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沪科版数学八年级上册第十五章
作
业
设
计
1
目 录
第十五章轴对称图形与等腰三角形
单元信息及教材分析 …………………………………………………………3
15.1.1 轴对称及相关概念……………………………………………………6
15.1.2 轴对称图形 …………………………………………………………7
15.2 线段的垂直平分线 ……………………………………………………9
15.3.1 等腰三角形的性质1…………………………………………………11
15.3.2 等腰三角形的性质2…………………………………………………13
15.3.3 等腰三角形的判定1…………………………………………………14
15.3.4 等腰三角形的判定2…………………………………………………15
15.4.1 角的平分线1…………………………………………………………17
15.4.2 角的平分线2…………………………………………………………18
单 元 测 试 …………………………………………………………………22
作业参考答案…………………………………………………………………24
2
第十五章单元作业设计
一、单元信息
基本 学科 年级 学期 教材版本 单元名称
信息 数学 八年级 第一学期 沪科版 第 15 章
单元组
自然单元 重组单元
织方式
序号 课时名称 对应教材内容
1 15.1.1 轴对称及相关概念 15.1（p117-120）
2 15.1.2 轴对称图形 15.1（p120-124）
3 15.2 线段的垂直平分线 15.2（p128-130）
课
时 4 15.3.1 等腰三角形的性质1 15.3（p132-133）
信 5 15.3.2 等腰三角形的性质2 15.3（p134-135）
息
6 15.3.3 等腰三角形的判定1 15.3（p136-137）
7 15.3.4 等腰三角形的判定2 15.3（p137-138）
8 15.4.1 角的平分线1 15.4（p141-144）
9 15.4.2 角的平分线2 15.4（p144-145）
二、单元分析
（一）课标要求
《义务教育数学课程标准（2022 年版）》中对本学段相关课程内容的
要求涉及到图形的性质、图形的变化、图形与坐标三个方面，具体要求如下：
1、图形的性质
（1）理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定理和判定定理。
（2）理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定
理和判定定理。
（3）理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理；探索
等边三角形的性质定理及判定定理。
（4）能用尺规作图（了解作图原理，保留作图痕迹，不要求写出作法）：
作一条线段的垂直平分线；作一个角的平分线。
2、图形的变化
（1）通过具体实例理解轴对称的概念，探索它的基本性质。
（2）能画出简单平面图形（点、线段、直线、三角形等）关于给定对称
轴的对称图形。
（3）理解轴对称图形的概念；探索等腰三角形的轴对称性质。
（4）认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形。
在平面直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的
多边形的对称图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系。与2011 版课标
比较，新课程标准在轴对称、轴对称图形及等腰三角形等概念上的要求由“了解”
3
改为“理解”，新增“理解角平分线的概念”，整体概念教学要求有所提高。
根据学生数学学习的心理特征和认知规律，依据“三会”的总目标要求，
将核心素养的表现体现在本学段的具体目标之中，2022 版课标提出以下的学段目
标：经历探索图形特征的过程，建立基本的几何概念；通过尺规作图等直观操
作的方法，理解平面图形的性质与关系；知道轴对称的基本特征，理解相关概
念； 形成推理能力，发展空间观念和几何直观。
探索在不同的情境中从数学的角度发现和提出问题，综合运用数学和其他
学科的知识从不同的角度寻求分析问题和解决问题的方法，能运用几何直观、
逻辑推理等方法解决问题。
关注社会生活中与数学相关的信息，主动参与数学活动；在解决数学问题
的过程中，感受数学在实际生活中的应用，体会数学的价值，欣赏并尝试创造
数学美。
（二）教材分析
1、内容分析
沪科版教材中第 15 章《轴对称图形与等腰三角形》是八年级上册的最后一个
章节。本章将学习轴对称图形、线段的垂直平分线、等腰三角形及角的平分线。本
章主要知识点有轴对称及轴对称图形的概念；轴对称的性质；线段、角的轴对称性；
等腰三角形的定义、性质及判定；特殊的等腰三角形——等边三角形；尺规作图作
已知线段的垂直平分线和已知角的平分线。根据课程标准相关内容、本章节在整个
“图形与几何”中的位置及章节内知识体系对本章内容有如下分析：
“图形的性质”主线：本章是继对点、线、角等简单几何元素认识之后的三
角形相关内容，这部分内容是紧跟着《全等三角形》后的一个章节，是继续巩固
前面的教学成果，是全等三角形的应用，同时本章节也是对图形对称性的探究，
后续四边形与圆的内容，在初中“图形与几何”内容中有承前启后的地位和作用。
“图形的变化”主线：本章是图形的轴对称、旋转、平移、相似、投影五类
变换中的一种，是基本的几何变换。对称性是图形具有的特殊性质，是静态的，
可直接用于探究图形特征及解决实际问题，轴对称又可以看成是一种变化，是动
态的，可用于探究图形的建构和变式，是让几何学习更深入多样的阶梯。
“图形与坐标”主线：本章在轴对称变换后安排了用坐标表示轴对称的内容，从
数的角度刻画轴对称内容，把“形”与“数”紧密的结合在一起，是“数形结合”
“图形变换”等数学思想方法的渗透。
除以上三条主线外，课本中一方面以大量的生活实际情境作为研究轴对称的
背景，另一方面在主题内容之后安排了“剪纸”这一数学活动，充分体现了“数
学与生活”“数学与美学”相辅相成的关系。
2、知识网
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（三）学情分析
从学生的认知情况看：小学阶段学生已经结合生活中的大量实例从直观上认
识了对称性创造的美，对轴对称图形有直观的认识，会在方格纸上画轴对称图形；
七年级的学习对线段、角、三角形等图形有了进一步的认识，在八年级的第 13、14
章的学习中开始涉及对几何图形中的元素间的关系及两个几何图形之间的关系的
探究，在第 11 章的学习中掌握了在平面直角坐标系中研究几何图形位置、关系及运
动的基本方法。这些都是学习本章内容的基础。
从学生的学习习惯、思维规律看：学生已经具有一定的自主学习能力和独立
思考能力，积累了一定的数学学习活动经验；具有一定的空间观念，可以从实例
中抽象出简单的几何模型、想象图形的位置及关系，但是借助图形思考问题建立
几何直观的能力还不足。因此在本章的教学中应加强对学生的观察、操作、论证
的实践引导，在理解轴对称关系的基础上充分探究线段、角、等腰三角形和等边
三角形中的对称性，激发学习图形的兴趣，发展几何直观和空间观念。
三、单元学习与作业目标
依据课标学业要求，结合内容分析及对学情的把握，提出如下单元学习与作业
目标：
1、通过对具体实例的观察总结帮助理解轴对称概念，能够识别简单的轴对称
图形。了解基本图形的（线段、角、等腰三角形等）的轴对称性，理解轴对称的
基本性质，知道对应点所连线段被对称轴垂直平分。在完成作业过程中培养数学
抽象能力。
2、能够作出简单平面图形经过一次轴对称变换后的图形。通过积累认识生活
中的轴对称获取灵感，能够利用轴对称进行简单的图案设计。在完成作业过程中
体会数学中的对称美。
3、了解线段的垂直平分线的概念，理解和掌握线段的垂直平分线、角的平分
线、等腰三角形（等边三角形）的性质及判定，能够利用它们进行与之相关的证
明和计算。在完成作业过程中发展推理证明的能力，培养逻辑推理能力。
4、经历尺规作图的过程，能用尺规作已知线段的垂直平分线和已知角的平分
线，并能证明其正确性。在完成作业过程中增强动手能力，发展空间想象力。
5、能够应用所学知识解释生活及数学中的对称现象，解决简单的实际问题，
在观察、操作、猜想、论证的过程中，发展几何直观，激发学习图形的兴趣，培
养学生的应用意识与创新意识。
四、单元作业设计思路
分层设计作业，每课时均设计“基础性作业”（面向全体，体现课标，题量
依据课时内容调整，一般不超过 5 题，要求学生必做）和“发展性作业”（体现
个性化，探究性、实践性，要求学生有选择的完成）。具体设计体系如下：
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五、课时作业
第1课时 15.1.1 轴对称及相关概念
作业1（基础性作业）
1、作业内容
（1）下列美丽的图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A B C D
（2）下图是由5个全等的小正方形组成的图形，请你补上一个正方形，使它变成轴
对称图形，并画出一条对称轴（尝试用 4 种不同的方法完成）
(3)如图，国际奥委会会旗上的图案由 5 个圆环组成。每两个圆环相交的部分叫
做曲边四边形，如图所示，从左至右共有 8 个曲边四边形，分别给它们标上
序号。观察图形，我们发现标号为 2 的曲边四边形（以下简称“2”）经过平
移能与“6”重合，“2”又与 成轴对称。（请把能与“2”成轴对称的曲边
四边形标号都填上）
2、时间要求（10 分钟以内）
3、作业分析与设计意图
第(1)题根据轴对称图形的概念对各选项进行分析判断，直接考察轴对称的
概念，感受生活中的对称美；
第(2)题考查对轴对称概念的理解，开放性题目主要培养学生的思维发散
能力和空间想象能力，可指导学生先确定对称轴再添加辅助线，方法上的指导
可帮助学生节约做题的时间。
第(3)题主要考察学生对轴对称和平移的理解及区别,并加深对图形的认识。
再次经历概念的形成过程，加深对概念的理解，体会数学的应用价值。三个题
目逐层深入，逐步加深对“轴对称”概念的理解和运用。
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作业 2（发展性作业）
1、作业内容
（1）请利用轴对称性，在下面这组图形符号中：①作出各个图形的对称轴，②
找出它们所蕴含的内在规律，然后在横线上的空白处填上恰当的图形：
（2）有一些整数你无论从左往右看，还是从右往左看，数字都是完 全一样的，
例如：22，131，1991，123321，…像这样的数，我们叫它“回文数”。回文
数实际上是由左右排列对称的自然数构成的，有趣的是，当你遇到一个普通
的数（两位以上），经过一定的计算，可以变成“回文数”，办法很简单：
只要将这个数加上它的逆序数就可以了，若一次不成功，反复进行下去，一
定能得到一个回文数，比如：
132+231=363
7299+9927=17226，17226+62271=79497，成功了！
①能用上述方法，将下列各数“变”成回文数吗？ 237 362
②请任意写出一个四位数，并用上述方法将它变成回文数。
2、时间要求（10 分钟以内）
3、作业分析与设计意图
第（1）题主要考察学生对轴对称图形概念的掌握以及对图形的观察能力及
规律的总结能力，培养学生的观察能力和思维能力；
第（2）题是 “新定义”问题，考查学生能否运用“新定义”解决问题的
能力，培养学生的阅读思考、逆向思维等能力，提升直观想象、数学运算、逻
辑推理等素养。
第2课时 15.1.2 轴对称图形
作业1（基础性作业）
1、作业内容
（1）已知：如图，直角坐标系中线段AB的端点坐标分
别是A( 2, 2)，B(2, 3)；在坐标系中画出线段AB
关于x轴的对称图形线段A′B′；并写出两端点的
坐标：点 A′ ，点B′ 。通过观
察可以发现x轴所在直线 线段 AA′和线段
BB′
（2）已知点 A（3x﹣11，4y+15），点 B（5y，x）关于 y轴对称，则 x+y 的值是（ ）
A. 0 B.9 C. 5 D. ﹣12
（3）平面直角坐标系中的点P(2-m， m）关于x轴的对称点在第四象限，
则m的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A. B. C. D.
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2、时间要求（10 分钟以内）
3、作业分析与设计意图
第（1）题利用平面直角坐标系中点的坐标特点反应轴对称的基本性质，
主要考查学生对新旧知识的掌握情况，感受数学知识间的内在联系。
第（2）题主要考察轴对称在平面直角坐标系中的应用及二元一次方程组
的解法，继续考查新旧知识的掌握情况，需要使用第（1）题的逆向思维，长
时间的这种训练可以培养学生的逻辑推理能力。
第（3）题主要考察轴对称在平面直角坐标系的应用及点的坐标特点及不
等式组的解法。继续考查新旧知识的融合情况，让同学们在习得新知识的同
时形成数形结合思想意识。
作业 2（发展性作业）
1、作业内容
（1）在平面直角坐标系中．过一点分別作 x 轴与 y 轴的垂线，若与坐标轴围
成矩形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点，给出
以下结论：
①点 M（2，4）是和谐点；
②不论 a 为何值时，点 P（2，a）不是和谐点；
③若点 P（a，3）是和谐点，则 a=6；
④若点 F是和谐点，则点 F关于坐标轴的对称点也是和谐点。正确
结论的序号是： 。
（2）小明发现把一双筷子摆在一个盘子上，可构成多种不同的轴对称图形，
请你按下列要求各添画一只筷子，完成其中三种图形。
2、时间要求（10 分钟以内）
3、作业分析与设计意图
第（1）题是“仿写作业”，主要考察点的变化规律及点到坐标轴的距离及
对和谐点的理解。能够培养学生良好的阅读思考、逆向思维等能力，提升直观想
象、数学运算、逻辑推理等素养。
第（2）题主要考察对于对称图形的理解，应用对称图形的性质作出所求
对称图形。这是开放性的题目，与实际相结合，激发了学生的学习兴趣，培养
学生的理性思维和科学精神。
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第3课时 15. 2 线段的垂直平分线
作业1（基础性作业）
1、作业内容
(1)如图15.2(1)，直线a为一条笔直的公路，一辆汽车在公路上行驶，A和B
为两所雷达观测站，汽车行驶到什么位置时离A、B两所雷达观测站距离
相等？(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
C
图 15.2(2)
图 15.2(1)
(2)漏斗是化学实验室中重要的化学仪器，如图15.2(2)为漏斗的平面图形，P
所在直线 垂直平分线段AB,交线段AB 于C点。则下列结论：
① = ，② ⊥ ，③ = ，④∠ =∠ ,正确的有几个
（3)四边形ABCD 如图15.2(3)所示，线段AB和AD的垂直平分线都交于C点，线段BD
与两条垂直平分线分别交于E和 F点，已知 BD=12，求△AEF的周长是多少？
图 15.2(3)
2、时间要求（15 分钟以内）
3、作业分析与设计意图
第(1)题主要考查线段垂直平分线的尺规作图方法，以及对垂直平分线
判定定理的理解与运用，熟练掌握尺规作图的方法，即锻炼学生的动手能
力， 又可以激发学生学习数学的兴趣。
第(2)题主要借助于化学实验仪器漏斗考察线段的垂直平分线的性质
等几何知识，从而发现等腰三角形是轴对称图形，本题可以帮助学生认识
理论，加深对所学知识的理解，并为后面等腰三角形的学习打下基础。
第(3)题考查了线段垂直平分线的性质与应用和等量代换。锻炼了学生
的逻辑推理能力，并能够利用线段的垂直平分线的性质定理解决相关数学
问题，培养了学生求真务实的精神。
作业 2（发展性作业）
1、作业内容
（1）2022 年2月金寨经济开发区开展“新春访万企、助力解难题”活动，
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及时交办、限时解决、跟踪督办，确保问题办结高效高质。做好开发
园区产业发展规划，打造优势产业集群，强化服务意识，变“企业被
动找”为“部门主动跑”，把方便留给企业，真正把“改作风”落到
实处；要营造创优环境、关爱企业、支持发展的浓厚氛围。金寨县对于
部分企业要求兴建充电桩的问题， 当场给与了解决。某三个企业出口
A、B、C的位置如图15.2(4)所示，金寨县修建一个大型电动车充电桩
集中点，以方便企业职工，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩
应该在（ ）
A.三条边的垂直平分线的交点处
B.三个角的平分线的交点处
C.三角形三条高线的交点处
D.三角形三条中线的交点处
（2）物理中的平面镜成像与日常生活有着密不可分的联系。如图 15.2(5)所
示， MN 和 PQ 所在的直线为两面墙壁,A 和 B 两处各站着一位同学，分
别在两面墙各放置一块小的平面镜，两块平面镜该如何放置可以让对方通
过两个平面镜看到对方，请画出光线的路径？
M
N
Q
P
图 15.2(4) 图 15.2(5)
（3）运-20(中国编号:Y-20，代号 :鲲鹏，英文:Xian Y-20)，是中国研究制
造的新一代军用大型运输机，于 2013 年 1 月 26 日首飞成功 。其机翼
如右侧平面图形图 15.2(6)且 CA=CB,AD=BD,则 CD 所在的直线与 AB 的位
置关系？（请用两种方法解答）
图 15.2(6)
2、时间要求（15 分钟）
3、作业分析与设计意图
第(1)题以金寨县实际问题为材料背景，利用垂直平分线的性质找出这样
的点，根据垂直平分线的判定定理进行尺规作图，发现三角形三边垂直平分
10
线相交于一点，且这一点到三角形三个顶点的距离相等。让学生思考为什么
用这种方法画出的就是垂直平分线，可以激发学生学习数学的兴趣。
第(2)题在解决最短距离、路程最短、物体平面镜成像等这一类问题时一
般考虑作点关于一条直线的对称点。并能够利用线段的垂直平分线的性质定理
解决相关数学问题，通过现实操作激发学生的兴趣。实际生活对称的应用让学
生体会到数学与生活的密切相关又能激发学生的求知欲，让学生感受到数学源
于生活，又服务于生活。
第（3）题是国产20飞机为背景，由已知AC = BC，AD = BD可得，根据线
段的垂直平分线判定定理，CD所在的直线垂直于线段 AB。此题还可以运用三
角形全等的相关知识去证明，进一步发展学生的独立思考和发散思维的习惯，
培养积极探索，勇于探索的精神，享受获得成功的喜悦，进一步拓展学生在
实际生活中的推理证明意识和能力。
第四课时 15.3.1 等腰三角形的性质1
（1） 作业 1（基础性作业）
1、作业内容
2a-b=3
（1）已知一个等腰三角形的两边长 a、b满足方程组 ，则此等腰三角
a+b=3
形的周长为( )
A.5 B.4
C.3 D. 5 或 4
（2）下列说法错误的是（ ）
A、等腰三角形底边上的高所在的直线是它的对称轴
B、等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴
C、等腰三角形顶角的平分线所在的直线是它的对称轴
D、等腰三角形的一个角的平分线所在的直线是它的对称轴
（3）如图 15.3-1 三角形 ABC 中，AB＝AC，D 是 BC 上的一点，E 是 AC 上的一
点,AD⊥BC 且 AD＝AE，∠BAD=30°，求∠EDC 的度数。(跨课时作业，后接
15.3.2 作业2第（1)小题）
图 15.3-1 图 15.3-2
（4）如图 15.3-2，在等边三角形 ABC 中，D 是 AC 的中点，延长 BC 到 E，
使 CE＝CD，AB＝10，求∠E 的度数及 BE 的长。（跨课时作业，后接
15.3.3作业1第（4)小题）
2、时间要求（15 分钟以内）
3、作业分析与设计意图
第（1）题涉及了等腰三角形的概念、三角形三边之间的关系、二元一次
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方程组的解法，以及等腰三角形性质的理解和运用,是对前面内容的复习与巩
固,主要考查学生对知识的融会贯通。
第（2）题是学生容易弄错的概念类题目，主要考查等腰三角形“三线合一”
中的三线是特定的三线，可指导学生结合等腰三角形的轴对称性去理解记忆，主
要培养学生的阅读能力和理解能力。
第（3）题就是对等腰三角形“等边对等角”、“三线合一”、“三角形的
内角和定理”的直接考查，锻炼学生用几何语言说理的能力，感受数学语言的简
洁性和逻辑性。
第（4）题需要先用“等边三角形的性质”和“中点的性质”求出 CD 的长
度及∠ACB=60°，要求学生通过“等边对等角”和“外角的性质”求出所得。这
需要学生具有一定的观察能力和数学思维能力。
作业 2（发展性作业）
1、作业内容
（1）如图 15.3-3,在等腰△ABC 的两腰AB、BC上分别取点 D 和 E，使 DB=DE，
1
此时恰有∠ADE= ∠ACB，求∠B的度数。
2
B
D
E
A C
α β
图 15.3-3
a h
（2）给出下列四组条件：
①、已知两腰b b
②、已知一边 a和顶角β
③、已知底角α和顶角β
④、已知底边a和底边垂直平分线上一点到底边的距离h
其中能确定一个等腰三角形的形状和大小的是 ；请利用这个条件作出
这个等腰三角形；指出所作图中有哪些相等的角和相等的线段，并说明理由。
2、时间要求（15 分钟）
3、作业分析与设计意图
第（1）题是几何与代数的结合，需要学生挖掘∠ADE 是△DBE 的外角，结合三
角形的内角和为180°，设未知数来解决问题，用代数的方法解决几何问题有助于
理解题意，简化计算。
第(2)题的难点在于第 1 问，底边及底边上的高可以确定一个等腰三角形的形状
和大小，需要学生用等腰三角形的轴对称来理解应用，从而得出画法，有助于培养学
生的迁移能力和动手能力，再运用等腰三角形的性质得出相等的边与角。
12
第五课时 15.3.2 等腰三角形的性质2
作业 1（基础性作业）
1、作业内容
（1）如图 15.3-4 所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知 A，B 是两
格点，如果 P 也是图中的格点，且使得△ABP 为等腰三角形，则点 P 的个数
有 （ ） 个
A.5 B.6 C.7 D.8
图 15.3-4 图 15.3-5 图 15.3-6
（2）如图 15.3-5，已知：∠ = 30 ，点 1、 2、 3在射线 上，点 B1、B2、
B3…，在射线 上，△ 1 1 2.△ 2 2 3、△ 3 3 4…均为等边三角形，
若 1 = 1，则△ 6 6 7的边长为（ ）
A.6 B.12 C.32 D.64
（3）如图 15.3-6，在△ABC 中，AB＝AC，AD＝BD＝BC，DE⊥AB 于点 E，若
CD＝6，且△BDC 的周长为 26，求 AE 的长。
2、时间要求（10 分钟）
3、作业分析与设计意图
第（1）题要求学生利用等腰三角形的定义，分析挖掘，充分思考“哪两边”相等。
本题的难点易错点在找全所有的点，所以以选择题的方式在网格中呈现降低了难度，
培养学生的动手能力、分析能力和多角度思考能力，为以后的数学学习打下基础。
第（2）题看似很难，但只要生静下心来分析会发现本题是等腰、等边三角形
性质的直接应用，所有等边三角形的边长均可求出。搭配规律出题，只要找到
规律即可作答，培养了学生的观察能力、归纳能力、思维能力和想象能力。
第（3）题把等腰三角形的“等边对等角”和“三线合一”结合起来出题，旨
在考查学生对这两个定理的掌握情况，培养学生的几何书写能力和逻辑严密性。
作业 2（发展性作业）
1、作业内容
（1）如图 15.3-6,三角形 ABC 中，AB＝AC，D 是BC 上的一点，E是AC 上的一点,
且AD＝AE,∠BAD=30°，求∠EDC 的度数。（跨课时作业前承15.3.1作业1第
（3）题）
13
图 15.3-6 图 15.3-7
（2）如图 15.3-7，在三角形 ABC 中，AB＝AC，∠A＝50°，P 是三角形内的一
点，且∠PBC＝∠PCA，则∠BPC 的度数为（ ）
A.115° B.100° C.130° D.140°
2、时间要求（15 分钟）
3、作业分析与设计意图
第（1）题与15.3等腰三角形的性质（1）的作业第（3）题是跨课时作业，
把那题的条件 AD⊥BC 删除后，难度变大，可只要学生在运用等腰三角形性质
的基础上建立方程模型即可解决，主要培养学生用代数的方法解决几何问题的
能力。
第（2）题是在第一题学生尝试用代数方法解决几何问题的基础上，难度再
升级，需要借助辅助线构造外角来解决问题。目的在于引导学生根据问题条件
和要求探究解题方向，寻求合理的途径解决问题，从而培养学生的数学思维能
力和创新意识。
第六课时 15.3.3 等腰三角形的判定1
作业 1（基础性作业）
1、作业内容
(1)有下列结论：①有一个外角是 120°的等腰三角形是等边三角形；②有两
个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线
的等腰三角形是等边三角形；④三个外角都相等的三角形是等边三角形。其
中正确的有 （ ）
A.4 个 B.3 个 C.2个 D. 1个
(2)如图 15.3-8，在三角形 ABC 中，AB＝AC，∠ABC＝36°，D，E 分别是 BC 上
的两点，且∠BAD＝∠DAE＝∠EAC，则图中等腰三角形有( )个。
A.4 B.5 C.6 D.7
A
D
C
O B
图 15.3-8 图 15.3-9 图 15.3-10
（3）如图 15.3-9，已知 OC 平分∠AOB，CD∥OB，若 OD=3cm，则 CD 等于（ ）
A.3cm B.4cm C.1.5cm D. 2cm
（4）如图 15.3-10，已知△ABC 中，BD 平分∠ABC，CE=CD，DB=DE，∠E=30°。
求证：△ABC 是等边三角形。（跨课时作业，前承15.3.1作业1第（4）题。）
2、时间要求（10 分钟）
3、作业分析与设计意图
第（1）题属于概念题，主要考查学生对等边三角形判定的掌握情况，能够
14
培养学生的阅读理解能力、逆向思维等能力。
第（2）题的易错点是找全所有的等腰三角形，把理论化为实际，检验学生对
等腰三角形判定定理的理解和运用，加深对定理的理解，锻炼学生的细心程度。
第（3）题把角平分线的性质和平行线的性质有效的结合起来，从而得到△ODC
是等腰三角形。主要考查学生对前面知识的掌握程度和他们对新旧知识点的融
会贯通能力。
第（4）题与第四课时的基础题（4）是相对的题目，即条件和结论互换了，
让学生感受到数学的奇妙，同时也是让学生感受到一题多变的乐趣，培养学生
善于动脑的习惯和发散性思维。
作业 2（发展性作业）
1、作业内容
（1）如图 15.3-11，在正方形中，等边△AEF 的顶点 E,F 分别在 BC 和CD 上。求
证：∠CEF=∠CFE. （尝试两种方法解答）
图 15.3-11 图 15.3-12
（2）如图 15.3-12，E 是等边△ABC 中 AC 边上的点，∠1=∠2，BE=CD，试确定
△ADE 的形状。
2、时间要求（10 分钟）
3、作业分析与设计意图
第(1)题可使用正方形和等边三角形的对称性得到结论，也可使用全等三角
形的判定和性质得出结论，解法上的灵活多样，能有效反映学生的思维水平。其
中，轴对称的使用让学生感受到数学运动的妙处，体现“数学工具的简洁性”。
第(2)题是由等边三角形的三边相等、三角相等的性质，利用全等三角形的性
质得出 AB=AC，通过已知条件得到两三角形全等，主要考查学生对全等三角形掌握
的熟练程度，同时锻炼数学逻辑思维能力。
第七课时 15.3.4 等腰三角形的判定2
作业 1（基础性作业）
1、作业内容
（1）近日，新一轮冷空气到来，一棵大树在这次大风中离地面 5 米处折断倒下如
图 15.3-13 ，倒下部分与地面成30 夹角，这棵大树在折断前的高度为（ ）
A.10cm B.15cm C.25cm D. 30cm
（2）已知：如图 15.3-14 ，在 Rt△ABC 中，∠B=90 ，∠A=30 ，
1
求证：BC= AC (使用不同于教科书的方法)
2
15
5
图 15.3-13 图 15.3-14 图 15.3-15
（3）金寨县为美化环境，计划在桂花公园如图 15.3-15 所示的三角形空地上种植
草皮，已知这种草皮每平方米售价为 a元，购买这种草皮至少需要（ ）
A.450a元 B. 225a元 C. 150a元 D. 300a元
2、时间要求（15 分钟）
3、作业分析与设计意图
第(1)题较简单，联系生活实际，利用直角三角形中 30 角的定理解决问题，
旨在复习定理，让学生感受生活中处处充满数学；
第(2)题利用在直角三角形内构造等边三角形的方法对定理进行证明，是对教
科书定理的证明的已有方法的再思考，需要学生有追根究底的精神，考查学生的
发散思维和几何思维。
第(3)题主要考查学生对钝角三角形小边上的高与直角三角形中30 角的定理
的掌握，让学生感受数学来源于生活服务于生活，掌握数学的必要性，培养学生
的数学思维和理性思维。
作业 2（发展性作业）
1、作业内容
（1）如图 15.3-16，OA=10，P 是射线 ON 上的一动点（即 P 点在射线 ON 上运动），
∠AON=60°
①当 OP= 时，△AOP 为等边三角形，此时∠APO 的度数为 ；
②当△AOP 为直角三角形时，OP= ，此时∠APO 的度数为 。
（2）如图 15.3-17，在△ 中， ＝ ， 、 是△ 内两点，连接 、 并
延长交BC于点M、 平分∠ ，∠ ＝∠ ＝60 ，若 ＝4， ＝2.5，求
的长。
M
图 15.3-16 图15.3-17
2、时间要求（15 分钟）
3、作业分析与设计意图
第（1）题的第①小题，是对等边三角形性质的复习，第②小题考查的是直
16
角三角形中 30 度角的定理，看似简单，但需要学生挖掘“△AOP 是直角三角形”
这个条件，培养学生思考全面、分类讨论的能力。
第（2）题难度较大，需要学生组合思考“AB=AC,AD 平分∠BAC”这两个条
件来添加“辅助线”解答问题，把本课时的定理与等腰、等边三角形的性质有效
的组合起来，培养学生的逻辑推理、分析和解决问题的能力。
第八课时： 15.4.1 角的平分线 1
作业 1：（基础性作业）
1、作业内容
（1）观察图 15.4-1 中作∠AOB 的角平分线 OE 的尺规作图痕迹，下列说法错误的
是（ ）
A.CD=DE
B.OC=OD
C.点 C、D 到 OE 的距离不相等
D.∠AOE=∠BOE
（2）新农村建设中为提高百姓的出行方便，提高幸福体验，现将如图 15.4-2 所
示的 A、B、C三个村庄之间修建马路连成三角形区域，且在这个区域内修
建一个集贸市场，要求使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸
市场应建的位置是（ ）
A.三条高线的交点 B.三条中线的交点
C.三条角平分线的交点 D.三边垂直平分线的交点
A
E F
B C
D
图 15.4-1 图 15.4-2 图 15.4-3
（3）如图 15.4-3，△ABC 中,AB =AC,AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
给出以下四个结论：①DA 平分∠EDF ；②AE=AF ；③图中共有两对全等三
角形 ；④∠DAC=∠FDC，其中正确的结论有 （填序号）。
2、时间要求（10 分钟）
3、作业分析与设计意图
第(1)题根据已知图形首先能准确判断出所作图形是角平分线，其次是根据角
平分线的性质找出正确结论。主要考察学生对于用尺规作角平分线的原理，是否
理解作法中每一步所表达的意义。
第(2)需要学生建立方程模型，再运用角平分线性质（角平分线上的点到角两
边的距离相等）来解决生活中问题，加深数学与生活的联系，体会数学的应用价
值。
第(3)题既考察学生对角平分线性质的理解，又让学生对等腰三角形相关性质
做出探讨，同时考察了学生对同角的余角相等是否掌握，实现了知识的贯通与内
在联系的融合。
17
作业 2：（发展性作业）
1、作业内容
（1）如图15.4-4，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，
则∠MAB=（ ）
A.30° B.35° C.40° D.60°
B
O
A C
图 15.4-4 图 15.4-5
（2）如图 15.4-5 所示，△ABC 的三边 AB,BC,CA 的长分别为 40,50,60，其三条
角平分线交于点 O，求 S△AB0:S△BCO:S△CAO的值。（跨课时作业，后接15.4.2
作业2第(1)题）
2、时间要求（15 分钟）
3、作业分析与设计意图
第（1）需要学生观察图形，利用已有知识储备去分析，充分运用角平分线
性质添加辅助线，构建全等三角形，再利用四边形与三角形内角和求出待求角
度。该题怎样构建三角形全等有一定难度，通过训练，使学生加深对性质的理
解，体会几何学与代数学的奥妙。
第（2）题已知三角形角平分线的交点，通过这个交点作三边的垂线，根据角
平分线的性质得到垂线段相等。当高相等时三角形面积之比转化为边之比。在考
察学生对角平分线性质的过程中，考察了学生转化思想的应用能力，解锁了三角
形面积计算的另外途径，实现了知识的贯通与内在联系的融合。
第九课时：15.4.2角的平分线2
作业1（基础性作业）
1、作业内容
（1）如图 15.4-6 所示，0P 为∠A0B 的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB,垂足分别是 C、
D,则下列结论错误的是( )
A
A.PC=PD C
B.∠CPM=∠PDB M
C.∠CPO=∠DPO
D.OC= OD P
O B
D
图 15.4-6
(2)在新农村建设中，民心工程“村村通”公路的实现备受欢迎。如图15.4-7 所
示，已知直线l是省道公路，现有村庄 P 欲打通与省道 l 的相通，实现快速通行，要
使其造价最低。请你用所学的知识帮忙设计欲建的公路的位置，用尺规在图15.4-7
上画出，并写出你的设计方案。
18
C
D
l
. p
A B
E
图 15.4-7
图 15.4-8
(3)如图 15.4-8 所示，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC,AD 平分∠CAB,交 BC 于点 D,
DE⊥AB,垂 足为点 E,若 AB=8cm,则△DEB 的周长为( )
A.10 cm B.7cm C.8cm D.不能确定
2、时间要求（15 分钟）
3、作业分析与设计意图
第(1)题是考察学生对角平分线性质的掌握情况。题目要求学生根据角平分线
的性质，来具体判别图形中数量关系的具体应用，学生需要对角平分线性质充分
理解掌握的基础上来作答；
第(2)题考察学生以基本事实“垂线段最短”作为基本依据进行尺规作图，利
用过直线外一点作已知直线的垂线来解决实际问题中的最短距离问题时，考察学
生是否能灵活运用 “垂线段最短”这个性质，并锻炼了学生的动手作图能力；
第(3)题运用角平分线的性质以及三角形全等的性质将△DEB 周长转化为已知
边AB 的长，解题时需要学生利用等量代换建立转化思想，再运用角平分线性质来证
明三角形全等，体会数学解题中的转换思想。
作业 2（发展性作业）
1、作业内容
（1）如图 15.4-9 所示三角形草坪，其周长是 32cm，点 O 是△ABC 的内心（三角
形三条角平分线的交点），且 OD⊥BC 于 D， OD=6cm，求△ABC 的面积。（跨
课时作业，前承15.4.1作业2第（2）题）
O
A
B
P
M 图 15.4-10 N
图 15.4-9
（2）如图 15.4-10 所示：∠MON=60°，点 A、B 为射线 OM、ON 上的动点（点 A、
B不 与 点 O 重合），在∠MON 内部△AOB 的外部有一点P,满 足 AP=BP,
∠APB=120°,求证：点 P 在∠MON 的平分线上。
2、时间要求（15 分钟）
3、作业分析与设计意图
第（1）题看似求三角形面积，但仔细分析就会察觉直接条件不够，从而激发
学生去探讨已知条件中角平分线有什么作用？进一步分析推理连接AO 之后原三角
形被分为三个三角形且它们的高相同，底边之和就是三角形周长，至此三角形的
19
面积即可得出。该题要求学生具有一定的观察能力和推理能力；
第（2）题是考察学生判断一点是否在角的平分线上的常用方法。要证明一点
在某个角的平分线上，关键是证明该点到角两边的距离相等，通常需先过该点向角
的两边引垂线段。如本题，先过点 P 分别向∠MON 的两边作垂线，然后利用全等三角
形的对应边相等证得两垂线段长度相等，进而得到点 P 在∠MON 的平分线上。
六、作业评价
根据学生所处学段及知识储备情况，在落实“双减”政策的背景下，对学生的
课后作业做出如下量化评价标准：
1、 学生自评：
学生通过完成课时作业，从而检验对教材基本知识点的掌握情况，是否存
在对知识点的认知不足、不全等问题，从而做到有效反馈,具体标准如下表：
评价指 等级 备 注
标 A B C
作业的 A等，较简单，能快速准确答题。
难易程 B等，较难，但思考后能准确完整的作答。
度 C等，难,反复思考，均不能准确完整作答。
作业的 A等，能在规定时间内，准确完整作答。
作答时 B等，超过规定时间，但能准确完整作答。
间 C等，超过规定时间，仍不能准确完整作答。
A等，书写格式与解题格式完全符合要求。
作业作 B等，书写格式与解题格式有遗漏，存在部分不规
答的规 范之处。
范性 C等，书写格式与解题格式完全不符合要求，杂乱
无章。
AAA、AAB 、ABA 综合评价为 A 等； ABB、BBB、
综合评
AAC(不超过一项 C)综合评价为 B 等；其余情况综
价等级
合评价为 C 等。
2、 学生互评：
通过学生相互之间作业的评价，互相发现对教材知识点的认识不足及缺陷，
同时学习其他同学解法的完整性及多样性，互相补充，互相促进，具体标准如
下表：
评价指 等级 备 注
标 A B C
A 等，过程完整、答案正确。
答题的
B 等，过程较完整，部分步骤缺失，答案正确。
完整性
C 等，过程不完整，答案不准确。
答题的 A 等，过程规范，答案正确。
20
规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。
C 等，过程不规范或无过程，答案错误。
解法的 A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，过程杂乱或无过
程。
综合评 AAA、AAB 、ABA 综合评价为 A 等； ABB、BBB、
价等级 AAC(不超过一项 C)综合评价为 B 等；其余情况
综合评价为 C 等。
3、 教师评价：
教师通过对全体学生作业的反馈，实时了解学生对所授知识点的掌握情况，
发掘优点，找出不足，特别是对作业的书写、表达等做出全面的评价，具体标
准如下表：
评价指 等级
备 注
标 A B C
A 等，答案正确、过程正确。
答题的 B 等，答案正确、过程有问题。
准确性 C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，
过程错误、或无过程。
A 等，过程规范，答案正确。
答题的
B 等，过程不够规范、完整，答案正确。
规范性
C 等，过程不规范或无过程，答案错误。
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
创新性 C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过
程。
综合评 AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综
价等级 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
21
单元测试
一、选择题
1. 剪纸是中国民间艺术的瑰宝之一，早在汉代，随着造纸术的发明，剪纸就出现
了。中国汉字、京剧脸谱、具有良好寓意的图案等都是剪纸的常用素材。简单的
剪纸图案常用折叠纸而剪的对称剪法，这种对称剪法剪出的图案一般都是成轴对
称的，请欣赏下面的剪纸，找出哪个不是只用对称剪法剪出的？（ ）
A. B. C. D.
2.已知点 A（1+m,m-n）与点 B（-3，2）关于 X 轴对称,求出 m+n 的值（ ）
A.2 B.6 C.-6 D.-2
3.如图 1 所示，在等腰△ABC 中，AB=AC, ∠A=20°，分别以点 A、B 为圆心，大
1
于 AB 长为半径画弧相交于点 D、点 E,连接 DE 交 AC 于点 F,则∠CBF=( )
2
A.80° B.70° C.60° D.50°
图 1 图 2 图3
4. 如图 2所示，点 P到 AE、AD、BC 的距离相等，则下列结论正确的是（ ）
①点 P 在∠CBE 的平分线上；
②点 P 在∠BAC 的平分线上；
③点 P 在∠BCD 的平分线上；
④点 P 是∠BAC、∠CBE、∠BCD 的平分线的交点；
A①② B①②③ C②③④ D①②③④
5.如图3所示，在△ABC 中，D为AC上的一点，∠C=90°,∠A=15°,∠DBC=60°,BC=2。
则AD的长为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
二 、 填空题
6.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 50°，则该等腰三角形的顶角为 。
图5
图4
7.如图 4，在△ABC 中 AB=5cm,BC 的垂直平分线分别交 AB、BC 于点 D、E，△ACD 的
周长为 8cm，则： AC= cm。
22
8.如图 5 所示，在△ABC 中，AB=5cm，∠ABC=45°且 BD 平分∠ABC，点 M、N 分别为
BD 和 AB 上的动点，则 AM+MN 的最小值为 cm。
三 、 解答题
9.如图 6，在△ABC 中，AB=AC,∠B=30°，点 D 为 BC 的中点，AD=2cm。求：AB 和
∠BAC
图 6 图 7
AB BD
10.如图7,AD平分∠BAC,求证： =
AC DC
11.如图 8，在等边△ABC 中，点 E 为 AC 边上的一定点，点 D 为直线 BC 上一动点，
以DE 为一边作等边△DEF,连接 CF。
⑴ 图 8①点 D 在BC 上, 求证：CE+CF=CD
图 8① 图 8②
⑵如图 8②,点 D 在线段 BC 的延长线上，试探究 CE、CF 与CD 之间存在怎样的数量关
系，并说明理由。
单元质量检测作业属性表
对应 对应学
序 单元 完成
类型 难度 来源
号 作业 知道 理解 应用 综合 时间
目标
1 选择题 1、2 √ 易 原创
2 选择题 1 √ 易 选编
3 选择题 3、4 √ 中 改编
4 选择题 3 √ 中 改编
5 选择题 3 √ 中 选编
6 填空题 3
40分
√ 易 改编
钟
7 填空题 3 √ 中 改编
8 填空题 3、5 √ 较难 选编
9 简答题 3 √ 易 改编
10 简答题 3、5 √ 中 选编
11 简答题 3、5 √ 较难 改编
23
参考答案
第 1 课时 15.1.1 轴对称及相关概念
作业 1（基础性作业）
1、不是轴对称图形的只有 A，其余都是轴对称图形。
故选 A．
2、解：如图所示：有 4 种不同的方法．
3、解：根据轴对称图形的定义可知：标号为 2 的曲边四边形与 1，3，7 成轴对称。
故答案为：1，3，7。
作业 2（发展性作业）
1.
解：从图中可以发现所有的图形都是轴对称图形，而且图形从左到右分别是 1 7
的数字，所以画一个轴对称图形且数字为 6 即可。
2.解：（1）.①237+732=969，
②362+263=625，625+526=1151，1151+1511=2662
（2）.答案不唯一
第 2 课时 15.1.2 轴对称图形
作业 1（基础性作业）
1、解：如图所示：点 A'( 2, 2)，点 B'(2, 3),垂直平分。
2、C
解：∵点 A(3x 11,4y+15)，点 B(5y,x)关于 y 轴对称
∴3x 11+5y=0；4y+15=x；
解得：x=7，y= 2，
∴x+y= 5，
故选 C．
3、B
解：根据题意得： P在第一象限
1
2 m>0， m>0 解得02
作业 2（发展性作业）
24
1.解：∵过一点分別作 x轴与 yy轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长的数值与
面积的数值相等，则这个点叫做和谐点。
①∵2+4+2+4=12，2×4=8，∴点 M(2,4)不是和谐点，故此选项错误；
②∵2+a+2+a≠2a，故不论 a 为何值时，点 P(2,a)不是和谐点，故此选项正确；
③若点 P(a,3)是和谐点， 2a+6=3a，或 2a+6= 3a 解得：a=±6，故此选项错误；
④若点 F 是和谐点，则点 F 关于坐标轴的对称点也是和谐点，此选项正确。
正确结论的序号是②④。
2.解：如图就是所求作的图形。
（1）以过两筷子的交点和圆心的直线为对称轴求筷子和盘子另一个交点的对称点．
（2）圆点到两筷子的距离相等且平行于原来的筷子．
（3）圆点到两筷子的距离相等且两筷子的延长线交与一点。
第 3 课时 15.2 线段的垂直平分线
作业 1（基础性作业）
1、作线段 AB 的垂直平分线，与直线a的交点P即为所求
2、答案:4 个。
∵ 是 的垂直平分线，
根据垂直平分线的定义， = ， ⊥ ①②正确
根据线段的垂直平分线的性质，
= ，③正确
∴ ∠ = ∠ 。 ④正确
3、答案:12cm。
∵直线CE 是线段 AB 的垂直平分线，直线 CF 是线段 AD 的垂直平分线，
∴BE=AE,DF=AF,
∴△AEF 的周长等于 AE+EF+AF=BE+EF+DF=BD=12cm。
作业 2（发展性作业）
25
1、A。
三角形三边垂直平分线相交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等。
2、分别作两面墙壁的对称点 A’和 B’，然后连接 A’和 B’。则 M 和N 就是平面
镜所在的位置。如图所示；
3、
方法一：∵CA=CB∴C 点在线段 AB 的垂直平分线上，
又∵DA=DB∴D 点在线段 AB 的垂直平分线上，根据两点确定一条直线，所
以直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线。
方法二：设直线CD交直线AB于点O
在△ACD 和△BCD 中，
=
=
=
∴△ACD △BCD(SSS)
∴∠ACD =∠BCD,
在△ACO 和△BCO 中,
=
∠ACD = O∠BCD
CO = CO
∴△ACO △BCO(SAS)
∴∠AOD =∠BOD = 90° AO=BO
∴直线 CO 垂直平分线段 AB,故直线 CD 垂直平分线段 AB。
第四课时 15.3.1 等腰三角形的性质1
作业 1（基础性作业）
1.A解a=2,b=1
三角形为等腰三角形，a为腰时，三边为2、2、1符合题意。
b为腰时，三边为1、1、2，不符合题意K应舍去。
2．D（提示：只有等腰三角形顶角的 A
角平分线所在的直线才有此性质。）
3.∠EDC＝15°
∵ AB＝AC， E
∴ ∠B＝∠C
∵ AD⊥BC，
B D C
26
∴ ∠BAC＝2∠BAD＝60°
∴△ABC 为等边三角形．
∵AD＝AE，且∠CAD＝∠BAD＝30°
∴∠ADE＝75°
又∵∠ADC＝90°
∴∠EDC＝15°
4．∠E＝30°，BE＝15
解：∵△ABC 是等边三角形 A
∴ BC＝AC＝10
D
∴ BD 为中线，
∴ CD＝CE＝5
又∵∠ACB＝60° DC＝CE
∴ ∠E＝∠EDC＝30°
∴ BE＝BC＋CE＝10＋5＝15 B C E
作业 2（发展性作业）
1. ∠B=20°
解：设∠B=x°
∵DB=DE,
∴∠BED=x°,∠EDA=2x°

∵∠ADE= ∠ACB

∴∠ACB＝4x°
又∵△ABC 是等腰三角形
∴AB＝BC
∴∠A＝∠ACB=4x°
又∵∠A+∠B+∠C =180°
∴4x+4x+x=180°
x=20°即∠B=20°
2.④
作法：1.作线段 AB=a.
2.作线段 AB 的垂直平分线 MN,与 AB 相交于点 D。 C
3.在 MN 上取一点 C，使 DC=h.
4.连接 AC,BC,则△ABC 就是所求作的等腰三角形。 h
相等的线段有：
A D B
AC=BC（线段垂直平分线的性质）
AD=BD（等腰三角形的“三线合一”）
相等的角有：
∠ACD=∠BCD（等腰三角形的“三线合一”）
∠A=∠B（等边对等角） ∠ADC=∠BDC（垂线的定义）
第五课时 15.3.2 等腰三角形的性质2
作业 1（基础性作业）
27
1.D
当 为等腰三角形的底边时，符合条件的顶点 有4
个. 当 为等腰三角形的一腰时，符合条件的顶点 有
4个. 如图所示，所以满足△ 为等腰三角形的点 有
8个. 故选 .
2.C
∵ 1 1 = 2 1, ∠3=∠4=∠12=60°．
∴∠ = 30°，∠1=180° 120° 30°=30
又∵∠3 = 60°，
∴∠5 = 180° 60° 30° = 90
又∵∠10= ∠12 = 60°
∴∠9 = 60°
又∵ 2 2B3是直角三角形，
∴∠6 =30°
∴A2B2=2B1A2,
同理得B3A3=2B2A3
以此类推： 6 6 = 32 1 2 = 32，即 6 6 7的边长为32，故选 。
3．解：∵△BDC 的周长＝BD＋BC＋CD＝26，CD＝6，
∴BD＋BC＝20. A
∵AD＝BD＝BC，
∴AD＝BD＝BC＝10 E
D
∴AB＝AC＝AD＋CD＝10＋6＝16.
B C
∵AD＝BD，DE⊥AB
1
∴AE=EB= AB=8
2
作业 2（发展性作业）
1.∠EDC＝15°
解：设∠EDC＝x， ∠B＝y
则∵ AB＝AC， ∴ ∠B＝∠C＝y
∵ AD＝AE， ∴ ∠ADE＝∠AED
∵ ∠ADC－∠EDC＝∠AED
∴ y＋30°－x＝x＋y
∴ 2x＝30°
x＝15°
2.A
解：延长线段 BP 交 AC 边于点 D,设∠DCP＝x， ∠BCP＝y
28
∵AB=AC
∴∠PBC＝x， ∠ABD＝y,
∵∠ADB 是△BCD 的外角，∠DPC 是△BCP 的外角
D
∴∠ADB＝2x+y，∠DPC＝x+y
∵△ABD 内角和为180°，∠A＝50°
∴ 50+y+2x+y=180° 即 x+y=65°
∴ ∠BPC＝180°-65°＝115°
第六课时 15.3.3 等腰三角形的判定1
作业 1（基础性作业）
1．C （提示：（1）、（4）正确）
2．C 如图
图中相同标记的角是相等的，
特别的，∠ADE＝2∠B＝72°。
∴△ABD，△ADE，△AEC，△ACD，△ACD，
△ABC 均为等腰三角形。
3.A 解法：∵CD∥OB
∴∠DCO=∠COB,
∵OC 平分∠AOB
∴∠AOC=∠COB,
∴∠DCO=∠COA
∴CD=OD
又∵OD=3
∴CD =3
4.证明：∵ = ，
∴∠ =∠ = 30 ，
∵ 平分∠ ，
∴∠ = 2∠ = 60 ，
∵ = ，
∴∠ =∠ = 30 ，
∴∠ =∠ +∠ = 60 ，
∴∠ = 180 ∠ ∠ =60 ，
∴∠ =∠ =∠ ，
∴△ 是等边三角形
29
作业 2（发展性作业）
1. 方法一：正方形和等边三角形都是轴对称图形
∴AC 所在的直线是图中的对称轴
∴E 点、F 点是对称点
∴∠CEF＝∠CFE
方法二：∵四边形 是正方形，
∴ = = = ∠ =∠ = 90
∵△ 是等边三角形，
∴ =
∴ △ △
∴ =
∴ = 即 =
∴∠ =∠
2.△ 是等边三角形．
证明 ∵△ 为等边三角形，
∴ = ，
∵ ∠1 =∠2， = ，
∴ △ △ ，
∴ = ，∠ =∠ =60
∴ △ 是等边三角形。
第七课时 15.3.4 等腰三角形的判定2
作业 1（基础性作业）
1.B
解：∵∠ = 30 ，∠ABC= 90 ，
∴ C = 2 ，而 = 5米，
∴ C = 10米，
∴ 这棵大树在折断前的高度为 C + = 15米． 故选 . A
2.证明：如图，过点 作∠ = 60 ，交 于点 ，
∴∠ = 180 30 90 = 60 ，
D
∴∠ =∠ = 60 ，
∴△ 为等边三角形，
∴ = = ，
B C
30
在△ 中，
∵∠ = 30 ，∠ = 90 60 = 30 ，
∴ = ，
∴ = = = ，
∴ =1AC
2
3.C
解：如图，作 边的高 ，与 的延长线交于点 ，∵∠ = 150
∴∠ = 30
∵ ⊥ , = 30
∴ = 15
∵ = 20
1
S△ABC= AB×CD=150 ㎡
2
每平方米售价 元，购买这种草皮的价格为150 元，故选 。
作业 2（发展性作业）
1. (1)10,60
(2)5或20,90 或30
解：(1)∵∠ = 60 ，
∴当 = = 10时，△ 为等边三角形；∴∠APO=60
(2)当 ⊥ 时，∠ =90
∵∠AON= 60 ，
∴∠OAP=30
1∴ = = 5，
2
当 ⊥ 时，∠AP0=30
∴ = 2 =20
∴当 = 5或20时，△ 为直角三角形，∠ 的度数为90 或30 ．
2. DE=1.5
延长 交 于 ，
∵ ＝ ， 平分∠ ，BC=4
∴ ⊥ ， ＝ =2，
∵∠ ＝∠ ＝60 ，
∴△ 为等边三角形，
∵ ＝2.5，
N M
31
∴ ＝2.5，
∴ ＝2.5 2＝0.5，
∵△ 为等边三角形，
∴∠ ＝60 ，
∵ ⊥ ，
∴∠ ＝90 ，
∴∠ ＝30 ，
∴ ＝2 ＝1
∴ ＝ ＝2.5 1＝1.5
第八课时：15.4.1角的平分线1
作业 1（基础性作业）
1、解：根据尺规作图的画法可知：OE 是∠AOB 的角平分线。 A 正确；
OC=OD， B 正 确 ；∠AOE=∠BOE， D 正确。
点 C、D 到OE 的距离相等，C 不正确；
故选：C。
2、解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离
相等，根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B、∠C 的角平分
线的交点处。 故选：C。
3、①②④
由题意可知图中共有三组三角形全等，可得：①②正确
∵AB=AC, AD是∠BAC的角平分线，
∴BC⊥AD，
∵∠DAC+∠C =90 ，∠FDC+∠C =90
∴∠DAC =∠FDC 可得④正确
作业 2（发展性作业）
1、解：作 MN⊥AD 于 N，
∵∠B=∠C=90°，
∴AB∥CD，
∴∠DAB=180°﹣∠ADC=70°，
∵DM 平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，
∴MN=MC，
∵M 是 BC 的中点，
∴MC=MB，
∴MN=MB，又 MN⊥AD，MB⊥AB，
∴∠MAB=∠MAN
1
∴∠MAB= ∠DAB=35°
2
故选：B。
2、如图，过点0作0D,0E,OF分别垂直于AB,AC,BC,垂足分别为D,E,F
∵BO平分∠ABC,
∴OD=OF
同理，OE=OD.
32
∴OD=OE=OF B
∵△ABC的三边AB,BC,CA的长分别为40,50,60， D F
∴S△ABO：S△BCO:S△CAO
O
=( AB×OD):( BC×OF):( AC×OE)
=AB:BC:AC=40:50:60=4:5:6 A E C
第九课时：15.4.2 角的平分线 2
作业 1 （基础性作业）
1、∵OP 为∠AOB 的平分线，PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是 C、D
OP=OP
PC=PD,故 A 中结论正确；在 Rt△OCP 与Rt△ODP 中， PC=PD
∴Rt△OCP≌Rt△ODP,
∴∠CPO=∠DPO,OC=OD,
故选项 C,D 中结论正确。
由题中条件不能得出∠CPM=∠PDB,故选项 B 中结论错误。答案:B
2、解析：设计方案如下：
(1)、任取一点 N,使 N 和 P 在直线 l 的两旁；
(2)、以点 P 为圆心，PN 长为半径作弧，交直线 l 于 A,B 两点；
1
(3)、分别以点 A,B 为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧交于点 M；
2
(4)、作直线 PM,交直线 l 于点Q。则线段 PQ 就是所要修的公路的位置。
3、C 解析∵在△ABC 中，∠C=90°，
∴DC⊥AC.
∵DE⊥AB,AD 平分∠CAB,
∴DC=DE.
在 Rt△ACD 和Rt△AED 中
AD=AD DC=DE
∴Rt△ACD≌Rt△AED
∴AC=AE
又∵AC=BC,
∴BC=AE.
△DEB 的周长=DE+DB+EB=DC+DB+EB=BC+EB=AE+EB=AB=8Cm.
答案:C
作业 2 （发展性性作业）
1、解：过 O 作 OE⊥AB 于 E，OF⊥AC 于 F，连接 OA，
∵OB，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB，OD⊥BC，
B
∴OE=OD，OD=OF，即 OE=OF=OD=4，
F
∴△ABC 的面积是：S△AOB+S△AOC+S△OBC D
1
= （AB×OE+AC×OF+BC×OD）
2
1 O
= ×4×21
2
=42cm A E C
33
故△ABC 的面积是42cm
2、如图所示，过点P分别作PC⊥OM,PD⊥ON,垂足分别为C,D, O
则∠ACP=∠BDP=90°
证角相等在四边形0CPD中， A
∠CPD=360°-∠0CP-∠COD-∠ODP DC B
=360°-M90°-60°-90°
P
=120°
M
∴∠APB=∠CPD, N
∴.∠CPD-∠APD=∠APB-∠APD,即∠APC=∠BPD.
∠ACP=∠BDP,
在Rt△APC和Rt△BPD中， ∠APC=∠BPD,
AP=BP
∴△APC≌△BPD。
∴PC=PD
即点P在∠MON的平分线上。
单元测试
一、选择题
1、D 根据题意即找出不是轴对称的图案
2、C
∵点 A(1+m,m-n)与点 B（-3,2）关于 X 轴对称
∴ 1+m=-3;m-n=-2
m=-4 n=-2
m+n=-6
3、D
由尺规作图得，DE 垂直平分 AB,AF=BF
∵∠A=20°AB=AC
∴∠ABF=∠A=20°,∠ABC=∠ACB
1
= (180°-20°)=70°
2
∠CBF=∠ABC-∠ABF=70°-20°=50°
4、D 由角平分线的性质和判定定理
5、B
解析：在RtΔBDC 中，BC=2,∠DBC=60
∴ ∠BDC=30 BD=2BC=4
∵∠A=15
∴∠ABD=∠BDC-∠A=15
∴ ∠ABD=∠A
∴ AD=BD=4
二、填空题
34
6、40°或 140°
提示：分两种情况讨论：高在三角形内部或者三角形外部
7、解：∵DE 是线段BC的垂直平分线
∴BD=CD
又∵△ACD 的周长为 8cm
∴AC+CD+AD=AC+BD+AD=AC+AB=8cm
∵AC=5cm
∴AC=8-5=3cm
5
8、 2 cm
2
由角的对称性得，BC 存在一点 P 使得 MN=MP;当 A、M、P 三点共线且 AP
垂直于 BC 时，AM+MP 取得最小值，在直角三角形 APB 中，AB =5cm ，
5 2
∠ABC=45°由勾股定理得：AP= 2 cm
三 解答题
9、解：∵AB=AC, 点 D 为BC 的中点
∴AD⊥BC 于点 D
AD 平分∠BAC
在 Rt△ABD 中，∠B=30°，AD=2cm
∠BAD=90°-∠B=60°
0
∠BAC=2∠BAD=120
AB=2AD=4cm
10、解：过 A 点作 AE⊥BC 于点 E,过 D 点分别作
M
N
DM⊥AB 于点 M, DN⊥AC 于点 N
∵AD平分∠BAC
∴DM=DN
1 1 E
∴S△ABD = AB×DM= BD×AE
2 2
1 1
∴S△ADC = AC×DN= CD×A
2 2
∴S△ABD : S△ADC =AB:AC =BD:CD
A
11、（1）证明：在 CD 上截取 CH=CE，连接EH
∵△ABC 是等边三角形
E
∴∠ECH=60°△CEH 是等边三角形
∴EH=EC=CH,∠CEH=60°
∵△DEF 是等边三角形 B
C
∴DE=FE,∠DEF=60° D H
35 F
∴∠DEH+∠HEF=∠FEC+∠HEF=60°
∴∠DEH=∠FEC
在△DEH 和△FEC 中DE=FE
∠DEH=∠FEC EH=EC
∴△DEH≌△FEC（SAS）
∴DH=CF CD=CH+DH=CE+CF
∴CE+CF=CD
（2）解：CF=CD+CE
如图（2）过点 D 作 DG∥AB，交 AC 的延长线于点 G，
∵DG∥AB
∴∠GDC=∠B,∠DGC=∠A
∵△ABC 是等边三角形
∴∠A=∠B=60°
∴∠GDC=∠DGC=60°
△GCD 为等边三角形
∴DG=CD=CG
∵△EDF 为等边三角形
∴ED=DF,∠EDF=∠GDC=60°
∴∠EDG=∠FDC
在△EGD 和△FCD 中ED=DF
∠EDG=∠FDC DG=CD
∴△EGD≌△FCD（SAS） G
∴EG=FC CF=EG=CG+CE=CD+CE
36

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