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0人教版八年级数学下册第十六章《二次根式》
同步教学设计
16.1　二次根式
第1课时　二次根式的概念
教师备课　素材示例
●归纳导入　如图是天安门广场前的大型音乐喷泉的图片，非常美丽壮观．仔细观察图片可以发现：水域部分是正方形，外围是圆．
(1)若该正方形的面积为30 m2，则该正方形的边长是___m__；
(2)若该正方形的面积为S m2，则该正方形的边长是___m__；
(3)若该圆的面积为S m2，则用含S的式子表示圆的半径是___m__．
观察式子，，有什么共同特点？
【归纳】这些式子都含有“”(根号)，都表示__正数__的__算术__平方根．
【教学与建议】教学：从学生熟悉的情景入手，引导学生理解所给的式子的实际意义，归纳出二次根式的概念．建议：让学生相互讨论，培养学生合作交流的学习习惯．
●复习导入　
1．填空：
(1)9的平方根是__±3__；0的平方根是__0__；－4__没有__平方根；
(2)6的平方根是__±__；6的算术平方根是____．
2．想一想：
用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
(1)面积为5的正方形的边长为____；
(2)一个长方形的围栏，长是宽的3倍，面积为150 m2，则它的宽为____m；
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与开始落下时离地面的高度h(单位：m)满足关系h＝5t2.如果用含有h的式子表示t，那么t为____.
学生思考后回答，教师补充得出答案．
【教学与建议】教学：以回顾旧知的形式引导学生，巩固所学知识，并导入新课．建议：及时回顾算术平方根的概念，再由算术平方根迁移到二次根式．
◎命题角度1　识别二次根式
判定一个式子为二次根式，需满足两个条件：第一，形式上为“”的形式；第二，被开方数必须是非负数．
【例1】下列式子不是二次根式的是(B)
A． B． C． D．
【例2】在式子，，，，(y>0)，(x<0)，和a2－1中，是二次根式的有(B)
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
◎命题角度2　确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围
根据二次根式有意义的条件要从两个方面来思考，一是求字母所在的式子有意义时字母必须满足的条件，二是求字母所在的实际问题有意义时字母必须满足的条件．
【例3】式子有意义时，x应满足的条件为(B)
A．x≠2 023 B．x≥2 023 C．x<2 023 D．x≤2 023
【例4】要使二次根式有意义，则x的最大值是____．
◎命题角度3　利用二次根式有意义的条件求值
若两个二次根式的被开方数互为相反数，则只有它们同时为0时，这两个式子才能都有意义．
【例5】若＋＋1在实数范围内有意义，则x满足的条件是(C)
A．x≥ B．x≤ C．x＝ D．x≠
【例6】若y＝－2，则(x＋y)y＝____．
◎命题角度4　二次根式非负性的应用
二次根式具有双重非负性：①被开方数a≥0；②它的值≥0.此外，常见的非负数还有|a|，a2(或a的偶次幂)．
【例7】若|1 001－a|＋＝a，则a－1 0012＝__1_002__．
【例8】若a，b满足实数a2－6a＋2＝－9，则的值为__3__．
高效课堂　教学设计
1．理解二次根式的概念，弄清被开方数是非负数这一要求．
2．理解二次根式的非负性，会求使二次根式有意义的条件．
3．能初步运用二次根式的概念和基本性质解决简单实际问题．
▲重点
二次根式的概念．
▲难点
利用“(a≥0)”解决具体问题．
◆活动1　新课导入
1．回顾平方根和算术平方根的概念．
2．若x2＝9，则x＝__±3__；若y2＝3，则y＝__±__．
3．若正方形的面积为S，则正方形的边长为____．
◆活动2　探究新知
1．教材P2　第1个思考．
提出问题：
(1)你能完成思考中的填空吗？
(2)所填的式子分别表示什么意义？
(3)这些式子有什么特点？
(4)什么叫二次根式？成立的条件是什么？
学生完成并交流展示．
2．教材P2　第2个思考．
提出问题：
(1)x2≥0成立吗？为什么？
(2)式子一定成立吗？
(3)举例说明x3≥0是否一定成立？
(4)若有意义，则x的取值范围是什么？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．一般地，我们把形如__(a≥0)__的式子叫做二次根式，“”称为__二次根号__．
2．(a≥0)既是一个二次根式，又表示非负数a的__算术平方根__，所以具有“双重非负性”，即：a__≥0__，__≥0__．
3．判断一个式子是否为二次根式，应该从两个方面进行考虑：①是否带有“”；②被开方数是否为非负数．
◆活动4　例题与练习
例1　教材P2　例1.
例2　下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？
(1)；(2)；(3)(x≤3)；(4)(x>0)；(5).
解：(1)(3)(5)是二次根式，(2)(4)不是二次根式．
例3　求使下列式子有意义的x的取值范围．
(1)；(2)；(3).
解：(1)由题意，得4－3x>0，解得x<.∴当x<时，有意义；
(2)由题意，得解得x≤3且x≠2.∴当x≤3且x≠2时，有意义；
(3)由题意，得解得x≥－5且x≠0.∴当x≥－5且x≠0时，有意义.
例4　先观察下列等式，再回答问题．
＝2，＝3，＝4，…
(1)类比上述式子，再写出几个同类型的式子；
(2)你能看出其中的规律吗？用字母表示这一规律．
解：(1)＝5，＝6；(2)＝n.
练习
1．教材P3　练习第1，2题．
2．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是二次根式的有(　B　)
　 　　A．1个　　　　　B．3个　　　　　C．4个　　　　　D．5个
3．要使式子＋有意义，则x应该满足__x≥2且x≠3__．
4．△ABC的三边长为a，b，c，其中a和b满足b2－4b＋4＋＝0，求c的取值范围．
解：依题意，得(b－2)2＋＝0，∴b＝2，a＝5.
又∵a，b，c为三角形的三边长，∴3◆活动5　完成附赠手册
◆活动6　课堂小结
1．二次根式的概念．
2．二次根式的非负性及运用．
1．作业布置
(1)教材P5　习题16.1第1，3，5，7题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
第2课时　二次根式的性质
教师备课　素材示例
●情景导入　如图是一块具有民族风的正方形方巾，面积为9，则它的边长为__3__，若面积为a，则它的边长为____，正方形的边长是，则面积为__a__．你发现了什么？
【教学与建议】教学：从正方形的边长引出的例子，让学生初步理解的实际意义．建议：让学生谈谈对于和()2的理解．
●置疑导入　你能指出下列运算过程中的错误吗？
()2＝(－)2，可以写为(－5)2＝(5－)2，
两边开平方，得＝，
所以－5＝5－，即＝－.
学了本节课我们就知道以上运算为什么错了．
【教学与建议】教学：设计纠错问题激发学生学习的主动性与积极性．建议：鼓励学生积极地投入到观察、分析、计算、讨论中．
◎命题角度1　利用二次根式的性质()2＝a(a≥0)解题
将非负数a的算术平方根平方，就等于它本身，因此有()2＝a(a≥0).
【例1】计算()2的结果是(B)
A． B．2 C．3 D．4
【例2】()2＋1的结果是__4__．
◎命题角度2　逆用二次根式的性质()2＝a(a≥0)解题
()2＝a(a≥0)又可以写成：a＝()2(a≥0).
【例3】在实数范围内分解因式：
(1)x2－3；　　(2)x4－16；　　(3)n5－4n3＋4n.
解：(1)原式＝(x＋)(x－)；
(2)原式＝(x2＋4)(x＋2)(x－2)；
(3)原式＝n(n＋)2(n－)2.
【例4】化简求值：＋，其中a＝.
解：∵a＝，∴＞a，
∴原式＝＋＝＋－a＝－a＝＝＝.
◎命题角度3　利用二次根式的性质＝|a|解题
在利用＝|a|进行化简时，弄清被开方数的底数是正还是负．
【例5】已知二次根式的值为3，那么x的值是(D)
A．3 B．9 C．－3 D．3或－3
【例6】计算的结果是__2__．
【例7】若＝3，＝2，且ab＜0，则a－b＝__－7__．
高效课堂　教学设计
1．理解(a≥0)是一个非负数和()2＝a(a≥0)，并利用它们进行计算和化简．
2．理解＝a(a≥0)和＝－a(a≤0)，并利用它们进行计算和化简．
3．用a＝()2(a≥0)解决具体问题．
▲重点
()2＝a(a≥0)及＝|a|的运用．
▲难点
＝|a|的运用．
◆活动1　新课导入
1．回顾二次根式的概念．
2．当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1)；(2)；(3)；(4).
3．填空：()2＝__9__，＝__3__．
◆活动2　探究新知
1．教材P3　探究．
提出问题：
(1)你能完成探究中的计算吗？
(2)通过计算，你能猜出()2(a≥0)的结果吗？说说你的理由．
学生完成并交流展示．
2．教材P4　探究．
提出问题：
(1)请完成探究中的填空；
(2)通过计算，你能猜出(a≥0)的结果吗？说说你的理由；
(3)当a<0时，的结果是多少？你是怎样想的？
(4)二次根式有哪些性质？你能归纳出来吗？
(5)什么样的式子叫做代数式？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．()2＝__a__(a≥0).
2．＝|a|＝
3．用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把__数__或__表示数的字母__连接起来的式子，叫做代数式．
◆活动4　例题与练习
例1　教材P3　例2.
例2　教材P4　例3.
例3　计算与化简：
(1)2()2；(2)(2)2；(3)()2；(4)；(5)－；(6).
解：(1)原式＝12；
(2)原式＝24；
(3)原式＝a2＋2；
(4)原式＝9；
(5)原式＝－2；
(6)原式＝0.2.
例4　已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：＋2－|a－b|.
解：从数轴上a，b的位置关系可知－2a，故a＋1<0，b－1>0，a－b<0.
∴原式＝|a＋1|＋2|b－1|－|a－b|＝－(a＋1)＋2(b－1)＋(a－b)＝b－3.
练习
1．教材P4　练习第1，2题．
2．下列各式中，正确的是(　B　)
A．＝－4 B．－＝－4
C．＝±4 D．＝±4
3．下列式子：①a＋b＝c；②5；③a>0；④an，其中属于代数式的是(　B　)
A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②③④
4．计算：
(1)＋；
解：原式＝＋＝2；
(2)－××(－)-2.
解：原式＝－××＝－.
5．已知一个圆柱体的体积为V，高为h，求它的底面半径r(用含有V和h的代数式表示)；求当V＝80π，h＝5时，底面半径r的值．
解：圆柱体的体积V＝πr2h，∴r＝.
把V＝80π，h＝5代入上式，得r＝4.
◆活动5　完成附赠手册
◆活动6　课堂小结
1．理解二次根式的性质，利用二次根式的性质进行化简和计算．
2．利用代数式的概念判断哪些式子是代数式．
1．作业布置
(1)教材P5　习题16.1第2，4，8，9题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
16.2　二次根式的乘除
第1课时　二次根式的乘法
教师备课　素材示例
●置疑导入　问题情境：你能解决下面的问题吗？
如图，设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b，已知a＝2，b＝，求S.
【教学与建议】教学：利用实际问题导入新课，激发学生学习的积极性．建议：学生相互讨论使学生主动参与到学习活动中来．
●归纳导入　请同学们完成下列各题．
1．填空：
(1)×＝__10__，＝__10__；
(2)×＝__12__，＝__12__；
(3)×＝__70__，＝__70__．
参考上面的结果，用“>”“<”或“＝”填空：
×__＝__；×__＝__；
×__＝__.
2．提出问题：你能说出发现的规律吗？
【归纳】两个二次根式相乘，把被开方数__相乘__，根指数__不变__，用字母表示：·＝____(a≥0，b≥0).
【教学与建议】教学：引导学生在计算、观察的基础上，发现规律．建议：教师的点拨引导，学生积极开展小组合作学习，交流探索新知．
◎命题角度1　二次根式的乘法
二次根式相乘，先把根号前面的系数相乘，再将被开方数相乘，根指数不变．
【例1】计算×的结果是(D)
A．7 B．3 C． D．
【例2】下列二次根式中，与的积为无理数的是(B)
A． B． C． D．
◎命题角度2　逆用二次根式乘法法则进行二次根式的化简
利用＝·(a≥0，b≥0)及＝a(a≥0)进行化简．
【例3】下列各式化简后的结果是3的是(C)
A． B． C． D．
【例4】化简的结果是(D)
A．2 B．－2 C．－4 D．4
◎命题角度3　二次根式的大小比较
比较两个二次根式大小的方法：(1)被开方数比较法，即先将根号外的非负因数移到根号内，被开方数大的二次根式大；(2)平方法，即把两个二次根式分别平方，再比较大小；(3)计算器求近似值法．
【例5】比较下列各组二次根式的大小：
(1)3和4； (2)－9和－8.
解：(1)3＝，4＝.
∵＜，∴3＜4；
(2)－9＝－，－8＝－.
∵－＞－，∴－9＞－8.
高效课堂　教学设计
1．理解·＝(a≥0，b≥0)，并运用它进行计算．
2．利用逆向思维，得出＝·(a≥0，b≥0)，并运用它进行解题和化简．
▲重点
·＝(a≥0，b≥0)；＝·(a≥0，b≥0)，及它们的运用．
▲难点
发现规律，导出·＝(a≥0，b≥0).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
◆活动1　新课导入
1．回顾二次根式的性质和算术平方根的概念．
2．下列运算正确的是(　A　)
A．()2＝2 B．(－)2＝－2
C．(－)2＝2 D．－＝2
3．计算：(1)×＝__10__，＝__10__；
(2)×＝__12__，＝__12__．
思考：×与的结果相同吗？你发现了什么？
◆活动2　探究新知
教材P6　探究．
提出问题：
(1)你能完成探究中的计算吗？
(2)通过计算，你能得出二次根式的乘法法则吗？
(3)二次根式的乘法法则反过来还成立吗？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．二次根式的乘法法则：·＝____(a≥0，b≥0).
2．积的算术平方根的性质：＝__·__(a≥0，b≥0).
注意：根据二次根式的乘法法则，类似可得···＝____(a≥0，b≥0，c≥0，d≥0).
◆活动4　例题与练习
例1　教材P6　例1.
例2　教材P7　例2.
例3　教材P7　例3.
例4　计算：
(1)×(－2)×；
解：原式＝－2
＝－10；
(2)5××；
解：原式＝×5
＝；
(3)·.
解：原式＝
＝a.
例5　比较3与4的大小．
解：方法一：3＝＝，4＝＝.
∵<，∴3<4；
方法二：∵(3)2＝45，(4)2＝48，45<48，
∴3<4.
练习
1．教材P7　练习第1，2，3题．
2．计算：×＝__2__．
3．计算：2×(－3)＝__－36__．
4．计算：
(1)××；
解：原式＝
＝60；
(2).
解：原式＝
＝
＝28.
5．一个底面为30 cm×30 cm的长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10 cm的长方体铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20 cm，铁桶的底面边长是多少厘米？
解：设铁桶的底面边长是x cm.
由题意，得x2×10＝30×30×20，x2＝30×30×2，x＝＝30.
答：铁桶的底面边长是30 cm.
◆活动5　完成附赠手册
◆活动6　课堂小结
1．理解二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质．
2．二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质的应用．
1．作业布置
(1)教材P10～11　习题16.2第1，5，6题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
第2课时　二次根式的除法
教师备课　素材示例
●归纳导入　1.计算：
(1)×＝____；(2)×＝____；
(3)×＝__9__；(4)5×4＝__20__．
2．填空：
(1)＝____，＝____；(2)＝____，＝____；
(3)＝____，＝____；(4)＝____，＝____．
规律：__＝__；__＝__；__＝__；__＝__.
3．问题：你能说出你发现的规律吗？
【归纳】两个二次根式相除，根指数__不变__，被开方数__相除__．用字母表示：＝(a≥0，b＞0).
【教学与建议】教学：利用具体数据，通过学生的练习活动，发现规律，归纳出二次根式的除法法则．建议：教学中教师要注意引导学生自己去发现、探索、理解．
●类比导入　师：我们是怎样得到二次根式的乘法法则的？
生：从特殊的几个算式中归纳出来的．
师：接下来，我们用类似的方法来研究二次根式的除法．
问题1　计算下列各式，观察计算结果，你能发现其中的规律吗？
(1)＝____，＝____；(2)＝____，＝____．
问题2　用你发现的规律填空，并用计算器进行验算：
(1)__＝__；(2)__＝__.
【教学与建议】教学：类比前面二次根式乘法的研究方法来研究二次根式的除法，感受二次根式除法运算法则．建议：教学时，让学生交流讨论学习二次根式乘法的经验，类比学习二次根式除法法则．
◎命题角度1　＝(a≥0，b＞0)的计算
两个二次根式相除，用根号前面的系数与系数相除，根号内被开方数相除．要注意将结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式．
【例1】计算÷的结果是(B)
A．1 B． C． D．以上答案都不对
【例2】下列运算正确的是(D)
A．÷＝10 B．÷2＝2
C．＝3＋4＝7 D．÷＝3
◎命题角度2　分母有理化
分母有理化常有两种方法：一是分子、分母都乘适当的二次根式；二是根据题目的特点，把分母或分子适当地分解因式，再约分．
【例3】把下列式子中的分母的根号化去：
(1)；　(2)；　(3).
解：(1)＝＝；
(2)＝＝＝；
(3)＝＝＝－2.
◎命题角度3　最简二次根式
符合以下两个条件的根式是最简二次根式：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
【例4】下列各式是最简二次根式的是(A)
A． B． C． D．
【例5】把下列各个二次根式化为最简二次根式．
(1)＝__3__；(2)＝____．
◎命题角度4　二次根式的乘除法混合运算
二次根式混合运算的技巧与注意点：(1)可先对每一个二次根式化简，再计算；(2)根号外的系数与根号内的被开方数要分步计算；(3)二次根式乘除法混合运算仍是按从左到右的顺序进行，如果有括号，就先算括号里的．
【例6】计算÷÷的结果正确的是(A)
A． B． C． D．
【例7】计算：
(1)÷×(－)＝__－2__；
(2)＝__6__．
高效课堂　教学设计
1．理解＝(a≥0，b>0)和＝(a≥0，b>0)，并能利用它们进行计算和化简．
2．利用具体数据，发现规律，归纳出二次根式的除法法则，并用逆向思维写出逆向等式，能利用它们进行计算和化简．
▲重点
二次根式除法公式的理解、运用和逆运用．
▲难点
发现规律，探索二次根式的除法法则．
◆活动1　新课导入
1．回顾二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质．
2．计算：
(1)×；(2)×；(3).
3．计算下列各题，观察有什么规律？
(1)＝____，＝____，__＝__；
(2)＝____，＝____，__＝__.
◆活动2　探究新知
1．教材P8　探究．
提出问题：
(1)你能完成探究中的计算吗？
(2)通过计算，你能得出二次根式的除法法则吗？
(3)二次根式的除法法则反过来成立吗？
学生完成并交流展示．
2．教材P9　例6.
提出问题：
(1)观察例6中的计算结果，你能发现什么特点？
(2)由此你能得出什么样的二次根式叫做最简二次根式？
(3)如何把二次根式化为最简二次根式？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．二次根式的除法法则：＝____(a≥0，b>0)，即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变．
2．二次根式的除法法则的逆用：＝____(a≥0，b>0)，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．
3．最简二次根式必须满足下列两个条件：
(1)被开方数不含__分母__；
(2)被开方数中不含__能开得尽方的因数或因式__．
◆活动4　例题与练习
例1　教材P8　例4.
例2　教材P8　例5.
例3　把下列二次根式化成最简二次根式：
(1)；
解：原式＝
＝；
(2)；
解：原式＝
＝；
(3).
解：原式＝3
＝.
例4　教材P9　例7.
例5　长方形的长为3，面积为30，要在这个长方形中分割出一个面积最大的正方形，求该正方形的面积．
解：∵30÷3＝2，而3>2，
∴正方形的边长是2，
∴正方形的面积是(2)2＝60.
练习
1．教材P10　练习第1，2，3题．
2．若＝，则a的取值范围是(　C　)
　A．a<2 B．a≤2 C．0≤a<2 D．a≥0
3．若和都是最简二次根式，则m＝__－2__，n＝__－4__．
4．已知a＋b＝－3，ab＝2，求＋的值．
解：∵a＋b＝－3，ab＝2，
∴a<0，b<0，
∴＋＝＋＝＝－＝.
◆活动5　完成附赠手册
◆活动6　课堂小结
1．理解二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质．
2．二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质的应用．
1．作业布置
(1)教材P10～11　习题16.2第2，3，4，7，8题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
16.3　二次根式的加减
第1课时　二次根式的加减
教师备课　素材示例
●情景导入　现有一块长为7.5 dm、宽为5 dm的木板，能否采用如图所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2的正方形木板？
根据题意，得＋.怎样计算这个算式呢？今天我们用二次根式的加减来解决这个问题．
【教学与建议】教学：通过实际情景，激发学生的学习兴趣和求知欲望．建议：教学中采用分组讨论、自主探究的方式来解决问题，提高学生自主学习的能力．
●复习导入　1.合并同类项：
(1)3a＋4a；(2)4a2－3a2＋2a2.
解：(1)原式＝7a；(2)原式＝3a2.
这几道题你是运用什么知识做的？__加减法则__．
2．化简：
(1)；(2)；(3).
解：(1)原式＝；(2)原式＝4；(3)原式＝6m.
3．二次根式的乘除法，是通过几个被开方数相乘或者相除，然后化简得出结果．那么，二次根式的加减法能通过几个被开方数相加或相减得出结果吗？
提问：－＝正确吗？
在我们学习了本节课之后你就会明白上面的计算是否正确．
【教学与建议】教学：复习合并同类项，化简二次根式为二次根式加减打下基础．建议：将课堂留给学生，让学生自主学习，自主发现问题，自主解决问题．
◎命题角度1　二次根式可以合并的条件
只有被开方数相同的二次根式才能合并；结合最简二次根式的概念列出方程组，即可求出未知字母的值．
【例1】下列各组二次根式中，化简后能合并的是(C)
A．与 B．与 C．与 D．与
【例2】若最简二次根式与能合并，则x的值是(B)
A．3 B．2 C．－2 D．－
◎命题角度2　二次根式的加减运算
二次根式加减运算的步骤：(1)化简：将二次根式化成最简二次根式；(2)判别：找出被开方数相同的二次根式；(3)合并：将被开方数相同的二次根式合并．
【例3】下列计算正确的是(A)
A．－＝2 B．＋＝
C．4－3＝1 D．3＋2＝5
【例4】计算3－的结果是____．
◎命题角度3　二次根式加减运算的应用
根据题意列出二次根式，再利用二次根式的加减运算解决问题．
【例5】三角形的三边长分别为 cm， cm， cm，则这个三角形的周长为__(5＋2)__cm.
【例6】已知等腰三角形的两边长分别为2和5，则此等腰三角形的周长为__2＋10__.
高效课堂　教学设计
1．能够熟练地将二次根式化为最简二次根式，并进行合并．
2．会进行二次根式的加减运算．
▲重点
二次根式的加减运算．
▲难点
将二次根式化简为最简二次根式，并会进行二次根式的加减运算．
◆活动1　新课导入
1．把下列二次根式化为最简二次根式．
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).
2．计算：
(1)2x＋3x＝__5x__；(2)2x2－3x2＋5x2＝__4x2__；
(3)x＋2x＋3y＝__3x＋3y__；(4)3a2－2a2＋a3＝__a2＋a3__．
3．类比计算：
(1)＋2＝__3__；(2)3－2＋4＝__5__＝__10__．
今天我们一起学习二次根式的加减．
◆活动2　探究新知
教材P12　内容．
提出问题：
(1)能否截得两个正方形，需要我们算出什么？或者是比较哪两个量之间的大小？
(2)面积是8 dm2和18 dm2的正方形的边长分别是多少？
(3)在横线上填上每一步计算的依据；
　＋
＝2＋3　__化成最简二次根式__
＝(2＋3) 　__分配律__
＝5.
(4)由此你能得出二次根式的加减运算法则吗？
(5)在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内成立吗？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
二次根式加减时，先将二次根式化成__最简二次根式__，再将__被开方数相同__的二次根式进行合并．
强调：
1．二次根式的加减与整式的加减之间的联系与区别：二次根式的加减是被开方数相同的最简二次根式进行合并，不能合并的保留到结果；整式的加减是合并同类项，不能合并的保留到结果．
2．与不能合并，因为被开方数不同．
◆活动4　例题与练习
例1　教材P13　例1.
例2　教材P13　例2.
例3　计算：(1)＋2－4－；
解：原式＝＋4－－＝；
(2)－－＋(－2)0＋.
解：原式＝3－－1－＋1＋－1＝－1.
例4　已知m＝2＋，求－的值．
解：原式＝－.∵m－1＝2＋－1＝1＋>0，∴原式＝m＋1＋.将m＝2＋代入，得原式＝2＋＋1＋＝5.
练习
1．教材P13　练习第1，2，3题．
2．小明同学在作业本上做了以下4道题：①－＝；②3－＝3；③2＋3＝5；④－＝.其中做对的题目的个数是(　A　)
　A．0 B．1 C．2 D．3
3．下列二次根式中，化简后不能与合并的是__②⑤__．(填序号)
①；②－；③；④；⑤.
4．计算：
(1)＋－－＋3；
解：原式＝3＋2－2－3＋
＝；
(2)－2－4＋；
解：原式＝－－2＋
＝；
(3)－(2－)－2.
解：原式＝－－＋2－
＝2－.
◆活动5　完成附赠手册
◆活动6　课堂小结
1．二次根式的合并．
2．二次根式的加减运算．
1．作业布置
(1)教材P15　习题16.3第2，3，5题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
第2课时　二次根式的混合运算
教师备课　素材示例
●情景导入　母亲节快到了，小勋做了两张大小不同的正方形壁画准备送给妈妈．其中一张面积为600 cm2，另一张面积为4 200 cm2，他想如果再用金彩带镶上边会更漂亮．他现在有一条长1.2 m的金彩带，请你帮忙算一算，他的金彩带够用吗？若不够用，还需要购买多长的金彩带？
引导学生计算所需金彩带的总长，列式为4＋4，思考计算方法．
如何计算呢？通过本节课的学习，我们就会很容易解决这一问题．
【教学与建议】教学：创设实际问题的问题情境，让学生感受数学来源于生活．建议：引导学生独立写出算式，然后讨论算式的计算方法．
●类比导入　
计算：
(1)(x＋y)·xy＝__x2y＋xy2__；
(2)(2x2y＋3xy2)÷xy＝__2x＋3y__；
(3)(x＋y)(x－y)＝__x2－y2__；
(4)(x＋y)2＝__x2＋2xy＋y2__；
(5)(2x＋3y)(2x－3y)＝__4x2－9y2__．
思考：如果上述各式中的x，y分别代表着一个二次根式，我们会有哪些新的收获呢？今天我们来学习二次根式的混合运算．(同时展示本节课学习目标)
【教学与建议】教学：用类比的方法探索二次根式混合运算的特点，使学生弄清楚新旧知识之间的区别与联系．建议：引导学生自主发现结论：在进行二次根式的混合运算时，学过的整式的乘法法则和乘法公式仍然适用．
◎命题角度1　二次根式的混合运算
二次根式的混合运算：一般先将每个二次根式化为最简二次根式，再把括号内合并后进行二次根式的乘除运算，最后进行加减运算．
【例1】计算(－)÷的结果是(D)
A．－1 B．－ C． D．1
【例2】下列计算正确的是(B)
A．3－2＝ B．×(÷)＝
C．(－)÷＝2 D．－3＝
◎命题角度2　乘法公式在二次根式混合运算中的应用
整式的运算律、乘法法则与乘法公式在二次根式的运算中同样适用．
【例3】计算：(3－)2 022(3＋)2 023的结果为(D)
A．0 B．1 C．－3－ D．3＋
【例4】计算(＋1)(－1)的结果等于__2__．
◎命题角度3　与二次根式有关的化简求值
与二次根式有关的化简求值问题的常用解题技巧：(1)运用乘法公式；(2)运用因式分解；(3)运用整体思想；(4)求含字母的代数式的值时，应先化简，后代入．
【例5】已知a＝2＋，则a＋＝__4__．
【例6】先化简，再求值：2(a＋)(a－)－a(a－6)＋6，其中a＝－1.
解：原式＝2(a2－3)－a2＋6a＋6
＝2a2－6－a2＋6a＋6
＝a2＋6a.
当a＝－1时，原式＝(－1)2＋6(－1)
＝2－2＋1＋6－6
＝4－3.
高效课堂　教学设计
1．掌握二次根式的加减乘除混合运算法则．
2．正确地运用二次根式加减乘除运算法则及运算律进行运算，并把结果化简．
▲重点
熟练掌握二次根式的乘除、乘方等运算法则．
▲难点
由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．
◆活动1　新课导入
1．回顾二次根式的加减、乘除运算法则、整式混合运算的法则和相关公式．
2．计算：(1)＋－；(2)×；(3)÷.
3．计算：(1)(3x2＋2x＋2)·4x＝__12x3＋8x2＋8x__；
(2)(2x2y＋3xy2)÷xy＝__2x＋3y__．
4．简便计算：(1)(2x＋3y)(2x－3y)＝__4x2－9y2__；
(2)(2x＋1)2＋(2x－1)2＝__8x2＋2__．
◆活动2　探究新知
1．你能类比单项式与多项式乘除法法则计算下列各式吗？
(1)×(2－)；(2)(－)÷.
2．你能根据多项式乘多项式的法则计算下列式子吗？
(1)(－2)(2－)；(2)(2＋2)(－).
3．你能说出整式的乘法公式吗？你能根据乘法公式计算下列式子吗？
(1)(－2)(＋2)；(2)(－2)2.
4．有理数的混合运算法则是什么？类似地，你能归纳出二次根式的混合运算法则吗？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．二次根式的混合运算法则：先算__乘方__，再算__乘除__，最后算__加减__，有括号的，先算__括号内的__．
2．常见的乘法公式或法则：
(1)m(a＋b＋c)＝__ma＋mb＋mc__；
(2)(x＋a)(x＋b)＝__x2＋(a＋b)x＋ab__；
(3)(a＋b)(a－b)＝__a2－b2__；
(4)(a±b)2＝__a2±2ab＋b2__．
◆活动4　例题与练习
例1　教材P14　例3.
例2　教材P14　例4.
例3　计算：
(1)÷2；
解：原式＝2＋2；
(2)－(＋2)÷.
解：原式＝－1－.
例4　先化简，再求值：÷，其中a＝2＋，b＝2－.
解：原式＝÷＝·＝.
当a＝2＋，b＝2－时，原式＝＝＝.
练习
1．教材P14　练习第1，2题．
2．按如图所示的程序计算，若开始输入n的值是，则最后输出的结果是(　C　)
　A．14 B．16 C．8＋5 D．14＋
3．估计(2－)·的值应在(　B　)
　A．1和2之间 B．2和3之间
C．3和4之间 D．4和5之间
4．若a＋＝，则a－＝__±1__．
5．计算：
(1)÷2＋；
(2)(＋－)(－＋)；
(3)－(＋2)÷.
解：(1)原式＝÷2＋＝×＋＝＋＝5；
(2)原式＝[＋(－)][－(－)]＝()2－(－)2＝2－(9－2)＝2－9＋6＝－7＋6；
(3)原式＝－(＋2)×＝－1－.
◆活动5　完成附赠手册
◆活动6　课堂小结
1．掌握二次根式混合运算的法则．
2．正确地进行二次根式的混合运算．
1．作业布置
(1)教材P15　习题16.3第4，6，7，8题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思

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