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数学学科第十七章单元作业
《勾股定理》作业设计
一、单元信息
基本 学科 年级 学期 教材版本 单元名称
信息 数学 八年级 第二学期 人教版 勾股定理
单元
组织方 自然单元
式
序号 课时名称 对应教材内容
1 勾股定理 17.1勾股定理 P22-24
2 勾股定理的应用 17.1勾股定理的应用（1） P25-26
课时
3 勾股定理的应用 17.1勾股定理的应用（2） P26-27
信息
4 勾股定理的逆定理 17.2勾股定理的逆定理 P31-32
勾股定理的逆定理 17.2勾股定理的逆定理的应用
5 P33
的应用
6 数学活动 数学活动 P36
7 单元复习 单元复习作业 P37-39
二、单元分析
（一）课标要求
探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题 。
课标在“知识技能”方面指出探索并掌握三角形的基本性质与判定，掌握
1
基本的证明方法和基本的作图技能；在“数学思考”方面指出，在研究图形性
质过程中进一步发展空间观念，经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何
直观；体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，在多
种形式的数学活动中发展合情推理与演绎推理的能力；初步学会在具体的情境
中，从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简
单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。
（二）教材分析
1.知识结构框图
互逆定理
图2
勾股定理 勾股定理的逆定理
图2
图2
直角三角形边长的数量关系 直角三角形的判定
2.内容分析
勾股定理是“图形与几何”领域的内容.
直角三角形是一种特殊的三角形，它有许多性质，如两个锐角互余，30°
的角所对的直角边等于斜边的一半。本章所研究的勾股定理，是直角三角形非
常重要的性质，有极其广泛的应用。勾股定理指出了直角三角形三边之间的数
量关系，这就搭建起了几何图形和数量关系之间的一座桥梁，从而发挥了重要
的作用。勾股定理不仅在平面几何中是重要的定理，而且在三角学、解析几何
学、微积分学中都是理论的基础，对现代数学的发展也产生了重要而深远的影
响。因此，勾股定理，不仅被认为是平面几何中最重要的定理之一，也被认为
是数学中最重要的定理之一。因此，本章的学习重点是：勾股定理及其应用。
本章分为两节，第 17.1节介绍勾股定理及其应用，第 17.2节介绍勾股定
理的逆定理及其应用。
2
在第 17.1节中，教科书安排了对勾股定理的观察、计算、猜想证明及简单
应用的过程。历史上对勾股定理的证明有很多方法。教科书正文介绍了三世纪
三国时期中国数学家赵爽的证明方法，这是一种面积证法，依据是图形在经过
适当切割后，再另拼成一个新的图形切割，拼接前后图形各部分的面积之和不
变，利用面积不变的关系和对图形面积的不同算法得到等量关系，从而证明了
勾股定理。根据勾股定理，在直角三角形中，已知两条边即可求出第三边，让
学生学习运用勾股定理解决问题。
17.2 节中，教科书首先让学生画出一些两边的平方和等于第三边平方的三
角形，发现画出的三角形都是直角三角形。从而做出猜想，如果三角形三边满
足两边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形。教科书借助
勾股定理和判定全等三角形的定理，证明这个猜想得到勾股定理的逆定理，勾
股定理的逆定理是判定一个三角形是直角三角形一种重要的依据。
（三）学情分析
从学生的认知规律看：学生在八年级已学习过三角形，全等三角形，直角
三角形的相关性质等几何知识，已初步具有几何图形观察和几何推理证明的思
维能力，这些都为学生学习勾股定理奠定了知识基础。
从学生的学习习惯、思维规律看：八年级学生已经具有一定的自主学习能
力和独立思考能力，积累一定的数学活动经验。但是勾股定理探究的是直角三
角形三边之间的数量关系，学生发现—猜想—验证—证明勾股定理这一过程会
有一定障碍，教学过程中让学生经历几何命题证明的一般过程，重视学生观
察、猜想能力的培养，同时重视从特殊结论到一般结论的严密逻辑思维能力的
培养。因此，本章的教学难点：勾股定理及其逆定理的探究和证明。
三、单元学习与作业目标
1. 经历勾股定理及其逆定理的探索过程，知道这两个定理的联系和区别，
能用这两个定理解决一些简单的实际问题。
2.初步认识勾股定理及其逆定理的重要意义，会用这两个定理解决一些几
何问题。
3.通过具体的例子，了解逆命题、逆定理的概念，会识别两个互逆的命
3
题，知道原命题成立时其逆命题不一定成立。
4.通过对我国古代研究勾股定理成就的介绍，培养民族自豪感，通过对勾
股定理的探索和交流，培养数学学习的自信心。
四、单元作业设计思路
数学课程标准强调：“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上
得到不同发展”。作业是教学过程中不可缺少的重要环节之一，作业是反馈教
学效果的重要手段，有助于学生巩固知识，培养学生的创新精神，形成基本数
学思想和积累数学基本活动经验.但作业不应当是强加给学生的负担，而是学生
成长的一种自觉的需要，根据新课标的要求，我们的作业应该成为学生巩固知
识、快乐实践、探索创新的园地。
尊重个性差异，作业有适度的层次性。作业设计太容易，对优秀的学生—
—“吃不饱”，反之太难，对较差的学生——“吃不了”。在新课程理论下作
业设计要体现因材施教，满足不同层次学生的需求，要有适度的层次性。每课
时均设计“基础性作业”（面向全体，体现课标，要求学生必做）和“发展性
作业”（体现个性化，探究性、实践性，要求学生有选择的完成）。也可以设
置多种答案或解题策略多样的开放型练习。让学生全面参与，发挥学生的所
长，让每一个学生都得到不同的发展。
五、课时作业
第一课时（17.1 勾股定理）
作业一（基础性作业）
1. 作业内容
（1） 在 Rt 中，∠A、∠B、∠C 的对边分别为 、b、c.
① 若∠C=90°， =3,b=4,求 c；
② 若∠C=90°， :b=1:2,c=5,求 b;
③ 若∠C=90°, ∠A=45°,c=10,求 和 b.
4
④ 若 = 6， = 8,求 c;
（2） 如图，已知△ ABC中，∠ACB = 90°，以△ ABC的
各边为边在△ ABC外作三个正方形， 1、 2、 3分别表示这三个
正方形的面积，若 1 = 25， 3 = 144，则AB =______．
（3）如图，△ 中，∠ = 90°， 是 边上一点， = 17 ，
= 10 ， = 8 ，求 BD的长.
2.时间要求（10分钟以内）
3.评价设计
等级
评价指标 备注
A B C
A等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C等，答案不正确，有过程不完整；答
案不准确，过程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
B等，过程不够规范、完整，答案正
答题的规范性 确。
C等，过程不规范或无过程，答案错
误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正
确。
B等，解法思路有创新，答案不完整或
解法的创新性
错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复
杂或无过程。
5
AAA、AAB综合评价为 A等；ABB、BBB、
综合评价等级 AAC综合评价为 B等；其余情况综合评
价为 C等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题考查学生运用勾股定理解决问题的能力，明确运用勾股定理
解决问题时只要知道直角三角形中任意两条边即可求第三边；或者知道一边以
及另外两边之间的数量关系，可利用勾股定理建立方程模型解决问题，培养学
生建模思想；当直角不明确时，考查学生分类讨论的思想。
作业第（2）题要求学生根据探究勾股定理的过程掌握三个正方形的面积关
系，以及能将正方形的面积关系和直角三角形的三边关系进行联系，加深对勾
股定理证明的理解，感悟数形结合，通过勾股树，感受数学之美。
作业第（3）题多次运用勾股定理解决数学问题，培养学生分析问题和解决
问题的能力。
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
（1）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂
美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O.若AD = 2，BC =
4，则AB2 + CD2 =______．
（2）如图，在Rt △ ABC中，∠BAC = 90°，AB = 4，
AC = 3，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，AP平分
∠BAC，与DE的延长线交于点P．
(1)求PD的长度；
(2)连结PC，求PC的长度．
（3）【背景阅读】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家
称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则
6
弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了验证勾股定理，创制了一幅“弦图”(
如图1)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
【实践操作】(1)请叙述勾股定理；
(2)验证勾股定理，请利用图2中的数据来验证该定理．
【探索发现】 (1)如图3、4、5，以直角三角形的三边为边或直径，分别向
外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1 + S2 = S3的
有______个；
(2)如图6所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形
图案(图中阴影部分)的面积分别为S1、S2，直角三角形面积为S3，请判断S1、
S2、S3的关系并说明理由．
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
等级
评价指标 备注
A B C
A等，答案正确、过程正确。
答题的准确性
B等，答案正确、过程有问题。
7
C等，答案不正确，有过程不完整；答案
不准确，过程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正
确。
B等，解法思路有创新，答案不完整或错
解法的创新性
误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂
或无过程。
AAA、AAB综合评价为 A等；ABB、BBB、
综合评价等级 AAC综合评价为 B等；其余情况综合评价
为 C 等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题
的关键．利用勾股定理列式，以及对代数式变形进而解决问题。
作业第（2）题培养学生几何综合能力：等腰直角三角形的判定，角平分线
的性质，线段垂直平分线的概念，勾股定理．①根据垂直平分线的性质结合角
的平分线定义得到AD = DP，即可求出PD长度②作PF ⊥ AC于F，根据角平分线
的性质定理求出PF，再根据勾股定理计算即可．渗透在平面几何问题中求线段
长度常联想到运用勾股定理解决问题。
作业第（3）题要求学生掌握勾股定理的内容，并能运用“面积法”证明勾
股定理。借助于勾股定理解决与图形面积有关的问题。感悟数形结合的思想，
感受中国古代数学文化，提高民族文化自信。
第二课时（17.1勾股定理的应用（1））
作业一（基础性作业）
8
1.作业内容
（1）如图1，一架云梯斜靠在一竖直的墙上，云梯的顶端距地面15米，梯
子的长度比梯子底端离墙的距离大5米．
①这个云梯的底端离墙多远？
②如图2，如果梯子的顶端下滑了8 m，那么梯子的底部在水平方向滑动了
多少米？
图1 图2
÷ 1
（2）楼梯.的侧面视图如图所示，其中 米， ，
，因某种活动要求铺设红色地毯，求 AB段楼梯所铺地毯的长度．
（3）我国古代数学著作《九章算术》中“折竹抵地”问题：“今有竹高一
丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”今译：一根竹子高1丈，折断后竹
子顶端落地，离竹子底端3尺处．折断处离地面的高度是多少？(1丈= 10尺)
2.时间要求（10 分钟以内）
3.评价设计
等级
评价指标 备注
A B C
9
A等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C等，答案不正确，有过程不完整；答
案不准确，过程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
B等，过程不够规范、完整，答案正
答题的规范性 确。
C等，过程不规范或无过程，答案错
误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正
确。
B等，解法思路有创新，答案不完整或
解法的创新性
错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复
杂或无过程。
AAA、AAB综合评价为 A等；ABB、BBB、
综合评价等级 AAC综合评价为 B等；其余情况综合评
价为 C等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题考查学生运用勾股定理解决问题的能力，明确运用勾股定理
解决问题：知道一边以及另外两边之间的数量关系，可利用勾股定理建立方程
模型解决问题，培养学生建模思想。
作业第（2）题要求学生利用平移转化的思想将地毯的长转化为 AC和 BC的
长度和，然后根据直角三角形 30°角所对直角边等于斜边的一半，利用勾股定
理建立方程模型解决问题，进一步培养学生建模思想。
作业第（3）此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造
直角三角形，从而运用勾股定理设未知数建立方程模型解决问题。同时渗透数
学文化，感受中国古代数学文化，提高民族文化自信。
作业 2（发展性作业）
10
1.作业内容
（1）如图，在Rt △ ABC中，∠C = 90°，分别以各
边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波
克拉底月牙”，当AC = 4，BC = 2时，求阴影部分的面
积。
（2）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：”
今有池方一丈，葭(jiā)生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸
齐．问水深几何？”（注：丈，尺是长度单位，1丈= 10尺）这
段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方
形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边
的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，求水池里水的深度是几尺．
（3）如图，长方体的长为15宽为10，高为20，点B离点
C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到
点B，求需要爬行的最短距离。
2.时间要求（15 分钟以内）
3.评价设计
等级
评价指标 备注
A B C
A等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C等，答案不正确，有过程不完整；答案
不准确，过程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
11
A等，解法有新意和独到之处，答案正
确。
B等，解法思路有创新，答案不完整或错
解法的创新性
误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂
或无过程。
AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC
综合评价等级 综合评价为B等；其余情况综合评价为C
等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题借助于勾股定理解决与图形面积有关的问题——两个小半圆
面积之和等于大半圆，进而探究得到阴影部分面积等于三角形面积。感悟数形
结合的思想，了解数学文化。
作业第（2）题引导学生从实际问题中抽象出直角三角形模型，知道一边以
及另外两边之间的数量关系，利用勾股定理建立方程模型解决问题。感受中国
古代数学文化，提高民族文化自信。
作业第（3）题本题主要考查两点之间线段最短，关键是将长方体侧面展
开，然后利用两点之间线段最短解答．根据题意分类讨论、进行求解,学生往往
会忽略分类讨论．
第三课时（17.1勾股定理的应用（2））
作业一（基础性作业）
1.作业内容
（1）如图，小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：
首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB ⊥ OA，
12
使AB = 3(如图).以O为圆心，OB长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所
表示的数介于( )
A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间
(2)如图，在3 × 3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在
格点上，若BD是ΔABC的高，则BD的长为___________.
(3)如图，Rt △ ABC中，∠B = 90°，AB = 3 cm，AC = 5 cm，将△ ABC折
叠，使点C与A重合，折痕为DE，求△ ABE的周长.
（4）如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边 BC 的中点，
E、F分别是 AB、AC 边上的点，且 DE⊥DF，若 BE=12，CF=5．求线段 EF的长。
2.时间要求（10 分钟以内）
3.评价设计
等级
评价指标 备注
A B C
A等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C等，答案不正确，有过程不完整；答
案不准确，过程错误、或无过程。
13
A等，过程规范，答案正确。
B等，过程不够规范、完整，答案正
答题的规范性 确。
C等，过程不规范或无过程，答案错
误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正
确。
B等，解法思路有创新，答案不完整或
解法的创新性
错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复
杂或无过程。
AAA、AAB综合评价为 A等；ABB、BBB、
综合评价等级 AAC综合评价为 B等；其余情况综合评
价为 C等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题利用勾股定理列式求出OB，再估算无理数的大小判断即
可．
作业第（2）题利用网格根据勾股定理计算AC的长，利用面积差可得三角
形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．
作业第（3）题根据勾股定理，可得BC的长，根据翻折即轴对称的性质，
可得AE与CE的关系，即可求得三角形的周长。
作业第（4）题此题综合考查了学生灵活利用等腰三角形性质根据勾股定理
解决问题的能力，解题的关键是利用题目信息添加中线利用等腰三角形“三线
合一”的性质构造全等三角形，实现边的转换，从而运用勾股定理解决问题。
培养逻辑推理能力。
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
（1）课本中有这样的一句话：“利用勾股定理可以作出√3，√5，…等线
段”(如图所示)，即：OA = 1，过点A作AA1 ⊥ OA且AA1 = 1，根据勾股定理，
14
得OA1 = √2；再过点A1作A1A2 ⊥ OA1，且A1A2 = 1，得OA2 = √3；…，以此类
推，OA2020 =______．
（2）已知：如图，在△ ABC中，∠C = 90°，
D是AC的中点，求证：AB2 + 3BC2 = 4BD2．
（3）如图是有公共边AB的两个直角三角形，其中
AC = BC，∠ACB = ∠ADB = 90°．
(1)如图1，若延长DA到点E，使AE = BD，
连接CD，CE．
①求证：CD = CE，CD ⊥ CE；
②直接写出AD、BD、CD之间的数量关系；
(2)若△ ABC与△ ABD位置如图2所示，请写出线段AD，BD，CD的数量关
系，并证明．
2.时间要求（15 分钟以内）
3.评价设计
等级
评价指标 备注
A B C
A等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C等，答案不正确，有过程不完整；答案
不准确，过程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
15
A等，解法有新意和独到之处，答案正
确。
B等，解法思路有创新，答案不完整或错
解法的创新性
误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂
或无过程。
AAA、AAB综合评价为 A等；ABB、BBB、
综合评价等级 AAC综合评价为 B等；其余情况综合评价
为 C 等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题利用勾股定理计算出OA1、OA2、OA3，然后根据计算的结
果观察、归纳规律进而写出OA2019．本题考查了勾股定理的计算，意在培养学
生的计算和归纳能力。
作业第（2）题本题考查了勾股定理，线段中点的定义，难点在于二次利用
勾股定理列式整理．根据线段中点的定义可得AC = 2CD，然后在Rt △ BCD中，
利用勾股定理列式表示出CD，再表示出AC，再次利用勾股定理列式整理即可得
证．意在培养学生的逻辑推理和式子变形能力。
作业第（3）题本题考查的是等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的
判定和性质，勾股定理，类比第（1）问、正确的作出辅助线是解题的关键．
(1)①根据四边形的内角和得到∠DAC + ∠DBC = 180°，得到∠DBC =
∠EAC，根据全等三角形的性质得到CD = CE，∠BCD = ∠ACE，求得∠DCE =
90°，根据垂直的定义得到结论；
②由已知条件得到△ CDE是等腰直角三角形，求得DE = √2CD，根据线段
的和差即可得到结论；
(2)类比第（1）问在AD上截取AE = BD，连接CE，根据等腰直角三角形的
性质得到∠BAC = ∠ABC = 45°，求得∠CBD = ∠CAE，根据全等三角形的性
16
质得到CD = CE，∠BCD = ∠ACE，求得∠DCE = 90°，根据线段的和差即可
得到结论．这一问对对学生的推理能力要求较高。
第四课时（17.2勾股定理的逆定理）
作业一（基础性作业）
1.作业内容
（1）写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题。
①两条直线平行，内错角相等；
②如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
③全等三角形的对应角相等；
④在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
（2）下列各组数是勾股数的是 ( )
A.6, 7, 8 B.6，8，10 C.0.3,0.4,0.5 D.52，122，132
（3）下面以 a,b,c 为边长的三角形是不是直角三角形？
① a=15 ，b=8 ，c=17; ②a=13 ，b=14 ，c=15；
③a=1 ，b= 2 ，c= 3； ④ a=7 ，b=14 ，c=15.
2.时间要求（10 分钟以内）
3.评价设计
等级
评价指标 备注
A B C
A等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C等，答案不正确，有过程不完整；答
案不准确，过程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
B等，过程不够规范、完整，答案正
答题的规范性 确。
C等，过程不规范或无过程，答案错
误。
17
A等，解法有新意和独到之处，答案正
确。
B等，解法思路有创新，答案不完整或
解法的创新性
错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复
杂或无过程。
AAA、AAB综合评价为 A等；ABB、BBB、
综合评价等级 AAC综合评价为 B等；其余情况综合评
价为 C等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题判断一个命题是真命题需要进行逻辑推理，判断一个命题是
假命题只需要举出反例即可。第（2）题根据勾股数的定义，勾股数必须为正整
数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可。第
（3）题要判断一个角是不是直角，可构造出三角形，然后求出三条边的大小，
用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角
三角形；否则不是。
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
（1）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为 1，则△ABC 的形状为
( )
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形
D．以上答案都不对
（2）若△ABC 的三边 a,b,c，且 a+b=4,ab=1,c= 14 ，试说明△ABC 是直角
三角形。
（3）如果满足等式 的 、 、 是三个正整数，我们称 ， ，
为勾股数．王老师给出一组数让学生观察： 、 、 ； 、 、 ； 、 、 ；
、 、 ； ，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从 起就没有间断过，
于是王老师提出以下问题让学生解决。
18
①请你根据上述的规律写出下一组勾股数： 、______、______；
②若第一个数用字母 a(a为奇数，且 a≥3 )表示，那么后两个数用含 a
的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律： 4 =
32 1 52 1 72 1 2 1
, 12 = , 24 = . .. 于 是 他 很 快 表 示 了 第 二 数 为 ，
2 2 2 2
则用含 的代数式表示第三个数为______；
③用所学知识加以说明。
2. 时间要求（10分钟）
3. 评价设计
等级
评价指标 备注
A B C
A等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C等，答案不正确，有过程不完整；答案
不准确，过程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正
确。
B等，解法思路有创新，答案不完整或错
解法的创新性
误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂
或无过程。
AAA、AAB综合评价为 A等；ABB、BBB、
综合评价等级 AAC综合评价为 B等；其余情况综合评价
为 C 等。
4.作业分析与设计意图
19
作业第（1）题考要判断一个角是不是直角，可构造出三角形，然后求出三
条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则
三角形为直角三角形；否则不是。第（2）题已知三角形三边的满足关系式判断
三角形形状，首先根据等式的变形，推出三条边满足：a2+b2=c2，再用勾股定
理的逆定理判断其是否是直角三角形。第（3）题已知一组系列的勾股数，观察
发现这些勾股数的勾都是奇数，且从 起就没有间断过，主要考察：整式的混
合运算、勾股数、及数式规律，渗透有特殊到一般的数学归纳思想。
第五课时（17.2 勾股定理逆定理的实际应用）
作业 1（基础性作业）
1.作业内容
（1）李晨想做一个直角三角形的木架，以下长度的四组木棒中，能够刚好
做成的是（ ）
A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 4，5，6 D. 1，1，2
(2)如图，在△ ABC中，AB = 5，BC = 6，BC边上的中
线AD = 4，则∠ADC的度数为 _____
（3）医院、公园和超市的平面示意图如图所示，超市
在医院的南偏东 25°的方向，且到医院的距离为 300m,公
园到医院的距离为 400m.若公园到超市的距离为 500m,则公
园在医院的北偏东______的方向.
2.时间要求（10 分钟以内）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A等，答案正确、过程正确。
答题的准确性 B等，答案正确、过程有问题。
C等，答案不正确，有过程不完整；答案
20
不准确，过程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
B等，解法思路有创新，答案不完整或错
解法的创新性 误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂
或无过程。
AAA、AAB综合评价为 A等；ABB、BBB、AAC
综合评价等级 综合评价为 B等；其余情况综合评价为 C
等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题要求学生会用勾股定理的逆定理进行计算和判断，加深对勾
股定理的逆定理的理解和运用。第（2）题是勾股定理的逆定理的几何应用，能
够加深学生对勾股定理的逆定理的理解；第（3）题是勾股定理的逆定理在实际
生活中的应用，需要学生先借助图形直观感受，再利用定理进行计算，培养学
生的几何直观和运算能力．
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
（1）如图，如果只给你一把带刻度的直尺，你能判断是不是直角吗？简述
你的作法．
21
（2）有一块空白地，如图，∠ADC = 90°，CD = 6m，AD = 8m，AB =
26m，BC = 24m，试求这块空地的面积？
（3）在寻找某坠毁飞机的过程中，两艘搜救艇接到消
息，在海面上有疑似漂浮目标 A、B．于是，一艘搜救艇以
16海里/时的速度离开港口 O（如图）沿北偏东 40°的方向
向目标 A的前进，同时，另一艘搜救艇也从港口 O出发，以
12海里/时的速度向着目标 B出发，1.5小时后，他们同时
分别到达目标 A、B．此时，他们相距 30海里，请问第二艘搜救艇的航行方向
是北偏西多少度？
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
等级
评价指标 备注
A B C
A等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确，有过程不完整；答案
不准确，过程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错
误。
22
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂
或无过程。
AAA、AAB综合评价为 A等；ABB、BBB、AAC
综合评价等级 综合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C
等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题要求学生动手度量，进行简单计算，最后利用勾股定理的逆
定理进行判断，培养学生的动手能力。第（2）题需要连接 AC作辅助线，先利
用勾股定理求出 AC 的长，再利用勾股定理的逆定理进行计算，是勾股定理和勾
股定理的逆定理的综合运用。第（3）题是勾股定理的逆定理在实际生活中的应
用，将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题，培养学生将生活
问题数学化的意识.解决实际问题的步骤：构建几何模型(从整体到局部)；标注
有用信息,明确已知和所求；应用数学知识求解.
第六课时（数学活动）
作业 1（基础性作业）
1.作业内容
（1）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末
端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处，
发现此时绳子末端距离地面2 m，求旗杆的高度(滑轮上方的
部分忽略不计)。
（2）如图，正方体的棱长为2，B为一条棱的中点．已
知蚂蚁沿正方体的表面从A点出发，到达B点，求它运动
的最短路程。
23
（3）如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米，梯子的
顶端B到地面的距离为7米．现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端
A′到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′的值：①
等于1米；②大于1米；③小于1米．其中正确结论的序号是________．
（4）汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古
代数学的瑰宝，如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的斜边
长为5，较短直角边长为3，求图中小正方形(空白区域)的面积。
2.时间要求（15 分钟以内）
3.评价设计
等级
评价指标 备注
A B C
A等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C等，答案不正确，有过程不完整；答
案不准确，过程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
B等，过程不够规范、完整，答案正
答题的规范性 确。
C等，过程不规范或无过程，答案错
误。
24
A等，解法有新意和独到之处，答案正
确。
B等，解法思路有创新，答案不完整或
解法的创新性
错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复
杂或无过程。
AAA、AAB综合评价为 A等；ABB、BBB、
综合评价等级 AAC综合评价为 B等；其余情况综合评
价为 C等。
4.作业分析与设计意图
第（1）题设计意图，与本课“活动一”的学习目标相对应，练习构造直角
三角形，利用勾股定理解决实际问题，本题类似于课本习题中的“引葭赴
岸”，可通过添加辅助线构造直角三角形。
第（2）题设计意图，与本课“活动一”的学习目标相对应，练习构造直角
三角形，利用勾股定理解决实际问题，本题需要展开正方体的侧面，化曲为
直，进而构造直角三角形解决问题。
第（3）题设计意图，本题由课本例题改编，需要根据实际情况确定直角三
角形，并利用勾股定理求出 BO的长度及 B′O的长度，进而计算出 BB′的长
度，本题需要根据实际情况确定直角三角形，是为了达成作业目标 2而设计。
第（4）题设计意图，本题是由“赵爽弦图”改编而成，目的在于考查学生
应用勾股定理解决问题的能力，体会“弦图”中直角三角形各边之间的关系，
本题既可以用勾股定理求边长再计算，也可以利用面积法求，从而体会勾股定
理证明过程中以形证数的思想，可以达成目标 1。
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
（1)如图，长宽高分别为3，2，1的长方体木块上有
一只小虫从顶点A出发沿着长方体的外表面爬到顶点B，求
它爬行的最短路程。
25
（2）我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全
等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个关的正方形(如图1)，这
个矩形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边
a、b与斜边c满足关系式a2 + b2 = c2.称为勾股定理．
(1) 爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方
形(如图2)，也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程；
(2)如图3所示，∠ABC = ∠ACE = 90°，请你添加适当的辅助线证明结论
a2 + b2 = c2．
2.时间要求（15 分钟以内）
3.评价设计
等级
评价指标 备注
A B C
A等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C等，答案不正确，有过程不完整；答
案不准确，过程错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
B等，过程不够规范、完整，答案正
答题的规范性 确。
C等，过程不规范或无过程，答案错
误。
26
A等，解法有新意和独到之处，答案正
确。
B等，解法思路有创新，答案不完整或
解法的创新性
错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复
杂或无过程。
AAA、AAB综合评价为 A等；ABB、BBB、
综合评价等级 AAC综合评价为 B等；其余情况综合评
价为 C等。
4.作业分析与设计意图
第（1）题设计意图，练习构造直角三角形解决问题，与活动一相对应，达
成作业目标 2，本题与第基础题第（2）题类似，但需要讨论不同的展开情况，
因而有一定的难度，把它作为提高题。
第（2）题设计意图，练习用面积法证明勾股定理，与活动二相对应，达成
作业目标 1，图 2证明方法与图 1类似，图 3则需要在图 2的思路上进行构
造，既可以构造成图 2，也可以构造图 2的一部分，即直角梯形进行证明。
六、单元质量检测作业
（一）单元质量检测作业内容
一、选择题（单项选择）
1.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三
角形，其中最大的正方形的边长是 2，则图中四个小正方形A、B、
C、D的面积之和是( )
4 B. 2 C. 8 D. 不能确定
2.如图所示，在数轴上点A所表示的数为 x，则 x的
值为( )
27
A. 1 √5 B. 1 √5 C. √5 D. 1 + √5
3.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是
9cm，内壁高12cm，则这只铅笔的长度可能是( )
A. 9cm B. 12cm C. 15cm D. 18cm
4.△ ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中
的假命题是( )
A. 如果∠A ∠B = ∠C，则△ ABC是直角三角形
B. 如果a：b：c = 5：12：13，则△ ABC是直角三角形
C. 如果(c + a)(c a) = b2，则△ ABC是直角三角形
D. 如果∠A：∠B：∠C = 3：4：5，则△ ABC是直角三角形
5.已知△ ABC的三边分别长为a、b、c，且满足(a 17)2 + |b 15| + c2
16c + 64 = 0，则△ ABC是( )
A. 以a为斜边的直角三角形 B. 以b为斜边的直角三角形
C. 以c为斜边的直角三角形 D. 不是直角三角形
二、填空题
6.将一张等边三角形纸片ABC和一块直角三角板DBC(其
中∠DBC = 45 )按如图所示的位置摆放.若BD = 2，则点A和
点D之间的距离为________．
7.如图，点A，C，D，E在Rt △ MON的边上，∠MON = 90°，AE ⊥ AB且
AE = AB，BC ⊥ CD且BC = CD，BH ⊥ ON于点H，DF ⊥ ON于点F，OM = 12，
OE = 6，BH = 3，DF = 4，FN = 8，图中阴影部分的面积为______．
8.如图，在△ ABC中，BA = BC，BH平分∠ABC，点P，D分别是BH和AB上
的任意一点，设PA + PD = m．
28
(1)连接CD交BH于点E，则m ______CD(填表示相等或大小关系的符号)；
(2)若BA = BC = 5，AC = 6，BH = 4，则m的最小值是______．
三、解答题
9.如图，在四边形ABCD中，∠B = 90°，AB = BC = 2，AD = 1，CD = 3．
(1)求∠DAB的度数．
(2)求四边形ABCD的面积．
10.学校校内有一块如图所示的三角形空地ABC，其中AB = 13米，BC = 14
米，AC = 15米，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每
平方米造价为50元，学校修建这个花园需要投资多少元？
11.如图，将长 AB=5cm，宽 AD=3cm的长方形纸片 ABCD折叠，使点 A与 C
重合，折痕为 EF，则 AE长是多少？
12.中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的
贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成
如图所示“弦图”. △ 中，∠ = 90°，若 = ， = ，请你利用
这个图形解决下列问题：
(1)试说明 2 + 2 = 2；
(2)如果大正方形的面积是10，小正方形的面积是2，求( + )2的值．
29
（二）单元质量检测作业属性表
序 对应单元 对应学
类型 难度 来源 完成时间
号 作业目标 了解 理解 应用
1 选择题 2 √ 易 改编
2 选择题 1、2 易 选编
3 选择题 1 √ 易 改编
4 选择题 3 √ 易 改编
5 选择题 1 √ 较难 选编
6 填空题 2 √ 中 改编
30 分钟
7 填空题 2 √ 中 改编
8 填空题 2 √ 较难 选编
9 解答题 2 √ 中 选编
10 解答题 3 √ 中 改编
11 解答题 2 √ 中 选编
12 解答题 1、4 √ 较难 改编
30

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