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人教版数学八年级上第十三章作业设计
依 标 扣 本 着 眼 素 养 渗 透 方 法 凸 显 探 究 体 现 分 层
1
目录
一、单元信息………………………………………………………4
二、单元分析………………………………………………………4
（一） 课标要求…………………………………………………4
（二） 教材分析…………………………………………………4
1.知识网络………………………………………………………5
2.内容分析………………………………………………………5
（三） 学情分析…………………………………………………5
三、单元目标………………………………………………………6
（一）单元学习目标………………………………………………6
（二）单元学习目标………………………………………………6
四、单元作业整体设计路…………………………………………6
五、课标要求、作业目标和课时作业对照表……………………7
六、单元作业过程性评价表………………………………………8
七、课时作业………………………………………………………9
（一）温故导新…………………………………………………9
（二）13.1.1 对称轴……………………………………………10
（三）13.1.2 线段的垂直平分线的性质…………………………12
（四）13.2 画对称轴……………………………………………15
（五）13.3.1 等腰三角形（两课时）……………………………17
（六）13.3.2 等边三角形（两课时）……………………………22
（七）13.4 课题学习 最短路径问题……………………………26
2
（八）单元复习作业（两课时）…………………………………29
八、单元提升作业…………………………………………………33
九、单元质量检测…………………………………………………34
十、作业设计参考答案……………………………………………39
【单元作业设计内容结构图】
1.单元信息

课标要求

知识网络2.单元分析 教材分析
内容分析

学情分析

单元学习目标3.单元目标
单元作业目标
4.单元作业整体设计思路

5.课标要求、作业目标和课时作业对照表
6.课时作业过程性评价表

温故导新

基础性作业（必做）
7.课时作业 发展性作业（选做）内容结构图 每课时作业 作业分析与设计意图

课时作业评价表
第一课时：

8. 单元复习作业
第二课时：运用图形变换构造基本
图形求线段和的最小值

阅读与思考：了不起的轴对称

9.单元提升作业
自我小梳理：制作作业错题单；
解题方法小总结

10.单元质量检测作业


11.参考答案
3
一、单元信息
基本 学科 年级 学期 教材本 单元名称
信息 数学 八年级 第一学期 人教版 轴对称
单元
组 织
课时作业 单元作业 学期作业
方
式
序 课时名称 对应教材内容
号
课时
1 13.1 轴对称 58-63 页
信息
2 13.2 画轴对称 67-70 页
3 13.3 等腰三角形 75-81 页
4 13.3 最短路径问题 85-87 页
二、单元分析
（一）课标要求
认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形； 通过具体实例理解轴对称
的概念，探索它的基本性质；能画出简单平面图形（点、线段、三角形等）关于
给定对称轴的对称图形；理解轴对称图形的概念，探索等腰三角形的轴对称性质；
理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理及其逆定
理；理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理；探索并掌握等
腰三角形的判定定理；探索等边三角形的性质定理和判定定理。
课标在“知识技能”方面指出：探索并掌握等腰三角形的基本性质和判定；
探索并理解平面图形的轴对称；掌握基本的证明方法和基本的作图技能。在“数
学思考”方面指出： 经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观；体会
通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，发展推理能力；能
独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。在“问题解决”方面指出：初步体
会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方
法等解决简单的实际问题，增强应用意识。在应用数学表述和解决问题的过程中，
体会数学的价值，对数学有好奇心和求知欲。
（二）教材分析
1.知识网络
4
概念及其性质

作对称轴
生活中的轴对称现象 轴对称 画轴对称图形
关于坐标轴对称的点的坐标关系





线段垂直平分线的概念 线段


线段垂直平分线的性质定理及其逆定理

轴对称 简单的轴对称几何图形

性质 一般等腰三角形 判定 等腰三角形
性质
等边三角形
判定

轴对称图形变化与最短路径问题
平移



2.内容分析
《轴对称》是八年级上册几何与图形部分的最后一章，可以看作是全等三角
形特殊情形：两个全等三角形在位置上关于某条直线对称。主要研究轴对称的概
念、性质，简单的轴对称几何图形和运用轴对称知识解决最短路径问题。知识结
构上，遵循几何研究问题的一般路径：概念－一般性质－特例性质－几何推理；
研究方法上，让学生经历“具体实例中抽象概念、性质--研究特例、归纳性质--
运用性质解决实际问题”的过程，渗透数学抽象、几何直观和数学建模等数学思
想方法，发展学生的空间概念、推理能力和模型意识。
通过本单元的学习，学生能够基本建立轴对称的知识结构，体会轴对称也是
研究几何图形性质的一种方法，经历通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理
加以证明的过程，感悟研究几何问题的一般套路，为以后研究其它几何图形进一
步奠定知识基础和方法基础。
因此，本单元学习重点是：轴对称性质及等腰三角形的性质和判定。
（三）学情分析
从知识结构看，小学时，已经能在方格纸中画出轴对称图形的对称轴，能
在方格纸中补全轴对称图形，这些都为本章学习奠定了知识基础，但小学阶段仅
限于感知轴对称图形，没有从几何学角度对它进行系统研究。
从思维规律看，学生系统学过平行线、三角形和全等形等，初步感受到研究
几何问题的一般套路，同时对如何用几何语言书写证明过程有了一定的感知，但
是随着推理依据增多，几何图形复杂程度增加，探究证明思路时，学生常感到无
处下手。另外，从本章开始，学生开始独立地应用几何语言书写证明过程，如何
严谨、简明、有条理地书写证明过程，也是一个挑战。因此本章难点是：证明思
路的探究和证明过程的书写。
5
三、单元目标
（一）单元学习目标
1．认识轴对称图形；理解轴对称概念，探索它的基本性质；能画出简单平
面图形（点、线段、三角形等）关于给定对称轴的对称图形。
2．理解线段垂直平分线概念，探索并证明线段垂直平分线性质定理及其逆
定理。
3.理解等腰三角形概念，探索并证明等腰三角形性质定理，探索并掌握等腰
三角形判定定理；探索等边三角形的性质定理及其判定定理。
4. 初步体会在具体情境中从数学角度发现问题和提出问题，并综合运用数
学知识和方法等解决简单实际问题。
（二）单元作业目标
1.掌握轴对称性质，通过练习能识别轴对称图形，能作轴对称图形对称轴；
会画点、线段和三角形关于给定直线对称的图形，培养动手操作能力。
2.掌握点 A（x，y）关于坐标轴对称的点的坐标变化规律，通过练习能写出
点 A关于坐标轴对称的点的坐标；在坐标系中，能运用坐标变化规律画出已知图
形关于坐标轴对称的图形，培养数形结合意识。
3.掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，通过练习会用尺规作图法作
线段垂直平分线；能综合运用角平分线性质和线段垂直平分线性质进行计算和证
明，培养推理能力和运算能力。
4.探索并证明等腰三角形的性质和判定，通过练习能求等腰三角形角的度数
和边的长度；能综合运用所学进行与等腰三角形相关的证明；能对一些特殊等腰
三角形（顶角为 36 等腰三角形、顶角为 120 等腰三角形和等腰直角三角形等）
展开探索，并得出一些结论；能根据等腰三角形定义进行必要的分类讨论，培养
推理能力、运算能力和探究精神，提升思维严谨性。
5.掌握含 30 角直角三角形性质，通过练习能顺利进行与之相关的计算和证
明，培养学生推理能力和运算能力。
6.能利用轴对称和平移解答最短路径问题，渗透模型思想，培养应用意识。
7.经历轴对称的概念和性质、线段垂直平分线的性质和判定、等腰三角形的
性质和判定等的应用过程，加深对新知理解，体会几何知识价值，增强对学习几
何的好奇心和求知欲。
四、单元作业整体设计思路
《数学课程标准（2022 版）》指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生
初步会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的
语言表达现实世界”。具体到本章必须把以下几点落到实处：（1）“能够在实际情
境中发现和提出有意义的数学问题，进行数学探究，初步养成从数学角度观察现
实世界的意识和习惯”，比如能在具体情境中识别最短路径问题，并能根据轴对
称性质解答这类问题。（2）“能够根据已知事实或原理，合乎逻辑地推出结论，
建构数学的逻辑体系”，比如运用轴对称的性质在数学活动中探究等腰三角形的
性质和判定，从而建立等腰三角形的知识体系，再如运用等腰三角形的性质和判
定进行几何推理证明。（3）“通过经历用数学语言表达现实世界中简单数量关系
与空间形式的过程，学生初步感悟数学与现实世界的交流方式”，比如能用几何
语言简洁、准确的书写几何证明过程，再如能运用“将军饮马模型”解答线段和
6
的最小值问题。
以上几点是我们进行本章作业设计必须遵守的理念，具体的又体现在以下几
点：
常规练习

基础性作业（必做；3-4题） 整合应用

1.
思维拓展
单元作业设计体系
探究性

发展性作业（选做；2-3题） 实践性


跨学科
2.每个课时所设计的题目要依据课程标准，紧扣教材内容，切合学习目标并
与单元作业目标相吻合。
3.作业评价主体和作业评价标准要多样化，同时作业形式设计要考虑到批
改、分析、讲评和辅导。
4.为了凸显知识间的内在联系，提升课堂教学效果，本次作业设计将部分自
然节的两个课时合二为一。
5.依据课标要求和教材需要、根据学生实情创造性地设计原创题，以增大原
创题所占比例。或改编课本上的例题、习题和中考题等，杜绝抄袭。
五、课标要求、作业目标和课时作业对照表
课题名称 课标要求 作业目标 课时作业
13.1 认识并欣赏自然界 ①能识别轴对称图 ①---第 1 题；
.1 和现实生活中的轴 形；②理解轴对称的 ②---第 2 题；
轴 对称图形； 通过具 概念；③能指出轴对 ③---第 3 题和第 4
对 体实例理解轴对称 称的对称轴并能找出 题
称 的概念；探索它的基 对称点；④能整体感 ④---第 5 题
13. 本性质。 知轴对称图形的特
1 征。
轴 ①能画出简单几何图 ①---第 1 题；
对 13.1 理解线段垂直平分 形的对称轴；②能运 ②---第 2 题；第 3
称 .2 线的概念；探索并证 用线段垂直平分线的 题；第 5题；
线段 明线段垂直平分线 性质定理和逆定理判 ③---第 4 题
的垂 的性质定理及其逆 断、计算和证明；③
直平 定理。 能综合运用角平分线
分线 和线段垂直平分线的
有关知识解决简单问
题。
①会画点、线段和三 ①---第 2 题；第 4
角形关于给定直线对 题
13.2 能画出简单平面图 称的图形；②会写出 ②---第 1 题；
画轴 形（点、线段、三角 点 A 关于坐标轴对称 ③---第 3 题；
对称 形等）关于给定对称 的点的坐标；③能运 第 5 题是本课时研
7
图形 轴的对称图形； 用坐标变化规律画出 究问题方法的拓展
已知图形关于坐标轴 运用。
对称的图形。
①运用等腰三角形性 ①---第1课时的第
质证明角或边相等； 2、3和 5题；
13.3 理解等腰三角形的 ②运用等腰三角形判 ②---第2课时的第
．1 概念；探索并证明等 定判断等腰三角形③ 1、3、4题；
13. 等腰 腰三角形的性质定 综合所学进行与等腰 ③---第2课时的第
3 三角 理；探索并掌握等腰 三角形相关证明或计 5题；
等 形 三角形的判定定理。 算；④根据等腰三角 ④---第1课时的第
腰 形定义进行必要分 4、6题。
三 类。
角 ①会求等边三角形边 ①---第1课时的第
形 的长度；②能综合运 3题；
用等边三角形的性质 ②---第1课时的第
和判定进行判断、计 2、4、5题；
13.3 探索等边三角形的 算和证明；③能综合 ③---第1课时的第
.2 性质定理和判定定 运用所学进行计算和 6题；
等边 理。 证明；④能运用含 30 ④---第2课时的第
三角 角直角三角形的性 1、2、3题；
形 质进行相关的计算和 ⑤-----第2课时的
证明；⑤能综合运用 第 4、5题。
所学进行与含 30°角
直角三角形相关的计
算和证明。
①能识别解答将军饮 ①---第 1 题；
马模型的基本方法。 ②---第 2 题；
13.4 初步体会在具体情 ②能将将军饮马模型 ③---第 4 题和第 5
最短 境中从数学角度发 的解答方法迁移到新 题；
路径 现问题和提出问题， 情境中；③能运用轴 ④---第 3 题。
问题 并综合运用数学知 对称知识解决最短路
识和方法等解决简 径问题④能运用平移
单实际问题。 知识解决最短路径问
题。
六、课时作业过程性评价表
《数学课程标准（2022 版）》关于教学评价给出了这样的建议：“根据学生
年龄特征，评价结果的呈现应采用定性与定量相结合的方式，关注每一位学生的
学习过程。”作业评价是教学评价的一个极其重要方面，作业的评价务必要充分
体现过程性。
8
课时作业过程性评价表
评价指标 评价细则
A：答案正确，过程没问题；
答题的 B：答案正确，过程有问题；
评
准确性 C：答案不准确，过程有问题或答案错误且过程错误或无
过程。
价
答题的 A:过程规范，答案正确；
规范性 B：过程不够规范、完整，答案正确；
标
C：过程不规范或无过程，答案错误。
准 答题的 A：自己独立完成；
流畅性 B：借助外力完成；
C:借助外力仍无法完成。
综合评 AAA、AAB 综合评价为 A；
价等级 ABB、BBB、AAC 综合评价为 B；
其余综合评价为 C。
（1）将学生分组，每组三人：优、中、差，优生
为组长。（2）互评流程：①组内互评 按照评价
学生 标准给出评价等级。②组内互助：三人互助，力
互评 争弄明白出错原因或解题过程中的障碍点。③组
流程 间讨论：各小组长之间就某个问题展开讨论。
评 作业 （3）作业中的典型错误和未讨论明白的问题由学
科代表提交给老师，以便讲评作业。
批改 家长
价 留言
等级：
教师
流 评价 评语：
普遍性问题：
程
作业 个别性问题：
讲评 问题成因：
改进措施：
订正 错题订正：
错题
类似题收集：
反思 教师（对教学启示）：
改进
9
七、课时作业
温故导新
你能说出下面图形中哪个是轴对称图形吗？你能画出那个轴对称图形的对
称轴吗？
如果没有方格纸（如上面右图），你能画出它的对称轴吗？说说你这样画的
依据。
下面左图是一个轴对称图形的一半，直线 l是对称轴，你能画出它的另一半
吗？
如果没有了方格纸（如上面右图），不用折叠的方法，你还能画出它的另一
半吗？你觉得画出的另一半准确吗？
是的，也许我们可以画出，但不敢保证所画图形绝对准确，更找不到画图的
依据。那么，在没了方格纸，又不用折叠的方法，怎样才能保证所画的图形准确
呢？让我们走进神秘的轴对称世界来解决这个问题吧！
【作业分析与设计意图】
小学阶段，《课标》对轴对称有这样的要求：通过观察、折一折等活动，认
识轴对称图形，体会轴对称图形的特征；能在方格纸上画出轴对称图形的对称轴；
能在方格纸上补全一个简单的轴对称图形。如果不在方格纸中，不用折一折的方
法，学生只能凭感觉画图，对所画图形是否准确是没有把握的。本导读不只为了
温故旧知，更想让学生意识到以前所学知识的局限性，从而激发学生的求知欲，
激活他们的思维。
13.1.1 轴对称
（第一课时）
【作业 1】（基础性作业 必做 时长：8分钟）
1.下列图案是我国几家银行的标志，其中轴对称图形有（ ）个
10
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
2.下列说法中,正确的是（ ）
A.两个关于某直线对称的图形是全等形
B.两个全等形一定关于某直线对称
C.两个图形关于某直线对称,对称点一定在直线两旁
D.对称轴不一定是直线.
【作业 2】（发展性作业 选做 时间约 15分钟）
3.小蓉和爸爸下棋，小蓉执圆子，爸爸执方子．如图，棋
盘中心方子的位置用（﹣1，-1）表示，右下角方子的位置用
（0，﹣2）表示．小蓉将第 4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称
图形．她放的位置是（ ）
A.（﹣2，0） B．（﹣1，0） C．（-1，﹣3） D．（1，1）
4.轴对称图形在我们生活中无处不在，从自然景观到艺术作品，从建筑物到
交通标志。（1）指出下列轴对称图形的对称轴。
（2）请运用轴对称的相关知识动手制作一架纸飞机，课堂上与学伴分享。
5 .在方格纸中，用两个圆、两个三角形和两条平行线构造轴对称图形，别
忘了， 再加上一句贴切的解说词。
【作业分析与设计意图】
第 1本题旨在考查：轴对称图形的概念，通过本题，让学生意识到生活中
大量存在着轴对称现象。第 2题旨在考查：①两个图形成轴对称的概念，②轴对
称的性质，③全等图形的概念。让学生体会轴对称是全等三角形的特殊情形。第
3题旨在考查：①轴对称的概念，②轴对称图形和成轴对称的两个图形的区别和
联系。第 4题的设计意图：能根据轴对称的概念动手制作具有轴对称特点的艺术
品，培养学生的动手操作能力。第 5题旨在考查：①轴对称概念；②运用数学概
11
念理性思考后再进行动手操作；③本题是一道开放性题目，利于展示不同层次学
生的才能。④考查学生的综合素养：不仅考查学生的数学素养，还考查了的语言
表达能力等。
【作业综合分析】
① 题目设置由易到难，重点知识从不同角度、以不同方式反复考查；②题
目形式新颖，能激起学生完成作业的兴趣；③设置了动手操作性和开放性题目，
能激起学生探究问题欲望。
【课时作业评价表】
评价主体 学生自评 学生互评 家长 教师
准确性 A B C
评价
规范性 A B C
标准
流畅性 A B C
综合评价 A B C
错题
错题 订正
订正
分析 类似
题目
收集
反思
改进
13.1.2 线段的垂直平分线的性质
（第二课时）
【作业 1】（基础性作业 必做 时间约 8分钟）
1.画出下列几何图形的对称轴
12
2.如图，下列说法中正确的个数有（ ）。
①若直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线，则 MA=MB，NA=NB；
②若 MA=MB，NA=NB，则直线 MN 垂直平分线段 AB；
③若 MA=MB，则点 M是线段 AB 的垂直平分线上的点；
④若 NA=NB，则过点 N的直线垂直平分线段 AB．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4个
（第 2 题） （第 3 题）
3.通过本节课的学习我们知道作线段 AB 的垂直平分线需要如下操作：①分
1
别以点 A，点 B为圆心，大于 AB为半径作弧，两弧交于 C,D 两点；②作直
2
线 CD. 请证明为什么这样操作做出的直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线.（要求：
至少使用两种方法.）
【作业 2】（发展性作业 选做 时间约 20分钟）
4.如图,两条相交叉的公路 OA 和 OB 所夹的∠AOB 内部有两个村庄 M和 N，现
计划修建一个文化广场，希望这个文化广场到两个村庄的距离相等，到两条公路
的距离也相等.在所给的图形中画出这个文化广场的位置。（不写作法，保留作图
痕迹）．
5.如图，线段 AB 和线段 BC 的垂直平分线交于点 P,∠ABC=45°,求∠APC 的
度数。
【引申】本题中如果 ABC 60 ，其它条件不变，求 APC的度数。如果
ABC n ，你能用含 n的式子表示 APC的度数吗？
13
【作业分析与设计意图】
第 1题旨在考查学生是否会画简单几何图形的对称轴，培养学生的动手操
作能力；第 2题旨在考查学生对线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的理解水
平。第 3题设计意图：知其然知其所以然，让学生会用尺规作图作线段垂直平分
线的同时知道为什么要这样作？加深对知识点的理解。第 4本题旨在考查学生运
用线段垂直平分线及其角平分线性质定理解决实际问题的能力，培养学生的应用
意识。第 5 题旨在考查学生应用线段垂直平分线及其逆定理进行有关计算和证
明。培养学生理解推理能力和几何表达能力。【引申】部分旨在引导学生发现∠
APC 和∠ABC 之间不变的数量关系，引导的方式是由特殊到一般，体现了用字母
表示数具有普适性。
【作业综合分析】
① 题目设置由易到难，层层递进且着眼于数学素养的培养；重点知识从不
同角度、以不同方式考查；②设置了运用所学知识解决生活中实际问题的题目，
能激起学生完成作业的兴趣；③设置了动手操作性问题，能培养学生动手操作
能力。④第 4题要求学生思考尺规作图法的数学原理，体现了数学活动要有“数
学味” 。⑤第 5题设置【引申】的形式，培养学生探究问题的能力，帮助学生
体会数学研究问题的方法。
【课时作业评价表】
评价主体 学生自评 学生互评 家长 教师
准确性 A B C
评价
规范性 A B C
标准
流畅性 A B C
综合评价 A B C
错题
错题 订正
订正
分析 类似题
目收集
反思
改进
14
13.2 画轴对称图形
【作业 1】（基础性作业 必做 时间 10 分钟）
1.点（－3,2）关于 x轴对称点的坐标是 ，关于 y 轴对称点的坐标
是 。
2.如图，画出 ABC 关于直线 l对称的图形
3. 如图，利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点.（1）分别作出与△ABC
关于 x轴和 y轴对称的图形,(2)求△ABC 的面积.
【作业 2】（发展性作业 选做 时间 20 分钟）
4.已知点 A(2a－b，5＋a)，B(2b－1，－a＋b)．
（1）若点 A、B关于 x轴对称，求 a、b的值；
2021
（2）若点 A、B关于 y轴对称，求(4a＋b) 的值。
5.探究：如图：坐标平面内有三个点，A（2,3），B（3，-1），C（-4，-1
（1）分别作出 A、B、C 关于第一、三象限角平分线所在直线为对称轴的对称
点 A1、B1、C1.
（2）设点 P（x,y）关于第一、三象限角平分线所在直线的对称点为 P1，请
直接写出点 P1的坐标。
15
【引申】若点 P(x，y) 关于二、四象限角平分线所在直线为对称轴的对称
点为 P2,请直接写出点 P2的坐标。
【作业分析与设计意图】
第 1 题的设计意图：能利用关于 x 轴，y轴对称的点的坐标规律求点的坐
标，培养学生的数形结合意识。第 2题的设计意图：考查学生对轴对称图形的概
念的理解和画轴对称图形的方法。通过作轴对称图形感受数学中的对称美。第 3
题的设计意图：考查利用关于 x 轴、y轴对称的点的坐标规律作关于 x 轴、y轴
对称的图形；同时考查计算图形的面积技巧。第 4题设计意图：旨在考查学生运
用点关于x轴或y轴对称的点的坐标变化规律建立二元一次方程组并求出有关字
母的值。第 5题的设计意图：主要考查学生掌握作已知点关于某条特定直线对称
的对称点的方法，要求学生必须先通过“做一做”、“想一想”等数学思考，再利
用自主探究、猜想、归纳等数学方法解决问题，从而培养学生良好的思维品质和
创新意识。
【作业综合分析】
① 题目设置由易到难，层层递进且着眼于数学素养的培养，重点知识从不
同角度、以不同方式重点考查；②将几何图形放在平面直角坐标系中，以点的
坐标为“中介”将图形问题数量化，即“坐标法”研究几何问题。第 5题就是这
种方法的运用。
【课时作业评价表】
评价主体 学生自评 学生互评 家长 教师
准确性 A B C
16
评价
规范性 A B C
标准
流畅性 A B C
综合评价 A B C
错题
错题 订正
订正
分析 类似
题目
收集
反思
改进
13.3.1 等腰三角形
（第一课时）
【作业 1】（基础性作业 必做 时间约 8分钟）
1.等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（ ）
A.底边的高线 B.底边的中线
C.顶角平分线 D.底边的垂直平分线
2.如图，在 ABC中， AB AC，AD 平分∠BAC，∠DAC=
18 ，则∠B的度数为（ ）
A.36 B.72 C.45 D.5
3.如图，在△ABC 中，AB=AC，D、E 两点分别在边 AB、AC 的垂直平分线上，
∠ADE=60 ，求∠BAC 的度数。
【作业 2】（发展性作业 选做 时间约 22分钟）
17
4.等腰三角形的一个角是 120 ，则它另外两个角的度数是___________°和
___________°
5.如图， AD AE，BD EC，求证: AB AC（本题至少有 3种证法哦）
6.如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的 6×6网格中，给出了以
格点（网格线的交点）为端点的线段 AB，在格点处再找一点 C，使它和线段 AB
组成一个等腰三角形。
【思考】你认为解答本题最关键的地方在哪里？突破这个关键点的方法是什
么？你能找到类似的题目继续挑战一下么？
【作业分析与设计意图】
第 1本题旨在考查：① 等腰三角形的对称轴是什么，②对称轴是直线，不
是线段，③线段的垂直平分线是直线。第 2题旨在考查：①等腰三角形顶角平分
线也是底边的高线，②直角三角形的两个锐角互补，③等腰三角形的两个底角相
等。第 3题由教材 P83第 14 题改编。旨在考查①等腰三角形的两个底角相等。②
三角形的外角等于不相邻两个内角和。③三角形的内角和等于 180 .④学生综合
应用所学知识寻求解题思路，进行逻辑推理的能力。第 4题旨在考查：①等腰三
角形的两个底角相等。②三角形内角和等于 180°。③由于等腰三角形的角有底
角和顶角之分，故需要分类讨论 120°是等腰三角形的底角还是顶角。考查学生
对等腰三角形概念的理解和分类讨论意识。第 5 题由教材 P82第 6 题改编而来。
旨在考查：①等腰三角形“三线合一”定理。②由全等三角形可以得到某两条线
段相等。③ 线段垂直平分线上的点和线段两端点的距离相等。④见等腰三角形，
根据其“三线合一”定理，添加底边的高线（或底边的中线或顶角平分线）可以
达到一举多得之功效，这是等腰三角形常添的辅助线。注：提示本题至少有三种
证明方法，意在让不同层次学生获得不同程度的成功。第 6题旨在考查：①等腰
以AB为底边
三角形从“边”的角度分类讨论的一般思路： “边” 以A为顶角顶点
以AB为腰
以B为顶角顶点
②在数学理性思维支配下的动手操作能力.③本题的结果具有开放性，考查学生
18
的合作探究能力。
【作业综合分析】
① 题目设置由易到难，层层递进且着眼于数学素养的培养；重点知识从不
同角度、以不同方式重点考查；②第 4 题和第 6 题旨在考查学生能否根据等腰
三角形的概念从“角”或“边”的角度进行分类讨论，培养学生思维的严谨性。
③【解后反思】意在引导学生探寻解法形成的根源，加深对课本的理解。
【课时作业评价表】
评价主体 学生自评 学生互评 家长 教师
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流畅性 A B C
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13.3.1 等腰三角形
（第二课时）
【作业 1】（基础性作业 必做 时间约 5分钟）
1.如图，CA=CB，∠C=90 ，CD 平分∠ACB，图中等腰三角形
的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两角所对的边也相
等，简写 成“___________________”
3.如图，BM 平分∠ABC，MN//BC，求证：NB=NM
19
【作业 2】（发展性作业 选做 时间约 25分钟）
4.如图，在 ABC中，AB AC 10， ABC和 ACB的平分线交于点D，EF
经过点D，且 EF // BC .求 AEF的周长。
【引申】如图，在第 4题的基础上，连接 AD 并延长交 BC 于点 M,若 DM=2，
求三角形 ADC 的面积。
5.如图，B、C分别是∠MAN 边 AM、AN 上的两个点.
①求作一点 P，使 PB=PC，且 P到 AM、AN 的距离相等（尺规作图，只保留作
图痕迹，不写作法.）
②过点 P作 PE⊥AM,PF⊥AN,垂足分别为 E、F，连接 PB、PC.求证：BE=FC
③在②的基础上，再满足什么条件时，点 B和点 E重合，并简要说明理由。
【作业分析与设计意图】
第 1题考查学生能运用等腰三角形的判定定理探索典型的几何图形的性质，
20
第2题考查学生熟记等腰三角形的判定定理。第3题考查等腰三角形的判定定理；
角平分线的性质；平行线的性质。本题的图形是一个常见的几何图形，利于学生
积累解题经验。第 4题改编自教材 P83第 10 题。旨在考查等腰三角形的判断定理
和平行线的性质定理。【引申】部分意在考查线段垂直平分线的性质和判定、角
平分线的性质，遇角平分线常作的辅助线。第 5题由 2008 年安徽中考第 22 题改
编而来。本题主要考查的知识点有：角平分线的尺规作法、线段垂直平分线的尺
规作法和等腰三角形的三线合一性质。本题主要考查的能力有：根据已知补全图
形的能力、逻辑推理能力和用几何语言表达的能力。本题第③问，知道了结论是
什么，要求学生给出结论成立的条件，学生必须在在相关定理的限制下进行理性
分析，探究出结论成立的条件，考查学生的探究能力，培养学生的数学理性精神。
【作业综合分析】
① 题目设置由易到难，重点知识从不同角度、以不同方式重点考查；②第
5题的第③问，知道了结论，探究结论成立的条件，考查探究能力，培养数学理
性思维。
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13.3.2 等边三角形
（第一课时）
【作业 1】（基础性作业 必做 时间约 8分钟）
1.等边三角形是轴对称图形，它的对称轴条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2.如图，在等边△ABC 中，BD 平分∠ABC，BD=BE，
则∠CDE 的度数是（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
3.如右图，△ABC 和△ADE 都是等边三角形，已知△ABC
的周长为 18cm，EC =2cm，则△ADE 的周长是 cm.
【作业 2】（发展性作业 选做 时间约 20分钟）
4. 在等边三角形 ABC 中，点 D、E、F分别在边 AB、BC 和 AC 上，且∠ADF=
∠BED=∠EFC。 求证：△DEF 是等边三角形。
5.△ABC 是等边三角形，E 是 AC 上一点，D是 BC 延长线上一点，连接 BE、
DE，若∠ABE＝20°，BE＝DE，求∠CED 的度数．
6.如图，CA=CB，CG⊥AB，垂足为点 G，△BDC 和△AEC 都是等边三角形，BD
和 AE 相交于点 F. 求证：G是 AB 的中点。。
22
【变式】如图，CA=CB，G 是 AB 的中点，连接 CG，△BDC 和△AEC 都是等边
三角形，AE 和 BD 交于点 F.求证：点 F在 CG 上。
【作业分析与设计意图】
第 1题旨在轴对称图形的概念，等边三角形是轴对称图形，且有三条对称
轴。第 2题旨在考查：角平分线的性质，等边三角形角平分线与中垂线重合，三
角形内角和是 180°。提升学生的运算能力和逻辑推理能力。第 3题旨在考查：
等边三角形的三边长相等。等边三角形的判定方法，等边三角形周长的计算方法。
第 4题题改编自教材 P93 的第 11 题。意在综合考查等边三角形的性质定理和判
定定理。第 5题本题旨在考查等边三角形的性质，等腰三角形中等边对等角，三
角形内角和是 180°及三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和。第 6题改
编自教材 P93 的第 14 题。本题旨在考查：①等腰三角形的性质和等边三角形的
性质；②线段垂直平分线性质的逆定理。③学生能在较为复杂的情境中理性地进
行逻辑推理的能力。【变式】题目改变了条件的表述方式，但考查的内容和方法
没有变，本题意在培养学生的审题能力。
【作业综合分析】
① 题目设置由易到难，重点知识和方法从不同角度、以不同方式重点考查；
②第 6题考查学生能否在较为复杂的情境中理性地进行逻辑推理，具有挑战性，
能激起学生探究欲望。③第 6 题及其变式意在培养学生审题能力及逻辑推理能
力。
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13.3.2 等边三角形
（第二课时）
【作业 1】（基础性作业 必做 时间约 8分钟）
1．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是高，∠A＝30°．则下列关系正
确的是（ ）
A．BD＝ CD B．CD＝ AD
C．BD＝ BC D．BD＝ AB
2.如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD 平分∠CAB 交 BC 于点 D
E 为 AB 上一点，连接 DE，则下列说法正确的是（ ）
A．∠CAD＝30° B．ED＝EB
C．BC＝2CD D．CD＝ED
3．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，DE 是 AB 的垂直平分线，AD 平分∠BAC．若
DE＝1，则 BC 的长是 ．
【作业 2】（发展性作业 选做 时间约 20分钟）
4．如图所示，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE 垂直平分 AB，
交 BC 于点 E，AC＝3cm，求 BE 的长度。
24
5.如图，AB=AC，∠BAC=120°,E 是 BC 的中点，CF⊥BA 交 BA 的延长线于点
（1）请你写出尽可能多的边与角之间的关系（至少 6组）
（2）证明 BF=3AF
【作业分析与设计意图】
第1题主要考查含30°角的直角三角形性质在典型几何图形中的直接运用；
第 2 题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的判定，含 30°角的直角三角
形性质的应用；本题旨在考查：第 3题考查了角平分线的定义和性质；线段垂直
平分线上的性质；含 30°角的直角三角形性质，同时考查学生的推理能力。第 4
题主要考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、含 30°
角的直角三角形的性质;②能根据垂直平分线的性质添加辅助线沟通已知和条件
之间的关系．第 5 题意在考查：①等腰三角形的性质；含 30°角直角三角形的
性质；②本题结果是开放的，利于学生多角度探究几何图形的性质；③第（2）
问的证明考查学生的逻辑推理能力；④含 120°的等腰三角形也是本章一个典型
的几何图形，对典型几何图形探究也利于学生积累解答较复杂几何题经验。
【作业综合分析】
① 题目设置由易到难，重点知识和方法从不同角度、以不同方式重点考查；
②第 5 题的结论是开放的，利于学生多角度探究几何图形的性质，对典型几何
图形探究也利于学生积累解答较复杂几何题经验。
【课时作业评价表】
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13.4 课题学习 最短路径问题
【作业 1】（基础性作业 必做 时间约 8分钟）
1.如图，点 A，B 在直线 l的同侧，在直线 l上找一点 P，使 PA+PB 最小，
则下列图形正确的是（ ）
A． B．
C． D.
2.在下列几何图形中，动手画一画当点 P运动到何处时，PC+PE 的值最小？
（1）三角形 ABC 是等腰三角形，AD 是 BC 边上的高，E是 AC 边的中点
（2）点 E是正方形 ABCD 边上的一定点，P为对角线 BD 上可移动的点.
（3）OA,OC 是圆 O的两条半径，OA OC
26
（4）
【作业 2】（发展性作业 选做 时间约 20 分钟）
3.这是一张阜阳市地图的一部分，图中河流为贯穿阜阳市区的沙颍河.阜小颍
同学住在河岸的北侧，就读学校在河岸南侧（星标地点分别为学校和小区）
（1）请在一张空白的纸上用几何图形绘制出以上所涉及的实物和地点.（假设河
两岸是笔直且互相平行的.设河的两岸用直线 a 和直线 b来表示，阜小颍家和学
校分别用点 A,B 表示.）
（2）如果请你设计一座桥（桥和河的两岸垂直），使阜小颍同学从家到学校的路
程最短，你会将桥建在什么位置？
4.1657 年，法国数学家费马将光的反射定律和折射定律统一起来，提出了
著名的光行最速原理：光线的传播路线遵循时间最短的原则，即在同一介质中，
光的传播时间最短要求光的传播路径也最短.
（1）有一束光，你能画出光线经过点 A，经镜面反射后再过点 B的最短路线
吗？
（2）请用三角形两边之和大于第三边为依据证明你所
画的光线符合光行最速原理.
27
5.在第 4题的基础上设计一条光的反射路线，以点 A作为入射点，经过两次
镜面反射后，从点 B射出.（要求设计的路线遵循光行最速原理）
【作业分析与设计意图】
通过作定点关于定直线的对称点实现点的位置转换，是解决最短路径问题的
关键.题目 1在“关键处”用四个具有迷惑性的“图形”来考查学生能否从错误
的画法中找出正确的；题目 2意在考查学生在新的情境中能否识别模型并画出使
路径最短的点，以培养学生的模型意识.题目 3设置了以学生实际生活为背景的
问题，旨在：让学生学会把实际问题抽象成数学问题；锻炼学生几何作图能力；
培养学生运用所学方法解决实际问题的能力。题目 4以物理学科中的光学为背景
实为新瓶装旧药，旨在让学生能在物理学科背景下发现最短路径模型，并使用模
型解决问题，培养学生“用数学眼光看问题”的能力，让学生体会学科间是如何
融合在一起的，并积累跨学科解决问题的经验.题目 4从题目 3中包含一个动点
问题的最短路径问题到包含两个动点的最短路径问题，旨在让学生在前面题目经
验的基础上，获得解决此类问题的本质是通过作对称点把问题转化为“两点之间，
线段最段”.从简单的模仿到变式训练，让学生在逐步积累解题经验的同时，获
得理性的思考解决问题的办法.让学生不仅能“入模”还能“出模”，达到没有模
型时能想到构建模型，向模型靠拢的这种思想境界.
【作业综合分析】
① 题目设置由易到难，重点知识和方法从不同角度、以不同方式重点考查；
②题目 5不仅考查了学生运用所学解决问题的能力，还在最近发展区设计题目，
以优化学生的思维。
【课时作业评价表】
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单元复习作业（第 1 课时）
【作业 1】（基础性作业 必做 时间约 8分钟）
1.如图，A、B、C 三点坐标分别为（-2,6）、（-4,4）、（-1,1）,完成下列问
题：
（1）画出△ABC 关于直线 x=1（直线 x=1 上所有点横坐标都是 1，纵坐标各
不相同）的对称图形 A'B 'C ' ，其中 A、B、C 对称点分别为 A'、B '、C’，并写出
A'、B '、C’的坐标。
（2）观察（1）中 A和A'之间，B和B '之间，C和C '之间横坐标的变化规律。
如果点 P（-2,3）关于直线 x=m 的对称点为P '，用含 m的式子表示点 P '的横坐标。
（3）如果 M（a，b）和 N（c,d）的纵坐标相等，则 M和 N关于直线 x=______
对称（用含 a、c的式子表示）。
（4）仿照上面的研究流程，完成下面问题：如果 M（a，b）和 N（c,d）的
横坐标相等，则 M和 N关于直线 y=______对称（用含 b、d的式子表示）。
【作业分析与设计意图】
（1）将轴对称问题放在坐标系中，从“数”的角度研究几何问题，这是数
学研究问题的方法之一，本题着眼于培养学生数形结合的意识；（2）本题先引导
学生探究两个点关于直线 x=m 对称时，它们横坐标的变化规律，在此基础上，放
手让学生探究两点关于直线 y=n 对称时纵坐标的变化规律，本题意在培养学生探
29
究问题能力。
【作业 2】（发展性作业 选做 时间约 20 分钟）
2. 如图 1，在 ABC 中，AB=AC，D、G、H 分别是 BC、AB、AC 的中点。
（1）求证：DG=DH；
（2）如图 2，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E、F。求证：BE=FC；
（3）如图 2，当∠BAC 等于多少度时，DE 和 DG 重合？并简要说明理由。
（4）如图 3，若∠BAC=60°，求证：AB=4HF；
（5）如图 4，若∠BAC=120°GE=1,求 AC 的长。
【作业分析与设计意图】
本题由教材 P89“活动 3”改编而来，其设计意图有：（1）本章的“13.3 等
腰三角形”涉及到等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定，含 30°
直角三角形的性质，充分体现了几何的特点。本题着眼于培养学生的逻辑推理能
力和运用几何语言表达的能力。（2）本题以问题串的形式，展示了一般等腰三角
形、等腰直角三角形、等边三角形和含 120°等腰三角形的性质，在培养学生探
究能力的同时，也希望他们能体会到几何图形之间的内在联系。
单元复习作业（第 2 课时）
小专题作业：运用图形变换构造基本图形求线段和的最小值
【作业 1】（基础性作业 必做 时间约 20分钟）
1.如图 1，在直角坐标系中，A、B 分别在 x 轴、y 轴上，M 是 AB 的中点，P
是 y轴上一动点，求 PA+PM 的最小值。
【思路导析】作点 A关于 y 轴的对称点 A’，连接
A’ M 交 y 轴于点 P’，当点 P 运动到 P’时，PA+PB
最小且等于 A’ M 的长度。为什么要作点 A 关于
y 轴的对称点 A’呢？它的作用是：在不改变 PA
长度的前提下改变了它的位置，从而使 PA+PM
变成了两定点 A’和 M 之间的“折线段 A’ PM”，构造出如图 2 所示的基本图形，
这样可以运用“两点之间线段最短”求最值了。。。 。
30
【做一做】在图 1中，如果作点 M 关于 y 轴
的对称点，使 PA+PM最小的点还是 P’吗？动
手画一画。
2..如图 3，直线 a 和 b 的位置确定，M 是直线 a 上的一动点，MN⊥b，垂足
为 N，A 和 B 都是定点。在直线 b上求作一点
使 AM+MN+BN最小。
【思路导析】直线 a和 b 的位置确定，MN⊥b，由
“平行线间距离处处相等”可知 MN是定值，于
是，求 AM+MN+BN最小值转化为求“AM+NB”的最小值。因 AM 和 BN 不连续，
它们不是“折线段”，不能用“两点之间线段最短”求最值。如果平移 AM且使
M和 N 重合，就能构造出类似于图 2中的“折线段 ACB”。小学已经知道“平行
四边形对边相等”，这启发我们可以构造平行四边形。
【做一做】在图 3中，以 AM 和 MN为一组邻边构造平行四边形，并根据
“两点之间线段最短”在直线 b上求作一点 N’，使 AM+MN+BN 最小。
【作业 2】（发展性作业 选做 时间约 10分钟）
如图 4，在 ACB 中，∠ACB=90°,P 是 ACB 内一动点，连接
PA、PB、PC。画出一条线段，使它的长度等于 PA+PB+PC 的最小值.
【思路导析】要运用两点之间线段最短求 PA+PB+PC 的最小值，
31
需要把它们变成两个定点之间的“折线段”，如何操作呢？如图 5，将 APC 绕着
点 C 逆时针旋转 60°得 A'P 'C，于是 PA+PB+PC 就转化为 BP+ PP ' + A'P ' ,且它们
已经成为两定点 B和 A'之间的折线段。如图 6，当 A'、P '、P、B四点在一条直线
上，PA+PB+PC 最小且等于 A'B的长度。
【想一想】当把 APC 绕着点 C逆时针旋转 60°到 A'P 'C的位置时，为什么
PA+PB+PC 的值就等于 BP+ PP ' + A'P '了？
求若干条线段和的最小值是一类具有挑战性的题目。解这类题目的主要依据
是“两点之间线段最短”。要运用这个基本事实，必须先把要求最小值的若干条
线段变成两定点之间的“折线段”，然而题目条件往往并不尽如人意，这就需要
改变相关线段的位置，但前提是不能改变它们的长度。无巧不成书，常见的三种
图形变换（轴对称、平移和旋转）都有这样的功能：不会改变图形的形状和大小，
但可以改变图形的位置。
【作业分析与设计意图】
求线段和最小值问题是中考的热点、难点，是“拉分题”。为什么它能口含
“金钥匙”呢？因为这类题目能充分地考查学生的数学核心素养，而数学核心素
养的培养需要浸润式地慢慢渗透，本小专题作业正是基于这一点设计的。
【单元复习作业综合分析】
本章内容可分成三大部分：（1）13.1 轴对称和 13.2 画轴对称图形 这部
分内容是在讲授与轴对称相关的概念，在直角坐标系中研究轴对称现象是这一部
分知识和能力的集中外化表现，因而参考教材 P72的第 7题设计了第一题， 意在
培养学生探究问题能力和数形结合意识。（2）13.3 等腰三角形 本部分内容系
统地讲授了轴对称图形---等腰三角形的性质和判定，这部分内容充分地体现了
32
几何学的特点，因而在教材 P89“活动 3”的基础上设计了第二题，意在培养学
生逻辑推理能力和运用几何语言表达的能力。（3）13.4 课题学习 最短路径问
题 是运用轴对称解决实际问题一个例子，集中体现了数学素养：模型思想。因
而设计了第三题，意在培养学生的模型意识，同时也希望学生能体会到构建“两
点之间线段最短”所对应的基本图形的方法除了轴对称之外还有平移和旋转。
八、单元提升作业
【阅读与思考】
了不起的轴对称
生活中存在着大量的轴对称现象，本章首先从这些现象中抽象出轴对称定
义，进而又推导出轴对称性质。既然轴对称现象是大量存在的，我们可以有意识
地运用轴对称的有关知识去探究未知的领域，比如探索几何图形的性质。将一个
等腰三角形对折，根据轴对称图形的定义发现它是一个轴对称图形，进而又发现
等腰三角形的性质和“三线合一定理”。
【思考 1】如图，四边形 ABCD 中，AC⊥BD，垂足为 O，OA=OC,画出它的对称
轴，并尽量多地写出图中相等的线段或角。
关于某条直线成轴对称的两个图形是全等形，即这两个图形的形状、大小
一样，但它们的位置不同。换个角度说，轴对称可以改变一个图形的位置，这一
点在解答几何题时意义非凡。
例:已知：如图，在 ABC 中，AB>AC，
求证：∠C >∠B
证明：如图，将 AC 折叠，使点 C落在 AB 上的点 E处，
折痕为 AD。
∵△ACD 和△AED 关于 AD 成轴对称，
∴△ACD △AED
∴∠ACD=∠AED
∵∠AED>∠B
∴∠C >∠B
通过对折，将∠C 的位置由 AD 的右边移到左边，
∠C的大小没有改变，但它成功地变为△BED 的外角，
∠C和∠B之间的大小关系便一目了然。可见，轴对
称是我们发现几何定理、证明几何题目的一种有效方法。
【思考】在△ABC 中，AB=AC，DE⊥AB，DF⊥AC，BG⊥AC，垂足分别为 E，F，
G. 求证：DE+DF=BG.（提示：如果作△BDE 关于 BC 的轴对称图形，本题应该如
33
何证明呢？）
【作业分析和设计意图】
本章的章名为什么叫“轴对称”？因为轴对称不仅将看似零散的知识点有机
地“串”了起来，而且它还是发现几何定理、证明几何题目的一种有效方法，这
是本章的精髓所在。如何让学生也能领悟到这一点？于是以“阅读与思考”的方
式设计这部分内容。
【自我小梳理】
1.数学老师要搜集错题，制成“错题作业单”，要求每位学生把自己错的最
多的一种题目类型提供给老师。格式如下：
原题：
错误解法：
错因分析：
错题相似题：
（1）
（2）
1.本章已经学完，在解题方法上，给你印象最深的是哪一种？按照下
面的要求写一篇小短文。① 通过一个例题说明这种解题方法是什么；② 试着说
一说为什么会有这种解题方法；③ 再给出一道用这种方法也能够完成的题目。
【作业分析和设计意图】
一份作业，问题基本上出在两个方面：此题不会或会的题目做错，因此我
们认为“提质”的两个关键是：教师收集、整理和再利用错题；学生对解题方
法的领悟、内化和迁移。设计【自我小梳理】，旨在以“小论文”的形式促使
学生整理错题，内化解题方法。
九、单元质量检测作业（时间约 30 分钟）
一．单选题
1．剪纸是我国古老的民间艺术．下列四个剪纸图案为轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2.如图，在△ABC 中，AE＝10 cm，DE 垂直平分 AB，垂足为 E，交 AC 于 D，
若△DBC 的周长为 35 cm，则△ABC 的周长为( )cm
A．45 B．55 C．65 D．75
34
（第2题图） （第 3题图） （第 4 题图） （第 5题图）
3、如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE 分别为∠ABC 与∠ACB
的角平分线，BD，CE 相交于点 F，则图中的等腰三角形有( )
A．6 个 B．7 个 C．8 个 D．9个
4.如图，△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点 O，过点 O作 EF∥BC，交
AB 于点 E，交 AC 于点 F, 若 AB+AC=9，则△AFE 的周长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF 的顶点是 BC 的中
点，两边 PE，PF 分别交 AB，AC 于 E，F 给出以下四个结论：(1)AE＝CF；(2)△
1
PEF 是等腰直角三角形；(3)S 四边形 AEPF＝ S△ABC；(4)EF＝AP.当∠EPF 在△
2
ABC 内绕顶点 P旋转时(点 E不与 A，B重合)，上述结论中始终正确的有( )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4个
二、填空题：
6.若点 A（m+2,3）与点B（-4，n+5）关于 y轴对称，则m n =________．
7.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36 ，则该等腰三角形底角
的度数为________度．
8.如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，
EF 垂直平分 BC，点 P为直线 EF 上的任一点，则△ABP
周长的最小值是________．
三．解答题
9.某地有两所大学和两条相交叉的公路，如图（点 M，N表示大学，AO，BO
表示公路）.现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两
条公路的距离也相等.在所给的图形中画出仓库的位置（尺规作图并保留作图痕
迹）
10.如图，已知△ABC。(1)作△ABC 关于 x轴对称的△A1B1C1；
(2)写出点 A1，B1，C1的坐标；(3)求△A1B1C1的面积．
35
11.△ABC 是等边三角形，D,E 分别是边 AC 和 BC 上的点且 AD=CE，AE 与 BD
A
相交于点 P，BF⊥AE 于点 F求证:BP=2PF
D
P
F
B E C
12.我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的
边也相等.那么，如果边不相等，它们所对角的大小关系会怎么样？即大边所对
的角也大吗？
已知：如图，在 ABC 中，AB>AC，
求证：∠C >∠B
证明：如图，在 AB 上截取 AD=AC，连接 DC
∵AD=AC
∴∠ADC = ∠ACD
∵∠ADC 是 BDC 的外角
∴∠ADC = ∠ABC + ∠BCD
∴∠ADC > ∠ABC
∵∠ACB > ∠ACD
∴∠ACB > ∠ABC
通过在 AB 上截取 AD=AC，构造出等腰三角形
ADC，根据“等腰三角形的两个底角相等”，
使∠ACB 和∠ABC 之间发生了联系。
借鉴上面的证法，你能再给出一种证明方法吗？
36
【单元质量检测作业属性表】
序号 类型 对应单元 对应学 难度 来源 完成
作业目标 了解 理解 应用 时间
1 选择题 能识别轴对称图形. 易 改编
2 选择题 用线段垂直平分线性 易 改编
质计算.
3 选择题 运用等腰三角形判 中 改编
定方法判断等腰三
角形.
4 选择题 能运用等腰三角形 中 改编
性质证明边相等 30
分钟
5 选择题 综合运用所学进行与 较 改编
等腰三角形相关的证
明或计算。 难
6 填空题 会写出点 A 关于坐标 易 改编
轴对称的点的坐标。
7 填空题 能根据等腰三角形定 较 改编
义进行必要分类。
难
8 填空题 能将将军饮马模型的 较 改编
解答方法迁移到新情
境中。 难
9 解答题 能综合运用角平分线 中 改编
和线段垂直平分线的
有关知识解决简单问
题。
10 解答题 能运用坐标变化规律 易 改编
画出已知图形关于坐
标轴对称的图形。
11 解答题 综合运用所学进行 较 改编
与等腰三角形相关
证明。 难
12 解答题 能运用轴对称有关 较 原创
知识进行几何证明。
难
37
【课时作业评价表】
评价主体 学生自评 学生互评 家长 教师
准确性 A B C
评价
规范性 A B C
标准
流畅性 A B C
综合评价 A B C
错题
错题 订正
订正
分析 类似
题目
收集
反思
改进
38
第 13 章《轴对称》作业设计的课时作业的参考答案
13.1.1 轴对称
（第一课时）
【作业 1】（基础性作业 必做 时长：8分钟）
1.C 2.A
【作业 2】（发展性作业 选做 时间约 15分钟）
3. ① 是， ②可以， ③右下角和左上角的三角形。
4.开放性题目。答案开放评价标准：C:完全画不出；B:能画出图形；折叠出纸飞
机 A：能画出图形，折叠出纸飞机，并且纸飞机的设计图案使用到轴对称的知识
点。
5. 答案开放评价标准：D:完全画不出；C:能画出图形；B：能画出图形，并能写
出解说词；A:能惟妙惟肖地画出图形，且解说词写的很贴切。
13.1.2 线段的垂直平分线的性质
（第二课时）
【作业 1】（基础性作业 必做 时间约 8分钟）
1.它们的对称轴如下图：
2. C
3.方法一：如图所示
连接 AC、BC、AD、BD.
由题意知：AC BC AD BD
AC BC
点C在线段AB的垂直平分线上
AD BD
点D在线段AB的垂直平分线上
CD垂直平分线段AB
方法二：连接 AC、BC、AD、BD.
40
由题意可知 AC AD , BC BD
又 CD CD
ACD BCD
ACO BCO
又 AC BC
OC OC
AOC BOC
OA OB
AOC BOC
AOC BOC 180
AOC BOC 90
即CD垂直平分线段 AB
【作业 2】（发展性作业 选做 时间约 20分钟）
4.如图，作出角平分线;作出线段的垂直平分线：角平分线和垂直平分线的交点 p
即为所作的点。
6. 解：连接 BP。∵DP 是 AB 的垂直平分线，
∴PA=PB,
∴∠BAP=∠ABP
同理可得∠PBC=∠PCB
∵∠ABC=45 ,∴∠A+∠C=45°.
∴∠APD+∠EPC=180°-45°=135°,故∠APC=360°-135°-135°=90 .
41
【引申】∠APC=120°，∠APC=2n°。理由如下：连接 BP，AC.
∵ DP 是 AB 的垂直平分线，
∴PA=PB,
∴∠BAP=∠ABP
同理可得∠PBC=∠PCB
∵∠ABC=n ,
∴∠BAP+∠BCP=n°∠BAC+∠BCA=180°- n°.
即∠BAP+∠PAC+∠BCP+∠PCA=180°- n°
∴∠PAC+∠PCA=180°- 2n°即 180°-∠APC=180°- 2n°
故∠APC=2∠ABC.
13.2 画轴对称图形
【作业 1】（基础性作业 必做 时间 10 分钟）
1. （-3，-2） ， （3,2）；
2. ABC 关于直线 l对称的图形如下图所示：
3.（1）分别作出与△ABC 关于 x轴和 y
轴对称的图形。
（2）S ABC 3 3
1 2 3 1 1 1 1 2 3
2 2 2
9 3 0.5 3 2.5
42
【作业 2】（发展性作业 选做 时间 20 分钟）
4.解：（1） 解得：
（2） 解得： ，
∴ 2021 2021(4a＋b) = (-1) = -1
5.（1）作图（略）
（2）点 P(x，y)关于一、三象限角平分线所在直线为对称轴对称的点的坐标
为 P1(y,x)。
【引申】点 P(x，y) 关于二、四象限角平分线所在直线为对称轴对称的点 P2的
坐标是（-y,-x）。
13.3.1 等腰三角形
（第一课时）
【作业 1】（基础性作业 必做 时间约 8分钟）
1.D ；2.B ；
3.解：∵D点在 AB 的垂直平分线上，
∴DA=DB，
同理：EA=EC
∵AB=AC ∴∠ABC=∠BAD=∠ACB=∠CAE
∵∠ADE=∠ABD+∠BAD=60
∴∠ABC=∠BAD=∠ACB=∠CAE=30
∴∠AED=∠ACE+∠EAC=60
故∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠EAC=120
【作业 2】（发展性作业 选做 时间约 22分钟）
4.30 ，30；
5.证法 1：∵AD=AE ∴∠ADE=∠AED
∴∠ADB=∠AEC
在△ADB 和△AEC 中
43
AD AE

ADB AEC

DB EC
∴△ADB △AEC（SAS）∴AB=AC
证法 2:如图，作 AM BC，垂足为点 M
∵AD=AE ∴ME=MD
∵EB=DC ∴MB=MC
在△AMB 和△AMC 中
AM AM

AMB AMC 90

MB MC
∴△AMB △AMC（SAS）
∴AB=AC
证法 3：如图，作 AM BC，垂足为点 M
∵AD=AE ∴ME=MD
∵EB=DC ∴MB=MC
∴AM 是边 BC 的垂直平分线
∴AB=AC
6.解：作线段 AB 的垂直平分线，得到点 C1和 C2
以点 A为圆心，以 AB 为半径画圆，得点 C3和 C4
以点 B为圆心，以 AB 为半径画圆，得点 C5和 C6
13.3.1 等腰三角形
（第二课时）
【作业 1】（基础性作业 必做 时间约 5分钟）
1.C； 2.等角对等边
3.证明：∵BM 平分∠ABC ∴∠ABM=∠CBM
∵MN//BC ∴∠NMB=∠CBM
∴∠ABM=∠NMB ∴NB=NM
44
【作业 2】（发展性作业 选做 时间约 25分钟）
3. 解： ∵BD 平分∠ABC，
∴∠EBD=∠CBD，
∵EF//BC
∴∠CBD=∠BDE
∴∠BDE=∠EBD
∴EB=ED 同理可证：FD=FC
△AEF 的周长 = AE+EF+AF = AE+ED+DF+AF= AE+EB+FC+AF= AB+AC
∵AB=AC=10 ∴△AEF 的周长=20
【引申】过点 D作 DN⊥AC，垂足为 N.
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,
∵ BD,CD 分别平分∠ABC=∠ACB,
∴∠DBC=∠DCB,∴DB=DC
又∵AB=AC ∴ AM 是 BC 的垂直平分线
∴ S ADC 1DN=DM=2 2 10 10
2
5.解：①如右图
②证明：∵PD 是线段 BC 的垂直平分线
∴PB=PC
∵PE⊥AM,PF⊥AN,
∴∠AEP=∠PFC=90°
∴ PE=PF ∴ PEB PFC（HL）
∴BE=FC
③如图，当 AB=AC 时，点 B和点 E，点 F和点 C都重合，
理由如下:当 AB=AC 时， ABC 变成了等腰三角形，根据
三线合一定理，底边 BC 的垂直平分线和顶角的平分线重合，再根据垂直平分线
45
的性质和角平分线的性质，点 B和点 E，点 F和点 C必然都重合。
13.3.2 等边三角形
（第一课时）
【作业 1】（基础性作业 必做 时间约 8分钟）
1.C 2.B 3. 12
【作业 2】（发展性作业 选做 时间约 20分钟）
4.证明：∵∠DFC=∠A+∠ADF
∠DFC=∠DFE+∠EFC
∠ADF=∠EFC
∴∠DFE=∠A
∵△ABC 是等边三角形
∴∠DFE=∠A=60
同理可证：∠EDF=∠DEF=60
∴△DEF 是等边三角形（三个角都是 60°的三
角形是等边三角形。）
5.解：∵△ABC 是等边三角形
∴∠ABC=60°，∠ACB=60°
∵∠ABE=20° ∴∠EBC=40°
∵BE=DE ∴∠D=∠EBC=40°
∴∠ECD=180°-60°=120°
∴∠CED=180°-120°-40°=20°
6.（1）∵证明：∵CA=CB, ∴∠CAB=∠CBA
∵ BDC 和 AEC 是等边三角形，
∴∠CAE=∠CBD=60 ，BD=BC=AC=AE
∴∠FAB=∠FBA ，∴FA=FB,∴DF=EF.
（2）∵CA=CB，FA=FB，C、F、G 在同一条直线上，∴CG 是 AB 的垂直平分线
∴G是 AB 的中点。
46
【变式】证明：∵CA=CB,CG⊥AB
∴AG=BG，∠ACG=∠BCG
∴CG 是 AB 的垂直平分线
∵ BDC 和 AEC 是等边三角形
∴∠D=∠E=60°,DC=EC,BD=AE,∠BCD=∠ACE
∵∠BCD=∠BCG+∠FCD ∠ACE=∠ACG+∠FCE
∴∠FCD=∠FCE
∴ DCF ECF（ASA）
∴∠DFC=∠EFC ∠DFC+∠AFM=∠EFC+∠BFN 即∠AFC=∠BFC
∠ACF=∠BCF CF=CF
∴△ACF △BCF ∴FA=FB
∴点 F在 CG 上
13.3.2 等边三角形
（第二课时）
【作业 1】（基础性作业 必做 时间约 8分钟）
1.D 2.A 3. 3
【作业 2】（发展性作业 选做 时间约 20分钟）
4.解：连接 AE ∵DE 垂直平分 AB， ∴BE＝AE．
∴∠B＝∠BAE＝15°∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝30°．
∵∠ACB＝90°，∠AEC＝30°∴AE＝2AC＝6cm．
∴BE＝AE＝6cm．
5.解：(1)可以写出的结论有：AF=AE:CE=CF=BE;AC==AB;AB=2AE;BF=3AF;
∠BAE=∠EAC=∠CAF=60°;∠B=∠ECA=∠ACF=30°
(2) 证明：
∵∠BAC=120°,AB=AC∴∠ACB=30°∠FAC=60°
∴∠ACF=30° ∴AC=2AF
∵AB=AC ∴AB=2AF ∴BF=3AF
47
13.4 课题学习 最短路径问题
【作业 1】（基础性作业 必做 时间约 8分钟）
1.C
2.
（1） （2）
（3） （4）
【作业 2】（发展性作业 选做 时间约 20 分钟）
3.（1）
（2）
4.（1）最短路径如图所示
48
（2）证明过程：
如图所示，在镜面上任取一点 p’（与点 P 不重合），连接 AP’,BP’, B 'P '
由轴对称的性质可知 BP=B’P,BP’=B’P’ ∴AP+BP=AP+B’P=AB’
AP’+BP’=AP’+B’P’，在三角形 AP’B’中，AB’即 AP+BP 最短.
5．符合题意的路径如图所示
单元复习作业（第 1 课时）
【作业 1】（基础性作业 必做 时间约 8分钟）
1. （1）A’（4,6）、B’（6,4）、C’ (3,1);
（2）点 P’的横坐标为：2m+2；
a c b d
（3）直线 x= ；（4）直线 y= .
2 2
【作业 2】（发展性作业 选做 时间约 20分钟）
2. （1）证明：∵AB=AC，D、G、H 分别是 BC、AB、AC 的中点
49
∴ AG=AH，∠GAD=∠HAD,
∴ GAD≌ HAD（SAS） ∴DG=DH
(2)证明：∵AB=AC，D 是 BC 的中点，∴AD 平分∠BAC
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF BED≌ CFD（HL） ∴BE=FC
(3) 当∠BAC=90°时，DE 和 DG 重合。理由如下：∵∠BAC=90°，AB=AC
∴∠ABC=45°,∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD=45°，∴DA=DB，根据“三线合一”DG 和
DE 重合。
（4）∵∠BAC=60°,∴∠BAD=30°,∴AB=2BD,∵AB=2BG,
∴BD=BG,∵∠ABC=60°,
∴ BDG 是等边三角形，∵DE⊥ 1 1AB,∴BE=EG= BG= AB.
2 4
又 BE=FC=HF,
∴AB=4HF.
（5）同（4）可证 ADG是等边三角形，∵DE⊥AB，∴∠GDE=30°,∵GE=1,∴DG=AD=2,
∵∠ABD=30°，∴AB=AC=4.
单元复习作业（第 2 课时）
小专题作业：运用图形变换构造基本图形求线段和的最小值
【作业 1】（基础性作业 必做 时间约 8分钟）
50
1：【做一做】如图，使 PA+PM 的值最小的点依然是 P’。
2：【做一做】直线 b 上的 N’使 AM+MN+NB 最小，且最小值为 AM’+M’N’+N’B
的长度。
3.【思考】部分：如图，将 APC 绕着点 C逆时针旋转 60°得 A'P 'C .因为
APC 和 A'P 'C完全重合，所以 AP A'P ' ,CP CP ' ,又 PCP ' 60 , PCP '所以
是等边三角形，故于是 PA+PB+PC 就转化为 BP+ PP ' + A'P '。
单元质量检测作业参考答案
1.C 2.B 3.C 4.D 5.C 6. 0 7.63 或27 8. 7
9.解：做法：（1）∠AOB 的平分线 OC；
（2）连接 MN，作线段 MN 的中垂线 DE，交 OC 于点 P．则点 P即为仓库所建
位置．
10.解：(1)如图．
51
(2) A1(0，－4)，B1(－2，－2)，C1(3，0)．
(3)7
11.证明：在△BAD 和△ACE 中
∴△BAD≌△ACE
∴∠ABD=∠CAE
∵∠ABD+∠BAE=∠CAE+∠BAE=∠BAC=60°
∴∠BPF=60°
∵BF⊥AE
∴∠BFP=90°
∴∠PBF=30°
∴ BP=2PF
12.证明：如图，在 AC 的延长线上截取 AD=AB，连接 BD.
∵AB=AD ∴∠ABD=∠D
∵∠ACB 是△BCD 的外角
∴∠ACB=∠CBD+∠D
∴∠ACB=∠CBD+∠ABD
∵∠ABD=∠ABC+∠CBD
∴∠ACB=∠ABC+2∠CBD
∴∠ACB>∠ABC
52

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