资源简介

初中数学单元作业设计
一、单元信息
基本信 学科 年级 学期 教材版本 单元名称
息 数学 八年级 上 人教版 第十三章轴对称
单元组
织方式 √ 自然单元 重组单元
序号 课时名称 对应教材内容
1 13.1.1 轴对称 第 13.1 节 58-60 页
2 13.1.2 线段垂直平分线的性质（1） 第 13.1 节 61-62 页
3 13.1.2 线段垂直平分线的性质（2）----作轴对 第 13.1 节 62-64 页
称图形的对称轴
课 4 13.2 画轴对称图形（1） 第 13.2 节 67-68 页
时 5 13.2 画轴对称图形（2）----关于坐标轴对称的 第 13.2 节 69-71 页
信 点的坐标的关系
息 6 13.3.1 等腰三角形（1）----性质 第 13.3 节 75-77 页
7 13.1.1 等腰三角形（2）-----判定 第 13.3 节 77-79 页
8 13.3.2 等边三角形（1） 第 13.3 节 79-80 页
9 13.3.2 等边三角形（2） 第 13.3 节 80-81 页
10 课题学习 最短路径问题（1）----将军饮马 第 13.4 节 85-86 页
11 课题学习最短路径问题（2）----造桥选址 第 13.4 节 86-87 页
12 数学活动 88-89 页
二、单元分析
（一）课标要求
1.图形的性质
（1）理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理:
2
线段垂直平分线上的的点到线段两端的距离相等;反之，到线段两端距离相等的
点在线段的垂直平分线上.
（2）了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理:等腰三角
形的两底角相等;底边上的高线、 中线及顶角平分线重合.探索并掌握等腰三角
形的判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形.探索等边三角形的性质定
理:等边三角形的各个角都等于 60°，及等边三角形的判定定理:三个角都相等
的三角形(或有一个角是 60°的等腰三角形)是等边三角形.
2.图形的变化
（1）通过具体实例了解轴对称的概念，探索它的基本性质:成轴对称的两个
图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分.
（2）能画出简单平面图形(点、线段、直线、三角形等)关于给定对称轴的
对称图形.
（3）了解轴对称图形的概念;探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆
的轴对称性质.
（4）认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形.
3.图形与坐标
在直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形
的对称图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系.
（二）教材分析
1.知识网络
2.内容分析
3
本章的主要内容是从生活中的图形入手，学习轴对称及其基本性质，了解轴
对称在现实生活中的广泛应用，并利用轴对称探索等腰三角形的性质，学习等腰
三角形的判定方法，并进一步学习等边三角形的性质.
第 1节“轴对称”中，教材立足于学生的生活经验和数学活动经历，从观察
现实生活中的对称现象开始.引出轴对称图形和两图形成轴对称的概念，概括出
轴对称的特征.结合探索对称点的关系，归纳得出对应点连线被对称轴垂直平分
的性质，并结合这一性质的得出，讨论垂直平分线的性质定理及其逆定理.
第 2节“画轴对称图形”中，首先通过操作对轴对称的性质进行了归纳，然
后探索出画简单平面图形关于给定对称轴对称的图形的一般方法，最后用坐标从
数量关系的角度刻画了轴对称.从观察和实验入手，归纳得出坐标平面上一个点
关于 x轴或 y轴对称的点的坐标的规律，并进一步探讨了如何利用这种规律在平
面直角坐标系中画出一个图形关于 x轴或 y轴对称的图形.
第 3节“等腰三角形”中，利用等腰三角形的轴对称性，得出了“等边对等
角”“三线合一”等性质，并进一步讨论了等腰三角形的判定方法以及等边三角
形的性质与判定方法等内容.
第 4节“课题学习最短路径问题”中安排了两个问题，分别是“牧马人饮马
问题”和“造桥选址问题”，解决这两个问题的关键是通过轴对称和平移等变化
把问题转化为“两点之间，线段最短”的问题，在解决这两个问题的过程中渗透
了化归的思想.
（三）学情分析
人教版教材十一章中，“三角形”一章已经要求让学生会用符号表示推理(证
明)，在本章，对于一些图形的性质(如线段垂直平分线的性质、等腰(边)三角形
的性质与判定等)，仍要求学生加以证明.学生刚开始接触用符号表示推理，但是
相对于上一章，推理的依据多了，图形、题目的复杂程度也增加了，因此会使部
分学生感到无处下手，这是本章教学的一个难点.
三、单元学习与作业目标
1.通过具体实例认识轴对称、轴对称图形，探索轴对称的基本性质，理解对
4
应点连线被对称轴垂直平分的性质.
2.探索简单图形之间的轴对称关系，能够按照要求画出简单平面图形(点、
线段、直线、三角形等)关于给定对称轴对称的图形;认识并欣赏自然界和现实生
活中的轴对称图形.
3.理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理:线
段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等;反之，到线段两端距离相等的点在
线段的垂直平分线上.
4.了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理;探索并掌握
等腰三角形的判定定理;探索并掌握等边三角形的性质定理及等边三角形的判定
定理.
5.能初步应用本章所学的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题，在
观察、操作、想象、论证、交流的过程中，发展数学抽象与直观想象的数学素养，
激发学习兴趣.
四、单元作业设计思路
5
1.分层设计：每课时作业分为基础性作业（必做）、精准推送作业（基础性
作业出错必做）、发展性作业（选做）。教师和学生根据不同情况进行选择。
2.精准推送：在基础巩固部分，每个知识点设计一个试题与一个推送试题。
在学生做错的情况下，学习后，继续用推送试题加强巩固。有条件的也可借助智
能环境自动推送。
3.动手操作：折纸、剪纸、设计图案等活动让学生感受数学的不同呈现形式。
4.信息技术：让学生感受“几何画板软件”感受信息技术让生活更加便利，
并在运动的过程中感受轴对称的性质。
5.五育并举：多学科综合，美术、物理、地理、阅读等跨学科作业的设计提
升学生学习兴趣，综合能力。
五、课时作业
第一课时（13.1.1 轴对称）
课时目标：
1.通过具体实例了解轴对称的概念，探索它的基本性质:成轴对称的两个图
形中，对应点的连线被对称轴垂直平分.
2.知道轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系.
3.理解线段垂直平分线的概念.
4．体会由具体到抽象认识问题的过程，感悟类比方法在研究数学问题中的
作用.
5．了解轴对称图形的概念;探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的
轴对称性质.
6.认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形.
作业 1（基础性作业）
1.作业内容
（1）下列奥运会会徽是轴对称图形吗？如果是，画出对称轴.
6
（2）下列各图形是轴对称图形吗？如果是，画出它们的一条对称轴.
（3）如图 1，剪纸作品是轴对称图形 A 与 A’是对应点，线段 AA’与直
线 MN 有什么关系？如图 2直线 MN 把剪纸分成两部分，直线两旁的部分关于直线
MN 对称，线段 AA’与直线 MN 有什么关系？
【答案】
（1）蒙特利尔与莫斯科的会徽是轴对称图形，如下图所示
（2）下图中，一般直角三角形不是轴对称图形，其他是轴对称图形，对称轴
如下图所示：
7
（3）直线 MN 是线段 AA’的垂直平分线
精准推送
（1）下面的图形是轴对称图形吗？如果是你能画出它的对称轴吗？
（2）下列各图形是轴对称图形吗？如果是，画出它们的一条对称轴.
（3）说一说轴对称图形与两个图形成轴对称的区别和联系.
【答案】
（1）如下图所示
（2）下图中，平行四边形不是轴对称图形，其他是轴对称图形，对称轴如下图
所示：
（3）区别：轴对称图形指的是一个图形沿对称轴折叠后这个图形的两个部分能
8
完全重合，而两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系，这两个图形沿
对称轴折叠后能够重合.
联系：把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形，把一
个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条对称轴对称.
2. 时间要求:10 分钟
3.评价设计作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A等,答案正确、过程正确.B 等，答案正确、过程
有问题.C 等，答案不正确，有过程不完整；答案
不准确，过程错误、或无过程
答题的规范性 A等,过程规范、答案正确.B 等，过程不够规范、
完整，答案正确.C 等，答案不规范或无过程，答
案错误.
解法的创新性 A等,解法有新意和独到之处，答案正确.B 等，解
法思路有创新，答案不完整或错误.C 等，常规解
法，思路不清晰，过程复杂或无过程.
综合评价等级 AAA、AAB 综合评价为 A等；ABB、BBB、AAC 综合
评价为 B等；其余情况综合评价为 C等.
4.作业分析与设计意图
第（1）题是对生活中的轴对称的识别.针对目标“了解轴对称图形和两个图
形成轴对称的概念.”提升数学抽象的核心素养.第（2）题是对抽象的平面图形
的轴对称的识别.针对目标了解轴对称图形的概念;探索等腰三角形、矩形、菱形、
正多边形、圆的轴对称性质.提升直观想象的核心素养.第（3）题针对目标：“知
道轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系.探索并成轴对称的两个图形的
性质和轴对称图形的性质”让学生掌握对比和类比的方法.
作业 2（发展性作业）
1. 作业内容
9
（1）利用网格线画线段 AB 的垂直平分线
（2）商标银行标识、汽车标牌等图案中，有许多是轴
对称图形，请收集这样的图案，画出草图，并与同学
进行交流和评价.
（3）如图所示，依照方法剪出窗花，也可自由设计
【答案】（1）
（2）（3）略
2.时间要求:15 分钟
3.评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A等,答案正确、过程正确.B 等，答案正确、过程
有问题.C 等，答案不正确，有过程不完整；答案
不准确，过程错误、或无过程
答题的规范性 A等,过程规范、答案正确.B 等，过程不够规范、
完整，答案正确.C 等，答案不规范或无过程，答
10
案错误.
解法的创新性 A等,解法有新意和独到之处，答案正确.B 等，解
法思路有创新，答案不完整或错误.C 等，常规解
法，思路不清晰，过程复杂或无过程.
综合评价等级 AAA、AAB 综合评价为 A等；ABB、BBB、AAC 综合
评价为 B等；其余情况综合评价为 C等.
4.作业分析与设计意图
第(1)题针对目标“理解线段垂直平分线的概念”提升学生直观想象的素养.
第(2)题培养学生用数学的眼光观察世界，提升数学抽象的核心素养.第(3)题让
学生感受对称的美，提升学生动手能力，体会数学的美.
第二课时（13.1.2 线段垂直平分线的性质（1））
课时目标：
1．理解线段垂直平分线的性质和判定.
2．能运用线段垂直平分线的性质和判定解决实际问题.
3．会用尺规经过已知直线外一点作这条直线的垂线，了解作图的道理.
作业 1（基础性作业）
1.作业内容
（1）如图，在△ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分线，AE=3cm，△ABD 的周长为
13cm，求△ABC 的周长.
（2）如图，AB=AC，MB=MC．直线 AM 是线段 BC 的垂直平分线吗？
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（3）巴依老爷和穷人都想在自己家前的路边修一口水井，贪婪的他要求穷人和
他对半出钱，巴依老爷想把水井修自家家门 A前到路边的最近距离 C处，穷人们
要求把水井修自家们 B前到路边的最近距离的 D处，你能找到 C、D点的位置吗？
【答案】
（1）19cm 解析 ∵DE 是 AC 的垂直平分线，AE=3cm，∴AD=CD，AC=2AE=2×
3=6cm，∴△ABD 的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=13cm，∴△ABC 的周长
=AB+BC+AC=13+6=19cm．（2）是 解析 ∵AB=AC，MB=MC，∴点 A、M在线段
BC 的垂直平分线上，∴直线 AM 是线段 BC 的垂直平分线.（3）如图所示：
精准推送
（1）如图，AB＝AC＝8 cm，AB 的垂直平分线交 AC 于点 D.若△ADB 的周长为 18 cm，
求 DC 的长．
（2）想一想，怎样只用圆规判断直线 l是否是线段 AB 的垂直平分线？
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（3）小熊很渴，突然看到前方有一条 V型的河，
你能画出小熊到河边最近的路线吗？
【答案】
（1）3cm 解析 ∵DM 是 AB 的垂直平分线，∴AD＝BD.设 CD 的长为 x，则 AD＝
AC－CD＝8－x.∵C△ADB＝AB＋AD＋BD＝8＋(8－x)＋(8－x)＝18,∴x＝3，即 CD 的
长为 3 cm.（2）参考方法：在直线 l上任取两点，比较到线段 AB 的距离.（3）
过点 A向 l左、l右作垂线段，并比较垂线段的大小.
2.时间要求:10 分钟
3.评价设计作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A等,答案正确、过程正确.B 等，答案正确、过程
有问题.C 等，答案不正确，有过程不完整；答案
不准确，过程错误、或无过程
答题的规范性 A等,过程规范、答案正确.B 等，过程不够规范、
完整，答案正确.C 等，答案不规范或无过程，答
案错误.
解法的创新性 A等,解法有新意和独到之处，答案正确.B 等，解
法思路有创新，答案不完整或错误.C 等，常规解
法，思路不清晰，过程复杂或无过程.
综合评价等级 AAA、AAB 综合评价为 A等；ABB、BBB、AAC 综合
评价为 B等；其余情况综合评价为 C等.
4.作业分析与设计意图
第（1）题是对线段垂直平分线性质的考察；第（2）题针对线段垂直平分线
的判定；第（3）题针对会用尺规经过已知直线外一点作这条直线的垂线，了解
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作图的道理.
作业 2（发展性作业）
1. 作业内容
（1）已知：如图，△ABC 的边 AB、AC 的垂直平分线相交于点 O.求证：点 P在
BC 的垂直平分线上.
（2）利用几何画板软件进行如下操作：
试一试：作线段 AB，构造线段 AB 的中点 C，过 C点构造线段 AB 的垂线 CD，
在直线CD上任取一点E,连接AE,BE，度量线段AE与 BE的长度.设置点 E的动画，
点 E在直线 CD 上移动的过程中，观察线段 AE 与 BE 的数量关系.
试一试：作线段 AB，CD，分别以点 A、B圆心，以 CD 为半径画圆，使得两
圆交于两点 E、F.改变 CD 的长度，追踪点 E、F,观察 EF 的轨迹.和思考并讨论为
什么？在线段 CD 的长度小于 AB 长度的一半时将会发生什么？
【答案】（1）连接 OA、OB、OC，∵点 O在 AB、AC 的垂直平分线上(已知),∴OA=OB、
OA=OC(线段垂直平分线上的点于线段两端点的距离相等),∴OB=OC(等量代
换),∴点O在BC的垂直平分线上(与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平
分线上)参考范例：
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2.时间要求:15 分钟
3.评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A等,答案正确、过程正确.B 等，答案正确、过程
有问题.C 等，答案不正确，有过程不完整；答案
不准确，过程错误、或无过程
答题的规范性 A等,过程规范、答案正确.B 等，过程不够规范、
完整，答案正确.C 等，答案不规范或无过程，答
案错误.
解法的创新性 A等,解法有新意和独到之处，答案正确.B 等，解
法思路有创新，答案不完整或错误.C 等，常规解
法，思路不清晰，过程复杂或无过程.
综合评价等级 AAA、AAB 综合评价为 A等；ABB、BBB、AAC 综合
评价为 B等；其余情况综合评价为 C等.
4.作业分析与设计意图
第（1）题是线段垂直平分线的性质与判定的综合运用，第（2）题让学生感
受线段垂直平分线的性质以及判定，为下一课线段垂直平分线的作图做好铺垫.
与信息技术学科的融合.几何画板软件为数学学习提供有力工具.利用信息技术
工具，可以制作图形，让图形动起来，测量功能有利用发现图形的位置关系和数
量关系.这些功能不仅培养学生理性思维，而且让学生感受信息技术的作用。
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第三课时(（13.1.2 线段垂直平分线的性质（2））课时目标：
1．会作轴对称图形的对称轴．
2.能用尺规作线段的垂直平分线．
3．进一步了解作图的一般步骤和作图语言，了解作图的依据．
4．运用尺规作图的方法解决简单的作图问题．
作业 1（基础性作业）
1.作业内容
（1）作下列图形的对称轴
（2）巴依老爷和穷人都想在自己家前的路边修一口水井，贪婪的他要求穷人和
他对半出钱，巴依老爷想把水井修在家门口的 A处，穷人们要求把水井修在家门
口的 B处，双方争执不下，找聪明的阿凡提解决他们的分歧，如果你是聪明的阿
凡提能使水井在路边而且双方都满意吗？
（3）已知：如图，△ABC 的边 BC 的垂直平分线 DE 分别与边 AB，BC 交于点 D，E。
求证：AB＞AC.
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【答案】
（1）选择一对对应点，连接对应点，作对应点连线的垂直平分线
（2）如下图作线段 AB 的垂直平分线交直线 l与点 C，则点 C即为所求.
（3）证明：∵DE 为 BC 边上的垂直平分线，∴BD=CD,∴BD+AD=CD+AD=AB.∵
ACAC
精准推送
（1）作下列图形的对称轴
（2）城市 A 与城市 B之间要建一条人工运河，如何建使得城市 A 与城市 B到运
河距离相等？画出示意图.
【答案】
（1）选择一对对应点，连接对应点，作对应点连线的垂直平分线
（2）作线段 AB 的垂直平分线.
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2.时间要求:10 分钟
3.评价设计作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A等,答案正确、过程正确.B 等，答案正确、过程
有问题.C 等，答案不正确，有过程不完整；答案
不准确，过程错误、或无过程
答题的规范性 A等,过程规范、答案正确.B 等，过程不够规范、
完整，答案正确.C 等，答案不规范或无过程，答
案错误.
解法的创新性 A等,解法有新意和独到之处，答案正确.B 等，解
法思路有创新，答案不完整或错误.C 等，常规解
法，思路不清晰，过程复杂或无过程.
综合评价等级 AAA、AAB 综合评价为 A等；ABB、BBB、AAC 综合
评价为 B等；其余情况综合评价为 C等.
4.作业分析与设计意图
第（1）题要利用尺规精确作图，与第一课时作业做对称轴不同。这是从直
观感知到精确作图的一个过程。针对目标学生能用尺规作线段的垂直平分线目标
的考察。第（2）题紧接上一课时巴依老爷的故事，针对目标运用尺规作图的方
法解决简单的作图问题。第（3）题需要添加辅助线，让学生由垂直平分线产生
对垂直平分线性质应用的联想，有添加辅助线解题的意识.
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
阅读小故事：倒过来想
宋朝有个历史学家叫司马光,他不仅因编著《资治通鉴》而流芳百世，而且
他在小时侯砸缸救人的故事至今仍广为流传。司马光有一次跟一群小伙伴玩耍,
其中一个小孩不小心跌入储满水的大缸里，由于缸太高，同伴们无法救出这个小
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孩，大家都慌了神。这时司马光把缸砸破,这样人便得救了。在“让人离开水”
有困难时，司马光设法“让水离开人”,这就是司马光的聪明所在。
倒过来想，就是逆向思考，这是数学中常用的一种思维方式。比如，本节中
对“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”进行逆向思考，经过证明就
得到了它的逆定理 -- 到线段两端距离相等的点在这条线役的垂直平分线上;又
如,对整式乘法法则和公式进行逆向思考。就得到了多项式因式分解的方法;再如,
探求证明的途径时,如果不能顺利地从条件出发推出结论,不妨逆向思考,即从结
论出发,寻找使结论成立的条件,往往能找到证明的途径。
学会“倒过来想”，有助于不断提高你提出问题和解决问题的能力。
2.时间要求:5 分钟
3.评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A等,答案正确、过程正确.B 等，答案正确、过程
有问题.C 等，答案不正确，有过程不完整；答案
不准确，过程错误、或无过程
答题的规范性 A等,过程规范、答案正确.B 等，过程不够规范、
完整，答案正确.C 等，答案不规范或无过程，答
案错误.
解法的创新性 A等,解法有新意和独到之处，答案正确.B 等，解
法思路有创新，答案不完整或错误.C 等，常规解
法，思路不清晰，过程复杂或无过程.
综合评价等级 AAA、AAB 综合评价为 A等；ABB、BBB、AAC 综合
评价为 B等；其余情况综合评价为 C等.
4.作业分析与设计意图
感受数学的应用，对称的美，提升学生的动手能力，应用意识.
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第四课时(13.2.1 画轴对称图形)
课时目标：
1. 能作出简单图形关于给定对称轴的对称图形.
2. 能应用轴对称知识进行简单的图案设计.
3. 能用轴对称的知识解决相应的数学问题.
作业 1（基础性作业）
1. 作业内容
（1）填空：轴对称图形性质特点
① 由一个平面图形可以得到它关于一条直线 l成轴对称的图形，这个图形
与原图形的——————、_______完全相同；
②新图形上的任意一点，都是原图形上某一点关于直线 l 的__________；
③连接任意一对对应点的线段被对称轴_______________。
l
（2）把下列各图补成以 a为对称轴的轴对称图形。
a aa
（3）任意画一个图形，作这个图形关于直线 l 的对称的图形，改变对称轴的位
置，或者改变其中一个图形的位置，得到图形，并且通过观察感受对应点所连线
段与对称轴的关系.
【答案】（1）①形状、大小，②对称点，③垂直平分
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（2）提示：①原图上找特殊点；
②画特殊点关于直线 a的对称点；
③依次连接各对称点。
（4）参考范例
精准推送
（1）已知直线 AB 和△DEF，作△DEF 关于直线 AB 的对称图形，将作图步骤
补充完整(如图所示)．
①分别过点 D，E，F作直线 AB 的垂线，垂足分别是点；
②分别延长 DM，EP，FN 至——————，使————=————，————=————，————=————；
③顺次连接————————————，得△DEF 关于直线 AB 的对称图形△GHI.
（2）作一个五角星关于与某条直线对称的图形，最少要选几个关键点？并画
出对称图形。
（3）自己动手在一张半透明的纸上画一个图形，将这张纸折叠，描图，再打开
纸，看看你得到了什么？改变折痕的位置并重复几次，你又得到什么？班级分享。
【答案】
（1）①M、P、N ②G、H、I,GM、DM,HP、EP，IN、FN
③GH、HI、IG（2）5 个，如图：
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（3）参考范例
2.时间要求:15 分钟
3.评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A等,答案正确、过程正确。B等，答案正确、过
程有问题。C等，答案不正确，有过程不完整；答
案不准确，过程错误、或无过程
答题的规范性 A等,过程规范、答案正确。B等，过程不够规范、
22
完整，答案正确。C等，答案不规范或无过程，答
案错误。
解法的创新性 A等,解法有新意和独到之处，答案正确。B等，
解法思路有创新，答案不完整或错误。C等，常规
解法，思路不清晰，过程复杂或无过程。
综合评价等级 AAA、AAB 综合评价为 A等；ABB、BBB、AAC 综合
评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）类题是对轴对称图形特点的再巩固。针对目标“ 能作出简单图
形关于给定对称轴的对称图形”，作铺垫，是后面画图的关键；第（2）类题是
找特殊点，作简单的对称图形。针对目标“ 能作出简单图形关于给定对称轴的
对称图形”，考察学生的动手能力和知识运用能力；第（3）类题是变换对称轴，
利用轴对称特点进行简单的图案设计。针对目标“ 能应用轴对称知识进行简单
的图案设计”，体验轴对称的美妙。
作业 2（发展性作业）1.作业内容（1）如图，四边形 ABCD 是轴对称图形，
BD 所在的直线是它的对称轴，AB=3.2,CD=2.4,求四边形 ABCD 的周长是多少？
A
B D
C
（2）如图，在笔直的公路 l的两旁有两个村庄 A、B,在公路上找一点 P，使点 P
到 A、B的距离之差最大，即 PA-PB 最大。请作图画出点的位置，并写出作法。
A ·
l
· B
23
（3）在 3×3的正方形网格中，格线的交点为格点，以格点为顶点的三角形称
格点三角形，如图是一个格点三角形，请你在每张图中画一个与 ABC 成轴对称
的格点三角形.
A A A
C B C CB B
A A A
C B C CB B
【答案】
（1）11.2 解析 ∵四边形 ABCD 是轴对称图形，∴BC=AB=3.2,AD=CD=2.4，∴
四边形 ABCD 的周长=2×（3.2+2.4）=11.2.
（2）作图略，作法：（1）作点 B关于直线 l的对称点 B’.（2）连接 AB’并延
长，交直线 l 于点 P，则 P 即为所求的点.（根据三角形两边之差小于第三边）
（3）参考范例
A A A
C B C CB B
A A A
C B C CB B
2.时间要求：20 分钟
24
3.评价设计作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A等,答案正确、过程正确。B等，答案正确、过
程有问题。C等，答案不正确，有过程不完整；答
案不准确，过程错误、或无过程
答题的规范性 A等,过程规范、答案正确。B等，过程不够规范、
完整，答案正确。C等，答案不规范或无过程，答
案错误。
解法的创新性 A等,解法有新意和独到之处，答案正确。B等，
解法思路有创新，答案不完整或错误。C等，常规
解法，思路不清晰，过程复杂或无过程。
综合评价等级 AAA、AAB 综合评价为 A等；ABB、BBB、AAC 综合
评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）（2）（3）题均是数学问题及实际问题的解决。针对目标“ 能
用轴对称的知识解决相应的数学问题”，考察学生灵活运用知识的能力，体验转
化的思想，感受网格中的轴对称，享受探究的乐趣。
25
第五课时(13.2.2 画轴对称图形——关于坐标轴对称的点的坐标的关系)
课时目标：
1.掌握在平面直角坐标系中，点关于 x轴和 y轴对称的坐标变化规律.
2.能在平面直角坐标系中画出一些简单图形关于 x轴和 y轴的对称图形.
3.能运用坐标中的轴对称特点解决简单的问题.
作业 1（基础性作业）
1.作业内容（1）分别写出下列各点关于 x轴和 y轴对称的点的坐标（3,6），
（-7,9），（5，-1）,（-7，-8）（0，-10）,（7,0）（2）①点 A(2，－3)向
上平移 6个单位后的点关于 y轴对称的点的坐标是———————．
②已知 A（－1，－2）和 B（1，3），将点 A 向______平移________个单位
长度后得到的点与点 B关于 y轴对称．
（3）如图，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别是 A(－1，5)，B (－5，3)，C(－
3，－1)；作出△ABC 关于 x轴、y轴的对称图形．
【答案】（1）关于 x轴对称：（3，-6），（-7，-9），（5，1），（-7，8），
（0,10），（7,0）
关于 y轴对称：（-3,6），（7,9），（-5，-1），（7，-8），（0，-10），
（-7,0）（2）①(-2,3)；②上 ，5（3）先写出 A、B、C对称点的坐标，再连
接。如上图。
精准推送
（1）①点P(3，4)关于 y轴对称的点的坐标是P′(a，b)，则 a－b＝_________．
26
②已知点（x，4-y）与点（1-y，2x）关于 y轴对称，则 xy= ______.
（2）根据下列点的坐标变化，判断它们进行了怎样的运动：
①（-1,3）——（-1，-3）； ②（-5,6）——（-5，-1）；
③（3，4）——（-3，4）； ④（-2,3）——（2，-3）
（3）如图，以长方形ABCD的中心为原点建立平面直角坐标系，点A的坐标为（-1，
x
2），写出 B、C、D的坐标。
A(-1,2) D
0
y
B C
【答案】
（1） ①-7；
②x+1-y=0,4-y=2x ,解得：x=2,y=1, xy=2.
（2） ①关于 x轴对称；
②向下平移 7个单位长度；
③关于 y轴对称；
④关于原点对称。
（3） B（-1，-2），C（1，-2），D（1,2）
2.时间要求:15 分钟
3.评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
27
答题的准确性 A等,答案正确、过程正确。B等，答案正确、过
程有问题。C等，答案不正确，有过程不完整；答
案不准确，过程错误、或无过程
答题的规范性 A等,过程规范、答案正确。B等，过程不够规范、
完整，答案正确。C等，答案不规范或无过程，答
案错误。
解法的创新性 A等,解法有新意和独到之处，答案正确。B等，
解法思路有创新，答案不完整或错误。C等，常规
解法，思路不清晰，过程复杂或无过程。
综合评价等级 AAA、AAB 综合评价为 A等；ABB、BBB、AAC 综合
评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4. 作业分析与设计意图
作业第（1）类题是直接写出关于两轴对称的点的坐标。针对目标“掌握在
平面直角坐标系中，点关于 x轴和 y轴对称的坐标变化规律”，考察学生对坐标
系中关于两轴对称的坐标规律的掌握情况；第（2）类题是考察学生准确区分平
移和对称的不同。针对目标“掌握在平面直角坐标系中，点关于 x轴和 y轴对称
的坐标变化规律”，培养学生的对比综合能力；第（3）类题是坐标系中画出关
于两轴对称的简单轴对称图形。针对目标“能在平面直角坐标系中画出一些简单
的关于 x轴和 y轴的对称图形”，考察学生在坐标系中关于两轴对称的作图能力
及知识运用能力。
作业 2（发展性作业）
1. 作业内容（1）在平面直角坐标系中，
已知 ABC，A(-4,1),B(-3,2),C(-1，-1),
利用关于坐标轴对称的规律特点，写出
ABC 关于 x轴对称的各顶点 A1、B1、C1的坐
标和关于 y轴对称的图形 A2B2C2.
28
（2）小球起始时位于（3,0）处，沿着所示方向击球，小球运动轨迹如图，用坐
标描述这个运动，找出轨迹上几个关于直线 l的对称点.
（3）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为 1，格点△ABC 的顶点 A，
C的坐标分别为(－4，5)，(－1，3)．
①请在图中正确作出平面直角坐标系；
②请作出△ABC 关于 y轴对称的△A′B′C′；
③点 B′的坐标为————————，△A′B′C′的面积为—————．
【答案】（1）关于 x轴对称的点：A1(-4,-1)，B1(-3,-2)，C1(-1,1)，关于 y轴
对称的点：A2(4,1),B2(3,2),C2(1,-1),再依次连接 A2，B2，C2 即可，图略（2）
（3,0）——（0,3）——（1,4）——（5,0） —— （8,3）——（7,4）——（3,0）
关于直线 l对称的点；（3,0）和（5,0），（1,4）和（7,4），（0,3）和（8,3）
①根据 A,C 两点的横坐标可知：y轴在点 C右侧 1个单位处南北方向，根据 A，C
两点的纵坐标可知: x 轴在 C点的下方 3个单位处东西方向，如图.
②可知 B(-2,1),写出 A,B,C 关于 y轴对称的点 A′,B′,C′的坐标，再顺
29
次连接即可,图略．
③(2,1),面积为 4
2.时间要求：20 分钟
3.评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A等,答案正确、过程正确。B等，答案正确、过
程有问题。C等，答案不正确，有过程不完整；答
案不准确，过程错误、或无过程
答题的规范性 A等,过程规范、答案正确。B等，过程不够规范、
完整，答案正确。C等，答案不规范或无过程，答
案错误。
解法的创新性 A等,解法有新意和独到之处，答案正确。B等，
解法思路有创新，答案不完整或错误。C等，常规
解法，思路不清晰，过程复杂或无过程。
综合评价等级 AAA、AAB 综合评价为 A等；ABB、BBB、AAC 综合
评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题是坐标系中关于两坐标轴对称的点的坐标规律的实际应用，
针对目标“掌握在平面直角坐标系中，点关于 x轴和 y轴对称的坐标变化规律。”
考察学生对本节知识点运用的熟练程度；第（2）题是，针对目标“能运用坐标
中的轴对称特点解决简单的问题”,让学生感受台球中的轴对称；第（3）题是根
据点的坐标如何建立坐标系，进而作出对称图形，针对目标“能运用坐标中的轴
对称特点解决简单的问题”，培养学生的逆向思维习惯。
30
第六课时(13.3.1 等腰三角形——性质)
课时目标：
1.探索并证明等腰三角形的两个性质.
2.能利用等腰三角形的性质证明两个角相等或两条线段相等.
3.结合等腰三角形性质的探索和证明过程，体会轴对称在几何问题中的作用.
作业 1（基础性作业）
1.作业内容
（1）①等腰三角形一内角是 130°，它的另外两内角是多少度？
②等腰三角形的一外角是 110°，它的另外两个角是多少度？
（2）如图， ABC 是等腰直角三角形，AB=AC,AD 是底边 BC 的高，求∠B,∠C,∠
BAD,∠DAC 的度数，并写出图中所有相等的线段。
B
D
C A
（3）如图，在 ABC 中,AB=AC,DB=DC.求证：①∠BAD=∠CAD;②AD BC
A
D
B C
【答案】
（1）①25°和 25°；②55° 和 55°或 70°和 40°
（2）解析 ∵AB=AC,∠BAC=900,∴∠B=∠C=450,∵AD BC,
∴∠ BAD=∠ CAD=450,BD=AD=CD. （ 3）解析 ①在 ABD 和Δ ACD 中，∵
AB=AC,DB=DC,AD=AD,∴ ABD≌ ACD,∴∠BAD=∠CAD.
②∵AB=AC,∴A 在 BC 的垂直平分线上.∵BD=CD,∴D 在 BC 的垂直平分线上,∴
AD 是 BC 上的垂直平分线,即 AD BC.
31
精准推送
（1）①等腰三角形的一内角等于 1000，则另外两内角的度数是 .
②已知一个等腰三角形两个内角的度数之比为 1：4，则这个等腰三角形
顶角的度数为
（2）如图 3，在△ABC 中，AB=AC，点 D、E在 BC 上，且 AD=AE.求证：BD=CE
（3）如图 4，AB=AE，BC=DE,∠B=∠E,AM⊥CD，垂足为点 M.求证：CM=DM
【答案】
0 0
(1)①40 和 40 ②20°或 120°
解析 ○1 设顶角为x度，每个底角为4x度.根据题意：x+4x+4x=180, 9x=180,
x=20.○2 设顶角为 4x 度,每个底角为 x度.根据题意：4x+x+x=180, 6x=180,
x=30,4x=4×30=120.
32
（2）解析 过 A作 AH BC 于 H 点.∵AB=AC,∴BH=CH.又∵AD=AE,∴DH=EH,∴
BH-DH=CH-EH,即 BD=CE.（3）解析 连接 AC,AD.在 ABC 和 AED 中，∵AB=AE,∠
B=∠E,BC=DE,∴ ABC ≌ AED，∴AC=AD.∵AM CD,∴CM=DM.
2.时间要求：15 分钟
3.评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A 等,答案正确、过程正确。B等，答案正确、过
程有问题。C等，答案不正确，有过程不完整；答
案不准确，过程错误、或无过程
答题的规范性 A 等,过程规范、答案正确。B等，过程不够规范、
完整，答案正确。C等，答案不规范或无过程，答
案错误。
解法的创新性 A 等,解法有新意和独到之处，答案正确。B等，
解法思路有创新，答案不完整或错误。C等，常规
解法，思路不清晰，过程复杂或无过程。
综合评价等级 AAA、AAB 综合评价为 A等；ABB、BBB、AAC 综合
评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4. 作业分析与设计意图
作业第（1）类题是有梯度的角度计算，针对目标“能利用等腰三角形的性
质证明两个角相等或两条线段相等”，引导学生将与角有关的知识系统化，达到
优化知识结构的目的，进一步巩固等腰三角形性质 1；第（2）（3）类题是利用
性质证明角或线段相等的典例，针对目标“能利用等腰三角形的性质证明两个角
相等或两条线段相等”，考察学生知识运用能力，对性质 2的掌握，体会等腰三
角形的性质是证明线段或角相等的常用方法。
33
作业 2（发展性作业）
1.作业内容（1）在 ABC 中，AB=AC,AE 是 ABC 的外角∠DAC 的平分线，请判断
AE 与 BC 的位置关系，并说明理由
D
A
E
B
C
（2）如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=30o，BF=CE，BD=CF，求∠DFE 的度数。
A
D E
B F C
图
（3）如图，在直角三角形 ABC 中,AB=AC,∠BAC=900,D 为 BC 的中点，点 M、N分
别在 AB,AC 上运动，且 AN=BM，试判断 DMN 的形状。
C
D
N
A BM
（3）如图，给出 6个直角三角形，在每个直角三角形中，以直角三角形的一边
为边画一个等腰三角形，使它的第三个顶点在直角三角形的其他边上。
34
【答案】
（1）AE∥BC 解析 理由：∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵∠DAC 是ΔABC 的外角,
∴∠DAC=∠B+∠C.又∵AE 平分∠DAC,∴∠DAE=∠CAE,∴∠DAE=∠B,∴AE∥BC.
（2）解析 ∵AB=AC,∴∠B=∠C=75°.在 FDB 和 EFC 中,DB=FC,∠B=∠
C,BF=CE,∴ FDB≌ EFC,∴∠FDB=∠EFC.∵∠DFC 是 FDB 的外角,∴∠DFC=∠
FDB+∠B,∴∠DFE=∠B=75°.
（3） DMN 是等腰直角三角形 解析 理由：连接 AD，∵AB=AC,∴∠B=∠C=45°.
∵D 是 BC 的中点,∴CD=AD=BD,∠CAD=∠BAD=45°,AN=BM,在ΔDNA 和ΔDMB
中,AN=BM,∠CAD=∠B,DA=DB,∴ΔDNA≌ΔDMB,∴DN=DM,∠NDA=∠MDB.又∵∠
MDB+∠MDA=90°,∴∠NDA+∠MDA=90°,∴ΔDMN 是等腰直角三角形.
（3）参考范例
2.时间要求：20 分钟
3.评价设计作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A 等,答案正确、过程正确。B等，答案正确、过
程有问题。C等，答案不正确，有过程不完整；答
案不准确，过程错误、或无过程
答题的规范性 A 等,过程规范、答案正确。B等，过程不够规范、
完整，答案正确。C等，答案不规范或无过程，答
35
案错误。
解法的创新性 A 等,解法有新意和独到之处，答案正确。B等，
解法思路有创新，答案不完整或错误。C等，常规
解法，思路不清晰，过程复杂或无过程。
综合评价等级 AAA、AAB 综合评价为 A等；ABB、BBB、AAC 综合
评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题融合了等腰、平分、平行三个知识要点，针对目标“能利用
等腰三角形的性质证明两个角相等或两条线段相等”，考察学生如何根据任两个
条件即可证明另外一个结论，并会知识系统归纳；第（2）（3）题是等腰三角形
性质的再应用，针对目标“能利用等腰三角形的性质证明两个角相等或两条线段
相等”，培养学生逻辑推理能力，正确分析并作出辅助线能力，让学生树立等腰
和全等要综合思考的意识；第（4）题是等腰三角形的作图，针对目标“结合等
腰三角形性质的探索和证明过程，体会轴对称在几何问题中的作用”，让学生感
受等腰三角形是轴对称图形。
第七课时(13.3.1 等腰三角形 2)
课时目标：
1.掌握等腰三角形的判定方法.
2.利用等腰三角形的判定方法证明相关问题，会用尺规作图作等腰三角形
作业 1（基础性作业）
1.作业内容
（1）已知三角形的两个角分别为 40°，70°，则该三角形为________.
（2）判断满足下列条件的角是不是等腰三角形：
①内角比为 2:2:5___________.
②内角比为 1:2:3___________.
（3）BD 是△ABC 的角平分线，∠ABD=36°，∠C=72°，则图中等腰三角形
36
有（ ）个.
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】（1）等腰三角形 （2）是，不是 （3）C
精准推送
（1）一个三角形有两个角相等，则该三角形为_________.
（2）判断满足下列条件的角是不是等腰三角形：
①内角比为 1:1:1___________.
②内角比为 1:2:1___________.
（3）如图，在△ABC 中，∠A=36°，AB=AC,BD 平分∠ABC,则图中等腰三角
形的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】（1）等腰三角形 （2）是，是 （3）C
2.时间要求:10 分钟
3.评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A等,答案正确、过程正确。B等，答案正确、过
程有问题。C等，答案不正确，有过程不完整；答
案不准确，过程错误、或无过程
答题的规范性 A等,过程规范、答案正确。B等，过程不够规范、
37
完整，答案正确。C等，答案不规范或无过程，答
案错误。
解法的创新性 A等,解法有新意和独到之处，答案正确。B等，
解法思路有创新，答案不完整或错误。C等，常规
解法，思路不清晰，过程复杂或无过程。
综合评价等级 AAA、AAB 综合评价为 A等；ABB、BBB、AAC 综合
评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
第（1）题考察学生对等腰三角形概念和判定的了解，第（2）题通过三角形
内角之间的比例关系检测学生对等腰三角形判定定理的掌握和运用，第（3）题
考察学生利用等腰三角形性质计算三角形内角，判定等腰三角形的能力.
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
（1）如图，AD＝BC，AC＝BD，求证：△EAB 是等腰三角形．
（2）如图，锐角△ABC 的两条高 BD，CE 相交于点 O，且 OB＝OC.求证：△
ABC 是等腰三角形；
（3）如图，在△ABC 中，∠A＝80°，∠B＝40°，请你用尺规作图法作一条直
线把如图所示的△ABC 分成两个等腰三角形，并通过计算说明你的分法的合理性．
38
【答案】
AD＝BC，
（1）解析 在△ADB 和△BCA 中， AC＝BD，∴△ADB≌△BCA(SSS),∴∠DBA＝∠
AB＝BA，
CAB,∴AE＝BE,∴△EAB 是等腰三角形．
（2）解析 ∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.∵锐角△ABC 的两条高 BD，CE 相交于
点 O，∴∠BEC＝∠CDB＝90°.∵∠OCB＋∠ABC＝∠OBC＋∠ACB＝90°(直角三角
形性质)∴∠ABC＝∠ACB（等角的余角相等），∴AB＝AC，∴△ABC 是等腰三角形.
（3）解析 作 BC 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 D，连接 CD，则直线 CD 把△ABC
分成了两个等腰三角形．理由如下：∵MN 垂直平分 BC,∴DC＝DB,∴∠DCB＝∠B
＝40°,∴CD＝BD,∴△BCD 是等腰三角形,∴∠ADC＝∠DCB＋∠B＝80°.∵∠A＝
80°,∴∠A＝∠ADC,∴AC＝CD,∴△ACD 是等腰三角形,∴直线 CD 把△ABC 分成两
个等腰三角形．
2.时间要求：20 分钟
3.评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A等,答案正确、过程正确。B等，答案正确、过
程有问题。C等，答案不正确，有过程不完整；答
案不准确，过程错误、或无过程
答题的规范性 A等,过程规范、答案正确。B等，过程不够规范、
完整，答案正确。C等，答案不规范或无过程，答
案错误。
39
解法的创新性 A等,解法有新意和独到之处，答案正确。B等，
解法思路有创新，答案不完整或错误。C等，常规
解法，思路不清晰，过程复杂或无过程。
综合评价等级 AAA、AAB 综合评价为 A等；ABB、BBB、AAC 综合
评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
第（1）题通过全等三角形判定定理，全等三角形性质定理，等腰三角形判
定定理的结合，考察学生对于三角形知识的综合运用能力，第（2）题该题涉及
等腰三角形性质，三角形高的性质，直角三角形的性质以及等腰三角形判定，综
合性比较强，有效锻炼学生对于三角形问题全面分析的能力，第（3）题该题操
作难度很高，即考察学生对于尺规作图的掌握，又考察学生对于等腰三角形性质
的利用，属于利用所学知识进行动手实践的题目，即锻炼学生分情况讨论的能力，
又锻炼学生动手操作的能力.
40
第八课时(13.3.2 等边三角形 1)
课时目标：
1.等边三角形是特殊的等腰三角形.
2.理解等边三角形的性质与判定.
作业 1（基础性作业）
1.作业内容
（1）等边三角形两条角平分线所夹锐角度数为__________.
（2）过等边三角形 ABC 的顶点 A作射线，若∠1=20°，则∠2=_______.
（3）如图，在△ABC 中，D 为 BC 的中点，AD⊥BC，E 为 AD 上一点，∠ABC
＝60°，∠ECD＝40°，则∠ABE 的度数为( )
A．10° B．15° C．20° D．25°
【答案】（1）60° （2）100° （3）C
精准推送
（1）等边三角形两条高所夹钝角度数为___________.
（2）如图，△ABC 是等边三角形，则∠1+∠2=_________.
（3）如图，AB=AC=4cm,DB=DC,若∠ABC=60°，则 BE=______
41
【答案】
（1）120° （2）120° （3）2cm
2.时间要求:10 分钟
3.评价设计作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A等,答案正确、过程正确。B等，答案正确、过
程有问题。C等，答案不正确，有过程不完整；答
案不准确，过程错误、或无过程
答题的规范性 A等,过程规范、答案正确。B等，过程不够规范、
完整，答案正确。C等，答案不规范或无过程，答
案错误。
解法的创新性 A等,解法有新意和独到之处，答案正确。B等，
解法思路有创新，答案不完整或错误。C等，常规
解法，思路不清晰，过程复杂或无过程。
综合评价等级 AAA、AAB 综合评价为 A等；ABB、BBB、AAC 综合
评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
第（1）题通过该题考察学生对于等边三角形基本性质的掌握水平，第（2）
题该题在考察学生等边三角形性质基础上与三角形外角，以及三角形平角进行结
合，锻炼学生简单的综合运用能力，第（3）题该题即考察学生等边三角形的判
定又考察等边三角形的性质，同时与全等三角形一起分析判断才能得出正确答案，
真实检测学生对于等边三角形性质和判定的掌握水平.
42
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
（1）如图，AD 是等边三角形 ABC 的中线，AE＝AD，求∠EDC 的度数.
（2）如图，等边三角形 ABC 中，BD 平分∠ABC，点 E在 BC 的延长线上，CE＝CD，
求证：DB＝DE.
（3）△ABC 和△CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点 C,连接
AF和BE.①请同学们测量一下线段AF和BE有怎样的数量关系？你能证明你的结
论吗，如果能，请写一下证明过程.②将 1图中的△CEF 绕点 C旋转一定的角度，
得到图 2，请同学们动手测量一下 AF 和 BE 又有怎样的数量关系，你能通过证明
进行解释吗？
【答案】（1）解析 ∵AD 是等边三角形 ABC 的中线，∴AD⊥BC,AD 平分∠BAC，
1 1
∴∠ADC=90°，∠DAE＝ ∠BAE=30°.∵AE=AD,∴∠ADE＝ (180°- ∠
2 2
1
DAE)= (180°- 30°)=75°,∴∠EDC=90°-∠ADE=90°- 75°=15°.
2
（2）解析 ∵△ABC 是等边三角形，BD 平分∠ABC，∴∠BCA＝60°，∠DBC＝30°.
43
∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠E,∴∠BCA＝∠CDE＋∠E＝2∠E＝60°,∴∠E＝30°,∴
∠DBC＝∠E＝30°,∴DB＝DE.（3）①AF=BE 解析 ∵△ABC 和△CEF 是等边三
角形,∴AC=BC,∠ACF=∠BCE=60°，CF=CE,∴△ACF≌△BCE（SAS）,∴AF=BE ②
①中的结论依然成立.∵△ABC 和△CEF 是等边三角形,∴AC=BC,∠ACB=∠
ECF=60°，CF=CE,∴∠ACB-∠BCF=∠ECF-∠BCF,∴∠ACF=∠BCE,∴△ACF≌△BCE
（SAS）,∴AF=BE.
2.时间要求:20 分钟
3.评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A等,答案正确、过程正确。B等，答案正确、过
程有问题。C等，答案不正确，有过程不完整；答
案不准确，过程错误、或无过程
答题的规范性 A等,过程规范、答案正确。B等，过程不够规范、
完整，答案正确。C等，答案不规范或无过程，答
案错误。
解法的创新性 A等,解法有新意和独到之处，答案正确。B等，
解法思路有创新，答案不完整或错误。C等，常规
解法，思路不清晰，过程复杂或无过程。
综合评价等级 AAA、AAB 综合评价为 A等；ABB、BBB、AAC 综合
评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
第（1）题该题把等边三角形性质，等腰三角形性质，角的计算相结合进行
考察，让学生区分等边三角形和等腰三角形的区别和联系，能熟练应用，第（2）
题利用等边三角形的性质，等腰三角形的判定定理，以及三角形外角的知识，培
养学生利用三角形知识解决综合性问题的能力，第（3）题对等边三角形的性质
进一步巩固，同时引入图形运动的变化，让学生通过动手操作前后对照分析总结
44
出规律，培养学生的动手能力和图形动态思维能力，感受图形变换前后几何推理
过程的区别和联系.
第九课时(13.3.2 等边三角形 2)
课时目标：
1.探索含有 30°角的直角三角形的性质.
2.理解含 30°角的直角三角形的性质，并会进行有关的计算和证明.
作业 1（基础性作业）
1.作业内容
（1）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=6,那么 AB=_______.
（2）若等腰三角形的顶角是 30°，腰长是 4cm，则该三角形的面积是_____cm .
（3）一棵树在一次强台风中离地面 5米处折断倒下，倒下部分与地面成 30°角，
这棵树在折前的高度为___________米.
【答案】（1）12 （2）4 （3）15
精准推送
（1）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=16,那么 BC=_______.
（2）若等腰三角形底角是 30°，底边上的高是 9cm,则其腰长为________cm,顶
角为______°.
（3）小丽家（图中 O处）门前有一条东西走向的路，经测得水塔（在图中 A处）
在距离她家北偏东 60°方向的 500 米处，那么水塔所在位置到公路的距离 AB 是
____________米.
45
【答案】（1）8 （2）18，120°（3）250
2.时间要求:10 分钟
3.评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A等,答案正确、过程正确。B等，答案正确、过
程有问题。C等，答案不正确，有过程不完整；答
案不准确，过程错误、或无过程
答题的规范性 A等,过程规范、答案正确。B等，过程不够规范、
完整，答案正确。C等，答案不规范或无过程，答
案错误。
解法的创新性 A等,解法有新意和独到之处，答案正确。B等，
解法思路有创新，答案不完整或错误。C等，常规
解法，思路不清晰，过程复杂或无过程。
综合评价等级 AAA、AAB 综合评价为 A等；ABB、BBB、AAC 综合
评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
第（1）题考察学生对于 30°直角三角形性质定理的基本计算能力，第（2）
题通过与等腰三角形相结合，培养学生灵活利用 30°直角三角形的性质解决问
题的能力，第（3）题通过与实际问题相结合，培养学生利用该性质解决实际问
题的能力.
作业 2（发展性作业）
46
1.作业内容
1
（1）如图，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD⊥AB.求证：AD＝ AB.
4
（2）如图，在△ABC 中，AB＝AC，BC＝12 cm，∠BAC＝120°，过点 A作 AD⊥AC
交 BC 于点 D，求 AD 的长.
（3）如图，一艘轮船由南向北航行，在 A处测得小岛 P在北偏西 15°方向上，
2h 后，轮船在 B处测得小岛 P在北偏西 30°方向上，在小岛 P处周围 18km 内有
暗礁.若轮船仍以 15km/h 的速度向前航行，则有无触礁的危险？
【答案】
1
（1） 解析 ∵∠ACB＝90°，∠B＝30°,∴AC＝ AB，∠A=90°-∠B=60°.
2
∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°,∴∠ACD=90°-∠A＝30°.在 Rt△ACD 中，∠ACD＝
1 1
30°,∴AD＝ AC＝ AB.
2 4
1
（2）解析 ∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C= (180°-∠BAC)=30°.∵AD
2
⊥AC,∴∠CAD=90°,∴∠BAD=∠BAC -∠CAD=120°-90°=30°,CD=2AD,∴∠BAD=
47
∠B,∴BD=AD.∵BC=BD+CD=12cm,∴AD+2AD=12cm,∴AD=4cm.（3）解析 过点 P 作
PD⊥AB，交AB的延长线于点D,∵由题可得∠A=15°，∠PBD=30°,∴∠BPA=∠PBD-
∠A=30°-15°=15°,∴∠BPA=∠A，∴PB=AB=15×2=30（海里）.在 Rt△BPD 中，
1
∠PBD=30°,∴PD= PB=15 海里.∵15 海里＜18 海里，∴轮船不改变方向仍继续向
2
前航行有触礁的危险.
2.时间要求:20 分钟
3.评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A等,答案正确、过程正确。B等，答案正确、过
程有问题。C等，答案不正确，有过程不完整；答
案不准确，过程错误、或无过程
答题的规范性 A等,过程规范、答案正确。B等，过程不够规范、
完整，答案正确。C等，答案不规范或无过程，答
案错误。
解法的创新性 A等,解法有新意和独到之处，答案正确。B等，
解法思路有创新，答案不完整或错误。C等，常规
解法，思路不清晰，过程复杂或无过程。
综合评价等级 AAA、AAB 综合评价为 A等；ABB、BBB、AAC 综合
评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
第（1）题通过简单的几何推理题目培养学生利用该性质分析证明的能力，
第（2）题通过该性质与等腰三角形的性质以及角与线段的加减运算的综合考察，
培养学生利用所学知识综合分析，解决问题的能力，第（3）题本题即考察 30°
直角三角形的性质，又利用到外角的知识，点到直线的距离，垂线段最短的知识，
48
地理学科中的方位知识，不仅考察学生对于知识的综合运用能力，又考察同学们
的生活常识，切实培养学生利用所学知识解决实际问题的能力.
第十课时(课题学习最短路径问题（1）--将军饮马)
课时目标：
1.理解并掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上的某一点距离之和为最
小值时点的位置的确定.
2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想.
作业 1（基础性作业）
1.作业内容
（1）如图，直线 l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在 l上的某处修建一个水泵
站，向 P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则
所需要管道最短的是（ ）
A. B. C. D.
（2）如图，河南某区受新冠疫情影响，要求居民居家隔离。为了不影响居民的
生活，要在街道 l上搭建一个物品配送站 D，向小区 A，B配送物资（街道用直
线 l表示）．
[1]若配送站 D向小区 A，B提供物资如图①，则配送站 D应建在什么地方，才能
使它到小区 A，B的距离之和最短？[2]若配送站 D向小区 A，B提供物资如图②，
则配送站 D应建在什么地方，才能使它到小区 A，B的距离之和最短？
49
【答案】
（1）C
（2）解：[1]配送站 D的位置如图 1所示；利用两点之间线段最短。
[2]配送站 D的位置如图 2所示．利用轴对称解决将最短路径问题转化为“两点
之间，线段最短”问题。
精准推送
（1）如图，直线 l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在 l上的某处修建一个水泵站，
向 P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需
要管道最短的是（ ）
A． B．
C． D．
（2）如图，为了加强疫情防控，小区 A，B 的居民要到街道（直线 l）P 处做核
算检测，为使小区 A，B的居民到核算检测处 P 的路程和最短，应该在何边搭建
核算检测站，请在直线 l上画出核算检测站P的位置。
【答案】（1）B （2）答案：如图，点 P即是所作的
点
50
2.时间要求:10 分钟
3.评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A等,答案正确、过程正确。B等，答案正确、过
程有问题。C等，答案不正确，有过程不完整；答
案不准确，过程错误、或无过程
答题的规范性 A等,过程规范、答案正确。B等，过程不够规范、
完整，答案正确。C等，答案不规范或无过程，答
案错误。
解法的创新性 A等,解法有新意和独到之处，答案正确。B等，
解法思路有创新，答案不完整或错误。C等，常规
解法，思路不清晰，过程复杂或无过程。
综合评价等级 AAA、AAB 综合评价为 A等；ABB、BBB、AAC 综合
评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图作业第（1）题让学生回顾课上所讲内容，为接下来的练
习做铺垫。作业第（2）题以可操作性作业为背景。在动手实践的过程中加深理
解将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”的做法。
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
（1）如图，八年级举办庆元旦晚会，桌子摆成两条直线 BA、BC，BA 桌子上
摆满了橘子，BC 桌子上摆满了糖果，坐在点 P 处的小明先拿橘子再拿糖果，请
你帮他设计路线，使其行走的路程最短。（保留作图痕迹）
51
（2）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝8，AD 平分∠CAB
交 BC 于 D 点，E，F分别是 AD，AC 上的动点，则 EC+EF 的最小值为_______
（3）如图，滑冰比赛中，运动员要从 A处滑到 B处，过程中他必须先滑到栏杆
l的 P处，然后再滑到栏杆 m的 Q 处，最后到达 B点才算完成赛程。为了赢得比
赛，他应该如何选择地点 P、Q，才能使所走路程 AP+PQ+QB 最短？（假设栏杆 l、
m为直线）
【答案】
（1）如图所示：C、D点即为所求．
（2）4 解析 如图，过点 C作 CF′⊥AB 于点 F′，交 AD 于 E，过点 E作 EF⊥
AC 于 F，则∠BF′C＝90°，∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝8，∴CF′＝4，
52
∵AD 平分∠CAB 交 BC 于 D 点，E，F分别是 AD，AC 上的动点，∴F与 F′关于 AD
对称，∴CE+EF＝CE+EF′，当 C、E、F′三点共线，且 CF′⊥AB 时，CE+EF 取得
最小值 4；
（3）解析 如图所示，分别作点 A关于直线 l的对称点 A/，点 B关于直线 m的
对称点 B/，连接 A/B/，分别交 l，m于点 P，Q，连接 AP、BQ，则路程 AP+PQ+BQ
最短．
2.时间要求（20 分钟）
3.评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A等,答案正确、过程正确。B等，答案正确、过
程有问题。C等，答案不正确，有过程不完整；答
案不准确，过程错误、或无过程
答题的规范性 A等,过程规范、答案正确。B等，过程不够规范、
完整，答案正确。C等，答案不规范或无过程，答
案错误。
53
解法的创新性 A等,解法有新意和独到之处，答案正确。B等，
解法思路有创新，答案不完整或错误。C等，常规
解法，思路不清晰，过程复杂或无过程。
综合评价等级 AAA、AAB 综合评价为 A等；ABB、BBB、AAC 综合
评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题考查学生灵活应用轴对称解决最短路径问题的能力，体会无
论题目如何变化，都是利用轴对称将线段和最小问题转化为两点之间线段最短问
题。作业第（2）题涉及到 30°角所对直角边等于斜边的一半，角平分线到角两
边的距离相等等知识点来解决最短路径问题，考查学生综合知识运用的能力。作
业第（3）题涉及两个动点问题，考查学生敏捷的思维，举一反三的能力。以便
提高综合、灵活运用及解决生活实际问题的能力。
第十一课时(课题学习最短路径问题（2）--造桥选址)
课时目标：
1. 理解并掌握平面内两平行线异侧有两个点，则在平行线间何处作垂线段
使得顺次连接的三条线段之和最小的位置的确定。
2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想
作业 1（基础性作业）
1.作业内容
（1）有一以互相平行的直线 a、b为岸的河流，其两侧有村庄 A和村庄 B，现在
要在河上建一座桥梁 MN（桥与河岸垂直），使两村庄之间的距离最短，从作图
痕迹上来看，正确的是（ ）
A． B．
54
C． D．
（2）如图，直线直线 l1//l2 ,A,B 为两定点，M,N 分别在直线 l1，l2上，且 MN⊥l2，
请确定 M,N 的位置，使 AM+MN+BN 的值最小.
【答案】
（1）C（2）过 A作 AA1⊥l1，且 AA1=MN，连 A1B，交 l2于 N，过 N作 MN⊥l2交 l1于
M，连接 AM，则 AM+MN+BN 最小．
精准推送
（1）A，B两地在一条河的两岸，现要在河上架一座桥 MN，若河岸平行，MN 与
河岸垂直，想要使路径 AMNB 最短，下面有四种设计方案，你认为最合适的是
（ ）
（2）如图所示，在一条河的两岸有两个村庄，现在要在河上建一座小桥，桥的
55
方向与河岸垂直，设河的宽度不变，试问：桥建在何处，才能使从 A到 B的距离
最短？保留作图痕迹并说明理由．
【答案】（1）D（2）解析：如图，作 BB/垂直于河岸 GH，使 BB/等于河宽，连接
AB/，与河岸 EF 相交于 P，作 PD⊥GH，交 GH 于点 D，则 PD//BB/且 PD=BB/．连接
BD，利用平行四边形的性质可知 PB/=BD．根据“两点之间，线段最短”，可知
AB/最短，即从 A到 B，路径 A P D B最短，故桥应建在 PD 处．
2.时间要求:10 分钟
3.评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A等,答案正确、过程正确。B等，答案正确、过
程有问题。C等，答案不正确，有过程不完整；答
案不准确，过程错误、或无过程
答题的规范性 A等,过程规范、答案正确。B等，过程不够规范、
完整，答案正确。C等，答案不规范或无过程，答
案错误。
解法的创新性 A等,解法有新意和独到之处，答案正确。B等，
解法思路有创新，答案不完整或错误。C等，常规
56
解法，思路不清晰，过程复杂或无过程。
综合评价等级 AAA、AAB 综合评价为 A等；ABB、BBB、AAC 综合
评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题让学生回顾课上所讲基础内容，为接下来的练习做铺垫。考
查对造桥选址问题的初步理解。作业第（2）题是知识点的直接应用，考查学生
利用平移将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题，在动手操作的过
程中加深理解。
作业 2（发展性作业）
1. 作业内容（1）如图，沙河在 CC′处直角转弯，河宽均为 5米，从 A处到达 B
处，须经两座桥：DD′，EE′（桥宽不计），设沙河以及两座桥都是东西、南北
方向的，A、B在东西方向上相距 65 米，南北方向上相距 85 米，恰当地架桥可
使 ADD′E′EB 的路程最短，请你通过作图找到建桥的合适位置？
（2）在河岸的两侧新建两个居民小区 A，B，现计划沿河岸修建一条长为 a的绿
化带 MN（宽度不计），供小区居民散步休息，当 M，N选在何处时，路程 AM+BN
的和最小？请你设计方案，找出 MN 的位置
【答案】
57
（1）解析：作 AF⊥CD，且 AF=河宽作 BG⊥CE，且 BG=河宽，连接 GF，与河岸相
交于 E′、D作 DD′、EE′即为桥．
（2）如图所示
2.时间要求（20 分钟）
2. 评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A等,答案正确、过程正确。B等，答案正确、过
程有问题。C等，答案不正确，有过程不完整；答
案不准确，过程错误、或无过程
答题的规范性 A等,过程规范、答案正确。B等，过程不够规范、
完整，答案正确。C等，答案不规范或无过程，答
案错误。
解法的创新性 A等,解法有新意和独到之处，答案正确。B等，
解法思路有创新，答案不完整或错误。C等，常规
解法，思路不清晰，过程复杂或无过程。
58
综合评价等级 AAA、AAB 综合评价为 A等；ABB、BBB、AAC 综合
评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题中有固定长度的线段，常用的方法是构造平行四边形，考查
将问题转化为平行四边形的问题解答。作业第（2）题考查利用平移将最短路径
问题转化为线段最短问题，感悟转化思想。
第十二课时(数学活动)
课时目标：
1.能写出轴对称的美术字，画出它们的对称轴.
2.能利用轴对称设计图案.
3.探索并证明等腰三角形中相等的线段.
作业 1（基础性作业）
1.作业内容
（1）下列汉字中，哪些可以看成轴对称图形？是轴对称图形的画出它们的
对称轴。
草 人 水 中 甲
（2）利用一条线段，一个圆，一个正三角形设计一个轴对称图案，并说明
你要表达的含义。（3）如图 AD 是等腰△ABC 的顶角的平分线，DE⊥AB 于点 E，
DF⊥AC 于点 F，若 DE=3，DF=_____
【答案】
（1）草，中，甲 （2）不唯一，只要设计的图案是成轴对称的即可
（3）3
59
精准推送
（1）在 0到 9，十个数中，是轴对称图形有哪些？是轴对称图形的画出它们的
对称轴。
（2）用两个圆，两个三角形，两条线段为构件，构思出有生活意义的成轴对称
的一对图形，并写出一两句贴切的解说词。
（3）如图，等腰△ABC 中，AB=AC，点 D和 E分别是 AB 和 AC 的中点，BD=10，
则 CE 等于_____
【答案】
（1）0，3，8 （2）不唯一，只要设计的图案是成轴对称的即可
（3）10
2.时间要求:10 分钟
3.评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A等,答案正确、过程正确。B等，答案正确、过
程有问题。C等，答案不正确，有过程不完整；答
案不准确，过程错误、或无过程
答题的规范性 A等,过程规范、答案正确。B等，过程不够规范、
完整，答案正确。C等，答案不规范或无过程，答
案错误。
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解法的创新性 A等,解法有新意和独到之处，答案正确。B等，
解法思路有创新，答案不完整或错误。C等，常规
解法，思路不清晰，过程复杂或无过程。
综合评价等级 AAA、AAB 综合评价为 A等；ABB、BBB、AAC 综合
评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题考查对生活中常见轴对称美术字的辨别，并能画出它们的对
称轴。作业第（2）题考查利用简单图形设计轴对称图案的能力。在动手实践中
感受数学美。作业第（3）题考查利用等腰三角形的对称性，探索出等腰三角形
中有些边是相等的。
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
（1）请你运用轴对称的知识设计一个我们的班徽，并说明你的设计意图。
（有能力的可以利用计算机进行设计）
（2）如图，在△ABC 中，AB=AC，AM 是 BC 边上的中线，点 N在 AM 上，
猜一猜 BN 和 CN 相等吗？如果相等，试着证明。
（3）类比等腰三角形，探究等边三角形中有哪些相等的线段。并选择任意一组
证明。
【答案】
（1）不唯一，只要图案成轴对称，学生解释合理即可（2）相等 理由如下 ∵
AB＝AC，AM 是 BC 边的中线，∴∠BAM＝∠CAM （三线合一）.∵AN＝AN,∴△ABN
≌△ACN （SAS）,∴NB＝NC（3）答案不唯一
2.时间要求:20 分钟
61
3.评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A等,答案正确、过程正确。B等，答案正确、过
程有问题。C等，答案不正确，有过程不完整；答
案不准确，过程错误、或无过程
答题的规范性 A等,过程规范、答案正确。B等，过程不够规范、
完整，答案正确。C等，答案不规范或无过程，答
案错误。
解法的创新性 A等,解法有新意和独到之处，答案正确。B等，
解法思路有创新，答案不完整或错误。C等，常规
解法，思路不清晰，过程复杂或无过程。
综合评价等级 AAA、AAB 综合评价为 A等；ABB、BBB、AAC 综合
评价为 B等；其余情况综合评价为 C等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题关注学生是否有清晰地设计意图，能否利用轴对称进行设计，
进一步理解和掌握轴对称的性质。作业第（2）题考查等腰三角形对称性得出一
些线段相等，并利用等腰三角形三线合一的性质，全等三角形的判定来证明结论。
作业第（3）题发展学生的探究能力和数学建模思想。
62
六、单元质量检测作业
（一）单元质量检测作业内容
一、选择题
1.在一些汉字的美术字中，有的是轴对称图形，下面四个美术字中不可以看作是
轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2.如图，已知 ED是 BC的垂直平分线，AB=3,AC=8，则△ABD 的周长为（ ）
图 13-1
A．8 B．9 C．10 D．11
3.点 A（5，-6）关于 x轴的对称点 B的坐标是（ ）
A.（-5，-6） B.（5,6） C.（-5,6） D.（-6,5）
4.如果等腰三角形的两边长分别为 4和 9，则它的周长为（ ）
A.17 B.13 C.22 D.17 或 225.
5.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为
点 E,DE=6,则 BC= ( )
图 13-2
A．12 B．16 C．18 D．20
6.已知：△ABC 中，∠B、∠C的角平分线相交于点 D，过 D作 EF//BC 交 AB 于点
E，交 AC 于点 F．AB=8,AC=9,则△AEF 的周长为（ ）
63
图 13-3
A.17 B.15 C.13 D.117．
7.如图，点 P 是∠AOB 内任意一点，OP=2cm，点 M 和点 N 分别是射线 OA 和射线
OB 上的动点，△PMN 周长的最小值是 2cm，则∠AOB 的度数是（ ）．
图 13-4
A．60° B．30 C．45° D．120°
二、填空题
8.在等腰三角形 ABC 中，AB=AC，∠A=40°，则∠B=_________.
9.如图,正三角形网格中,已有两个小正三角形被涂黑,再将图中其余小正三角形
涂黑一个,使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有______种.
图 13-5
10.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 50°，则其顶角为_____________.
11．如图是“人字形”钢架，其中斜梁 AB＝AC，顶角∠BAC＝120°，AD 为支柱
（即底边 BC 的中线），两根支撑架 DE⊥AB，DF⊥AC，则 AF 与 FC 之间的数量关
系为：_________________.
64
图 13-6
12.如图，过边长为 6 的等边△ABC 的边 AB 上一点 P，作 PE⊥AC 于 E，Q 为 BC
延长线上一点，当 PA＝CQ 时，连 PQ 交 AC 边于 D，则 DE 的长为_______________.
图 13-7
三、解答题
13．如图，在△ABC 中，AB＝BC＝12cm，∠B＝60°，有一动点 M自 A向 B以 1 cm/s
的速度运动，动点 N自 B向 C以 2 cm/s 的速度运动，若 M，N同时分别从 A，B
出发．(1)经过多少秒，△BMN 为等边三角形；(2)经过多少秒，△BMN 为直角三
角形．
图 13-8
14.如图，∠BOC=β，点 A在 OB 上，且 OA=2，按下列要求画图：以 A为圆心，2
为半径向右画弧交 OC 于点 A1，得第 1条线段 AA1；再以 A1为圆心，2为半径向右
画弧交 OB 于点 A2，得第 2条线段 A1A2；再以 A2为圆心，2为半径向右画弧交 OC
于点A3，得第3条线段A2A3；…(1)当β=10°时，则∠A1AA2=______，∠A2A1A3=______，
∠A3A2A4=______；(2)当画第 n条线段时，则∠AnAn-1An+1=__________（用含β的式
65
子表示）；(3)若只能画 4条线段，求β的范围.
图 13-9
15.如图，C为线段 AE 上一动点(不与点 A、E重合)，在 AE 同侧分别作等边三角
形 ABC 和等边三角形 CDE.（1）线段 AD 与 BE 相等吗？请证明你的结论；（2）
设 AD 与 BE 交于点O，求证：OC 平分∠AOE.
图 13-10
【答案】
1.D 解析 根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后
两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此
判断即可。四个汉字中只有“学”字不可以看作轴对称图形。
2.D 解析 ∵ED 是 BC 的垂直平分线,∴CD=BD,∴C△ABD=AB+AD+BD
=AB+AD+DC=AB+AC.又 AB=3,AC=8,∴C△ABD =3+8=11.所以选 D.
3.B 解析 关于 x 轴对称，横坐标不变，纵坐标变为相反数，所以点 B
的坐标（5,6），所以选 B
4.C 解析 此题分两种情况讨论：①当腰长为 4，底边为 9时，因为 4+4
＜9，两边之和小于第三边，因此不能构成三角形，此种情况舍去；②当腰
长为 9，底边为 4时，可以构成三角形，此时周长为 9+9+4=22;所以选 C
5.C 解析 ∵DE⊥AB,∴∠DEB=∠DEA=90°.∵在 Rt△DBE 中，∠
B=30°,DE=6∴DB=2DE=12.∵AD 是△ABC 的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB,∴
DC=DE=6,∴BC=DB+DC=18.所以选 C
66
6.A解析 ∵BD平分∠ABC∴∠EBD=∠CDB,∵EF∥BC,∴∠EDB=∠CDB,∴
∠EBD=∠EDB,∴EB=ED,同理可得 DF=CF,∴C△AEF =AE+ED+DF+AF
=AE+EB+CF+AF=AB+AC,∵AB=8,AC=9,∴C△AEF =8+9=17.所以选 A
7.B 解析 作点 P关于 OA 对称的点 P1,作点 P关于 OB 对称的点 P2,连接
P1P2,与 OA 交于点 M,与 OB 交于点 N,此时△PMN 的周长最小．由线段垂直平分
线性质可得出△PMN 的周长就是 P1P2的长，∵OP=2，∴OP2=OP1=OP=2．又∵
P1P2=2，,∴OP1=OP2=P1P2,∴△OP1P2是等边三角形, ∴∠P2OP1=60°，即 2（∠
AOP+∠BOP）=60°，∠AOP+∠BOP=30°,即∠AOB=30°，故选 B．
8.70°解析 ∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=40°,∴
∠B=70°.
9.3 解析 根据轴对称的概念作答．如果一个图形沿一条直线对折，直
线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．选择小正三角形
涂黑，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形，选择的位置有以下几种：
1处，2处，3处，选择的位置共有 3处．故答案为 3．
图 13-11
10.40°或 140°解析①如图，等腰三角形为锐角三角形，
图 13-12
∵BD⊥AC，∠ABD=50°，∴∠A=40°，即顶角的度数为 40°.②如图，等腰
三角形为钝角三角形，
67
图 13-13
∵BD⊥AC，∠DBA=50°，∴∠BAD=40°，∴∠BAC=140°.所以答案为 40°
或 140°.
11.FC=3AF 解析 ∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵∠BAC＝120°,∴∠B=∠C=30°.
1
∵AD 为 BC 的中线,∴AD 平分∠BAC，AD⊥BC,∴∠DAC= ∠BAC=60°，∠ADC=90°.
2
∵∠AFD=90°,∴∠ADF=90°-∠DAC=30°.∵在 Rt△ADF 中，∠ADF=30°,∴
AD=2AF.∵在 Rt△ADC 中，∠C＝30°,∴AC=2AD=4AF,∴CF=AC - AF=3AF,故
CF=3AF.
12.3 解析 过 P作 PF∥BC 交 AC 于 F. 如图所示：∵PF∥BC，△ABC 是等
边三角形，∴∠PFD=∠QCD，△APF 是等边三角形，∴AP=PF=AF，∵PE⊥AC，∴
∠PFD = ∠QCD
AE=EF，∵AP=PF，AP=CQ，∴PF=CQ.∵在△PFD 和△QCD 中, ∠PDF = ∠QDC,∴△
PF = CQ
1
PFD≌△QCD(AAS)∴FD=CD.∵AE=EF，∴EF+FD=AE+CD，∴AE+CD=DE= AC.∵AC=6，
2
∴DE=3.故选 B.
图 13-14
13. 解析 (1)设经过 x秒，△BMN 为等边三角形，则 AM＝x，BN＝2x，
∴BM＝AB－AM＝12－x，根据题意得 12－x＝2x，解得 x＝4，答：经过 4秒，△
BMN 为等边三角形；(2)经过 x秒，△BMN 是直角三角形，①当∠BNM＝90°时，
1 1
∵∠B＝60°，∴∠BMN＝30°，∴BN＝ BM，即 2x＝ (12－x)，解得 x＝2.5；②
2 2
68
1 1
当∠BMN＝90°时∵∠B＝60°，∴∠BNM＝30°，∴BM＝ BN，即 12－x＝ ×2x，
2 2
解得 x＝6，答：经过 2.5 秒或 6秒，△BMN 是直角三角形．
14.（1）20°，30°，40°；（2）（n+1）β；（3）22.5≤β＜30°解析
（1）∵OA=AA ,∠O=10°,∴∠OA A=∠O=10°.∵∠A AA 为△OAA 的外角,∴∠
1 1 1 2 1
A AA =∠OA A+∠O=20°.∵AA =A A ∴∠A A A=∠A AA =20°,∴∠AA A =180°-
1 2 1 1 1 2, 1 2 1 2 1 2
∠A A A-∠A AA =140°,∴∠A A A =180°-∠OA A-∠AA A =30°同理可得∠
1 2 1 2 3 1 2 1 1 2
A A A =40°.（2）由（1）易知当 n=1 时，∠A AA =2β,当 n=2 时，∠A A A =3
3 2 4 1 2 2 1 3
5 ≥ 90°
β，当n=3时，∠A A A =4β,所以，∠A A A =(n+1)β（3）由题意得 ,
3 2 4 n n-1 n+1 4 ＜90°
解得 22.5°≤β＜30°15.解析 （1）AD=BE．理由如下：在等边△ABC 和等边
△CDE 中，∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=∠BCE．又∵AC=BC，CD=CE，∴△ACD
≌△BCE（SAS），∴AD=BE．（2）如图，连接 OC，作 CF⊥AD 于点 F，CG⊥BE 于
点 G
图 13-15
1 1
∵△ACD≌△BCE，∴S△ACD=S△BCE ∴ AD·CF= BE·CG,由（1）知 AD=BE∴CF=CG,2 2
∴Rt△OCF≌Rt△OCG（HL）,∴∠FOC=∠GOC 即 OC 平分∠AOE
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（二）单元质量检测作业属性表
序号 类型 对应单元 对应学 难度 来源 完成时
作业目标 间（分
了解 理解 应用 钟）
1 选择题 1 √ 易 原创 0.5
2 选择题 3 √ 易 改编 1
3 选择题 2 √ 易 原创 0.5
4 选择题 4 √ 易 改编 1
5 选择题 5 √ 易 改编 1
6 选择题 4 中等 改编 3
7 选择题 1、3 √ 较难 改编 5
8 填空题 4 √ 易 改编 1
9 填空题 2 √ 易 改编 1
10 填空题 4 √ 中等 改编 2
11 填空题 4、5 √ 中等 原创 4
12 填空题 4 √ 较难 改编 5
13 解答题 4 √ 中等 改编 4
14 解答题 4 √ 较难 改编 6
15 解答题 4 √ 较难 原创 6
七、单元作业(说明：作业为本单元教学时长内选择性完成）
作业 1（基础性作业）
1.作业内容：以小组为单位设计本章思维导图
70
学生作业展示：
3. 时间要求：从本单元开始到结束逐步完善。
4. 作业评价
以展示为主，由学生观赏并投票
5. 作业分析与设计意图
巩固本章知识点，对本章内容有整体的认识，积累研究图形变换与图形性质
的活动经验。提升学生归纳能力、数学语言、审美能力等综合素养。
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
（1）动手操作类
剪正五角星
节日前夕，常要制作许多五角星.我们用折纸的方法，可以直接剪出一个五
角星.
方法是这样的:
（1）拿一张长方形(或圆形)的纸，如图 1先对折，再沿虚线将平角折成五等份,
得到图 2;
（2）在五等份的折线上，取点 A和点 C 使 OC 比三分之一的 OA 微微长一点，沿
71
斜线 AC 把图 2 中的阴影部分剪掉，然后把纸展开，就得到图 3 所示的一个正五
角星.
（3）如图 4若取 OC 比三分之一的 OA 长得多(如 OC 为 OA 的一半)，这时剪出
的五角星就不一样了，它的五个角的边比较短;如图 5,而当沿直角方向剪去时，
展开后则成了一个正五边形
想一想，这种折纸剪正五角星的方法，其中隐含着什么数学道理
数学小实验：一刀八断
问题：同学们，下面这张纸上有 8个正方形，你能利用轴对称性质一刀剪出这 8
个正方形吗？
演示：
72
视频讲解
同学们，自然界中动物、植物、以及我们生活中的很多物体都存在着对称的特
点，你能用玉米、绿豆、红豆、花生米等粗粮拼一些自己喜欢的轴对称图形吗？
学生作品展示：
(3)课外阅读类
阅读材料 1——对称的世界
自然界中的动物、植物形状千姿百态，各不相同，如果仔细观察一下，你会
惊奇发现，它们往往具有一个共同的特点
——对称。首先，人体自身就是一个高度
的对称体。人体的大部分器官都是以脊柱
所在的这条线为轴左右对称的，例如，左
手和右手、左脚和右脚、左眼和右眼、左
耳和右耳……鼻子虽然只有一个，但是两
个鼻孔却是左右对称的。
再看看我们周围的花草树木、鸟类，
水中的海星、鱼、龟背上的花纹，不胜枚举，大多具有类似的对称特征。
73
在建筑方面，对称更是随处可见:雄伟的天安门，壮丽的天坛，辉煌的故官，
古老的河南登封观星台……
古代美学家曾研究过拉丁字母发现它们也具有对称性。例如：A，H，M，B，
E 是轴对称图形。N，S，Z 是中心对称图形。
人类及其创造的建筑物、文化艺术作品，以及动物、植物这些生命体都具有
对称性，那么无生命的自然世界又如何呢
雪花具有惊人的对称性，晶体都有规则的几何外形，尽管不同的晶体形
状不同，但有一点是相同的，即它们都呈对称分布。
74
对称不仅广泛存在于生物界中，其在生活中的应用也是极其广泛的，例如飞
机是左右对称图形，为什么呢？因为飞机要平稳的起飞，就要保持左右平衡，而
做成左右平衡最好的方法，就是保持左右对称，这样飞机飞行时，飞机左右两边
所受的重力，空气阻力，空气升力等物理量都
相等，从而保持飞机的平稳飞行。
通过这些例子，同学们是不是对对称性有
了全新的认识？
阅读材料 2--为什么动物都是对称的？
为什么动物都是对称的？是进化的巧合，
还是有未知的法则在控制？
生物的对称性分为双侧对称和辐射对称，
这种对称性在自然界非常普遍，其中包括人类
在内的大多数动物的身体构造都表现出镜像对
称，也就是双侧对称。因此许多科学家认为这
并不是进化的巧合，因为构造一个不对称身体
的方法比构造一个对称身体的方法要多得多。
就拿我们人体来说，我们完全可以长成各种奇怪的样子，你的身体左侧右侧随便
突出点，或者再长一个什么东西，就可以轻松地破坏了对称性。生物普遍遵循着
双侧对称
根据化石证据表明，双侧对称早在 5 亿年前就已经在生物身上形成了。因此，
我们认为，生物的双侧对称一定有某种内在的原因。多年来，生物学家们提出了
许多关于这个问题的假设。
一项研究表明：大脑更容易识别两侧对称的身体，使得动作协调。还有就是
所有的生物在其生存环境中的运动都受物理定律的支配。我们一般认为最早的生
命是从水里开始进化的，而两侧对称的身体可以使生物能够沿直线前进。在进化
史上，从 A 点到 B 点能够快速高效移动的动物会比那些移动缓慢或者不能移动
的动物更加成功。另一种流行的假设是，对称性的进化有助于动物的择偶。对鸟
类和昆虫的实验表明，雌性更喜欢与拥有最对称性装扮的雄性交配。例如，雌孔
雀更喜欢尾巴长而对称的孔雀，雌性家燕也更喜欢尾巴长而对称的雄家燕。
75
对称性甚至指导着细胞分裂的基本过程。一个生物体诞生时只是一个单细胞，
它必须以一种对称的方式组织自身及其遗传物质，才能确保每个子细胞在分裂前
都有每个基因的副本。当然并非所有动物都是双侧对称的，例如海星、海蜇和海
胆等生物具有辐射对称性，地球上唯一不对称的生物就是海绵。
虽然我们现在在生物学上无法准确地说出生物对称进化的确切原因，但在物
理学上我们知道更深层次的答案。这是宇宙的普遍法则。大家都看到过人类刻画
出来的外星生物，它们也具有对称性，因为我们认为支配宇宙的物理定律在任何
地方都是适用的，因此我也觉得外星生物也会表现出普遍的双侧对称！那么到底
是什么导致了宇宙普遍存在对称性呢？这就要从宇宙的基本法则物理定律说起。
在物理学中，对称性有着更为精确的含义。物理学的对称性就是，在某些特定条
件发生改变后，物理定律并不会发生变化。其中就包括：镜像对称性：也就是双
侧对称，一个基本粒子与其镜像除了自旋相反外，但物理定律不变。例如正电子
可以被认为是电子的镜像。时间对称性：物理定律不随时间的变化而变化。也就
是说宇宙的过去、现在和未来，物理定律一直都是这样的平移对称性：不管我们
是在太阳系还是在宇宙的另一端，不论位置如何，物理定律都是一样的。旋转对
称性：不管我们朝哪个方向，物理顶定律也不会发生改变。如果我们生活在一个
自然规律不对称的宇宙中，实验结果可能会根据实验的地点、时间和方向而改变，
所以这些对称性对于理解科学，尤其是物理学至关重要。
控制我们宇宙的基本法则存在着众多的对称性，而我们的生命也正是在这种
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法则下诞生的，因此生物的对称性正是体现了宇宙的基本规律，并非偶然或者巧
合。如果在宇宙中的其他地方发现生命，它们也会跟我们一样遵循着普遍的双侧
对称性吗？这个问题留着给同学们探讨吧。
阅读材料 3--轴对称的文化内涵
对称美学是一种传统的审美，也是建筑设计中一种常用的艺术形式。从故宫
到埃菲尔铁塔，从泰姬陵到米兰大教堂，无论是中式还是西式，最经典的建筑风
格无一不体现着对称美学。
对称美学
对称讲究相同部分间规律的重复，呈现在建筑的内部空间中，往往给人一种
庄严肃穆的感觉，具有古典美感和秩序感。
从皇城宫苑到普通民宅，从群体建筑的规划到一户一室的布局，从亭台楼阁
到亭台楼阁，从轩榭廊舫到厅堂馆斋……我们处处都可见中式对称的影子。中式
中轴对称制造一种仪式感，追求内在意境。这种对称用在建筑上，有一种平衡的
沉稳美。
西式上布达佩斯完美的“角对称”形式更显活力和生动。由于拐角，建筑的
边界更尖锐和更明显，从角落看时，这些建筑看起来看起来完全对称，令人惊艳。
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从建筑到植物、从铺装到水体、从广场到雕塑，很多园林景观在设计时也会
融入对称美学。大片开阔平坦的草坪、喷泉、修剪成几何形体的绿篱、看似随意
却富有走势韵律的园中小路，全都是完全的中轴对称。
看完这些成轴对称的美图是不是让你重新对轴对称有了新的认识？对称是
均衡的天然格局，让人产生健康和平静的均衡感。仔细观察，或许你也可以发现
自己身边的对称美学！同学们一定要多观察生活哟！
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