资源简介

数学单元作业设计
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单元信息与单元分析 人教版数学 八年级（上）全等三角形
一、单元信息
基本 学科 年级 学期 教材版本 单元名称
信息 数学 八年级 第一学期 人教版 全等三角形
单元组
织方式 自然单元 重组单元
序号 课时名称 对应教材内容
1 全等三角形 12.1（P31-32）
课时 2 三角形全等的判定（SSS） 12.2（P35-37）
3 三角形全等的判定（SAS） 12.2（P37-39）
信息 4 三角形全等的判定（ASA、AAS） 12.2（P39-41）
5 三角形全等的判定（HL） 12.2（P41-43）
6 角的平分线的性质（1） 12.3（P48-49）
7 角的平分线的性质（2） 12.3（P49-50）
二、单元分析
（一）课标要求
了解全等三角形的概念；探索并掌握两个全等三角形对应边相等、对应角相等的性质；探索并
掌握全等三角形的判定定理及推论；能够画已知角的平分线，并掌握角平分线的相关性质.
课标在“知识技能”方面指出：探索并掌握三角形的基本性质与判定，掌握基本的证明方法和
基本的作图技能.在“数学思考”方面指出：经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观；
体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，在多种形式的数学活动中，发展
合情推理与演绎推理的能力；能独立思考，体会数学的基本思想和思维方式.在“问题解决”方面
指出：初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法等
解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力；经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的
方法和过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法.
（二）教材分析
1、知识网络
、
作
作一 知
作一 分
一
活中
的全等
形
上
与
应用 和证明 分
几何 分
题证明
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单元信息与单元分析 人教版数学 八年级（上）全等三角形
2、 容分析
本章学习的内容是全等三角形.它是继线段、角、相交线与平行线、三角形后图形与几何领域
一个重要而基础的内容.首先它进一步强化了研究几何图形的基本问题、基本思路和方法.比如相
交线与平行线中的性质与判定就为本章的研究思路提供了“模板”，再如动手操作得出猜想（合情
推理）与推理论证（演绎推理）在数学学习中提供了方法论的价值；其次进一步明确了研究几何图
形基本要素——线段和角，比如利用全等可以得出线段相等和角相等（整体——局部），以及利用
某些线段相等或角相等推出全等，再说明其它的线段相等或角相等（局部——整体——局部）.而
上述所涉及到的知识、经验、思想方法也是后续内容（等腰三角形、平行四边形、圆、相似等）乃
至平面几何研究的基石，或者笼统的来说除了基本事实（或公理），只要是涉及图形性质的问题就
有全等三角形的存在.
本章共分 3个小节.第 1节利用“重合”刻画了现实世界的全等现象，继而抽象、归纳出全等
形和全等三角形概念.然后结合操作、交流、归纳等环节从运动的视角认识全等三角形（基于平移、
翻折、旋转的全等往往能“一目了然”的找到全等三角形，在练习和习题中较为常见）、给出“对
应”的概念（对应元素的识别是学习全等三角形的逻辑基础，执教者和学 必须予以足够的重视）.
最后学 在“直观”的基础上得出全等三角形的性质.
第 2节结合已有的知识经验（平行线的性质与判定），系统的讨论了三角形全等的判定条件.
从满足“一个条件”开始，通过逐渐增加条件数量来探究满足三角形全等的几何要素的“基本要求”.
不仅完整呈现了探究三角形全等条件的活动，引导学 体会数学研究的一般思路，而且学习的方式
也是较为丰富的.其中“SSS”、“SAS”、“ASA”三种判定方法是通过作图实验、猜想结论，以基
本事实的形式给出的；“AAS”是通过已有的判定方法证明得到的；“两边及一等边的对角分别相
等”、“三个角分别相等”两种情况则是通过举反例说明判定方法不成立；最后“HL”虽然经历了
作图、观察、猜想、归纳等过程，但是并没有以基本事实的呈现，这也为后续学习内容埋下了伏笔.
另外本节中还有两个重要的内容应该重视.①“尺规作图”不仅是探究三角形全等的重要手段，而
且也是学 应该掌握的基本技能；②“逻辑推理”既是现阶段学习的重要方面，更是学 进一步学
习中必须具备的数学素养.
第 3 节以全等三角形的性质和判定作为问题研究的基本手段，结合具体的问题情境从正反两
个方面认识了角平分线上的点的基本特征.同时还引入作一个角的平分线的尺规作图，总结了证明
一个几何 题的一般步骤.在本节中学 将进一步体会全等三角形在研究几何图形中的价值,同时
结合操作与猜想、条件和结论间的关系分析、几何 题证明一般步骤的总结等过程，循序渐进的培
养学 的推理论证能力和自主探究能力.
综合上述各节的分析可以看出本章的重点是全等三角形的性质和判定，以及在探究和应用过
程中数学素养（逻辑推理、直观想象）的提升.这事实上是对数学中同一研究对象从不同的视角加
以分析和认识的：全等三角形性质研究的是基于“重合”情境下几何要素（线段或角）间的数量关
系，而全等三角形判定则是满足部分几何要素分别相等条件下的两个图形间的关系.或者更一般的：
如果说全等三角形性质是从“动态”的角度反映两个图形要素之间的等价关系，那么全等三角形的
判定则是从“静态”的角度刻画了几何图形的唯一性.
（ ）学情分析
学 目前已经学习了线段、角、相交线与平行线以及三角形的有关内容，掌握了一些探究问题
的方法，具有了一定的逻辑推理能力.然而由于学 的认知差异，在确定全等三角形的对应元素（特
别是复杂情境下）成了学 首先要突破的难点，其次在操作、直观的基础上得出的全等三角形判定
方法，学 可能理解不够深刻，导致在运用时存在思路不清、格式不规范的现象.针对这些问题一
方面需要在课堂上给予充分的探究机会和示范展示，另一方面还要在练习和作业中予以强化；最后
学 在性质和判定的综合运用中可能会出现“无从下手”，所以首先需要引导学 理解性质与判定，
其次做好问题解决的思路分析，最后还要适当的进行反思和总结.
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学习目标与作业目标 人教版数学 八年级（上）全等三角形
、单元学习与作业目标
（一）学习目标
1.基于“完全重合”引出全等三角形的概念，在基本的图形变换（平移、翻折、旋转）中识别
全等三角形的对应边、对应角；理解并掌握全等三角形的性质，运用全等三角形的性质解决有关线
段和角的问题.
2．经历观察、操作、猜想、归纳等过程得出判定两个三角形全等的基本事实（“SSS”“SAS”
“ASA”），由推理或作图得出判定定理（“AAS” 、“HL”）.能运用这些方法判定两个三角形全
等.
3.在观察、操作、交流等探究活动中，归纳并证明角平分线的性质定理及逆定理.并能在具体
情境中运用.
4.在利用本章知识解决相关问题的过程中，进一步提高学 的直观想象、逻辑推理、发散思维、
分析和解决问题的能力，掌握综合法的证明格式.
（二）作业目标
1.在具体情境中能够识别全等三角形的对应边、对应角，运用全等三角形的性质解决线段、角
的 和证明问题.
2.会用综合法证明两个三角形全等.经历问题的解决、反思、总结等过程，体会到全等三角形
是证明线段相等和角相等的常用方法，获得一些经验.
3、能够结合已有经验和问题中的条件利用分析法获取思路，并能综合运用全等三角形的性质
和判定解决问题.
4.能用尺规完成“作一个角等于已知角”、“作一个角的平分线”等基本几何作图，理解作图
的依据. 了解几何 题证明的一般步骤.
5.理解角的平分线的性质定理及其逆定理之间的区别和联系，能灵活运用它们解决有关问题，
感受数学的应用价值.
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作业设计思路 人教版数学 八年级（上）全等三角形
四、单元作业整体设计思路
指导思想：以中共中央办公厅、国务院办公厅《关于进一步减轻义务教育阶段学 作业负担和
校外培训负担的意见》、《教育部办公厅关于加强义务教育学校作业管理的通知》、《安徽省进一
步减轻义务教育阶段学 作业负担和校外培训负担的实施方案》、《安徽省教育厅关于进一步提高
义务教育学校作业管理水平的实施意见》等文件精神为指导，严格控制作业总量、难度，体现作业
的基础性和普适性；同时考虑到学 的年龄特征和认知差异体现作业的层次性、拓展性；最后在设
作业时统筹考虑知识间的联系性和经验、思想方法一般性，反映学科学习特点，提升学科素养.
题型安排与题量、难度控制：本套作业配有选择题、填空题、作图题、解答题、小结归纳等题
型.每个小节配有 5—7道题，单元质量检测配有 6道选择题、4道填空题、5道解答题；各节作业
均以课堂教学为起点，体现课中与课后的有效衔接，发挥作业的针对性和巩固性.另外根据前后知
识的关联性、与实际 活的紧密性、思想内涵的丰富性等在有关小节设置探究性题目.
考查内容与重点：主要考查学 对全等三角形概念、性质、判定，角平分线的性质及逆定理的
理解和应用，以及贯穿于整章的相关作图.重点考查基于“全等背景”的逻辑推理能力（合情与演
绎）的训练和提高.
体现数学知识之间、数学与 活之间的联系：在进行作业时设 充分考虑全等三角形在后续学
习中的价值.既要在已学知识上（线段、角、相交线与平行线、三角形等）“站起来”——以更高
的视角统领学过的知识，又能在本章学习的基础上“跳一跳”——理性审视几何中的有关问题.同
时结合 活中的情境，体会全等的价值和应用.
面向全体，照顾个体：既有学 立即“上手”的问题——形成基本技能和策略——增强学好数
学的信心；又有需要结合学 头脑中的认知结构建立知识间的本质联系才能解决的问题——初步
形成数学的思维方式——养成良好的学习习惯；更有在强烈的好奇心和求知欲驱动下，通过积极的
探索才能解决的问题——进一步增强发现、提出、分析、解决问题的能力——具有初步的创新意识
和应用意识.
“基本图形”：通过各小节的学习和归纳，帮助学 初步体会下列情境中的全等，并以此作为
在本章学习后所形成的“基本活动经验”：
平移变换：
旋转变换：
A
P1
轴对称变换：
P2B C
P3
P4
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作业设计思路 人教版数学 八年级（上）全等三角形
“弦图”及变换：
翻折：
“动手”与“动脑”的结合，切实提升学 的数学素养：“动手”是通过外显的操作反映内隐
的思考——逻辑推理直观化，“动脑”是利用已有认知去理清问题情境中知识的逻辑关系——推理
的符号化.两者的交错设置能综合反映学 对知识的理解、掌握和应用，进一步认识数学的研究对
象、研究内容、研究思路和研究方法.
基于上述分析，在作业设 中考虑到以下问题：①“重合”背景下的几何直观——对应元素的
辨析；②几何变换中的全等——基本图形在解决问题中的价值；③动手操作、猜想情境中的合情推
理和分析、综合下的演绎推理；④几何作图中的知识、技能、经验、思想和方法；⑤在问题解决中
渗透几何图形研究的“基本套路”和“通性通法”；⑥“自主探究”中的数学素养提升；⑦既关注
前后知识在逻辑上 的“单一链”，也要考虑数学结构中的“区块链”（深度学习）；⑧既要反映
题设与结论中的“因果关系”，还应在推理的基础上发现某些“并列关系”（“充分”与“必要”
的讨论）.
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课时作业单 人教版数学 八年级（上）全等三角形
五、课时作业
12.1
姓名：_______ 班级：______ 建议用时：15 min
【基础达标】
1.下列旗帜上含有全等形是_________.(填序号)
① ②
③ ④
2.如图，△ABC≌△ADE，AB与 AD是对应边，BC与 DE是对应边，写出其它的对应边和对应角.
A
E C
B D
【综合运用】
3.如图△ABC≌△DEF，点 B、F、C、E在一条直线上，AB与 DE是对应边，∠A与∠D是对应角.
（1）BC的对应边是______，∠B的对应角是_______； A D
（2）若 BC=7.5，AC=5，CE=3.1，求线段 DF和线段 CF的长.
（3）若∠ACB=42°，∠B=45°，求∠D和∠DOC的度数. O
B F C E
4.如图，△ABC≌△EBD，AB和 EB是对应边、∠A和∠E是对应角，点 C在线段 BE上，点 A、B、D
在一条直线上. E
(1)写出∠ABC的对应角，并判断△ABC的形状;
C
(2)试探究线段 AB、CE、BD之间数量关系，并说明理由.
A B D
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【能力提升】
5. 如图，将长方形的纸片 ABCD的边 AD沿折痕 AE折叠，使得 D点落在 BC边上的D’处，再将边
AB折到AD′上，折痕为 AF.
A D
（1）写出图中的全等三角形；
（2）求∠EAF的度数；
（3）若 AB=4，AD=7.2，求B′D′的长. E
B'
B F D' C
6. 小明利用△ABC（如图①），在一张半透明的纸上通过描图设 了一个图案（如图②），其中
P、Q、R分别在线段 OE、OF、OD上，AB=7，AC=3.2.
（1）图案中与△ABC全等的三角形有_____________________；
（2）结合（1）中的全等关系指出图案中与∠C相等的角，并求∠A的度数; D
（3）你还能在图②中提出哪些问题？与同伴交流. B
R
A OP
Q
C E F
图① 图②
综合评价：
个人自评 独立完成 需要复习 借助提示 不能完成
同伴互评 答案、方法一致 答案相同、方法不同 答案不同，方法相同 答案不同，方法不同
好友：_______
素养评价 情境与问题 知识与技能 思维与表达 交流与反思
教师：______
说明：①个人自评填写相应的题号 不能独立完成的题目可说明解题 所遇到的困难；
②同伴互评先填写题号 对于答案 有不一致的 应与同伴交流后确 最优 并完善答案；
③素养评价由教师根据自评与互评填写.情境与问题维度：准确 解、有偏差、不 解；知识与技能维度：了解、
解、掌握、运用；思维与表达维度：创造性、严谨性、规范性；交流与反思维度：积极参与、用数学语言表 问题、
认识到收获与不足、形成经验 策略
作业分析与设 意图：
通过基础达标帮助学 在头脑中建立全等的“印象和模型”，理解“对应”的本质；通过综
合运用巩固全等三角形的性质，同时和已有知识建立实质性联系；通过能力提升来满足不同学
的学习需求.其中第 1题对应的是课标中的了解层次，引导学 认识 活中的全等形,渗透立德树
人理念；第 2题是理解层次，有助于新知的理解和巩固，也为后续的学习和运用作铺垫；第 3、
4、5、6题是综合考查学 利用全等三角形的性质解决有关元素的 ，体会研究问题的思路和
方法，通过层层设问，进一步提高学 发现和提出、分析和解决问题的能力.让学 在“够得着”
的基础上都能够“跳一跳”.
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12.2
第一课时 用“SSS”
姓名：_______ 班级：______ 建议用时：15 min
【基础达标】
1. 如图，若 AB＝EF，BC＝ED，AD＝CF,那么下列可以用“SSS”判定两个三角形全等的是( )．
A．△ABD≌△FEC B.△ABC≌△FED C.△BDC≌△ECD D.以上都是
2. 如图，已知 AB＝AD，CB＝CD，∠B＝40°，∠BAD＝60°，则∠ACD=_______.
3.如图，点 B是 AE的中点，BD＝BC，DE＝AC，求证：△ABC≌△EBD.
【综合应用】
4.如图，CF是△ABC中 BC边上的中线，CE是△ADC中 AD边上的中线，且 AE＝AF，BC＝DC.求证：
∠D＝∠B；
5．（1）尺规作图：在如下△ABC中，以顶点 A为圆心，以 AB长为半径作弧；再以顶点 C为圆心，
以 BC长为半径作弧，两弧交于点 D（B、D位于直线 AC两侧）连接 AD，CD.(保留作图痕迹，不写
作法） A
（2）画出的∠ADC与∠B相等吗？请说明理由.
C
B
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【能力提升】
6.为庆祝元旦，欢欢和乐乐准备设 一个如图所示的风筝，为了使风筝在起飞和飞行中保持平衡，
需要在设 时使得∠B＝∠E,于是在实际操作中欢欢指出：如果能够保证 AB＝AE，AD＝AC，BC＝ED，
就可以确保∠B＝∠E；乐乐说：如果已知 AB＝AE，BF＝EF，也可以得出∠B＝∠E.
（1）欢欢说的是否合理？试说明理由.
（2）乐乐说的是否合理？试说明理由.
综合评价：
个人自评 独立完成 需要复习 借助提示 不能完成
同伴互评 答案、方法一致 答案相同、方法不同 答案不同，方法相同 答案不同，方法不同
好友：_______
素养评价 情境与问题 知识与技能 思维与表达 交流与反思
教师：______
说明：①个人自评填写相应的题号 不能独立完成的题目可说明解题 所遇到的困难；
②同伴互评先填写题号 对于答案 有不一致的 应与同伴交流后确 最优 并完善答案；
③素养评价由教师根据自评与互评填写.情境与问题维度：准确 解、有偏差、不 解；知识与技能维度：了解、
解、掌握、运用；思维与表达维度：创造性、严谨性、规范性；交流与反思维度：积极参与、用数学语言表 问题、
认识到收获与不足、形成经验 策略
作业分析与设 意图：
第 1题从问题中的条件出发，获取运用“SSS”判定三角形全等所需条件，利用全等三角形的
性质完成知识间的串联；第 2 题让学 利用“等量加等量其和相等”转化判定三角形全等所需条
件，旨在培养学 观察图形和分析问题的能力；第 3题让学 由中点的定义找出隐藏条件；第 4题
综合运用了全等三角形的判定和性质，旨在培养学 的逻辑推理能力；第 5题结合尺规作图培养学
分析问题，解决问题的能力；第 6题是在一个问题情境中，学 通过判定两个三角形全等，从而
得到对应角相等，目的在于培养学 把实际问题转化为几何问题的学习习惯，分析问题中的已知条
件，提高解决问题的能力. 这一节的练习目的在于帮助学 巩固“SSS”三角形全等的判定方法，
注重基础知识的考查及前后联系，感受不同情境中的全等，培养学 发现问题的本质的能力，体现
知识间的迁移.初步感受辅助线的“魅力”，培养学 的“四能”.
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第二课时 用“SAS”
姓名：_______ 班级：______ 建议用时：15 min
【基础达标】
1．如图，线段 AB和线段 CD相交于点 E，已知 AE＝BE，要用“SAS”判定△ADE≌△BCE，还需添加
条件( )
A.AD＝BC B.DE＝CE C.∠A＝∠C D.∠A＝∠B
2．如图，AB＝AC，AD平分∠BAC，点 E在 AD上.若∠BAE＝20°，∠ACE＝30°，则∠BEC＝_______°.
3．如图，已知 AB⊥BC、DC⊥BC，垂足为点 B和点 C,且 AB＝CD,又点 E是 BC的中点，连接 AE和 DE,
则 AE与 DE相等吗？为什么？
【综合应用】
4.如图，已知 AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，求证：∠C＝∠E.
5.如图，在△ABC和△ADC中，AB＝AD，点 E、F分别是 AD和 AB的中点，AC是∠BAD的平分线.求
证：CE=CF.
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【能力提升】
6．如图 1,在线段 AB上，点 C 和点 D 分别从线段 AB 的 B 点和 A 点同时出发以相同的速度相向而
行，已知 AF＝BE且 AF∥BE.
(1)若点 C和点 D移动到图 1处，求证：DE＝CF；
(2)如果点 C和点 D继续移动到图 2，3的位置时，其余条件不变，(1)中的结论是否依然成立？如
果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由．
图 1 图 2 图 3
综合评价：
个人自评 独立完成 需要复习 借助提示 不能完成
同伴互评 答案、方法一致 答案相同、方法不同 答案不同，方法相同 答案不同，方法不同
好友：_______
素养评价 情境与问题 知识与技能 思维与表达 交流与反思
教师：______
说明：①个人自评填写相应的题号 不能独立完成的题目可说明解题 所遇到的困难；
②同伴互评先填写题号 对于答案 有不一致的 应与同伴交流后确 最优 并完善答案；
③素养评价由教师根据自评与互评填写.情境与问题维度：准确 解、有偏差、不 解；知识与技能维度：了解、
解、掌握、运用；思维与表达维度：创造性、严谨性、规范性；交流与反思维度：积极参与、用数学语言表 问题、
认识到收获与不足、形成经验 策略
作业分析与设 意图：
作业第 1题通过添加条件用“SAS”判定两个三角形全等，旨在强化学 分析问题的能力，以
“对顶角相等”的隐藏信息为依托，加深学 对“SAS”判定定理的掌握；第 2题利用角平分线的
定义获取判定三角形全等的条件，强化学 观察图形和分析问题的能力，巩固学 运用“SAS”判
定三角形全等以及用全等三角形对应角相等解决相关问题的能力；第 3 题利用垂直和中点获取判
定两个三角形全等的条件，从而得到对应线段相等，目的是培养学 学会从问题的间接条件中提炼
信息，解决问题；第 4题利用“等量加等量其和相等”这一知识获取运用“SAS”判定两个三角形
全等所需要的条件，培养学 观察图形和转化信息的能力.第 5题强化学 运用“SAS”判定三角形
全等以及利用全等三角形的性质解决问题，通过对本题的探究，强化学 做几何问题的能力；第 6
题以代数知识为背景得到相等线段以及平行线的性质获取判定三角形全等的条件，学 通过体会
问题情境中的全等，能够以此形成“基本活动经验”，增强学 分析问题和解决问题的能力.这一
节通过练习帮助学 巩固“SAS”判定方法，会从问题中的条件出发，结合已有知识提炼“SAS”判
定三角形全等所需要的条件，注重培养学 发现问题、分析问题、解决问题以及反思归纳问题的能
力，初步体会数学中研究问题的“基本套路”.
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第 课时 用“AAS”和“ASA”
姓名：_______ 班级：______ 建议用时：20 min
【基础达标】
1、如图，已知∠ABC=∠DCB，添加下列条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（ ）
A.∠A =∠D B. AC=DB C. AB=DC D. ∠ABD =∠DCA
E DA D A
3 C 1
C A 4 2
B C D B
B
第（1）题图 第（2）题图 第（3）题图
2、如图，△ABC 中，BC=4，延长 AC 至 D，使 DC=AC,，过 D 作 DE∥AB，交 BC 的延长线于 E，则
BE=___________.
3、如图，给出条件：①∠1=∠2，②∠3=∠4，③BC=DC去掉条件_____，不能得出△ABC≌△ADC.
【综合运用】
4、已知，如图，点 A、B、E三点共线，BC∥ED，AC=BD，∠CBD =∠A，下列结论：①∠A=∠D， ②
AB=ED， ③∠ACB =∠E， 一定正确的有（ ）个 D
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
C
A B E
5、如图，AC∥DF，BC∥EF，BC=EF，求证：AD=EB.
C F
A D B E
【能力提升】
6、小明是个爱动脑筋的孩子,他将等腰直角三角板的直角顶点放在平面直角坐标系的原点处，然后
将三角板绕着原点旋转.在旋转的过程中他发现两个锐角顶点 A、B的坐标之间存在某种数量关系，
请帮助他完成探究过程.
y y y
6 A 5 A
A 5 4
4
3
3 B
2
2 B
1
1 O
M N x
O –2–1 1 2 3 4 5–4–3–2–1 1 2 3 4 5 6 Ox x
–1 –1 B
图① 图② 图③
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课时作业单 人教版数学 八年级（上）全等三角形
(1)如（1）图①，若 A点坐标为（－3，5），则 B点坐标为__________;
(2)如图②,分别过点 A、B作 x轴的垂线，垂足分别为 M、N，点 A、B坐标分别为（p,q）、（s,t）
试探究 p、q、s、t间的数量关系.
(3)如图③，∠AOB=90°，OA=OB.点 A坐标为（1.6，4.3），请直接写出点 B的坐标.
7、如图所示的零件，要检测 AB和 AC是否相等，张华、王强、李丽三位同学展开了一次数学讨论.
张华：要想知道 AB与 AC的长度是否相等，必须得用刻度尺或圆规；
王强：用量角器中能否检验出结果呢？
李丽思考了片刻，就得出了答案，你知道李丽是怎么做的吗？请和同伴一起试一试.
A
B C
综合评价：
个人自评 独立完成 需要复习 借助提示 不能完成
同伴互评 答案、方法一致 答案相同、方法不同 答案不同，方法相同 答案不同，方法不同
好友：_______
素养评价 情境与问题 知识与技能 思维与表达 交流与反思
教师：______
说明：①个人自评填写相应的题号 不能独立完成的题目可说明解题 所遇到的困难；
②同伴互评先填写题号 对于答案 有不一致的 应与同伴交流后确 最优 并完善答案；
③素养评价由教师根据自评与互评填写.情境与问题维度：准确 解、有偏差、不 解；知识与技能维度：了解、
解、掌握、运用；思维与表达维度：创造性、严谨性、规范性；交流与反思维度：积极参与、用数学语言表 问题、
认识到收获与不足、形成经验 策略
作业分析与设 意图
作业第 1题考查通过添加不同条件（AAS、SAS、ASA）构造全等三角形，了解“SSA”条件不能
判定全等，掌握三角形全等的判定方法；第 2题利用平行线得到对应角相等，利用“AAS”或“ASA”
判定全等，再利用全等三角形的性质求出线段长，巩固利用“两角一边”条件判定全等的方法，培
养学 分析问题解决问题的能力；第 3题为条件多余题，以翻折为背景，让学 体会问题解决策略
的多样性；第 4题强化全等元素间的对应关系，考查学 综合运用知识解决问题的能力；第 5题是
在前面 1、2、4题的基础上，巩固三角形全等的判定，提高学 规范书写几何证明题的能力；第 6
题以平面直角坐标系为背景，研究全等中的数量关系，体现知识间的联系，加强几何与代数之间的
联系，通过对问题的层层深入，提高学 发现、提出、分析、解决问题的能力.；第 7题通过“外
显操作”考查学 对问题本质的理解，进一步增强应用意识和创新意识，提升学 用数学思维想、
用数学语言说的核心素养.通过这一小节的联系帮助学 巩固“AAS”“ASA”等三角形全等的判定
方法，习题设 注重“通性通法”，各小问之间既有密切联系又有层次性，体现知识的迁移；实践
活动让学 有更大的思考空间，注重知识运用能力的培养和数学素养的提升.
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课时作业单 人教版数学 八年级（上）全等三角形
第四课时 用“HL”
姓名：_______ 班级：______ 建议用时：15 min
【基础达标】
1、如图，是一个风筝的骨架，小明想要检测中间骨架 AC两旁的部分是否全等，只需要测量 AB与
AD的长即可，是依据（ ）
A
A. SAS B. AAS C. HL D. ASA
B D
C
2、如图，△ABC中，AD是 BC边上高，添加条件_______可判定△ABD≌△ACD ，依据是______.
A
B D C
3、如图，一架梯子 AB斜靠在一竖直的墙上，这时 OA=2m，如果梯子的顶端 A 沿墙下滑一段距离，
测得 OD=2m，则 OC和 OB存在什么数量关系？说明理由.
A
C
O B D
【综合运用】
4、下列条件不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A.斜边和一锐角分别相等
B.两个锐角分别相等
C.两条直角边分别相等
D.有一条直角边及斜边上的高分别相等
5、如图，Rt△ABC 与 Rt△DEF 中，点 F、C 在线段 BE 上，在 AB=DE，AC=DF，BE=5，FC=3，则
BC=_________.
A
D
B F C E
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课时作业单 人教版数学 八年级（上）全等三角形
【能力提升】
6、如图，等腰直角△ABC中，AB=BC，D是 AB延长线上一点，E是边 BC上一点，连接 CD、AE，且
AE=CD.
A
（1）若△ABE的面积为 4，则△BCD的面积为__________；
（2）AE和 CD存在什么样的位置关系？试说明理由.
B C E
D
7、总结全等三角形的判定方法，并和同学们交流.
综合评价
个人自评 独立完成 需要复习 借助提示 不能完成
同伴互评 答案、方法一致 答案相同、方法不同 答案不同，方法相同 答案不同，方法不同
好友：_______
素养评价 情境与问题 知识与技能 思维与表达 交流与反思
教师：______
说明：①个人自评填写相应的题号 不能独立完成的题目可说明解题 所遇到的困难；
②同伴互评先填写题号 对于答案 有不一致的 应与同伴交流后确 最优 并完善答案；
③素养评价由教师根据自评与互评填写.情境与问题维度：准确 解、有偏差、不 解；知识与技能维度：了解、
解、掌握、运用；思维与表达维度：创造性、严谨性、规范性；交流与反思维度：积极参与、用数学语言表 问题、
认识到收获与不足、形成经验 策略
作业分析与设 意图
第 1题考查“斜边、直角边”定理的理解；第 2题综合考查三角形全等的判定方法，为后续学
习等腰三角形埋下伏笔；第 3题考查学 能否从实际问题中抽象出数学模型，寻找“隐含条件”，
发现全等关系；第 4 题综合考查全等判定中的一般与特殊，加深学 对直角三角形判定方法的理
解；第 5题基于“等量减等量差相等”这一公理，强化“HL”定理的运用；第 6题利用已有的“基
本活动经验”，进一步提高学 数学抽象和分析、解决问题的能力；第 7题对全等三角形的判定方
法进行归纳，形成知识体系.通过这一小节作业帮助学 巩固“HL”定理，并体会到判定直角三角
形全等的策略多样性.通过能力提升让学 感受到辅助线“自然 成”，进一步体会数学研究问题
的“套路”，最后通过归纳构建完整的知识体系，完善学 的认知结构.
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课时作业单 人教版数学 八年级（上）全等三角形
12.3 分
第一课时 分 理
姓名：_______ 班级：______ 建议用时：15 min
【基础达标】
1. 一般情况下，我们要证明一个几何 题时，需要结合图形，明确已知和求证.比如，在证明 题
“对顶角相等”时，我们可以写成：已知： ____________________，求证： .
A D
O
C B
第 1题图 第 2题图
2. 如图，AD是△ABC的角平分线，过点 D作 DE∥AB，交 AC于点 E,作 DF∥AC,交 AB于点 F,求证：
点 A到 DE,DF的距离相等.
3. 如图，在△ABC中，AD⊥BC,垂足为 D,BD＝CD, DE⊥AB, DF⊥AC,垂足分别为 E、F.求证：DE＝
DF.
【综合运用】
4.在△ABC中，AB＝AC,点 D是内部一点，DB＝DC,过点 D作 DM⊥AB于 M点，作 DN⊥AC于 N点，求
证：DM＝DN.
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课时作业单 人教版数学 八年级（上）全等三角形
【能力提升】
5.如图，在△ABC中，AB=6，AC=4，∠BAC的平分线 AD交 BC于点 D，求△ABD与△ACD的面积比.
A
B D C
6.（1）积累经验：如图，在△ABC中，AB＝AC,请你用尺规作∠A的平分线 AD，交 BC与点 D.判断
△ABD与△ACD是否全等，并说明理由.（保留作图的痕迹）
（2）方法应用：如下图，在△ABC中，AB＞AC，请你判断∠B与∠C的大小关系，并给出证明.
综合评价
个人自评 独立完成 需要复习 借助提示 不能完成
同伴互评 答案、方法一致 答案相同、方法不同 答案不同，方法相同 答案不同，方法不同
好友：_______
素养评价 情境与问题 知识与技能 思维与表达 交流与反思
教师：______
说明：①个人自评填写相应的题号 不能独立完成的题目可说明解题 所遇到的困难；
②同伴互评先填写题号 对于答案 有不一致的 应与同伴交流后确 最优 并完善答案；
③素养评价由教师根据自评与互评填写.情境与问题维度：准确 解、有偏差、不 解；知识与技能维度：了解、
解、掌握、运用；思维与表达维度：创造性、严谨性、规范性；交流与反思维度：积极参与、用数学语言表 问题、
认识到收获与不足、形成经验 策略
作业分析与设 意图
第 1题要求学 了解几何 题证明的步骤，从 题中找出已知和求证；第 2题考查学 对角平
分线性质的理解，以及三角形面积公式；第 3题主要考查学 对角的平分线及平行线的性质的掌握
情况；第 4题考查学 运用全等三角形、角平分线的性质解决问题的能力，提高学 的推理能力；
第 5 题主要考查学 综合运用全等、角平分线的性质解决几何问题以及添加辅助线解决问题的能
力；第 6题是一个开放性的题目，包含了动手作图、直观判断和推理论证，第（2）问是在第（1）
的基础上迁移而来，重视知识方法的转化，有利于提高学 综合运用数学知识解决问题的能力.
作业设 分为三个层次，通过基础达标和综合运用帮助学 巩固角的平分线的性质，在与平行
线的性质、全等三角形的判定等知识综合后，提高学 的综合推理论证能力；能力提升注重学 动
手操作、直观判断和推理论证，培养学 的数学素养.
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课时作业单 人教版数学 八年级（上）全等三角形
第二课时 分 理 逆 理
姓名：_______ 班级：______ 建议用时：20 min
【基础达标】
1.如图，点 P是∠AOB内部一点，PD⊥OB, PE⊥OA,垂足分别为 D、E,PD＝PE＝3, ∠AOB＝60°,则
下列说法不正确的是（ ）
A.∠AOP＝30° B. △OPE≌△OPD C. OP⊥DE D. OP＝DE
2.如图，点 M是△ABC外一点，M点到 AB,AC的距离相等，∠ABC=70°, ∠ACB=60°，连接 AM.则
∠BAM＝ °.
3.如图，在三条公路 AB,BC ,AC围成的区域内，是一个休闲度假村，现在 BC这条公路上，修建一
个土菜馆 P，使它到另外两条公路 AB、AC的距离相等.请你用直尺和圆规作图，并说明理由. （不
写作法，保留作图痕迹）
4.已知如图，在四边形 ABCD中，∠C=∠B=90°，E是线段 CB的中点，DE平分∠ADC，求∠DEA的
度数.
D C
E
A B
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课时作业单 人教版数学 八年级（上）全等三角形
【综合运用】
5.在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°,AC ＝3,BC＝4, ∠ABC的平分线与∠BAC的平分线交于点 P, 过点
P作 PD⊥AC,垂足为 D，PD＝1，求（1）∠ACP的度数.（2）AB的长.
【能力提升】
6.小明同学和小亮同学在学习了角的平分线的性质后，围绕同．一．个．△ABC，展开了一次讨论.小明说：
如下左图，△ABC的两个外角的平分线 AD和 CE交于点 P,则 P点到三边 AB,BC,AC的距离相等；小
亮说：如下右图，△ABC 的一个内角平分线 BM 和一个外角的平分线 CN 交于 Q 点，则 Q 点到三边
AB,BC,AC的距离也相等.
（1）请你选择一位同学的说法，判断是否正确，并给出理由.
（2）评价两人的说法是否正确，如果都正确，请你请简要说明点 P与点 Q是否为同一点；若有错
误，请指出错误的原因.
综合评价
个人自评 独立完成 需要复习 借助提示 不能完成
同伴互评 答案、方法一致 答案相同、方法不同 答案不同，方法相同 答案不同，方法不同
好友：_______
素养评价 情境与问题 知识与技能 思维与表达 交流与反思
教师：______
说明：①个人自评填写相应的题号 不能独立完成的题目可说明解题 所遇到的困难；
②同伴互评先填写题号 对于答案 有不一致的 应与同伴交流后确 最优 并完善答案；
③素养评价由教师根据自评与互评填写.情境与问题维度：准确 解、有偏差、不 解；知识与技能维度：了解、
解、掌握、运用；思维与表达维度：创造性、严谨性、规范性；交流与反思维度：积极参与、用数学语言表 问题、
认识到收获与不足、形成经验 策略
作业分析与设 意图
第 1题考查角平分线性质定理逆定理的应用；第 3题考查了角平分线性质逆定理的作图问题，
体现数学知识在实际中的应用价值；第 2、4、5题涉及到角平分线的性质定理及逆定理、平行线、
三角形的内角和、直角三角形等知识；重点考查学 相关知识的综合运用，逐步培养学 分析、解
决问题的能力；通过第 6题主要测查学 的几何直观，分析判断，推理论证等综合能力.
三个梯度的训练，通过基础达标和综合运用巩固学 对角平分线性质逆定理的理解与掌握，同
时结合已有的知识、经验、情境提高学 的综合运用能力，积累“活动经验”；能力提升注重学
情境研判，语言表达，推理论证及发散思维等学科素养的培养.
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单元质量检测作业 人教版数学 八年级（上）全等三角形
六、单元 量检测作业
（一）单元 量检测作业 容
姓名：_______ 班级：______ 满分：100分 建议用时：50 min
一、选择题（每小题 5分，共 30分）
1．如图，△ABC≌△DBC，下列说法不正确的是（ ） A
A．∠A=∠D B.∠ABD=2∠ABC C.AB=DB D.AC∥DB
B C
D
2．如图，在△ABD和△DCA中，AC和 BD相交于点 O，已知∠DAB=∠ADC,添加一个条件，下列不能
证明△ABD和△DCA全等的是（ ）
A．∠B=∠C B.∠BAO=∠CDO C. AB=CD D.BD=AC
3．下列说法正确的有（ ）个
①全等三角形对应边上的高相等；②周长相等的两个三角形全等；③两边及其中一边上的中线对应
相等的两个三角形全等.
A． 0 B. 1 C. 2 D. 3
4．一个三角形的三条边长分别为 7、9、12，另一个三角形的三条边长分别为 2a-1、7、3a-3.若这
两个三角形全等，则 a的值为（ ）
13
A. B.4 C.5 D.4或 5.
2
5．如图，正方形 ABCD的边长为 4，E、F、G、H分别是各边上一点，且 AE=BF=CG=DH=1，则下列结
论错误的是（ ） A E D
A．∠EFG=90 B. DE =3 C. AF=EH D. EF=GH
H
F
B G C
6.如图，在△ABC中，AB＝9，BC＝10，AC＝7，AD平分∠BAC交 BC于点 D，在 AB上截取 AE＝AC，
则△BDE的周长为( )
A．11 B．12 C．13 D．14
二、填空题（每小题 5分，共 20分）
7、两艘轮船同时从港口 O以相同的速度同时向不同方向航行，货轮甲沿北
北
偏西 60 方向行驶，甲乙两艘轮船到海岸线 l的距离 AM和 BN始终相等，则
客轮乙行驶的方向是______. A B
60°
l
M O N
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单元质量检测作业 人教版数学 八年级（上）全等三角形
8.如图，是一个 4×4网格，A、B、C是格点，再找一个格点 D，使以 A、B、C为顶点的三角形和以
B、C、D为顶点的三角形全等，这样的 D点有_______个.
C
A B
9．如图，点 D在线段 BC上，点 A在线段 DE上，若 BC＝DE，AC＝DC，AB＝EC，且∠E＝30°,∠ACB
＝60°，求∠BAD=____°. E
A
B C
D
10．如图小明在折纸飞机时，取长方形纸片 ABCD的中点 E将纸片沿 BE、CE折叠，使 A落在 A’
处，D落在 D’处.若∠1＝60°，则∠A’ED’=____°.
A E D
1
B C
A' D'
三、解答题（第 1题 6分，第 2题 8分，第 3题 10分，第 4题 12分，第 5题 14分，共 50分）
11．如图，在四边形 ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，求证：BC=DC.
B
C A
D
12．如图，已知 AB＝AC，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，C、D、E三点在同一直线上，求证：∠AED＝∠
DAB＋∠DBA.
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单元质量检测作业 人教版数学 八年级（上）全等三角形
13.课堂上同学们一起学习了角平分线的画法：已知∠AOB,以 O为圆心，以任意长度为半径画弧，
1
交 OA,OB于点 M、N，分别以 M、N为圆心，以大于 MN的长度为半径画弧，两弧在∠AOB内交于点
2
P,画射线 OP.射线 OP即为∠AOB的平分线，如图 1所示. A
A C
M
P M
P
O N OB N D B
图 1 （备用图）
连接 PM、PN,则△PMO≌△PNO的依据是_________.
（1）乐乐提出了不同意见，他认为：已知∠AOB,以 O 为圆心，以任意长度为半径画弧，交 OA,OB
于点 M、N，再以 O为圆心，以大于 OM的长度为半径画弧，交 OA,OB于点 C、D，连接 CN、DM，交
点为 P,画射线 OP.射线 OP即为∠AOB的平分线.乐乐的说法是否正确？请说明理由.
（2）同学们，你们还有其他不一样的角平线画法吗？请至少列举一种画法作简单说明.
14.如图，在△ABC中，AB=AC.
（1）如图（1），D为 BC边上中点，则__________≌____________；
（2）如图（2），D、E为 BC边上三等分点，则图中有多少对全等三角形，请全部写出来，并选择
一对加以证明.
A A
B D C
B C
D E
图（1） 图（2）
15．如图所示，AB⊥BD，ED⊥BD，AB=BD.
（1）若 BC=ED，请探究 AC与 BE之间的关系，并证明你的结论.
（2）如果将（1）中的结论作为条件，其他条件不变，BC=ED么？如果成立，请证明你的结论；若
不成立，请说明理由. A
（3）小明发现问题（2）中的条件有些问题，你能说说问题在哪么？
E
B C D
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单元质量检测作业 人教版数学 八年级（上）全等三角形
（二）单元 量检测作业属 表
对应单元 对应学
题号 题型 难度 来源 建议完成时间
作业目标 了解 理解 应用
1 选 1 易 改编
2 2 易 原创
3 择 1、2 中 改编
4 1 中 改编
5 题 3 中 原创
6 3 中 改编
7 填 2 易 原创
8 空 2 中 改编 50分钟
9 题 2、3 中 原创
10 3 较难 原创
11 解 2 易 改编
12
2、3 中 原创
13
答 3、4、5 中 改编
14 2、3 较难 原创
15
题 3 较难 原创
综合评价：
个人自评 独立完成 需要复习 借助提示 不能完成
同伴互评 答案、方法一致 答案相同、方法不同 答案不同，方法相同 答案不同，方法不同
好友：_______
素养评价 情境与问题 知识与技能 思维与表达 交流与反思
教师：______
说明：①个人自评填写相应的题号 不能独立完成的题目可说明解题 所遇到的困难；
②同伴互评先填写题号 对于答案 有不一致的 应与同伴交流后确 最优 并完善答案；
③素养评价由教师根据自评与互评填写.情境与问题维度：准确 解、有偏差、不 解；知识与技能维度：了解、
解、掌握、运用；思维与表达维度：创造性、严谨性、规范性；交流与反思维度：积极参与、用数学语言表 问题、
认识到收获与不足、形成经验 策略
单元质量检测分析与设 意图：
通过单元检测主要考查学 对全等三角形的性质、判定的理解和掌握程度.设 时关注到学
是否能够在全等三角形中识别对应关系、明确等量关系，以此为依据进行有关的 和证明；还
关注到学 能否有效提取信息、合理进行推理、恰当选择方法判定两个三角形全等.另外还对几何
作图、策略与方法、 题结构间的关系、实际 活情境等方面进行了综合考虑.
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参考答案与解析 人教版数学 八年级（上）全等三角形
七、参考答案与解析
12.1全等三角形
1.①③④.
2.DE与 BC是对应边，∠B与∠D、∠C与∠E、∠BAC与∠DAE是对应角.
3.（1）EF、∠E；(2) DF=AC=5,CF=EF-CE=BC-CE=7.5-3.1=4.4；(3)∠D=∠A=180°-（∠B+∠
ACB）=180°-87°=93°，∠DOC=∠ACB+∠DFE=42°+42°=84°.
4.(1)∠EBD与∠ABC是对应角，△ABC是直角三角形;(2)AB=CE+BD，理由：由△ABC≌△EBD知
AB=EB，BC=BD，所以 CE+BD=CE+BC=BE=AB.
5.（1）△ABF≌△AB′F, △ADE≌△AD′E；(2)由(1)知∠BAF=∠B′AF，∠DAE=∠D′AE,∴∠
1 1 1
EAF= (∠BAB′ +∠DAD′) = ∠BAD = × 90° = 45°；（3）由（1）知AB′ = AB = 4, AD′ = AD =
2 2 2
7.2,∴B′D′ = AD′ AB′ = 7.2 4 = 3.2
6．(1) △ODP、△OEQ、△OFR；（2）与∠C相等的角有∠OPD、∠OQE、∠ORF，∠A=120°；
（3）如：求∠B+∠C的度数，求 DR的长度等.
12.2三角形全等的判定（SSS）
1. D
2. 110°
3.证明：∵点 B是 AE的中点，∴AB＝BE.
=
在△ABC和△EBD中，{ = ∴△ABC≌△EBD(SSS)．
=
4.证明：∵CF是 BC上的中线，CE是△ADC中 AD边上的中线，
∴AB＝2AF,AD＝2AE.
∵AE＝AF.
∴AB＝AD.
=
在△ABC和△ADC中，{ = （公共边）∴△ABC≌△ADC(SSS)．∴∠D＝∠B.
=
5.证明：(1)作图略
(2)由题意可知，
AB＝AD，BC＝DC.
=
在△ABC和△ADC中，{ = （公共边）∴△ABC≌△ADC(SSS), ∴∠ADC＝∠B.
=
6.(1)合理：
=
在△ABC和△AED中，{ = ,∴△ABC≌△AED(SSS)．∴∠B＝∠E.
=
(2)合理：
连接 AF,
=
在△ABF和△AEF中，{ = （公共边）∴△ABF≌△AEF(SSS)．∴∠B＝∠E.
=
12.2三角形全等的判定（SAS）
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参考答案与解析 人教版数学 八年级（上）全等三角形
1. B
2.100°
3.解：相等；
理由：∵AB⊥BC，DC⊥BC.∴∠ABE＝∠DCE=90°.∵点 E是 BC的中点，∴BE=CE.
=
在△ABE和△DCE中，{∠ =∠ ∴△ABE≌△DCE(SAS)．∴AE＝DE.
=
4.证明：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC,
即，∠BAC＝∠DAE.
=
在△ABD和△ACD中，{∠ =∠ ∴△ABC≌△ADE(SAS)．∴∠C＝∠E.
=
5.证明：∵点 E、F分别是 AD和 AB的中点，
1 1
∴AF＝ AB,AE＝ AD,
2 2
又 AB＝AD，∴AF＝AE.
∵AC是∠BAD的平分线，
∴∠FAC＝∠EAC.
=
在△AFC和△AEC中，{ = （公共边）∴△AFC≌△AEC(SAS)．∴CE＝CF.
∠ =∠
6.证明：(1)由题意可知 AD＝BC，
∴AD＋CD＝BC＋CD，即 AC＝BD.又∵AF∥BE，∴∠A=∠B
=
在△AFC和△BED中，{∠ =∠ ∴△AFC≌△BED(SAS)．∴DE＝CF.
=
(2) 成立；
理由：由图 2可知点 D和点 C相遇，AC＝BC. 同理可证△AFC≌△BEC，∴DE＝CF.
在图 3中，由 AD＝BC，∴AD-CD＝BC-CD，即 AC＝BD. 同理可得△AFC≌△BED．∴DE＝CF.
12.2三角形全等的判定（ASA、AAS）
1、B
2、8
3、①
4、C
5、由 AC∥DF、BC∥EF得∠ABC=∠E、∠A =∠EDF，BC=EF，∴△ABC≌△DEF，∴AB=DE，即 AD=EB.
6、（1）（5,3）；
（2）p+t=0，q=s.可证△AOM≌△OBN；
（3）B（4.3，-1.6）
7、答案不唯一.如：作 AD⊥BC，垂足为 D.测量∠B与∠C，若相等则△ABD≌△ACD，所以 AB=AC.
12.2三角形全等的判定（HL）
1.C
2.答案不唯一，例如 AB=AC，HL
3.OC=OB 理由：由△AOB≌△DOC可得.
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参考答案与解析 人教版数学 八年级（上）全等三角形
4.B

5.4 理由：可证△ABC≌△DEF，则 BF=BC-CF=EF-CF=CE，所以 BF= = 1，则 BC=4.
2
6.（1）4,理由：△ABE≌△CBD;(2)AE⊥CD.延长 AE交 DC于 F，可证∠ECF+∠CEF =90 ，∴AE CD.
7、SSS、SAS、AAS、ASA、HL
12.3角的平分线的性质（1）
1、如图直线 AB、CD交于 O点，∠AOC与∠BOD是对顶角， ∠AOC=∠BOD.
2、证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵DE∥AB，∴∠BAD=∠ADE,∵DF∥AC，∴∠CAD=∠ADF,
∴∠ADE=∠ADF，∴DA是∠EDF的平分线，∴点 A到 DE,DF的距离相等.
3、先证△ABD≌△ACD，得到∠BAD=∠CAD,∴AD平分∠BAC,又∵DE⊥AB, DF⊥AC,∴DE=DF.
4、连接 AD,先证△BAD≌CAD，得到∠BAD=∠CAD，又∵DM⊥AB，DN⊥AC∴DM=DN
5、过点 D分别作 DE⊥AB，DF⊥AC，则 DE=DF.利用面积公式可得面积比等于 AB：AC=3：2.
6、（1）作∠BAC的平分线，交 BC于 D点，△BAD≌△CAD，可由“SAS”判定.
（2）作∠BAC的平分线，交 BC于 D点，以 A点为圆心，以 AC长为半径，画圆弧，交射线 AB于
E点，∴AC=AE.可证明△ACD≌△AED，∴∠ACD=∠AED,而∠AED＞∠B，∴∠C＞∠B.
12.3角的平分线的性质（2）
1.D.
2. 25°.先求出∠BAC=50°，∵M点到 AB,AC的距离相等，∴AM平分∠BAC，∴∠BAM＝25°.
3.作∠BAC的平分线，交 BC于 P点，则 P点即为所求.理由：∵P点到 AB、AC的距离相等，∴点 P
在∠BAC的平分线上，又要在 BC上，所以点 P在∠BAC的平分线与 BC的交点上.
4. 如图，作 EF⊥AD于 F点，∵∠C=∠B=90°，∴AB∥CD，∴∠ADC+∠DAB=180°.∵DE平分∠ADC，
∴EF=EC,∵E 点是 CB 中点，∴EC=EB,∴EF=EB，∴AE 也平分∠DAB，∴∠EDA+∠EAD=90°，∴∠
DEA=90°.
5．（1） ∵∠ABC 的平分线与∠BAC 的平分线交于点 P,∴点 P 到 AB,AC,BC 的距离相等，都等于
PD，∴点 P在∠ACB的平分线上，∴∠ACP=90°÷2=45°；
（2）Rt△ABC的面积=3×4÷2=6，又 =(PD×AC+PD×BC+PD×AB)÷2=6，而 PD=1，可得 AB=5.
6.（1）选择小亮的证明方法，过点 Q分别作三边的垂线段，因为△ABC的一个内角平分线 BM和一
个外角的平分线 CN交于 Q点，通过线段的等量代换，得到 Q点到三边 AB,BC,AC的距离也相等.
（2）两人的说法都是正确的，且点 P与点 Q是同一点.理由：由（1）可知 P点在∠ABC的平分线
上，所以 P点是∠ABC的平分线与∠ACB外角平分线的交点，而一个角的平分线有且只有一个，所
以点 P与 Q为同一点.
单元质量检测
1、D
2、D 理由：A、B、C、选项可分别利用“AAS”、“ASA”、“SAS”判定三角形全等.
3、C 理由：①③正确
4、C 理由：当 2a-1=9时，a=5符合题意；当 3a-3=9时，a=4，此时 2a-1=7不合题意；故 a=5.
5、C 理由：证明△AEF≌△BFG≌△CGH≌△DHE
6、B理由：△AED≌△ACD，AE=AC=7，BE=AB-AE=2，ED+BD=BC=10，故△BDE的周长为 12.
二、填空题
7、北偏东 60
8、3
9、30 理由：△ABC≌△CED，∠B=∠E=30 ，∠EDC=∠ACB=60 ，∴∠BAD=∠EDC-∠B=30
10、60 理由：由题可知∠AEB=90 -∠1=90 -60 =30 ，由△ABE≌△DCE知∠DEC=30 ，再由翻折
可得∠A’EB=∠AEB=30 、∠D’EC=∠DEC=30 ，所以∠A’ED’ =180 -∠AEB -∠A’EB-∠DEC-∠D’EC=60 .
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参考答案与解析 人教版数学 八年级（上）全等三角形
三、解答题
11、连接 AC，可由“HL”证△ABC≌△ADC，所以 BC=DC.
12、证明：由△ADB≌△AEC得∠AED=∠EAC+∠ECA=∠DAB+∠DBA
13、（1）SSS
(2) 解：正确
=
理由：由题意可知，OC＝OD,OM＝ON.在△CON和△DOM中，{∠ =∠ ∴△CON≌△DOM(SAS)．
=
∴∠OCN＝∠ODM. 又 OC-OM＝OD-ON,即 CM=ND.再证△CMP≌△DNP得 CP＝DP. 最后证明△COP≌△
DOP(SAS)．∴∠COP＝∠DOP.∴OP是∠AOB的角平分线.
(3)答案不唯一，如：在∠AOB的两边取 OM=ON,再分别过点 M、N作 OA、OB的垂线，交点为 P,连接
OP，则 OP是∠AOB的角平分线.
14、（1）△ABD、△ACD
（2）2对，分别是△ABD≌△ACE、△ABE≌△ACD,证明略.
15、（1）AC=BE且 AC BE；
=
证明：△ABC与△BDE中，{∠ =∠ ，∴△ABC≌△BDE（SAS）∴AC=BE∴∠A+∠ABE=∠DBE+
=
∠ABE=90 ，即 AC BE
=
（2）BC =ED.理由：在 Rt△ABC与 Rt△BDE中{ ，∴Rt△ABC≌Rt△BDE（HL） ∴BC=DE（在
=
AC BE的条件下，利用 AAS或 ASA亦可）.
（3）只需要 AC=BE和 AC BE 两者的一个即可证明（2）中的结论.所以在原问题条件不变的情况下，
BC=DE、AC=BE、AC BE三个条件任选其中之一就能推出另外的两个结论.
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