
设计意图、作业分析：本题考察了圆周角定理的推论和圆的内接四边形 C.不能掌握圆周角定理和圆
的内接四边形定理.
的定理，也考查了圆心角、弧、弦的关系和运用勾股定理解直角三角形．
四边形 ABCD 内接于⊙O，AE⊥CB 交 CB 的延长线于 数学核心素养：
几何直观 推理能力
点 E，若 BA 平分∠DBE，AD＝5，CE＝ 13 ，则 AE 运算能力 应用意识
评价标准：
＝( ) A.掌握圆心角、弧、弦关系，
3 会运用圆内接四边形定理.
B.会运用圆的内接四边形定
A.3 B.3 2 C.4 3 D.2 3 理，但不能运用圆心角、弧、
弦之间的关系.
C.不能掌握圆心角、弧、弦之
设计意图、作业分析：本题考察了圆的内接四边形的定理，也考查了圆 间的关系和运用圆的内接四
心角、弧、弦的关系和运用勾股定理解直角三角形．难点是辅助线作法. 边形定理.
- 35 -
四边形 ABCD 内接于⊙O，AB＝AC，AC⊥BD，垂足 数学核心素养：
为 E，点 F 在 BD 的延长线上，且 DF＝DC，连接 AF、 几何直观 推理能力
CF． 运算能力 应用意识
求证：∠BAC＝2∠CAD. 评价标准：
A.会运用圆的内接四边形定
4 理,掌握三角形中角与角之间
的关系.
B.会运用圆的内接四边形定
理，但不能掌握三角形中角与
设计意图、作业分析：本题考察了圆的内接四边形的定理和三角形中角 角之间的关系.
与角之间相互转换. C.不会圆的内接四边形定理.
第四部分 实践性、开放性作业 (预计时长： 8 分)
题号 作业内容及设计意图 核心素养及评价标准
如图，在⊙O 中，B 是⊙O 上的一点，∠ABC=120°，
数学核心素养：
弦 AC=2 3，弦 BM 平分∠ABC 交 AC 于点 D，连接 几何直观 推理能力
运算能力 应用意识
MA，MC．
评价标准：
(1)求⊙O 半径的长. A.会运用圆内接四边形的性
(2)试探究线段 AB，BC，BM 之间的数量关系，并证 质，能掌握圆周角与圆心角之
明你的结论. 间的关系.能合理运用特殊直
1 角三角形三边关系和会构造
辅助线并证明三角形全等.
B.会运用圆内接四边形的性
质能掌握圆周角与圆心角之
间的关系但不会构造辅助线
并证明三角形全等.
C.不会运用圆内接四边形的
设计意图、作业分析：考察了圆内接四边形的性质和圆周角与圆心角之
性质，也不掌握圆周角与圆心
间的关系，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题.考察辅助线 角之间的关系.
的构造和三角形全等的证明.有一定的难度.
第五部分 答案和详细解析
一.课前预习作业答案
1. D 解析：∵四边形 ABCD 内接于⊙O,
∴∠C+∠A=180°,
∴∠C=180°-40°=140°.故选 D.
作业 2.B 解析：因为四边形 ABCD 是圆内接四边形,E是 BC 延长线上一点,所以∠DCE 是圆
参考 内接四边形 ABCD 的外角,所以∠DCE=∠BAD=105°
答案 二.课堂巩固作业答案
1.C
2.B 解析：连接 BC，∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣∠CAB＝90°﹣40°＝50°，
∵∠B+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝180°﹣50°＝130°．故选：B．
三.课后基础性作业答案
- 36 -
1.55°．
2. 解析： BD是⊙O 的直径， A = BCD = 90 ， 在Rt ABD中，
BD = AB2 + AD2 = 42 + 22 = 2 5 ， 弧 CD=弧 BC， DBC = BDC ，
2 2
BCD为等腰直角三角形， BC = BD = 2 5 = 10
2 2
3.D 解析：连接 AC，如图，
∵BA 平分∠DBE，∴∠1＝∠2，
∵∠1＝∠CDA，∠2＝∠3，∴∠3＝∠CDA，
∴AC＝AD＝5，
∵AE⊥CB，∴∠AEC＝90°，∴AE＝2 3 ．
4. 解析：∵AB＝AC，∴⌒AC =⌒AB ，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ADB，
1 1
∠ABC＝ （180°﹣∠BAC）＝90°﹣ ∠BAC，
2 2
∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°﹣∠CAD，
1
∴ ∠BAC＝∠CAD，∴∠BAC＝2∠CAD；
2
四.实践性、开放性作业答案
1. 解析：(1)连接OA、OC ，过O作OH ⊥ AC 于点 H ，如图 1，
ABC =120 ， AMC =180 ABC = 60 ，
1
AOC = 2 AMC =120 ， AOH = AOC = 60 ，
2
1
AC = 2 3 ， AH = AC = 3 ，
2
AH 3
OA = = = 2，故⊙O 的半径为 2.
sin 60 3
2
(2) AB + BC = BM ，理由如下：
在 BM 上截取 BE = BC ，连接CE ，如图 2，
ABC =120 ， BM 平分 ABC，
ABM = CBM = 60 ，
BE = BC， EBC 是等边三角形，
CE = CB = BE， BCE = 60 ， BCD + DCE = 60 ，
ACM = 60 ， ECM + DCE = 60 ，
ECM = BCD，
CAM = CBM = 60 ， ACM = ABM = 60 ，△ACM 是等边三角形，
AC = CM ， AB = ME ， ME + EB = BM ， AB + BC = BM ．
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第四节 直线与圆的位置关系
1.通过分层作业设计使每个层次学生都能得到发展，激发学生学习
数学兴趣和求知欲望．
本节作业目标 2.通过作业设置提高学生动手操作能力，巩固课本上的知识点，让
每个学生都有收获，体会数学在生活中的应用和价值．
3.提升作业为中考提升提供训练平台，学有余力学生可持续发展．
1.通过课前预习作业设计帮助学生有目的的预习课本内容，培养学
生良好的学习习惯，提升学生的学习能力.
作业设计思路
2.通过课堂巩固作业和课后基础性作业夯实基础.通过课后拓展性
作业，增强学生运用数学的能力，提高学生思维的能力.
作业课时安排 本节内容共 2 课时
第 1 课时 24.4.1 直线与圆的位置关系
1.通过作业设置使学生有目的的去预习课本知识点，提高学生动手
操作能力，巩固课本上的知识点，提高学有余力学生可持续发展.
课时作业目标
2.本节作业设计本着让学生通过观察，设计，动手操作切线的性质，
切线在全等、线段、角相等的几何证明中运用，提高学生解题能力.
第一部分 课前预习作业 (预计时长：5 分)
题号 作业内容及设计意图 核心素养及评价标准
数学核心素养：
已知圆的半径为 6cm，设直线和圆心的距离为 d. 抽象能力 几何直观
(1)若 d=4cm，则直线与圆____，与圆有____个共公点. 模型观念
(2)若 d=6cm，则直线与圆____，与圆有____个公共点. 评价标准：
1 (3)若 d=8 ，则直

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