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课 题 3.2.2 二次函数模型 课 型 新授课 课 时 1
授课班级 授课时间 授课教师
教材分析 教材来源：“十四五”职业教育国家规划教材，人民教育出版社出版，高中一年级基础模块上册第三章；教材内容：包括函数、一次函数和二次函数、函数的应用；地位与作用：本节内容为高中一年级基础模块上册第三章开端，系学生高中数学的重点内容，高考中的必然考查部分，难度适中，主要是在集合及初中变量与函数知识的基础上，以一次函数和二次函数为例，学习函数的概念和研究函数的方法.用集合的观点重新审视函数概念、下定义并研究其性质.培养学生通过结合函数图像的作用研究函数，养成“遇数思形，以形助数”思考习惯，并运用函数知识解决现实生活中遇到的问题.
学情分析 14~16岁年龄段学生身心都有较大程度发展，情感更加丰富，认知发展变化迅速，逻辑思维、记忆能力逐步提高；通过二次函数模型学习，理解二次函数的定义，掌握二次函数的性质与图像特征，学会研究二次函数通用问题的方法，提高运用二次函数性质与图象解决实际问题的能力；职教高考学生在初中学业水平偏弱，因此在本节课教学中需通过回忆初中二次函数知识渗透二次函数模型学习，运用学习一次函数模型的方法研究二次函数模型的性质与图象，形成“偶数思形，以形助数”思考习惯，掌握解决实际问题的能力.
学习目标 理解二次函数的定义，掌握二次函数的性质与图像特征，学会研究二次函数通用问题的方法，提高运用二次函数性质与图象解决实际问题的能力；学生运用分组探讨、合作学习，运用学习一次函数模型的方法研究二次函数模型的性质与图象，形成“偶数思形，以形助数”思考习惯，掌握解决实际问题的能力；通过本节课学习，使学生养成乐于学习、勇于探索的良好品质。
学习重难点 理解二次函数的概念，掌握二次函数的性质与图像特征学会配方法解决二次函数问题，二次函数解析式求解掌握掌握二次函数的对称轴、最值求解方法
教学方法 讲授法、谈话法、讨论法、演示法
课前准备 教师：认真备课，设计教学方法，创设问题情境，做好授课过程中出现的突发状况预案；学生：认真预习教材，标记预习中不清楚、模糊的知识点，准备笔记本；
教学媒体 教学课件PPT、多媒体展板
教学过程
第一课时
教学环节 教师活动设计 学生活动设计 设计意图
活动一：创设情境 生成问题 问题导入：一般地，以x为自变量的函数
y=ax2+bx+c (a≠0,x∈R) ①
称为一元二次函数，简称二次函数．
如果b=c=0，则①式变为
y=ax2(a≠0)想一想：二次函数y=ax2(a≠0)的图像是怎样的？ 根据问题思考，并尝试利用所学知识解答。 通过创设问题情境，使学生回忆上节课知识，并引出本节课所讲内容。
活动二： 调动思维探究新知 容易知道，它的图象是一条顶点为原点的抛物线（图3-15)．当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜O时，抛物线开口向下，这个函数为偶函数，y轴为它的图象的对称轴．在同一坐标系中（图3-15)，作出如下函数的图象：
y=-3x2,y=-2x2,y=-x2,y=-0.5x2,y=0.5x2,y=x2,y=2x2,y=3x2. 可以看出，函数y=ax2中的系数a对函数图形的影响．当a从-3逐渐变化到0时，抛物线开口向下并逐渐变大；当a=0时，y=0，抛物线变为x轴；当a从0变化到3时，抛物线开口向上并逐渐变小.
下面再举例说明，如何用配方法研究二次函数的性质和图象．
首先来看a＞0的例子.
问题情境
研讨二次函数的性质与图象．
(1）配方，求顶点.
由于对任意实数，都有，所以
f(x)≥-2.
上式当x=-4时取等号，即f（-4)=-2，这说明该函数在x=-4时，取得最小值-2，记为ymin=-2．点（-4,-2）是这个图象的顶点．
(2）求函数的图象与x轴的交点.令y=0,得，即
,
解此一元二次方程，得x1=-6或x2=-2，这说明该函数的图象与x轴相交于两点（-6,0),(-2,0).列表作图．以x=-4为中间值，取x的一些值（包括使y=0的x值），列出这个函数的对应值表：在平面直角坐标系内描点画图（图3-16). 从上表和函数的图象容易推测，该函数的图象是以过点M（-4,0）且平行于y轴的直线（即直线x=-4）为对称轴的轴对称图形．下面我们来证明这个事实．在x=-4的两边取两个关于直线x=-4对称的x值：
-4-h，-4+h(h＞0).可以证明该函数在这两点的函数值相等．事实上， 所以f（-4-h)=f（-4+h).对于上述结论，可简单地说成二次函数的图象关于直线x=-4对称．
我们观察这个函数的图象，还可以发现，函数在区间（-，-4）上是减函数，在区间（4，+）上是增函数．
下面我们再来研究a＜0的例子．问题情境
研讨二次函数y=-x2-4x+3的性质和图象．
(1）配方，求顶点
y=f(x)=-x2-4x+3
=-(x2-4x-3)=-[(x+2)2-7]
=-(x+2)2+7.
由-(x+2)2≤0得，该函数对任意实数x都有
f(x)≤7,且当x=-2时取等号，即f(-2)=7，说明函数在x=-2时取得最大值7.记作ymax=7．函数图象的顶点是（-2,7).
(2）求函数的图象与x轴的交点.令方程-x2-4x+3=0解此方程，得,.这说明该函数的图象与轴相交于两（,0),（,0).
(3）列表作图．以x=-2为中间值，取x的一些值，列出这个函数的对应值表：在平面直角坐标系内描点画图（图3-17). 类似的分析，我们可得
到，函数
y=-x2-4x+3
关于直线x=-2成轴对称图形．在区间（-,-2]上是增函数，在区间［-2,+）上是减函数．
从以上两个问题情境中的例子，我们可以看到，为了比较准确地画出二次函数的图象，我们分析了函数的对称轴、顶点、与x轴的交点、单调区间，根据这些分析作出了函数的图象．探索研究
通过以上两个问题情境中的例子，你能总结出二次函数具有哪些性质吗？
对任意一个二次函数
y=ax2+bx+c(a≠0),都可通过配方，化为
, (*)其中，
从（*）式，我们就可得到二次函数有如下性质：
(1）函数的图象是一条抛物线，抛物线顶点的坐标是（-h，k)，抛物线的对称轴是直线x=-h；(2）当a＞0时，函数在x=-h处取最小值k；在区间（-，-h］上是减函数，在［-h，+）上是增函数；
(3）当a＜0时，函数在x=h处取最大值k；在区间（-，-h］上是增函数，在［-h，+）上是减函数．
我们已看到，“配方法”是研究二次函数的主要方法，熟练地掌握配方法是掌握二次函数性质的关键. 分组讨论，尝试归纳二次函数的概念，分析情境中二次函数y=ax2 (a≠0)性质与图象，学会二次函数的配方法读一读：配方法是研究二次函数问题的通用方法.试一试:总结一下二次函数的性质（最小值、顶点、对称轴、单调性等），并回忆我们是如何得到这些性质的.尝试总结二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0)在a＜0及a＞0时，函数的单调区间 通过分组讨论方法，让学生自行理解二次函数的概念，学会二次函数的配方法，二次函数y=ax2 (a≠0)性质与图象，将实际问题数学化，提高学生学习自主性，使学习效率更高效
活动三：巩固练习素质提升 例 求函数y=3x2+2x+1的最小值和图象的对称轴，并说出它在哪个区间上是增函数，在哪个区间上是减函数．解 因为 所以．因此函数图象的对称轴是直线,它在区间上是減函数，在区间上是増函数函数. 分组讨论，限时完成，学生上台黑板作答，并进行讲解 鼓励学生勇于展示自己，提高学生对知识的准确认识，调动学生的课堂气氛与学习的积极性，培养学生对数学的热爱，巩固学生对本节课知识的掌握，纠正学习过程中的错误
活动四： 调动思维探究新知 问题情境：已知二次函数y=x2-x-6，求：
(1)x取哪些值时，y=0；
(2)x取哪些值时，y＞0,x取哪些值时，y＜0.
由此，你能发现一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系吗？
(1）事实上，求使y=0的x值，即求一元二次方程x2-x-6=0的所有根．方程的判别式△=（-1）2-4×1×（-6）=25＞0，解得x1=-2，x2=3.这就是说，当x=-2或x=3时，函数值y=0.
(2）画出简图（图3-18)，函数图象的开口向上．从图象上可以看出，它与x轴相交于两点（-2,0),(3,0)，这两点把x轴分成3段，当x∈(-2,3）时，y＜0，当x∈（-,-2)U(3,+）时，y＞0.
从这个例子我们可以看到，一元二次方程、一元二次不等式与二次函数有着密切的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)：
(1）求满足y=0时x的值，等价于求一元二次方程ax2+bx+c=0的解；
(2）求满足y＜0时x的取值范围，等价于求一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集；求满足y＞0时的取值范围，等价于求一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集． 分组讨论，尝试分析情境中二次函数f(x）反映的问题，探索发现一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系及方法 通过分组讨论方法，让学生自行探索发现一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系及方法，将实际问题数学化，提高学生学习自主性，使学习效率更效
活动五：巩固练习素质提升 例 2.已知关于一元二次不等式ax2+4ax+1＞0的解集为R，试求实数a的取值范围.分析 结合二次函数y=ax2+4ax+1的图象，求出不等式解集为R的条件.解 要使不等式的解集为R，其充要条件是解得综上所述，实数a的取值范围为 分组讨论，限时完成，学生上台黑板作答，并进行讲解 鼓励学生勇于展示自己，提高学生对知识的准确认识，调动学生的课堂气氛与学习的积极性，培养学生对数学的热爱，巩固学生对本节课知识的掌握，纠正学习过程中的偏差
活动六：课堂小结作业布置 课堂小结
作业布置完成课本中P98 —— A组1. /2.B组1./2.
活动七：板书设计 3.2.2 二次函数模型一、概念 四、二次函数与一元二次方程、 例题 小结二、解析式 一元二次不等式联系 三、图象与性质 练习 作业
活动八： 教学反思（留白） 教学反思包括5个方面，教学目标、教学内容、教学实施、教学评价、教学效果。所谓教学反思，是指教师对教育教学实践的再认识、再思考，并以此来总结经验教训，进一步提高教育教学水平。教学反思一直以来是教师提高个人业务水平的一种有效手段，教育上有成就的大家一直非常重视之。
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