资源简介

沪科版数学八年级下册
第 18 章《勾股定理》
作
业
设
计
目录
一、单元信息......................................1
二、单元分析......................................1
（一）课标要求....................................1
（二）教材分析....................................2
（三）学情分析....................................3
三、单元学习与作业目标............................4
（一）单元学习目标................................4
（二）单元作业目标................................4
四、单元作业整体设计思路..........................4
五、作业设计......................................6
（1）18.1 勾股定理（1）课时作业及评价分析..........6
（2）18.2 勾股定理（2）课时作业及评价分析.........18
（3）18.2 勾股定理的逆定理（1）课时作业及评价分析.35
（4）18.2 勾股定理的逆定理（2）课时作业及评价分析.53
（5）勾股定理复习课时作业及评价分析..............69
（6）单元检测作业及评价分析......................85
一、单元信息
基本信息 学科 年级 学期 教材版本 单元名称
数学 八年级 第二学期 沪科版 勾股定理
单元组织方 自然单元 重组单元
式
序号 课时名称 对应教材内容
1 勾股定理（1） 第 18.1（P52-54)
2 勾股定理（2） 第 18.1（P54-56)
课时信息 3 勾股定理的逆定理（1) 第 18.2（P58-58）
4 勾股定理的逆定理（2) 第 18.2（P58-59）
5 勾股定理复习 第 18 章（P52-68）
二、单元分析
（一）课标要求（2022 版）
勾股定理是几何中几个重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三边的数
量关系。它在数学的发展中起过重要的作用，在现时世界中也有着广泛的作用。
学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认
识和理解。
在 2022 版数学课程标准中对勾股定理的要求是：探索勾股定理及其逆定理，
并能运用它们解决一些简单的实际问题。
内容要求部分，在“图形的性质”中强调通过实验探究、直观发现、推理
论证来研究图形，在用几何直观理解几何基本事实的基础上，从基本事实出发
推导图形的几何性质和定理；在这一部分还涉及到：理解直角三角形的概念，
探索并掌握直角三角形的性质定理；直角三角形的两个锐角互余，直角三角形
斜边上的中线等于斜边的一 半；掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。在
“图形的变化”中要求能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一
些简单的实际问题。在“图形与坐标”中强调数形结合，用代数方法研究图形，
在平面直角坐标系中用坐标表示图形上点的位置，用坐标法分析和解决实际问
题。
学业要求部分，在“图形的性质”中要求：在直观理解和掌握图形与几何
基本事实的基础 上，经历得到和验证数学结论的过程，感悟具有传递性的数学
逻辑, 形成几何直观和推理能力；在“图形的变化”中要求：理解几何图形的
对称性，感悟现实世界中的对称美，知道可以用 数学的语言表达对称；知道直
1
角三角形的边角关系，理解锐角三角函 数，能用锐角三角函数解决简单的实际
问题；在“图形与坐标”中要求：感悟通过几何建立直观、通 过代数得到数学
表达的过程。在这样的过程中，感悟数形结合的思想，会用数形结合的方法分
析和解决问题。
教学提示部分，在“图形的性质”中提到： 要通过生活中的或者数学中的
现实情境，引导学生感悟基本事实的意 义，经历几何命题发现和证明的过程，
感悟归纳推理过程和演绎推理 过程的传递性，增强推理能力，会用数学的思维
思考现实世界；在“图形的变化”中提到：引导学生发现自然界中的对称之美，
感悟图形有规律变化 产生的美，会用几何知识表达物体简单的运动规律，增强
对数学学习 的兴趣。在“图形与坐标”中提到：要强调数形结合，引导学生经
历用坐标表达图形的轴对称、旋 转、平移变化的过程，体会用代数方法表达图
形变化的意义，发展几 何直观；引导学生经历借助平面直角坐标系解决现实问
题的过程，感 悟数形结合的意义，发展推理能力和运算能力，增强应用意识和
创新 意识。
（二）教材分析
1、知识网络
2、内容分析
直角三角形是一种特殊的三角形，勾股定理反映的是直角三角形三边的关
系它是平面几何中的一个重要定理。本章主要内容有两个部分:勾股定理的发现
与证明，运用勾股定理解决简单的实际问题；勾股定理的逆定理，利用勾股定
理的逆定理判定直角三角形。
在本章之前学生已学习了直角三角形的概念，掌握了直角三角形的部分性
质和一个三角形是直角三角形的条件。在此基础上，本章学习的主要内容是关
2
于直角三角形的勾股定理、勾股定理的逆定理及其应用。本章的第一部分利用
学生熟悉的方格网为背景通过观察、分析、一般化等思维活动，引导学生得到
猜想——勾股定理，再利用面积计算、数形结合的方法证明勾股定理。教科书
利用史实进行了爱国主义教育，培养学生爱国主义情感。课本应用勾股定理解
决了两个简单的实际问题。本章的第二部分利用两个情景提出了逆命题(逆定理)
的概念，提出了一个定理的逆命题是否成立的问题;应用实例展现利用勾股定理
的逆定理判定三角形是直角三角形。
勾股定理反映了一个直角三角形三边之间的数量关系，也是直角三角形的
一条重要性质，勾股定理的发现过程体现了一般化的数学思想。勾股定理及其
逆定理，把直角三角形中形的特征转化为三边的数量关系，实现了形与数的密
切联系，一般化、形与数的密切联系在数学理论上均有重要地位。勾股定理的
证明方法很多，课本是利用面积法给出证明的。学生学习勾股定理的面积证法
有一定的困难，其原因主要是：在此之前，学生没有见过用面积法证明的示例。
学生感到陌生；学生不会利用面积关系列等式。目前不要求学生掌握勾股定理
的逆定理的构造性证明。本章的教学重点是勾股定理、勾股定理的逆定理的内
容及其应用；教学难点是勾股定理的发现过程中所体现的数学思想。
课本选取学生熟悉的方格纸为背景，关注勾股定理的发现过程，帮助学生
克服机械记忆公式的学习方式。教学内容采用“问题情景一探究猜想一解祥、
应用与拓展”的形式展开，让学生通过观察、实验、猜想、验证、推理与交流
等数学活动，经历知识的形成与应用的过程，目的是使学生更好地理解数学知
识的意义，掌握必要的基础知识和技能，形成有效的学习策略，发展应用数学
知识的意识与能力，增强学好数学的信心。课本在数学园地中，设置了具有挑
战性的数学问题，激发学生进行思考．引导学生进行主动探索．给学生提供探
索与交流的空间，以发展学生创新意识与实践能力。课本将图形与启发性问题
相结合，计算与证明相结合，数与形相结合，充分发挥图形的直观作用，以加
深学生对所学内容的理解。
（三）学情分析
勾股定理的探究是从特殊的等腰直角三角形出发，到网格中的直角三角形。
再到一般的直角三角形，体现了从特殊到一般的探索、发现和证明的过程。证
明勾股定理的关键是利用割补法求出斜边伟边长的正方形的面积，教学中要注
意引导学生通过探索去发现图形的性质，提出一般的猜想，并获得定理的证明。
勾股定理是反映直角三角形三边关系的一个特殊的结论。在正方形网格中比较
容易发现以等腰直角三角形三边为边长的正方形的面积关系，进而得出三边之
间的关系，但是从等腰直角三角形过渡到网格中的一般直角三角形，提出合理
的猜想，学生有较大的困难。因此，在教学中需要先引导学生观察网格背景下
的正方形的面积关系，然后思考没有网格背景下的正方形的面积关系，再将这
种关系表示成边长之间的关系，这有利于学生自然合理地发现和证明勾股定理。
另外学生已经具备一定的观察、归纳、猜想和推理的能力。习得了一定的几何
知识，同时他们也学习了一些几何图形的面积计算方法（包括割补、拼接），
但运用面积法和割补思想来解决问题的意识和能力还不够。同时同学们对于算
术平方根有了一定了解，这对求三角形的边长有一定作用。
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三、单元学习与作业目标
（一）单元学习目标
1.经历对问题情景的观察、分析、一般化等思维活动,提出猜想,体验勾股
定理的探索过程，丰富学生从事数学活动的经验和体验，进一步培养学生的合
情推理能力；
2.了解勾股定理的证明,培养学生良好的思维习惯;利用数学史话介绍,培养
学生爱国主义的思想情感；
3.会运用勾股定理解决简单的实际问题，进一步培养和发展学生的逻辑思
维能力和推理论证的表达能力；
4.结合具体情景,了解逆命题(逆定理)的概念;理解勾股定理的逆定理,会用
勾股定理的逆定理判定直角三角形.
（二）单元作业目标
1.通过基础题的设计与训练，使学生能够初步掌握勾股定理及其逆定理，
并会进行简单的计算和实际运用，会用勾股定理的逆定理判定直角三角形；
2.通过能力题的设计与训练，让学生初步学会用代数计算解决几何问题的
一种方法，体会数形结合的思想；
3.通过素养题的设计与训练，旨在以题目为媒介，让学生在分析与思考中，
培养学生的观察能力、应用能力及发展思维能力；
4.激发国家认同、国际理解的社会责任担当，增强爱国主义情怀。
四、单元作业整体设计思路
学生作业是课堂教学的延伸和继续,也是实现教学目标的一个重要手段.但
过重的作业负担,不仅难以实现预期的教学目标,而且会产生不可低估的负面效
应.根据国家“双减”政策,必须优化作业设计。在全面透彻理解《勾股定理》
教学内容的前提下，把握知识的连贯性，明确教学内容的重点、难点以及对学
生能力培养的要求. 首先要加强“双基”训练，特别是对基本概念的理解和掌
握是数学学科的基础，是培养思维、提高能力的根本.其次要注重学习内容重难
点的把握，充分利用学生作业的完成促使学生牢固掌握重点知识，同时把学习
中的难点分解于作业中，循序渐进地掌握知识. 另外要注意知识的整体性，一
方面注意复习巩固已有知识，与旧知识衔接起来，另一方面为后续知识做好准
备，把后面的内容或方法渗透到前面的知识中形成良好的知识链，保持掌握知
识与培养能力的系统性.基于以上方面的考虑特从以下方面进行设计。
1.作业编排：在 2022 版数学课程标准中提到：促进自主学习，加强自我监
控、自我评价，提升自主学习能力；家校协同，建立 监控、指导、评价、激励
机制，适时交流和开展个性化指导，营造学 生自主学习的良好环境。所以在作
业编排方面分别设置了课前的预习作业和课中的练习作业以及课后的课时作业，
其中课前的预习作业均设置为选择题和填空题主要为最容易的题目，以巩固和
识记知识点为主。课中的练习作业设置有选择题、填空题和解答题当堂完成，
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这些题目全部为容易题。由于课前预习作业和课中练习作业比较简单所以没有
进行分层设计。由于学生的学力有差异所以课后的课时作业设置了不同的等级，
虽然设置了不同的等级但并没有分别设计三套难度等级不同的作业，如果不同
层次的学生做难度不同、题目不同的作业，则不利于同学之间相互交流、相互
帮助。为了培养全面发展的人，共性寓于个性之中个性又受共性的制约，共性
和个性在一定条件下相互转化。所以在一套作业中体现基础、能力、素养三个
等级，使每个学生在学习中既有共性学习又有个性学习，既能共同进步又能个
性发展；另外为了锻炼学生的实践能力，在每个课时的最后又设置了素养发展
题，旨在锻炼学生的实际动手、动脑、分析问题、解决问题的能力；
2.难度设置：为了切实贯彻落实素质教育，培养全面发展的人，兼顾群体
特点与个体差异，课后的课时作业题目设置为基础、能力、素养三个等级。课
时作业大致按照 6：3：1设计，单元检测作业大致按照 7：2：1设计；
3.题型设置：为了对接初中学业水平考试，在题型设置方面和学业水平考
试一致，设置为：选择题、填空题和解答题。为了培养全面发展的人，在各种
类型的题目里面设置了培养学生对基础知识理解和掌握的题目、培养获取信息
能力的阅读分析问题、培养探究能力的探究问题、培养解决问题能力的具有实
际背景的问题等；
4.时间设置：为切实减轻学生的作业负担，课前的预习作业时间在 10 分钟
之内，课中的练习作业时间也在 10 分钟之内，课后的课时作业时间控制在 15-
20 分钟，单元检测作业设置为 25-30 分钟；
5.作业布置：作业分为基础题、能力题和素养题，针对班级学生学力的不
同将学生分成三个层级，学力最低层级的学生（C级学生）完成基础等级的题
目，鼓励探索能力等级的题目；学力中等层级的学生（B级学生）完成基础和
能力两个等级的题目，鼓励探索素养等级的题目；学力最高层级的学生（A级
学生）至少完成能力和素养两个等级的题目。
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五、作业设计
（1）18.1 勾股定理(1)课时作业及评价分析
课时教学目标
1、数学的眼光
通过探索发现勾股定理并会进行证明，能够进行数学研究运用勾股定理进行简
单计算和运用；能够在实际情境中 发现和提出有意义的数学问题，进行数学探究
2、数学的思维
通过观察分析，大胆猜想，并探索勾股定理，培养学生动手操作、合作交流、
逻辑推理的能力；在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察-猜想-归纳-验证”
的数学过程，并体会数形结合和从特殊到一般的数学思想方法。
3、数学的语言
能够精确描述勾股定理并用字母表示；会用勾股定理解决分析结果，形成合理
的判断或决策；形成数学的表达与交流能力，发展应用意识与实践能力。
课时作业目标
（1）能够对勾股定理进行证明，并能够运用勾股定理进行简单计算;
（2）巩固对勾股定理的理解、识记及应用;
（3）培养学生动手操作、实际应用、逻辑推理的能力。
一、预习作业
（1）作业内容
1、直角△ABC的主要性质是：∠C=90°（用几何语言表示）
（1）两锐角之间的关系：
（2）若∠B=30°，则∠B的对边和斜边的关系：
2、如果直角三角形的两条直角边用 a，b表示，斜边用 c表示，那么勾股定理
可以表示为 ，用文字叙述即为直角三角形的两条直角
边的 等于斜边的 .
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3、如图，字母 B所代表的正方形的面积是 （ ）
A.12 B.13 C.144 D.194
（2）时间要求：10 分钟。
（3）评价设计（学生自评）
习题评价表
题号 等级 说明与评价
A 能正确写出两小问的答案，说明以前所学关于直角三角形的知
1 识掌握比较牢固.
B 能正确写出其中一个的答案，或者书写不准确.
C 两问都不能写出，说明不能掌握以前所学的知识点.
A 能正确填写出三空，说明预习效果明显能初步识记勾股定理.
2 B 只能填出勾股定理的几何表示，不能填出文字表示。
C 三空都不能填出，说明完全没有理解预习内容.
A 能写出正确答案，说明不仅能记住勾股定理，并且还能初步进
3 行应用.
B
C 不能正确写出答案，说明没有记住勾股定理或者虽然记住了勾
股定理但是不会应用.
（4）作业分析
第 1题：
【作业分析】（1）根据直角三角形的性质即可求解；
（2）根据含 30 度角的直角三角形的性质即可求解．
【解答过程】解：直角△ABC中，∠C＝90°，
（1）两锐角之间的关系：∠A+∠B＝90°，
（2）∵∠B＝30°，∴∠B的对边和斜边的关系是 AC＝ AB．
故答案为：∠A+∠B＝900； AC＝ AB．
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【设计意图】本题综合考查了直角三角形的性质，含 30 度角的直角三角形的性
质综合性较强，但是难度不大．
第 2题：
【作业分析】根据勾股定理计算；
【解答过程】直角三角形三边之间的关系为：a2+b2＝c2，故答案为：a2+b2＝c2；
平方和；平方
【设计意图】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是
a，b，斜边长为 c，那么 a2+b2＝c2．
第 3题：
【作业分析】外围正方形的面积就是斜边和一直角边的平方，实际上是求另一
直角边的平方，用勾股定理即可解答．
【解答过程】解：根据勾股定理我们可以得出：a2+b2＝c2 ， a2＝25，c2＝
169，b2＝169﹣25＝144，因此 B的面积是 144． 故选：C．
【设计意图】本题主要考查了正方形的面积公式和勾股定理的应用．只要搞清
楚直角三角形的斜边和直角边本题就容易多了．
二、练习作业
（1）作业内容
1．．下列说法中正确的是（ ）
A．已知 a，b，c是三角形的三边，则 a2+b2＝c2
B．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C．在 Rt△ABC中，∠C＝90°，所以 BC2+AC2＝AB2
D．在 Rt△ABC中，∠B＝90°，所以 BC2+AC2＝AB2
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2．求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度：
3．如图是用 4个全等的直角三角形与 1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已
知大正方形面积为 49，小正方形面积为 4，若用 x，y表示直角三角形的两
直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2＝49；②x﹣y＝2；③2xy+4＝49；
④x+y＝9，其中说法正确的有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．已知在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b．如果 c＝26，a：
b＝5：12，求 a、b的值．
（2）时间要求：10 分钟。
（3）评价设计（学生互评、教师总评）
习题评价表
题号 等级 说明与评价
A 能写出正确答案，说明不仅能记住勾股定理，并且还能正确区
1 别对边与对角.
B
C 不能正确写出答案，说明没有记住勾股定理或者虽然记住了勾
股定理但是不能正确区分对边与对角.
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A 全部都能正确写出，说明不仅能记住勾股定理，并且还能初步
2 进行应用.
B 不能全部写对，说明能记住勾股定理，但运用上还有问题.
C 全部错误，说明没有记住勾股定理或者虽然记住了勾股定理但
是不会应用.
A 能写出正确答案，说明能够掌握了勾股定理并且能够把数与形
3 结合.
B
C 不能写出正确答案，对知识的掌握还不够灵活.
A 能够正确做出，过程完整条理清楚.
4 B 能够正确做出但过程不完整.
C 不能做出，无过程.
（4）作业分析
第 1题：
【作业分析】以 a，b，c为三边的三角形不一定是直角三角形，得出 A不正确；
由直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，得出 B不正
确；由勾股定理得出 C正确，D不正确；即可得出结论．
【解答过程】解：A不正确；∵以 a，b，c为三边的三角形不一定是直角三角
形，∴A不正确；
B不正确；∵直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，
∴B不正确；
C正确∵∠C＝90°，∴AB 为斜边，∴BC2+AC2＝AB2，∴C正确；
D不正确；∵∠B＝90°，∴AC 为斜边，∴AB2+BC2＝AC2，∴D
不正确； 故选：C．
【设计意图】本题考查了勾股定理的运用；熟练掌握勾股定理，并能进行推理
论证是解决问题的关键．
第 2题：
【作业分析】直接利用勾股定理得出已知图形的面积和未知边长．
【解答过程】解：如图 1，正方形的面积为：100+225＝325；
如图 2，x＝ ＝8；
如图 3，y＝ ＝12；
如图 4，z＝ ＝10．
【设计意图】此题主要考查了勾股定理，正确应用勾股定理是解题关键．
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第 3题：
【作业分析】利用大正方形面积和小正方形面积可得出大正方形和小正方形的
边长，利用勾股定理可判断①，利用线段和差可判断②，利用大
正方形面积等于小正方形面积与四个直角三角形面积之和可判断
③，利用①③可判断④．
【解答过程】解：∵大正方形面积为 49，∴大正方形边长为 7，在直角三角形
中，x2+y2＝72＝49，故说法①正确；
∵小正方形面积为 4，∴小正方形边长为 2，∴x﹣y＝2，故说法
②正确；∵大正方形面积等于小正方形面积与四个直角三角形面
积之和，∴4× xy+4＝49，∴2xy+4＝49，故说法③正确；
∵2xy+4＝49，∴2xy＝45，∵x2+y2＝49，∴x2+y2+2xy＝49+45，
∴（x+y）2＝94，∴x+y＝ ，故说法④错误；故选：C．
【设计意图】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是利用大正方形面积和小
正方形面积得出大正方形和小正方形的边长．
第 4题：
【作业分析】在 Rt△ABC中，∠C＝90°，根据勾股定理可得 AB2＝AC2+BC2，
根据题目给出的已知条件可以求第三个边的长．
【解答过程】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝26，a：b＝5：12，可设 a＝
5x，则 b＝12x，∴（5x）2+（12x）2＝262；解得 x＝2，∴a＝10，
b＝24．
【设计意图】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直
角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
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三、课时作业
（1）作业内容
1．（基础题）在 Rt△ABC中，∠C＝90°．若 a＝6，b＝8，则 c的值是（ ）
A．10 B．2 C．2 D．4.8
2．（能力题）（原创题）如图，将矩形 ABCD绕点 A逆时针旋转 90°得到矩
形 AB′C′D′，连接 CC′．已知 AB＝5，BC＝12，通过计算我们可以得
出 CC′的长度是（ ）
A．13 B．13 2 C．13 D．13 5
3．（基础题）在 Rt△ABC中，斜边 BC＝3，则 AB2+BC2+AC2的值为 ．
4．（能力题）如图，在 3×3的网格中，每个小正方形的边长均为 1，点 A，B，
C都在格点上，若 BD是△ABC的高，则 BD的长为 ．
5．（基础题）在 Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是 a，
b，c．
（1）已知 a＝40，c＝41，求 b；
（2）已知 a＝5，b＝12，求 c．
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6.（改编）
（基础题）（1）已知甲往东走了 6km，乙往南走了 8km，求此时甲乙两人的距
离；
（能力题）（2）已知直角三角形的两边长分别为 6和 8，求第三边长的平方；
（素养题）（3）已知直角三角形的两边长分别为 6和 8，求斜边上的高。
7．如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边的长分别为 a和 b，
斜边长为 c．请你开动脑筋，用它们拼出正方形图案，要求拼图时直角三角
形纸片不能互相重叠．
（能力题）（1）请你画出拼成的这个图形的示意图；
（素养题）（2）利用（1）中画出的图形证明勾股定理．
素养发展
勾股定理是平面几何中最重要的定理！它是历史上第一个将数与形联系起
来的定理，开启了论证几何的开端，甚至引发了第一次数学危机，勾股定理的
发现使人们加深了对数的理解，发现了无理数。勾股定理也是历史上第一个给
出完全解答的不定方程，并引出了费马大定理。而勾股定理的证明目前约有
500 种，是数学定理中证明方法最多的定理之一。请同学们利用课余时间收集
整理勾股定理的证明方法并加以分类，看谁收集的又多又好！
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（2）时间要求：
A级学生做能力题和素养题 20 分钟，
B级学生做基础题和能力题 20 分钟，
C级学生做基础题 20 分钟。
（3）评价设计（教师评价）
习题评价表
题号 等级 说明与评价
A 能写出正确答案，说明能够掌握了勾股定理并且能够进行简单
1 运用.
B
C 不能写出正确答案，还不能够掌握定理.
A 能写出正确答案，说明能够掌握了勾股定理并且能够把数与形
2 结合.
B
C 不能写出正确答案，对知识的掌握还不够灵活运用.
A 能写出正确答案，说明能够掌握了勾股定理并且能够进行简单
3 计算.
B
C 不能写出正确答案，对知识没有掌握并且不能运用.
A 能写出正确答案，说明能够掌握了勾股定理并且能够把数与形
4 结合.
B
C 不能写出正确答案，对知识的掌握还不够灵活.
A 能够正确做出，过程完整条理清楚.
5 B 能够正确做出但过程不完整.
C 不能做出，无过程.
A 能够正确做出，过程完整条理清楚考虑全面，能与其它知识相
6 结合.
B 能够正确做出但过程不完整；考虑不全面.
C 不能做出，无过程.
A 能够画出示意图并完成证明过程.
7 B 能够画出示意图不能完成证明.
C 不能够画出示意图.
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作业整体评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准 A等，答案正确，过程正确。
确性 B等，答案正确，过程有问题。
C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准
确，过程错误、或无过程。
答题的规 A等，过程规范，答案正确。
范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
解法的创 A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
新性 B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过
程。
综合评价 AAA,AAB 综合评价为 A等；
等级 ABB、BBB、AAC 综合评价为 B等；
其余情况综合评价为 C等。
（4）作业分析
第 1题：
【作业分析】根据勾股定理计算，得到答案．
【解答过程】解：在 Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝8，由勾股定理得：c
＝ ＝ ＝10，故选：A．
【设计意图】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是
a，b，斜边长为 c，那么 a2+b2＝c2．
第 2题：
【作业分析】两次利用勾股定理，先求出 AC长，再根据△CAC′是等腰直角
三角形求出 CC′的长
【解答过程】解：∵四边形 ABCD为矩形，AB＝5，BC＝12
∴AC= 2 + 2= 52 + 122 =13又∵∠CAC′＝90°AC=AC′
∴CC′= 2 + '2= 132 + 132=13 2 故选择 B.
【设计意图】此题是勾股定理，考查了勾股定理的运用和特殊的直角三角形。
15
第 3题：
【作业分析】由直角三角形结合勾股定理得到 AB2+AC2的值，即可得出结果．
【解答过程】解：∵Rt△ABC中，斜边 BC＝3，∴AB2+AC2＝BC2＝32＝9，
∴AB2+BC2+AC2＝2BC2＝2×9＝18， 故答案为：18．
【设计意图】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
第 4题：
【作业分析】根据勾股定理计算 AC的长，利用面积差可得三角形 ABC 的面积，
由三角形的面积公式即可得到结论．
【解答过程】解：由勾股定理得：AC＝ ，
∵S△ABC＝3×3﹣ ，
∴ ，∴ ，∴BD＝ ，故答案为： ．
【设计意图】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解
题的关键．
第 5题：
【作业分析】（1）由勾股定理求出直角边 b即可；
（2）由勾股定理求出斜边 c即可．
【解答过程】解（1）∵∠C＝90°，∴b＝ ＝ ＝9；
（2）∵∠C＝90°，∴c＝ ＝ ＝13．
【设计意图】本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键，注
意 c是斜边．
第 6题：
【作业分析】（1）由勾股定理直接可得；
（2）由于直角边不确定，所以不止一种情况
（3）在第二小题的基础之上，进一步增加知识的考查，利用面积
求斜边上的高
16
【解答过程】（1）甲乙两人之间的距离= 62 + 82=10km
（2）当 6和 8为两个直角边时，第三边长的平方=62+82=100
2 2
当 6和 8为直角边和斜边时，第三边长的平方=8 -6 =28
（3）设斜边上高为 h，当 6和 8为两个直角边时，斜边
= 62 + 82=10 1 1，由三角形面积可得： × 6 × 8 = × 10 ，得
2 2
h=24
5
当 6和 8为直角边和斜边时，另一直角边= 82 62 = 2 7，由
1 1 3 7
三角形面积可得： × 2 7 × 6 = × 8 ，得 h=
2 2 2
【设计意图】本题考查了勾股定理的运用，分类讨论是解题的关键。
第 7题：
【作业分析】（1）把四个全等的直角三角形的斜边首尾相接，可拼成所需图案，
如图所示（答案不唯一）；
（2）分别用两种方法计算大正方形的面积，从而可得（a+b）2＝
c2+4× ab，化简即可得证．
【解答过程】解：（1）（答案不唯一）如图；
（2）证明：∵大正方形的面积可表示为（a+b）2，大正方形的面
积也可表示为：c2+4× ab，∴（a+b）2＝c2+4× ab，即
a2+b2+2ab＝c2+2ab，∴a2+b2＝c2，即直角三角形两直角边的平
方和等于斜边的平方．
【设计意图】本题考查了勾股定理的证明，解题的关键是拼出熟知的勾股图．
17
（2）18.1 勾股定理(2)课时作业及评价分析
课时教学目标
1、数学的眼光
感悟数学的审美价值；体验数学学习的乐趣，形成积极参与数学活动的意
识，再一次感受勾股定理的应用价值，锻炼克服困难的意志，建立自信心；培
养学生交流与合作的协作精神。
2、数学的思维
通过对勾股定理实际问题的分析与解决，通过学生动手操作，培养学生的
探究能力、质疑能力，提高用勾股定理来解决实际问题的能力；帮助学生感受
到数学与现实生活的联系；
3、数学的语言
能进一步运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题；欣赏数学语言
的简洁与优美，逐步养成用数学语言表达与交流的习惯。
课时作业目标
（1）能够运用勾股定理进行简单计算以及解决实际问题;
（2）进一步加强对勾股定理的理解、识记及应用;
（3）培养学生分析问题、解决问题、逻辑推理的能力；
（4）锻炼学生实际动手操作能力。
一、预习作业
（1）作业内容
1、直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用 a，b和 c分别表示
直角三角形的两直角边和斜边，那么 + ＝ ．
用图形表示为：
2、如图，一棵大树在暴风雨中被台风刮倒，在离地面 3米处折断，测得树顶端
距离树根 4米，已知大树垂直地面，则大树高约多少米？（ ）
A．5米 B．8米 C．9米 D．25
18
3、如图是一个外轮廓为长方形的机器零件的平面示意图，根据图中的尺寸（单
位：cm），计算两个圆孔中的 A和 B的距离为 cm．
（2）时间要求：10 分钟。
（3）评价设计（学生自评）
习题评价表
题号 等级 说明与评价
A 能正确填写结果，说明能够记住勾股定理.
1 B
C 不能填出正确结果，说明没有能够记住勾股定理.
A 能正确选出答案，说明能够运用勾股定理解决简单的实际问
2 题.
B
C 不能写出正确答案，说明没有掌握勾股定理或者不能进行实际
应用.
A 能正确填写结果，说明能够解决实际问题.
3 B
C 不能填出正确结果，说明没有理解预习内容.
（4）作业分析
第 1题：
【作业分析】根据勾股定理解答即可．
【解答过程】解：如果用 a，b和 c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那
么 a2+b2＝c2． 故答案为：a2，b2，c2．
【设计意图】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
19
第 2题：
【作业分析】设大树高约有 x米，再由勾股定理即可得出结论．
【解答过程】解：设大树高约有 x米，由勾股定理得：（x﹣3）2＝32+42，解得：
x＝8，答：大树高约 8米． 故选：B．
【设计意图】此题是勾股定理的应用，解本题的关键是把实际问题转化为数学
问题来解决．
第 3题：
【作业分析】根据图形标出长度，可以知道 AC和 BC的长度，从而构造直角
三角形，根据勾股定理就可求出 A和 B的距离．
【解答过程】解：∵AC＝10﹣4＝6（cm），BC＝12﹣4＝8（cm），
∴AB＝ ＝ ＝10（cm）．故答案为：10．
【设计意图】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学
好数学的关键．
三、练习作业
（1）作业内容
1．．如图，做一个宽 80厘米，高 60厘米的长方形木框，需在相对角的顶点加
一根加固木条，则木条的长为（ ）
A．90厘米 B．100厘米 C．105厘米 D．110厘米
20
2．如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽 4米，高 3米，长 20米，棚的斜面
用塑料布遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积 ．
3．如图，是一棵美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，若最大的正方
形 E的边长为 10，则正方形 A，B，C，D的面积之和为 ．
4．阅读并解答问题
明朝数学家程大位在数学著作《直指算法统宗》中以《西江月》词牌叙述了
一道“荡秋千”问题：
原文：平地秋千未起，踏板一尺离地．
送行二步与人齐，五尺人高曾记．
仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．
良工高士素好奇，算出索有几？
译文：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地 1尺，将它往前推送 10尺
（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为 5尺，秋千的
绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？（注古代 5尺为 1步）
21
建立数学模型，如图，秋千绳索 OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC＝1
尺），将它往前推进两步（EB＝10尺），此时踏板升高离地五尺（BD＝5
尺），已知 OC⊥CD于点 C，BD⊥CD于点 D，BE⊥OC于点 E，OA＝OB，
求秋千绳索（OA或 OB）的长度．
请解答下列问题：
（1）直接写出四边形 ECDB是哪种特殊的四边形；
（2）求 OA的长．
（2）时间要求：10 分钟。
（3）评价设计（学生互评、教师总评）
习题评价表
题号 等级 说明与评价
A 能写出正确答案，说明不仅能记住勾股定理，并且还能实际应
1 用.
B
C 不能正确选出答案，说明没有记住勾股定理或者虽然记住了勾
股定理但是不会解决实际问题.
A 能正确写出答案，说明不仅能记住勾股定理，并且还能初步进
2 行应用.
B
C 不能写出正确答案，说明没有记住勾股定理或者虽然记住了勾
股定理但是不会应用.
22
A 能写出正确答案，说明能够掌握了勾股定理并且能够把数与形
3 结合.
B
C 不能写出正确答案，对知识的掌握还不够灵活.
A 能够正确做出两问，过程完整条理清楚.
4 B 能够正确做出两问但过程不完整.
C 只能做出第一问或者其它情况.
（4）作业分析
第 1题：
【作业分析】由于长方形木框的宽和高与所加固的木板正好构成直角三角形，
故可利用勾股定理解答．
【解答过程】解：设这条木板的长度为 x厘米，由勾股定理得：x2＝802+602，
解得 x＝100厘米．故选：B．
【设计意图】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，属较简单题目，注意
细心运算即可．
第 2题：
【作业分析】此题只需根据勾股定理计算直角三角形的斜边，即矩形的宽．再
根据矩形的面积公式计算．
【解答过程】解：根据勾股定理，得直角三角形的斜边是 ＝5，所以阳
光透过的最大面积是 5×20＝100（平方米）．故答案为：100平
方米；
【设计意图】此题运用了勾股定理，注意阳光透过的最大面积，即是矩形的面
积．
第 3题：
【作业分析】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形 A，B，
C，D的面积和即为最大正方形的面积．
23
【解答过程】解：根据勾股定理的几何意义，可得 A、B的面积和为 S1，C、D
的面积和为 S ，S +S ＝S ，于是 S ＝S +S ，即2 1 2 3 3 1 2 S3＝A+B+C+D＝
102＝100．故答案为：100．
【设计意图】本题考查了勾股定理的应用．能够发现正方形 A，B，C，D的边
长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够
证明正方形 A，B，C，D的面积和即是最大正方形的面积．
第 4题：
【作业分析】（1）根据有三个角是直角的四边形是矩形，可得结论；
（2）设绳索有 x尺长，此时绳索长，向前推出的 10尺，和秋千
的上端为端点，垂直地面的线可构成直角三角形，根据勾股定
理可求解．
【解答过程】解：（1）四边形 ECDB是矩形，理由是：∵OC⊥CD，BD⊥CD，
BE⊥OC，∴∠ECD＝∠CDB＝∠BEC＝90°，∴四边形 ECDB是
矩形；
（2）设 OA的长为 x尺，∵EC＝BD＝5尺，AC＝1尺
∴EA＝EC﹣AC＝5﹣1＝4尺在 Rt△OEB中，OE＝（x﹣4）尺，
OB＝x尺，EB＝10尺，由勾股定理得：102+（x﹣5+1）2＝x2，解
得：x＝14.5． 答：秋千绳索（OA或 OB）的长度为 14.5尺．
【设计意图】本题考查勾股定理的应用，理解题意能力，关键是能构造出直角
三角形，用勾股定理来解．
24
三、课时作业
（1）作业内容
1．（基础题）Rt△ABC的斜边为 13，其中一条直角边为 12，另一条直角边的
长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．9
2．（能力题）如图，点 O是矩形 ABCD的中心，E是 AB上的点，沿 CE折叠
后，点 B恰好与点 O重合，若 BC＝3，则折痕 CE的长为（ ）
A．2 B． C． D．
3．（基础题）直角三角形两直角边长分别为 5和 12，则它斜边上的高
为 ．把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的 2倍，则其斜边
扩大到原来的 倍．
4．（能力题）如图，在平面直角坐标系中，以 O为圆心，以 OP的长为半径画
弧，交 x轴的负半轴于点 A，则点 A的坐标为（﹣ ，0），点 P的纵坐标
为﹣1，则 P点的坐标为 ．
25
5．（基础题）知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义地方．就
下面的情景请你作出评判．有一块边长为 24米的正方形绿地，如图所示，
在绿地旁边 B处有健身器材，由于居住在 A处的居民践踏了绿地，小明想在
A处树立一个标牌“少走■米，踏之何忍？”请你计算后帮小明在标牌的■
处填上适当的数字．
6.（改编）
如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点 P从点 B出发，
以 2cm/秒的速度沿 BC移动至点 C，设运动时间为 t秒．
（基础题）（1）求 BC的长；
（能力题）（2）在点 P的运动过程中，是否存在某个时刻 t，使得点 P到边
AB的距离与点 P到点 C的距离相等？若存在，求出 t的值；若不存在，请说
明理由．
26
7．教材中的探究：如图，把两个边长为 1的小正方形沿对角线剪开，用所得到
的 4个直角三角形拼成一个面积为 2的大正方形．由此，得到了一种能在数
轴上画出无理数对应点的方法（数轴的单位长度为 1）．
阅读理解：
（基础题）（1）图 1中大正方形的边长为 ，图 2中点 A表示的数
为 ；
迁移应用：
（2）请你参照上面的方法，把 5个小正方形按图 3位置摆放，并将其进行
裁剪，拼成一个大正方形．
（能力题）①请在图 3中画出裁剪线，并在图 3中画出所拼得的大正方形的
示意图（画出一种即可）．
（素养题）②利用①中的成果，在图 4的数轴上分别标出表示数﹣ 与 2﹣
的点，并比较它们的大小．
27
素养发展
勾股定理是几何学中一条基础定理，被誉为“几何学的基石；勾股定理
还是第一个把数与形联系起来的定理，它是几何代数化的桥梁，三角函数之
间的关系由定理推演而来；勾股定理的公式被数学家评定为改变世界面貌的
公式；当年我国卫星向外太空发送信号，华罗庚就提议发送勾股定理的证明
图案，因为勾股定理可能是文明之间的相通语言。从上可知，勾股定理意义
非凡。勾股定理并且在实际生活中应用也非常广泛，那么同学们能不能利用
我们所学的勾股定理实际测量出我们学校旗杆的高度呢？
（2）时间要求：
A级学生做能力题和素养题 20 分钟，
B级学生做基础题和能力题 20 分钟，
C级学生做基础题 20 分钟。
28
（3）评价设计（教师评价）
习题评价表
题号 等级 说明与评价
A 能写出正确答案，说明能够掌握了勾股定理并且能够进行简单
1 计算.
B
C 不能写出正确答案，还不能够掌握定理.
A 能写出正确答案，说明能够运用勾股定理解决问题以及知识的
2 综合运用.
B
C 不能写出正确答案，对知识的掌握还不够灵活运用.
A 能写出正确答案，说明能够掌握了勾股定理能够进行简单计
3 算.
B
C 不能写出正确答案，对知识没有掌握并且不能运用.
A 能写出正确答案，说明能够掌握了勾股定理并且能够把数与形
4 结合.
B
C 不能写出正确答案，对知识的掌握还不够灵活.
A 能够正确做出，过程完整条理清楚能够解决实际问题.
5 B 能够正确做出但过程不完整.
C 不能做出，无过程.
A 能够正确做出两问，过程完整条理清楚考虑全面，能与其它知
6 识相结合.
B 能够正确做出两问但过程不完整；考虑不全面或者只能做出第
一问.
C 两问都不能做出或者能做出第一问但过程不完整.
A 能够完成三问过程完整条理清楚.
7 B 能够完成前两问过程完整条理清楚.
C 其它情况.
29
作业整体评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准 A等，答案正确，过程正确。
确性 B等，答案正确，过程有问题。
C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准
确，过程错误、或无过程。
答题的规 A等，过程规范，答案正确。
范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
解法的创 A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
新性 B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过
程。
综合评价 AAA,AAB 综合评价为 A等；
等级 ABB、BBB、AAC 综合评价为 B等；
其余情况综合评价为 C等。
（4）作业分析
第 1题：
【作业分析】根据勾股定理计算，即可得出答案．
【解答过程】解：根据题意，由勾股定理得，另一条直角边长＝ ＝5；
故选：A．
【设计意图】本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．
第 2题：
【作业分析】由折叠的性质可得 OC＝BC，则可得 AC＝2CB，所以
∠BAC＝30°，OE＝ AO，则可求 OA＝3，OE＝ ，BE＝ ，
在 Rt△BCE中，由勾股定理可求 CE＝2 ．
【解答过程】解：∵点 O是矩形 ABCD的中心，∴AO＝CO，由折叠可得，OC
＝BC，∴AC＝2CB，∴∠BAC＝30°，∴OE＝ AE，在 Rt△AOE
30
中，AE2＝OA2+OE2，∴AE2＝OA2+ AE2，∴OA＝ AE，∴OE
＝ AO，
∵BC＝3，∴OA＝3，∴OE＝ ，∵BE＝OE，∴BE＝ ，在
Rt△BCE中，CE＝ ＝ ＝2 ，故选：A．
【设计意图】本题考查折叠的性质，熟练掌握折叠的性质、矩形的性质、勾股
定理是解题的关键．
第 3题：
【作业分析】先根据勾股定理求出斜边，设斜边上的高为 x，由三角形的面积
不变建立方程求出其解即可求出斜边上的高；先设出直角三角形
原来的两直角边分别为 a、b，就可以表示出斜边，再根据勾股定
理求出扩大后的三角形的斜边就可以得出结论．
【解答过程】解：由勾股定理可以求出直角边长分别为 5和 12的斜边为：
＝13，设斜边上的高为 x，由题意，得 ，解
得：x＝ ；设原来直角三角形的两直角边分别为 a、b，扩大后
的直角边分别为 2a、2b，由勾股定理可以求得变化前后的斜边分
别为； ， ＝2 ，故斜边扩大到原来的
2倍．故答案为： ，2．
【设计意图】本题考查了运用勾股定理求直角三角形的边长的运用，三角形的
面积公式的运用，解答时理解勾股定理的内容是关键．
第 4题：
【作业分析】利用勾股定理计算即可．
【解答过程】解：设点 P⊥y轴的交点为点 B，则∠OBP＝90°，由题意可得 OP
＝OA＝ ，OB＝1，在 Rt△OBP中，BP＝ ＝5，
31
∵点 P为第三象限，∴点 P的坐标为（﹣5，﹣1）．
故答案为：（﹣5，﹣1）．
【设计意图】本题主要考查勾股定理，解题关键是利用勾股定理求出 BP 长．
第 5题：
【作业分析】根据图形标出的长度，可以知道 AC和 BC的长度，从而构造直角
三角形，根据勾股定理就可求出斜边 A和 B的距离．
【解答过程】解：由题意可知 AB＝ ＝ ＝25m，故居民直接
到 B时要走 AB＝25m，若 A居民不践踏绿地应走 AC+BC＝24+7
＝31m AC+BC﹣AB＝31﹣25＝6m，故在▇的地方应该填写的数
字为 6．
【设计意图】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学
好数学的关键．
第 6题：
【作业分析】（1）由勾股定理求出 BC的长即可；（2）连接 AP，过点 P作
PE⊥AB于 E，则 PE＝PC＝（8﹣2t）cm，证△AEP≌△ACP
（AAS），得 AE＝AC＝6cm，则 BE＝AB﹣AE＝4（cm），再在
Rt△BEP中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答过程】解：（1）在 Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝ ＝
＝8（cm）；
（2）存在，理由如下：如图，当点 P恰好运动到∠BAC平分线
上时，点 P到直线 AB的距离与点 P到点 C的距离相等，由已
知可得：BP＝2tcm，PC＝BC﹣BP＝（8﹣2t）cm，连接 AP，
过点 P作 PE⊥AB于 E，如图所示：则 PE＝PC＝（8﹣2t）cm，
32
在△AEP与△ACP中， ，∴△AEP≌△ACP
（AAS），
∴AE＝AC＝6cm，∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4（cm），
在 Rt△BEP中，由勾股定理得：BP2＝BE2+PE2，即（2t）2＝
42+（8﹣2t）2，解得：t＝ ，即当 t的值为 时，点 P到边 AB
的距离与点 P到点 C的距离相等．
【设计意图】本题考查了勾股定理、角平分线的性质以及全等三角形的判定与
性质等知识，熟练掌握勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．
第 7题：
【作业分析】（1）根据小正方形的对角线长等于大正方形的边长，即可解决问
题；
（2）①先根据图 3的面积为 5，可得所拼得的大正方形边长为
，进而在在图 3中画出裁剪线和所拼得的正方形即可；
②在两条数轴上分别找到表示数﹣ 与 2﹣ 的点即可得知它
们的大小．
【解答过程】解：（1）由图可得，点 A到原点的距离为： ，点 A在原点右
侧，∴点 A表示的实数为 ，故答案为： ， ；
33
（2）①如图所示：
②表示数﹣ 与 2﹣ 的点如图所示：
∴﹣ ＜2﹣ ．
【设计意图】本题主要考查了实数与数轴，任意一个实数都可以用数轴上的点
表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任
一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
34
（3）18.2 勾股定理逆定理(1)课时作业及评价分析
课时教学目标
1、数学的眼光
了解勾股定理的逆定理的证明方法和证明过程；理解互逆命题、互逆定理
的概念及互逆命题之间的关系；
2、数学的思维
掌握勾股定理的逆定理，并能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直
角三角形；通过三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数形结合法
的应用；通过“创设情景—建立模型—实验探究—理论释意—拓展应用”的勾
股定理的逆定理的探索过程，经历知识的发生、发展、形成和应用的过程；
3、数学的语言
能够通过数学的语言可以简约、精确地描述三角形三边的数量关系来判断
三角形的形状，在探究勾股定理的逆定理的证明及应用的活动中，通过一系列
富有探究性的问题，渗透与他人交流、合作的意识和探究精神．形成数学的表
达与交流能力，发展应用意识与实践能力。
课时作业目标
1.能够运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形；
2. 会运用勾股定理的逆定理解决有关证明与计算问题；
3. 巩固对勾股定理逆定理的理解、识记及应用;
一、预习作业
（1）作业内容
1．如果三角形的三边长 a、b、c满足 a2+b2＝c2，那么这个三角形是
三角形，我们把这个定理叫做勾股定理的 ．
2．能够成为直角三角形三条边长的正整数，称为勾股数．请你写出三组勾股
数： ．
3．下列各组线段中，不能组成直角三角形的是（ ）
A．1，1， B．1，2， C．4，5，6 D．6，8，10
35
（2）时间要求：10 分钟。
（3）评价设计（学生自评）
习题评价表
题号 等级 说明与评价
A 能写出正确答案，说明不仅能知道勾股定理逆定理，并且还能
初步进行应用.
1
B
C 不能正确写出答案，说明没有记住勾股定理逆定理.
A 能正确写出答案，说明预习效果明显能初步记住勾股数的概念
并且能理解概念.
2
B
C 不能写出正确答案，说明没有完全理解预习内容,不能掌握勾
股数的概念.
A 能写出正确答案，说明不仅能记住勾股定理逆定理，并且还能
初步进行应用.
3
B
C 不能正确写出答案，说明没有记住勾股定理逆定理或者虽然记
住了勾股定理逆定理但是不会应用.
（4）作业分析
第 1题：
【作业分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c满足 a2+b2
＝c2，那么这个三角形就是直角三角形即可求解．
【解答过程】解：如果三角形的三边长 a、b、c满足 a2+b2＝c2，那么这个三角
形是直角三角形，我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理．
故答案为：直角，逆定理．
【设计意图】考查了勾股定理的逆定理，是基础题型，比较简单．
36
第 2题：
【作业分析】根据勾股数的定义即可求解，如 3，4，5；6，8，10；5，12，13
等，本题答案不唯一．
【解答过程】解：三组勾股数可以是：3，4，5；6，8，10；5，12，13．
故答案为：3，4，5；6，8，10；5，12，13．
【设计意图】本题考查了勾股数的定义：满足 a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾
股数．记住常用的勾股数可以提高解题速度．
第 3题：
【作业分析】先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即
可．
【解答过程】解：A．∵12+12＝1+1＝2，（ ）2＝2，∴12+12＝（ ）2，
∴以 1，1， 为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵12+（ ）2＝1+3＝4，22＝4，∴12+（ ）2＝22，
∴以 1，2， 为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵42+52＝16+25＝41，62＝36，∴42+52≠62，∴以 4，5，6为
边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；
D．∵62+82＝36+64＝100，102＝100，∴62+82＝102，∴以 6，8，
10为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：C．
【设计意图】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此
题的关键，注意：如果一个三角形的两边 a、b的平方和等于第三
边 c的平方，那么这个三角形是直角三角形．
37
二、练习作业
（1）作业内容
1.用三张正方形纸片，按如图所示方式构成图案，若要使所围成阴影部分的三
角形是直角三角形，则选取的三个正方形纸片的面积不可以是（ ）
A．1，2，3 B．2，2，4 C．3，4，5 D．2，3，5
2. 如图，小正方形的边长均为 1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ACB的度
数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
3.如图，四边形 ABCD中，∠DAB＝90°，AB＝3，AD＝4，BC＝12，CD＝13，
则四边形 ABCD的面积为 ．
4．如图，在△ABC中，AD、BE分别为边 BC、AC的中线，分别交 BC、AC于
点 D、E．
38
（1）若 CD＝4，CE＝3，AB＝10，求证：∠C＝90°；
（2）若∠C＝90°，AD＝6，BE＝8，求 AB的长．
（2）时间要求：10 分钟。
（3）评价设计（学生互评，教师总评）
习题评价表
题号 等级 说明与评价
A 能写出正确答案，说明不仅能记住勾股定理逆定理，并且还能
进行熟练运用.
1
B
C 不能正确写出答案，说明没有记住勾股定理逆定理或者虽然记
住了但不会运用.
A 能写出正确答案，说明能记住并运用勾股定理逆定理及等腰三
角形相应知识点。
2
B
C 不能正确写出答案，说明没有记住勾股定理逆定理和等腰三角
形相应知识点。
A 能写出正确答案，说明能够掌握了勾股定理逆定理并且能够熟
练地运用。
3
B
C 不能写出正确答案，对知识的掌握还不够灵活.
39
A 能够正确做出，过程完整条理清楚.
4 B 能够正确做出但过程不完整.
C 不能做出，无过程.
（4）作业分析
第 1题：
【作业分析】如果三角形的三边长 a，b，c满足 a2+b2＝c2，那么这个三角形就
是直角三角形．依据三角形各边的平方是对应的各个正方形的面
积进行判断即可．
【解答过程】解：由题意可得，三角形各边的平方是对应的各个正方形的面积，
∵所围成的三角形是直角三角形，∴斜边对应的正方形的面积＝
两直角边对应的正方形的面积和，又∵1+2＝3，2+2＝4，3+4≠5，
2+3＝5，∴选取的三个正方形纸片的面积不可以是 3，4，5，
故选：C．
【设计意图】本题考查正方形的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理
将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须
满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
第 2题：
【作业分析】分别在格点三角形中，根据勾股定理即可得到 AB，BC，AC的长
度，继而可得出∠ACB的度数．
【解答过程】解：根据勾股定理可以得到：BC＝AB＝ ，AC＝ ，
∵（ ）2+（ ）2＝（ ）2，即 AC2+AB2＝BC2，∴△ABC
是等腰直角三角形．∴∠ACB＝45°． 故选：B．
【设计意图】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，判断△ABC 是等腰直
角三角形是解决本题的关键，注意在格点三角形中利用勾股定理．
40
第 3题：
【作业分析】连接 BD，先根据勾股定理求出 BD的长度，再根据勾股定理的逆
定理判断出△BCD的形状，再利用三角形的面积公式求解即可．
【解答过程】解：连接 BD，∵∠DAB＝90°，AB＝3，AD＝4，∴BD＝
＝5，∵52+122＝132，∴BD2+BC2＝CD2， ∴∠DBC
＝90°，∴四边形 ABCD的面积＝ ×5×12﹣ ×3×4＝30﹣6＝
24． 故答案为：24．
【设计意图】本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理及三角形的面积，能
根据勾股定理的逆定理判断出△BCD的形状是解答此题的关键．
第 4题：
【作业分析】（1）根据中点的定义和勾股定理的逆定理即可求解；
（2）根据中点的定义和勾股定理即可求解．
【解答过程】（1）证明：∵AD、BE分别为边 BC、AC的中线，CD＝4，CE＝
3，∴AC＝6，BC＝8，∵AB＝10，∴AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，∴∠C＝90°；
（2）解：∵∠C＝90°，AD＝6，BE＝8，∴AC2+CD2＝AD2，
BC2+CE2＝BE2，∵AD、BE分别为边 BC、AC的中线，∴CD＝
BC，CE＝ AC，∴AC2+（ BC）2＝36，BC2+（ AC）2＝
64，∴ AC2+ BC2＝100，∴AC2+BC2＝80，∴AB＝
＝4 ．
41
【设计意图】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是
解本题的关键．
三、课时作业
（1）作业内容
1.（基础题）已知 a，b，c为△ABC的三边，且满足 a2+b2﹣c2＝0，则△ABC
是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
2.（能力题）如图，在△ABC中，BC＝2 ，∠C＝45°，若 D是 AC的三等分
点（AD＞CD），且 AB＝BD，则 AB的长为（ ）
A．2 B． C． D．
3.（基础题）已知：如图，四边形 ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝
2，AD＝3，则四边形 ABCD的面积为 ．
42
4．（能力题）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝ °
（点 A，B，P是网格线交点）．
5.（基础题）如图，四边形 ABCD中，AB⊥BC，AB＝BC＝5，CD＝7，AD＝1．
（1）求证：∠ADC＝90°；
（2）求△ABD的面积．
6．如图，已知圆柱底面的直径 BC＝8，圆柱的高 AB＝10，在圆柱的侧面上，
过点 A，C嵌有一圈长度最短的金属丝．
（基础题）（1）现将圆柱侧面沿 AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ．
43
（能力题）（2）求该长度最短的金属丝的长．
7.如图，在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，若∠C为直角，如图 1，则有
结论：a2+b2＝c2；当∠C为锐角（如图 2）或钝角（如图 3）时，请你完成
下列探究：
（1）（能力题）分别猜想∠C为锐角或钝角这两种情况下 a2+b2与 c2的大小
关系；
（2）（素养题）任选（1）中的一个猜想进行证明．
44
素养发展
勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几
何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。在中国，周朝时期的
商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出并证明此
定理的为公元前 6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三
角形斜边平方等于两直角边平方之和。同学们你还知道哪些关于勾股定理的发
展简史呢？收集并整理与同学们互相交流。
（2）时间要求：
A级学生做能力题和素养题 20 分钟，
B级学生做基础题和能力题 20 分钟，
C级学生做基础题 20 分钟。
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（3）评价设计（教师评价）
习题评价表
题号 等级 说明与评价
A 能写出正确答案，说明能够掌握了勾股定理逆定理并且能够进
行简单运用.
1
B
C 不能写出正确答案，还不能够掌握定理.
A 能写出正确答案，说明能够掌握了勾股定理逆定理和等腰三角
形相应知识点。
2
B
C 不能写出正确答案，对知识的掌握还不够灵活运用.
A 能写出正确答案，说明能够掌握了勾股定理逆定理并且能够进
行简单计算.
3
B
C 不能写出正确答案，对知识没有掌握并且不能运用.
A 能写出正确答案，掌握了勾股定理并且能够把数与形结合.
4 B
C 不能写出正确答案，对知识的掌握还不够灵活.
A 能够正确做出，过程完整条理清楚.
5 B 能够正确做出但过程不完整.
C 不能做出，无过程.
A 能够正确做出两问，过程完整条理清楚考虑全面，能与其它知
识相结合.
6
B 能够正确做出两问但过程不完整.
C 只能写出第一问，或者不能做出，无过程.
A 能够正确做出，过程完整条理清楚考虑全面。
7 B 能够完整解答第一问。
C 不能做出，无过程。
46
作业整体评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准 A等，答案正确，过程正确。
确性
B等，答案正确，过程有问题。
C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准
确，过程错误、或无过程。
答题的规 A等，过程规范，答案正确。
范性
B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
解法的创 A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
新性
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过
程。
综合评价 AAA,AAB 综合评价为 A等；
等级
ABB、BBB、AAC 综合评价为 B等；
其余情况综合评价为 C等。
（4）作业分析
第 1题：
【作业分析】将 a2+b2﹣c2＝0整理得 a2+b2＝c2，利用勾股定理逆定理可得．
【解答过程】解：∵a，b，c为△ABC的三边，且满足 a2+b2﹣c2＝0，∴a2+b2
＝c2，由勾股定理逆定理可得，△ABC是直角三角形，故选：B．
【设计意图】本题考查了勾股定理的逆定理，只需要将等式变形即可得．
47
第 2题：
【作业分析】过 B作 BE⊥AC于 E，根据等腰三角形的性质求出 AE＝DE，求
出 AE＝DE＝CD，1求出 CE＝BE＝2，求出 AE＝1，再根据勾股
定理求出答案即可．
【解答过程】解：过 B作 BE⊥AC于 E，
∵AB＝BD，BE⊥AC，∴∠AEB＝∠BEC＝90°，AE＝DE，
∵D是 AC的三等分点（AD＞CD），∴AE＝DE＝DC，
在 Rt△BEC中，BC＝2 ，∠C＝45°，∴∠EBC＝∠C＝45°，
∴BE＝CE，由勾股定理得：2BE2＝BC2＝（2 ）2＝8，
解得：BE＝EC＝2， ∴AE＝1，在 Rt△AEB中，由勾股定理得：
AB＝ ＝ ＝ ， 故选：B．
【设计意图】本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理，能灵活运用勾股定理
进行计算是解此题的关键，注意：等腰三角形底边上的高平分底
边．
第 3题：
【作业分析】连接 AC，根据勾股定理求出 AC，求出 AC2+CD2＝AD2，根据勾
股定理的逆定理得出△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，根据图
形得出四边形 ABCD的面积 S＝S△ABC+S△ACD，再求出答案即可．
【解答过程】解：连接 AC，
48
∵AB⊥BC，∴∠B＝90°，∵AB＝1，BC＝2，
∴AC＝ ＝ ＝ ，∵CD＝2，AD＝3，
∴AC2+CD2＝（ ）2+22＝5+4＝9，AD2＝32＝9，∴AC2+CD2＝
AD2，∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，
∴四边形 ABCD的面积 S＝S△ABC+S△ACD
＝ +
＝ + ×2＝1+ ，故答案为：1+ ．
【设计意图】本题考查了勾股定理的逆定理和勾股定理，能熟记勾股定理的逆
定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边 a、b的平方
和等于第三边 c的平方，那么这个三角形是直角三角形．
第 4题：
【作业分析】延长 AP交格点于 D，连接 BD，根据勾股定理和逆定理证明
∠PDB＝90°，根据三角形外角的性质即可得到结论．
【解答过程】解：延长 AP交格点于 D，连接 BD，
则 PD2＝BD2＝12+22＝5，PB2＝12+32＝10，
∴PD2+DB2＝PB2，∴∠PDB＝90°，
49
∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°． 故答案为：45．
【设计意图】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，
等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
第 5题：
【作业分析】（1）连接 AC，根据勾股定理和勾股定理的逆定理即可求解；
（2）过 D点作 DE⊥BC于 E，根据勾股定理和三角形面积公式即
可求得△ABD的面积．
【解答过程】（1）证明：连接 AC，∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，
∵AB＝BC＝5，∴AC2＝AB2+BC2＝52+52＝25+25＝50，
∵CD＝7，AD＝1，∴CD2+AD2＝72+12＝49+1＝50，
∴CD2+AD2＝AC2，∴△ADC是直角三角形，即∠ADC＝90°；
（2）解：过 D点作 DE⊥BC于 E，设 BE＝x，则 CE＝5﹣x，DE
＝ ，则 AB BC+ AD CD＝ AB BE+ BC DE，
即 ×5×5+ ×1×7＝ ×5x+ ×5 ，
解得 x1＝ ，x2＝ （不合题意舍去），则△ABD的面积为
×5× ＝2．
50
【设计意图】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此
题的关键，注意：如果一个三角形的两边 a、b的平方和等于第三
边 c的平方，那么这个三角形是直角三角形．
第 6题：
【作业分析】（1）由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题；
（2）要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间
线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．
【解答过程】解：（1）因圆柱的侧面展开面为长方形，AC展开应该是两线段，
且有公共点 C． 故选：A；
（2）解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周
长最小为 2AC的长度．∵圆柱底面的直径 BC＝8，圆柱的高 AB
＝10，∴该长度最短的金属丝的长为 2AC＝2 ＝
4 ．
【设计意图】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个
矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就
是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解
决．
第 7题：
【作业分析】（1）若∠C为锐角时，a2+b2＞c2，若∠C为钝角时，a2+b2＜c2；
（2）当∠C为锐角时，过点 A作 AD⊥CB于点 D，设 CD＝x，则
BD＝a﹣x，利用 AD2＝b2﹣x2，同时，AD2＝c2﹣（a﹣x）2，即可
证明；
当∠C为钝角时，过点 A作 BC的垂线交 BC的延长线于点 M，
CM＝y，则 BM＝a+y，利用 AM2＝b2﹣y2，同时，AM2＝c2﹣
（a+y）2，即可证明．
51
【解答过程】解：（1）猜想：若∠C为锐角时，a2+b2＞c2，若∠C为钝角时，
a2+b2＜c2；（2）当∠C为锐角时，a2+b2＞c2，证明如下：如图，
过点 A作 AD⊥CB于点 D，设 CD＝x，则 BD＝a﹣x，
在直角三角形 ACD中，AD2＝b2﹣x2，
在直角三角形 ABD中，AD2＝c2﹣（a﹣x）2，
∴b2﹣x2＝c2﹣（a﹣x）2，即 a2+b2＝c2+2ax，
∵a＞0，x＞0，∴a2+b2＞c2，
当∠C为钝角时，a2+b2＜c2，证明如下：
如图，过点 A作 BC的垂线交 BC的延长线于点 M，CM＝y，则
BM＝a+y，
在直角三角形 ACM中，AM2＝b2﹣y2，在直角三角形 ABM中，
AM2＝c2﹣（a+y）2，∴b2﹣y2＝c2﹣（a+y）2，即 a2+b2＝c2﹣
2ay，
∵a＞0，y＞0， ∴a2+b2＜c2．
【设计意图】本题考查了勾股定理在实际中的应用能力，在图形中构造出直角
三角形是解决问题的关键．
52
（4）18.2 勾股定理逆定理(2)课时作业及评价分析
课时教学目标
1、数学的眼光
在解决问题的过程中，锻炼了学生与他人交流和合作的意识。再次感悟勾
股定理和逆定理的应用价值；主动参与数学探究活动, 发展创新意识；
2、数学的思维
进一步理解勾股定理的逆定理；灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题；
进一步加深性质定理与判定定理之间的关系的认识。通过利用勾股定理和它的
逆定理解决实际问题，培养了学生解决实际问题的能力；
3、数学的语言
在不同条件、不同环境中反复运用勾股定理及其逆定理，使学生达到熟练、
灵活运用的程度在解决实际问题的过程中，提高学生建立数学模型的能力；形
成数学 的表达与交流能力，发展应用意识与实践能力。
课时作业目标
1.进一步巩固对勾股定理逆定理的理解、识记及应用。
2.能够构建直角三角形模型利用勾股定理逆定理解决实际问题 .
3．培养学生建立数学模型、分析解决问题的能力。
一、预习作业
（1）作业内容
1．下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（ ）
A．3，4，5 B．5，12，13 C．7，24，26 D．8，15，17
2．在操场上，小明沿正东方向走 80m后，沿第二个方向又走了 60m，再沿第
三个方向走 100m回到原地，小明走的第二个方向是（ ）
A．正西方向 B．东北方向
C．正南方向或正北方向 D．东南方向
53
3.如图，一根电线杆高 8m．为了安全起见，在电线杆顶部到与电线杆底部水平
距离 6m处加一拉线．拉线工人发现所用线长为 10.3m（不计捆缚部分），
则电线杆与地面 （填“垂直”或“不垂直”）．
（2）时间要求：10 分钟。
（3）评价设计（学生自评）
习题评价表
题号 等级 说明与评价
A 能正确根据勾股定理逆定理判定直角三角形并得出正确答案.
1 B
C 选择错误说明不能熟练运用勾股定理逆定理解决实际问题.
A 能正确选出正确选项，说明预习效果明显能初步运用都勾股定
理逆定理.
2
B
C 选择错误，说明完全没有理解预习内容,不能掌握以前所学的
知识点..
A 能写出正确答案，说明不仅能记住勾股定理逆定理，并且还能
初步进行应用.
3
B
C 不能正确写出答案，说明没有记住勾股定理逆定理或者虽然记
住了勾股定理逆定理但是不会应用.
54
（4）作业分析
第 1题：
【作业分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平
方即可．
【解答过程】解：A、32+42＝52，能构成直角三角形；
B、52+122＝132，能构成直角三角形；
C、72+242≠262，不能构成直角三角形；
D、82+152＝172，能构成直角三角形．故选：C．
【设计意图】此题主要考查了勾股定理逆定理，解答此题关键是掌握勾股定理
的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c满足 a2+b2＝c2，那么这
个三角形就是直角三角形．
第 2题：
【作业分析】根据题意作出图形，利用勾股定理的逆定理判定直角三角形即可
确定答案．
【解答过程】解：如图，AB＝80m，BC＝BD＝60m，AC＝AD＝100m，
根据 602+802＝1002得：∠ABC＝∠ABD＝90°，
故小明向东走 80m后，又走 60m的方向是正南方向或正北方向，
故选：C．
【设计意图】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据题意作出图形．
55
第 3题：
【作业分析】根据勾股定理的逆定理判定电线杆，地面水平距离，拉线是否构
成直角三角形．如构成，则垂直；如不构成，则不垂直．
【解答过程】解：∵62+82≠10.32，∴电线杆，地面水平距离，拉线，不能构成
直角三角形．∴电线杆与地面不垂直． 故答案为：不垂直．
【设计意图】本题利用了勾股定理的逆定理求解．根据勾股定理的逆定理可知，
当三角形中三边的关系为：a2+b2＝c2时，则三角形为直角三角形，
否则不是直角三角形．
二、练习作业
（1）作业内容
1.勾股数为一组连续自然数的是 ．
2.我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图如图所示，它是由四个全等的直角三
角形围成的．若 AC＝2，BC＝3，将四个直角三角形中边长为 3的直角边分
别向外延长一倍，得到一个如图所示“数学风车”，则这个风车的外围周长
是（ ）
56
3. 在平面直角坐标系中，有 A（﹣2，a+1），B（a﹣1，4），C（b﹣2，b）
三点．
（1）当点 C在 y轴上时，求点 C的坐标；
（2）当 AB∥x轴时，求 A，B两点间的距离；
（3）当 CD⊥x轴于点 D，且 CD＝1时，求点 C的坐标．
（2）时间要求：10 分钟。
（3）评价设计（学生互评，教师总评）
习题评价表
题号 等级 说明与评价
A 能写出正确答案，说明能够知道勾股数并且能够找出符合条件
的勾股数.
1
B
C 不能正确写出答案，说明不知道勾股数或者虽然知道但不会
求.
A 能写出正确答案，说明能记住并运用勾股定理逆定理解决问
题。
2
B
C 不能正确写出答案，说明没有记住勾股定理逆定理或不能对其
熟练运用。
A 能够正确做出，过程完整条理清楚.
3 B 能够正确做出但过程不完整.
C 不能做出，无过程.
57
（4）作业分析
第 1题：
【作业分析】根据连续自然数的特点，如果设中间的数是 x，那么前面的一个
就 x﹣1，后面的一个就是 x+1，根据题意列出方程解答即可．
【解答过程】解：设中间的数是 x，那么前面的一个就 x﹣1，后面的一个就是
x+1，根据题意（x﹣1）2+x2＝（x+1）2，解得：x＝0（舍去）或 x
＝4；4﹣1＝3，4+1＝5； 故答案为：3、4、5．
【设计意图】本题主要是考查奇数、偶数的意义及特点，根据连续两个奇数或
偶数都相差 2进而得出是解题关键．
第 2题：
【作业分析】由题意∠ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由
AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．
【解答过程】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为 x，
则 x2＝62+22＝40，所以 x＝2 ，所以风车的外围周长为 4
（BD+AC）＝4×（2 +3）＝8 +12． 故选：D．
【设计意图】本题考查了勾股定理应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题
第 3题：
【作业分析】（1）利用 y轴上点的坐标特征得到 b﹣2＝0，求出 b得到 C点坐
标；（2）利用与 x轴平行的直线上点的坐标特征得到 a+1＝4，
求出 a得到 A、B点的坐标，然后计算两点之间的距离；（3）
利用垂直于 x轴的直线上点的坐标特征得到|b|＝1，然后求出 b
得到 C点坐标．
【解答过程】解：（1）∵点 C在 y轴上，∴b﹣2＝0，解得 b＝2，∴C点坐标
为（0，2）；（2）∵AB∥x轴，∴A、B点的纵坐标相同，∴a+1
＝4，解得 a＝3，∴A（﹣2，4），B（2，4），∴A，B两点间的
距离＝2﹣（﹣2）＝4；（3）∵CD⊥x轴，CD＝1，∴|b|＝1，解
得 b＝±1，∴C点坐标为（﹣1，1）或（﹣3，﹣1）．
58
【设计题图】本题考查两点间的距离公式：设有两点 A（x1，y1），B（x2，y2），
则这两点间的距离为 AB＝ ．也考查了坐
标轴上点的坐标特征．
三、课时作业
（1）作业内容
1.（基础题）如图，已知钓鱼竿 AC的长为 10m，露在水面上的鱼线 BC长为
6m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿 AC转动到 AC'的位置，此时露
在水面上的鱼线 B'C'为 8m，则 BB'的长为（ ）
A．1m B．2m C．3m D．4m
2.（能力题）如图，一棵高 5米的树 AB被强台风吹斜，与地面 BC形成 60°夹
角，之后又被超强台风在点 D处吹断，点 A恰好落在 BC边上的点 E处，若
BE＝2米，则 BD的长是（ ）米
A．2 B．3 C． D．
59
3.（基础题）在平面直角坐标系中，若 A（x1，y1）、B（x2，y2），则 AB＝
，若 M（﹣4，1）、N（2，﹣1），则 MN
＝ ．
4.（能力题）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏
设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图 2，
衣架杆 OA＝OB＝18cm，若衣架收拢时∠AOB＝60°，如图 1，若衣架打开时
∠AOB＝120°，则此时 A，B两点之间的距离扩大了 cm．
5.（基础题）.已知△ABC的三边长 a、b、c满足 +|b﹣1|+（4c﹣5）2＝0，
试判断△ABC的形状，并说明理由．
6. ．图 1是超市购物车，图 2为超市购物车侧面示意图，测得∠ACB＝90°，
支架 AC＝4.8dm，CB＝3.6dm．
（1）（基础题）两轮中心 AB之间的距离为 dm；
（2）（能力题）若 OF的长度为 dm，支点 F到底部 DO的距离为 5dm，
试求∠FOD的度数．
60
7. 甲同学在拼图探索活动中发现；用 4个形状大小完全相同的直角三角形（直
角边长分别为 a，b，斜边长为 c，可以拼成像图 1那样的正方形，并由此得
出了关于 a2，b2，c2.的一个等式．
（1）（能力题）请你写出这一结论： ，并给出验证过程；
（2）（素养题）试用上述结论解决问题：如图 2如图，在四边形 ABCD中，
∠B＝∠D＝90°，分别以四边向外作正方形甲、乙，丙、丁，若甲的面积为
30，乙的面积为 16，丙的面积为 17，求“丁”的面积．
61
素养发展
中国有一种传统的益智玩具：七巧板，它由七块板组成，灵活拼接这七块
板就可以形成多种多样的图形例如：数字、字母、动物、物体等等，那么同学
们七巧板与勾股定理之间有没有联系呢？如果有，你能发现它们之间有什么联
系吗？
（2）时间要求：
A级学生做能力题和素养题 20 分钟，
B级学生做基础题和能力题 20 分钟，
C级学生做基础题 20 分钟。
（3）评价设计（教师评价）
习题评价表
题号 等级 说明与评价
A 能写出正确答案，说明能够掌握了勾股定理逆定理并且能够进
行熟练运用.
1
B
C 不能写出正确答案，还不能够掌握定理或不能熟练运用.
62
A 能写出正确答案，说明能够构建直角三角形并熟练运用勾股定
理的逆定理。
2
B
C 不能写出正确答案，对知识的掌握还不够灵活运用.
A 能写出正确答案，说明能够掌握了新知识的灵活运用。
3 B
C 不能写出正确答案，对知识没有掌握并且不能运用.
A 能写出正确答案，说明能把实际问题的图形抽象成几何图形并
运用勾股定理逆定理解决问题。
4
B
C 不能写出正确答案，对知识的掌握还不够灵活.
A 能够正确做出，过程完整条理清楚.
5 B 能够正确做出但过程不完整.
C 不能做出，无过程.
A 能够正确做出，过程完整条理清楚考虑全面，能与其它知识相
结合.
6
B 能够正确做出但过程不完整；考虑不全面.
C 不能做出，无过程.
A 能够正确做出，过程完整条理清楚考虑全面。
7 B 能够完整解答第一问。
C 不能做出，无过程。
63
作业整体评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准 A等，答案正确，过程正确。
确性
B等，答案正确，过程有问题。
C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准
确，过程错误、或无过程。
答题的规 A等，过程规范，答案正确。
范性
B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
解法的创 A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
新性
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过
程。
综合评价 AAA,AAB 综合评价为 A等；
等级
ABB、BBB、AAC 综合评价为 B等；
其余情况综合评价为 C等。
（4）作业分析
第 1题：
【作业分析】根据勾股定理分别求出 AB和 AB′，再根据 BB′＝AB﹣AB′即可得
出答案．
【解答过程】解：∵AC＝10m，BC＝6m，∴AB＝
（m），
∵AC′＝10m，B′C′＝8m，
∴AB′＝ （m），
64
∴BB′＝AB﹣AB′＝8﹣6＝2（m）； 故选：B．
【设计意图】此题考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理，根据已
知条件求出 AB和 AB′是解题的关键．
第 2题：
【作业分析】过点 D作 DF⊥BC于 F，设 BD＝x米，通过解直角△BDF得到
DF的长度，然后在直角△EDF中，利用勾股定理列出方程，通
过解方程求解即可．
【解答过程】解：如图，过点 D作 DF⊥BC于 F，
设 BD＝x米，则 DE＝（5﹣x）米，在直角△BDF中，∠DBF＝
60°，则 BF＝ x米，DF＝ x米．∴EF＝（2﹣ x）米．
在直角△DFE中，由勾股定理知：DE2＝DF2+EF2，即（5﹣x）2
＝（ x）2+（2﹣ x）2．解得 x＝ ．
即 BD的长是 米． 故选：C．
【设计意图】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是通过作辅助线，
构造直角三角形，利用勾股定理列出方程．
第 3题：
【作业分析】把点 M、N的坐标代入两点间的距离公式计算，得到答案．
65
【解答过程】解：∵M（﹣4，1）、N（2，﹣1），∴MN＝
＝2 ，故答案为：2 ．
【设计意图】本题考查的是两点间的距离公式，熟记两点间的距离公式是解题
的关键．
第 4题：
【作业分析】如图 1，过点 O作 OC⊥AB于点 C，利用含 30度角的直角三角形
和勾股定理求得 AC的长度，则 AB＝2AC；如图 2，连接 AB，则
△AOB为等边三角形，所以 AB＝OA，由此求差即可．
【解答过程】解：如图 1，过点 O作 OC⊥AB于点 C，∵OA＝OB＝18cm，
∠AOB＝120°，∴∠AOC＝60°．∴∠OAC＝30°．∴OC＝ OA＝
9cm．
∴AC＝ ＝9 cm．∴AB＝2AC＝18 cm．∵OA＝OB，
∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝OB＝18cm，
∴A，B两点之间的距离扩大了：（ ）cm． 故答
案是：（ ）．
【设计意图】此题考查了勾股定理和等边三角形的性质，关键是根据有一个角
是 60°的等腰三角形是等边三角形进行分析．
第 5题：
【作业分析】根据非负数的性质解得各边的长，再根据勾股定理的逆定理判定
是否直角三角形．
66
【解答过程】解：△ABC为直角三角形，理由如下：由题意得 3﹣4a＝0，b﹣1
＝0，4c﹣5＝0，所以 a＝ ，b＝1，c＝ ，因为（ ）2+12＝
（ ）2，所以 a2+b2＝c2， ∴△ABC为直角三角形．
【设计意图】此题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c满
足 a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了非负数
的性质，解本题的关键是求出 a，b，c的值．
第 6题：
【作业分析】（1）在 Rt△ABC中，由勾股定理求出 AB即可；
（2）过点 F作 FH⊥DO，交 DO延长线于 H，由勾股定理得 OH
＝5（dm），再证△FHO是等腰直角三角形，得∠FOH＝45°，进
而得出答案．
【解答过程】解：（1）在 Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝ ＝
＝6（dm）， 故答案为：6；
（2）过点 F作 FH⊥DO，交 DO延长线于 H，如图所示：则 FH＝
5dm，在 Rt△FHO中，由勾股定理得：OH＝ ＝
＝5（dm）， ∴OH＝FH，∴△FHO是等腰直角
三角形， ∴∠FOH＝45°，∴∠FOD＝180°﹣∠FOH＝180°﹣45°
＝135°，
∴∠FOD的度数为 135°．
67
【设计意图】本题考查了勾股定理的应用、等腰直角三角形的判定与性质等知
识，熟练掌握勾股定理和等腰直角三角形的性质是解题的关键．
第 7题：
【作业分析】（1）用不同的方法表示阴影部分的面积，即可得到关于 a2，b2，
c2的一个等式；（2）连接 AC，根据勾股定理可得甲的面积+乙
的面积＝丙的面积+丁的面积，依此即可求解．
【解答过程】解：（1）结论：a2+b2＝c2．验证：∵阴影部分的面积＝4× ab＝
2ab，阴影部分的面积＝（a+b）2﹣c2，
∴（a+b）2﹣c2＝2ab，即 a2+b2＝c2．故答案为：a2+b2＝c2．
（2）连接 AC，由勾股定理得 AB2+BC2＝AC2，AD2+CD2＝AC2，
∴甲的面积+乙的面积＝丙的面积+丁的面积，
∵甲的面积为 30，乙的面积为 16，丙的面积为 17，
∴丁的面积为 30+16﹣17＝29．
【设计意图】本题主要考查了勾股定理以及面积法的运用，在任何一个直角三
角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
68
（5）18 章勾股定理复习课时作业及评价分析
课时教学目标
1、数学的眼光
能应用勾股定理及逆定理解决一些简单的实际问题。使学生认识到数学来
自生活，并服务于生活，从而增强学生学数学、用数学的意识,体会勾股定理的
文化价值。
2、数学的思维
体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，发展合
情推理与演绎推理的能力。经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的
过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法。
3、数学的语言
能够精确描述勾股定理和勾股定理逆定理并用字母表示；会用勾股定理解
决分析结果，形成合理的判断或决策；形成数学的表达与交流能力，发展应用
意识与实践能力。
课时作业目标
（1）应用勾股定理及逆定理解决实际问题;把实际问题化归成勾股定理的几何
模型(直角三角形).
（2）经历反思本单元知识结构的过程，理解和领会勾股定理和逆定理．巩固对
勾股定理和勾股定理逆定理的理解、识记及应用.
（3）培养学生动手操作、实际应用、逻辑推理的能力，熟悉勾股定理的历史，
进一步了解我国古代数学的伟大成就，激发爱国主义思想，培养良好的
学习态度．
一、预习作业
（1）作业内容
69
1、完成本章知识网络图
2、勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于 ．
3、直角三角形的判定
（1）有一个角是 的三角形是直角三角形．
（2）有两个角 的三角形是直角三角形．
（3）勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于 ，那么这个
三角形是直角三角形．
（4）如果三角形一边上的 等于这边的一半，那么这个三角形是直角
三角形．
（2）时间要求：10 分钟。
（3）评价设计（学生自评）
习题评价表
题号 等级 说明与评价
A 能正确写出两小问的答案，说明能够掌握整章知识网络体系并
1 且知道如何去应用.
B 能正确写出其中一个的答案，或者书写不准确.
C 两问都不能写出，说明不知道如何去分析理解问题.
A 能正确填写出答案，说明预习效果明显能识记勾股定理.
2 B
C 不能填出答案，说明完全没有不知道勾股定理的内容.
70
A 能写出全部正确答案，说明能全面掌握直角三角形的判定方
3 法.
B 能写出部分答案，说明只知道一部分方法
C 完全不能正确写出答案，说明不会判定直角三角形.
（4）作业分析
第 1题：
【作业分析】（1）根据勾股定理知道两边可求出第三边；
（2）由勾股定理前提条件可知．
【解答过程】解： 答案为： 两边长 直角
【设计意图】本题主要考查学生对整章内容知识的梳理和总结．
第 2题：
【作业分析】根据勾股定理的内容解答即可．
【解答过程】解：勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
故答案为：斜边的平方．
【设计意图】此题考查的是勾股定理，掌握其定理是解决此题的关键．
第 3题：
【作业分析】根据直角三角形的判定即可求解．
【解答过程】解：（1）有一个角是 90°的三角形是直角三角形．
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形．
（3）勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边
的平方，那么这个三角形是直角三角形．
（4）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角
形是直角三角形．
故答案为：90°；互余；第三边的平方；中线．
【设计意图】考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，关键是熟练掌握
性质定理．
71
二、练习作业
（1）作业内容
1．如果△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，那么 AB边上的中线长
是 ．
2．已知△ABC三边长 a、b、c，且满足( 2)2 + | 2| + | 2 2| = 0，则
此三角形一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形D．等边三角形
3．如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地 A点出发，沿北偏东 60°方
向走了 500 3米到达 B点，然后再沿北偏西 30°方向走了 500 米到达目的地
C点．
（1）判断△ABC的形状；
（2）求 A、C两点之间的距离．
72
4、如图，将矩形 ABCD沿直线 AE折叠，顶点 D恰好落在 BC边上 F点处，已
知 CE＝3cm，AB＝8cm，求图中阴影部分的面积．
（2）时间要求：10 分钟。
（3）评价设计（学生互评、教师总评）
习题评价表
题号 等级 说明与评价
A 能写出正确答案，说明不仅能知道勾股定理，还知道斜边上的
1 中线等于斜边的一半.
B
C 不能正确写出答案，说明没有记住勾股定理或者虽然记住了勾
股定理但是不知道斜边上的中线等于斜边的一半..
A 能选出正确答案，说明能利用勾股定理逆定理判断三角形的形
2 状.
B
C 不能选出正确答案，没有掌握勾股定理逆定理.
A 能正确做出两问，过程完整条理清楚.
3 B 只能做出一问，或者两问都能做出但过程不完整
C 不能做出正确答案，对知识的掌握还不够灵活.
A 能够正确做出，过程完整条理清楚.
4 B 能够正确做出但过程不完整.
C 不能做出，无过程.
73
（4）作业分析
第 1题：
【作业分析】根据勾股定理求出 AB，根据直角三角形斜边上中线性质求出 CD
即可．
【解答过程】解：由勾股定理得：AB= 2 + 2 = 52 + 122 =13，
∵CD是直角三角形 ACB斜边 AB上的中线，
CD= 1∴ AB＝6.5， 故答案为：6.5．
2
【设计意图】本题考查了勾股定理和直角三角形斜边上中线性质，注意：直角
三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
第 2题：
【作业分析】根据平方，绝对值相加为 0，可分别求出 a，b，c的值，根据边
长可判断三角形的形状．
2
【解答过程】解：∵（a﹣2） +|b﹣2|+|c﹣2 2|＝0，
∴a﹣2＝0，a＝2；b﹣2＝0，b＝2；c﹣2 2 =0，c＝2 2．
2 2
∵2 +2 = (2 2)2 2 2 2， 即：a +b＝c，∴所以此三角形是直角三角
形．
又∵a＝b，∴故此三角形是等腰直角三角形． 故选：C．
【设计意图】本题考查勾股定理的逆定理，非负数的性质﹣绝对值和偶次方，
求出 a，b，c的值，根据边长判断三角形的形状．
第 3题：
【作业分析】（1）求出∠FBC，根据平角的定义求出∠CBA即可；
（2）根据勾股定理求出 AC即可；
【解答过程】解：（1）△ABC的形状是直角三角形，理由是：EF∥AD，
∴∠EBA＝∠DAB＝60°，∵∠FBC＝30°，
74
∴∠ABC＝180°﹣∠FBC﹣∠EBA＝90°，
∴△ABC的形状是直角三角形．
（2）AB＝500 3，BC＝500，由勾股定理得：
AC= 2 + 2 =1000，
答：A、C两点之间的距离是 1000 米．
【设计意图】本题综合考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，含 30 度角的直角
三角形，方向角，两点之间的距离等知识点，关键是能熟练地根
据性质进行推理和计算，题型较好，难度适中．
第 4题：
【作业分析】注意根据折叠的过程以及矩形的对边相等，得：AF＝AD＝BC，
DE＝EF．然后根据勾股定理求得 CF的长，再设 BF＝x，即可表
示 AF的长，进一步根据勾股定理进行求解．
【解答过程】解：由折叠可知△ADE和△AFE关于 AE成轴对称，
故 AF＝AD，EF＝DE＝DC﹣CE＝8﹣3＝5．所以 CF＝4，
设 BF＝xcm，则 AF＝AD＝BC＝x+4．
在 Rt△ABF 2 2 2中，由勾股定理，得 8 +x＝（x+4）．
解得 x＝6，故 BC＝10．
所以阴影部分的面积为：10×8﹣2S△ADE＝80﹣50＝30（cm
2）．
【设计意图】本题主要考查了勾股定理以及翻折变换，注意由折叠发现对应边
相等，熟练运用勾股定理进行求解．
75
三、课时作业
（1）作业内容
1．（基础题）下面四组数中是勾股数的一组是（ ）
A．6，7，8 B．5，8，13 C．3，2，2.5 D．5，12，13
2．（能力题）如图，Rt△ABC中，AB＝18，BC＝12，∠B＝90°，将△ABC
折叠，使点 A与 BC的中点 D重合，折痕为 MN，则线段 BN的长为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．10
3．（基础题）已知直角三角形的两边的长分别是 3和 4，则第三边长
为 ．
4．（能力题）如图，已

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