资源简介

学 科： 数学
教材版本： 人教版
单 元: 第十三章《轴对称》
初中数学单元作业设计
一、单元信息
基本 学科 年级 学期 教材版本 单元名称
信息 数学 八年级 第一学期 人教版 轴对称
单元
组织 自然单元 □重组单元
方式
序号 课时名称 对应教材内容
1 轴对称 13.1.1(P58-60)
2 线段的垂直平分线的性质 13.1.2(P61-64)
3 画轴对称图形 13.2(P67-71)
4 等腰三角形 13.3.1(P75-79)
5 等边三角形 13.3.2(P79-81)
课时
6 课题学习 最短路径问题 13.4(P85-87)
信息
7 数学活动 P88-89
8 本章小结 P90
二、单元分析
（一）课标要求
通过具体实例了解轴对称的概念，探索它的基本性质：成轴对称的两个图
形中，对应点的连线被对称轴垂直平分.能画出简单平面图形（点，线段，直
线，三角形等）关于给定对称轴的对称图形.了解轴对称图形的概念：探索等
腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质.认识和欣赏自然界和现
实生活中的轴对称图形.理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平
分线的性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等：反
2
之，与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.能用尺规作图
完成以下基本作图：作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线；已
知底边及底边上的高线作等腰三角形.在直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，
能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的坐标，并知道对应顶点坐标之
间的关系.了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰
三角形的两底角相等：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的
高相互重合（简写成“三线合一”）.探素并掌握等腰三角形的判定定理：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等
角对等边”）.探索等边三角形的性质定理：等边三角形的三个内角都相等，
并且每一个角都等于60°.等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形
（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形.
课标在“知识技能”方面指出：体验从具体实例中抽象出几何图形的过
程；掌握必要的逻辑推理技能.在“数学思考”方面指出：通过用文字语言和几何
符合语言… 等表述几何图形之间的关系的过程，体会几何模型思想，建立几何符号
意识；体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，发展推理能
力；能独立思考，体会数学的基本思想和思维方式.
（二）教材分析
1.知识网络
3
2.内容分析
本章共有四节内容，13.1节“轴对称”主要介绍轴对称图形、图形的轴对称
概念，概括出轴对称的特征.结合探索对称点的关系，归纳得出对应点连线被对
称轴垂直平分的性质，并结合这个性质的得出，讨论线段垂直平分线的性质定理
及其逆定理．13. 2节“画轴对称图形”主要研究画简单平面图形关于给定对称
轴对称的图形的一般方法，用坐标从数量关系的角度刻画了轴对称.归纳出坐标
平面上一个点关于 x轴或 y轴对称的点的坐标的规律，并进一步利用这种规律在
平面直角坐标系中画出一个图形关于 x轴或 y轴对称的的图形．13.3节“等腰三
角形”等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的所有性质外，
还有许多特殊的性质.本节研究了利用等腰三角形的轴对称性,得出了“等边对等
角”“三线合一”等性质，并进一步讨论了等腰三角形的判定方法以及等边三角
形的性质与判定方法等内容.13. 4节“课题学习 最短路径问题 ”本节安排了两
个问题，分别是“牧马人饮马问题”和“造桥选址问题”，解决这两个问题的关
键是通过轴对称和平移等变化把问题转化为“两点之间，线段最短”的问题，在
解决这两个问题的过程中渗透了化归的思想.
（三）学情分析
从学生的认知规律看：在“三角形”一章中，学生已经理解三角形及与三角
形有关的线段（边、高、中线、角平分线）的概念；会用三角形的内角和定理和外
角的性质进行计算；在“全等三角形”一章中，学生又学习全等三角形的概念，
能识别全等三角形中的对应边、对应角，掌握并能运用全等三角形的性质和判
定进行几何推理论证和计算，这些学习都为轴对称的学习打下思想方法基础.
从学生的学习习惯、思维规律看：八年级（上）学生已经具有一定的自主学生
能力和独立思考能力，积累了一定的数学学习活动经验，并在心灵深处渴望自己是
一个发现者、研究者和探究者.但是，学生的思维方式和思维习惯还不够完善，数学
的运算能力、推理能力尚且不足.本章主要研究等腰三角形，因此等腰三角形的性质
和判定是本章的重点．对于一些图形的性质（如线段垂直平分线的性质、等腰（边）
三角形的性质与判定等），仍要求学生加以证明.学生刚开始接触用符号表示推理，
虽然教科书控制了证明难度，但是相对于上一章，推理的依据多了，图形、题目的
4
复杂程度也增加了，因此会使部分学生感到无处下手，这是本章教学的一个难点，
要克服这个难点，关键是要加强对问题分析的教学，帮助学生分析证明问题的思路，
这时可以结合所要求证的结论一起考虑，即“两头凑”，帮助学生克服这一难点.
三、单元学习与作业目标
1. 通过具体实例认识轴对称、轴对称图形，探索轴对称的基本性质，理解对应点
连线被对称轴垂直平分的性质．
2. 探索简单图形之间的轴对称关系，能够按照要求画出简单平面图形（点、线段、
直线、三角形等）关于给定对称轴对称的图形；认识并欣赏自然界和现实生活中的轴
对称图形．
3. 理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂
直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段垂直
平分线上．
4. 了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理；探索并掌握等腰
三角形的判定定理；探索并掌握等边三角形的性质定理及等边三角形的判定定理.
5. 能初步应用本章所学的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题，在观察、
操作、想象、论证、交流的过程中，发展空间观念，激发学习兴趣.
四、单元作业设计思路
分层设计作业.每课时均设计“基础性作业”（面向全体，体现课标，题量3-4
题，要求学生必做）和“发展性作业”（体现个性化，探究性、实践性，题量1-2题，
要求学生有选择的完成）.具体设计体系如下：
5
五、课时作业
第一课时（13.1.1 轴对称 ）
作业 1（基础性作业）
1.作业内容
（1）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A B C D
（2）下列选项中，左边和右边的符号作为图形成轴对称的是（ ）
A.“ ” B.｛ ｝ C. B B D. E E
（3）如图 1，直线 MN是四边形 AMBN的对称轴，P是直线 MN上的点，连接
AP，BP．连接 AB交 MN于 Q点，下列判断一定正确的个数是（ ）
① AM =BM，② AB⊥MN， ③∠ANM =∠BNM，④ AM =BN， ⑤ AQ =BQ.
6
A．2 B．3 C．4 D．5
A C A
D F
N Q P EM
B A E B B D C
图 1 图 2 图 3
（4）如图 2，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝5cm．沿过点 B的直线
折叠这个三角形，使点 C落在 AB边上的点 E处，折痕为 BD，则△AED 的周长
是（ ）
A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
（5）下列图形一定是轴对称图形且有两条对称轴的是（ ）
A．线段 B．角 C．正方形 D．三角形
（6）如图 3，D，E分别是 BC，AD的中点，△CEF与△CED关于直线 CE对称，
若△ABC的面积是 8，则△CEF面积为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
2.时间要求（10分钟以内）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，
过程错误、或无过程。
7
A 等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。 C等，
过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
解法的创新性
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无
过程。
AAA、AAB 综合评价为 A等； ABB、BBB、AAC 综
综合评价等级
合评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题要求学生会判断一个图形是否为轴对称图形，对于轴对称图
形的概念要从以下几个方面正确理解：轴对称图形中至少有一条对称轴；对称
轴两旁的部分是指同一图形的两部分，而不是两个图形；这个图形在对称轴两
侧的部分能够完全重合．作业第（2）题要求学生会判断两个图形是否成轴对
称.作业第（3）题主要考查的是轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置
关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点
到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．作业第（4）题主要
本题考查了折叠的性质，三角形的周长等知识．△BED是由△BCD沿 BD折
叠而成的，点 C与 E重合.所以 DE=DC，BE=BC=6cm ，AE=AB-BE=8-6=2(cm)
∴△AED 的周长=AD+DE+AE=AD+DC+AE=AC+AE=5+2=7(cm) 作业第（5）
题要求学生牢记轴对称图形的定义，并学会找出轴对称图形的对称轴的条数.
线段的对称轴：线段的垂直平分线以及该线段所在的直线都是这条线段的对称
轴；一个角的对称轴是它的角平分线所在的直线；正方形有四条对称轴；三角
形：等腰三角形有对称轴，而边长无特殊关系的三角形没有对称轴，所以三角
形不一定是轴对称图形；作业第（6）题考查了成轴对称的两个三角形全等，
它们的面积一定相等，三角形面积的等积变换，解题的关键是掌握两个三角形
的高（或底）相等，面积比等于底（或高）之比．
8
（1）【解析】此题考查轴对称图形的判断，应严格把握定义中的对折、重合两
个方面.D项是轴对称图形，故此选项符合题意；故选 D．
（2）【解析】考查学生对两个图形成轴对称的了解，本题只有 B选项符合题意.
（3）【解析】∵直线 MN是四边形 AMBN的对称轴，
∴ AM =BM，AQ =BQ，AB⊥MN，∠ANM =∠BNM．
由于 AM和 BN不是对应线段，故 AM不一定等于 BN．故④不正确，故选 C．
（4）【解析】由折叠的性质可得 DE=DC，BE=BC=6cm ∴AE=AB-BE=8-6=2(cm)
∴△AED 的周长=AD+DE+AE=AD+DC+AE=AC+AE=5+2=7(cm) 故选 C．
（5）【解析】线段的垂直平分线以及该线段所在的直线都是这条线段的对称轴；
一个角的对称轴是它的角平分线所在的直线；正方形有四条对称轴；等腰三角形
有对称轴，而边长无特殊关系的三角形没有对称轴，故三角形不一定是轴对称图
形.选 A．
1
（6）【解析】∵D点是 BC的中点，∴DC BC，
2
∵△ADC的底是 DC，△ABC的底是 BC，△ADC和△ABC高相同,
∴2S△ADC=S△ABC=8，
1
∵E点是 AD的中点，∴DE AD，
2
∵△CED的底是 DE，△ADC的底是 AD，△CED和△ADC高相同,
∴2S△CED=S△ADC=4，
又∵△CEF与△CED关于直线 CE对称，∴S△CEF=S△CED=2，故选 D．
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
（1）如图 4，直线 AD为△ABC的对称轴，BC=5，AD=6，则 S△AEC+S△BEF+S△CDF
为__________．
9
A BA
E
E
F B E D C C
B D C F A D
图 4 图 5 图 6
（2)如图 5，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝42°，点 D在 BC上，将△ACD沿
直线 AD翻折后，点 C落在点 F处，边 AF与边 BC相交于点 E，如果 DF//AB，
那么∠BAD的大小是________．
（3）如图 6，△ABC中，∠A=55°，∠B=75°，将纸片的一角折叠，点 C落在
△ABC内，若∠ADC=20°，则∠BEC=________.
2.时间要求（10 分钟以内）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 A B C 备 注
A 等，答案正确、过程正确。
B 等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性 C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过
程错误、或无过程。
A 等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等，
过程不规范或无过程，答案错误。
10
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为A 等； ABB、BBB、AAC 综合评
综合评价等级 价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题考查轴对称的性质，一个轴对称图形它的对称轴两旁的对应部分
能够互相重合，所以它们的面积相等；对应点所连的线段被对称轴垂直平分；第
（2）题考查了翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理以及平行线的性质，
根据三角形内角和定理及平行线的性质，找出93°＝42°＋2∠CAD是解题的关键；
第（3）题考查了翻折变换、三角形的内角和定理、三角形的外角等知识，解题
的关键是灵活运用所学知识解决问题.
(1)【解析】∵AD所在的直线是△ABC的对称轴，∴S△CEF=S△BEF
∵S△AEC+S△CEF+S△CDF等于△ABC的面积的一半，AD⊥BC，
1 1
∴S△AEC+S△BEF+S△CDF= ×（ ×5×6）=7.5．故答案是 7.5．2 2
(2)【解析】在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝42°，∴∠BAC＝180°-∠B-∠C＝93°．
由折叠的性质可知：∠CAD＝∠EAD，∠F＝∠C＝42°．
∵DF∥AB，∴∠BAE＝∠F＝42°，
∴∠BAC＝∠BAE＋∠CAD＋∠EAD，即 93°＝42°＋2∠CAD，∴∠CAD＝25.5°．
∴∠BAD＝∠BAC ∠CAD＝67.5°，故答案是 67.5°．
(3)【解析】
11
B
E
C
A D F
如图延长 AD，BE交于点 F，连接 CF．
在△ABF中，∠AFB=180°-55°-75°=50°，
∵∠ECD=∠AFB=50°，∠BEC=∠ECF+∠EFC，∠ADC=∠DCF+∠DFC，
∴∠BEC+∠ADC=∠ECF+∠EFC +∠DCF+∠DFC =2∠AFB=100°，
∵∠ADC=20°，∴∠BEC=80°，故答案是 80°．
第二课时（13.1.2 （1）线段的垂直平分线的性质）
作业 1（基础性作业）
1. 作业内容
(1)如图，直线 CD是线段 AB的垂直平分线，P为直线 CD上的一点，已知
线段 PA=5，则线段 PB的长度为 （ ）
A.6 B.5 C.4 D.3
C
P
A B
D
第(1)题图
12
(2)工人师傅准备用两根钢索 AB、AC加固直立的电线杆 AD，如图所示，若
要使两根钢索的长度相等，需加条件 ，理由是
.
A
B D C
第(2)题图
(3)如图,在△ABC中,边 AB,BC的垂直平分线相交于点 P,F为 AC中点.求
证：PF垂直平分 AC.
A
F
D
P
B C
E
第(3)题图
2.时间要求（10 分钟以内）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
13
A 等，答案正确、过程正确。
B 等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程
错误、或无过程。
A 等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。 C 等，过程
不规范或无过程，答案错误。
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A等； ABB、BBB、AAC 综合评价
综合评价等级
为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题要求学生会用线段垂直平分线的性质进行计算，加深对性质的
理解和运用；第（2）题考察线段垂直平分线的性质需要具备的条件，能够加
深学生对性质的理解；第（3）题，需要综合应用线段垂直平分线的性质和判
定，检验学生对性质与判定理解的同时，培养学生的几何直观和逻辑推理能
力。
作业 1：【解析】
（1）此题考查线段垂直平分线的性质，因此 PA=PB，选 B.
（2）此题第一空考查线段垂直平分线的定义，因此填“BD=CD”； 第二空考查线段垂直
平分线的性质，因此填“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”.
（3）此题综合考查线段垂直平分线的性质和判定.
连接 PA,PB，PC.
∵边 AB，BC的垂直平分线交于点 P，
∴PA=PB，PB=PC．
∴PA=PB=PC．
∴点 P必在 AC的垂直平分线上．
∵F为 AC 中点.
∴PF 垂直平分 AC.
14
A
D F
P
B E C
作业 2（发展性作业）
1. 作业内容
(1)到三角形三个顶点距离相等的点，是这个三角形的 （ ）
A. 三条中线的交点
B. 三条角平分线的交点
C. 三条高的交点
D. 三条垂直平分线的交点
(2)如图，在△ABC中，AF平分∠BAC ，AC的垂直平分线交BC于点E，∠ B=70°，
∠FAE=19°，则∠C= °.
A
D
B C
F E
第(2)题图
(3)如图，在四边形 ABCD中，AD∥BC，E为 CD的中点，连接 AE、BE，
BE⊥AE，延长 AE交 BC的延长线于点 F.求证：
①AD=FC；
②AB=BC+AD.
15
A D
E
B C F
第(3)题图
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B 等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程
错误、或无过程。
A 等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。 C 等，过程
不规范或无过程，答案错误。
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A等； ABB、BBB、AAC 综合评价
综合评价等级
为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线
上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键；第（2）题需要利用角平分
线定义和三角形的内角和定理，结合线段垂直平分线的性质解题，考查学生对知
识的综合应用能力；第（3）题考察垂直平分线的性质以及全等三角形的性质和
判定.
16
作业 2：【解析】
(1)根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等判断，选 D.
(2)∵DE是 AC的垂直平分线，
∴EA=EC， ∴∠EAC=∠C, ∴∠FAC=∠EAC+19°,
∵AF平分∠BAC ， ∴∠FAB=∠EAC+19°,
∵∠B+∠BAC+∠C =180°, ∴70°+2(∠C+19°) +∠C =180°,
解得：∠C =24°, 故答案为：24.
(3)证明：（1）∵AD ∥ BC（已知），
∴∠ADC=∠ECF（两直线平行，内错角相等），
∵E是 CD的中点（已知），∴DE=EC（中点的定义）．
在△ADE和△FCE中
∠ADC＝∠ECF
DE=EC
∠AED＝∠CEF
∴△ADE≌△FCE （ASA）
∴FC=AD（全等三角形的性质）．
（2）∵△ADE≌△FCE，
∴AE=EF，AD=CF（全等三角形的对应边相等），
∴BE是线段 AF的垂直平分线，∴AB=BF=BC+CF，
∵AD=CF（已证），∴AB=BC+AD（等量代换）．
17
第三课时（13.1.2（2）线段的垂直平分线的性质）
作业 1（基础性作业）
1. 作业内容
（1） 如图所示的尺规作图是作 （ ）
A.线段的垂直平分线 B.一个半径为定值的圆
C.角的平分线 D.一个角等于已知角
（2） 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC两点的距离相等.
①用直尺和圆规，作出点 D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
②连接 AD，若∠B=37°，则∠CAD= °.
A
C B
第(2)题图
（3） 下列图形中，哪些是轴对称图形？是轴对称图形的，画出它的所有对
称轴.
18
图① 图②
图③
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B 等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程
错误、或无过程。
A 等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。 C 等，过程
不规范或无过程，答案错误。
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A等； ABB、BBB、AAC 综合评价
综合评价等级
为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题，直接考察线段垂直平分线的尺规作图；第（2）题中，第①题考
查尺规作图，培养学生动手能力，第②题考察线段垂直平分线的性质以及三角形
的内角和定理；第（3）题要求学生先判断轴对称图形，并作对称轴，培养学生
的观察、思维能力，提升几何直观素养。
作业 1：【解析】
(1)考察线段垂直平分线上的尺规作图，选 A.
(2)①如图，点 D即为所作；
19
A
C B
D
2 在 Rt△ABC中，BC= AB2 AC2 = 52 32 =4，
设 CD的长为 x，则 BD的长为（4 x），
由题意得 AD=BD=4 x，
在 Rt△ACD中，∵ AC 2 CD2 AD2 ，
32 x2 (4 x)2 x 7 7∴ ， 解得 = ， ∴CD的长为 ．
8 8
(3)图①和图③是轴对称图形；对称轴如下图所示：
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
1
(1)如图，分别以线段 AB的两端点 A,B为圆心，大于 AB长为半径画弧，在
2
线段 AB的两侧分别交于点 E,F,作直线 EF交 AB于点 O，在直线 EF 上任取一
点 P（不与 A重合），连接 PA,PB,则下列结论不一定成立的是 （ ）
A.PA=PB B.OA=OB C.OP=OF D.PO⊥AB
20
E
P
A O B
F
第(1)题图
（2）如图，某公园有海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐项目，现要在公园内建
一个售票中心，使得三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，请在图中确
定售票中心的位置.
摩天轮
海盗船
碰碰车
（3）如图，已知△ABC和△DEF关于直线 l对称，请用无刻度的直尺，在下面
两个图中分别作出直线 l.
A(D)
A D
E B B E
C F C F
图① 图②
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
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作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B 等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程
错误、或无过程。
A 等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。 C 等，过程
不规范或无过程，答案错误。
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A等； ABB、BBB、AAC 综合评价
综合评价等级
为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题，巩固线段垂直平分线的尺规作图，并利用线段垂直平分线
的性质判定线段之间的关系（当然也是加深对线段垂直平分线概念的认识）；第
（2）题，首先根据线段垂直平分线的判定确定售票中心的位置，再利用尺规作
图，培养学生的抽象思维能力，数学建模能力；第（3）题，首先识别图形，找
到三组对称点，利用“两点确定一条直线”寻求合理的解决问题的方法，从而培
养学生的观察能力和创新意识。
作业 2：【解析】
(1) 由作图可知，EF垂直平分 AB，故选 C.
(2) 由线段垂直平分线的判定可知，售票中心在海盗船、摩天轮、碰碰车三条线
段的垂直平分线交点上.如图：
22
摩天轮
海盗船
售票中心
碰碰车
（3）
l
l
A(D)
A D
E B
E
B
C F C F
图②
图①
23
第四课时（13.2 （1） 画轴对称图形）
作业 1（基础性作业）
1.作业内容
（1）作已知点关于某直线的对称点的第一步是（ ）
A．过已知点作一条直线与已知直线相交
B．过已知点作一条直线与已知直线垂直
C．过已知点作一条直线与已知直线平行
D．不确定
（2）如图，分别以直线 l为对称轴，所作轴对称图形错误的是（ ）
l
l l l
A. B. C. D.
1
（3）如图，在△ABC中，分别以点 A和点 B为圆心，大于 AB的长为半径画
2
弧，两弧相交于点 M，N，作直线 MN，交 BC于点 D，连接 AD．若△ADC的周
长为 10，AB=7，则△ABC的周长为（ ）
A．7 B．14 C．17 D．20
C N
D
A B
M
2.时间要求（10 分钟以内）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
24
A 等，答案正确、过程正确。
B 等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程
错误、或无过程。
A 等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。 C 等，过程
不规范或无过程，答案错误。
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A等； ABB、BBB、AAC 综合评价
综合评价等级
为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）主要考查了作简单平面图形轴对称后的图形，其依据是轴对称
的性质．基本作法：①先确定图形的关键点；②利用轴对称性质作出关键点的对
称点；③按原图形中的方式顺次连接对称点；第（2）题考察线此题主要考查了
轴对称图形，关键是掌握沿直线对折，直线两旁的部分能完全重合；第（3）题，
此题考查了线段垂直平分线的性质与作法，题目难度不大，要注意数形结合思想
的应用.
(1)【解析】根据作图方法可得第一步是过已知点作一条直线与已知直线垂
直．故选 B
(2)【解析】根据轴对称的定义可得 C沿 l对折不能重合，故选 C．
(3)【解析】首先根据题意可得 MN是 AB的垂直平分线，
即可得 AD=BD，又由△ADC的周长为 10，
求得 AC+BC的长，则可求得△ABC的周长．
∵在△ABC中，分别以点 A和点 B为圆心，
1
大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点 M，N，
2
作直线 MN，交 BC于点 D，连接 AD．
∴MN是 AB的垂直平分线， ∴AD=BD，
25
∵△ADC的周长为 10，
∴AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=10，
∵AB=7，∴△ABC的周长为：AC+BC+AB=10+7=17．
故选 C．
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
（1）在黑板报的设计中，小敏遇到了如下的问题：在如图中，直线 l与 AB
垂直，要作△ABC关于 l的轴对称图形．小敏已作出了一步，请你用直尺和圆规
作出这个图形的其余部分，保留作图痕迹，并写出相应的作法．
作法：（1）以 B为圆心，BA 为半径作弧，与 AB 的延长线交于点 P；
就是所要作的轴对称图形．
l
C
A B P
（2）如图，已知长方形的台球桌台 ABCD，有黑、白两球分别位于 M、N
两点的位置上，试问：怎样撞击白球 N，才能让白球先撞台边 AB，反弹后再击
中黑球 M．（在图上画出）
D C
M
N
A B
26
【解析】从点 N向 AB作垂线，并延长相同的距离到点 N′，连接 MN′，与
AB的交点为点 P，则沿 NP撞击白球 N，才能让白球先撞台边 AB，反弹后再击
中黑球 M．
（3）如图，△ABC和△A′B′C′关于直线 MN对称，△A′B′C′和△A″B″C″关于
直线 EF 对称．
（1）画出直线 EF；
（2）直线 MN与 EF相交于点 O，试探究∠BOB″与直线 MN、EF所夹锐角
α的数量关系．
M
A A′
C C′
B B′
B″
A″
N C″
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B 等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程
错误、或无过程。
A 等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。 C 等，过程
不规范或无过程，答案错误。
27
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A等； ABB、BBB、AAC 综合评价
综合评价等级
为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题图中点 P就是点 A的轴对称点，同样的方法，再找点 C的轴
对称点，顺次连接即可,本题主要考查了轴对称图形的画图方法，学生做这类作
图题时，要注意把步骤写得有条理；第（2）题从点 N向 AB作垂线，并延长相
同的距离到点 N′，连接 MN′，与 AB的交点为点 P，则沿 NP撞击白球 N，才能
让白球先撞台边 AB，反弹后再击中黑球 M．本题是轴对称图形在实际生活中的
应用，学生做这类题时，要牢固掌握轴对称图形的性质做题；第（3）题分析：
（1）找到并连接关键点，作出关键点的连线的垂直平分线；（2）根据对称找到
相等的角，然后进行推理．解答此题要明确轴对称的性质：1．对称轴是一条直
线．2．垂直并且平分一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线，或中垂线．线
段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．3．在轴对称图形中，对称轴两侧
的对应点到对称轴两侧的距离相等．4．在轴对称图形中，对称轴把图形分成完
全相等的两份．5．如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对
应点所连线段的垂直平分线．
(1)【解析】
l
C Q
A B P
①分别以 B，P为圆心，BC，AC为半径作弧，两弧交于点 Q；
28
②连接 BQ，PQ．△BPQ．
(2)【解析】从点 N向 AB作垂线，并延长相同的距离到点 N′，连接 MN′，
与 AB的交点为点 P，则沿 NP撞击白球 N，才能让白球先撞台边 AB，反弹后再
击中黑球 M．
D C
M
N
A BP
N′
(3)【解析】（1）如图，连接 B′B″．
作线段 B′B″的垂直平分线 EF．
则直线 EF是△A′B′C′和△A″B″C″的对称轴．
（2）连接 B′O．
∵△ABC和△A′B′C′关于直线 MN对称，∴∠BOM=∠B'OM．
又∵△A'B'C'和△A″B″C″关于直线 EF对称，∴∠B′OE=∠B″OE．
∴∠BOB″=∠BOM+∠B′OM+∠B′OE+∠B″OE=2（∠B′OM+∠B′OE）=2α
即∠BOB″=2α．
M
A A′
C C′ E
B B′
B″
O
F A″
N C″
29
第五课时（13.2 （2） 画轴对称图形）
作业 1（基础性作业）
2. 作业内容
（1）在平面直角坐标系中，点 A(m,2)与点 B（3，n）关于 y轴对称( )
A. m=3，n=2 B. m=-3，n=2 C. m=2，n=3 D. m=-2，n=-3
（2）如图，△ABC关于x轴对称，点B的坐标是（2，－3），则点C的坐标是 ．
C
A
B
（3）如图所示，点A、B、C、D中 关于x轴对称， 关于y轴
A D
B C
30
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B 等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程
错误、或无过程。
A 等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。 C 等，过程
不规范或无过程，答案错误。
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A等； ABB、BBB、AAC 综合评价
综合评价等级
为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题，本题考查了关于 x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的
关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于 x轴对称的点，横坐标相同，纵坐
标互为相反数；（2）关于 y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）
关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数；第（2）题本题考查了平面
直角坐标系中关于 x轴成轴对称的两点的坐标之间的关系．能够根据题意得出点
B与点 C关于 x轴对称是解题的关键；第（3）题首先根据图形写出 A、B、C、D
点坐标，根据关于 x、y轴对称的点的坐标规律判断即可，考查关于 x轴、y轴对
称的点的坐标，培养学生的观察、思维能力，提升运算素养。
（1）【解析】关于 y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得
答案 B．
31
（2）【解析】由题意，可知点 B与点 C关于 x轴对称，
又∵点 B的坐标为（2，－3），∴点 C的坐标为（2，3）．
（3）【解析】∵A（-4，3），B（-2，-3），C（2，-3），D（2，3）
∴C和D关于x轴对称，B和C关于y轴对称.
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
（1）点（－3，4）向右平移 5个单位长度后再关于 x轴对称的点的坐标
是 ．
（2）已知点 A(2a b,5 a),B(2b 1, a b)
(1)若点 A、B关于 x轴对称，求 a,b的值
(2)若点 A、B关于 y轴对称,求（4a b）2022
（3）（1）请画出△ABC关于 y轴对称的△A′B′C′（其中 A′、B′、C′分别是
A、B、C的对应点，不写画法）
(2)直接写出 A′、B′、C′三点的坐标 A′ B′ C′
(3)计算△ABC的面积
A
B
C
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
32
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B 等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程
错误、或无过程。
A 等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。 C 等，过程
不规范或无过程，答案错误。
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A等； ABB、BBB、AAC 综合评价
综合评价等级
为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题直接利用平移中点的变化规律求解即可．此题主要考查了点
坐标的平移变换．关键是熟记平移变换与坐标变化规律：①向右平移 a个单位，
坐标 P（x，y），P（x+a，y）；②向左平移 a个单位，坐标 P（x，y），P（x-a，
y）；③向上平移 b个单位，坐标 P（x，y），P（x，y+b）；④向下平移 b个单
位，坐标 P（x，y），P（x，y-b）.（2）考查了关于关于 x轴、y轴对称的点的
坐标，关键是掌握坐标变化的规律．关于 x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，
纵坐标互为相反数；关于 y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不
变．作业第（2）题本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于 x轴、y轴对称的
点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于 x轴对称的
点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于 y轴对称的点，纵坐标相同，
横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．作
业第（3）题（1）利用关于 y轴对称点的性质分别得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用△ABC所在矩形减去周围三角形面积进而得出答案,此题主要考查了轴
对称变换以及三角形面积求法，得出对应点位置是解题关键．
33
（1）【解析】将点（-3，4）的坐标向右平移 5个单位长度，得到：（-3+5，
4），即：（2，4），再关于 x轴对称的点：（2，-4），故答案为：（2，-4）．
（2）【解析】（1）∵点 A、B关于 x轴对称，
2a b 2b 1 a 8
∴ 解得
5 a ( a b)

b 5
（2）∵A、B关于 y轴对称，
2a b (2b 1) a 1
∴ 解得
5 a a b

b 3
(4a b)2022 4 ( 1) 3 2022所以 1
（3)【解析】（1）利用关于 y轴对称点的性质分别得出对应点位置进而
得出答案；
（2）利用△ABC所在矩形减去周围三角形面积进而得出答案.
（3）如图所示：△A′B′C′即为所求；
S△ABC S CEFG S△ABF S△ACE S矩形 △BCG
4 5 1 1 1 1 2 5 3 4 3
2 2 2
5.5
故答案为：5.5．
F A E A′
B B′
G C′ C
34
第六课时（13.3.1（1）等腰三角形）
作业 1（基础性作业）
1. 作业内容
（1）等腰三角形的周长为 21cm，其中一边长为 5cm，则该等腰三角形的底边长
为（ ）
A．5cm B．11cm C．8cm或 5cm D．11cm或 5cm
（2）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，点 D在 AC上，且 BD＝BC，
则∠BDC＝_______．
A
D
B C
（3）如图，在△ABC中，AB＝AC，点 D是 BC的中点，点 E在 AB上，BE＝
BD，∠BAC＝80°，求∠ADE的大小．
A
E
B D C
2.时间要求（10 分钟）
35
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
A等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，
过程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。 C等，
过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
解法的创新性
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无
过程。
AAA、AAB综合评价为 A等； ABB、BBB、
综合评价等级 AAC综合评价为 B等；其余情况综合评价为 C
等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰
和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构
成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键；第（2）题此题考查了等
腰三角形的性质：等边对等角，熟记性质是解题的关键；第（3）题本题考查的
是等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握等腰三角形的“三线合一“是解
决问题的关键．根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝50°，∠BDE＝65°，
∠ADB＝90°，计算即可.
(1)【解析】①当 5是腰长时，底边为 21 5×2=11，
此时 11，5，5三边不能够组成三角形，
36
1
②当 5为底边长时，腰长为 2 ×（21 5）=8，
此时 8，8，5能够组成三角形，所以底边为 5．故选：A．
(2)【解析】∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC 1＝∠ACB＝ 2 （180° ∠A）=72°
∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠ACB＝72°，故答案为：72°．
(3)【解析】∵AB＝AC，∠BAC＝80°，
1
∴∠B＝∠C＝ （180° ∠BAC）＝50°，
2
1
∵BD＝BE，∴∠BDE＝∠BED＝ （180° ∠B）＝65°，
2
∵AB＝AC，点 D是 BC的中点
∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，
∴∠ADE＝∠ADB ∠BDE＝25°．
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
（1）如图，在△ABC中,AD⊥BC，∠B=62°，AB+BD=CD，则∠BAC的度数
（ ）
A
B D C
A．87° B．88° C．89° D．90°
37
（2）如图，在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点 D，E为 AC边上一点，连接 BE
与 AD交于点 F，G为△ABC外一点，满足∠ACG＝∠ABE,∠BAC＝∠FAG
①求证：△ABF≌△ACG；
②求证：BE＝CG+EG ．
A
G
F E
B D C
2. 时间要求（10 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过
程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。 C 等，过程
不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB综合评价为 A等； ABB、BBB、AAC
综合评价等级
综合评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
38
作业第（1）题此题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，三角
形内角和定理等知识点的综合运用．恰当作出辅助线是正确解答本题的关键；
第（2）题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握全等
三角形的判定与性质是解答的关键。
(1)【解析】【解】延长 DB至 E，使 BE＝AB，连接 AE，
∴∠BAE＝∠E，∵∠ABD=62°∴∠BAE＝∠E＝31°，
∵AB+BD＝CD∴BE+BD＝CD即 DE＝CD，
∵AD⊥BC，∴AD垂直平分 CE，∴AC＝AE，∴∠C＝∠E＝31°，
∴∠BAC=180° ∠C-∠ABC=87°；
故选：A （本题也可以在 CD上截取 DE=BD,连接 AE）
A
E B D C
(2)【解析】【解】①∵∠BAC＝∠FAG ∴∠BAC ∠3＝∠FAG ∠3
即∠1＝∠2
在△ABF和△ACG中
∠1＝∠2
AB=AC
∠ABF＝∠ACG
∴△ABF≌△ACG
② ∵△ABF≌△ACG ∴AF=AG， BF=CG
∵AB=AC，AD⊥BC于点 D ∴∠1＝∠3
∵∠1＝∠2 ∴∠3＝∠2
在△AEF和△AEG中
AF=AG
∠3＝∠2
AE＝AE
∴△AEF≌△AEG
∴EF＝EG ∴BE=BF+FE=CG+EG
39
第七课时（13.3.1（2）等腰三角形）
作业 1（基础性作业）
1.作业内容
（1）如图，在△ABC中，∠B=∠C，AB=5，则 AC的长为（ ）
A
B C
A．2 B．3 C．4 D．5
（2）如图，△ABC中，BE是角平分线，DE∥BC交 AB于 D，交 AC于 E，若
DE＝8，AD＝5，则 AB等于（ ）．
A
D E
B C
A．12 B．13 C．14 D．15
（3）如图，△ABC中，∠B，∠C的平分线相交于点 F，过 F作 DE∥BC，分别
交 AB、AC于 D，E，若 AB+AC＝10，则△ADE的周长等于_____．
A
D F E
B C
（4）如图，在△ABC中，AB=AC，BD是△ABC的角平分线．
40
①尺规作图：在图中作出角平分线 BD，交 AC于点 D（要求保留作图痕迹，不
写作法）；
B
A C
②已知 DE//AB交 BC于点 E，若 BE=5cm，CE=3cm，求△CDE的周长．
【选题意图】本题考查尺规作图、平行线的性质和三角形周长的综合应用，掌握
常用图形的作图方法和平行线的灵活应用是解题关键．
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，
过程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB综合评价为 A等； ABB、BBB、AAC
综合评价等级
综合评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
41
作业第（1）题主要考查等腰三角形的等角对等边的问题；第（2）题考查了等腰
三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题
的关键；变式训练 1考查了等腰三角形的性质，平行线的性质及角平分线的性
质．正确地进行线段的等量代换是解决问题的关键；变式训练 2比变式训练 1
多考查尺规作图，掌握常用图形的作图方法和平行线的灵活应用是解题关键。
5. 作业解析
(1) 【解析】【解】∵∠B=∠C，AB=5，∴AB=AC=5．
(2)【解析】【解】∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABE=∠CBE，
∵DE∥BC，∴∠DEB=∠CBE，
∴∠ABE=∠DEB，∴BD=DE=8，
∵AB=AD+BD，∴AB=5+8=13．故选：B．
(3)【解析】【解】∵BF平分∠ABC， ∴∠DBF＝∠CBF，
∵DE∥BC，∴∠CBF＝∠DFB，
∴∠DBF＝∠DFB， ∴BD＝DF，同理 FE＝EC，
∴△ADE的周长＝AD+AE+ED＝AD+DF+AE+EF
＝（AD+BD）+（AE+CE）＝AB+AC＝10，
故答案为：10．
(4)【解析】解：①作图如下：
B
E
A D C
②如图，∵DE//AB，∴∠ABD=∠BDE，∠DEC=∠ABC
42
由已知，∴∠ABD=∠EBD,∠ABC=∠C
∴∠BDE=∠EBD,∠DEC=∠C，
∴ CD=DE=BE=5cm ∴△CDE的周长=CD+DE+CE=13cm．
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
1
在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，点 D在线段 BC上，∠EDB＝ ∠C，BE⊥DE，
2
垂足为 E，DE与 AB相交于点 F．
A A
E F
E F
B
B D C C(D)
图 1 图 2
(1)当且 C，D两点重合时（如图 1）
①直接写出∠EBF＝ °；
②直接写出线段 BE与 FD之间的数量关系 ；
(2)当 C，D不重合时（如图 2），写出线段 BE与 FD的数量关系，并证明．
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过
程错误、或无过程。
43
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。 C 等，过程
不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB综合评价为 A等； ABB、BBB、AAC
综合评价等级
综合评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
本题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形性质，正确地作出辅助线是解
题的关键．
5.作业解析
【解】（1）①∵∠A=90°， AB＝AC
G
A
E F
B C (D)
1
∴∠ABC=∠ACB=45° ∴∠EDB= 2 ∠ACB=22.5°
又 BE⊥DE， ∴∠EBD=90° 22.5°=67.5° ∴∠EBF=67.5° 45°=22.5°
②延长 BE，CA交于 G.
1
∵∠EDB= 2 ∠ACB ∴CE 平分∠ACB ∴∠GCE=∠BCE
∵BE⊥DE ∴∠GEC=∠BEC=90°
在△GCE和△BCE中
∠GCE=∠BCE
CE=CE
∠GEC=∠BEC
∴△GCE≌△BCE（ASA）
1
∴BE=EG= 2 BG
44
∵∠BEF=∠BAC=90°，∠BFE=∠AFC ∴∠ABG=∠ACF
在△ABG和△ACF中
∠ABG=∠ACF
AB=AC
∠BAG=∠CAF
∴△ABG≌△ACF（ASA）
1
∴BG=CF ∴BE= 2 DF
1
【小题 2】结论：BE= 2 DF
证明：如图 2，过点 D作 DG//CA，与 BE的延长线相交于点 G，与 AB相交于
点 H，则∠GDB=∠C，∠BHD=∠A=90°=∠GHB，
1 1
∵∠EDB= 2 ∠C = 2 ∠GDB=∠EDG ，又 DE=DE，∠DEB=∠DEG=90°，
∴△DEB≌△DEG（ASA），∴BE=EG= 1 BG，
2
A
G
H
E
F
B D C
（图 2）
∵∠A=90°,AB=AC， ∴∠ABC=∠C=∠GDB ∴HB=HD，
∵∠BED=∠BHD=90°，∠BFE=∠DFH， ∴∠EBF=∠HDF，
∴△GBH≌△FDH（ASA），
∴GB=FD，∴BE= 1 DF.
2
45
第八课时（13.3.2 （1）等边三角形）
作业 1（基础性作业）
1.作业内容
（1）等边三角形的对称轴有（ ）.
A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4条
（2）如图,在等边三角形 ABC中，AD⊥BC于点D，则∠BAD的度数为（ ）.
A
B D C
A．60° B．50° C．40° D．30°
（3）如图，课外活动小组在一次测量中测得∠APB=60°，AP=BP=200米，他们
便能得到池塘最长处 AB为__________米.
P
A B
2.时间要求（5分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
46
A 等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过
程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。 C 等，过
程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评
综合评价等级
价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
4.作业分析与设计意图
第（1）题考查等边三角形轴对称性，知识点单一，属简单了解层次，学生
可以通过折纸找到对称轴，分析时让学生了解对称轴是哪些线段所在的直线，学
生容易理解掌握.作业第（2）题考查了等边三角形的性质，学生能够熟练掌握等
边三角形的“三线合一”是解题的关键,进一步使学生对等边三角形的性质掌握.
第（3）题考查等边三角形判定与性质应用，数学来源于生活，应用于生活，通
过本题活动，可以提高学生应用数学知识的能力，也能激发学生学习数学热情.
5.作业解析
（1）【解析】等边三角形对称轴是各条边的中线、各条边的垂线和各角角平分
线所在的直线，所以等边三角形对称轴共有三条，答案选 C.
（2）【解析】∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=60°，
∵AD⊥BC于点 D，
∴ BAD 1 BAC 30 . 答案选 D.
2
（3）【解析】∵AP=BP 且∠APB=60° ∴△PAB为等边三角形
∴AB=AP=BP=200m
47
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
（4）如图，在△ABC中，D，E是 BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，
求∠BAC的度数．
A
B D E C
（5）如图，在等边△ABC中，点 D，E分别在边 BC,AB上，且 BD=AE.AD与
CE交于点 F．求证：AD=CE.
A
E F
B D C
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B 等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，
过程错误、或无过程。
48
A 等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。 C等，过
程不规范或无过程，答案错误。
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A等； ABB、BBB、AAC 综合
综合评价等级
评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
4.作业分析与设计意图
第（4）题考查等边三角形的性质与等腰三角形的性质，解题的关键是得
出∠B=∠C的度数．学生经历解题，体会数学知识的应用。第(5)题考查了全
等三角形的判定、性质，以及等边三角形的性质，目的将本节知识与全等三角
形知识结合应用．
5.作业解析
（4）【解析】∵D,E是 BC的三等分点，且△ADE是等边三角形.
∴BD DE EC AD AE , ADE AED 60 ,
∴ BAC 180 B C 120 .
（5）【解析】∵△ABC是等边三角形，
BAC B 60 ,AB AC ,
AC BA,

在△AEC与△BDA中， BAC B,

AE BD,
∴△AEC≌△BAD，
∴AD=CE．
49
第九课时（13.3.2 （2）等边三角形）
作业 2（基础性作业）
1.作业内容
（1）在 Rt ABC中， C=90 ， A=30 ，BC 3，则 AB的长为（ ）.
3
A． B．1 C．3 D．6
2
（2）如图，在 ABC中， A : B : C 1: 2 : 3，若 BC 6，则 AB等于（ ）.
A．12 B．9 C．3 D．2
A
B C
（3）如图，在 Rt ABC中， A 30 ，DE垂直平分斜边 AC，交 AB于D，E是
垂足，连接CD，若 BD 1，则 AD的长是（ ）.
A
E
D
B C
A． 2 3 B．2 C． 4 3 D．4
2.时间要求（5分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
50
A 等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过
程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。 C 等，过
程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评
综合评价等级
价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
4.作业分析与设计意图
第（1）题考查了含 30°角的直角三角形的性质，知识点单一，属基础题.
第（2）题在第（1）题基础上增加了各内角之比，利用三角形内角和定理求出内
角角度．第（3）题在前两题继续上，增加了线段垂直平分线的性质应用，这样
由易延伸，可以使学生对知识点及应用更好掌握.
5.作业解析
（1）【解析】∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，∴AB＝2BC=6，
本题选：D．
（2）【解析】∵ A : B : C 1: 2 : 3，
∴根据三角形内角和定理可得：∠A=30°,∠B=60°,∠C=90°,
在 Rt ABC中，∵ BC 6，∴ AB 12，
本题选：A．
（3）【解析】∵DE垂直平分斜边 AC，交 AB于D， E是垂足，∴ AD CD，
∵在 Rt ABC中， A 30 ，∴ ACB 60 ， ACD A 30 ，
∵ BCD 30 ，∴CD 2BD 2 1 2，∴ AD 2．
本题选：B．
51
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
（4）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B =30°，CD是高．若 AD=2，则
BD= ．
C
A D B
（5）如图，△ABC中．
①尺规作图：在直线 BC 上求作一点 P，使△APC是以 AC为底边的等腰
三角形（不写作法，保留作图痕迹）
A
B C
②若∠C＝60°，∠B＝90°，AC＝6，求 BP的长．
A
P B C
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
52
A 等，答案正确、过程正确。
答题的准确 B等，答案正确、过程有问题。
性 C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准
确，过程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范
B等，过程不够规范、完整，答案正确。 C
性
等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新 B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
性 C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或
无过程。
综合评价等 AAA、AAB 综合评价为 A等； ABB、BBB、AAC
级 综合评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
第(4)本题相对于前面三题图形复杂了些，学生在利用性质解题时要弄清在
哪个直角三角形中．第（5）题第一问尺规作图，让学生作已知线段垂直平分线，
提高学生动手能力,第二问结合等边三角形的判定与性质解决问题.
5.作业解析
（4）【解析】∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，∴∠ADC＝90°＝∠ACB，
∵∠B＝30°，∴∠A＝90 B＝60°，
∴∠ACD＝90 A＝30°，
∵AD＝2， ∴AC＝2AD＝4，∴AB＝2AC＝8，
∴BD＝AB AD＝8 2＝6， 本题答案为：6．
（5）【解析】① 作图如下所示：
②∵ APC是等腰三角形， C 60 ，
∴ APC是等边三角形，
∴ PC AC 6，
∵ ABC 90 ，
BP BC 1∴ PC 3．
2
53
第十课时（13.4（1）课题学习 最短路径问题 ）
作业 1（基础性作业）
1.作业内容
（1）如图，直线 l是一条河，A，B是两个村庄.欲在 l上的某处修建一个水泵
站，向 A，B两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，
则所需要管道最短的是（ ）
B
A
l
B A
B
A l
l PP M
A． B．
B
B A
A
l l
P P
C． D．
（2）如图，如图所示，P，Q为△ABC 边上的两个定点，在 BC上求作一点
R，使△PQR的周长最小(作图并保留痕迹）
A
Q
P
B C
54
（3）如图，等边三角形 ABC的边长为 4，AD是 BC边上的中线，F是 AD
边上的动点，E是 AC边上一点．若 AE 2，当EF CF取得最小值时，则
ECF的度数（ ）
A
E
F
B C
D
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
2.时间要求（10 分钟以内）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B 等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程
错误、或无过程。
A 等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。 C 等，过程
不规范或无过程，答案错误。
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A等； ABB、BBB、AAC 综合评价
综合评价等级
为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题两点在直线的同侧求最短路径的四种不同的作图方法，让学生从
中选出正确的作法，起到巩固刚学新知识的作用，并从理论上知道了怎么作图，
55
加深对轴对称性质的理解；第（2）题让学生自己动手准确画图，通过先画示意
图，再找出正确的作图方法，两个路径加以比较，能让学生更加明白这样作图的
理由。解题关键是转化“直线上同一侧两点与此直线上一动点距离和最小的问题”，
其核心是化“折”为“直”的思想，转化技巧是能够运用轴对称的性质作图；第
（3）题涉及了等边三角形的性质，属于应用层次，放在学生熟悉的等边三角形
图中，强化学生转化应用意识．解决本题的关键是利用等边三角形的轴对称性质
找对称点．
5.作业解析
（1）【解析】∵村庄 A， B在河 l的同侧，∴作 A点关于 l的对称点M，连
接MB与 l 的交点为 P，由对称性可知 AP MP，∴ AP PB MB，
∴当M ， P， B三点共线时 PA PB最小，
故选： B．
（2）【解析】作点 Q关于 BC所在直线的对称点 D，连接 PD，交 BC于点
R，则点 R就是所求作的点(如图所示)．
A
Q
P
B C
R
D
（3）【解析】如图， 取 AB的中点 G，连接 CG交 AD于点 F，
∵等边△ABC的边长为 4，AE=2，∴点 E是 AC的中点，
∴点 G和点 E关于 AD对称，此时 EF+FC=CG最小，
根据等边三角形的性质可知 ECF 1 ACB 30°．
2
A
G E
F
B
D C
56
故选：C．
作业 2（发展性作业）
1. 作业内容
如图， ABC中， BAC 90 ，AB 6，BC 10，AC 8，BD是 ABC的平分
线.若 P、Q分别是 BD和 AB上的动点，求PA PQ的最小值？
A
D
Q
P
B C
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B 等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程
错误、或无过程。
A 等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。 C 等，过程
不规范或无过程，答案错误。
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A等； ABB、BBB、AAC 综合评价
综合评价等级
为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的定义、垂线段最短和面积
法求高等知识，属于应用层次，在 BC 上截取 BE BQ，连接PE，构造全等三
57
角形、把所求问题转化为求PA PE的最小值是解题的关键.
5.作业解析
在 BC上截取 BE BQ，连接PQ，易证 PE PQ，显然当 A、P、E三点共线
且 AE BC时，PA PQ的值最小，问题转化为求△ABC中 BC边上的高，再利用
面积法求解即可.
【解答】在 BC上截取 BE BQ，连接PE，如图，
∵BD是 ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD，
A
D
Q
P
B E F C
在△PBQ和 PBE中，
QB EB

ABD CBD

BP BP
∴△PBQ≌△PBE（SAS），
∴ PE PQ，∴ PA PQ PA PE，
∴当 A、P、E三点共线且 AE BC时，PA PQ的值最小，
过点 A作 AF⊥BC于点 F，则PA PQ的最小值即为 AF的长，
1 1
∵ S ABC AB AC BC AF AF
AB AC 6 8 24
，∴ ，
2 2 BC 10 5
即PA PQ
24
的最小值为 .
5
58
第十一课时（13.4（2）课题学习 最短路径问题 ）
作业 1（基础性作业）
点 A、B、C在直线 l的同侧，在直线 l上求作一点 P，使得四边形 APBC的
周长最小.
C
A B
l
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B 等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程
错误、或无过程。
A 等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。 C 等，过程
不规范或无过程，答案错误。
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A等； ABB、BBB、AAC 综合评价
综合评价等级
为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
运用轴对称的性质及“两点之间，线段最短”的公理，将长度可变的 AP、
PB线段之和转化为一条线段的长，实现距离之和最小问题的本质转移.作点 A
关于 l的对称点 A'，连接 A'B交 l于点 P，点 P即为所求.
59
C
A B
l
P
A'
作业 1（发展性作业）
1.作业内容
河岸 l同侧的两个居民小区 A、B到河岸的距离分别为 a米、b米（即 AA'=a
米，BB'=b米），A'B'=c米.现浴在河岸边建一个长度为 s米的绿化带 CD（宽度
不计），使 C到小区的距离 A的距离与 D到小区 B的距离之和最小，画出绿化
带的位置.
A
B
a
b
A' B' l
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B 等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程
错误、或无过程。
A 等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。 C 等，过程
不规范或无过程，答案错误。
60
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A等； ABB、BBB、AAC 综合评价
综合评价等级
为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
本题考查了平移、轴对称、两点之间线段最短等知识，属于应用层次。会将
实际问题中的地点、河岸等抽象为数学中的“点”“线”，把实际问题抽象为数
学问题，体会实际生活和数学之间的密切联系。将点 A沿和 l平行的方向平移 s
米到 A1点，作 A1点关于 l的对称点 A2 ，连接 A2B交 l于点 D，在 l上如图截取
CD=AA1 ，连接 AC，图中 CD即为绿化带的位置.
A A1
a B
b
A' C D B' l
A2
第十二课时（数学活动）
作业 1（基础性作业）
1.作业内容
（1） 猜想下列几个未写完的美术字是什么汉字或字母？
（2）下列四个图形，其中是轴对称图形，且对称轴的条数为 2的图形的个数
是 （ ）
61
A.1 B.2 C.3 D.4
（3）下列图案是利用轴对称设计的吗？若是，请用虚线画出对称轴；若不
是，请说明理由.
2.时间要求（10 分钟以内）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，
过程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。 C等，
过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
解法的创新性
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无
过程。
AAA、AAB 综合评价为 A等； ABB、BBB、AAC 综
综合评价等级
合评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题要求学生猜想完整的图形，加深对轴对称性质的理解和运用；
第（2）题考察对称轴，能够加深学生对轴对称性质的理解；第（3）题，培
养学生的逆向思维能力。
作业 1：【解析】
（1）羊 王 平 B E D
（2） C
62
（3）不是；因为它们不能关于某条直线对称.
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
(1) 观察下列图案：
(a)图①到②是利用 得到，图④可以由图(③)经过 直接得到；
(b)由上面图案设计说明，有时需将 和 结合起来设计图案.
(2)轴对称图形都有自己的对称轴，试分别举出一条、二条、三条、四条、无
数条对称轴的几何图形：_____、_____、_____、_____、_____．
(3)通过折纸猜想：等腰三角形两个底角的平分线是什么关系？并利用三角
形全等知识加以证明.
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，
过程错误、或无过程。
63
A 等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。 C等，
过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
解法的创新性
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无
过程。
AAA、AAB 综合评价为 A等； ABB、BBB、AAC 综
综合评价等级
合评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题考查的是学生的观察能力，掌握平移和轴对称得性质是解题
的关键；第（2）题考查学生对基本几何图形的识别能力；第（3）题考察轴对称
的性质以及全等三角形的性质和判定，考查学生综合应用能力.
作业 2：【解析】
(1)（a）轴对称，平移；(b) 轴对称，平移．
(2) 角（等腰三角形、等腰梯形）、矩形（菱形）、等边三角形、正方形、圆．
(3) 猜想：等腰三角形两个底角的平分线相等.
证明：如图.∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，
1 1
∵BE 平分∠ABC，CD 平分∠ACB，∴∠EBC= ∠ABC，∠DCB= ∠ACB，
2 2
∴∠EBC=∠DCB.
在△BCD 和△CBE 中，∠DBC=∠ECB，BC=CB,∠DCB=∠EBC,
∴△BCD≌△CBE (ASA).∴CD=BE.
64
第十三课时（ 小结 ）
作业 1（基础性作业）
1.作业内容
（1）2020 年初，新冠状病毒引发肺炎疫情，全国多家医院纷纷派医护人员驰援
武汉．下面是四家医院标志得图案，其中是轴对称图形得是（ ）
A B C D
（2）如图，在平面直角坐标系 xOy中，A（1，2），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．
①在图中作出△ABC关于 y轴的对称图形△A1B1C1．
②写出点 A1，B1，C1的坐标（直接写答案）
A1________ B1________ C1________
③求△ABC的面积．
（3）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是 BC边上的中点，连结 AD，BE平分
∠ABC交 AC于点 E，过点 E作 EF∥BC交 AB于点 F．
①若∠C＝36°，求∠BAD的度数．
②求证：FB＝FE
65
A
F E
B D C
2.时间要求（10 分钟以内）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B 等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程
错误、或无过程。
A 等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。 C 等，过程
不规范或无过程，答案错误。
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A等； ABB、BBB、AAC 综合评价
综合评价等级
为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称
轴，图形两部分折叠后可重合；第（2）题考查坐标与变化----轴对称，关于
坐标轴对称的点的坐标特征，以及割补法求三角形面积等知识点，牢记相关内
容并灵活应用是解题关键；第（3）题考查等腰三角形的性质，平行线的性质
等知识，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质和判定，熟练运用平行线进
行角的推导和证明．
作业 2（发展性作业）
2. 作业内容
66
（1）如图为 6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝_______．
1
2
3
（2）如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为 F．
①求证：△ABC≌△ADE；
②求∠FAE的度数；
③求证：CD＝2BF+DE．
C
B
F D
A E
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B 等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程
错误、或无过程。
A 等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。 C 等，过程
不规范或无过程，答案错误。
67
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A等； ABB、BBB、AAC 综合评价
综合评价等级
为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题考查了全等图形，网格结构，准确识图判断出全等的三角形
是解题的关键；第（2）题考查全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、等
腰三角形的性质、直角三角形的性质、线段的和差等知识，熟练掌握全等三角形
的判定与性质，添加辅助线构造全等三角形求解线段问题是解答的关键．
作业解析：作业 1
（1）B
【分析】
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．如果一个图形沿一条直
线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】
解：选项 B能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分
能够互相重合，所以是做轴对称图形；
选项 A、C、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的
部分能够互相重合，所以不是做轴对称图形；
故选：B．
9
（2）．①见解析；②A1(-1，2)； B1(-3，1)；C1(2，-1)；③
2
【分析】
（1）根据轴对称图形的性质，得到点A1、点B1、点C1，顺次连接即可得到△A1B1C1；
（2）由平面直角坐标系中，关于 y轴对称的点的坐标特征即可得到答案；
（3）在平面直角坐标系中，用割补法求面积即可．
【详解】解：①如下图，△A1B1C1即为所求．
68
②∵△ABC与△A1B1C1关于 y轴成轴对称图形
∴对应点的坐标横坐标互为相反数，纵坐标相同
又∵A（1,2）B（3,1）C（-2,-1）
∴A1（1,2）B1（3,1）C1（-2,-1）
③ S△ABC 5 3
1 1 1 9
3 3 2 1 5 2
2 2 2 2
（3）①54°，②见解析
【分析】
（1）利用等腰三角形的三线合一的性质证明∠ADB＝90°，再利用等腰三角形的
性质求出∠ABC 即可解决问题．
（2）利用角平分线性质和平行线性质证明∠FBE＝∠FEB即可．
【详解】
解：①∵AB＝AC， ∴∠C＝∠ABC，
∵∠C＝36°， ∴∠ABC＝36°，
∵D为 BC的中点， ∴AD⊥BC，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣36°＝54°．
② ∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，
69
又∵EF∥BC，∴∠EBC＝∠BEF，
∴∠EBF＝∠FEB，∴BF＝EF．
作业 2
（1）135°
【分析】
首先利用 SAS定理判定△ABC≌△DBE，根据全等三角形的性质可得∠3＝
∠ACB，再由∠ACB+∠1＝∠1+∠3＝90°，可得∠1+∠2+∠3＝90°．
【详解】
解：如图：
∵在△ABC和△DBE中
AB=BD
∠A＝∠D
AC＝ED
∴△ABC ≌ △DBE（SAS），
∴∠3＝∠ACB，
∵∠ACB+∠1＝90°，∴∠1+∠3＝90°，
∴∠1+∠2+∠3＝90°+45°＝135°，
故答案为：135°．
（2）．①见解析；②∠FAE＝135°；③见解析
【分析】
①先根据等角的余角相等证得∠BAC＝∠DAE，再根据全等三角形的判定证明
即可；
70
②根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质求得∠BCA＝∠E＝45°，再
根据直角三角形的两锐角互余求得∠CAF＝45°即可求解；
③延长 BF到 G，使得 FG=FB，根据全等三角形的判定与性质证明△AFB
≌△AFG，△CGA≌△CDA得到 CG=CD即可证得结论．
①证明：∵∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝90°，∠CAD+∠DAE＝90°，
∴∠BAC＝∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
AB=BD
∠BAC＝∠DAE
AC＝ED
∴△BAC ≌ △DAE（SAS），
②解：∵∠CAE＝90°，AC＝AE，∴∠E＝45°，
由（1）知△BAC ≌ △DAE，
∴∠BCA＝∠E＝45°，
∵AF⊥CB，∴∠CFA＝90°，∴∠CAF＝45°，
∴∠FAE＝∠CAF+∠CAE=45°+90°=135°；
③证明：延长 BF到 G，使得 FG=FB，
∵AF⊥BG，∴∠AFG＝∠AFB＝90°，
在△AFB和△AFG中，
BF=GF
∠AFB＝∠AFG
AF＝AF
∴△AFB ≌ △AFG（SAS）
∴∠ABF＝∠G, AB＝AG
∵△BAC ≌ △DAE，
∴ AB＝AD,∠CBA＝∠EDA,CB＝ED，
∴AG＝AD,∠ABF＝∠CDA，∴∠CGA＝∠CDA，
71
∵∠GCA＝∠DCA＝45°，
∴在△CGA和△CDA中，
∠GCA＝∠DCA
∠CGA＝∠CDA
AG＝AD
∴△CGA ≌ △CDA（AAS）
∴CG＝CD，
∵CG＝CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF，
∴CD＝2BF+DE．
六、单元质量检测作业
（一）单元质量检测作业内容
一、选择题（单项选择）
1．如果点 P（﹣2，b）和点 Q（a，﹣3）关于 x轴对称，则 a+b的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
2．如图，若△ABC与△A'B'C'关于直线 MN对称，BB'交 MN于点 O，则下列说
法不一定正确的是（ ）
A M A
B O B
N
C C
A．AC＝A'C' B．BO＝B'O C．AA'⊥MN D．AB＝B'C'
3. 如图，在△ABC中，∠C＝31°，∠ABC的平分线 BD交 AC于点 D，如果 DE
垂直平分 BC，那么∠A的度数为（ ）
A
D
B E C
72
A．31° B．62° C．87° D．93°
4．如图，AB＝AC，∠BAD＝ ，且 AE＝AD，则∠EDC的度数等于（ ）
A
E
B D C
A B C 90° ． ． ． ﹣ D．90°﹣
2 2
5．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若 BD
＝1，BC＝3，则 AC的长为（ ）
B
D
A C
A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题
6．北京天安门雄伟壮丽，用数学的眼光看，天安门主视图是 图形．
7．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分 AB，交 BC于点 E，垂足
为点 D，BE＝6cm，∠B＝15°，则 AC等于 ．
A
D
B E C
8．如图，在平面直角坐标系中，∠ABO＝60°，在坐标轴上找一点 C，使△ABC
为等腰三角形，则这样的 C点有 个．
73
三、解答题
9．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线 MN分别交 AB，AC于 D，E．若 AE
＝5，△BCD的周长为 17，求△ABC的周长.
10．如图，△ABC中，AB＝AC，D为 BC边的中点，DE⊥AB．
（1）求证：∠BAC＝2∠EDB；
（2）若 AC＝6，DE＝2，求△ABC的面积．
C
D
A E B
11．如图，△ABC中，∠BAC＝110°，DE、FG分别为 AB，AC的垂直平分线，
E，G分别为垂足．
（1）求∠DAF的度数；
（2）如果 BC＝10cm，求△DAF的周长．
74
A
E G
B D F C
12．在△ABC中，AB＝AC．
（1）如图 1，如果∠BAD＝30°，AD是 BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝ ；
（2）如图 2，如果∠BAD＝40°，AD是 BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝ ；
（3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用
式子表示： ；
（4）如图 3，如果 AD不是 BC上的高，AD＝AE，是否仍有上述关系？如有，
请你写出来，并说明理由．
A A A
E EE
B
D C B CD C B D
图 1 图 2 图 3
75
参考答案与试题解析
一、选择题
1．解：∵点 P（﹣2，b）和点 Q（a，﹣3）关于 x轴对称，
又∵关于 x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴a＝﹣2，b＝3．∴a+b＝1，故选 B．
2．解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线 MN对称，
∴AC＝A′C′，AA′⊥MN，BO＝B′O，故 A，B，C选项正确，
AB＝B′C′不一定成立，故 D选项错误，所以，不一定正确的是 D．故选：D．
3. 解：∵DE垂直平分 BC，∴DB＝DC，∴∠DBC＝∠C＝31°，
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝31°，∴∠A＝180°﹣31°×3＝87°，
故选：C．
4．解：设∠EDC＝x，∠B＝∠C＝y，
∴∠AED＝∠EDC+∠C＝x+y，
又∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝x+y，
则∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝2x+y，
又∵∠ADC＝∠B+∠BAD ，∴2x+y＝y+ ，解得 x＝ ．
2

∴∠EDC＝ ．故选：A．
2
5．解：延长 BD交 AC于 E，如图，
∵CD平分∠ACB，BD⊥CD，∴△BCE为等腰三角形，
∴DE＝BD＝1，CE＝CB＝3，
∵∠A＝∠ABD，∴EA＝EB＝2，∴AC＝AE+CE＝2+3＝5．故选 A.
B
D
A E C
二、填空题
6．解：天安门主视图是轴对称图形．
76
故答案为：轴对称．
7．解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，∴∠BAC＝90°﹣15°＝75°，
∵DE垂直平分 AB，BE＝6cm，∴BE＝AE＝6cm，
∴∠EAB＝∠B＝15°，∴∠EAC＝75°﹣15°＝60°，
1 1
∵∠C＝90°，∴∠AEC＝30°，∴AC＝ AE＝ ×6cm＝3cm，故答案为：3cm．
2 2
8．解：①当 AB＝AC时，在 y轴上有 2点满足条件的点 C，在 x轴上有 1点满
足条件的点 C．
②当 AB＝BC时，在 y轴上有 1点满足条件的点 C，在 x轴上有 2点满足条件
的点 C，有 1点与 AB＝AC时的 x轴负半轴的点 C重合．
③当 AC＝BC时，在 x轴，y轴上各有一点满足条件的点 C，有 1点与 AB＝
AC时的 x轴负半轴的点 C重合．
综上所述：符合条件的点 C共有 6个．故答案为：6．
三、解答题
9．解：∵MN是线段 AC的垂直平分线，∴DA＝DC，AC＝2AE＝10，
∵△BCD的周长为 17，∴BD+BC+CD＝17，∴BD+BC+AD＝17，
∴BC+AB＝17，∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝27．
10．解：（1）∵AB＝AC，D为 BC边的中点
77
∴AD⊥BC，2∠BAD=2∠CAD=∠BAC ∴∠B+∠BAD＝90°
∵DE⊥AB ∴∠B+∠EDB＝90°∴2∠BAD=2∠EDB=∠BAC
即∠BAC＝2∠EDB
（2）∵AB＝AC＝6，DE＝2 ∴S△ADB＝6
∵D为 BC边的中点 ∴S△ADC＝S△ADB＝6 ∴S△ABC＝12
11．解：（1）设∠B＝x，∠C＝y．
∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴110°+∠B+∠C＝180°，∴x+y＝70°．
∵AB，AC的垂直平分线分别交 BA于 E，交 AC于 G，
∴DA＝BD，FA＝FC，∴∠EAD＝∠B，∠FAC＝∠C．
∴∠DAF＝∠BAC﹣（x+y）＝110°﹣70°＝40°．
（2）∵AB，AC的垂直平分线分别交 BA于 E，交 AC于 G，
∴DA＝BD，FA＝FC，
∴△DAF的周长为：AD+DF+AF＝BD+DF+FC＝BC＝10（cm）．
A
E G
B C
D F
12．解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，AD是 BC上的高，∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠BAD＝30°，∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝75°，∴∠EDC＝15°．
（2）∵在△ABC中，AB＝AC，AD是 BC上的高，∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠BAD＝40°，∴∠BAD＝∠CAD＝40°，
∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝70°，∴∠EDC＝20°．
（3）∠BAD＝2∠EDC（或∠EDC＝ ∠BAD）
（4）仍成立，理由如下：∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，
∴∠BAD+∠B＝∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠AED+∠EDC＝（∠EDC+∠C）
+∠EDC＝2∠EDC+∠C
又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C ∴∠BAD＝2∠EDC．
78
故分别填 15°，20°，∠EDC＝ ∠BAD.
（二）单元质量检测作业属性表
对应单元作 对应学
序号 类型 难度 来源 完成时间
业目标 了解 理解 应用
1 选择题 1、2 √ 易 选编
2 选择题 1 √ 中 选编
3 选择题 3、4 √ 中 选编
4 选择题 4 √ 较难 选编
5 选择题 4 √ 较难 选编
30 分钟
6 填空题 1 √ 易 选编
7 填空题 4 √ 中 选编
8 填空题 4 √ √ 较难 选编
9 解答题 3 √ 中 选编
10 解答题 4 √ 中 选编
11 解答题 3 √ 较难 选编
12 解答题 3、4 √ 较难 选编
79

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