资源简介

第十九章 四边形 作业设计
一、单元信息
基本 学科 年级 学期 教材版本 单元名称
信息 数学 八年级 第二学期 沪科版 四边形
单元
组织 自然单元 重组单元
方式
序号 课时名称 对应教材内容
1 多边形的内角和 第 19.1（P70-72）
2 多边形的外角和 第 19.1（P72-74）
3 平行四边形性质 1.2 第 19.2（P75-76）
4 平行四边形性质 3 第 19.2（P76-79）
5 平行四边形判定 1 第 19.2（P79-80）
6 平行四边形判定 2.3 第 19.2（P80-81）
课时
7 三角形的中位线 第 19.2（P81-85）
信息
8 矩形的性质 第 19.3（P86-88）
9 矩形的判定 第 19.3（P88-89）
10 菱形的性质 第 19.3（P90-91）
11 菱形的判定 第 19.3（P91-92）
12 正方形 第 19.3（P92-98）
13 多边形的镶嵌 第 19.4（P99-101）
14 小结 第 19.4（P102-105）
二、单元分析
（一）课标要求
了解多边形（凸边形）的概念及多边形的顶点、边、内角、外角与对角线；
探索并掌握多边形内角和与外角和公式。理解平行四边形、矩形、菱形、正方形、
梯形的概念，以及它们之间的关系；了解四边形的不稳定性。探索并证明平行四
边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分。探索并
证明平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组
对边分别相等的四形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形。理
解两条平行线之间距离的概念，能度量两条平行线之间的距离。探索并证明矩形、
菱形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对
角线互相垂直。探索并证明矩形、菱形的判定定理：三个角是直角的四边形是矩
形，对角线相等的平行四边形是矩形；四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂
直的平行四边形是菱形。正方形既是矩形，又是菱形；理解矩形、菱形、正方形
之间的包含关系。
课标在“核心素养”中指出：经历探索图形特征的过程，建立基本的几何概
念；通过直观操作的方法，理解平面图形的性质与关系；掌握基本的几何证明方
法；形成推理能力，发展空间观念和几何直观。在项目学习中，综合运用数学和
其他学科知识与方法解决问题，积累数学活动经验，发展核心素养。探索在不同
的情境中从数学的角度发现和提出问题，综合运用数学和其他学科的知识从不同
的角度寻求分析问题和解决问题的方法，能运用几何直观、逻辑推理等方法解决
问题，形成模型观念和数据观念。在与他人合作交流解决问题的过程中，能够严
谨、准确地表达自己的观点，并能较好地理解他人的思考方法和结论。能够回顾
解决问题的思考过程，反思解决问题的方法和结论，形成批判性思维和创新意识。
关注社会生活中与数学相关的信息，主动参与数学活动；在解决数学问题的过程
中，能够克服困难，树立学好数学的信心，感受数学在实际生活中的应用，体会
数学的价值，欣赏并尝试创造数学美；养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反
思质疑的学习习惯。
（二）教材分析
1.知识网络
2.内容分析
《四边形》是《课标（2022 年版）》“图形与几何”中“图形的性质”内容
中的一章。本单元主要内容有三部分：多边形的内角和、特殊的四边形和镶嵌。
四边形是人们日常生活和生产实践中应用较广、接触较多的一种图形尤其是各种
特殊的四边形即平行四边形（包括矩形、菱形、正方形），更是随处可见。四边
形是平面几何中的基本图形，也是平面几何研究的对象之一。本章是在学
行线和三角形的基础上研究一些特殊的四边形。在本章的学习中常常需要把四边
形的问题转化为的平行线和三角形问题来解决，这体现了转化的思想。在本章的
学习中，还经历了特殊四边形的性质、判定的探索过程，丰富了学生从事数学活
动的经验和体验，进一步培养学生合情推理的能力。通过本章的学习，理解平行
四边形和特殊的平行四边形（矩形、菱形、正方形）之间的共性与特性。它们之
间的从属关系，涉及概念的内涵和外延、分类思想、逻辑思维等方面的知识，很
好地培养和发展了学生的逻辑思维能力。设计镶嵌图作为课题学习内容被安排在
本章最后，这个内容要用到多边形的内角和公式。通过课题学习，学生可以经历
从实际问题抽象到数学问题、建立数学模型、综合应用已有的知识解决问题的过
程，从而加深对相关知识的理解。
本单元的重点为第二、三节的内容，平行四边形、矩形、菱形、正方形在平
面几何以及生产生活中都有着极其重要的地位，是三角形后的又一类基本图形，
也是以后学习立体几何必不可少的准备。这些图形的性质及判定都是必须掌握和
熟悉的内容，要熟知它们相互之间的联系与区别。
（三）学情分析
从学生的认知规律看：学生在小学时已经接触过正方形、长方形及平行四边
形等概念，已经有了比较形象的认识，对其性质有一定的了解，并在上学期又深
入学习了三角形的性质及判定等知识，都为四边形的继续学习打下了良好的基
础。在处理多边形问题时，先用作对角线法将多边形划分为若干三角形，然后再
探索其他方法，这样比较符合学生的认知规律。
从学生的学习习惯、思维规律看：八年级学生认知结构、心理特征趋于逐渐
成熟时期，是学生由试验几何向推理几何过渡的重要阶段。这个时期的学生对所
学知识有一种急于尝试和运用的冲动，若不能正确引导，则必将对其学习数学的
积极性造成伤害。此外八年级的学生动手操作相互协作、逻辑思维的能力都有了
很大的提高，能够主动地探索多边形内角和定理、外角和定理及平行四边形的性
质等。另外，在以往的学习中，学生的动手实践、自主探究能力都得到一定的训
练，本章将进一步培养学生这些方面的能力。
三、单元学习与作业目标
1.了解多边形及其相关概念，联系三角形的有关概念，渗透类比思想。掌握
多边形的内角和公式，通过作业练习运用它进行有关的计算。
2.了解多边形外角的定义理解它与内角的关系，经历探索多边形的外角和公
式的推导过程，进一步发展学生的推理能力，并掌握多边形外角和公式并用其解
决实际问题。了解正多边形的定义和四边形的不稳定性、过程与方法，并能进行
简单的运算。
3.掌握平行四边形的概念，会用定义识别平行四边形，理解平行四边形的性
质 1和性质 2，并能进行简单的应用。在探索的过程中，发展他们的创新精神，
体会探索问题的一般方法和转化的数学思想，发展推理能力。
4.理解平行线间的距离的概念及两个推论，掌握平行四边形的性质 3：平行
四边形的对角线互相平分。通过对平行四边形知识的探索，感受几何图形中的数
学关系，同时让学生在独立思考的基础上参与讨论，享受解决问题的成功体验，
增强学好数学的信心。
5.掌握根据一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法及其应用，培养学
生逻辑推理的能力，培养学生发散思的能力。
6.探索平行四边形的判别条件：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形。掌握应用上面两种判别方法对一些平行
四边形的判别进行说明。经历对平行四边形判定方法的探究，进一步提高学生分
析问题、解决问题的能力。
7.探索并掌握三角形的中位线的概念、性质，会利用三角形中位线的性质解
决有关问题，经历探索三角形中位线性质的探索过程，发展学生的观察能力及抽
象思维的能力。
8.探索并掌握矩形的有关性质，理解矩形与平行四边形的区别和联系，领会
矩形的内涵。经历探索矩形有关性质的过程，在图形变换以及实际操作的过程中
发展学生的空间观念培养学生的几何感。
9.通过探索与交流，逐渐得出矩形的判定定理，并掌握矩形的三种判定方法，
会运用它们解决相关问题，培养学生的逻辑推理、动手实践和观察探究。
10.探索并掌握菱形的概念和它所具有的特殊性质，会进行简单的推理和运
算，能推导出菱形的面积等于它的两条对角线长的积的一半的性质。从学生已有
的知识出发，通过欣赏、观察、动手操作、讨论交流等活动，激发他们学习数学
的激情，树立学好数学的信心。
11.探究菱形的判定方法，掌握菱形的判定定理，了解菱形在实际问题中的
应用。经历操作、观察、猜想、证明的过程，培养学生的逻辑推理能力情感、态
度与价值观。
12.掌握正方形的概念、性质和判定定理，经历探索正方形的有关性质和判
定有关的论证和计算的过程。在观察中寻求新知，在探索中培养学生的推理能力，
使他们逐步掌握说理的基本方法。通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系
的理解，提高学生的逻辑思维能力。
13.知道能单独进行平面镶嵌的只有三角形、四边形或正六边形，能用多边
形进行简单的镶嵌设计。通过探索多边形平面图形的镶嵌并且欣赏美丽的图案，
从而感受数学与现实生活的密切联系，培养学生学习数学的兴趣，促进创新意识、
审美意识的发展。
14.回顾本单元知识，领会四边形以及特殊四边形的概念、性质、判定定理
以及三角形中位线定理，发展合情推理的能力。经历四边形的基本性质及常见判
定方法的复习交流过程，使学生学会“合理地思考”，建立知识体系，获得一定
的技能基础。
四、单元作业设计思路
每课时均设计“课前作业”和“课后作业”。“课前作业”分为“复习旧知”、
“预习新知”和“课前小练”，需要时间 15 分钟到 20 分钟。“复习旧知”和“预
习新知”面向全体，体现知识的建构性，填空题为主，要求学生必做。在“双减”
背景之下，为了减轻家长的辅导负担以及同学们的学习负担，我们在课前作业里
面添加了微课视频，以便于同学们更好的预习新的知识、领会新的内容为新课做
好铺垫、打好基础，同时激发学生的学习兴趣，满足学生对学习的个性化需求，
也增添了作业的多样性以及学习的趣味性。“课前小练”体现以生为本，以课本
为本，题量 1-2 题，要求学生选择性完成。课后作业又分为“基础性作业”、“拓
展性作业”和“培优性作业”，需要时间 25 分钟左右。“基础性作业”面向全
体，体现课标，题量 3-4 大题，要求学生必做；“拓展性作业”体现个性化，探
究性、实践性，题量 2-3 大题，要求学生有选择的完成；“培优性作业”题量 1
题，要求学生选择性完成。具体设计体系如下：
五、课时作业
第一课时（19.1.1 多边形内角和）
作业 1（课前作业）
1.作业内容
（1）回顾之前所学内容填空
三角形内角和定理______。
（2）阅读教材 P70－72 页，完成下列问题：
a.在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图
形叫做______。n 个边就叫______。
b.多边形的有关概念填空
多边形内角和
此多边形记作：______。
（3）探究新知—多边形内角和定理
① ② ③
a.推导定理：
照样子试一试
方法一如图①，过 n 边形的一个顶点 A 作对角线，可以引（n-3）
条对角线，它们将 n 边形分为（n-2）个三角形，这（n-2）个三角形的
内角和就是 n 边形的内角和，所以 n 边形的内角和为（n-2）·180°
方法二如图② ______。
方法三如图③______。
归纳定理：n 边形的内角和等于（n-2）·180°（n 为不小于 3 的
整数）。
课前小练
（4）运用定理
已知一个多边形的每个内角都是 160°，则这个多边形的边数是
（ ）
A.9 B.16 C.18 D.26
2.时间要求（15 分钟左右）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准
确，过程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
解法的创新性
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无
过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC
综合评价等级
综合评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
设计意图：
作业第（1）题复习三角形内角和定理有助于学生探究和理解多边形内角和
定理，为接下来的学习做准备。
第（2）题主要关于多边形及相关知识的理解和符号表述，注意多边形的边
数等于顶点数等于内角数。
第（3）题主要考查了多边形内角和定理的推理过程。注意多边形内角和
公式的几种推导方法都是把多边形问题转化为三角形问题，这种转化的
方法是解决多边形问题的核心。
第（4）题在学完定理之后及时运用以加深对定理的理解与记忆，并做到学
以致用。
作业分析：
（1）三角形内角和等于 180°。
（2）a.多边形，n边形； b. ①内角， ②外角，③对角线，④边，⑤五边
形 ABCDE。
（3）a.方法 2：如图所示，在 n边形内任取一点 P，连接 PA，PA2，…，P An，
把 n 边形分成 n 个三角形，这 n 个三角形的内角和为 n·180°，再减去一个周
角，即得 n边形的内角和是（n-2）·180°。
方法 3：如图所示，在 n边形的一边上任取一点 P与各顶点相连，得（n-1）
个三角形，n 边形内角和等于这（n-1）个三角形的内角和减去在点 P 处的一个
平角，即（n-1）·180 -180°=（n-2）·180°。
（4）解法一：根据多边形的边数、角的个数、顶点个数都一样所以 360°
÷（180°-160°）=18 所以这个多边形的边数为 18。
解法二：由题意可得：180（n-2）=160n 解得 n=18，所以多边形的边数是
18 故答案为：C。
作业 2（课后作业）
1.作业内容
基础巩固
（1）下列角度中，是多边形内角和的只有（ ）。
A．270° B．56 0° C．630° D．1440°
（2）若一个多边形的对角线条数为 9，则这个多边形的边数为______。
（3）下列命题正确的是（ ）
A.四边都相等四边形是正方形
B.四边形具有稳定性
C.既是轴对称图形又是中心对称图形的多边形是正多边形
D.各边相等、各角也相等的多边形是正多边形
能力拓展
（4）一个多边形剪去一个角后（剪痕：不过任何一个顶点），内角和为
1980°，则原多边形的边数为（ ）
A.11 B.12 C.13 D.11 或 12
（5）有两个多边形，它们的边数的比为 1：2，内角和的比为 1：4，你能确
定它们各是几边形吗 试试看。
素养提升
（6）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的值。
（7）（选做）已知一个多边形的 每个内角都为钝角，则这样的多边形有多
少个？边数最少的一个是几边形？
2.时间要求（30 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准
确，过程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
解法的创新性
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无
过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC
综合评价等级
综合评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
设计意图：
作业第（1）题目的是对内角和定理的理解加深和运用。要判断四个选项中
哪个是多边形的内角和，我们需要知道多边形内角和的特点。由多边形的内角和
公式（n－2）·180°可知，多边形的内角和是 180°的倍数。
第（2）题考查了多边形的对角线，熟记对角线公式是解题关键，根据多边
n n 3
形的对角线公式 进行计算即可得解。
2
第（3）题对正多边形的概念及四边形稳定性的领会。
第（4）题考查了多边形的内角的理解，难点在于判断出剪去一个角后多边
形的边数。根据剪去一个角后的多边形的边数有：增加 1、减少 1、不变三种情
况求出边数，再根据多边形的内角和公式列式计算即可得解。
第（5）题此题主要考查了多边形内角与外角，正确记忆多边形内角和定理
是解题关键.首先设出多边形边数，再利用多边形内角和定理得出等式求出即可。
第（6）题的关键是将不规则图形中的角转移到常见图形中，把多个角的和
转化为一个多边形的内角和或外角和。
第（7）题根据内角和表示出一个内角，确定它的范 围是大于 90°且小于
180°，从而求出边数 n的范围，培养学生的几何直观和运算能力。
作业分析：
（1）解：要判断四个选项中哪个是多边形的内角和，我们需要知道多边形
内角和的特点。由多边形的内角和公式（n－2）·180°可知，多边形的内角和
是 180°的倍数，观察验算四个选项知选 D。
n n -3 2
（2）解：设多边形的边数为 n，则 9整理得 n -3n-18=0
2
解得 n1=6，n2=-3（舍去），所以这个多边形的边数是 6。故答案为：6。
（3）答案：D。
菱形各边长度相等，但不是正多边形，故 A选项错误；三角形具有稳定性而
四边形具有不稳定性，故 B选项错误；矩形既是轴对称图形又是中心对称图形，
但不是正多边形，故 C选项错误；各边相等，各角也相等的多边形是正多边形，
故 D选项正确。故选 D。
（4）解：1980°÷180°+2=13 原来的多边形的边数为 13-1=12 故选 B。
（5）设第一个多边形边数为 n，则另一个边数为 2n 根据题意可列方程，
4·（n-2）180°=（2n-2）180°，解得 n=3，2×3=6，答：这两个多边形分别是
三角形和六边形。
（6）解：连接 BE，在四边形 ABEF 中，
∠A＋∠ABE＋∠BEF＋∠F＝360°
∵∠1＋∠2＝∠C＋∠D
∴∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F
＝∠A＋∠ABC＋∠1＋∠2＋∠DEF＋∠F＝360°。
n 2 180o
（7）解：设多边形的边数为 n，则每一个内角为 。由题意，得
n
n 2 180o
90°＜ ＜180°，n为正整数∴n＞4。∴内角都为钝角的多边形有无
n
数个。∵n＞4，∴n的最小值为 5，即边数最少的一个是五边形。
第二课时（19.1.2 多边形外角和）
作业 1（课前作业）
1.作业内容
预习导学
（1）回顾之前所学内容填空
①多边形的内角和公式：n边形的内角和等于_______。
②一个多边形的内角和等于 1260°，求它是几边形？
探究新知
（2）阅读教材 P72－73 页，完成下列问题：
①多边形的外角的概念
多边形的内角的一边与另一边的____________所组成的角
叫作这个多边形的一个外角。在多边形的每个顶点处取一个外 多边形外角和
角，它们的和叫作这个多边形的_____。
②我们已经知道三角形的外角和为 360°，那么四边形、五边形、n边形呢
以五边形为例：已知：∠1，∠2，∠3，∠4，∠5分别为五边形 ABCDE 的外
角。求：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5 的值。
③思考以下问题：
任何一个外角同与它相邻的内角有什么关系？
五边形的 5 个外角加上与它们相邻的内角，所得总和是多
少
五边形的外角和是多少？六边形、七边形？
结论：任意多边形的外角和等于_________ ，n 边形的外
角和与__________无关。
课前小练
（3）（教材第 74 页习题 19.1 第 3 题）一个多边形，每一个外角都等于
45°，这个多边形是几边形，它的内角和是多少
2.时间要求（20 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准
确，过程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
解法的创新性
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无
过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC
综合评价等级
综合评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
设计意图：
第（1）题回顾之前内角和定理，加深对旧知识的理解为新授课做好住备，
因为外角和定理的推导离不开内角和定理的支撑。
第（2）题让学生探索发现问题，提出问题，解决问题，最后得出结论。是
学生自己探索的过程，锻炼了学生的逻辑思维能力，充分体现了以学生为主体，
教师为主导的教育理念。
第（3）题此题主要考查了多边形内角与外角以及正多边形的特征，正确记
忆多边形内角和定理是解题关键。首先设出多边形边数，再利用多边形外角和定
理得出多边形边数，再用内角和定理求出内角和即可，本题考察点比较全面，既
简单又能达到很好的训练作用。
作业分析：
（1）①（n-2）·180°；②设这个多边形的边数为 n，（n-2）·180=1260
解得 n=9，故这个多边形为九边形。
（2）①延长线，外角和；
②因为∠1+∠EAB=180°， ∠2+∠ABC=180°， ∠3+∠BCD=180°， ∠4+
∠CDE=180°， ∠5+∠DEA=180°。所以∠1+∠EAB+∠2+∠ABC+∠3+∠BCD+∠4+
∠CDE+∠5+∠DEA=900°，∠EAB+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEA=540°，即∠1+∠2+
∠3+∠4+∠5=360°。
③猜想：猜想 n边形的外角和是 360°。根据邻补角定义可得任何一个外角
同与它相邻的内角是邻补角关系，故答案为：任何一个外角同与它相邻的内角是
邻补角关系。
因为多边形的任何一个外角加上它相邻的内角和为 180°。
所以六边形的六个外角加上各自相邻内角的总和为 6×180°。由于六边形的
内角和为（6-2）x180°=720°，所以它的外角和为 6x180°-720°=360°。
n边形的 n个外角加上各自相邻的内角总和为 n·180°，n边形内角和为
（n-2）·180°；所以 n边形外角和为 n·180°-（n-2）·180°=2×180°=360°。
结论：任意多边形外角和为 360°，与 n无关。
（3）解析因为多边形的外角和是 360°，且它的每一个外角都等于 45°所
以该多边形的边数为 360°÷45°=8，所以这个多边形是一个八边形，它的内角
和（8-2）×180°=1080°。
作业 2（课后作业）
1.作业内容
基础巩固
（1）多边形的每个外角与它相邻内角的关系是（ ）
A．互为余角 B．互为邻补角 C．两个角相等 D．外角大于内角
（2）如果一个多边形的内角和是外角和的 3倍，则这个多边形的边数是
（ ）
A.8 B.9 C.10 D.11
（3）如果一个多边形的边数增加一条，那么这个多边形的内角和增加
_____________，外角和增加_____________。
能力拓展
（4）一个凸多边形的内角和与某个外角的总和为 2570°，求这个多边形的
边数 n及这个外角的度数各多少？
（5）如图所示，小亮从 A 点出发前进 10m，向右转 15°，再前进 10m，又
向右转 15°，……，这样一直走下去，他第一次回到出发点 A 时，一共走了
m。
A 15°
15
°
素养提升
（6）（选做）如图①②，
（a）试研究其中∠1，∠2与∠3，∠4之间的数量关系；
（b）如果我们把∠1，∠2称为四边形的外角，请你用文字描述上述关系式；
（c）用你发现的结论解决下列问题：如图，AE，DE 分别是四边形 ABCD 的
外角∠NAD，∠MDA 的平分线，∠B+∠C=240°，求∠E的度数。
2.时间要求（30 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准
确，过程错误、或无过程。
A 等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
解法的创新性
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无
过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC
综合评价等级
综合评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
设计意图：
作业第（1）题主要考查外角与相邻内角的关系，通过识别二者关系进一步
理解外角和定理的由来。
第（2）题重在考查多边形内角和定理和外角定理，熟练运用定理反求多边
形边数。
第（3）题重在考查多边形外角和在 n≥3时恒为 360°与边数多少无关。而
内角和会随边数的改变而改变。
第（4）题既考查了外角与相邻内角的关系，又考查了内角和定理。在前几
题的基础上变形递进，又提供不同方法来解决问题。
第（5）题重在对外角和定理的灵活运用。任何一个多边形的外角和都是 360，
用外角和求正多边形的边数可直接让 360 除以一个外角度数即可。
第（6）题综合生地考查了多边形内角和定理，外角与相邻内角的关系，角
平分线的特征等让孩子们多方面考虑问题。从而达到领会和驾驭所学知识。
作业分析：
（1）B
（2）A设这个多边形的边数为 n.根据题意，得（n-2）·180°=3×360°，
解得 n=8。
（3）根据规律：多边形的内角和=180×（边数-2）可得一个多边形的边数
增加一条，那么这个多边形的内角和增加 180°；外角和永远都是 360°，所以
不管怎么增加外角一直不变所以外角和增加 0。
（4）解：方法一：根据题意，得 2570°-180°<（n-2）·180°<2570°，
解不等式组，得 15.7为（16-2）×180°=2520°，所以 2570°-2520°=50°所以该外角的度数为 50°。
方法二 ：因为 2570÷180=14……50，所以 n-2=14 所以 n=16.该外角的度数
为 50°。
（5）小亮从 A点出发最后回到出发点 A时正好走了一个正多边形，根据外
角和定理可知正多边形的边数为 n=360°÷15°=24，则一共走了 24×10=240 米.
故答案为：240。
（6）解：（a）设∠1的邻补角为∠5，∠2的邻补角为∠6。∵∠3，∠4，
∠5，∠6是四边形的四个内角，∴∠3+∠4+∠5+∠6=360°，∴∠3+∠4=360°-
（∠5+∠6）。∵∠1+∠5=180°，∠2+∠6=180°，∴∠1+∠2=360°-（∠5+∠6），
∴∠1+∠2=∠3+∠4。
（b）四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和。
（c）∵∠B+∠C=240°，∴∠MDA+∠NAD=240°。∵AE，DE 分别是∠NAD，
1
∠MDA 的平分线，∴∠ADE=∠MDA，∠DAE=∠NAD，∴∠ADE+∠DAE= （∠MDA+
2
∠NAD）=120°，∴∠E=180°-（∠ADE+∠DAE）=60°。
第三课时（19.2.1 平行四边形性质）
作业 1（课前作业）
1.作业内容
复习巩固
（1）回顾之前所学内容填空
_______________叫做多边形。
_______________叫做四边形。
_______________叫多边形的对角线。
_______________叫做多边形的内角。
_______________叫做多边形外角。
四边形的内角和：_______________。
四边形外角和：_______________。
平行四边形的性质 1
探究新知
（2）阅读教材 P75－76 页，完成下列问题：
平行四边形的定义：_______________________ _，叫做平行四边形。
认识平行四边形，如图：
①平行四边形的表示法：_____ ，读作：_______；
②平行四边形的四个顶点分别为_________________；平行四边形的四条边
分别为____________，其中，___与___是对边，____与____是对边；
③平行边形的四个内角分别为_______________________，其中，____与____
是对角，______与_____是对角。
平行四边形的对边平行，相邻的内角互为补角，除此以外，平行四边形中，
边、角还有什么性质呢？
④平行四边形的性质：
性质 1：平行四边形的对边__________；
性质 2：平行四边形的对角__________。
课前小练
（3）已知 ABCD 的周长为 56，AB=4，则 BC 等于（ ）
A.4 B.12 C.24 D.28
（4）（选做）如图，在 ABCD 中，AE 平分∠BAD 且交 BC 于点 E，∠D=58°，
则∠AEC 的大小是（ ）
A.61° B.109° C.119° D.122°
2.时间要求（20 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准
确，过程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性
B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C 等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
解法的创新性
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无
过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC
综合评价等级
综合评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
设计意图：
作业第（1）题复习多边形的概念和内角和公式等相关知识，有助于学生理
解和学习平行四边形的相关知识。
第（2）题主要关于平行四边形的定义及相关知识的理解和符号表述。
第（3）题主要考查了平行四边形的性质 1。
第（4）题考查了平行四边形的性质、角平分线和平行线的性质。此题难度
适中。
作业分析：
（1）由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次连接所组成的封闭图形，
由不在同一直线上的四条线段依次首尾相接围成的封闭的平面图形或立体图形
连接多边形的两个不相邻顶点的线段 ，多边形相邻两边所组成的角，多边形内
角的一边与另一边反向延长线所组成的角，360°，360°。
（2）①有两组对边分别平行的四边形 ， ABCD ，平行四边形 ABCD；
②A、B、C、D ， AB、BC、CD、AD，AB、CD ，AD、BC ；
③∠ABC、∠BCD、∠BAD、∠ADC，∠ABC、∠ADC，∠BAD、∠BCD ，邻角互补；
④平行且相等，相等。
（3）C 平行四边形的对边相等。
（4）C 平行四边形邻角互补，对边平行。
作业 2（课后作业）
1.作业内容
基础巩固
（1）在平行四边形 ABCD 中，已知∠A＝60°，求∠B=____，∠C=____，∠
D=______。
（2）在 ABCD 中，已知 AB＝a，BC＝b，求这个平行四边形的周长_________
（3）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，∠D＝120°，
∠CAD＝32°，则∠ABC、∠CAB 的度数为（ ）
A.28°，120° B.120°，28°
C.32°，120° D.120°，32°
（4）已知平行四边形一边 AB＝12cm，它的长是周长
1
的 ，则 BC＝____cm，CD＝_____cm.
6
能力拓展
（5）在 ABCD 中，M 为 CD 的中点，如果 DC＝2AD，则 AM、BM 夹角的度数
是___________
（6）如图，在 ABCD 中，AE 平分∠DAB 交 DC 于 E，BF 平分∠ABC 交 DC 于
F，DC＝8cm，AD＝3cm，求 DE、EF、FC 的长。
第（6）题 第（7）题
素养提升
（7）（选做）如图，P为 ABCD 内一点，连接 PB，PC，PD，PB=AB，∠ABP=
∠ADP=90°。
（1）求∠BCP 的度数；
（2）若 PC=PD，求证：BP 垂直平分线段 CD。
2.时间要求（25 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准
确，过程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
解法的创新性
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无
过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC
综合评价等级
综合评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
设计意图：
作业第（1）（2）（3）题要求学生学会用平行四边形的性质来解题，加深
对性质的理解和运用。
第（4）小题在四边形周长知识的基础上考查学生对“性质 1”的理解。
第（5）题从平行四边形性质的基础上加入等腰三角形的性质及平行线之间
的关系，能够加深学生对平行四边形定义的理解。
第（6）题考查平行四边形的性质，角平分线性质以及平行线性质、等腰三
角形性质，帮助学生加深平行四边形性质的掌握以及对旧知识的回顾，并培养学
生综合知识应用的能力。
第（7）题考查平行四边行的性质，全等三角形的判定与性质、等腰直角三
角形的性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形
全等、以及辅助线是解题的关键，同时很好的培养了学生的发散思维，知识间的
整合运用。
作业分析：
（1）∠B=120°∠C=60°∠D=120°
（2）2a+2b
（3）B
（4）24 、12
（5）90°
（6）解：∵AE、BF 平分∠DAB、∠ABC，∴∠DAE=∠EAB，∠ABF=∠CBF。又
∵AB∥CD，∴∠BAE=∠DEA，∠ABF=∠CFB。∴∠DAB=∠DEA，∠CBF=∠CFB，∴
DE=AD=3cm ，CF=CB=AD=3cm，∴EF=CD -DE -CF=2cm。
（7）解：①如图，延长 DP 交 BC 于点 E。在 ABCD 中，AB=DC，∠A=∠BCD，
∠ABC=∠ADC。又∵PB=AB，∴PB=CD。∵∠ABP=∠ADP=90°，∴∠A+∠BPD=180°，
∠PBE=∠CDE。又∵∠A=∠BCD，∠BPE+∠BPD=180°，∴∠BPE=∠DCE。
∠ PBE = ∠ CDE
在△BPE 和△DCE 中，∵ PB CD ∴△BPE≌△DCE（ASA），

∠ BPE = ∠ DCE
∴∠BEP=∠DEC=90°，CE=EP，∴∠BCP=45°。
②证明：连接 BD，如图。∵△BPE≌△DCE，∴BE=DE，
则∠BDP=45°，∴∠BDP=∠BCP。∵PC=PD，∴∠PCD=∠PDC，
∴∠BCD=∠BDC，∴BD=BC。又∵PC=PD，∴BP 垂直平分线段 C。
第四课时（19.2.2 平行四边形性质）
作业 1（课前作业）
1.作业内容
复习巩固
（1）回顾之前所学内容填空
平行四边形的性质 1：___________________。
平行四边形的性质 2：___________________。
点到点之间的距离：_____________________。
点到线之间的距离：_____________________。
探究新知
平行四边形的性质 2
（2）阅读教材 P76－79 页，完成下列问题：
①如图，直线 l1∥直线 l2，AB，CD 是夹在直
线 l1 ，l2之间的两条平行线，AB 与 CD 相等吗？为
什么？
结论：夹在两条平行线之间的平行线段
_________。若 AE⊥l2，CF⊥l2，则 AE 与 CF 相等
吗？
总结：两条平行线之间的距离处处相等。
②什么叫做两条平行线之间的距离？
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条直线
之间的距离。你能举一些日常生活中例子说明“两条平行线之间的距离处处相等”
吗？
③你能发现平行四边形的对角线有什么性质吗？
如图，在 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，
求证：AO＝CO，BO＝DO.
结论：平行四边形对角线的性质：
____________________________________。
课前小练
（3）如图，已知 l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l2于点 E，
FG⊥l2于点 G，则下列说法错误的是（ ）
A.AB＝CD
B.A、B 两点间的距离就是线段 AB 的长度
C.CE＝FG
D.l1与 l2之间的距离就是线段 CD 的长度
（4）（选做）四边形 ABCD 中，AB∥CD，AD∥BC，对角线 AC，BD 互相垂直
相交于点 O，且 AC=6，BD=8，求该四边形的周长？
2.时间要求（15 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
答题的准确性
B等，答案正确、过程有问题。
C 等，答案不正确，有过程不完整；答案不准
确，过程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
解法的创新性
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无
过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC
综合评价等级
综合评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
设计意图：
作业第（1）题复习平行四边形的性质以及点与点之间的距离、点与线之间
的距离等相关知识，有助于学生学习和理解线与线之间的距离等相关知识。
第（2）题主要关于平行线之间的距离概念及应用和平行四边形对角线性质
及相关知识的理解和符号表述。
第（3）题主要考查的是点与点的距离，点与线的距离以及平行线之间的距
离，帮助学生加深对概念的理解与区分。
第（4）题考查平行四边形的定义以及平行四边形对角线性质，勾股定理，
很好在几何图形里融入代数知识，为后期菱形的证明埋下伏笔。
作业分析：
（1）平行四边形对边相等，平行四边形对角相等，两点间线段的长度 ，过
点做直线的垂线段的长度。
（2）①相等 ；②例如铁轨，运动器材双杆等；
③∵在 ABCD 中，DC∥AB 且 DC＝AB，∴∠DCA＝∠BAC，∠CDB＝∠ABD，
∴△COD≌△AOB（ASA），∴AO＝CO，BO＝DO。
平行四边形对角线互相平分。
（3）D
（4）20 解：∵四边形 ABCD 中，AB∥CD，AD∥BC，∴四边形 ABCD 是平行

四边形，∴OA=OC= AC=3，OB=OD= BD=4，∵AC 与 BD 互相垂直∴AB=BC=CD=AD=5，

即 C ABCD=5×4=20。
作业 2（课后作业）
1.作业内容
基础巩固
（1）平行四边形的对角线一定具有的性质是（ ）
A.相等 B.互相平分 C.互相垂直 D.互相垂直且相等
（2）如图，在周长为 20cm 的 ABCD 中，AB≠AD，AC、BD 相交于点 O，
OE⊥BD 交 AD 于 E，则△ABE 的周长为（ ）
A.4cm
B.6cm
C.8cm
D.10cm
（3）如图，在 ABCD 中，AE⊥BD 于点 E，∠EAC＝30°，
AE＝3，则 AC＝_______.
（4）如图，已知 ABCD 的周长为 60cm，对角线 AC，BD
相交于点 O，△AOB 的周长比△BOC 的周长长 8cm，求 ABCD 的各边长。
第（4）题 第（5）题
能力拓展
（5）如图，已知直线 a∥b，点 A、B、C在直线 a上，点 D、E、F在直线 b
上，AB=EF=2，若△CEF 的面积为 5，则△ABD 的面积为 （ ）
A.2 B.4 C.5 D.10
（6）如图所示，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，M，N
在对角线 AC 上，且 AM=CN，求证：BM∥DN。
素养提升
（7）（选做）如图，在 ABCD 中，E是 CD 延长线上一
点，连接 BE 交 AD 于点 F，连接 AE，CF，则 S△AEF与 S△DCF的大
小关系是（ ）
A．S△AEF＞S△DCF B．S△AEF＜S△DCF
C．S△AEF＝S△DCF D．无法确定
2.时间要求（30 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
答题的准确性 B等，答案正确、过程有问题。
C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准
确，过程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
解法的创新性
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无
过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC
综合评价等级
综合评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
设计意图：
作业第（1）题要求学生学会用平行四边形对角线性质来解题，加深对性质
的理解和运用。
第（2）题在平行四边形对角线性质上融入了垂直平分线知识点。
第（3）题在平行四边形对角线性质基础上考查了勾股定理，加强学生理解
和综合知识的应用。
第（4）题考查平行四边形对边相等，对角线相等的性质，线段的和差关系
及平行四边形的周长等综合应用。
第（5）题考查的知识点是平行线之间的距离处处相等，以及等底等高的三
角形面积相等问题，是几何知识的高频考点之一。
第（6）题考查平行四边形的性质，三角形全等，线段的和差关系以及平行
线性质等，在巩固平行四边形对角线性质同时，更多地锻炼学生的观察与分析能
力以及逻辑推理能力。
第（7）题考查学生图形的转换思想，变相的考查平行四边形对角线性质和
三角形等底等高的面积问题。很好的培养学生的转变思维，从多角度看待问题。
作业分析：
（1）B
（2）D
（3） 4 3
（4）∵C ABCD=2×（AB+BC）=60，∴AB+BC=30，∵C△AOB+C△BOC=AB -BC=8，∴AB=19 ，
BC=11。
（5）C S△CEF=S△ABD=5（等底等高）
（6）证明：在平行四边形 ABCD 中，OA=OC，OB＝OD，∵AM＝CN，∴OM＝ON，
又∵∠MOB＝∠NOD，∴△MOB≌△NOD，∴∠MBO＝∠NDO，即 BM∥DN。
（7）C 解析：过点 E作 AB 边上的高记为ｈ，
1 1
S△AＢＥ＝ AB·ｈ＝ S2 2 四边形 ABCD
＝S△AEF＋S△ABF＝S△DCF＋S△ABF ，S△AEF＝S△DCF ，故选Ｃ。
第五课时（19.2.3 平行四边形判定 1）
作业 1（课前作业）
1.作业内容
复习巩固
（1）回顾之前所学内容填空
_______________叫平行四边形；
平行四边形的性质 1：_______________；
平行四边形的性质 2：_______________；
平行四边形的性质 3：_______________。
探究新知
（2）阅读教材 P79－80 页，完成下列问题： 平行四边形的判定 1
①平行四边形的定义：
两组对边分别______________的四边形叫做平行四
边形。
定义就是平行四边形的一种判定方法
用几何语言表示：∵_____∥_____，____∥_____
∴四边形 ABCD 是____________
②已知：如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AD=BC。求证：四边形 ABCD 是
平行四边形。
证明：
③通过上面的证明可以得到什么结论？
归纳：判定定理一：
用几何语言表示：∵_____∥____ ，_____=____ ，
∴四边形 ABCD 是________
课前小练
（3）能判定四边形 ABCD 是平行四边形的题设是（ ）。
A.AD＝BC，AB∥CD B.∠A＝∠B，∠C＝∠D
C.AB＝BC，AD＝DC D.AB∥CD，CD＝AB
（4）（选做）已知：如图，在 ABCD 中，AE、CF 分别是∠DAB、∠BCD 的
平分线。求证：四边形 AFCE 是平行四边形。
2.时间要求（18 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准
确，过程错误、或无过程。
A 等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
解法的创新性
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无
过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC
综合评价等级
综合评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
设计意图：
作业第（1）题复习平行四边形的概念和平行四边形 3个性质等相关知识，
有助于学生学习和理解平行四边形判定的相关知识和几何语言。
第（2）题主要从定义角度引入平行四边行判定定理 1。
第（3）题主要考查平行四边形的判定定理 1的内容。
第（4）题考查平行四边形判定定理 1的理解和实际应用，培养学生的动手
能力和几何数学语言的表达。
作业分析：
（1）两组对边分别平行的四边形，平行四边形对边相等，平行四边形对角
相等，平行四边形对角线互相平分。
（2）①平行 ，AB ，CD ，AD ，BC，平行四边形。
②证明：连接 AC ，
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，
AD=BC
在△DAC 和△BCA 中 ∠DAC=∠ACB
AC=CA ，∴△DAC≌△BCA（SAS），
∴∠BAC=∠DCA，∴AB∥CD，又∵AD∥BC，∴四边形 ABCD 是平行四边形
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ，AD ，BC，AD，BC（或 AB，
DC，AB，DC），平行四边形。
（3）D
（4）解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ ∠D=∠B、AD=BC、CD=// AB、
∠DAB=∠BCD，又∵AE、CF 分别是∠DAB、∠BCD 的平分线且∠DAB=∠BCD，
∴∠DAE=∠BCF
∠D=∠B

∵ 在△DAE 和△BCF 中 AD=BC

∠DAE=∠BCF，∴△DAE≌△BCF（ASA）即 DE=BF，
又∵ CD // AB ，∴CE // AF，∴四边形 AFCE 是平行四边形。
作业 2（课后作业）
1.作业内容
基础巩固
（1）在四边形 ABCD 中，AD∥BC，要判定四边形 ABCD 是平行四边形，那么
还需满足（ ）
A．∠A＋∠C＝180° B．∠B＋∠D＝180°
C．∠A＋∠B＝180° D．∠A＋∠D＝180°
（2）如图，在 ABCD 中，点 E，F分别在边 BC 和 AD 上，且∠BAE＝∠DCF.
求证：四边形 AECF 是平行四边形。
（3）如图，若∠1＝∠2，AD＝CB，则四边形 ABCD 是____，依据是____
（4）若在四边形 ABCD 中，AD＝BC，BD 为对角线，∠ADB＝∠CBD，则 AB 与
CD 的关系为__________
能力拓展
1 1
（5）如图，点 E，F在 ABCD 的边 BC，AD 上，BE＝ BC，FD＝ AD，连接 BF，
3 3
DE。求证：四边形 BEDF 是平行四边形。
（6）如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，AD⊥CD，∠B＝45°，延长 CD 到点
E，使 DE＝DA，连接 AE。
①求证：AE＝BC；
②若 AB＝3，CD＝1，求四边形 ABCE 的面积。
素养提升
（7）（选做）如图，在 ABCD 中，∠DAB＝60°，点 E，F 分别在 CD，AB
的延长线上，且 AE＝AD，CF＝CB.
①求证：四边形 AFCE 是平行四边形；
②若去掉已知条件“∠DAB＝∠60°”，（1）中的结论还成立吗？若成立，
请写出证明过程；若不成立，请说明理由。
2.时间要求（30 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准
确，过程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
解法的创新性
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无
过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC
综合评价等级
综合评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
设计意图：
作业第（1）是让学生通过平行四边形的定义来判断四边形是平行四边形，
并且帮助学生回顾平行线的判定方法。
第（2）做题方法很多，既可以使用平行四边形的定义来判断是否是平行四
边形，又可以通过判定定理一来判定，锻炼学生多方法解题的能力，同时题目中
也可以找到一组对边平行另一组对边相等的错误证明方法，与定理一不同，可再
次提醒学生注意。
第（3）题简单的判定定理一的应用，再次让学生锻炼定理的使用。
第（4）题培养学生应用判定定理一，同时熟悉平行四边形性质。
第（5）题锻炼学生对定理 1的应用，可通过这题指点学生正确的书写格式。
第（6）题主要考查平行四边形的判定与性质，锻炼学生综合应用的能力。
第（7）题图形复杂条件多，解题过程中较为综合锻炼学生分析思维，而第
二小题去掉固定条件，将特殊的情况转变为一般情况。让学生体会由“特殊到一
般”的数学思维。
作业分析：
（1）D
（2）∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB // CD ，∠B=∠D， AD // BC，
又∵∠BAE=∠DCF∴△ABE≌△CDF（ASA）∴BE=DF 又∵AD // BC∴AF // CE∴四边形
AECF 是平行四边形
（3）平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
（4）AB // CD
1 1
（5）∵在平行四边形 ABCD 中 AD // BC∵BE= BC DF= AD∴BE // DF 即四边3 3
形 BEDF 是平行四边形
（6）①∵AD⊥CD，且 DE=AD，∴∠EAD=∠DEA=45°，又∵AB∥CD，
∴∠ADE=∠DAB=90°，∠EAB=∠DAB+∠EAD=135°，又∵∠EAB+∠B=180°，
∴AE∥BC，AB∥CE，∴四边形 ABCE 是平行四边形，∴AE=BC。
②∵四边形 ABCE 是平行四边形∴CE=AB=3，且 CD=1，∴DE=AD=2，
∴S ABCD=AD·CE=6
（7）①在平行四边形 ABCD 中 AB // CD，AD // BC，∴∠DAB=∠ADE=∠BCD=
∠CBF=60°，又∵AD=AE，BC=CF，且 AD=BC，∴△ADE 和△BCF 都是等边三角形，
∴DE=BF，∴CE=AF，且 AF∥CE，∴四边形 AFCE 是平行四边形。
②成立。在平行四边形 ABCD 中 AB // CD，AD // BC 且∠ADC=∠ABC
∴∠ADE=∠CBF（平角定义）且 AD=AE=CF=BC，∴∠AED=∠ADE，∠AFC=∠CBF，
∴∠EAD=∠BCF（三角形内角和）
AD = BC
在△ADE 和△CBF 中 ∠ EAD = ∠ BCF ， ∴△ADE≌△CBF（SAS）∴DE=BF

AE = CF
∴CE=CD+DE=AB+BF=AF，且 CD∥AB，∴四边形 AFCE 是平行四边形。
第六课时（19.2.4 平行四边形的判定定理 2、3）
作业 1（课前作业）
1.作业内容
复习巩固
（1）回顾之前所学内容填空
有一组对边 ______且 的四边形是平行四边形。
有两组对边 的四边形是平行四边形。
平行四边形的判定 2
如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合
的部分构成了一个四边形。线段AB和 CD的长度有什么关系？
为什么？（口答）
探究新知
（2）阅读教材 P80 页，完成下列问题：
①两组对边分别 的四条边是平行四边形
几何语言：
∵AB=CD，AD=BC
∴四边形 ABCD 是平行四边形
②对角线 的四边形是平行四边形
几何语言：
∵OA=OC，OB=OD
∴四边形 ABCD 是平行四边形
课前小练
（3）如图，四边形 ABCD 的对角线相交于点 O，A0=CO，
请添加一个条件 ，使四边形 ABCD 是平行四
边形。
（4（）选做）按要求画 ABCD中AB=3cmAD=2cm，BD=4cm。
2.时间要求（15 分钟以内）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准
确，过程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
解法的创新性
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无
过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC
综合评价等级
综合评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
设计意图：
作业第（1）题复习平行四边形的定义和判定定理 1的知识，有助于学生理
解判定定理的应用，为接下来的学习做准备。
第（2）题是本课时的学习内容，判定定理 2、3的几何语言表述。
第（3）题主要是考查学生对判定定理 3的了解情况，是对预习结果的检测。
第（4）通过画图得到一个平行四边形，既能训练学生们的动手操作能力，
也能帮助学生理解并初步掌握判定定理 2。
作业分析：
（1）平行、相等、分别平行；口答 AB=CD，平行四边形 ABCD 对边相等
（2）①相等 ②互相平分
（3）BO=DO
（4）画图步骤如下：
①画线段 AB=3cm；②以点 A为圆心，2cm 长为半径画弧，
以 B点为圆心 4cm 长为半径画弧，两弧交于点 D；③以
点 D为圆心 3cm 长为半径画弧，以 B点为圆心 2cm 长为
半径画弧，两弧交于点 C；④连接 AD，BC，CD 可得 ABCD。
作业 2（课后作业）
1.作业内容
基础巩固
（1）下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．两组对边分别平行 B．一组对边平行，另一组对边相等
C．两组对边分别相等 D．对角线互相平分
（2）如图，在四边形 ABCD 中，OA =OC，要使四边形 ABCD 成为平行四边形，
则应增加的条件不能是（ ）
A．AD=BC B．OB=OD
C．∠ABD=∠CDB D．∠OAD=∠OCB
（3）分别过一个三角形的 3个顶点作对边的平行
线，这些平行线两两相交，则构成的平行四边形的个
数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（4）在四边形 ABCD 中，给出下列条件： ①AB∥CD，②AD=BC，③∠A＝∠C，
④AD∥BC。能判断四边形是平行四边形的组合是 （从上述条件选两个）。
能力拓展
（5）已知：E、F是 ABCD 对角线 AC 上的两点，对角线 BD、AC 相交于点 O，
并且 OE=OF。求证：四边形 BFDE 是平行四边形。
（6）如图，在平面直角坐标系中，以 A（-1，0），
B（2，0），C（0，1）为顶点构造平行四边形，下列各
点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（ ）
A．（3，1） B．（-4，1）
C．（1，-1） D．（-3，1）
素养提升
（7）（选做）如图，A、B两点被大山阻隔，为了改善山区的交通，现拟开
凿一个贯穿 A、B的隧道，修建一条高速公路。请你设计出一
个方案，利用平移的有关知识测量出 A、B之间的距离和隧道
开凿的方向。
2.时间要求（30 分钟）
3.评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准
确，过程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
解法的创新性
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无
过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC
综合评价等级
综合评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
设计意图：
第（1）题考查平行四边形的定义和 3条判定定理。其中 B 选项是假命题，
反例是等腰梯形，学生必须要掌握这一点。
第（2）题考查学生对判定定理 3的简单应用情况，其中 C、D两选项还要利
用三角形全等的知识。
第（3）题首先需要学生自己根据题意构图，训练学生的画图能力，同时考
察定义，即两边分别平行的四边形为平行四边形。
第（4）题全面考查平行四边形的判定定理及方法，促进学生对平行四边形
判定定理的掌握，加深理解与记忆。
第（5）题首先利用平行四边形的性质定理 3得到线段 BD 被平分，然后再利
用判定定理 3来证明四边形 BFDE 是平行四边形，这一对互逆定理的应用可以让
学生认识到性质与判定的联系及相互依存的关系。
第（6）题考察平行四边形在平面直角坐标系中的应用，利用分类讨论的数
学思想以及平行四边形的性质得出结论。分别以 AC 为对角线，AB、BC 为边作平
行四边形；以 AB 为对角线，AC、BC 为边作平行四边形；以 BC 为对角线，AC、
BC 为边作平行四边形。
第（7）题根据平行四边形性质把 AB 移出来再测量即可。本题考查平行四边
形性质的实际应用，提升学生的实践能力，正确理解平行四边形的性质是本题解
题关键。
作业分析：
（1）B
（2）A
（3）C
（4）①③，①④，②④，③④
（5）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形∴OA=OC，
BO=DO 又∵OE=OF∴四边形 BFDE 是平行四边形
（6）B 解析：如图所示：
①以 AC 为对角线，可以画出 AFCB，F（-3，1）；
②以 AB 为对角线，可以画出 ACBE，E（1，-1）；
③以 BC 为对角线，可以画出 ACDB，D（3，1）；
（7）解：可以设法将线段 AB “平移”出来，便于测量。如图，分别沿 A、
B 两点向同一个方向行走相同距离得到 A′、B′点，测量线段 A′B′即可，这
是其中一种方法。
第七课时（19.2.5 三角形的中位线）
作业 1（课前作业）
1.作业内容
复习巩固
（1）回顾之前所学内容填空
平行四边形判定定理 1：
一级对边 四边形是平行四边形；
平行四边形判定定理 2：
两组对边 的四边形是平行四边形； 三角形的中位线
平行四边形判定定理 3：
对角线 的四边形是平行四边形。
探究新知
（2）阅读教材 P81 页，完成下列问题：
①如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的
线段也 。
②经过三角形一边中点与另一边平行的直线必 第三边。
③三角形中位线定理：三角形两边中点的连线 于第三边，并且等于
第三边的 。
课前小练
（3）如图，在△ABC 中，AB=7，BC=6，AC=5，
D、E、F 分别是 AB、BC、AC 的中点，则四边形 DECF
的周长是（ ）
A．9 B．10
C．11 D．12
（4）（选做） 如图，在△ABC 中，点 D，E分别是 AB，AC
的中点，∠A＝50°，∠ADE＝60°，则∠C的度数为（ ）
A．50° B．60°
C．70° D．80°
2.时间要求（15 分钟左右）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准
确，过程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
解法的创新性
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无
过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC
综合评价等级
综合评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
设计意图：
第（1）题是复习巩固平行四边形的判定定理，为优化平行四边形的证明方
法作基础。
第（2）题了解并初步掌握三角形中位线定理的产生依据以及具体内容，并
掌握三角形中位线定理的推论。
第（3）题三角形中位线定理的直接应用。
第（4）题对三角形中位线定理的考查，同时考查三角形内角和定理。
作业分析：
（1）平行且相等，分别平行，互相平分。
（2）①相等；②第三边；③平行，一半。
1 1
（3）C 解析：由三角形的中位线定理易得 DF= BC，DE= AC。
2 2
（4）C 解析：由三角形的内角和 180°易得∠AED=70°，三角形的中位线
定理得到 DE∥BC。
作业 2（课后作业）
1.作业内容
基础巩固
（1）如图，为了测量池塘边 A、B两地之间的距离，
在线段 AB 的同侧取一点 C，连结 CA 并延长至点 D，连结
CB 并延长至点 E，使得 A、B分别是 CD、DE 的中点，若 DE
＝16m，则线段 AB 的长度是 m。
（2）如图，在 Rt△ABC 中，∠A＝30°，BC＝1，点 D，
E分别是直角边 BC，AC 的中点，则 DE 的长为（ ）
A．1 B．2
C. 3 D．1＋ 3
（3）如图，点 D，E，F分别是△ABC 各边的中点，连
接 DE，EF，DF。若△ABC 的周长为 10，则△DEF 的周长
为 。
（4）在△ABC 的中线 BD、CE 相交于点 O，F、G分别
是 BO、CO 的中点。求证：四边形 DEFG 是平行四边形。
能力拓展
（5）如图，在四边形 ABCD 中，R，P 分别是 BC，CD 上的点，E，F 分别是
AP，RP 的中点，当点 P在 CD 上从 C向 D移动而点 R不动时，那
么下列结论成立的是（ ）
A．线段 EF 的长逐渐增大
B．线段 EF 的长逐渐减小
C．线段 EF 的长不变
D．线段 EF 的长与点 P的位置有关
（6）（选做）如图，在 ABCD 中，P为 AB 上的一点，
E、F分别是 DP、CP 的中点，G、H为 CD 上的点，连接 EG、
FH，若 1ABCD 的面积为 24cm ，GH AB2 ，则图中阴影部
分的面积为 。
素养提升
（7）（选做）如图，在 ABCD 中，E是 CD 的中点，F是 AE 的中点，FC 与
BE 相交于点 G。求证：GF＝GC。
2.时间要求（30 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准
确，过程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
解法的创新性
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无
过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC
综合评价等级
综合评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
设计意图：
第（1）题是利用三角形中位线性质定理解决简单的现实问题的直接应用，
体现了三角形中位线性质定理的价值。
第（2）题主要考查有 30 度角的直角三角形的性质与中位线的综合运用。
第（3）题利用三角形中位线的性质定理得到三角形的周长。
第（4）题考查三角形中位线的性质定理、平行四边形的判定上。
第（5）题主要考查中位线定理，在解决与中位线定理有关的动点问题时，
只要中位线所对应的底边不变，则中位线的长度也不变。
第（6）题主要考查平行四边形的性质，三角形的中位线，三角形的面积等
知识的综合应用。
第（7）题取 BD 中点得三角形中位线，利用三角形中位线的性质定理、再利
用平行四边形的判定定理 1或用三角形全等得证，解题关键是正确添加辅助线。
作业分析：
（1）8
（2）1
（3）5
（4）证明：∵BD、CE 是△ABC 的中线，∴DE∥BC，DE= 1 BC。又∵F、G分别
2
1
是 BO、CO 的中点，∴FG∥BC，FG= BC，∴DE∥FG，DE=FG，∴四边形 DEFG 是平
2
行四边形。
1
（5）C 分析：由三角形的中位线定理易得 EF= AR，，R、A 为定点，AR
2
的大小定值。
1
（6）6cm 分析：△PCD 与 ABCD 等底等高，S△PCD= S ABCD=12cm ；△PCD
2
与△PEF，相比底和高都是 2倍，四边形 EFCD 中阴影部分面积等于△PEF 的面积。
（7）解：取 BE 的中点 H，连接 FH，CH，∵F是 AE 的中点，H是 BE 的中点，
1
∴FH 是△ABE 的中位线，∴FH∥AB 且 FH＝ AB。在 ABCD 中，AB∥DC，AB＝DC，
2
1 1
∴FH∥EC，∵点 E 是 DC 的中点，∴EC＝ DC＝ AB，∴FH＝EC，∴四边形 EFHC
2 2
是平行四边形，∴GF＝GC。
第八课时（19.3.1 矩形的性质）
作业 1（课前作业）
1.作业内容
复习巩固
（1）回顾之前所学内容填空
①平行四边形的定义
两组________分别________的四边形叫做平行四边形。
矩形的性质
②平行四边形的性质总结（“即”后面用几何语言表达）
平行四边形的对边______， 即_________；
平行四边形的对角______， 即______________；
平行四边形的对角线_______即___________。
探究新知
阅读教材 P86，87 页，完成下列问题：
（2）①矩形的定义
有___个角是____的____________叫做矩形。
几何语言：
∵在平行四边形 ABCD 中，___=90°
∴ ABCD 是矩形（如图 1） 图 1
②矩形的性质
性质１ 矩形的＿个角都是＿角。
几何语言：
∵四边形 ABCD 是矩形
∴______＝______＝______＝______＝＿°（如图 1） 图 2
性质２ 矩形的___________相等。
几何语言：
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴_________＝______（如图 2）
推论： ______ 三角形_______边上的______等于斜边的一
半。
几何语言：如图在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，D为 AC 中点
则_____=________（如图 3）
课前小练
（3）如图在矩形 ABCD 中，①直角三角形有________________；
②相等的线段有______________________________________；
③全等三角形有______________________________________。
（4）（选做）在直角三角形中，两直角边分别是 12 和 5，则斜边上的中线
长为__________
＜变式＞在直角三角形中，两条边分别是 12 和 5，则斜边上的中线长为
______
2、时间要求（15 分钟）
3、评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准
确，过程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
解法的创新性
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无
过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC
综合评价等级
综合评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
设计意图：
作业第（1）题复习平行四边形的定义和性质，而矩形是特殊的平行四边形，
不仅可以给学生学习矩形的性质打下基础，而且在预习中渗透类比的思想，并加
强学生对几何语言的掌握。
第（2）题，①考查了矩形的定义，②考查矩形的性质 1、性质 2和对角线
相等以及其关于直角三角形的推论。
第（3）题是对矩形两个性质的考查，以及平行四边形的性质还涉及到全等
三角形的知识。这三个问题能答并不难，重点是回答全面。
第（4）题考查了矩形性质 2的推论，直角三角形斜边上的中线是斜边的一
半，其中<变式>又在此基础上锻炼了学生审题和分类讨论的能力。
作业分析：
（1）①对边，平行；②平行且相等，AB=// CD，BC=// AD ，相等，∠ABC=∠ADC，
∠BAD=∠BCD，互相平分，OA=OC，OB=OD。
（2）①一，直角，平行四边形，几何语言：∠A（或∠B或∠C或∠D）。
1
②四，直，∠A=∠B=∠C=D=90°，对角线，AC，BD，直角，斜，中线，BD= AC。
2
（3）①Rt△ABC，Rt△BCD，Rt△CDB， Rt△ADC；②AD=BC，AB=CD，AC=BD，
0A=0B=0C=0D；③△ABC≌△DCB≌△CDA≌△BAD，△AOD≌△BOC，△AOB ≌△COD。
13 13
；＜变式＞ 或 6（分两种情况讨论，5和 12 都是直角边或 5是
（4） 2 2
直角边，12 是斜边）
作业 2（课后作业）
1.作业内容
基础巩固
（1）下列性质中，矩形具有但平行四边形不一定具有的是（ ）
A.对边相等 B.对角相等
C.对角线相等 D.对边平行
（2）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=α，
CD 是中线，则∠DCB=____（用含α的代数式表示）。
（3）如图，四边形 ABCD，AC=3，BD=5，对角线 AC 与 BD 交于点 O，过点 C
作 BD 的平行线，过点 D作 AC 的平行线，两直线相交于点 E，若四边形 ODEC 是
矩形，则四边形 ABCD 的面积为_____________。
（4）如右图：已知矩形 ABCD 两条对角线交于点 O，
∠BOC=120°，AB=4，则矩形的面积是 ________。
（5）如图在矩形 ABCD 中，AB=5， AD=3。点 P是 AB
边上一点（不与点 A，B重合），连接 CP，过点 P作 PQ⊥CP 交 AD 边于点 Q，连
接 CQ。当△CDQ≌△CPQ 时，求 AQ 的长。
能力拓展
（6）已知：在矩形 ABCD 中，BD 是对角线，，AE⊥BD 于点 E，CF⊥BD 于点
F。
①如图 1，求证：AE=CF；
②（选做）如图 2，当∠ADB=30°时，连接 AF，CE，在不添加任何辅助线的
情况下，请直接写出图②中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形
1
ABCD 面积的 。
8
图 1 图 2
素养提升
（7）（选做）如图，已知 0为坐标原点，四边形 OABC 为矩形，0A=10，0C=4，
点 D是 OA 的中点，点 P在线段 BC 上运动
①写出点 A，B，C的坐标
②当△ODP 是腰长为 5的等腰三角形时，求点 P的坐标
2.时间要求（30 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准
确，过程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
解法的创新性
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无
过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC
综合评价等级
综合评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
设计意图：
第（1）题考查矩形的性质，考查学生基础知识掌握情况。
第（2）题考查直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，由此推出 AD=BD=DC，
这样出现了△ADC 和△BDC 两个等腰三角形，本题重点还考查了学生用几何语言
表达的能力。
第（3）题考查了矩形的性质 1以及转化思想，即四边形 ABCD 的面积可以转
化为△ABC 与△ADC 的面积之和，也为后面得出菱形的面积公式作了铺垫。
第（4）题考查学生对矩形性质和平行四边形性质 3以及勾股定理的综合运
用。但求 AC 长度的时候有两种思路，可以通过得出△AOB 是等边三角形转化也
可以利用直角三角形中 30°的角所对的直角边是斜边的一半来求出。
第（5）题考查了全等三角形和矩形的性质，勾股定理，当求取 AQ 的长度时
把它放在 Rt△QAP 中又结合了方程的思想，实现了数形结合的数学思想。
第（6）题①考查了矩形的性质和全等三角形的判定，易得△ABE≌△CDF。
②考查了直角三角形中 30°的角所对的直角边是斜边的一半的性质,同底等高
的三角形面积相等，以及全等三角形面积相等的结论。
第（7）题①考查了结合平面直角坐标系考查了学生对矩形性质的掌握；②
考查了学生对等腰三角形性质的掌握和读题能力，题目并没有说哪两条边是腰，
因此要分多种情况进行谈论。该题是将矩形与平面直角坐标系以及动点问题综合
考查的题型，并且考查了分类讨论的数学思想。
作业分析：
（1）C
（2）90°-α
15
（3） 解析：∵四边形 ODEC 是矩形 ∴∠DOC=90°，即 AC⊥BD，而
2
1 1 1 1 15
S 四边形 ABCD=S△ABC＋S△ADC即 S 四边形 ABCD= AC·OB+ AC·OD= AC·(OB+OD )= AC·BD=2 2 2 2 2 。
（4）16 3 解：∵四边形 ABCD 是矩形 ∴∠ABC=90°，AC=BD，且 OA=OC，
OB=OD，∴OA=OB 又∠BOC=120°，则∠AOB=60°，△AOB 是等边三角形，AC=2OA=8，
在 Rt△ABC 中根据勾股定理 BC= AC 2 - AB 2 =4 3 ，故矩形的面积=AB·BC=16 3 。
（5）解：∵△CDQ ≌ △CPQ.∴DQ=PQ，PC=DC∴AB=DC=5，AD=BC=3，∴PC=5
在 Rt△PBC 中，PB= = =4，∴PA=AB -PB=5-4=1，设 AQ=x，
2 4
则 DQ=PQ=3-x 在 Rt△PAQ 中，QA + AP = QP ，即（3-x） =x +12 解得 x=
3 。
（6）解：①∵四边形 ABCD 是矩形，∴AB=// CD，AD=// BC，∴∠ABE=∠CDF，
∵AE⊥BD 于点 E，CF⊥BD 于点 F，∴∠AEB=∠CFD=90°；
在△ABE 和△CDF 中，∠AEB=∠CFD，∠ABE=∠CDF， AB=CD∴△ABE≌△CDF（AAS）
∴AE=CF，
1
②△ABE的面积=△CDF的面积=△BCE的面积=△ADF的面积=矩形ABCD面积的
8 。
∵矩形 ABCD, ∴AD//BC,∠ABC=90°，而∠ADB=30°，∴∠CBD=∠ADB=30°,∴
1 1
∠ABE=60°，∵AE⊥BD∴∠BAE=30°,∴BE= AB，AE= AD.
2 2
1 1 1 1 1 1
△ABE 的面积= BE×AE= × AB× AD= AB×AD= 矩形 ABCD 的面积,
2 2 2 2 8 8
1 1
而△ABE≌△CDF,故△CDF 的面积也是矩形面积的 ,△BCE 的面积= ×BE×CF
8 2
而 AE=CF，∴△BCE 的面积=△ABE 的面积，同理△ADF 的面积的面积也是矩形面
1
积的 。
8
（7）①A（10，0），B（10，4）C（0，4）
②如图，过点 P作 PE⊥x 轴于 E，分情况讨论：
第一种：OP=PD，则 P在 OD 垂直平分线上，OA=10，D 为 OA 中点，则 OD=5，根据
89
等腰三角形三线合一的性质，P（2.5，4），此时 OP=PD= 2.52 42 = ≠5，
2
不合题意，舍去。
第二种：OP=OD=5，PE=4，在 Rt△OPE 中根据勾股定理，OE＝ 52 - 42 =3 则
Ｐ（3，4）。
第三种：PD=OD=5，①∠ODP 为锐角，此时情况与第二种类似，根据勾股定
理 DE＝3，则 OE=2，P（2，4）； ②∠ODP 为钝角，如图 PE⊥x 轴，PE=OC=4，
PD=OD=5，
根据勾股定理，DE= PD2 - PE 2 =3，此时 OE=OD＋DE=8，P（8，4）。
故满足条件的 P的坐标为（3，4）或 P（2，4）或（8，4）。
第九课时（19.3.2 矩形的判定）
作业 1（课前作业）
1.作业内容
复习巩固
（1）回顾之前所学内容填空
①矩形的定义：______________________________。
②矩形的性质总结（先填空再用几何语言表达）
矩形的每个角都是_______，对边_____且______，对角
________，对角线_____ _且 ______。 矩形的判定定理 1
即：如图∵四边形 ABCD 是矩形
∴__________________；__________________；
_________________；__________________。
探究新知
阅读教材 P88，89 页，完成下列问题：
（2）矩形的判定方法：
①定义法：有一个角是_____的平行四边形叫做矩形。
②判定定理：对角线_________的平行四边形是矩形。
符号语言：
如图∵四边形 ABCD 是平行四边形，
________=________，
∴平行四边形 ABCD 为______。
③三个角是_____的_______是矩形。
符号语言：
矩形的判定定理 2
∵∠____=∠____=∠____=____°，
∴四边形 ABCD 是矩形。
课前小练
（3）在四边形 ABCD 中，AB=CD，AD=BC，若该四边形是矩形，则需要补充的
条件是___________________（答案不唯一，写出一个正确答案即可）。
（4）已知 O为四边形 ABCD 对角线的交点，下列条件能使四边形 ABCD 成为
矩形的是（ ）
A.OA=OC B.AC=BD C.AC⊥BD D.∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°
（5）（选做）如图，四边形 ABCD 的对角线互相平分，要使它成为矩形，那
么需要添加的条件是（ ）
A、AB=CD
B、AD=BC
C、AB=BC
D、AC=BD
2.时间要求（20 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准
确，过程错误、或无过程。
A 等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
解法的创新性
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无
过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC
综合评价等级
综合评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
设计意图：
第（1）题复习矩形的定义和性质为本节课的学习打下基础和考查学生的几
何语言表达。
第（2）题考查学生的预习效果和符号语言表达。
第（3）题考查矩形的判定，答案不唯一，可以让学生尽可能地发挥自己学
到的知识 。
第（4）题重点考查学生对矩形判定和锻炼学生根据题意画图的能力。
第（5）题考查学生对矩形判定的综合应用能力和分析解决问题的能力。
作业分析：
（1）①有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②直角，平行相等，相等，
互相平分，相等 ；∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB ，AD∥BC，AB∥DC；∠ABC＝
∠CDA，∠DAB＝∠BCD ； OA=OC=OB=OD。
（2）矩形的判定方法：①直角；②相等，∠ABC=90°（答案不唯一，∠BCD，
∠CDA，∠DAB 任何一个角=90°都可以），矩形；③直角，四边形 ；答案不唯
一，例如∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°。
（3）答案不唯一例如：AC=BD
（4）D 三个角是直角的平行四边形是矩形。
（5）D 对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形
是矩形。
作业 2（课后作业）
1.作业内容
基础巩固
（1）如图，四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，且 AC=BD，则下列条
件能判定四边形 ABCD 为矩形的是（ ）
A.AB=CD
B.OA=OC，OB=OD
C.AC⊥BD
D.AB//CD，AD=BC
（2）下列说法中，正确的是 （ ）
A.对角线相等的四边形是矩形
B.有一个角是直角的四边形是矩形
C.有三个角是直角的四边形是矩形
D.对角线互相垂直的平行四边形是矩形
（3）当一个四边形的对角线满足__________条件时，顺次连接它的各边中
点得到的四边形是矩形。
（4）如图， ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，△OAB 是等边三角形，AB=4，
则 AD=_____，四边形 ABCD 的面积为________
（5）如图，在 ABCD 中，点 E，F为线段 BC 上两点，且 BE=CF， AF=DE。
求证：①△ABF≌△DCE；
②四边形 ABCD 是矩形。
能力拓展
（6）如图，在△ABC 中 AB=AC， 将△ABC 沿着 BC 方向平移得到△DEF， 其
中点 E在边 BC 上 DE 与 AC 相交于点 O。
①求证：△OEC 为等腰三角形；
②连接 AE，DC，AD，当点 E在什么位置时，四边形 AECD 为矩形，并说明理由。
素养提升
（7）（选做）在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=3。 若点 P是 CD 上任意一点， 如
图 1， PE⊥BD 于点 E， PF⊥AC 于点 F，那么 PE 和 PF 之间有怎样的数量关系
写出理由。
变式一：当点 P是 AD 上任意一点时，如图 2，猜想 PE 和 PF 之间有怎样的
数量关系，直接写出结果。
变式二：当点 P是 DC 延长线上任意一点时，如图 3，猜想 PE 和 PF 之间有
怎样的数量关系，写出推理过程。
图 1 图 2 图 3
2.时间要求（30 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确图性1 C 等，图答2案不正确，有过程不完图整3 ；答案不准
确，过程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
解法的创新性
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无
过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC
综合评价等级
综合评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
设计意图：
第（1）题结合图形考查矩形的判定方法，培养学生的识图能力和对矩形判
定的掌握。
第（2）题考查的矩形的判定侧重点在于学生对矩形判定的理解，“四边形”
和“平行四边形”的区别，即“……的四边形可以判定为矩形”而“……的平行
四边形可以判定为矩形”。
第（3）题考查了矩形的判定和中位线的性质，除此之外还锻炼了学生的画
图能力。
第（4）题考查了等边三角形的性质，矩形的判定以及勾股定理的综合运用。
第（5）题①考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定，②考查了矩形
的判定。
第（6）题①考查了平移的相关性质和等腰三角形的判定②关于矩形判定的
探究性问题并考查了等腰三角形的三线合一。
第（7）题将 PE，PF 转化为△DPO 和△CPO 的高，而 S△DPO＋S△CPO=S△DCO是定值，
1 1 1 12
设△DCO 的高为 h，即 OD·PE＋ OC·PF= OD·h 则 PE+PF=
2 2 2 5 。
作业分析：
（1）B
（2）C
（3） 互相垂直
（4）∵ ABCD ∴OA=OC，OB=OD 又∵△OAB 是等边三角形 ∴OA=OB=OC，
∴AC=BD=8，∴ ABCD 是矩形，∴∠ABC=90°，在 Rt△ABC 中，根据勾股定理，
BC= AC 2 AB2 =4 3 ，故矩形的面积=AB·BC=16 3 。
（5）证明：① ∵BE=CF ，BF=BE+EF，CE=CF+EF，∴BF=CE，∵四边形 ABC
是平行四边形，∴AB=DC ，又∵AF=DE，∴△ABF≌△DCE（SSS）；
② ∵△ABF≌△DCE，∴∠B=∠C，∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB∥CD
∴∠B+∠C=180°，∴∠B=∠C=90°，∴四边形 ABCD 是矩形。
（6）①证明：（1）∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB∵△ABC 平移得到△DEF∴AB∥
DE，
∴∠B=∠DEC，∴∠ACB=∠DEC.∴OE=OC，即△OEC 为等腰三角形。
②当 E为 BC 的中点时，四边形 AECD 是矩形
理由：∵AB=AC，E 为 BC 的中点，∴BE=EC，∴AE⊥BC，∵△ABC 平移得到△DEF，
∴BE=// AD ，∴AD=// EC，∴四边形 AECD 是平行四边形，∵AE⊥BC，∴四边形 AECD
是矩形。
（7）连接 OP，如图，设点 C到 BD 的距离为 h。在 Rt△BCD 中，BD = t
1 1 12= =5 由 S△BCD= BD·h= BC·CD，得 h= ∵四边形 ABCD 是矩形，2 2 5 ，
1 1 1
∴OC=OD，由 S△COD=S△DOP+S△COP，得， OD·h= OD·PE+ OC·PF，化简得 h=PE+PF=12 。2 2 2
12
变式一：猜想：PE+PF=
5
12
变式二：猜想：PE -PF =
5
连接 OP、BP，如图。由 S△BPD=S△COD+S 四边形 BOCP=S△COD+S△COP+S△BOP得，
1 1 1 1 12
BD·PE= OD·h+ OC·PF+ OB·PE 化简得 2PE=h+PE+PF，即 h=PE -PF=
2 2 2 2 5 。
第十课时（19.3.3 菱形的性质）
作业 1（课前作业）
1.作业内容
复习巩固
（1）回顾之前所学内容填空
有一个角是直角的平行四边形叫做______。
矩形是______图形，它有______条对称轴，
对称轴分别是经过两组对边______的两条直线。
矩形的性质定理 1：矩形的四个角都是______。 菱形的性质
矩形的性质定理 2：矩形的对角线______。
直角三角形斜边上的中线等于斜边的_____。
探究新知
（2）阅读教材 P90－91 页，完成下列问题：
①两组对边分别______，菱形的四条边都______。
几何语言：∵四边形 ABCD 是菱形
∴AB∥CD，AD∥BC
AB＝CD＝AD＝BC
②菱形的两组对角______，邻角______
几何语言：∵四边形 ABCD 是菱形
∴∠BAD＝∠BCD，∠CBA＝∠ADC
∠BAD＋∠ADC＝180°
∠BCD＋∠CBA＝180°
∠BAD＋∠CBA＝180°
∠BCD＋∠ADC＝180°
③菱形的对角线互相______，并且每一条对角线______一组对角。
几何语言：∵四边形 ABCD 是菱形
∴AC⊥BD，AC 平分∠BAD 和∠BCD，BD 平分∠ABC 和∠ADC
④菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，有______条对称轴，其对称轴
为两条对角线所在直线，对称中心为其______的交点。
菱形的面积：
面积＝____________=两条对角线的长的乘积的______。
课前小练
（3）菱形具有平行四边形不一定具有的特征是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对边相等
（4）（选做）在菱形 ABCD 中 AB=5，AC=6，BC 边上的高为（ ）
A．4 B．8 C．4.8 D．9.6
2.时间要求（10 分钟以内）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准
确，过程错误、或无过程。
答题的规范性 A等，过程规范，答案正确。
B 等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
解法的创新性
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无
过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC
综合评价等级
综合评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
设计意图：
作业第（1）题复习平行四边形的性质和判定等相关知识，有助于学生理解
和学习菱形的判定定理，为接下来的学习做准备。
第（2）题主要关于菱形性质及相关知识的理解和符号表述。
第（3）题主要考查了菱形和平行四边形的性质，关键是熟练掌握二者的性
质定理。菱形具有但平行四边形不一定具有的是对角线互相垂直。
第（4）题考查菱形的性质，解题的关键是掌握菱形面积的两种计算方法。
此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用。
作业分析：
（1）矩形，轴对称，2 ，中点，90°，相等且互相平分，一半。
（2）①平行，相等；②相等，互补；③垂直，平分；④2 ，对角线 ，底×
高，一半。
（3）A 解析：菱形是一种特殊的平行四边形，四条边相等，对角线互相垂
直。
（4）C 解析：菱形的对角线互相平分且垂直，通过勾股定理易得另一条对
角线长为 8，菱形面积的俩种表达式：面积＝底×高=两条对角线的长的乘积的一
半。
作业 2（课后作业）
1.作业内容
基础巩固
（1）矩形和菱形都一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分
C．对角线长度相等 D．对角线平分一组对角
（2）如图，在菱形 ABCD 中，∠ABC=60°，△ABC 的
周长是 30，则菱形 ABCD 的周长是（ ）
A．20 B．30 C．40 D．60
（3）如图，菱形 ABCD 中，AC=8，BD=6，过 D作 DP⊥
BC 于点 P，则 DP 的长为__。
（4）菱形ABCD的周长为20cm，它的一条对角线长5cm。
①求这个菱形的每一个内角的度数；
②求这个菱形另一条对角线的长。
能力拓展
（5）如图，已知四边形 ABCD 为萎形，延长 AB 到点 E，使得 BE=AB，过点 E
作 EF∥AD，交 DB 的延长线于点 F。求证：DC=EF。
第（4）题图 第（5）题图
（6）（选做）在菱形 ABCD 中，AB＝5，BD＝6，P 为对角线 BD 上的一个动
点，过点 P 分别作 AD、AB 边的垂线，垂足分别为 E、F 两点，连接 PE，PF，则
PE+PF＝__________________。
素养提升
（7）（选做）已知四边形 ABCD 是菱形，AB=4，∠ABC＝60°，∠EAF 的两
边分别与射线 CB，CD 相交于点 E，F，且∠EAF＝60°。
①如图 1，当点 E是线段 CB 的中点时，直接写出线段 AE，EF，AF 之间的数
量关系；
②如图 2，当点 E是线段 CB 上任意一点时（点 E不与 B，C重合），求证：
BE=CF；
2.时间要求（30 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准
确，过程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
解法的创新性
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无
过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC
综合评价等级
综合评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
设计意图：
作业第（1）题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形
的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角，
也考查了矩形的性质。解题关键是掌握菱形的性质及矩形的性质。
第（2）题主要考查菱形的基本性质，属于基础性应用，关键在结合三角形
的性质进行实际计算；依题意，依据菱形对角线的性质可得，菱形 ABCD 中，AC
平分角∠BAD=120°，然后可知△ABC 为等边三角形，可得 AB=5，即可求解。
第（3）题主要考查菱形的基本性质、勾股定理、等面积计算方法等，理解
菱形的性质是解题关键。根据菱形的性质（对角线互相垂直平分）及勾股定理可
得 BC 的长，然后利用等面积法进行求解即可。
第（4）题考查了菱形的性质以及勾股定理的应用，本题

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