资源简介

一、单元信息
学科 年级 学期 教材版本 单元名称
基本信息
数学 八年级 第二学期 沪科版 勾股定理
√ 自然单元 重组单元
单元组织
方式
序号 课时名称 对应教材内容
1 勾股定理（1） 第 18.1（P52—53）
2 勾股定理（2） 第 18.1（P54—55）
3 勾股定理（3） 第 18.1（P56—57）
课时信息
4 勾股定理的逆定理（1） 第 18.2（P58—59）
5 勾股定理的逆定理（2） 第 18.2（P58—59）
6 勾股定理的逆定理（3） 第 18.2（P60—63）
7 单元复习作业 单元复习（P64—68）
二、 单元分析
（一）课标要求
探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。在“知
识技能”方面指出：经历图形的抽象、分类、性质探讨、等过程，掌握图形与几
何的基础知识和基本技能。在“数学思考”方面指出：建立数感发展形象思维与
抽象思维；能独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。在“问题解决”方面
指出：初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单
的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。在“情感态度”方面指出：养成认
真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯，形成实事求是的科学态度。
（二）教材分析
1.知识网络
1
2.内容分析
本章的内容有“勾股定理及其简单应用”、“勾股定理的逆定理”.
本章主要内容有两个部分：勾股定理的发现与证明，运用勾股定理解决简单
的实际问题；利用勾股定理的逆定理判定直角三角形.
本章的第一部分利用学生熟悉的方格网为背景，通过观察、分析、一般化等
思维活动，引导学生得到猜想-勾股定理，再利用面积计算、数形结合的方法证
明勾股定理.教科书利用史实进行了爱国主义教育，培养学生爱国主义情感.教科
书应用勾股定理解决了两个简单的实际问题.
本章的第二部分利用两个情景提出了逆命题（逆定理）的概念，提出了一个
定理的逆命题是否成立的问题；应用实例展现利用勾股定理的逆定理判定三角形
是直角三角形.
（三）学情分析
八年级的学生虽然缺乏七年级学生那种强烈的新奇感，但他们已具备了一定
的动手能力，分析归纳能力，而且勾股定理是在学生已经掌握了直角三角形的有
关性质的基础上学习的，所以只要教师能通过各种教学手段调动学生的学习积极
性，并进行适当的引导，他们能够就勾股定理这一主题展开探索，在探索中理解
并掌握勾股定理。虽然学生知识增多，能力增强，但思维的局限性还很大，能力
也有差距，而勾股定理的逆定理的证明方法学生第一次见到，它要求根据已知条
件构造一个直角三角形，根据学生的智能状况，学生不容易想到，因此勾股定理
的逆定理的证明又是本章的难点。
三、单元学习与作业目标
学习内容 学
经历对问题情景的观察、分析、一般化等思维活动，提出猜想，
B
体验勾股定理的探索过程
了解勾股定理的证明，培养学生良好的思维习惯 A
掌握勾股定理的内容 C
单元学习
利用数学史话介绍，培养学生爱国主义的思想情感 A
目标
会用勾股定理解决简单的实际问题 D
结合具体情境，理解勾股定理逆定理的概念 B
掌握勾股定理逆定理的内容 C
会用勾股定理的逆定理判定直角三角形 D
注：学 A：了解 B:理解 C:掌握 D:综合应用
1．基础知识目标：
1.1 复习与本单元相关的旧知识；
1.2 熟练掌握勾股定理，并会用勾股定理求直角三角形的边；
1.3 会用勾股定理解决简单的实际问题；
单元作业
1.4 会用勾股定理的逆定理判断一个三角形为直角三角形；
目标
1.5 会借助勾股定理的逆定理解决相关的综合性问题.
2．拓展知识目标：
能够利用勾股定理的相关知识解决生活中一些简单的实际问题；搜索与
本章有关的数学家赵爽、毕达哥拉斯等人的相关信息；搜索勾股定理的2其他
证法；探究与勾股定理相关的数学文化问题等.
3．综合能力目标：
3.1 在新课之前通过教师提前布置的前置性作业预习新课内容，培养学生的
自学能力；
3.2 通过教师指导，完成相关讲题任务，提升数学语言表达能力；
3.3 在教师引导下，阅读本单元教材及相关的课外阅读材料，提升数学阅读
能力；
3.4 自主梳理单元学习内容，形成单元思维导图，提升概括总结能力；
3.5 反思自己的学习过程，并做出准确的自我评价，提升自我反思能力.
四、单元作业设计思路
1．课程视角下的作业设计理念.初中数学课程应以学生发展为本，落实立德
树人的根本任务，培育科学精神和创新意识，提升学生的数学学科核心素养.
2．“双减”的要求.近日中央出台相关的文件，要求进一步减轻义务教育阶
段学生的作业负担，教师应提高作业设计质量，鼓励教师布置分层、弹性、个性
化的作业.
具体设计体系如下：
3.新课改下学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。认
真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方
式。
为了人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得
到不同发展；我们主要以小组合作模式为主进行学生作业处理的“三轮”驱动，
第一轮小组合作完成大部分问题，第二轮学生积极探索解决问题，第三轮师生合
作解决问题。在三轮驱动下让学生学会自主学习高效学习，培养学生自主能力。
3
五、课时作业
第一课时（18.1（1）勾股定理）
作业 1（前置性作业）
1. 作业内容
如图，剪 4 个全等的直角三角拼成如图的图形:则正方形的面积表示
为 ；正方形的面积还可表示为 由此你能得到此直角三角形三
边 a、b、c之间存在的等量关系式为 .
D C
b a
A c B
2.时间要求（5分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
4
A 等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答案的准确性
C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，
过程错误或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
B等，过程不够规范、完整，答案正确。
答案的规范性
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
解法的创新型
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A等；ABB、BBB、ACC 综合
综合评价等级
评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
通过拼图活动，直观初步感知勾股定理。体现数学思维的严谨性，发展形象
思维。
作业 2（基础性作业）
1. 作业内容
（1）在 Rt△ABC 中， C 90 ，
①如果 a=3，b=4，则 c=________；
②如果 a=6，b=8，则 c=________；
③如果 a=5，b=12，则 c=________；
④如果 a=15，b=20，则 c=________.
（2）已知等腰三角形腰长是 10，底边长是 16，求这个等腰三角形的面积。
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答案的准确性
C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，
过程错误或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
B等，过程不够规范、完整，答案正确。
答案的规范性
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
解法的创新型
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A等；ABB、BBB、ACC 综合
综合评价等级
评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
第（1）题的四个小题，通过具体的三角形边长加强巩固学生对勾股定理： 2 +
5
2 = 2的应用与理解，并且了解常用的直角三角形。第（2）题，在应用勾股定
1
理的同时，使得学生在此对三角形面积公式： △ = 进行应用，把两个
2
知识点连接在一起，增强学生对数学知识的综合应用能力。
作业 3（发展性作业）
1.作业内容
（1）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，
①若 a=5，b=12，则 c=___________；②若 a=15，c=25，则 b=___________；
③若 c=61，b=60，则 a=__________；④若 a∶b=3∶4，c=10 则 SRt△ABC=________。
（2）一直角三角形的一直角边长为 6，斜边长比另一直角边长大 2，则斜边的长
为 。
（3）一个直角三角形的两边长分别为 3cm 和 4cm,则第三边的为 。
（4）已知，如图在△ABC 中，AB=BC=CA=2cm，AD 是边 BC 上的高．
求 ①AD 的长；②△ABC 的面积．
2.时间要求（15 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答案的准确性
C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，
过程错误或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
B等，过程不够规范、完整，答案正确。
答案的规范性
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
解法的创新型
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A等；ABB、BBB、ACC 综合
综合评价等级
评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
第（1）题的四个小题，①②③小题在加强巩固学生对勾股定理： 2 + 2 = 2
的应用与理解的同时，知道不仅可以通过 a、b求出 c，也可以通过 a、c求出 b,
为下一节内容打下基础。第④小题，把比例关系引入到三角形中，在考察勾股定
理同时，考察的三角形的面积公式。第（2）题考察学生审题的仔细性，题目给
出的是一个直角边和斜边的二倍关系，而已知条件却给出另外一个直角边边长，
6
学生可以通过列方程并且寻找到勾股定理这个等量关系求出斜边长。第（3）题
考察学生的分类讨论能力，因为题目中没有给出 3、4 是直角边还是斜边，很明
显 3是直角边，但是 4是直角边还是斜边就需要分成两种情况谈论，学生会容易
忽略 4是斜边的情况，直接默认 4是直角边，因此要加强学生对题目的理解能力。
第（4）题第一问首先考察学生等边三角形的性质，等边三角形三边相等，且任
何一边上的高和中线重合，所以 BD=1，然后利用勾股定理求出 AD。而第二问只
要借助第一问的结论，在应用三角形面积公式即可求出。本题考察的学生对数学
知识的贯通和综合应用。
第二课时（18.1（2）勾股定理）
作业 1（前置性作业）
1.作业内容
（1）直角三角形性质有：如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何
语言表示）
三边之间的关系：
（2）已知在 Rt△ABC 中，∠C=90°，a、b、c是△ABC 的三边，则
c= a= b=
2.时间要求（3分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答案的准确性
C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，
过程错误或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
B等，过程不够规范、完整，答案正确。
答案的规范性
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
解法的创新型
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A等；ABB、BBB、ACC 综合
综合评价等级
评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
对上节所学知识的回忆，加强巩固知识点。同时对勾股定理了解加深，知道
不仅可以求出 c也可以求 a或者是 b，对勾股定理进行领过应用。
作业 2（基础性作业）
1.作业内容
（1）在 Rt△ABC 中，∠C=90°
已知 a=b=5,求 c；
已知 a=1,c=2, 求 b；
已知 c=17,b=8, 求 a；
（2）下列说法正确的是（ ）
7
2 2 2
A.若 a、b、c 是△ABC 的三边，则 a＋b＝c；
2 2 2
B.若 a、b、c 是 Rt△ABC 的三边，则 a＋b＝c；
2 2 2
C.若 a、b、c 是 Rt△ABC 的三边， A 90 ，则 a＋b＝c；
2 2 2
D.若 a、b、c 是 Rt△ABC 的三边， C 90 ，则 a＋b＝c．
（3）Rt△ABC 的三条边长分别是a 、b 、c，则下列各式成立的是（ ）
A．a b c B. a b c C. a b c D. a 2 b 2 c 2
（4）长方形的一边长为3cm，面积为12cm 2 ，那么它的一条对角线长是
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答案的准确性
C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，
过程错误或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
B等，过程不够规范、完整，答案正确。
答案的规范性
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
解法的创新型
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A等；ABB、BBB、ACC 综合
综合评价等级
评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
第（1）题考察对勾股定理的灵活应用，知道三角形的两边可以求出第三边，
不仅可以求斜边还可以求直角边。第（2）题主要是看学生对题目的审题能力和
对勾股定理的深刻理解，关键条件不能忽略，比如 A、B两个选项都没有说明三
边中谁为斜边，而 C选项因为 A 90 所以 a为直角边。所以 D选项正确。
第（3）题与第二题相似但同时考察了三角形两边之和大于第三边，两边之差小
于第三边。第（4）题把长方形和勾股定理相结合，使学生了解有的图形中也会
出现直角三角形可以应用勾股定理。
作业 3（发展性作业）
1.作业内容
（1）如图，要修建一个育苗棚，棚高 h=3m，棚宽 a=4m，
棚的长为 12m，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多
少平方米塑料薄膜？
（2）、一个高 1.5 米、宽 0.8 米的长方形门框，需要在其
相 对 的 顶 点 间 用 一 条 木 条 加 固 ， 则 需 木 条 长
为 。
8
（3）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不
得超过70 km/h.如图，，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好
行驶到路对面车速检测仪正前方30m 处，过了 2s 后，测得小汽车与车速检测仪
间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答案的准确性
C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，
过程错误或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
B等，过程不够规范、完整，答案正确。
答案的规范性
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
解法的创新型
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A等；ABB、BBB、ACC 综合
综合评价等级
评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
此次联系三题都是应用题，因为应用题考察学生能力较多，所以该类型题目
为学生薄弱点，应加强练习。第一题第二题主要考察勾股定理的应用，只要学生
能理解出第一题薄膜是图形上方的长方形面积，通过勾股定理求出长方形的宽，
再求面积即可。第二题需要学生理解对应定连线就是长方形对角线就可以求出来。
这两题都较重的考察了学生对于长方形的认识。第三题把数学与实际相结合，体
现数学的实用性。但是本道题学生易出错点有两个第一就是题目中单位不一致，
会有部分学生忽略此问题。第二个就是 2s 后，测得小汽车与车速检测仪间距离
为50m，此 50m 应是 AB 之间的距离。本题通过勾股定理求出 BC 长度除以 2就为
汽车每秒速度再与标准比较就可得出是否超速。
第三课时（18.1（3）勾股定理的应用）
作业 1（前置性作业）
1.作业内容
（1）直角三角形三边 a、b、c（斜边）之间存在的等量关系式为
（2）右图阴影部分是一个正方形，则此正方
形的面积为 。
9
2.时间要求（3分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答案的准确性
C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，
过程错误或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
B等，过程不够规范、完整，答案正确。
答案的规范性
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
解法的创新型
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A等；ABB、BBB、ACC 综合
综合评价等级
评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
首先回顾勾股定理的公式，然后通过实际应用加深理解与记忆。
作业 2（基础性作业）
1.作业内容
（1）在 RT△ABC 中，∠C=90°,a、b 为两直角边，c为斜边；
勾股定理的具体内容是： B 。
.两锐角之间的关系： ；
若 D为斜边中点，则斜边中线 ；
若∠B=30°，则∠B的对边和斜边： ；
A
⑤三边之间的关系： 。 C
2.△ABC 中，AB=AC=25cm，高 AD=20cm,则 BC= ，S△ABC= 。
3.一个三角形的三边的长分别是 3，4，5，则这个三角形最长边上的高是（ ）
A、4 B、10/3 C、5/2 D、12/5
4.直角三角形中，斜边长为 5cm，周长为 12cm，则它的面积为（ ）
2 2 2 2
A、12cm B、6cm C、8cm D、9cm
5.小明的妈妈买了一台 29（74 厘米）的电视机，小明量了电视机的荧屏后，发
现荧屏只有 58 厘米长和 46 厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你同意他的想
法吗？你能解释这是为什么吗？
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
10
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答案的准确性
C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，
过程错误或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
B等，过程不够规范、完整，答案正确。
答案的规范性
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
解法的创新型
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A等；ABB、BBB、ACC 综合
综合评价等级
评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
第（1）（2）题主要考察有关三角形的知识，使得学生加深记忆。为题目中
对三角形知识的综合运用做准备。第（3）学生审题应注意，题目所求是最长边
上的高，由题目可知此三角形为直角三角形，最长边为斜边，通过等面积法求出
斜边上的高。第（4）把三角形周长与勾股定理和面积公式相结合，通过周长和
斜边知道另外两边之和为 7，再通过勾股定理列方程求出两个直角边。三角形面
积公式即为两直角边积的二分之一。第（5）题是把实际与数学相结合，通过勾
股定理求解答案，让学生知道数学来源于生活，也可应用于生活。
作业 3（发展性作业）
1.作业内容
（1）等腰三角形 ABC 中，AB=AC=13cm,BC=10cm,求三角形 ABC 的面
积和 AC 边上的高。

（2）如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连
接 M,O,Q 三城市的沿江高速的建设成本是 100 万元∕千米，该沿江高速的造价是
M
多少？
30千米
O
N 40千米
50千米
P 120千米 Q
（3）有一块直角三角形纸片，两直角边 AC=6 ㎝，BC=8 ㎝，现将 ABC 沿直线 AD
A
折叠，使 AC 落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，求 CD 的长
E
11
C D B
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答案的准确性
C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，
过程错误或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
B等，过程不够规范、完整，答案正确。
答案的规范性
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
解法的创新型
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A等；ABB、BBB、ACC 综合
综合评价等级
评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
本次习题三题都为综合体，考察学生的综合能力。第（1）题把等腰三角形
和三角形面积公式以及高相结合，借助勾股定理就可求出。但是前提是学生对等
腰三角形知识点了解，例如等腰三角形中底的中线与高重合。第（2）题为实际
应用，学生应注意 MQ 并不是一条直线，所以求 MQ 得长度就是求解 MO、OQ 的和，
所以两次应用勾股定理，在直角三角形 MON 和直角三角形 OPQ 中求实 MO、OQ 的
长度，再求和即可。第（3）题考察的为折叠问题，学生应发现折叠后一些长度
和角的度数的恒等性，例如∠C和∠AED 相等，CD=DE，AC=AE，从而通过勾股定
理解出此题。
第四课时（18.2（1）勾股定理的逆定理）
作业 1（前置性作业）
1.作业内容
（1）．已知直角三角形的两直角边分别为 a，b，斜边为 c。
①当 a＝3，b＝4时，c＝ ；
②当 a＝6，b＝8时，c＝ ；
③当 a＝5，b＝12 时，c＝ 。
（2）．直角三角形中最大的边是 边，最大的角等于 角。
（3）．勾股定理的题设是 ，结论
是 ；
若把它的题设和结论反过来叙述，应该说成：
2.时间要求（5分钟）
3.评价设计
12
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答案的准确性
C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，
过程错误或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
B等，过程不够规范、完整，答案正确。
答案的规范性
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
解法的创新型
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A等；ABB、BBB、ACC 综合
综合评价等级
评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
作业（1）复习勾股定理简单应用。（2）探究直角三角形的内部元素，边和
角。（3）继续探究勾股定理的内在结构，题设和结论，从而引出勾股定理逆定理。
作业 2（基础性作业）
1.作业内容
（1） 在下列长度的各组线段中,能组成直角三角形的是( )
A. 3,4,6 B. 2,3,4
C. 5,10,12 D. 5,12,13
2 2 2
（2）在△ABC 中,若 AB +BC =AC ,则
∠A+∠C=
（3）．将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是( )．
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．不是直角三角形
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答案的准确性
C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，
过程错误或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
B等，过程不够规范、完整，答案正确。
答案的规范性
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
13
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
解法的创新型
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A等；ABB、BBB、ACC 综合
综合评价等级
评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
作业（1）学生能根据勾股定理逆定理判断出能构成直角三角形的三边，其
实对于选项中有熟悉的我们可以直接选，如果没有熟悉的，我们先找最大边，然
后按逆定理应用的过程去证明。（2）灵活应用最大角不是固定的，根据最大边来
判断。（3）透过数据的现象去抓能构成直角三角形的本质，从而加深对逆定理的
理解。
作业 3（发展性作业）
1.作业内容
（1） 如图，分别以三角形三边为直径向外作 3 个半圆，如果较小的两个
半圆的面积之和等于较大半圆的面积，则这个三角形为( )．
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．锐角或钝角三角形
（2）判断由线段 a b c 组成的三角形形状，并说明理由
a=6 b=8 c=10
（3）一块木板如图所示，已知 AB＝4，BC＝3，DC＝12，AD＝13，∠B＝90°，
求此木板的面积．
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
14
A 等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答案的准确性
C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，
过程错误或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
B等，过程不够规范、完整，答案正确。
答案的规范性
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
解法的创新型
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A等；ABB、BBB、ACC 综合
综合评价等级
评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
作业（1）是对逆定理的灵活运用，使学生加深对逆定理的理解。（2）是为
了强化对逆定理的简单应用的具体步骤，从而强化学生的逻辑意识，不能想当然。
（3）是对定理及逆定理的综合运用，这里面学生容易默认是直角三角形，从而
出现逻辑漏洞。通过本题，检验学生对逆定理的掌握应用情况。
第五课时（18.2（2）勾股定理的逆定理）
作业 1（前置性作业）
1.作业内容
（1）分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3，4，5；（2）5，12，13
（3）8，15，17；（4）4，5，6.其中能构成直角三角形的有（ ）
A.4 组 B.3 组 C.2 组 D.1 组
（2）下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是( )
2 2 2
A．1，2，3 B．3 ，4 ，5
C. 1， 2， 3 D. 3， 4， 5
2 2
（3）若三角形的三边长分别为 a,b,c,且满足关系式(a+b) =c +2ab,则此三角形
为 ( )
A.等边三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.锐角三角形
2.时间要求（5分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答案的准确性
C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，
过程错误或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
B等，过程不够规范、完整，答案正确。
答案的规范性
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
15
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
解法的创新型
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A等；ABB、BBB、ACC 综合
综合评价等级
评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
作业（1）（2）（3）分别从整数、无理数及字母三种外在形式来考察学生对
勾股定理逆定理的理解及掌握情况。培养学生透过现象，去抓考点的意识。从而
学会站在一定的高度上来审视题目。
作业 2（基础性作业）
1.作业内容
（1）△ABC 的三边分别为下列各组值，其中不是直角三角形三边的是( )．
A．a＝41，b＝40，c＝9
B．a＝1.2，b＝0.9，c＝1.5
1 1
C． a＝ ，b＝ ， c 1＝
2 3 4
a 3 b 4D． ＝ ， ＝ ，c＝1
5 5
（2）王师傅手中拿着一根长为 12 cm 的木条，则该木条不能与下列所给木
条组成直角三角形的是( )．[来源 om]
A．5 cm 和 13 cm B．9 cm 和 15 cm
C．16 cm 和 20 cm D．9 cm 和 13 cm
（3）已知三角形的三边长为 a，b，c 2 2，如果(a－5) ＋|b－12|＋c －26c＋
169＝0，则△ABC 是( )．
A．以 a为斜边的直角三角形
B．以 b为斜边的直角三角形
C．以 c为斜边的直角三角形
D．不是直角三角形
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答案的准确性
C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，
过程错误或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
B等，过程不够规范、完整，答案正确。
答案的规范性
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
16
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
解法的创新型
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A等；ABB、BBB、ACC 综合
综合评价等级
评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
作业（1）（2）（3）考察学生对勾股定理逆定理的理解程度。其中第（3）综
合考察了学生对平方及绝对值的非负性及会用公式法对多项式进行因式分解。让
学生体会数学知识不是孤立的，而是普遍具有联系性的。从而培养学生对事物具
有普遍联系性的思想认识。
作业 3（发展性作业）
1.作业内容
2 2 2
（1）在△ABC 中，若 a =b －c ，则△ABC 是 三角形， 是直角；若
2 2 2
a 2
（2） 已知：在△ABC 中，∠A∠B∠C的对边分别是 a b c，a=n －1，b=2n，
2
c=n ＋1（n＞1）求证：∠C=90°。
（3）探险队的 A组由驻地出发，以 12 千米/时的速度前进，同时 B组也由
驻地出发，以 9千米/时的速度向另一个方向行驶，2小时后同时停下来，这时 A，
B两组相距 30 千米，那么 A，B两组行驶的方向成直角吗？说明理由．
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答案的准确性
C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，
过程错误或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
B等，过程不够规范、完整，答案正确。
答案的规范性
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
解法的创新型
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A等；ABB、BBB、ACC 综合
综合评价等级
评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
作业（1）考察学生对勾股定理逆定理的拓展。（2）考察学生对逆定理证明
的逻辑思路的理解程度。（3）本题没有图，考察学生的动手能力及对勾股定理逆
定理的应用能力。
第六课时（18.2（3）勾股定理的逆定理）
作业 1（前置性作业）
17
1.作业内容
（1）已知 a、b、c是三角形三边长，且 c＝5，a、b满足关系式 a 4 (b 3)2 0，
则△ABC 的形状是 三角形.
（2） 如图，正方形网格中的△ABC，若小方格的边长都为 1，则△ABC 是 三
角形.
2
（3）三角形一边长为 10，另两边长是方程 x－14x＋48＝0 的两根，则这是一个
___________三角形，面积为____________．
2.时间要求（5分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答案的准确性
C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，
过程错误或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
B等，过程不够规范、完整，答案正确。
答案的规范性
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
解法的创新型
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A等；ABB、BBB、ACC 综合
综合评价等级
评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
作业（1）结合算术平方根与平方的非负性与勾股定理逆定理相结合，考察
学生的综合运用能力。（2）放在网格纸背景下也是勾股定理及逆定理这一块常见
的题型，在网格之中计算各边之长，然后通过逆定理来判断。（3）与解一元二次
方程及三角形面积相综合考察逆定理的应用。
作业 2（基础性作业）
1.作业内容
2
（1）△ABC 的三边为 a，b，c，且(a＋b)(a－b)＝c ，则( )
A．a 边的对角是直角 B．b边的对角是直角
C．c边的对角是直角 D．△ABC 是斜三角形
(2) 已知两条线段的长分别为 15 和 8，当第三条线段取整数______时，这
三条线段能围成一个直角三角形.
18
(3）若一个三角形的三边之比为 5：12：13，且周长为 60cm，则它的面积为
2
________cm .
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答案的准确性
C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，
过程错误或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
B等，过程不够规范、完整，答案正确。
答案的规范性
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
解法的创新型
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A等；ABB、BBB、ACC 综合
综合评价等级
评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
作业（1）考察逆定理中大边对大角的理解。（2）考察逆定理中的分类讨论和
取特殊解的情况。（3）对于逆定理结合比例和面积综合运用。考察学生的综合运
用能力。
作业 3（发展性作业）
1.作业内容
2
（1）如图，每个小正方形边长为 1，A、B、C是小正方形的顶点，则 AB ＝ .，
∠ABC .
（2）如图 4,在△ABC 中,AB=17 cm,BC=16 cm,BC 边上的中线 AD=15 cm,△ABC 是
等腰三角形吗 为什么
（3）已知△ABC 的三边为 a、b、c，且 a+b=4，ab=1，c= 14 ，试判定△ABC 的形
状．并证明。
2.时间要求（10 分钟）
19
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答案的准确性
C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，
过程错误或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
B等，过程不够规范、完整，答案正确。
答案的规范性
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
解法的创新型
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A等；ABB、BBB、ACC 综合
综合评价等级
评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
作业（1）对逆定理的拓展应用.作业（2）是对勾股定理及逆定理的综合应
用，同时考察了等腰三角形的判定。（3）对逆定理的变形应用，考察学生对逆定
理理解的深度。
第七课时(第十八章勾股定理单元复习题)
作业 1（复习作业）
1.作业内容
（1）用思维导图的方式回顾本章学习内容，构建知识网络，形成学科体系.
（2）撰写本章的学习心得（可以是学习本章内容遇到的一些困惑或是学习
体会.
2.时间要求（5分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
答案的准确性
B等，答案正确、过程有问题。
C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，过程
错误或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答案的规范性
B等，过程不够规范、完整，答案正确。
20
C 等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新型
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A等；ABB、BBB、ACC 综合评价
综合评价等级
为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题，学生通过思维导图的方式回顾本章学习内容，能够构建知
识网络，形成学科体系，培养学生的归纳总结能力，形成缜密的逻辑思维。
作业第（2）题，让学生养成良好的学习习惯，善于总结善于反思，查漏补
缺，有利于拓展和提升学生的学习素养。
作业 2（基础性作业）
1、作业内容
（1）以下各组数能作为直角三角形三边长的是（ ）
A.2，5，6 B.5，8，10 C.4，11，12 D.5，12，13
（2）如图，在水塔 O的东北方向 5m 处有一抽水站 A，在水塔的东南方 12m
处有一建筑工地 B，在 AB 间建一条直水管，则水管的长为（ ）
A．10m B．13m C．14m D．8m
（3） 已知△ABC 中，AB＝17，AC＝10，BC 边上的高 AH＝8，则 BC 的长
是（ ）
A．21 B．15 C．6 D．21 或 9
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
答案的准确性
B等，答案正确、过程有问题。
C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，过程
错误或无过程。
21
A 等，过程规范，答案正确。
答案的规范性
B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新型
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A等；ABB、BBB、ACC 综合评价
综合评价等级
为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第
三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角
三角形．本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真
分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的
平方之间的关系，进而作出判断．第（2）题，考察勾股定理的运用，由题意可
知东北方向和东南方向间刚好是一直角，利用勾股定理解图中直角三角形即
可．正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．第（3）
题，考查的是勾股定理，在解答此题时要进行分类讨论，不要漏解．高线 AH 可
能在三角形的内部也可能在三角形的外部，本题应分两种情况进行讨论．分别依
据勾股定理即可求解．在解题过程中渗透分类讨论的数学思想，培养学生逻辑的
缜密性。
作业 3（发展性作业）
1.作业内容
（1）如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ACD＝∠B．
①求证：CD⊥AB；
②如果 AC＝8，BC＝6，求 CD 的长．
（2）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形 ABCD），经测量，
在四边形 ABCD 中，AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，DA＝13m，∠B＝90°．
①△ACD 是直角三角形吗？为什么？
②小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米 80 元，试问铺满这块空地共
需花费多少元？
22
（3）如图①的正方形是由 4个全等的直角三角形拼成的，将这 4个直角三角形
重新摆放，如图②．你能利用这两个图形得到勾股定理吗？
你还能想到其他方法证明勾股定理吗？（可以借助课本、网络了解其他证明勾股
定理的方法，自己尝试证明）
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
答案的准确性
B等，答案正确、过程有问题。
C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，过程
错误或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答案的规范性
B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新型
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A等；ABB、BBB、ACC 综合评价
综合评价等级
为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题考察勾股定理，第①小题，根据∠ACB＝90°，得出∠A+∠B
23
＝90°，根据∠ACD＝∠B，得出∠A+∠ACD＝90°，再根据两锐角互余的三角形
是直角三角形即可得出答案．第②小题根据勾股定理求得 AB 的长度，然后利用
等面积法求得 CD 的长度．通过练习，强化基础，拓展延伸.在练习中体会数形结
合的方便之处.第（2）题，考查勾股定理、勾股定理的逆定理的应用、三角形的
面积公式．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股
定理的逆定理加以判断即可．第①小题，先在 Rt△ABC 中，利用勾股定理可求
AC，在△ACD 中，易求 AC2+CD2＝AD2，再利用勾股定理的逆定理可知△ACD 是直
角三角形，且∠ACD＝90°；第②小题，分别利用三角形的面积公式求出△ABC、
△ACD 的面积，两者相加即是四边形 ABCD 的面积，再乘以 80，即可求总花费．第
（3）题将勾股定理与生活情境结合起来，提高学生学习兴趣，做到理论联系实
际.了解更多勾股定理的证明方法，发散思维.
六、单元质量检测作业
（一）单元质量检测作业内容
一、选择题（单项选择）
1.我国数学家华罗庚曾建议，用一副反应勾股定理的数形关系图来作为和外星人
交谈的语言，就勾股定理本身而言，它揭示了直角三角形的三边之间的关系，它
体现的数学思想方法是( )
A.分类思想 B.方程思想 C.转化思想 D.数形结合
2. 在三边分别为下列长度的三角形中，哪个不是直角三角形（ ）
A. ， ， B. ， ，
C. ， ， D. ， ，
3. 如果梯子的底端离建筑物 18m，那么长 30m 的梯子可以到达的建筑物的高度
是（ ）
A.30m B.26m C.28m D.24m
4.如图所示，一根树在离地面 9米处断裂，树的顶部落在离底部 12 米处．树折
断之前（ ）米．
A．15 B．20 C．3 D．24
5.在 Rt△ABC 中，∠ °， cm， cm，则其斜边上的高为
（ ）
60 30
A.6cm B. 8.5 cm C. cm D. cm13 13
二、填空题
6.如图为某楼梯，测得楼梯的长为 5米，高 3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯
的长度至少需要__________米．
24
7.已知直角三角形两边的长为 9和 12，则此三角形的周长为________.
8.观察右面几组勾股数，①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；
并寻找规律，请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：________，第 组勾股数是
________．
三、解答题
9.如图，在 的网格中，每个小正方形的边长都是 1，四边形 ABCD 的顶点都
在格点上（格点：小正方形的顶点）．
求四边形 ABCD 的边 AB 的长；
连接 BD，试判断△BCD 的形状．
11.在△ABC 中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC 的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完
成解答过程．
12.一架梯子的长度为 2.5 米，如图斜靠在墙上，梯子底端离墙底端为 0.7米
（1）这个梯子顶端离地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了 0.4 米，那么梯子的底部在水平方向滑动了几米？
25
13.阅读下面的材料:
勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，下面是教材中介绍的一种拼图证明勾
股定理的方法．先做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为 a，b，
斜边为 c，然后按图 1的方法将它们摆成正方形．
由图 1可以得到________________
整理，得 ．所以 ．
如果把图 1中的四个全等的直角三角形摆成图 2所示的正方形，请你参照上述方
法证明勾股定理．
（二） 单元质量检测作业属性表
序号 类型 对应单元 对应学 难度 来源 完成时
作业目标 了解 理解 应用 间
1 选择题 2 √ 易 选编
2 选择题 1.4 √ 易 改编
3 选择题 1.3 √ 易 原创
4 选择题 1.3 √ 中 选编
5 选择题 1.2 √ 中 选编
6 填空题 1.3 √ 易 选编
7 填空题 1.1 1.2 √ 中 改编
8 填空题 2 √ 中 选编
9 解答题 1.5 √ 易 选编 30 分钟
10 解答题 1.5 √ 易 改编
26
11 解答题 2 √ 较难 选编
12 解答题 2 √ 较难 选编
13 选做题 3.3 √ 较难 选编
27