资源简介

第 22 章 相似形
学段：初 中
学科：数 学
版本：沪科版
作业设计特色简介
为贯彻落实中共中央办公厅、国务院办公厅《关于进一步减轻义务教育阶
段学生作业负担和校外培训负担的意见》、教育部办公厅《关于加强义务教育
学校作业管理的通知》和安徽省教育厅《关于进一步提高义务教育学校作业管
理水平的实施意见》等文件精神，我们作业设计小组成员在认真学习新课标的
基础上，深入研究作业功能，努力提高作业设计质量，一切以“切实减轻学生
过重的学业负担”为目标，坚持“减负不减质”的原则，设计了初中数学沪科
版第 22 章《相似形》的作业。现汇报其主要特色：
1、在大单元作业背景下，每课时作业分“课前作业”、“基础性作业”、
“发展性作业”三大块.
2、注重结构化体系，遵循知识螺旋上升的原则，特别是“课前作业”更多
的体现知识的承上启下，研究方法的传承，润物细无声.
3、本作业设计是基于我们自己学校的学情，我校是城镇学校，学生层次差
异大，因此在设计时不仅考虑分层、弹性，还要求老师在自习课时面批、全批、
有针对性的统一解答.坚决杜绝无效、重复性作业.
4、在考察基础知识、基本技能和教学目标达成的同时，还有综合性、开放
性、应用性、探究性试题的渗透，体现素养导向，杜绝偏题怪题，防止难度过
大. 坚守“量轻质高”的要求.
5、以问题串为线索，从问题出发进行作业设计，有问题才会有思考、思维
总是指向问题解决，力求使学生的思维有一个清晰的认知、把握本质内涵。
6、作业与生活相联系，注重学生综合能力的培养. 作业设计体现了对学生
综合能力尤其是动手能力、创造性思维能力、解决问题能力的培养，提高了学
生自主学习的能力与探究学习的兴趣.
7、信息化手段的应用，不仅降低问题的难度，而且激发学习的兴趣.如作
业设计中的运动类问题，我们利用几何画板制作了动画分析，学生困惑时，可
利用微信“扫一扫”题目旁边的二维码即可观看，获得灵感.
目录
一、作业设计说明……………………………………………………………………1
二、单元信息…………………………………………………………………………3
三、单元分析…………………………………………………………………………4
（一）新课标理念…………………………………………………………………4
（二）课标要求……………………………………………………………………5
1.宏观“相似形”单元整体“战略”目标……………………………………5
2.微观“相似形”单元整体“定点”目标……………………………………6
（三）教材分析……………………………………………………………………6
1.知识网络………………………………………………………………………6
2.内容分析………………………………………………………………………9
3.“双减”背景下的数学教师作业设计构想…………………………………9
（四）学情分析………………………………………………………………… 10
四、单元学习与作业目标………………………………………………………… 11
五、单元作业设计思路…………………………………………………………… 11
六、核心素养及育人价值………………………………………………………… 12
七、课时作业……………………………………………………………………… 13
第一课时 22.1 相似多边形（1）………………………………………………13
作业目标、重点、难点……………………………………………………… 13
课前作业……………………………………………………………………… 13
基础性作业…………………………………………………………………… 14
发展性作业…………………………………………………………………… 15
第二课时 22.1 成比例线段及其基本性质（2）………………………………16
作业目标、重点、难点……………………………………………………… 16
课前作业……………………………………………………………………… 17
基础性作业…………………………………………………………………… 17
发展性作业…………………………………………………………………… 19
第三课时 22.1 比例的合比、等比性质（3）……………………………… 20
作业目标、重点、难点……………………………………………………… 20
课前作业……………………………………………………………………… 20
基础性作业…………………………………………………………………… 21
发展性作业…………………………………………………………………… 22
第四课时 22.1 黄金分割（4）…………………………………………………23
作业目标、重点、难点……………………………………………………… 23
课前作业……………………………………………………………………… 24
基础性作业…………………………………………………………………… 26
发展性作业…………………………………………………………………… 28
第五课时 22.1平行线分线段成比例（5）……………………………………29
作业目标、重点、难点……………………………………………………… 30
课前作业……………………………………………………………………… 30
基础性作业…………………………………………………………………… 32
发展性作业…………………………………………………………………… 33
第六课时 22.2 相似三角形及平行线截三角形相似（1）……………………35
作业目标、重点、难点……………………………………………………… 35
课前作业……………………………………………………………………… 36
基础性作业…………………………………………………………………… 37
发展性作业…………………………………………………………………… 38
第七课时 22.2 用角的关系判定两个三角形相似（2）………………………39
作业目标、重点、难点……………………………………………………… 39
课前作业……………………………………………………………………… 40
基础性作业…………………………………………………………………… 41
发展性作业…………………………………………………………………… 42
第八课时 22.2 用边角关系判定两个三角形相似（3）………………………43
作业目标、重点、难点……………………………………………………… 43
课前作业……………………………………………………………………… 44
基础性作业…………………………………………………………………… 45
发展性作业…………………………………………………………………… 46
第九课时 22.2用三边关系判定两个三角形相似（4）………………………47
作业目标、重点、难点……………………………………………………… 47
课前作业……………………………………………………………………… 48
基础性作业…………………………………………………………………… 48
发展性作业…………………………………………………………………… 50
第十课时 22.2 利用斜边、直角边判定两个直角三角形相似（5） ………50
作业目标、重点、难点……………………………………………………… 51
课前作业……………………………………………………………………… 51
基础性作业…………………………………………………………………… 52
发展性作业…………………………………………………………………… 53
第十一课时 22.3 相似三角形对应线段的性质（1）…………………………54
作业目标、重点、难点……………………………………………………… 54
课前作业……………………………………………………………………… 55
基础性作业…………………………………………………………………… 56
发展性作业…………………………………………………………………… 57
第十二课时 22.3 相似三角形对应周长、面积的性质（2）…………………58
作业目标、重点、难点……………………………………………………… 58
课前作业……………………………………………………………………… 59
基础性作业…………………………………………………………………… 60
发展性作业…………………………………………………………………… 61
第十三课时 22.4 图形的位似变换 ……………………………………………63
作业目标、重点、难点……………………………………………………… 63
课前作业……………………………………………………………………… 64
基础性作业…………………………………………………………………… 64
发展性作业…………………………………………………………………… 65
第十四课时 22.5 综合与实践—测量与误差 …………………………………66
作业目标、重点、难点……………………………………………………… 66
课前作业……………………………………………………………………… 67
基础性作业…………………………………………………………………… 68
发展性作业…………………………………………………………………… 69
八、单元质量作业检测 ……………………………………………………………71
单元质量作业属性表 …………………………………………………………74
九、作业参考答案 …………………………………………………………………75
一、作业设计说明
1、“作业设计”的政策背景：
在与时俱进，推陈创新的社会形势下，党中央办公厅、国务院办公厅“双减
政策”的出台，使学生从沉重的课业负担中解脱出来，促进了学生能够更好地
全面发展.坚持“五育并举”并重，明确学生德智体美劳全面发展是当前教育的
核心任务.安徽省教育厅注重落实“双减”工作，深化教育领域综合改革，出台
并制定了一系列的“双减”措施与活动，以突显当前教育的首要目标.
2、沪科版《第 22 章 相似形》整体单元作业设计解读：
在学校教育各项工作中，日常的教学、作业与综合素质评价，是学校内涵
发展中最重要的几项专业工作，也是与学生发展最紧密相关的核心工作.作业—
—是学校教育教学管理工作的重要环节，是课堂教学活动的必要补充，是促进
学校内涵发展，提升教学、评价质量的重要支点.当然，减轻学生学业负担并不
代表没有负担，任何学习活动与成就取得都需要有适当的压力;减轻学生作业负
担，也并不代表没有作业，开放性的实践性活动等都是检验知识理解与知识运
用的重要手段.因此，减轻学生过重学业负担要深入研究“减什么”，多样化探
索“如何减”，是我们在相似形单元作业设计中主要的探索与尝试.以作业设计
为桥梁贯通课堂教学和课后反馈.以作业设计为抓手帮助学生：巩固新知、形成
能力、培养习惯；帮助教师：检测效果、分析学情、改进教法；促进学校：完
善管理、开展评价、提高质量.在作业设计中我们注重知识的引入与生成，（一）
注重作业的设计要源于生活，展现作业的趣味性；(二)作业的设计要百家争鸣，
倡导作业的多样性；(三)作业的设计要思维提升，体现作业的开放性；(四)作
业的设计要加强实践，体现作业的应用性；(五)作业的布置要崇尚自主，凸显
作业的多层性；体现以学生为本的作业设计理念；想学生所想，做学生想做，
从本位出发，合理的设计作业流程，注重因材施教，分层作业；让不同的学生
在数学学习上得到适合自己的发展.在作业整体设计上，严格按照数学学习的逻
辑顺序设计作业步骤：
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依据上述原则，我们把作业设置成课前作业、基础性作业、发展性作业三类，
满足不同层次学生的需求与发展，作业设计多样化，让学生尽量动起手来，它
不仅能提高学生学习的兴趣，加深对所学知识的理解，培养学生的动手能力，
同时作业过程中还能培养学生战胜困难，耐受挫折的良好思维品质及体会成功
的喜悦．最终从两方面达到“双减”的最终目的---从“减负”走向“提质”.
作业设计的过程也是全面育人的过程，著名教育学家杜威认为，应该让学
生在作业的过程中锻炼“思维”，发展“智慧”，让学生解决日常生活问题，
同时也能培养情感和道德，实现学生数学素养的形成和育人价值的功能.
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初中数学单元作业
二、单元信息
基本 学科 年级 学期 教材版本 单元名称
信息 数学 九年级 第一学期 沪科版 相似形
单元
组织 自然单元 □重组单元
方式
序号 课时名称 对应教材内容
1 相似多边形 第 22.1(P62-65)
2 成比例线段及其基本性质 第 22.1(P65-66)
3 比例的合比、等比性质 第 22.1(P66-68)
4 黄金分割 第 22.1(P68-69)
5 平行线分线段成比例 第 22.1(P69-71)
6 相似三角形及平行线截三角形相似 第 22.2(P76-78)
7 用角的关系判定两个三角形相似 第 22.2(P78-79)
8 用边角关系判定两个三角形相似 第 22.2(P79-80)
9 用三边关系判定两个三角形相似 第 22.2(P80-80)
课时
信息 利用斜边、直角边判定两个直角三
10 第 22.2(P82-84)
角形相似
11 相似三角形对应线段的性质 第 22.3(P87-88)
12 相似三角形对应周长、面积的性质 第 22.3(P88-90)
13 图形的位似变换 第 22.4(P95-97)
14 综合与实践——测量与误差 第 22.5(P102-104)
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三、单元分析
（一）新课标理念
《义务教育数学课程标准（2022 年版）》以习近平新时代中国特色社会主
义思想为指导，落实立德树人根本任务，致力于实现义务教育阶段的培养目标,
使得人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展，逐步
形成适应终身发展需要的核心素养.确立核心素养导向的课程目标.
义务教育数学课程应使学生通过数学的学习，形成和发展面向未来社会和
个人发展所需要的核心素养.核心素养是在数学学习过程中逐渐形成和发展的，
不同学段发展水平不同，是制定课程目标的基本依据.课程目标以学生发展为本，
以核心素养为导向，进一步强调使学生获得数学基础知识、基本技能、基本思
想和基本活动经验（简称 “四基"）的获得与发展，发展运用数学知识与方法
发现、提出、分析和解决问题的能力（简称“四能”），形成正确的情感、态
度和价值观.设计体现结构化特征的课程内容，数学课程内容是实现课程目标的
重要载体.课程内容选择保持相对稳定的学科体系，体现数学学科特征; 关注数
学学科发展前沿与数学文化，继承和弘扬中华优秀传统文化； 与时俱进，反映
现代科学技术与社会发展需要；符合学生的认知规律，有助于学生理解、掌握
数学的基础知识和基本技能，形成数学基本思想，积累数学基本活动经验，发
展核心素养.课程内容组织：重点是对内容进行结构化整合，探索发展学生核心
素养的路径. 重视数学结果的形成过程，处理好过程与结果的关系；重视数学
内容的直观表述，处理好直观与抽象的关系；重视学生直接经验的形成，处理
好直接经验与间接经验的关系. 课程内容呈现：注重数学知识与方法的层次性
和多样性，适当考虑跨学科主题学习；根据学生的年龄特征和认知规律，适当
采取螺旋式的方式，适当体现选择性，逐渐拓展和加深课程内容，应学生的发
展需求，实施促进学生发展的教学活动.
有效的教学活动是学生学和教师教的统一，学生是学习的主体， 教师是学
习的组织者、引导者与合作者. 学生的学习应是一个主动的过程，认真听讲、
独立思考、动手实践、自主探索、合作交流等是学习数学的重要方式. 教学活
动应注重启发式，激发学生学习兴趣，引发学生积极思考，鼓励学生质疑问难，
引导学生在真实情境中发现问题和提出问题，利用观察、猜想、实验、计算、
推理、验证、数据分析、直观想象等方法分析问题和解决问题；促进学生理解
和掌握数学的基础知识和基本技能，体会和运用数学的思想与方法，获得数学
的基本活动经验；培养学生良好的学习习惯，形成积极的情感、态度和价值观，
逐步形成核心素养，探索激励学习和改进教学的评价. 不仅要关注学生数学学
习结果，还要关注学生数学学习过程，激励学生学习，改进教师教学. 通过学
业质量标准的构建，融合 “四基” “四能”和核心素养的主要表现，形成阶
段性评价的主要依据. 采用多元的评价主体和多样的评价方式，鼓励学生自我
监控学习的过程和结果. 促进信息技术与数学课程融合：合理利用现代信息技
术，提供丰富的学习资源，设计生动的教学活动，促进数学教学方式方法的变
革. 在实际问题解决中，创设合理的信息化学习环境，提升学生的探究热情，
开阔学生的视野，激发学生的想象力，提高学生的信息素养.
在这种新课标理念指引下，我们团队针对沪科版第 22章《相似形》进行了
细致化作业设计.
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（二）课标要求
1.宏观“相似形”单元整体“战略”目标：
《义务教育数学课程标准（2022年版）》对于数学的学习要求从知识技
能、数学考虑、问题解决、情感态度四个维度加以阐释.这四个方面，不是互相
独立和割裂的，而是一个紧密联络、互相交融的有机整体. 在课程设计和教学
活动组织中，应同时兼顾这四个方面的目标. 这些目标的整体实现，是学生受
到良好数学教育的标志，它对学生的全面、持续、和谐开展有着重要的意义.
数学考虑、问题解决、情感态度的开展离不开知识技能的学习，知识技能的学
习必须有利于其他三个目标的实现. 因此相似形章节的数学课程目标要求以知
识的“结果目标”和“过程目标”呈现如下：（结果目标使用“了解、理解、
掌握、运用”等术语表述，过程目标使用“经历、体验、探究”等术语表述）.
知识技能
（1）了解本章所学的主要内容，建立本章的知识体系；经历探索图形相似
的过程，掌握判断相似形的基本知识和基本技能.
（2）经历相似形的判定、性质探索的过程，正确合理地选择适当的判定方
法找到相似三角形，运用相似三角形知识解决数学问题;掌握图形与几何的基本
知识和技能.
（3）参与知识的构建与形成过程，积累综合运用数学知识、技能和方法等
解决简单问题的数学活动经历.
数学考虑
（1）经历观察、实验、猜想、证明等过程，进一步发展几何直观，合情推
理和演绎推理能力，开展形象思维与抽象思维.
（2）在参与观察、实验、猜测、证明、综合理论等数学活动中，学会独立
思考，能有条理地、清晰地阐述自己的学习体验和结果.
（3）体会通过合情推理探究数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，在
多种形式的数学活动中，开展合情推理与演绎推理的能力，体会数学的基本思
想和思维方式.
问题解决
（1）能与同学交流“找相似”的体验和结果，体验“交流”对自己的帮
助;初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的
实际问题，增强应用意识.
（2）获得分析问题和解决问题的能力，体验解决问题方法的多样性，发展
创新意识.
情感态度
（1）积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲.
（2）在数学学习过程中，体验获得成功的乐趣，锻炼克服困难的意志，建
立自信心.
（3）体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨，理解数学的价
值.
（4）敢于发表自己的想法、勇于质疑，养成认真勤奋、独立考虑、合作交
流等学习习惯，形成实事求是的科学态度.
（5）在“探究相似”的过程中形成反思意识，获得基本体验;学会与别人
合作交流.在与别人合作交流过程中，能较好地理解别人的考虑方法和结论. 能
针对别人所提的问题进行反思，初步形成评价与反思的意识.
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2.微观“相似形”单元整体“定点”目标：
（1）了解比例的定义、基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、
艺术上的实例理解黄金分割.
（2）通过具体实例认识图形的相似.了解相似多边形和相似比.
（3）掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比
例.
（4）了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边
成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似；斜边、
直角边对应成比例的两个三角形相似. 了解相似三角形判定定理的证明.
（5）了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比，对应周长的
比，对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比；面积比等于相似比的平
方.了解相似三角形性质定理的证明.
（6）了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小.
（7）会利用图形的相似解决一些简单的实际问题.
（8）由相似的直角三角形，会进一步延伸到下一章锐角三角函数的基本概
念.
（三）教材分析
1.知识网络
（1）“相似形”单元内容整体系统知识结构化横向分析：
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（2）“相似形”单元内容整体知识结构化纵向分析：
直角三角形：斜边和一条直角
边对应成比例的两个三角形相
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（3）“相似形”单元内容整体知识技能化分析：
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2.内容分析
教育部最新颁布的《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称
《课标》）中针对“图形与几何”的课程内容从以下三个方面：图形的性质、
图形的变化、图形与坐标展开研究. 其中图形的变化主要涉及到的一个方面就
是图形的相似、位似即沪科版教材第 22章相似形的教学知识体系. 研究图形的
相似尤其是三角形的相似是初中学段“图形的变化”中的主要内容之一. 利用
相似可以解决日常生活中的大量实际问题，这也是课程标准关注的重点. 相
似，是不同于轴对称、旋转、平移的另一种图形变化，相似改变图形的大小，
不改变图形的形状（改变两点间距离的大不改变角的大小)也称为“保角变
换”.
(1)相似图形的性质在现实生活和数学中都有着广泛的应用，若要用逻辑
推理的方法研究相似形的判定和性质需许多相应的知识作基础，为了降低探索
相似三角形性质和判定的难度，课程标准把“两条直线被一组平行线所截，所
得的对线段成比例”作为基本事实，且只要求“了解”相似三角形的判定定理
和性质定理的证明，不要求运用这些定理证明其他命题. 这里强调，三角形相
似与三角形全等有着紧密的内在联系（当两个相似三角形的相似比 k=1 时，这
两个三角形全等)，可通过与三角形全等的判定定理进行类比，引导学生探索相
似三角形的判定定理，进一步感受特殊与一般的关系.
(2)“比例的基本性质、线段的比、成比例线段”是研究相似形的基础.
《课标》除“比例的基本性质”外，还要求研究比例的其他性质. 对于“黄金
分割”，课程标准要求“通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割”，感悟数学
的美. 线段的“黄金比”，可以式的应用给予介绍.
(3)图形的相似，《课标》要求“通过具体实例认识图形的相似”，“了
解相似多边形和相似比”. 对于相似形的定义，可以用“各角相等，各边成比
例”来定义相似多边形. 三角形的相似要特殊一些，它的相似条件的获得是由
《课标》的一条基本事实加以保证，即“两条直线被一组平行线所截，所得的
对应线段成比例”. 相似比，在解决有关图形的计算问题时，经常应用，应当
予以关注. 图形的位似，课程标准只要求了了解图形的位似，知道利用位似可
以将一个图形放大成缩小，借助实际生活经验，学生不难达到课程标准的这个
要求，不必进一步介绍关于“图形的位似”的其他知识.
(4)对于《课标》“会利用图形的相似解决一些简单的实际向题”这个要
求，应当予以足够的重视. 利用图形的相似解决一些简单的实际问题，必然经
历“把实际问题抽象成为数学问题，解决数学问题是对解得的结果做出符合实
际意义的解释”的过程，学生经历这样的过程，有助于他们感悟模型思想，感
受数学的价值. 上述要求中“简单”的意义，通常是指：当实际问题抽象为数
学问题后，就可以直接运用相似形的有关知识予以解决.
(5)《课标》要求“利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数
(sinA，cosA，tanA)”.探索不难发现：相似的直角三角形的边与边的比值，随
锐角大小的变化而变化，随锐角大小的确定而唯一确定，因此，利用相似的直
角三角形定义锐角三角函数便顺理成章.
3.“双减”背景下的数学教师作业设计构想：
（1）在作业设计中，教师应努力创设必要的，源于学生生活的相似形的
问题情境，好的现实情境，应当是学生熟悉的、简明的、有利于引向数学实质
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的、真实或合理的. 由于相似的实例在生活中随处可见，因此教学中，应当注
意选择尽可能贴近学生现实生活的情境，让他们经历从现实中抽象出数学知识
的过程.
（2）引导学生自主探索，教师应充分重视教科书中的“思考”栏目，引
导学生进行探究.注意把握好学生自主探索的时间与空间，引导学生在探索过程
中，积累数学活动经验，感悟基本的数学思想.
（3）由于全等三角形是相似三角形的特殊情况，相似三角形的判定都可
以用类比的方法从全等三角形的判定引出. 这样既突出了全等与相似的内在联
系，又降低了学习的难度，并可感悟类比推理是获取数学新知识的一种重要方
法. 学生由学习全等过渡到学习相似，认识上是一个飞跃，要有一个适应过
程，教师要认真引导，
（4）通过分析解答过程，培养学生的推理能力和数学语言的表述能力.
教师在进行课堂教学时，要把重点放在引导学生探索解答思路上来. 既要关注
学生获得的结果，更要关注学生探索的过程，要鼓励学生逐步用规范的数学语
言表达自己的思考过程，为后续学习打好基础.
（四）学情分析
相似三角形是继全等三角形、四边形等基本图形后的又一个重要内容，从
学生的认知规律看，学生已经经历了一些平面图形的认识与探究活动，尤其是
全等三角形的探究活动，让学生积累了一定的合情推理的经验与能力，这是学
生顺利完成本章学习的一个有利条件. 另外，由于相似三角形的探究方法与全
等三角形有“相似”之处. 学生很容易将全等三角形的判定与性质联想类比到
相似三角形的判定和性质上来. 这些学习都为相似形的学习打下思想方法基础.
从学生的学习习惯、思维规律看：笔者所在的学校是乡镇学校，文科（特别是
语文、英语）偏弱，理科相对好一点，这也导致不少学生文字理解能力有待加
强，学生的思维方式和思维习惯还不够完善，数学的运算能力、推理能力尚且
不足，特别是实践应用问题解决相对困难.但是他们也基本具有一定的自主学习
能力和独立思考能力，积累了一定的数学学习活动经验，并在心灵深处渴望自
己是一个发现者、研究者和探究者.
教学活动是师生积极参与、交往互动、共同开展的过程. 有效的教学活动
是学生学与老师教的统一，学生是学习的主体，老师是学习的组织者、引导者
与合作者. 数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学
考虑，鼓励学生的创造性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生
掌握恰当的数学学习方法. 学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个
性的过程. 除承受学习外，动手理论、自主探究与合作交流同样是学习数学的
重要方式.学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜想、计算、推理、
验证等活动过程. 老师教学应该以学生的认知开展程度和已有的经历为根底，
面向全体学生，注重启发式和因材施教. 老师要发挥主导作用，处理好讲授与
学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探究、合作交流，使学生理解
和掌握根本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得根本的数学活动经历，
最终提升数学素养. 教师要鼓励学生学习和改良老师教学. 应建立目标多元、
方法多样的评价体系. 评价既要关注学生学习的结果，也要重视学习的过程；
既要关注学生数学学习的程度，也要重视学生在数学活动中所表现出来的情感
与态度，帮助学生认识自我、建立信心. 义务教育阶段数学课程的设计，充分
考虑本阶段学生数学学习的特点，符合学生的认知规律和心理特征，有利于激
发学生的学习兴趣，引发数学思考；充分考虑数学本身的特点，表达数学的本
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质；在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经历，使学生
体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过
程.
四、单元学习与作业目标
1.理解相似多边形及相似比的概念，通过作业练习加深对概念中两个要素
（边和角）作用的认识，提升学生理性分析能力；
2.理解比例的基本性质、合比性质、等比性质、线段的比、成比例线段、
黄金分割，知道黄金数，掌握平行线分线段成比例基本事实，通过作业练习设
计帮助学生能用它们解决与之相关的问题，提升学生的思维分析能力和解决问
题能力；
3.理解两个三角形相似的概念、相似三角形三个基本判定定理和直角三角
形相似的判定定理、两个相似三角形相似的性质定理，通过作业设计锻炼学生
识图能力和推理分析论证能力，能灵活运用这些定理证明和解决有关问题；
4.学会用位似变换把一个图形放大或缩小，了解平面直角坐标系下位似变
换图形坐标的特点，作业中主要通过画图操作帮助学生达成目标；
5.经历相似三角形判定、性质的应用过程，培养学生运用数学知识解决一
些实际简单问题的能力和应用数学的意识，进一步发展学生的逻辑思维能力.
6.经历探究相似形“概念”“性质”“判定”“应用”的学习过程，加深
对新知的理解，构建相似形大单元教学的系统连贯性，发展学生的数学思维能
力.
五、单元作业设计思路
单元作业设计致力于为学生提供具有自主选择性、不同形式的内容作业，
注重基础性和评价功能，使不同学生的学习潜能得到充分的体现与挖掘. 因此
每课时均设计“课前性作业”（挖掘学习潜能，引导自主学习，了解学情，题
量 1-3题，要求学生努力完成），“基础性作业”（面向全体，体现课标，题
量 3-4题，要求学生尽量完成）和“发展性作业”（体现个性化，探究性、实
践性，题量 1-3大题，要求学生有选择的完成）.具体设计体系如下：
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六、核心素养及育人价值
《数学课程标准》（2022 版）指出：核心素养具有整体性、一致性和阶段
性.小学阶段侧重对经验的感悟，初中阶段侧重对概念的理解.初中阶段核心素
养主要表现为以下九个方面：抽象能力、运算能力、几何直观、 空间观念、推
理能力、数据观念、模型观念、应用意识、创新意识.
沪科版教材第 22 章相似形在进行单元作业设计思想导向时依据以上核心素
养为主线进行问题展开设计，不仅要在问题的能力层级上体现“四基四能”，
更重要的是培养学生具有终身学习意义上的 “三会”；（1）会用数学的眼光
观察现实世界；（2）会用数学的思维思考现实世界；（3）会用数学的语言表
达现实世界；也就是我们所说的数学育人价值的体现.
1.注重学生数学素养的养成意识的培养.注重教材呈现的逻辑体系及研究几
何图形的基本问题、思路和方法.例如在本章第 22.1 相似多边形的作业设计上，
让学生类比对全等三角形研究的模型思想为主要内容，提出对形状相同大小不
同的三角形应研究的主要问题和研究方法，发展学生的逻辑推理能力，同时通
过运算发现相似三角形存在的边角规律，让学生明确研究本章的内容的基本线
索，使他们对将学习的内容心中有数.
2.重视作业设计时系统知识间的联系，重视知识的形成过程的教学.相似图
形与全等图形是一般与特殊的关系，因此再设计研究问题时以问题串的形式启
发学生的思考以新代旧，新旧结合;同时以具体问题为载体，让学生经历“ 实
验→猜想→证明”的过程，即先让学生在实验操作中感受几何命题的合理性，
再在分析思考的基础上提出猜想，最后通过证明确认几何命题正确，这样的过
程有利于提高学生独立发现问题、解决问题的能力.引导学生学会思考，逐步形
成思考问题的策略，思考知识方法的合理性以及生成过程，这个过程比知识方
法本身更重要.
3.在问题设计时更注重数学思想方法的教学如第 22.2 节中运用类比思想.在
设计三角形相似的判定定理时结合之前学习三角形全等时，除了可以通过对所
有的对应角和对应边验证外，还可以通过简便的方法(SSS, SAS, ASA, AAS) 判
定两个三角形全等.类似地，判定两个三角形相似时，是不是也存在简便的判定
方法来证明三角形的相似呢？ 加强类比和对比，把相似的问题解决清楚.建模
思想:如作业设计第 22.5 综合与实践中，实际生活中的问题，建立相似三角形
的模型(几种基本图形) 来解决，如测量旗杆的高度、河的宽度、小孔成像等.
分类讨论思想如当相似三角形不确定时，（22.2（3）相似三角形的判定）发展
性作业 3等都可以具体体现.
4.在教学过程中，注重培养学生的阅读能力.数学阅读能力是一种非常重要
的数学学习能力，通过学生阅读教材，让学生尝试自主学习，用批注的方式提
出自己的疑问，然后带着疑问去解决问题，这样有助于提升学生的自主学习能
力如第四课时（22.1（4） 黄金分割 ）课前作业第 2 题.5.发展学生的识图作
图能力.作业中设计了大量的学生作图探究活动， 用好这些作图探究活动有利
于发展学生识图作图能力，发展学生的几何直观，同时也为后面学生对基本相
似图形的认识归纳总结提供了基础.
第 12 页
总之，对于此次作业设计的目的都是以课本教材内容为载体，通过作业问
题的设计，使学生不仅获得系统性知识，同时也学会了探究数学知识的技能方
法，把对学生数学思维能力的培养贯穿其中，让学生真正成为学会思考、善于
认识问题和解决问题的人，把教育的突破与创新落到实处.
七、课时作业
第一课时 22.1（1）相似多边形
【作业目标】
作业类型 知识能力 数学素养与育人价值
学生经历由全等到相似的作图，体 1、“课前作业”从
全等出发，自主作图
课前作业 会由特殊到一般的过程，同时加深对 研究，渗透研究问题
“形状相同”这一直观描述的感悟. 的方法，培养勇于、
善于探索的精神.
学生在总结边、角相等的要素后，
2、“基础性作业”
判断常见图形是否相似，不相似如何修
基础性作业 让学生体会“形缺数
改才能相似这两个问题串，由感性认识
时难入微”，从而感
上升到理性认识.
受数学的严谨性.
3、“发展性作业”
在深刻理解相似多边形的性质后， 也进行分层，大部分
尝试解决综合问题.鼓励程度高的同学 同学深入思考，可解
发展性作业
挑 战 ， 程度 弱 的同学 可 挑 战题 目 决题目（1），比较
（1），忽视题目（2）. 优秀的学生挑战题目
（2），培养学生迎
难而上的勇气.
重点：体会对应角相等，对应边的比相等.
难点：灵活运用相似多边形定义、性质解决实际问题.
作业 1（课前作业）
1.作业内容
（1）如右图，若△ABC≌△A’B’C’，
则说这两个三角形形状______，
大小______.
（2）（动手实践）若只保留形状______，
可能是怎样的两个三角形？动手画一画！
2.时间要求（2 分钟以内）
3.评价设计
作业评价表
第 13 页
等级
评价指标 备 注
A B C
A等，答案正确，图形精美.
答题的准确性 B等，答案正确、图形粗糙.
C等，答案不正确,图形不正确.
A等，有字母标注，铅笔、直尺作图.
答题的规范性 B等，作图有遗漏项.
C等，图形不正确.
AA、AB综合评价为 A等； BB、AC综合评价为
综合评价等级
B等；其余情况综合评价为 C等.
4.作业分析与设计意图
“课前作业”其实就是学情前测，在回顾全等的基础上弱化条件，让学生
动手画一画“形状相同”的两个三角形，初步感知并思考如何做到“形状相
同”？不仅为接下来新课中探索相似多边形的严谨定义起到知识铺垫作用，而
且还为后面相似三角形的判定埋下伏笔.
作业 2（基础性作业）
1.作业内容
（1）（及时总结）你是如何画“课前作业”中的第（2）题的？对应角要
满足什么条件？对应边要满足什么条件？
（2）（辨别真伪）两个等边三角形、两个正方形、两个菱形、两个矩形各
成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间
的距离都相等，那么两个图形不一定相似的一组是（ ）
（3）（小小设计师）对于（2）中的 D 选项，若有一个矩形草坪也近似这
种构造，小矩形是草坪，长是 20m，宽是 10m，四周是小路，若边缘上、下两条
路的宽相等都是 1m，想让外面大矩形与内部小矩形草坪相似，你能计算边缘
左、右两条等宽的小路是多宽吗？
2.时间要求（6 分钟以内）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
A等，答案正确、过程正确、语言表述准确.
答题的准确性
B 等，答案正确、过程有问题、语言表述不准
第 14 页
确.
C 等，答案不正确,有过程不完整，或过程错
误，或过程错误，或语言表达不正确.
A等，过程规范，答案正确、语言表述准确.
B 等，过程不够规范、完整，语言表述不准
答题的规范性 确，答案正确.
C 等，过程不规范或无过程，语言表述不对，
答案错误.
A等，解法有新意和独到之处，答案正确.
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误.
解法的创新性
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无
过程.
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC
综合评价等级
综合评价为 B等；其余情况综合评价为 C等.
4.作业分析与设计意图
第（1）题让学生在动手画图中感悟相似的定义：两个边数相同的多边形，
对应角相等，对应边的比也相等，让学生深入理解相似的两个要素（边和角）；
第（2）题不仅是为了加深对相似定义的理解和巩固，更是为了防止学生陷入盲
目的感性认识，培养他们的理性思维；第（3）题是在上一题的基础上的继续探
索，第一问考察相似形的性质，第二问是创新设计，意在培养学生自主设计的
能力，让他们不仅会解决问题，更能设计问题，真正让落实学生的数学素养.
作业 3（发展性作业）
1.作业内容
（1）（折叠的数学）如图，把矩形 ABCD 对折，折痕为 MN，
矩形 DMNC与矩形 ABCD相似，已知 AB=4，
① 求 AD的长；
② 直接写出矩形 DMNC与矩形 ABCD的相似比.
（2）如图所示，点 E是菱形 ABCD 对角线 CA的延长线上任意一点，以线段
AE为边作一个菱形 AEFG，且菱形 AEFG相似于菱形 ABCD，连接 EB，GD.
①求证：EB=GD；
②若∠DAB=60°，AB=2，AG= 3 ，
求 GD的长.
动画演示
第 15 页
2.时间要求（12 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A等，答案与过程都正确.
答题的准确性 B等，答案正确、过程有问题.
C等，其他.
A等，过程规范，答案正确.
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确.
C等，其他.
A等，解法有新意和独到之处，答案正确.
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误.
解法的创新性
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无
过程.
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC
综合评价等级
综合评价为 B等；其余情况综合评价为 C等.
4.作业分析与设计意图
第（1）题从学生熟悉的折纸入手，让学生体会“一张纸玩转大数学”，在
折纸中体会相似的妙趣，做中学，做中悟；第（2）题综合性较强，学生量力而
行，供有兴趣、能力强的的学生钻研，在“手拉手”模型的背景下，学生综合
运用相似的性质、全等、菱形性质、勾股定理等知识，结合等量代换的技巧解
决问题；选此题的第二个原因是其具有“生长性”，可以引发学生继续思考：
两个菱形能否换成其他相似的图形？你能继续出类似的题目给小组内同学吗？
在学习数学的道路上，“点燃”永远比“传授”重要.
作业设计衔接阐释：学生在初步掌握相似形的基本概念后，会发现我
们研究形似图形的主要方向是研究图 形与图形之间的基本元素：边与
边、角与角关系.线段是平面几何中最 基本的图形，因此基于数学的逻
辑顺序我们把研究的方向放在了线段的比例及其性质的学习，引入成
比例线段及其基本性质的作业设计.
第二课时 22.1（2） 成比例线段及其基本性质
【作业目标】
第 16 页
作业类型 知识能力 数学素养与育人价
值
学生结合图形写出比例，不仅体会
1、比例线段源于小
课前作业 到“成比例线段”源自图形，而且自主
学比例知识螺旋上
发现比例线段具有顺序性. 升，学生结合图形
自主探索、总结，
1、总结成比例线段的定义，了解组
有抓手、有方法，
成比例的项、比例外项、比例内项、比 同时渗透数形结合
基础性作业 思想.
例中项，并进行简单计算；
2、在完成“发展性
2、运用比例的基本性质解决问题. 作业”中体会分
灵活运用比例及其基本性质解决问 类、数形结合.
发展性作业
题.
重点：
1、学生自己发现比例的顺序性；
2、熟练运用比例的基本性质解决问题.
难点：探索并总结成比例线段具有顺序性的理论依据是比例的基本性质.
作业 1（课前作业）
1.作业内容
（1）（小学教材改编）小学时已经学过，表示两个比相等的式子叫比例.用图
中的 4个数据，你能组成哪些比例？（至少写一组）
（2）任意更换这四个数据的顺序可以吗？
2.时间要求（2 分钟以内）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
A等，写的多，而且准确.
答题的准确性 B等，答案正确，但写的不多.
C等，答案不正确.
综合评价等级
4.作业分析与设计意图
作为“课前作业”，应该以“引”“趣”为主，把学生学习节奏带起了，
不适合高难度，这里选用小学时学生学过的“比”的相关知识作为基础习题，
尊重学生知识螺旋上升的规则，为新课比例线段定义的学习作铺垫；第（2）题
本意想强调比例的顺序性，但与其老师强调比例线段的顺序性，不如让学生在
做题时自己发现，并说给其他同学听，故以作业的形式让学生先自己经历、自
己发现.
第 17 页
作业 2（基础性作业）
1.作业内容
（1）已知 a=4,b=9，则 a，b的比例中项为______
（2）如果 a=10cm，b=0.2m，c=30mm，d=6cm，那么下列比例式成立的是
（）
a b b c a c d a
A. B. C. D.
d c d a b d c b
及时总结：在做比例线段相关题目时，你有什么需要提醒同学们注意的？
c d
（3）（透过现象看本质）对于第（2）题，比例式 成立吗？为什么
a b
另外三个选项不成立？根本原因是什么？
a c
及时总结：如果 ，你还能写出哪些成立的比例线段？理论依据是什
b d
么？
a b a b
（4）若 a，b满足 （ab 0），求 的值？
2 3 a
2.时间要求（6 分钟以内）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
A 等，答案正确、过程正确、语言表述清晰、
准确.
B 等，答案正确、过程有问题、语言表述不
答题的准确性
清.
C 等，答案不正确,有过程不完整，过程错
误，无过程，语言表述错误.
A等，过程规范，答案正确.
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确.
C等，过程不规范或无过程，答案错误.
AA、AB综合评价为 A等； BB、AC综合评价为
综合评价等级
B等；其余情况综合评价为 C等.
4.作业分析与设计意图
第（1）题的设计一举三得，既巩固了比例，又研究了特殊的比例式，而且
还考虑到结果的两种可能；研究比例线段，不仅要考虑顺序性，还有单位的统
第 18 页
一性，第（2）题设计的意图就是兼顾这两者，不仅如此，为了让学生从题海中
走出来，学生应该养成边做、边思、边总结的好习惯，故此题具有一定的学习
习惯的引导性，总结时，让我们把想对学生强调的易错点，通过题目的设计，
让学生在做题中思考总结出来，效果更好；如果说第（2）题入手又轻又薄，那
么第（3）题的设计就是引导学生向更深更厚的层次思考，透过现象看本质，根
a c
本原因就是比例的基本性质，由此引出如果 ，还能写出其它成立的比例
b d
线段；至此，学生对比例的基本性质了解的更深一层，第（4）题就是该性质的
应用.四个题目层层递进，畅汗淋漓！学生的数学素养就是在这种润物细无声的
引导中落地的.
作业 3（发展性作业）
1. 作业内容
（1）已知：点 P在线段 AB上，且 AP：PB=2:5，求 AB：PB和 AP：AB的
值.若将“线段 AB”改为“直线 AB”呢？
（2）（思考 交流 总结）已知线段 a,b,c 的长度分别为 a=1,b=2,c=3,如
果线段 d和已知的三条线段是成比例线段，那么线段 d的长度不等于( )
3 2 16
A.6 B. C. D.
2 3 5
及时总结：线段 d的长度只有这三个吗？根本原因是什么？
2.时间要求（8 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A等，答案正确、过程正确、图形准确.
B 等，答案正确、过程有问题或语言表述不
答题的准确性 清.
C 等，答案不正确,有过程不完整、不画图；
答案不准确，过程错误、或无过程.
A等，过程规范，层次清晰，答案正确.
B 等，过程不够规范、完整，分类较乱，答案
答题的规范性
正确.
C等，过程不规范或无过程，答案错误.
AA、AB综合评价为 A等； BB、AC综合评价为
综合评价等级
B等；其余情况综合评价为 C等.
4.作业分析与设计意图
第（1）题在考察“比”的基础上，锻炼学生作图能力；第（2）题是对比
例线段的巩固，两题的共同点都是运用分类讨论的思想.然而自习品一品第（2）
题的“及时总结”，酷爱数学的同学马上就会发现，虽然有四种顺序：d、a、b、
第 19 页
c；a、d、b、c；a、b、d、c；a、b、c、d，但 d 只会有三种结果，根据比例的
基本性质，a、d、b、c；a、b、d、c；这两种情况的 d 是相等的.所以说，这两
题既是对知识的考察，也是对思想方法的提炼，更是理性思维的渗透.
第三课时 22.1（3） 比例的合比、等比性质
【作业目标】
作业类型 知识能力 数学素养与育人价值
通过一题多解，学生体会合比性 1、“课前作业”让
学生明白为什么要
课前作业 质、等比性质研究的必要性，即为什么 学比例的性质，解
学这部分内容. 决“我要学”.
2、类比合比性质，
1、学生类比合比性质探索过程，能 学生情不自禁的使
用分比性质解决问题. 用分比性质解决问
基础性作业 题，是知识的拓
2、用比例的三个性质解决简单问 展，更是方法的传
题. 递.
3、“发展性作业”
1、深刻认识等比性质的使用条件： 中题目（1）渗透分
分母不为零.
发展性作业 类讨论的同时，让
2、灵活运用合（分）比性质解决几 学生感受数学的缜
何图形中的比例问题. 密性.
2、通过对合（分）比性质、等比性质的探索、推导过程，最终掌握并能运
用性质解决问题，如几何比例线段问题，比例尺问题等；
重点：运用性质解决问题.
难点：灵活运用合（分）比性质解决几何问题.
作业 1（课前作业）
1.作业内容
y x y
（1）（一题多解）若 3，求 的值.（至少 2种方法求解）
x x
2.时间要求（3 分钟以内）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
A等，答案正确、过程正确、方法多样.
B等，答案正确、方法唯一.
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准
确，过程错误、或无过程.
答题的规范性 A等，过程规范，答案正确.
第 20 页
B等，过程不够规范、完整，答案正确.
C等，过程不规范或无过程，答案错误.
A等，解法有新意和独到之处，答案正确.
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误.
解法的创新性
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无
过程.
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC
综合评价等级
综合评价为 B等；其余情况综合评价为 C等.
4.作业分析与设计意图
本题看似平淡无奇，但设计在新课开始前，会引发学生无线遐想.学生可能
y x y x 3x
会由已知 3得出 y=3x，进而代入求得 4；也可能从已知出发
x x x
y x y
利用等式的基本性质，两边同时加 1，得1 3 1，最后得 4 .第一种
x x
方法渗透等比性质的思路，第二种方法就是对合比性质的推导，应该说此题设
计容易上手，又为下文两个性质的教学起到“一箭双雕”的作用.
作业 2（基础性作业）
1. 作业内容
a b 5 a
（1）多种方法求解 ，求 的值.
b 3 b
（2）（教材 P69练习 T3改编）如果 2x=3y（x，y均不为 0），那么下列各
式中正确的是（ ）
x 2 x x y 5 x 2
A. B. 3 C. D.
y 3 x y y 3 x y 5
a c e 2
（3）若 (b d 0,2b 3d 4 f 0) ，
b d f 5
a c
①求 的值；
b d
2a 3c - 4e
②求 2b 3d 4 f 的值；
③ 比较上面两个结论，你发现了什么？
2.时间要求（8 分钟以内）
3.评价设计
作业评价表
第 21 页
等级
评价指标 备 注
A B C
A等，答案正确、简洁、过程清晰、正确.
B等，答案正确、过程有问题.
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准
确，过程错误、或无过程.
A等，过程规范，层次清晰、答案正确.
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确.
C等，过程不规范或无过程，答案错误.
AA、AB综合评价为 A等； BB、AC综合评价为
综合评价等级
B等；其余情况综合评价为 C等.
4.作业分析与设计意图
（1）（2）两题无论用基本性质还是合比性质，都很容易做出来.使用基本
性质的同学，是传统的“代入”思维，灵活使用合比性质的同学，则是具有整
体思想，老师在批改作业时应关注学生做题过程中运用什么方法，对使用基本
性质的同学，在以后的教学中加强整体思想的渗透.第（3）题是等比性质的经
典应用，由简到繁，融合了分式基本性质，让学生透过纷杂表面看本质，体会
数学最大的魅力：变化中的不变性.
作业 3（发展性作业）
1.作业内容
c a b
（1）（思考 交流）若 k ，求 k 的值.
a b b c a c
AB AC
（2）（教材 P67 例 1变式）如图，在△ABC中， .
DB EC
AD AE
求证：①
AB AC
AD AE
②
DB EC
2.时间要求（9 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A等，答案正确、证明过程正确.
B等，答案正确、结题或证明过程有问题.
答题的准确性
C 等，答案不正确,证明过程不严谨；答案不
准确，证明过程乱或无过程.
答题的规范性 A等，过程规范，答案正确.
第 22 页
B等，过程不够规范、完整，答案正确.
C等，过程不规范或无过程，答案错误.
A等，解法有新意和独到之处，答案正确.
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误.
解法的创新性
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无
过程.
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC
综合评价等级
综合评价为 B等；其余情况综合评价为 C等.
4.作业分析与设计意图
第（1）题是个经典的易错题，从外形上看，似乎单纯考察等比性质，实际
上，还要对分母进行分类讨论，本题旨在训练学生思维的缜密性，很多看着像
是做过的题，实际上因缺少平时“习以为常的条件”，反而要进行讨论，体会
“习以为常的条件”的重要性；第（2）题是对例题的改编，本意是让学生感受
合比性质在几何中的运用，最终能灵活且熟练地运用这些性质，在实际解题中，
学生还会有意外惊喜，那就是能将此问题转化为书上的例题，有一种豁然开朗、
多题归一的感觉.会学习的同学情不自禁的就会把书上的例题作为母题，以后再
碰到类似的题目，都会以不变应万变，不变的是合比性质，万变的是不同线段
的比.
作业设计衔接阐释：在学生掌握了成 比例线段及其性质后，我们把研
究视角由一般性的四条线段成比例线段转向特殊情况下的共线的三条
线段成比例，即黄金分割，德国数学家开普勒曾经指出：“在几何学
中，有两件瑰宝：一是毕达哥拉斯定理，另一个是黄金分割率”因此
研究黄金分割有着深远的数学文化与价值.
第四课时 22.1（4） 黄金分割
【作业目标】
作业 知识能力 数学素养与育人
类型 价值
1.学生能通过成比例线段，比例中项等 1.旨在培养学生
相关知识作业反馈下，进一步对黄金分割 在学习知识时，要
课前 的概念进行探究激发学生主动发现问题、 善于利用知识的系
作业 分析问题、并解决问题的自主学习能力， 统连贯性，旧知可
获得解决数学知识的基本知识技能和基本 以达到“复为学
活动经验. 用”的目的，培养
第 23 页
2.运用现代化的信息技术手段，拓展学 良好的数学学习习
生的知识视野，发现数学的社会价值，提 惯.
高学生的信息素养. 2.从黄金分割的
1.从自然世界、雕像、历史建筑上让学 知识学习中，让学
生能够运用黄金分割的概念解决生活中的 生理解数学的核心
数学问题，让学生感悟数学源于生活. 素养，体验“三
基础
2.从黄金矩形的模型中发现黄金分割的 会”的涵义：会用
性作业
规律性结构特征，培养学生观察、操作、 数学的眼光观察世
分析、归纳数学问题的能力，初步建立数 界、会用数学的思
学模型思想. 维思考世界、会用
数学的语言表达世
界.
3.培养挑战意识
和创新意识，体验
挫折与成功；体会
数学与人类生活的
1.学生在理解黄金分割概念的基本层次
密切联系和对人类
发展 上，学会灵活运用该知识解决相对较高层
历史发展的作用:提
性作业 次的习题，达到“活学活用”“举一反
高审美意识，在实
三”的思维能力.
际操作、思考、交
流等过程中明白黄
金分割的数学史的
社会价值与意义，
注重对数学文化史
的渗透.
重点:通过对黄金分割概念的理解与感悟解决问题
难点:黄金分割在生活实际中的必要性与社会应用性价值，体会数学是一门
源于生活，用于生活的基础学科.
作业 1（课前作业）
1.作业内容
(1)如果 a：b=3：2，且 b是 a、c的比例中项，则 b：c=______.
(2) 欧多克斯（Eudoxus of Cnidus, 408 BC-355 BC）：
第 24 页
约公元前 400 年生于奈得斯，希腊天文学家和数学
家.欧多克斯在几何学、天文学和医学等方面都有突出
的贡献…他曾提出这样奇妙的构想：能不能把一条线段
分为不相等的两部分，使较长部分为原线段和较短部分
的比例中项？如图已知线段 AB，若 AP为线段 AB、PB
的比例中项且 AP>PB，则点 P 称之为线段 AB 的黄金分
割点.
A P B
AP 与 AB存在怎样的位置关系呢？思考并填空：
线段 AP∶AB=______;若 AP= 5-1， 则 AB=______
（3）特色作业（信息技术与数学学科融合）：德国数学家开普勒曾经
指出：“在几何学中，有两件瑰宝：一是毕达哥拉斯定理，另一个是黄金
分割率”因此研究黄金分割有着深远的数学文化与价值.运用现代化的信息
网络技术手段查阅并整理有关黄金分割在生活实际中的应用，以《神秘的
的黄金分割》为主题把自己的学习成果在班级里进行展示汇报.
2.时间要求（5 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
A等，答案正确、过程正确.
答题的准 B等，答案正确、过程有问题.
确性 C等，答案不正确,有过程不完整；答案不
准确，过程错误、或无过程.
A等，过程规范，答案正确.
答题的规
B等，过程不够规范、完整，答案正确.
范性
C等，过程不规范或无过程，答案错误.
A等，解法有新意和独到之处，答案正确.
B等，解法思路有创新，答案不完整或错
解法的创
误.
新性
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂
或无过程.
AAA、AAB 综合评价为 A等； ABB、BBB、
综合评价
AAC综合评价为 B等；其余情况综合评价为 C
等级
等.
4.作业分析与设计意图
“课前作业”习题的设置目的在于预测学生在自主学习的状态下对于黄金
分割点基本知识的理解及掌握情况，问题 1 的设置目的是“复为学用”，溯本
寻源——让学生明白黄金分割的本质属性还是归源于比例中项的概念，学生只
第 25 页
有在明确三条线段需满足特定关系才能称之为比例中项，才能为第（2）题求线
段的黄金分割比奠定知识基础.问题 2的设置在检测学生是否已经掌握线段的黄
金分割的概念，由点 P所分成两条线段较长的和较短的线段（局部）与整个线
段（整体）的比例关系恒等于一个定值较长线段 较短线段 5 1 ,（特殊
整条线段 较长线段 2
性） ，同时反过来再利用黄金分割线段的关系在已知局部的情况下如何去求整
体.引导学生根据问题条件和要求探究运算方向，寻求合理的运算途径解决问
题，从而培养学生的数学运算能力和逆向思维.第（3）题是一个开放性的题
目，信息技术与数学学科的深度融合是数学学科与时俱进的标志，网络技术犹
如向学生打开了一扇了解数学的新窗口，目的在于开拓学生的眼界，帮助他们
更加全面了解数学的内涵、价值、意义，增强学生学习数学的兴趣——让他们
更加乐于接近数学、了解数学；提高学生的数学能力——让他们更好地研究数
学，用数学解决更多的问题.关于黄金分割的相关信息都是学生学习的原材料，
通过对信息的选择与加工，形成具有学生自身特色的数学小文章，让人人都可
以在数学上得到不同的发展.
作业 2（基础性作业）
1.作业内容
（1）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树
叶，也蕴含黄金分割图，已知 AB=10cm，点 P为
AB 的黄金分割点（AP>BP），则 PB的长为
（ ）．
A． (5 5 10)cm B． (15 5 5)cm
C． (5 5 5)cm D． (10 2 5)cm
（2）已知点 C 是线段 AB的黄金分割点，则 AC:AB=_____________
（3）为了弘扬雷锋精神，某中学准备在校园内建
造一座高 2m的雷锋人体雕像，向全体师生征集设计方
案，小兵同学查阅了有关资料，了解到黄金分割数常用
于人体雕像的设计中，如图是小兵同学根据所学黄金分
割数的知识设计的雷锋人体雕像的方案，其中雷锋人体
雕像下部的设计高度（精确到 0.01m）是( )（参考
数据 2 =1.414, 3 =1.732, 5 =2.236)
A 0.62m B 0.76m C 1.24m D 1.62m
AB 5 1
(4) 如果一个矩形 ABCD（AB＜BC）中， ≈0.618，那么这个矩
BC 2
形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．公元前 5世纪的古代希腊建筑学家们
非常喜欢利用黄金矩形来构造和谐美.帕特农神庙就是一个最好的例子, 表明早
期时候对黄金矩形的利用.古希腊人对黄金法则有着丰富的知识,他们知道如何
构建,如何估算,以及如何利用它来构造黄金矩形.黄金分割,即φ (phi,希腊文
的第 21 个字母)，与希 腊雕刻家菲迪亚斯(Phidias)的名字中的头三个字母相
同,这还是出于偶然,因为人们相信是菲迪亚斯在作品上运用了黄分割和黄金矩
形.毕达哥拉斯学派选择五角星作为象征符号,是因为它与黄金分割有着密切联
系.在黄金矩形 ABCD 内作正方形 CDEF，得到一个小矩形 ABFE（如图），请问矩
形 ABFE 是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性．
第 26 页
2.时间要求（5 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
A等，答案正确、过程正确.
答题的准 B等，答案正确、过程有问题.
确性 C等，答案不正确,有过程不完整；答案不
准确，过程错误、或无过程.
A等，过程规范，答案正确.
答题的规
B等，过程不够规范、完整，答案正确.
范性
C等，过程不规范或无过程，答案错误.
A等，解法有新意和独到之处，答案正确.
B等，解法思路有创新，答案不完整或错
解法的创
误.
新性
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂
或无过程.
AAA、AAB 综合评价为 A等； ABB、BBB、
综合评价
AAC综合评价为 B等；其余情况综合评价为 C
等级
等.
4.作业分析与设计意图
第（1）题让学生在理解并掌握黄金分割的相关知识后，对知识点的正向运
用即直接根据黄金分割的定义得到较长线段 AP 5 1 ,进而进一步求出 BP
整条线段 AB 2
的长；第（2）题的题目设计为学生设置了“知识陷阱”——隐去了 AC>BC的条
件，在第（1）题固有模式的“引导”下，学生由定向思维直觉的认为 AC:AB就
是较长线段比整条线段，导致答案不完整，此题不仅是为了加深对定义的理解
和巩固，更是为了防止学生陷入盲目的感性认识，培养他们的理性思维；第
（3）题是在前两题的基础上进一步考核对黄金分割的实际应用，数学源于生
活、用于生活，课程标准始终要求数学的学习终要体现数学知识在现实生活中
的重要意义，要让数学的“四基、四能”理论目标内化成具有可操作性的实践
成效，引导学生“会学 、会做 、 会思 、 会用”，真正的把培养学生数学素
第 27 页
养落实到实处.第（4）题的主题目标指向为数学思考、问题解决两个层次，难
度系数不大，主要让学生学会独立思考，重点在于思考要独立，自己针对问题
进行可操作性的数学逻辑运算，也是对创新意识的一种培养，同时也让学生能
够体验成功的乐趣，建立自信心.在这里问题解决与解决问题不完全相同，是学
生应该掌握的学习方式和应具备的数学能力，要矩形 ABFE是否是黄金矩形？只
需要去证明该矩形的宽 AE与长 AB的比值是否也为 5 1，在黄金矩形 ABCD内
2
作正方形 CDEF，得到一个小矩形 ABFE，可以得到 AD=BC，DE=AB，于是
AE AD-DE BC-AB BC 5-1
= = = -1= 所以矩形 ABFE仍然为黄金矩形.
AB AB AB AB 2
作业 3（发展性作业）
1.作业内容
（1）如图，已知 P 是线段 AB 的黄金分割点，且
PA PB，若 S1表示PA 为一边的正方形的面积， S2
表示长是 AB ，宽是PB 的矩形的面积，则
S1 _____ S2 ．（填“＞”“=”或“＜”）
（2）纸折黄金分割点（素养提升）：如图，裁一张
正方形的纸片 ABCD，先折出 BC 的中点 E ，再折出线
段 AE，然后通过折叠使 EB 落到线段 EA 上，折出点
B 的新位置B ，因而EB EB．类似地，在 AB 上折
出点 B 使 AB AB ．这是B 就是 AB 的黄金分割
点．请你证明这个结论．
（4）（跨学科主题实践活动：数学与美育相结合）请利用今天所学习
的黄金分割的相关知识，拍摄一张生活中的照片，如何使所拍的照片布局
更合理，更具有欣赏价值和美感？把你的作品带到学校来，让同学们欣赏
一下吧！
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A等，答案正确、过程正确.
答题的准 B等，答案正确、过程有问题.
确性 C等，答案不正确,有过程不完整；答案不
准确，过程错误、或无过程.
第 28 页
A等，过程规范，答案正确.
答题的规
B等，过程不够规范、完整，答案正确.
范性
C等，过程不规范或无过程，答案错误.
A等，解法有新意和独到之处，答案正确.
B等，解法思路有创新，答案不完整或错
解法的创
误.
新性
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂
或无过程.
AAA、AAB 综合评价为 A等； ABB、BBB、
综合评价
AAC综合评价为 B等；其余情况综合评价为 C
等级
等.
4.作业分析与设计意图
第（1）题是基础性作业第（4）题的拓展与延伸，由黄金矩形的问题让学
生反思并感受到黄金分割的问题不仅仅是单纯性的直接考察线段的比例问题，
还可以延续到平面图形的面积问题上去，让学生体会做中学，做中悟； S1表示
PA为一边的正方形的面积，S 表示长是 AB，宽是 PB的矩形的面积，所以 S =PA22 1 ，
S2=PB AB，又因为 P 是线段 AB 的黄金分割点，且 PA＞PB，∴PA
2=PB AB，第（2）
题是一道可操作性、实践性较强的题目，值得有兴趣、能力强的的学生钻研，
其题目本质是考核黄金分比并会求黄金比是本题的关键，频繁不断地折纸活动
会干扰学生明确解题方向，但仔细分析其实这就是通过折纸活动即几何图形的
直观性去寻找线段 AB 的黄金分割点，如果学生能抓住每一次操作后出现的等量
关系，从数学的角度看问题的出发点，利用数学的理性思维，是自己的思考更
有条理，思路更明确.本题中关键性的数量关系如下：设 BE=1,则 AB=2,由勾股
定理得 AE= , 又 B′E=BE=1，∴AB′=AE﹣B′E= ﹣1，∵AB″：AB=（ ﹣
1）∴AB″ ∴点 B″是线段 AB的黄金分割点.
作业设计衔接阐释：学习线段的比例性质最终还是要回归到研究相
似图形上去，作为相似图形最基本预备定理就是平行线截三角形相
似，为了达到学些目的，教材引入了平行线分线段成比例的基本事
实，让学生了解知识内容并会利用其特征去求解相关生活实际问题，
因此第五课时作业设计的意义也在于此.
第五课时 22.1（5） 平行线分线段成比例
作业目标：
作业类型 知识能力 数学素养与育人价
值
1. 学生通过对作业习题的反馈，进一 1.领悟数学的更
课前作业 步熟悉并感受平行线分线段成比例定理， 深层次的发展目的
并会利用定理本知识解决相关问题.学生通 是“举一反三、学
第 29 页
过对相关习题的分析与领悟，掌握平行线 以致用”.
截线段成比例定理所蕴含的最本质的“对 2.从现实世界中
应”关系，从所截对应线段结构上的特征 发现客观存在的数
进行破题. 量 关 系 与 位 置 关
1.从学生身边的生活情境入手，观察生 系，用数形结合的
活中的数学问题，让学生感悟数学源于生 思想，通过观察运
活，用于生活. 算等数学形式理解
基础性作
2.从平行线分线段成比例的规律性结构 自然现象背后的数
业
特征， 学原理，感悟数学
培养学生观察、操作、分析、归纳数学 的审美价值，形成
问题的能力，初步建立数学模型思想. 对数学学习的好奇
心与想象力，让学
生制动参与数学探
究活动.
1.使学生能够运用知识的迁移性原则把
3.培养学生的应
平行线分线段成比例定理运用到角平分线
用 意 识 和 创 新 意
分线段成比例的知识上去，让学生体验数
识，经历数学“在
发展性作 学知识内容的相通性与连续性，有意识的
发现”的过程，发
业 锻炼学生发散思维能力的培养.
展学生质疑问难的
2.让学生能够利用平行线分线段成比例
批判性思维，形成
的学习，结合尺规作图构造已知线段的三
实事求是的科学态
等分点，并能够阐释尺规作图的作法依据.
度，初步养成讲道
理、有条理的理性
思维.
作业重点：掌握平行线分线段成比例定理解决相关问题.
作业难点：从图形上感受平行线分线段成比例时，所截线段在结构上
上 上 上 上
的对应关系： = = 等，体现“数形结合”的数学思想，发展学生
下 下 全 全
的基本逻辑思维.
作业 1（课前作业）
第 30 页
1.作业内容
l1 //l2 //l（1）如图，直线 3，直线 AC 和DF l1 l2 l被 ， ， 3
所截，AB=5，BC=6，EF=4，则 DE 的长为（ ）
10
A. 2 B. 3 C. 4 D.
3
（2）如图，已知 AB∥CD∥EF ，
则下列结论中，正确的是（ ）
AB BC AD AF CD AD CE AF

A. CD EC B. BC BE C. EF AF D. BE AD
（3）如图，在△ ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 上的点，且 DE∥ BC．
① 如果 AD=3.2cm，DB=1.2cm，AE=2.4cm，那么 EC 的长是多少？
② 如果 AB=5cm，AD=3cm，AC=4cm，那么 EC 的长是多少？
2.时间要求（4 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
A等，答案正确、过程正确.
B等，答案正确、过程有问题.
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准
确，过程错误、或无过程.
A等，过程规范，答案正确.
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确.
C等，过程不规范或无过程，答案错误.
A等，解法有新意和独到之处，答案正确.
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误.
解法的创新性
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无
过程.
综合评价等级 AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC
第 31 页
综合评价为 B等；其余情况综合评价为 C等.
4.作业分析与设计意图
“课前作业”题目设置的目的性比较明确，检测学生在课前自主预习的情
况下，对于平行线分线段成比例内容的掌握效果如何，三道题的设置都是在基
于一组平行线截直线的前提下，所形成的三种具备几何直观性的基本图形结构
的考核；其研究步骤：由一般性——截线在平行内无交点（第 1 题）过渡到特
殊性——截线在平行线内有交点（第 2 题）、截线交点正好落在平行线上（第 3
题），整个习题组系统所反馈渗透的课本知识目标为：①基本事实-平行线分线
段成比例②推论-平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线）所的线
段成比例.
作业 2（基础性作业）
1.作业内容
（1）如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两
条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个
点 A、B、C 都在横格线上．若线段 AB=4cm，
则线段 BC=______cm．
（2）如图，一棵树 AB 在路灯 O 的照射下形成投影 AC.若树影 AC=3m，树
顶端 B 到树影顶端 C 的距离为 4m，树与路灯间的水平距离 AP=6m，则路灯顶
端到树影顶端的长 OC=______ m．
第（2）题图
（3）如图，在 ABC 中，已知MN / /BC ，DN / /MC ．小红同学由此得出了
AN AM AD AM AM AN AD AN

以下四个结论：① CN AB ；② DM MB ；③ MB CN ；④ AM AC ，
能其中正确结论的个数为（ ）
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
2.时间要求（6 分钟）
3.评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备 注
第 32 页
A B C
A等，答案正确、过程正确.
B等，答案正确、过程有问题.
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准
确，过程错误、或无过程.
A等，过程规范，答案正确.
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确.
C等，过程不规范或无过程，答案错误.
A等，解法有新意和独到之处，答案正确.
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误.
解法的创新性
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无
过程.
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC
综合评价等级
综合评价为 B等；其余情况综合评价为 C等.
4.作业分析与设计意图
不难看出题目（1）题目（2）的设置是具有共性的即引入现实情境：练习
本的横格线和灯光下树的影子.因为现实世界中的物体及其关系是学生观察的最
好材料，课程标准提倡数学的学习要依托学生观察、想象、分析，进而从直观
的事物图形中发现数学的性质.学会用图形思考问题能使学生更好地感知数学、
领悟数学，让学生能从直观“形”去探究“数”，用特征“数”去理解“形”，将这两
个角度有效结合，最终解决实际问题.几何直观能力也是初中数学课程所要培养
的核心素养之一.题目（3）重在数学逻辑推理能力的培养，它是课程标准中思
维和推理的第三学段的要求；体会合情推理探索数学结论的过程，从“会独立
思考” “能进行有条理的思考”这是一个逐步深化的过程.学生要从
两组平行线中清晰的寻找各自能得到的成比例线段，再利用线段的比例性质进
行“再加工”“再转化”最终才能分析出结果.
作业 3（发展性作业）
1.作业内容
（1）（素养提升）阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题．
角平分线分线段成比例定理：如图 1，在△ ABC 中，AD 平分∠ BAC，则
AB BD

AC CD．
下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图 2，过点 C 作 CE∥ DA．交 BA 的延长线于点 E．…
任务：
①请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分．
②填空：如图 3，已知在 Rt△ ABC 中，AB=3，BC=4，∠ ABC=90°，AD 平分
∠ BAC，则 BD 的长是______．
第 33 页
（2）阅读下列材料，完成相关任务.
我们知道，利用尺规作已知线段的垂直平分线可以得到该线段的中点，四
等分点，怎样得到线段的三等分点呢？如图，已知线段 MN，用尺规在 MN 上求
MP 1

作点 P，使 MN 3．
操作探究：
晓彤的作法是：
①作射线 MK（点 K 不在直线 MN 上）；
②在射线 MK 上依次截取线段 MA，AB，使 AB＝2MA，连接 BN；
③以 A 为顶点，MA 为一边，如图，作∠ MAP，使∠ MAP＝∠ MBN，射线
AP 交 MN 于点 P．
∴ 点 P 为求作的点．
晓彤作法的理由是：
∵ ∠ MAP＝∠ MBN，
∴ AP∥ BN（同位角相等，两直线平行）．
MA MP

∴ MB MN （依据）．
∵ AB＝2MA（已知），
MA 1

∴ MB 3 （等量代换）．
MP MA 1

∴ MN MB 3 （等量代换）．
数学思考：晓彤作法理由中所缺的依据是：______；
拓展应用：如图，已知线段 a，b，c，
求作：线段 d，使 a：b＝c：d．（要求：保留作图痕迹，不写作法）
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A等，答案正确、过程正确.
B等，答案正确、过程有问题.
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准
确，过程错误、或无过程.
第 34 页
A等，过程规范，答案正确.
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确.
C等，过程不规范或无过程，答案错误.
A等，解法有新意和独到之处，答案正确.
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误.
解法的创新性
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无
过程.
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC
综合评价等级
综合评价为 B等；其余情况综合评价为 C等.
4.作业分析与设计意图
学习的最高境界是融会贯通、学以致用，发展性作业设计的两道题在题目
类型上看似“殊途”但在解题技巧上却是“同归”----都是以“构造平行线”
再利用平行线分线段成比例的基本事实解决了角平分线分线段成比例定理的证
明和尺规作图法构成成比例线段.从两道题的结论研究发现最终结构都是线段的
比例问题，而能够直接推导出线段比例关系的就是平行线分线段成比例，因此
在数学技能上给予学生最大收获的就是“举一反三”，在以后的数学学习中，
学生再遇到最终就线段成比例的问题，或许可以想到利用“构造平行线”模型
思想解决相关问题，这无疑是对学生的创新意识和实践能力的又一次培养，让
数学的思想与理念在问题情境的推动下不断发展.
作业设计衔接阐释：在学生掌握了成比例线段及其性质、平行线分线段成
比例后，知识铺垫已经完成，相似三角形及其判定自然而然成为了本单元
的教学重点，预备定理、及其相似的三种判定方法让学生体会了研究几何
图形的基本元素：边、角关系.也为后续的多边形相似、位似图形指明了
研究方向.但对于判定定理的知识生成与应用是作业设计的教学难点.
第六课时 22.2（1）相似三角形的判定
----- 相似三角形及平行线截三角形相似
【作业目标】
作业类型 知识能力 数学素养与育人价
值
1.能独立完成具体题例，巩固图形的相似 1.诚信作业，培养
及相似比的认知； 学生先独立思考、
课前作业 2.能独立完成平行线分线段成比例的应 后合作交流的学习
用，充分思考后合作交流，获得该知识的 习惯；
基本活动经验. 2.激发兴趣，引发
基础性作 1.能独立完成，通过观察、计算等方法巩 思考，利用求知欲
固相似三角形及相似比的认知； 培养学生自主预习
业
2.能独立认知典型模型，利用观察、猜 的习惯；
第 35 页
测、推理、计算等方法获取“三角形相似 3.体验数学来源于
的预备定理”的活动经验. 生 活 ， 应 用 于 生
活；
1.通过应用“三角形相似的预备定理”和 4.培养创新意识，
发展性作
“平行线分线段成比例”从不同角度解决 渗透建模思想；
业 问题的过程中，获取两个知识点的联系和 5.增强学习数学的
区别等活动经验. 兴趣，感悟数学的
价值.
重点：巩固相似三角形相关概念与三角形相似的预备定理的三种截法，能运用
预备定理证明三角形相似，进而解决简单问题．
难点：利用“三角形相似的预备定理”构建相似三角形解决生活实际问题，掌
握平行构建相似三角形的方法.
作业 1（课前作业）
1.作业内容
（1）如图，正方形 ABCD与正方形 EFGH 相似吗？为什么？
如果相似，对应边的比是多少？
（2）如图，AD∥EF∥BC，HK∥AB,你能写出
哪些比例线段？
2.时间要求（3 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
A等，独立思考完成.
完成方式 B等，独立思考后合作交流完成.
C等，未独立思考依赖合作交流完成.
A等，题 1 和题 2答案都正确.
B等，题 1 答案正确，题 2答案缺少后 3个比
答题的准确性
例线段.
C等，其余情况.
A等，过程规范，答案正确.
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确.
C等，过程不规范或无过程，答案错误.
解法的创新性 A等，题 2 能写出 9个比例线段.
第 36 页
B等，题 2 能写出后 3个比例线段中任一个.
C 等，题 2 不能写出后 3 个比例线段中任一
个.
AAAA、AAAB 综合评价为 A等；
AABB、 ABBB、 AAAC、 BAAA、 BAAB、 BABB、
综合评价等级
BBBB、BAAC 综合评价为 B等；
其余情况综合评价为 C等.
4.作业分析与设计意图
第（1）题考察相似形的定义与性质，与其死记硬背概念，不如让学生在做
题时领悟定义与性质的真谛，让数学不那么枯燥；同时这种回顾让学生感受到
数学知识的延续性与系统性，为接下来的新课内容提供知识铺垫；第（2）题是
在课本经典图形的基础上增加了条件 HK∥AB，让学生在回顾平行线分线段成比
例这个基本事实的基础上，又巩固了推论“平行于三角形一边的直线截其他两
边（或两边延长线），所得的对应线段成比例”；以直线 AC 上的线段比进行等
量代换，在已有比例线段的基础上，衍生出新的比例线段，给学生提供过渡比
的观察思路；最重要的，这条平行线 HK 也为课堂上探究相似三角形预备定理的
证明埋下思路，为突破难点做准备.学生的聪明一方面取决于智商，一方面取决
于老师的巧妙引导.
作业 2（基础性作业）
1.作业内容
AE
（1）若△ADE∽△ABC，且 =2，则△ADE与△ABC相似比是 ，
AC
△ABC与△ADE的相似比是 .
（2）如图，点 F 在平行四边形 ABCD 的边 AB 上，射线 CF 交 DA 的延长线于
点 E ，在不添加辅助线的情况下，与△AEF 相似的三角形有( ).
A.0 B.1 C.2 D.3
（3）（综合实践）如图，小明想测量学校路旁一棵小树的高度，树 AB在
路灯 O 的照射下形成投影 AC，已知路灯高 PO=5m，树影 AC=3m，树 AB 与路灯 O
的水平距离 AP=4.5m，求树的高度 AB.
2.时间要求（7 分钟）
3.评价设计
第 37 页
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
A等，独立思考完成.
完成方式 B等，独立思考后合作交流完成.
C等，未独立思考依赖合作交流完成.
A等，答案都正确.
答题的准确性 B等，答案错一个.
C等，其余情况.
A等，题 3 过程规范，答案正确.
答题的规范性 B等，题 3 过程不够规范、完整，答案正确.
C等，题 3 过程不规范或无过程，答案错误.
A等，题 3 方法简洁.
解法的创新性 B等，题 3 方法复杂.
C等，题 3 方法错误.
AAAA、AAAB 综合评价为 A等；
AABB、 ABBB、 AAAC、 BAAA、 BAAB、 BABB、
综合评价等级
BBBB、BAAC 综合评价为 B等；
其余情况综合评价为 C等.
4.作业分析与设计意图
第（1）题让学生感受相似比的有序性；第（2）题包含预备定理的三种截
法，通过此题不仅培养学生的识图能力，而且体会相似三角形的传递性，是很
多题目的母题；第（3）题本题考查了相似三角形的判定与应用，解决本题的关
键是从实物图中抽象出几何图形，建立相似关系，利用对应边成比例进而求解，
本题较基础，主要体现生活中相似的应用，感受数学来源于生活，应用于生活．
作业 3（发展性作业）
1.作业内容
⑴（教材例题利用相似设计方案）
【原题再现】沪科版八年级上册 14.2例 2：如图 14-8,在湖泊的岸边有 A,
B两点，难以直接量出 A. B两点问的距离.你能设计一种量出 A, B两点之间距
离的方案吗 说明你这样设计的理由.
【解法再现】如图 14-8，在岸上取可以直接到达 A、B 的一点 C,连接 AC,
延长 AC 到点 A',使 A'C =AC；连接 BC,并延长 BC 到点 B',使 B'C = BC.连接
A'B' ,量出 A'B'的长度,就是 A, B两点间距离.
【问题提出】生活中想找到这样大的空地构建全等三角形显然困难较大，
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如果构建相似三角形是否可行呢？现在给你以下工具：若干标杆、皮尺和测角
仪，你试试能否利用相似三角形的预备定理设计一个可行的测量方案.如果你能
做到，请在图 1上完成作图，并写出要测量哪些数据.
2.时间要求（10分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
A等，独立思考完成.
完成方式 B等，独立思考后合作交流完成.
C等，未独立思考依赖合作交流完成.
A等，方案正确，作图清晰，描述准确.
答题的准确性 B等，方案正确，作图和描述有瑕疵.
C等，方案不正确.
A等，过程规范，答案正确.
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确.
C等，过程不规范或无过程，答案错误.
A等，能设计两种方法及以上正确方案.
解法的创新性 B等，能设计一种方法正确方案.
C等，不会设计方案.
AAAA、AAAB 综合评价为 A等；
AABB、 ABBB、 AAAC、 BAAA、 BAAB、 BABB、
综合评价等级
BBBB、BAAC 综合评价为 B等；
其余情况综合评价为 C等.
4.作业分析与设计意图
本题紧扣作平行线构建相似三角形的思路，引导学生构造“A”或“X”型
图形，通过方案设计，从中归纳平行构建相似三角形的常用方法，让学生思考
多种方法的共同点，就是学会归纳平行线构造“A”或“X”相似模型，达到多
法归一，画龙点睛的目的，学生在学习总结之后的顿悟、升华，远比题海战术
重要.
作业设计衔接阐释：相似三角形改变了三角形的大小，但不改变三角
形的形状（即改变了三角形顶点与顶点的距离大小，不改变角的大小)通常
也称为“保角变换”.基于这种背景下的相似三角形，我们将判定思路首先
放到了“保角”，猜想如果两个三角形的两个角对应相等则这两个三角形
相似，下一步用逻辑推理的方式去证明猜想成立，从而确立了相似三角形
判定的探索之旅.
第七课时 22.2（2）相似三角形的判定
----- 用角的关系判定两个三角形相似
【作业目标】
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作业类型 知识能力 数学素养与育人价
值
1.能独立完成动手实践活动，充分思考后 1.诚信作业，培养课前作业
合作交流，分享活动经验. 学生先独立思考、
后合作交流的学习
基础性作 1.能独立完成，利用观察、猜测、推理等 习惯；
方法获取“相似三角形的判定定理 1”的
业 2.激发兴趣，引发
活动经验. 思考，利用求知欲
培养学生自主预习
的习惯；
3.培养学生及时查
1.能运用“相似三角形的判定定理 1”解 缺补漏，归纳整理
发展性作 决学科内的简单综合问题； 的习惯；
2.初步认知“一线三等角”模型，培养学 4.渗透模型思想和
业
生寻找和应用相似三角形解决实际问题的 方程思想等数学思
能力. 想方法；
5.增强学习数学的
兴趣，感悟数学的
价值.
重点：运用相似三角形的判定定理 1证明三角形相似．
难点：能灵活运用相似三角形的判定定理 1 解决学科内综合问题和“一线三等
角”典型题例，感受模型思想和方程思想在数学中的运用．
作业 1（课前作业）
1.作业内容
（1）如图，三角形纸片 ABC，你能动手折叠一个小△ADE，使其与△ABC相
似吗？试着把折痕画出来.
2.时间要求（2 分钟以内）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
A等，独立思考完成.
完成方式 B等，独立思考后合作交流完成.
C等，未独立思考依赖合作交流完成.
A等，找到正确的 2条.
答题的准确性 B等，找到正确的 1条.
C等，没找到.
A等，正确画出折痕并写出正确条件.
答题的规范性
B 等，正确画出折痕和写出正确条件缺少其
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一.
C等，画图和条件均不规范.
A 等，找到∠ADE=∠C 或∠AED=∠B 的折痕图
和条件完整.
解法的创新性 B 等，找到∠ADE=∠C 或∠AED=∠B 的折痕图
和条件缺 1.
C等，没找到∠ADE=∠C或∠AED=∠B的折痕.
AAAA、AAAB 综合评价为 A等；
AABB、 ABBB、 AAAC、 BAAA、 BAAB、 BABB、
综合评价等级
BBBB、BAAC 综合评价为 B等；
其余情况综合评价为 C等.
4.作业分析与设计意图
课前作业的功能一方面是复旧引新，一方面是为新课的进行启迪思路.本节
课在探索三角形相似时，需要依据“A”型在其中一个三角形中新构造相似三角
形与另一个三角形全等，这对于学生是第一次经历，是本节课的难点，有了课
前作业的折叠，学生构造时会容易些，同时也为一题多解埋下伏笔.
作业 2（基础性作业）
1.作业内容
（1）①如图，点 D在 AB上，当∠_______＝∠_______时，△ACD∽△ABC.
②回顾“课前作业”，你还有其他折叠方法吗？你还能画出多少条折
痕？
（2）如图,若∠BEF=∠CDF,你能找到几组相似三角形？并列举出来.
2.时间要求（7 分钟以内）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
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A等，独立思考完成.
完成方式 B等，独立思考后合作交流完成.
C等，未独立思考依赖合作交流完成.
A等，答案都正确.
答题的准确性 B等，答案错一个.
C等，其余情况.
A等，过程规范，答案正确.
答题的规范性 B等，过程不够

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