资源简介

人教版八年级数学上册
第十二章《全等三角形》作业设计
落地双减，增效作业
人教版八年级数学上册第十二章
《全等三角形》作业设计
类别 设计内容
学科 年级 学期 教材版本 单元名称
基本信息
数学 八年级 第一学期 人教版 全等三角形
单元作业 单元组织 自然单元 重组单元
序号 课时名称 对应教材内容
信息 课 时 1 全等三角形 第十二章第一节
信 息 2 三角形全等的判定 第十二章第二节
3 角的平分线的性质 第十二章第三节
12.1 全等三角形 （1课时）
单元作业 12.2 三角形全等的判定（4 课时）
12.3 角的平分线的性质（2 课时）
课时安排 第 12章 复习与小结（2课时）
第 12章 单元作业总体设计（1份）
单元作业
内容框架
结构
1
落地双减，增效作业
全等三角形时初中数学“空间与图形”领域当中的第四部分，
前面分别为几何初步、相交线和平行线、三角形，全等三角形是
“全等三角形”这一章的开篇，是在学生学习了三角形的一些概
念之后学习的教学内容，它实现了从一个三角形到两个三角形的
过渡.由于三角形是最基本的几何图形之一所以理解和掌握全等
三角形的有关概念是今后学习全等三角形的判定和应用的预备知
识还是证明角相等,线段相等的主要途径.学生学好全等三角形的
内容，将有利用学好相似三角形,四边形和圆等知识，从本课开始,
将向学生重点渗透图形变换的数学思想，使学生掌握推理论证的
方法,有利于培养学生逻辑推理能力.因此,本节内容在教材中处
于非常重要的地位,起着承前启后的作用。
初中阶段重点研究的两个平面图形间的关系是全等和相似，本章
以三角形为例研究全等．对全等三角形研究的问题和研究方法将
为后面相似的学习提供思路，而且全等是一种特殊的相似，全等
三角形的内容是学生学习相似三角形的重要基础．本章还借助全
等三角形进一步培养学生的推理论证能力，主要包括用分析法分
析条件与结论的关系，用综合法书写证明格式，以及掌握证明几
何命题的一般过程．由于利用全等三角形可以证明线段、角等基
本几何元素相等，所以本章的内容也是后面将学习的等腰三角
形、四边形、圆等内容的基础．
单元作业
图 形 认 识 初 认知
教材分析 基 本
图形
相 交 线 和 平 行
再加条线
性质
试试？
研究
三角形
再加个三
判定
角形呢？
两 个 三 角 形
有啥关系？
（ 全 等 、 相
似）
后续学习
1．用研究几何图形的基本思想和方法贯穿本章的教学
学生在前面的几何学习中研究了相交线与平行线、三角形等
几何图形，对于研究几何图形的基本问题、思路和方法形成了一
定的认识，本章在教学中要充分利用学生已有的研究几何图形的
思想方法，用几何思想贯穿全章的教学．
2
落地双减，增效作业
2．让学生充分经历探究过程
本章在编排判定三角形全等的内容时构建了一个完整的探究
活动，包括探究的目标、探究的思路和分阶段的探究活动．教学
中可以让学生充分经历这个探究过程，在明确探究目标、形成探
究思路的前提下，按计划逐步探索两个三角形全等的条件．
本章在编排中将画图与探究三角形的全等条件结合起来，既
有用尺规画一个三角形与已知三角形全等，又有用技术手段根据
已知数据画三角形．教学中要充分利用探索画图方法的过程对形
成结论的价值，让学生自主探索画图的步骤、创设多种画法、解
释作图依据等，在活动中发现结论．
3．重视对学生推理论证能力的培养
本章是初中阶段培养逻辑推理能力的重要内容，主要包括证
明两个三角形全等，通过证明三角形全等从而证明两条线段或两
个角相等．教学中要在学生已有推理论证经验的基础上，利用三
角形全等的证明，进一步培养学生推理论证的能力．按照整套教
科书对推理能力培养的循序渐进的目标，本章的教学重点是引导
学生分析条件与结论的关系，书写严谨的证明格式，对于以文字
形式给出的几何命题，从具体问题的证明中总结出证明的一般步
骤．
本章以三角形为例研究全等.对全等三角形研究的问题和研究方
法将为后面相似的学习提供思路，而且全等是一种特殊的相似，
全等三角形的内容是学生学习相似三角形的重要基础。本章还借
助全等三角形进一步培养学生的推理论证能力，主要包括用分析
法分析条件与结论的关系，三角形全等规范的证明格式书写，以
及掌握证明几何命题的一般过程。
1.理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、
对应角，掌握并能运用全等三角形的性质．
2.经历探索三角形全等条件的过程，掌握判定三角形全等的
单元作业 基本事实（“边边边”“边角边”和“角边角”）和定理（“角角边”、
“斜边、直角边”），能判定两个三角形全等判定方法，并能灵活
设计学习 应用解决相关的问题，能利用三角形全等证明一些结论．
3.探索并证明角平分线的性质定理，能运用角的平分线的性
目标、作 质.
4.会利用尺规画一个角等于已知角；画一个角的平分线.
业目标 5.能利用本章知识测量池塘宽，河宽等实际问题.
6.通过画图，观察图形，让学生感知几何图形.
7.通过本章学习，让学生能够分析问题，解决问题，提高学
生 的推理能力.
3
落地双减，增效作业
重点: (1)三角形全等的性质和判定以及角平分线的性质.
单元作业
(2)使学生理解证明的基本过程，掌握三角形全等规范的证
明格式书写.
设计教学
难点: (1)掌握三角形全等规范的证明格式书写.
(2)选用合适的判定证明两个三角形全等.
重难点
(3)初步理解图形的全等变换，从而恰当添加辅助线.
分层设计作业。每课时均设计①预习性作业：“课前预习、自主练
单元作业
习（5分钟）”（面向全体，体现课标，题量 3小题，要求学生必
做），②基础性作业：“课后复习、知识巩固（20分钟）”，其中
整体设计
分为必做题 5-6 题，③发展性作业：题量 2-3 题（体现个性化，
探究性、实践性，要求学生有选择的完成）。具体设计体系如下：
思路
每学完一个数学知识，学生最爱问的问题之一就是“干什么
用？”大致分为两个方面：一是数学方面的作用，可以用这个知
识点去解决其他的数学问题；二是实际应用方面。这个在本章当
中要处理的好。《12.3角平分线的性质》的安排在本章的最后，我
想意图十分明显，可以让学生先想想为什么会在《全等三角形》
这样一个研究三角形关系的章节中安排一个有关角平分线性质的
研究？研究一条线的性质，我们最终归结为研究什么？——研究
单元作业 线上的点的性质——距离，“距离”是初中几何当中研究最为广泛
的一个课题，我们探究图形之间的关系时大多要用“距离”来刻
设计教学 画。
经典案例：测河宽；用角平分线性质解决集贸市场选址问题；
反思 在数学活动中还安排了利用全等设计图案、“筝形”的研究等。到
目前为止，学生已经有了研究相交线、平行线、三角形等平面图
形的经验，又能利用三角形全等推出线段相等或角相等的结论，
因此设置了操作活动，让学生独立研究一种图形的性质，教学中
要让学生充分利用已有的研究图形的经验，例如，通过画图、测
量、折纸等方法猜想图形可能的性质，通过推理论证证明图形的
性质等。
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落地双减，增效作业
（一）每学完一个新的知识，我们都会有所归纳和总结
对全等三角形的研究，按照“定义--性质--判定--应用”的
路径展开。从“几何图形要素的相互关系就是性质”的角度看，
这里的性质是定义的具体化，而“判定”则是给出三角形全等的
“最少条件”，是性质的逆定理在“应用”中，用全等角形定理等
证明有关性质是一方面，更需要注意的是有关性质的发现，例如，
如何想到“角平分线上的点到角的两边的距离”是值得研究的问
题。在这一章当中，我们仍然沿用了
抽象 研究
实 际生活中的例 几 何 模 图 形 性
子 型 质
解决问题
这样一个思路，并归纳出一些证明角、线段相等的方法，图
形，这些都是今后我们研究的工具：
单元作业
(1) 证明线段相等的方法
① 证明两条线段所在的两个三角形全等.
设计教学
② 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距
离相等.
思考
(2) 证明角相等的方法
① 利用平行线的性质进行证明.
② 证明两个角所在的两个三角形全等.
③ 利用角平分线的判定进行证明.
(3) 证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法.
证明两个三角形全等，得到对应角相等，利用平行线的判定或垂
直定义进行证明.
(4) 辅助线的添加.
（二）值得反思的地方
（1）在探究三角形全等时，对于“SSS”“SAS”“ASA”这三个定
理都是先作图探究，然后以基本事实的方式呈现出来的.
（2）三角形全等判定条件中经常用来做文章的“SSA”，其实也不
是完全没有成立的可能。我们在探究过程中利用作图的方式是可
以找到其反例的，那么它成立的条件又是什么呢？如果能确定这
个三角形的形状，那么“SSA”是成立的，这也就解决了在实际做
题过程中，为什么我们看到的“SSA”总成立，而它又不能作为一
个定理使用的原因。
（3）三角形全等的条件是越多越好吗？我们一般研究完三个条件
后，就会突兀地认定四个条件、五个条件一定能判定三角形全等，
其实不然。
5
落地双减，增效作业
（4）我们研究完了三角形全等，能否利用这种方法研究四边形、
五边形全等的条件呢？由于每增加一边，相应的元素就会多出两
组，所以其实研究起来是非常繁琐的，但是我们可以将四边形的
问题转化为三角形的问题来解决，这也体现了转化的思想。
（5）既然可以用全等来证明线段相等、角度相等，所以如何根据
图形的特征构造全等就成为了我们下一个需要解决的问题，这也
为后面继续学习埋下了伏笔。
（6）在本章当中有许多地方可以围绕“数学核心素养”来进行展
开。
6
落地双减，增效作业
12.1 全等三角形作业设计
12．1 全等三角形
类别 作业设计内容
1.通过实例理解全等形的概念和特征，并能识别图形的全等；知道
全等三角形的有关概念，能正确地找出对应顶点、对应边、对应角，
掌握全等三角形对应边相等，对应角相等的性质；能运用性质进行
简单的推理和计算，解决一些实际问题.
作业目标 2.通过两个重合的三角形变换其中一个的位置，使它们呈现各种不
同位置的活动，让学生了解并体会图形变换的思想，逐步培养学生
动态的研究几何图形的意识.
3.培养学生的观察能力、动手操作能力和自主学习能力，发展学生
的空间观念.
重点：理解全等三角形的概念；能识别全等三角形中的对应边、对
作业重难
应角； 初步掌握并能运用全等三角形的性质．
点
难点：在全等三角形中正确地找出对应边、对应角．
作业时间 1. 课前预习、自主练习（5 分钟）
设计 2. 课后复习、知识巩固（20分钟）
作业模块 作业内容 设计意图
通过观察和动
手操作发现知识，
获取知识，感受全
等形形成过程，让
学生树立认真实践
的学习态度,激发
1. 观察 ：同一张底片洗出的同尺寸的照片， 学生的学习热情和
课前预 两张纸重合后的剪纸和同一版邮票，每组的两个 学习兴趣.改变了
习、自主 图形有什么特点 传统的“传递—接
练习（5分 操作： 把一块三角尺按在纸板上，画下图形，照 受”式教学，尝试
钟） 图形裁下来的纸板和三角尺形状、大小完全一样 用“问题—探究”
吗？把三角尺和裁得的纸板放在一起能够完全重 的教学方法，注重
合吗？ 学习方法、思维方
答案：大小完全一样；能够完全重合. 法、探索方法，让
学生尽可能的经历
观察与操作，体验
认识数学和数学思
想，培养认识意识
和动手操作的态
度。产生学习数学
7
落地双减，增效作业
的兴趣和自信心，
让学生在观察与操
作中学到数学的知
识和经验、思想和
方法.
在初步了解大
小完全一样，能够
完全重合的图形以
后，提出相应的问
题，以填空方式，
容易接收新知识。
通过平移、翻折、
旋转三种变换，请
学生感知全等形，
2. 一个图形经过平移、翻折、旋转后, 位置
并思考平移、翻
变化了,但 形状 和 大小 都没有改变,即平 折、旋转这三种变
移、翻折、旋转前后的两个图形叫做 全等形 . 换，通过这样的操
“全等”用符号“ ≌ ”表示，读作“ 全 作，学生能够得到
等于 ”. 位置变化、形状大
小不变的结论：一
个图形经过平移、
翻折、旋转后，位
置变化了，但形
状、大小都没有改
变，即平移、翻
折、旋转前后的图
形全等。
一个三角形经
3. 指出全等三角形的对应边与对应角.
平移，翻折，旋转
（1）如图 1, △ABC平移后得到△DEF，则△ABC
后构成的两个三角
≌ .
形全等。通过三种
则 AB 的对应边为 ，AC的对应边
变换演示让学生体
为 ，BC 的对应边为 ，∠A的对
会对应顶点、对应
应角是 ，∠B的对应角是 .∠ACB
边、对应角的概
的对应角是 .
念，尝试书写三角
（2）如图 2, △ABC 翻折后得到△AED，则
形全等，学会用全
≌ .
等符号“≌”表示
对应边有 ，
全等三角形练习，
对应角有 .
并以找朋友的形式
（3）如图 3, △CAB 绕点 C旋转后得到△CDE，
练习指出对应顶
则 ≌ .
点、对应边、对应
对应边有 ，
角，加强对对应元
对应角有 .
素的初步了解。通
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落地双减，增效作业
过对三种变换图形
A D
图 1 及文字语言的综合
表述，由此去理解
教材上“对应顶点
B E C F 写在对应的位置
A 上”的含义。
E
D C
C
B E A D B
图 2 图 3
答案：
3.(1) △DEF ; DE ,DF , EF ; ∠D , ∠DEF ,
∠F.
(2) △ADE≌△ACB; 对应边有：AD与 AC, AB与
AE, BC与 ED; 对应角有： ∠A与∠A , ∠ADE
与∠ACB, ∠B与∠E.
(3) △ABC≌△DEC; 对应边有：AB与 DE, AC与
DC, BC与 EC; 对应角有： ∠A与∠CDE , ∠
ACB与∠DCE, ∠B 与∠E.
1．小明去照相馆照相，用 1 寸的底片洗了一些 1寸和 2寸的照片，
下列说法：①1寸底片和 1寸的相片是全等形；②1寸的底片和 2寸
相片是全等形；③1寸的相片之间是全等形；④2寸相片之间是全等
形，其中正确结论的个数是( C ).
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
2．如图 2，△ABC≌△DEF，AB=DE，AC=DF，则下列结论：
①BC=EF；②∠A=∠D；③∠ACB=∠DEF；④BE=CF.
其中正确结论的个数是（ C ）.
课后复 （A）1 （B）2 （C） 3 （D）4
习、知识 A AD E
巩固（20
分钟）
B E C F B C D F
图2 图 3
3．如图 3，△ABD≌△EFC，AB=EF，∠A=∠E，AD=EC，若 BD=5，
DF=2.2，则 CD= 2.8 ．
4．如图 5, △ABC 绕点 C旋转后得到△DEC，已知△ABC≌△DEC.若
AB=13cm,CE=5cm，CD=12cm，则 BC= 5cm ，AE= 7cm .
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落地双减，增效作业
A A D
E
B C F
B C D
E
图 5 图 6
5. 如图 6, △ABC 沿着 BC 方向平移 4cm 得到△ABC，若 AB=6cm,
DF=4cm，BC=5cm，
求则 EF、EC、CF的长度.
分析：由题意得：△ABC≌△ABC，BE=CF=4cm
所以 EF=BC=5cm, EC=EF-CF=1cm.
选做作业
6．将一个无盖正方体纸盒展开（如图①），沿虚 学会观察图形
线剪开，用得到的 5张纸片（其中 4张是全等的 的剪拼变换，通过
直角三角形纸片）拼成一个正方形（如图②）。则 观察,操作,想象,
所剪得的直角三角形较短的与较长的直角边的比 经历了一个简单图
是__1:2__. 形经过剪拼,旋转
或制作复杂图形的
过程,能有条理地
分析图形的变换过
→ 程,发展空间观念
和发散思维能力.
① ②
7．如图，把△ABC 纸片沿 DE 折叠，当点 A落在
四边形 BCDE内部时.
（1）写出图中一对全等的三角形，并写出它们
的所有对应角；
（2）设∠AED 的度数为 x，∠ADE的度数为 ， 学会观察图形y
那么∠1，∠2 的度数分别是多少？（用含 的翻折变换,解题
有 过程中应注意折叠x 或 y 的代数式表示）
（3）∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保 是一种对称变换,
持不变，请找出这个规律. 它属于轴对称,后
续会学习轴对称的
性质,学会折叠前
B
后图形的形状和大
E 小不变,是全等变
1
换.如本题中折叠
A A′ 前后角相等.
2
D
C
答案：（1）△ADE≌△A′DE.
10
落地双减，增效作业
∠AED=∠A′ED, ∠ADE=∠A′DE, ∠A=∠A′.
（2）∠1=180°－2x;
∠2=180°－2y.
（3）∠1+∠2=2∠A.
因为∠1=180°－2x;∠2=180°－2y.
所以∠1+∠2=180°－2 x＋180°－2y
=360°－2（x＋y）
=360°－2（180°－∠A）
=2∠A
课后活动：动手操作
考查学生利用
利用平移，翻折，旋转等变换所得到的三角
所学全等变换（平
形与原三角形组成各种各样新的图形，你还能拼
移、翻折和旋转）知
出什么不同的造型吗？（至少画出三种）
识，构造不同的图
答案：答案合情合理就可以.
形，平移、旋转和翻
折是几何变换中的
平移 构图 三种基本变换。所
（竹笋）
谓几何变换就是根
据确定的法则，对
翻折 构图 给定的图形（或其
（山丘） 一部分）施行某种
位置变化，然后在
旋转 构图 新的图形中分析有
（平行四边形） 关图形之间的关
系.
作业评价标准
评价维度
答案不正确,有过
答案正确、过程
答案正确、过程 程不完整；答案
答题准确性 完整，书写认
有问题 不准确，过程错
真。
误或无过程。
作业评价
过程不够规 过程不规范或
过程规范，答
答题规范性 范、完整，答 无过程，答案
案正确。
案正确。 错误。
常规解法，思
解法有新意和 解法思路有创
路不清楚，过
解法创新性 独到之处，答 新，答案不完
程复杂或无过
案正确。 整或错误。
程。
11
落地双减，增效作业
12.2 三角形全等的判定作业设计
12.2 三角形全等的判定（第一课时 SSS）
类别 作业设计内容
1.构建三角形全等条件的探索思路，体会三个元素（至少有一条边）
确定三角形的形状与大小.
探索并理解“边边边”判定方法，并能熟练运用它证明两个三角形
全等.
会用尺规作一个角等于已知角，引导学生思考作图的道理.
2.经历探索三角形全等条件的过程，在问题中归纳判定三角形全等
作业目标
的条件，掌握“边边边”的应用，体会利用操作、归纳获得数学结
论的过程，培养分析、推理能力.
3.遵循启发式教学原则，用设问形式创设问题情景和一系列实践活
动，引导学生操作、观察、探索、交流、发现，发展学生的逻辑思
维，体会分析问题、解决问题的方法，积累数学活动经验，为以后
的证明打下基础。
重点：构建三角形全等条件的探索思路，用“边边边”证明两个三
作业重难 角形全等。
点 难点：三角形全等条件的探索中的分类思想的渗透和全等证明格式
的规范书写。
作业时间 1. 课前预习、自主练习（5 分钟）
设计 2. 课后复习、知识巩固（20分钟）
作业模块 作业内容 设计意图
1.探究活动：确定一个三角形至少需要几个元素，
只给出了三角形三角三边六个元素中的一个或两
个元素，两个三角形能否全等.
（1）只给定一个元素：一条边或一个角. 先提出“确定
三角形的形状
A 和大小”的元
课前预
素至少需要几
习、自主
A 30° 个，构建出三练习（5分 B
O B 角形全等条件
钟）
得出结论:只给定一条边或一个角不能确定三角 的探索路径，
形的形状和大小 . 以问题串的方
（2）只给定两个元素：两条边、一边一角或两个 式呈现探究过
角，想一想，动手画一画. 程，引导学生
得出结论: 只给定一条边或一个角不能确定三角 层层思考.
形的形状和大小.
（3）想一想: 满足一个或两个元素不能确定三角
形的形状和大小，那么再添加一个元素呢？能确
12
落地双减，增效作业
定吗？
得出结论:三条边可以确定三角形的形状与大
小. .
2.符号表示： A D
如图，如果
B C E F 感悟基本事
______= ______
实，获得三角
______= ______ ABC ____ DEF (SSS)
______= ______
形全等的“边

边边”判定方
答案：书写格式：五行 法，规范书
如图：在△ABC和△DEF中， A
D
写，锻炼学生
AB=DE， 用数学语言概
B C E F
∵ BC=EF, 括结论的能力.
AC=DF，∴ △ABC≌△DEF（SSS）
3.如图, C是 BF的中点，AB =DC,AC=DF.
尝试运用“边
求证:△ABC≌△DCF.
边边”判定方
答案：∵C是 BF的中点 ，∴BC=CF B 法证明简单的
如图，在△ABC和△DCF中，
几何问题，感
AB=DC(已知)， C A 悟判定方法的
∵ BC=EF(已证)
简洁性，体会
AC=DF(已知)， F D
证明过程的规
∴ △ABC≌△DCF（SSS）
范性.
1. 如图 1，D、F 是线段 BC上的两点，AB=CE，AF=DE，要使△ABF
≌△ECD(SSS) ，还需要条件 BF=CD或 BD=CF ．
A D
A E
O
B D F C B C
图1 图2
课后复
2.如图 3，AB=AC,BD=CE,AD=AE.若∠1=30°，则∠2= 30° ．
习、知识 A
巩固（20
1 2
分钟）
D E
B C
图3
3.已知：如图 ，AC=FE，AD=FB,BC=DE.
求证：(1)△ABC≌△FDE; (2) ∠C= ∠E.
13
落地双减，增效作业
A C
D
B
E F
4. 如图，AB＝AC，BD＝CD，求证：AD⊥BC.
A
B D C
5. 如图,已知:点 B、E、C、F 在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，
BE＝CF.求证:AB∥DE.
A
D
B E C F
选做作业
6.已知:如图,AD＝BC,AC＝BD.求证:∠C＝∠D .
D C
O
A B
14
落地双减，增效作业
7.如图，四边形 ABCD 是矩形，把矩形沿 AC折叠，点 B 落在点 E处，
AE与 DC的交点为 O，连接 DE.求证：△ADE≌△CED.
E
D O C
A B
课后活动：动手操作
在 6×5的方格纸中，每个小方格都是边长为 1的 要从三角形全等
正方形，△ABC是格点三角形，则与△ABC有公共 的判定的含义出
边 BC 且全等的格点三角形有 个.(不与△ 发，以在六个条
ABC重合) 件中选择部分条
尝试在方格纸中画一画. B 件，简捷地判定
A 两个三角形全等
为目标，引导学
C 生逐步探索两个
三角形全等的条
件。对于三角形
参考：可以画3个 全等的边边边的
方法来引导学生
思考作图的思
A1 路.运用“边边
边”判定方法证
A2 A3 明简单的几何问
题，感悟判定方
法的简洁性，体
会证明过程的规
范性.
作业评价标准
评价维度
答案不正确,有过
答案正确、过程
答案正确、过程 程不完整；答案
作业评价 答题准确性 完整，书写认
有问题 不准确，过程错
真。
误或无过程。
过程不够规 过程不规范或
过程规范，答
答题规范性 范、完整，答 无过程，答案
案正确。
案正确。 错误。
15
落地双减，增效作业
常规解法，思
解法有新意和 解法思路有创
路不清楚，过
解法创新性 独到之处，答 新，答案不完
程复杂或无过
案正确。 整或错误。
程。
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落地双减，增效作业
12.2 三角形全等的判定作业设计
12.2 三角形全等的判定（第二课时 SAS）
类别 作业设计内容
1．理解掌握全等三角形判定方法 2(SAS);
2．会运用 SAS方法判定两个三角形全等；用反例理解 SSA的不合
理性；
作业目标 3．在探索三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的
思考并进行简单的推理．
4．经历探索三角形全等条件的过程，培养学生观察分析图形能力、
动手能力．
重点：应用“边角边”证明两个三角形全等，进而得出线段或角相
作业重难 等．
点 难点：分析问题，寻找判定三角形全等的条件
作业时间 1. 课前预习、自主练习（5 分钟）
设计 2. 课后复习、知识巩固（20分钟）
作业模块 作业内容 设计意图
1.动手操作：尺规作图画出一个△A′B′C′，
使 A′B′＝AB，A′C′＝AC，∠A′＝∠A （即
使两边和它们的夹角对应相等）. 把画好的△
A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？ 学生动手操作，
A 动手操作能简化
学生对知识的理
解与探索.动手
C
课前预 答案：全等.
B
操作可以激发学
习、自主 习数学的兴趣，
练习（5分 思考 2：如图，把一长一短的两根木棍的一端固定 提供观察和操作
钟） 在一起，摆出△ABC.固定住长木棍，转动短木棍， 机会，可以充分
得到△ABD.这个实验说明了什么？ 发挥学生自主学
习能力，把抽象
知识变为活生生
的动作，从中获
得知识，记忆也
更加深刻.
答案：两边和其中一边的对角分别相等的两个三
角形不一定全等.
17
落地双减，增效作业
1.在下列图中找出全等三角形进行连线.
2.如图，AB=DB，BC=BE，欲用证△ABE≌△DBC，
则需要增加的条件是 ( D )
A.∠A＝∠D
B.∠E＝∠C
C.∠A=∠C
D.∠ABD＝∠EBC
D
3.如图，点 B,E,C,F 在一条直线上，AB//DE，AB=DE,BE=CF,AC=6，
课后复
则 DF 的长为 6 . D
习、知识 A D
A
巩固（20
O A
分钟）
B E C F C B B
E
C
第3题 第4题 第5题
4.如图，CA 平分∠DCB，CB=CD，DA 的延 D
长线交 BC于点 E.若∠EAC=49°，则∠BAE
D
的度数为 A 131°D . A
O A
B E C F C B B E C
第3题 第4题 第5题
5.如图，在△ABC 中，AB=AC，点 D，E分别是 AC和 AB的中点.
求证：BE=CD.
证明：如图, AB=AC， A
点 D，E分别是 AC 和 AB的中点.
∴BD=CE,∠DBC=∠ECB
E
在△BCD和△CBE中， D
BD=CE(已证)，
∵ ∠DBC=∠ECB(已证),
C
BC=CB(公共边)， B
∴ △BCD≌△CBE（SAS）
18
落地双减，增效作业
∴BE=CD(全等三角形的对应边相等)
选做作业
6.如图，等腰直角△ABC与等腰直角△DEC中，∠ACB=∠DCE=90°，
连接 BD和 AE.
(1)求证：BD=AE.
(2)请判断 BD与 AE的位置关系，并说明理由.
（1）证明：如图, 在等腰直角△ABC与等腰直角△DEC 中，
BC=AC，CD=CE, ∠ACB=∠DCE=90° A
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD,即∠BCD=∠ACE
∵AD//BC.
∴∠A=∠C D
在△BCD和△ACE中，
BC=AC (已证)，
B C
∵ ∠BCD=∠ACE (已证),
CD=CE (已证)， E
∴ △BCD≌△ACE（SAS）
∴BD=AE(全等三角形的对应边相等)
(2) BD⊥AE
理由：∵△BCD≌△ACE
∴∠CBD=∠CAE
∵在△ABC中，∠CBD+∠ABD+∠BAC=90°
∴∠CAE+∠ABD+∠BAC=90°即 BD⊥AE
7.如图，点 D、E分别是等边三角形的边 AB、AC上的点，且 BD=AE，
BE与 CD相交于点 P
（1）求证：△ABE≌△BCD A
（2）求∠CPE的度数.
（1）证明：如图, 在等边三角形△ABC中，
AB=BC, ∠BAE=∠CBD=60° E
在△ABE和△BCD中， D P
AB=BC (已证)，
∵ ∠BAE=∠CBD (已证),
BD=AE (已知)， B C
∴ △ABE≌△BCD（SAS）
∴BD=AE(全等三角形的对应边相等)
(2) ∠CPE=60°
理由：∵△ABE≌△BCD
∴∠ABE=∠BCD(全等三角形的对应角相等)
∵在△BCP中，∠CPE=∠CBP+∠BCD
=∠CBP+∠ABE=∠ABC=60°
∴∠CPE=60°
19
落地双减，增效作业
课后活动：动手操作
8.将两个大小不同的等腰直角三角板按图①所示
的方式放置，图②是它抽象的几何图形，点 B、C、
E在同一条直线上，连接 DC.找出图②中的全等三 设计利用SAS证三
角形，并予以证明. 角形的全等，在解
D 题过程中,要注意
挖掘已知条件、图
形特征以及隐含
条件,如公共边、
→ A 公共角等，找所在
的三角形全等，利
用“SAS”即可证
B C E 明；从全等性质：
答案： 线段、角相等入手
△ABE≌△ACD 思考问题，建立起
理由：如图, 在等腰直角三角△ABC和△ADE中， 边角关系的应用.
AB=AC, AE=AD,∠BAC=∠EAD=90° 让学生参与探讨
∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE,即∠BAE=∠CAD 与分析，会让数学
在△ABE和△ACD中， 更具魅力！在分层
作业和课后活动，
AB=AC (已证)， 动手操作环节，设
∵ ∠BAE=∠CAD (已证), 置了数学典型模
AE=AD (已证)， 型：“手拉手模
∴ △ABE≌△ACD（SAS） 型”，模型中蕴含
着千变万化的数
学知识. “手拉
手模型”模型的
建立让学生感知
动态图形的变化，
感受图形的旋转，
体会图形位置的
变化，培养学生的
看图、识图的能
力，提高学生图形
分析能力，为后续
复杂图形的学习
做好铺垫，也为其
它模型的的学习
奠定基础.
作业评价 评价维度 作业评价标准
20
落地双减，增效作业
答案不正确,有过
答案正确、过程
答案正确、过程 程不完整；答案
答题准确性 完整，书写认
有问题 不准确，过程错
真。
误或无过程。
过程不够规 过程不规范或
过程规范，答
答题规范性 范、完整，答 无过程，答案
案正确。
案正确。 错误。
常规解法，思
解法有新意和 解法思路有创
路不清楚，过
解法创新性 独到之处，答 新，答案不完
程复杂或无过
案正确。 整或错误。
程。
21
落地双减，增效作业
12.2 三角形全等的判定作业设计
12.2 三角形全等的判定（第三课时 ASA、AAS）
类别 作业设计内容
1．探索三角形全等的“角边角”和“角角边”的条件
作业目标 2．应用“角边角”和“角角边”证明两个三角形全等，进而证线段
或角相等．
作业重难 重点：已知两角一边的三角形全等探究．
点 难点：掌握三角形全等的条件：ASA、AAS．
作业时间 1. 课前预习、自主练习（5 分钟）
设计 2. 课后复习、知识巩固（20分钟）
作业模块 作业内容 设计意图
1. 一张教学用的三角板硬纸不小心被撕坏了，
如图：你能制作一张与原来同样大小的新道具
吗？ 能恢复原来三角形的原貌吗？
（1）以①为模板，画一画，能还原吗？
课前预 【结论：不能】
习、自主 （2）以②为模板，画一画，能还原吗？
练习（5分 【结论：不能】
钟）
（3）以③为模板，画一画，能还原吗？ 探索运用“ASA”
【结论：能】 和“AAS”判定两
（4）第③块中，三角形的边角六个元素中，固定 个三角形全等的
方法，经历探索判
不变的元素是 两个角和夹边 ．
定的过程，体会是
2. 要点归纳：
如何探索研究问
两角及其夹边 相等的两个三角形全等(简 题，通过图形的观
称“角边角”或“ASA”)． 察，规范格式的书
写，验证，培养学
几何语言：如图：在△ABC和△DEF中，
生注重观察，善于
思考的能力，不断
22
落地双减，增效作业
______= ______ 总结的良好思维
习惯.
如果 ______= ______ ABC ____ DEF
______= ______ A D ASA,AAS 的应
(ASA) 用，注重培养学
答案：书写格式：五行 B E 生合情合理的逻
如图：在△ABC和△DEF中， 辑推理能力、语
∠A=∠D， C 言表达能力，规
∵ AB=∠DE, F 范书写证明过
∠B=∠E， 程。学生探索、
∴ △ABC≌△DEF（ASA） 发现知识的过程
3.思考：如图所示，观察△ABC和△DEF,想一想， 中体验到成功的
这样的两个三角形全等吗？ 乐趣，学生乐于
为什么？ A D 学，这样有效地
激发了学生的学
95° 95°
E50° 习主动性。 50°
B C F 6cm6cm
答案： 全等.
在△ABC与△DEF中，
∠B=180°－∠A－∠C=35°,
∠E=180°－∠D－∠F=35°.
所以∠B=∠E=35
所以可以利用 ASA 证△ABC≌△DEF.
4.要点归纳：
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个
三角形全等(简称“角角边”或“AAS”)．
几何语言：
如图，如果
______= ______

______= ______ ABC ____ DEF (AAS)
______= ______
A D
参考答案：书写格式：五行
如图：在△ABC和△DEF中，
B
∠A=∠D， E
∵ ∠B=∠E, C F
BC=EF，
∴ △ABC≌△DEF（AAS）
1．△ABC和△DEF 中，AB＝DE，∠B＝∠E，要使△ABC≌△DEF，则
课后复
下列补充的条件中错误的是（ A ）
习、知识
A．AC＝DF B．BC＝EF C．∠A＝∠D D．∠C＝∠F
23
落地双减，增效作业
巩固（20 2．如图，在△ABC 中，AD⊥BC，CE⊥AB， A
分钟） 垂足分别为 D，E，AD，CE相交于点 H，
请你添加一个适当的条件：___ __，
使△AEH≌△CEB. E
H
B
D C
添加条件： AH=CB 或 AE=CE或 EH=EB(答案不唯一).
3．已知：如图， AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2,
求证：AB=AD． A
证明：∵ AB⊥BC
1 2
∴∠ABC=∠ADC=90°
在△ABC和△ADC中，
∠1=∠2 (已知)， B D
∵ ∠ABC=∠ADC (已证),
AC=AC (公共边)， C
∴ △ABC≌△ADC（AAS）
∴AB=AD(全等三角形的对应边相等)
4.如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，点 C(1，2)，A(－2，0)，
求点 B的坐标．
解：∴B(3,-1)
如图所示，分别过点 B、点 C 作 x轴、y轴的平行线，
相交于点 E，CE交 x轴于点 D
∴∠ACD=∠CBE=90°
∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＋∠BCE=∠CBE＋∠BCE =90°
∴∠ACD=∠CBE
在△ACD和△CBE中，
∠ACD=∠CBE (已证)，
∵ ∠ACD=∠CBE (已证),
AC=BC (已知)，
∴ △ACD≌△BCD（AAS） D
∵C(1，2)，A(－2，0)
E
∴CD=BE=2,AD=CE=3.
∴B(3,-1)
5.如图，在△ABC 中，D 是边 AB 上一点，E 是边 AC 的中点，作 CF∥
AB交 DE的延长线于点 F.
24
落地双减，增效作业
(1)求证：△ADE≌△CFE；
(2)若 AB＝4，CF＝3，求 DB的长．
证明：(1)如图所示，
∵E是边 AC的中点，CF∥AB
∴AE=CE,∠ADE=∠CFE,
在△ADE和△CEF中，
∠ADE=∠CFE (已证)，
∵ ∠AED=∠CEF (对顶角相等),
AE=CE (已证)，
∴ △ADE≌△CFE（AAS）
(2)∵△ADE≌△CFE
∴AD=CF=3
∴DB=AB-AD=4-3=1
选做作业
6.如图，已知：在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝
AC，直线 m 经过点 A，BD⊥直线 m，CE⊥直线 m，
垂足分别为点 D、E.
求证：(1)△BDA≌△AEC；
(2)DE＝BD＋CE.
利用全等三角形
可以解决线段之
间的关系，比如
线段的相等关
系、和差关系等，
证明：(1) 证明：(1)∵BD⊥m，CE⊥m，
解决问题的关键
∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°.
是运用全等三角
∵AB⊥AC， ∴∠BAD＋∠CAE＝90°，
形的判定与性质
∴∠ABD＝∠CAE.
进行线段之间的
在△BDA和△AEC中
转化．
∠ADB=∠CEA(已证) ，
∵ ∠ABD＝∠CAE(已证),
AB＝AC(已知)
∴△BDA≌△AEC(AAS).
(2)证明：∵△BDA≌△AEC,
∴BD＝AE，AD＝CE，
∴DE＝DA＋AE＝BD＋CE.
课后活动：动手操作
25
落地双减，增效作业
使学生认识到生
活中处处有数
7.杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由 A 处
学，树立知识来
步行到达 B处的过程中，通过隔离带的空隙 O，刚 源于实践又用于
实践的观念，提
好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价
高学习兴趣。这
值观标语，其具体信息如下： 种从形象到抽
象，一般到特殊
的教学过程更符
合学生的认知规
律。较好地体现
了《新课程标
准》的核心思
想，符合课改的
要求。拓展了学
如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等， 生研究三角形的
空间，初步感知
AC，BD 相交于点 O，OD⊥CD，垂足为 D，已知 AB
ASA、AAS，揭示
＝20 m，请根据上述信息求标语 CD的长度． 出隐藏在数学教
材背后的数学概
念，把书本上原
解：CD=AB=20m 本凝固的概念激
理由：∵AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相 活了，使数学知
等，OD⊥CD 识恢复到那种鲜
∴OB＝OD＝90°,∠ABO=∠CDO. 活的状态。实现
在△ABO和△CDO中 了书本知识与学
∠ABO=∠CDO (已证) ， 生发现知识的一
∵ ∠AOB＝∠COD(对顶角相等), 种沟通，增强学
OB＝OD (已证) 生对几何图形的
∴△ABO≌△CDO(AAS). 敏感性，这也是
∴CD=AB=20m 课改中所倡导
的。
作业评价标准
评价维度
答案不正确,有过
答案正确、过程
答案正确、过程 程不完整；答案不
作业评价 答题准确性 完整，书写认
有问题 准确，过程错误或
真。
无过程。
过程不够规 过程不规范或无
过程规范，答
答题规范性 范、完整，答 过程，答案错
案正确。
案正确。 误。
26
落地双减，增效作业
解法有新意和 解法思路有创 常规解法，思路
解法创新性 独到之处，答 新，答案不完 不清楚，过程复
案正确。 整或错误。 杂或无过程。
27
落地双减，增效作业
12.2 三角形全等的判定作业设计
12.2 三角形全等的判定（第四课时 HL）
类别 作业设计内容
1．经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得
数学结论的过程．
作业目标 2．掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题．
3．在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条
理的思考并进行简单推理．
作业重难 重点：运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题．
点 难 点：熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题．
作业时间 1. 课前预习、自主练习（5 分钟）
设计 2. 课后复习、知识巩固（20分钟）
作业模块 作业内容 设计意图
1.(1)如图，在△ABC与△ABD 中，AC=AD，若证明
△ABC≌△ABD,
至少需要添加几个条件？可以怎样添加？
C 设计公共边模
型，通过添加
条件，巩固全
A B
等三角形的判
定.
D
答案：至少需要添加一个条件.
课前预 ① 添加∠CAB=∠DAB.可以利用 SAS证△ABC≌△
习、自主 ABD.
练习（5分 ② 添加 BC=BD,可以利用 SSS 证△ABC≌△ABD.
钟） (2)如图，在△ABC与△AED 中，CB=DE，若证明
△ABC≌△AED，
至少需要添加几个条件？可以怎样添加？
A
设计公共角模
型，通过添加
D C 条件，巩固全
等三角形的判
定.
B E
答案：至少需要添加一个条件.
① 添加∠ABC=∠AED.可以利用 AAS证△ABC≌△
ABD.
28
落地双减，增效作业
② 添加∠ACB=∠ADE.可以利用 AAS证△ABC≌△
ABD.
③ 添加∠BDE=∠ECB.可以利用 AAS证△ABC≌△
ABD.
3. 如图，AB⊥BE 于 C，DE⊥BE 于 E．
A
F E
B C 设计在直角三
角形中，观察
D 所给的已知条
（1）若∠A=∠D，AB=DE，则△ABC 与△DEF 件，探究三角
全等 . 形全等判定的
（填“全等”或“不全 等” ），根据 ASA 不同方法.
.（用简写法）；
（2）若∠A=∠D，BC=EF，则△ABC 与△DEF
全等 .
（填“全等”或“不全等” ），根据 AAS
.（用简写法）；
（3）若 AB=DE，BC=EF，则△ABC 与△DEF 全等
.（填“全等”或“不全等” ），根据 SAS
.（用简写法）．
1．判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ D ）
A．两条直角边对应相等 B．斜边和一锐角对应相等
C．斜边和一条直角边对应相等 D．两个锐角对应相等
2．如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点 D，CE⊥AB 于点 E，AD、CE交
于点 H，已知 EH＝EB＝3，AE＝4，则 CH的长为（ A ）
A．1 B．2 C．3 D．4
课后复
习、知识 H
巩固（20
分钟）
3.如图，∠BAC=∠CDB=90°, AC=DB，求证：AB﹦DC
证明： ∵∠BAC=∠CDB=90°（已知） A D
∴△BAC，△CDB 都是直角三角形.
在 Rt△ABC 和 Rt△DCB 中，
BC＝CB（公共边）
AC＝DB（已知）
∴Rt△ABC≌Rt△DCB (HL). B C
∴ AB﹦DC（全等三角形对应边相等）
【变式】如图，∠BAC=∠CDB=900，请你再添加一个条件使△ABC≌
29
落地双减，增效作业
△DCB ，说明判定依据？
可以添加条件：①AB=DC (HL) ②∠ABC=∠DCB (AAS)
④ ∠ACB=∠DBC (AAS)
4.已知：如图，AC⊥BD于点 0，且 OA=OC，AB=CD.
求证：AB//CD
证明： ∵AC⊥BD（已知） D
∴△AOB，△COD 都是直角三角形.
在 Rt△AOB 和 Rt△COD 中，
AB＝CD（已知） A O
AB＝CD（已知） C
∴Rt△AOB≌Rt△COD(HL).
∴ ∠A=∠C（全等三角形对应角相等）
∴AB∥CD（内错角相等两直线平行） B
5.如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯
水平方向的跨度 DF 相等，
两个滑梯的倾斜角∠B 与∠F 的大小有什么关系？说说你的想法和
理由.
解：∠B和∠F关系为互余
证：∵已知两滑梯长度相等，即 BC=EF
又∵∠BAC=∠EDF=90°
∴ △ABC 和△DEF 是直角三角形
∴在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中
AC=DF
BC=EF
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)
∴∠B=∠DEF
∵∠DEF+∠F=90° ∴∠B+∠F=90°， 即∠B 和∠F 互余.
选做作业
6.已知：如图，在△ABC中，高 AD、BE相交于点 H，当满足说明条
件时，
△BDH≌Rt△ADC. A
解： ∵AD⊥BC,BE⊥AC（已知）
∴∠ADC=∠BDH=90° E
H
∵∠1+∠C=90°,∠2+∠C=90°,
∴∠1=∠2(同角的余角相等)
添加条件： B D C
30
落地双减，增效作业
① AC=BH
② AD=BD
③ CD=HD都能得到△BDH≌△ADC
7.如图，有一直角三角形 ABC，∠C＝90°，AC＝10 cm，BC＝5
cm，一条线段 PQ＝AB，P、Q 两点分别在 AC上和过 A 点，且垂直
于 AC 的射线 AQ上运动，问 P 点运动到 AC上什么位置时△ABC 才
能和△APQ 全等？
解：当 P点运动到 AC中点或与点 C重合时，
△ABC 才能和△APQ 全等
①点 P运动到 AC中点时，△ABC≌△QPA．
∵AQ⊥AC，∠C=90°，
∴∠C=∠PAQ=90°，
又∵AP=CB=5，PQ=AB，
∴△ABC≌△QPA．
②点 P运动到与 C 点重合时，△ABC≌△QPA．
∵AQ⊥AC，∠C=90°，
∴∠BCA=∠PAQ=90°，
又∵AP=CA=10，PQ=AB，
∴△ABC≌△QPA．
总结：当 P点运动到 AC中点或与点 C重合时，△ABC 才能和△APQ
全等.
课后活动：动手操作
小明用大小相同高度为 2cm 的 10 块小长方体
垒 了两堵与地面垂直的木 墙 AD、BE，当他将 作业设计有利于
一个等腰直角三角板 ABC 如图竖直放人时，直角 学生形成完整的
顶点 C正好在水平线 DE 上，锐角顶点 A和 B分 数学知识结构，
别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离？ 有利于培养学生
的能力，是学习
B
后续几何课程的
A 基础。积极思
考，动手实践、
自主探索是学生
D C E 活动主旋律。学
【分析】 生有足够的时间
31
落地双减，增效作业
根据题意可得 AC=BC，∠ACB=90°， 和空间经历观
AD⊥DE，BE⊥DE，得到∠ADC=∠CEB=90°， 察、操作、猜
再根据等角的余角相等可得∠BCE=∠DAC， 想、推理等活动
再证明△ADC≌△CEB 即可， 过程，生动活
利用全等三角形的性质进行解答． 泼。使学生在过
【答案】 程中体会，在经
由题意得 AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥ DE，BE⊥DE， 历中感悟，在书
∴∠ADC＝∠CEB = 90°， 写中升华，真正
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC= 90°， 体现出数学学科
∴∠BCE＝∠DAC， 的基础性、普及
在△ADC和△CEB中， 性和发展性。
∠ADC＝∠CEB
∠BCE＝∠DAC
AC＝BC
∴△ADC≌△CEB (AAS ).
∴AD= EC=6cm，DC= BE= 14 cm，
∴DE= DC+CE= 20 (cm)，
∴两堵木墙之间的距离为 20cm.
作业评价标准
评价维度
答案不正确,有过
答案正确、过程
答案正确、过程 程不完整；答案
答题准确性 完整，书写认
有问题 不准确，过程错
真。
误或无过程。
作业评价
过程不够规 过程不规范或
过程规范，答
答题规范性 范、完整，答 无过程，答案
案正确。
案正确。 错误。
常规解法，思
解法有新意和 解法思路有创
路不清楚，过
解法创新性 独到之处，答 新，答案不完
程复杂或无过
案正确。 整或错误。
程。
32
落地双减，增效作业
12.3 角的平分线的性质作业设计
12.3 角的平分线的性质（第一课时）
类别 作业设计内容
1.掌握角平分线的尺规作图方法；掌握角平分线性质定理及其证
明；能够运用性质定理证明两条线段相等及衍生的其它有关问
题 。
2.在通过观察、实验、猜想、推理、验证等过程探究角平分线的性
作业目标
质定理，在推导过程中，提高综合运用三角形的有关知识解决问题
的能力
3.培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的自信心。获得解决问
题的成功体验，逐步发展培养学生的理性精神。
重点：掌握角平分线的尺规作图，理解角的平分线的性质并能初步
作业重难 运用
点 难点：对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解；对于
性质定理的探究与运用。
作业时间 1. 课前预习、自主练习（5 分钟）
设计 2. 课后复习、知识巩固（20分钟）
作业模块 作业内容 设计意图
通过观察和动
手操作巩固角
1.作∠AOB的平分线时，以 O 为圆心，某一长度为 平分线的尺规
半径作弧，与 OA，OB分别相交于 C，D，然后分别 作图法，获取
以 C，D为圆心，适当的长度为半径作弧，使两弧 知识，感受全
相交于一点，则这个适当的长度为( A ) 等形形成的过
1 1 程，让学生树
A.大于 CD B.等于 CD
2 2 立认真实践的
课前预 1 学习态度，激
C.小于 CD D.以上都不对
习、自主 2 发学生的学习
练习（5分 热情和学习兴
钟） 趣。
在学生动手画
图的基础上，利
2.已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E,且 用角的平分线
DE=3cm,则点D到AC的距离是( B ) 的性质来解决
A.2cm; B.3cm; 问题。在这个过
C.4cm; D.6cm 程中是学生感
受到学以致用
的意义，体会到
知识的应用价
33
落地双减，增效作业
值，从而激发他
们更高的学习
热情。
在学习了角平
分线的性质
后，使学生明
3.如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 确：平分＋垂
D，E， 直=垂线段相
B
下列结论错误的是（ D ） 等。在构造的
E
A、PD＝PE 两个全等三角
B、OD＝OE P 形中，知道哪
1
C、∠DPO＝∠EPO 2 些角，哪些边
O A
D 、PD＝OD
D 分别相等。培
养学生灵活运
用知识的能
力。
1.如图，△ABC的三边 AB，BC，AC的长分别为 12，18，24，
O是△ABC三条角平分线的交点，则 S△OAB：S△OBC:S△OAC =( C )
A.1：1：1 B.1：2：3 C.2：3：4 D.3：4：5
2.如图， B = C = 90 ，M 是 BC 的中点，DM 平分 ADC ，且
ADC =110 ，则 MAB = ( B )
课后复 A.30° B.35° C.45° D.60°
习、知识 D C
巩固（20
分钟）
M
A B
3．如图，OP 平分 MON ， PA⊥ON 于点 A，点 Q 是射线 OM 上的一
个动点，若 PA = 2 ，则 M
Q
PQ的取值范围是___PQ≥2 __.
P
O A N
34
落地双减，增效作业
4．如图，在直角坐标系中，AD 是 Rt△OAB 的角平分线，已知点 D
的坐标是(0,-4)，AB的长是 12，则△ABD的面积为__24___.
5.已知：AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
A
垂足分别是 E、F，BD＝CD，求证：∠B＝∠C.
E F
B
D
C
证明：∵AD为△ABC 的角平分线, DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE=DF
∴在 Rt△BDE和 Rt△CDF中
BD=CD
DE=DF
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)
∴∠B=∠C
选做作业
6．如图，BP，CP 分别是△ABC 的两个外角的平分线且相交于点 P.
求证：点 P在∠A 的平分线上．
E
D
F
35
落地双减，增效作业
证明：如图所示，作 PD⊥AB, PE⊥BC,PF⊥AC
垂足分别为点 D、E、F
∵BP，CP分别是△ABC的两个外角的平分线
∴PD＝PE =PF，
∴点 P在∠A的平分线上
7．如图，已知 BD为∠ABC的平分线，AB＝BC，点 P在 BD上，PM⊥
AD于点 M，PN⊥CD 于点 N.求证：PM＝PN.
证明：∵BD为∠ABC 的平分线
∴∠ABC=∠CBD
∵AB＝BC，BD=BD
∴△ABD≌△CBD (SAS ).
∴∠ADB=∠CDB
∵PM⊥AD于点 M，PN⊥CD于点 N.
∴PM＝PN
作业评价标准
评价维度
答案不正确,有过
答案正确、过程
答案正确、过程 程不完整；答案
答题准确性 完整，书写认
有问题 不准确，过程错
真。
误或无过程。
作业评价
过程不够规 过程不规范或
过程规范，答
答题规范性 范、完整，答 无过程，答案
案正确。
案正确。 错误。
常规解法，思
解法有新意和 解法思路有创
路不清楚，过
解法创新性 独到之处，答 新，答案不完
程复杂或无过
案正确。 整或错误。
程。
36
落地双减，增效作业
12.3 角的平分线的性质作业设计
12.3 角的平分线的性质(第二课时)
类别 作业设计内容
１．了解角平分线的判定定理在生活中有哪些应用；灵活运用角平
分线的判定定理来解决有关问题。
２．培养学生从数学角度提出问题、分析问题，并能综合运用所学
作业目标
的知识和技能解决问题的能力、合作能力和语言组织能力。
３. 能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心与求知欲，体会数
学与人们生活密切的联系。
作业重难 重点：掌握角平分线判定定理。
点 难点：会用角平分线判定定理解决简单的实际问题。
作业时间 1. 课前预习、自主练习（5 分钟）
设计 2. 课后复习、知识巩固（20分钟）
作业模块 作业内容 设计意图
通过回顾角的
1. 如图所示， ⊥ ， ⊥ ， ， 为垂
平分线的性质
足，根据角的平分线的性质和判定填空：
与判定，使学生
正确区分性质
与判定的区别。
在做题的过程
中，学生可以根
据已知条件确
定用哪一知识
（1）若 = ，则有 点 C 在∠AOB 的平
解决问题。在学
课前预 分线上 ；
生快乐解题的
习、自主
（2）若 ∠1 = ∠2，则有 OC平分∠AOB ． 过程中，培养他
练习（5分
们的自信心。
钟）
2. 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后
通过一个操作
发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作
题使学生感受
出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线 OB，
到数学知识来
另一把直尺压住射线 OA 并且与第一把直尺交于
源于生活且服
点 P，小明说：“射线 OP就是∠BOA的角平分线．”
务于生活。通过
他这样做的依据是（ A ）
这个练习进一
步巩固角的平
分线的判定，使
学生理解并掌
握这个知识。
37
落地双减，增效作业
A.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平
分线上
B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C.三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相
等
D.三角形的三条角平分线相交于同一点
3. 如图，某个居民小区 C附近有三条两两相交的
道 MN、OA、OB，拟在 MN上建造一个大型超市，使
得它到 OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置 在掌握角的平
P. 分线的判定的
基础上，学会利
用这个判定来
解决简单的实
际问题。在这个
过程中，学生获
超市 得成功的喜悦，
P
对数学充满信
心。
答案：OP平分∠AOB交直线 MN于点 P
则点 P到 OA、OB的距离相等.
通过这个问题
培养学生灵活
运用知识的能
力。由点到三边
的距离相等，可
4.点 O 是△ABC 内一点，且点 O 到三边的距离相 知这个点在三
等，∠A＝60°，则∠BOC的度数为（C） 角形内角平分
A.60° B.90° C.120° D.150° 线的交点，再由
三角形的内角
和定理解决该
问题。学生体会
到数学知识应
用的奥妙。
1. 如图，PM=PN，∠BOC=30°，PM⊥AO于 M，PN⊥OB于 N,则∠AOB=
60° ．
课后复 A
习、知识 M
C
巩固（20 P
分钟）
O N B
38
落地双减，增效作业
2. 如图，点 是 △ 内一点，且到三边的距离相等，
若∠A=64°，则∠BOC=122° ．
3. 如图所示，已知 ⊥ 于点 ， 于点 ， ⊥ 于
点 ，且 = ，若 ∠ = 40 ，则 ∠ = 25° ．
4.如图，四边形 ABCD中，∠B=∠C=90°，E是 BC的中点，DE平分
∠ADC．
(1)求证：AE平分∠BAD． D C
(2)求证：AD＝AB＋CD．
(1)证明：作 EF⊥AD，垂足为点 F F
∵DE 平分∠ADC，∠C=90° E
∴EC=EF,
∵E是 BC的中点
∴EC=EF=EB
在 Rt△AEF和 Rt△AEB 中， A B
AE＝AE（公共边）
EF＝EB（已证）
∴Rt△AEF≌Rt△AEB ( HL ).
∴∠BAE＝∠FAE
∴AE 平分∠BAD
(2) ∵Rt△AEF≌Rt△AEB
∴AB=AF
同理可证：△CDE≌△FDE
∴CD=DF
∴AD＝AF+DF=AB＋CD
5.已知：如图，OD 平分∠POQ，在 OP、OQ 边上取 OA＝OB，点 C 在
OD上，CM⊥AD于 M，CN⊥BD 于 N.求证：CM＝CN.
证明：∵OD为∠POQ 的平分线
∴∠AOC=∠BOC
∵OA＝OB，OD=OD
∴△AOD≌△BOD(SAS ).
39
落地双减，增效作业
∴∠ADO=∠BDO
∵CM⊥AD于 M，CN⊥BD于 N
∴CM＝CN
选做作业
6.如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点 F，求证：点 F在∠
DAE的平分线上.
证明：如图所示，作 FG⊥AE, FH⊥AD,FM⊥BC
垂足分别为点 G、H、M
∵CF，BF分别是△ABC的两个外角的平分线
∴FG=FH=FM
∴点 F在∠DAE的平分线上.
7.如图, 直线 l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路, 现要建一个货
物中转站, 要求它到三条公路的距离相等, 可选择的地址有几处
画出它的位置. P2
l1
l1
P1
P
4l3 l2 P3
l3 l2
答案：如图所示，
内角角平分线交点和
外角角平分线交点.
一共四个点到三条公路的距离相等.
作业评价标准
作业评价 评价维度
40
落地双减，增效作业
答案不正确,有
答案正确、过程
答案正确、过程 过程不完整；答
答题准确性 完整，书写认
有问题 案不准确，过程
真。
错误或无过程。
过程不够规 过程不规范或
过程规范，答
答题规范性 范、完整，答 无过程，答案
案正确。
案正确。 错误。
常规解法，思
解法有新意和 解法思路有创
路不清楚，过
解法创新性 独到之处，答 新，答案不完
程复杂或无过
案正确。 整或错误。
程。
41
落地双减，增效作业
第十二章复习与小结（第一课时）
类别 作业设计内容
1.掌握三角形全等的性质和判定方法，利用三角形全等进行证明，
掌握综合法证明的格式．
作业目标
2.能用尺规进行一些基本作图．能用三角形全等的性质及判定进行
证明。
作业重难 教学重点：用三角形全等进行证明有关问题。
点 教学难点: 灵活应用所学知识解决问题，精炼准确表达推理过程。
作业时间 1. 课前预习、自主练习（5 分钟）
设计 2. 课后复习、知识巩固（20分钟）
作业模块 作业内容 设计意图
通过对全等三
知识点 1：全等形的概念： 能够完全重合的两个
角形的概念、
图形 叫做全等形．
性质以及等相
关知识的回
顾，使学生建
知识点 2：全等三角形概念：能够 完全重合 的两
构知识体系。
个三角形叫做全等三角形．
在掌握基本概
念的基础上去
理解，从而树
知识点 3：全等三角形性质： 对应边相等，对
立学好数学的
应角相等 . 决心。
练习 1：如右图.已知△ABC≌△ADE，写出其对应
课前预 复习巩固全等
顶点、对应边、对应角.
习、自主 A 三角形的性
练习（5分 质，使学生掌
钟） 握全等三角形
E C 的对应边、对
B D 应角分别相
等。在解答的
答案：对应顶点：点 B与点 D，点 E与点 C，点 A
过程中，培养
是公共顶点.
学生认真独立
对应边：AB 与 AD，AE 与 AC，BC与 DE.
思考的好习
对应角：∠B与∠D，∠E与∠C，∠BAC与
惯。
∠ DAE.
练习 2：如下图，△EFG≌△NMH，在△EFG中，FG 利用全等三角
是最长边， 形的性质可以
在△NMH 中，MH 是最长边，∠F 和∠M 是对应 解决一些边角
角,EF=2.1cm , 问题，使学生
EH=1.1cm ，HN=3.3cm . 感受到学以致
(1)写出其他对应边及对应角； 用的真谛。
42
落地双减，增效作业
(2)求线段 NM及线段 HG的长度.
解：（1）EF和 NM，EG和 NH，FG和 MH; ∠E和∠
N，∠EGF和∠NHM.
（2）∵△EFG≌△NMH，EF=2.1cm ,EH=1.1cm ，
HN=3.3cm
∴NM=EF=2.1cm
HG=EG－EH=HN－EH=3.3－1.1=2.2（cm）
深刻领会在判
定两个三角形
知识点 4：全等三角形判定方法： 全等时至少要
一般三角形:SSS,SAS,ASA,AAS . 有一组边，ＨＬ
直角三角形： HL . 是专门针对直
角三角形所特
有的方法。
在判定两个三
练习 3：如图，已知 AB=DC，若要用“SSS”判定 角形全等时，我
A D
△ABC≌△DCB， 们要善于寻找
题目中的隐含
条件，在这个过
程中培养学生B C
应添加条件是 AC=DB ． 观察问题，分析
问题的能力。
1．如图，在△ABC和△DEC中，已知 AB＝DE，还需添加两个条件才
能使△ABC≌△DEC，添加的一组条件不正确的是（ A ）
A．BC＝EC，∠A＝∠D B．BC＝EC，AC＝DC
C．∠B＝∠E，∠BCE＝∠ACD D．BC＝EC，∠B＝∠E
E D
A
课后复
习、知识
巩固（20 B C
分钟）
2.如图，已知BE =CF ， A= D，添加下列条件，
不能证明△ABC≌△DEF 的是（ D ）
A． AB//DE D
A
B．DF //AC
C． E = ABC
E C
D． AB = DE B F
43
落地双减，增效作业
3．如图，已知△AOD≌△COB ，
请写出图中一组相等的线段_AD=CB [答案不唯一]．
D C
O
B
A
4．如图，△ABC≌△AED，点 D在 BC边上.
若∠EAB＝50°，则∠ADE的度数是___65°__.
E
A
B D C
5．如图，在 Rt△ABC 中，∠A＝90°，∠ABC 的平分线 BD 交 AC
于点 D，AD＝3，则点 D到边 BC 的距离__ 3 __．
A
D
B C
6．如图，点 B、C、D在同一条直线上，且 AB=CD,，点 A和点 E在
BD的同侧，且∠ACE=∠B=∠D. A E
(1)求证：△ABC≌△CDE ；
(2)若 BC=2,AB=3，求 BD的长度．
B C D
(1)证明：∵B、C、D在同一条直线上,
∴∠A＋∠ACB＋∠B=∠ACB＋∠ECD＋∠ACE
∵∠ACE=∠B
∴∠A=∠ECD
在△ABC和△CDE中，
∠ACE=∠B (已证)，
∵ AB=CD(已知)
∠D=∠B(已知)，
∴ △ABC≌△CDE（SAS）
(2) ∵△ABC≌△CDE
∴CD=AB=3
44
落地双减，增效作业
BD=BC+CD=5.
选做作业
7.如图所示，AB⊥BC，DC⊥AC，垂足分别为 B，C，过 D点作 BC的
垂线交 BC于 F，交 AC于 E，AB=EC，试判断 AC和 ED的长度有什么
关系并说明理由．
A
解：AC=ED
理由：∵AB⊥BC，DC⊥AC，DE⊥BC. E
∴∠B=∠ECD=90°
∠BAC＋∠ACB=∠CEF＋∠ACB C
B F
即∠BAC =∠CEF
在△ABC和△ECD中，
∠B=∠ECD (已证)，
∵ AB=EC (已知),
∠BAC =∠CEF(已证)，
D
∴ △ABC≌△ECD（ASA）
∴AC=ED
作业评价标准
评价维度
答案不正确,有
答案正确、过程
答案正确、过程 过程不完整；答
答题准确性 完整，书写认
有问题 案不准确，过程
真。
错误或无过程。
作业评价
过程不够规 过程不规范或
过程规范，答
答题规范性 范、完整，答 无过程，答案
案正确。
案正确。 错误。
常规解法，思
解法有新意和 解法思路有创
路不清楚，过
解法创新性 独到之处，答 新，答案不完
程复杂或无过
案正确。 整或错误。
程。
45
落地双减，增效作业
第十二章复习与小结（第二课时）
类别 作业设计内容
1．理解并掌握角平分线的性质定理和判定定理在生活中有哪些应
用；灵活运用角平分线的判定定理来解决有关问题。
2．培养学生从数学角度提出问题、分析问题，并能综合运用所学的
作业目标
知识和技能解决问题的能力、合作能力和语言组织能力。
3．能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心与求知欲，体会数学
与人们生活密切的联系。
作业重难 重点：掌握角平分线性质和判定定理。
点 难点：灵活运用角的平分线的性质和判定来证明一些题目。
作业时间 1. 课前预习、自主练习（5 分钟）
设计 2. 课后复习、知识巩固（20分钟）
作业模块 作业内容 设计意图
通过回顾角平
分线的性质和
判定，弄清两者
的区别与联系。
在这个过程中
知识点 1：角的平分线的性质： 角的平分线上的
渗透比较的思
点到角的两边的距离相等 ．
想方法，抓住它
知识点 2：角的平分线的判定：角的内部到角的两
们的本质，让学
边距离相等的点在角的平分线上．
生养成辩证地
看待事物的观
点。
课前预
习、自主 1. 到三角形三边的距离都相等的点是三角形的 利用角平分线
练习（5分 （ A ） 的判定来解决
钟） A.三条角平分线的交点 B.三条边的中线的交点 这个问题，学生
C.三条高的交点 D.三条边的垂直平分线的交点 需要认真思考。
通过三角形的
面积与周长的
2．如图，已知△ABC的周长是 16，OB，OC分别平 关系，确定角
分∠ABC 和∠ACB，OD⊥BC 于 D，且△ABC 的面积 平分线上的点
A
为 16，则 OD长为（ A ） 到角两边的距
A．2 O 离相等，尤其
B．3 三角形三个内
C．4 B
D C
角平分线的交
D．8 点到三边的距
离都相等。在
这个过程培养
46
落地双减，增效作业
了学生的综合
运用能力。
进一步巩固角
平分线的性质，
加强学生的理
解和记忆。确保
3.如图，在△ 中，∠ = 90 ， = 40， 是 他们在遇到关
∠ 的平分线交 于 ，且 : = 3: 5，则点 于角平分线的
到 的距离是 15 ． A 题目时，能够第
一时间想到这
条性质。孰能生
巧，在理解的基
C BD 础上多应用巩
固，为学生学好
数学打下坚实
的基础。
1.如图，OP 是∠AOB 的平分线，点 P 到 OA 的距离为3，点 N 是 OB
上的任意一点，则线段 PN的取值范围为（ C ）
A
E
A.PN<3 B. PN>3 C. PN≥3 D. PN≤3 DP
O B
2.已知：△ 是一个任意三角形，用直尺和圆规作出∠ ，∠ 的
平分线，如果两条平分线交于点 ，下列选项中不正确的是（ A ）
课后复 A.点 到△ 的三顶点的距离一定相等
习、知识
B.∠ 的平分线一定经过点
巩固（20
分钟） C.点 到△ 的三边距离一定相等
D.点 一定在△ 的内部
3.如图，已知 是∠ 的平分线， ⊥ 于点 ，
A
⊥ 于点 ， = 6，则 的长度是 6 . E
GD
B F C
47
落地双减，增效作业
A
4.如图，在△ 中，∠ = 90 ， 平分∠ ，交
于 点，作 ⊥ 于点 ，若△ 与△ 的 E
面积之比为3: 8，则△ 与△ 的面积之
比为___2:3 __． B D C
5.如图，△ 中，∠ 和∠ 的平分 A
线交于点 ， 经过点 ，且 // ， =
6， = 4， = 5，则△ 的周长为
D O
10 ． E
B C
6.已知，如图，AB=CD,△PAB 的面积等于△PCD 的面积，求证：OP
平分∠BOD. B
A
P
证明：作 PM⊥AB, 作 PN⊥CD O C D
∵AB=CD,△PAB的面积等于△PCD的面积.
1 1
∴ AB · PM = CD · PN,PM=PN B
2 2 M
∴OP 平分∠BOD A
P
O C N D
选做作业
7. 如图①，在△ 中， 是它的角平分线， 是 上一点，
// 交 于 ， // 交 于 ．
（1）求证： 到 的距离与 到 的距离相等；
（2）如图②，若点 在 的延长线上，其他条件不变，试猜想（1）
中的结论还成立吗？请证明你的猜想．
A A
P
F E
B
E D F C B D C
P
48
落地双减，增效作业
证明：(1) ∵AD是∠BAC的角平分线
∴∠BAD=∠CAD
∵PE∥AB,PF∥AC
∴∠BAD=EPD,∠CAD=∠FPD
∴∠EPD=∠FPD
∴PD 是∠EPF的角平分线
∴D到 PE的距离与 D到 PF到距离相等.
(2)若点 P在 AD的延长线上，其他条件不变，（1）中的结论还成立．
理由如下：
∵PE∥AB，PF∥AC，
∴∠EPD=∠BAD，∠DPF=∠CAD，
∵△ABC中，AD是它的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠EPD=∠DPF，
即 PD 平分∠EPF，
∴D到 PE的距离与 D到 PF的距离相等．
此题考查了角平分线的性质与平行线的性质．此题难度不大，解题
的关键是熟记角平分线的性质定理的应用，注意数形结合思想的应
用．
作业评价标准
评价维度
答案不正确,有
答案正确、过程
答案正确、过程 过程不完整；答
答题准确性 完整，书写认
有问题 案不准确，过程
真。
错误或无过程。
作业评价
过程不够规 过程不规范或
过程规范，答
答题规范性 范、完整，答 无过程，答案
案正确。
案正确。 错误。
常规解法，思
解法有新意和 解法思路有创
路不清楚，过
解法创新性 独到之处，答 新，答案不完
程复杂或无过
案正确。 整或错误。
程。
49
落地双减，增效作业
第十二章全等三角形单元作业总体设计
类别 作业设计内容
1.理解什么叫做全等三角形，全等三角形的性质，掌握全等三角形
的判定方法.
进一步培养逻辑推理能力，图形识别能力，提升分析问题、解决问
题的能力,促进学生的深度思维.
作业目标
2.进一步对三角形全等的认识，运用三角形全等的判定与性质解决
相关问题的能力.
3.在综合应用中，探索三角形全等的知识，引导学生分析、思考、归
纳并进行有关全等三角形的证明，渗透数学思想.
重点：复习全等三角形判定、性质及角平分线的性质和判定．
作业重难
难点：运用全等三角形知识来解决实际问题。学生理解证明的基本
点
过程，掌握用综合法证明的格式，并能灵活运用.
1. 千里之行，始于足下. 基础应用 7题（12分钟）
作业时间
2. 不积跬步，无以至千里. 学以致用 4题（9分钟）
设计
3. 百尺竿头，更进一步. 融会贯通 3题（9分钟）
作业模
作业内容 设计意图
块
1．根据下列已知条件，能画出唯一的 ABC的是 此题主要考
查了全等三
（ ） 角形的判定
A． C = 90 ， AB = 6 以及三角形
三边关系，
B． AB = 4，BC = 3， A = 30 正确把握全
C． A = 60 ， B = 45 ， AB = 4 等三角形的
判定方法是
课前预 D． AB = 3，BC = 4，CA = 8
解题关键．
习、自主
【解析设计】
练习（12
分钟） 利用全等三角形的判定方法以及三角形三边关系分别判断得出即
可．
解：A．∠C=90°，AB=6，不符合全等三角形的判定方法，即不能
画出唯一三角形；
B． AB = 4，BC = 3， A = 30 ，不符合全等三角形的判定定理，不
能画出唯一的三角形；
C． A = 60 ， B = 45 ， AB = 4，符合全等三角形的判定定理
ASA，能画出唯一的三角形，故本选项符合题意；
D．3+4<8，不符合三角形的三边关系定理，不能画出三角形.
故选：C．
50
落地双减，增效作业
2．如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA于点 D，点 E是射
本题考查角
线 OB 上的一个动点，若 PD＝3，则 PE的最小值 平分线的性
（ ） 质以及垂线
B
段最短，注
A．等于 3
E 意掌握角的
B．大于 3 P 平分线上的
点到角的两
C．小于 3 边的距离相
O D A
D．无法确定 等．
【解析设计】
由题意过 P点作 PH⊥OB 于 H，进而利用角平分线的性质得到
PH=PD=3，然后根据垂线段最短即可得到 PE的最小值．
解：过 P点作 PH⊥OB 于 H，如图，
B
∵OP 平分∠AOB，PD⊥OA，PH⊥OB 于 H，
H
∴PH＝PD＝3，∵点 E是射线 OB 上的一个动点， E P
∴点 E 与 H点重合时，PE有最小值，最小值为 3．
故选：A．
O D A
3.如图，直线 EF经过 AC的中点 O，交 AB于点 E， 本题考查全
交 CD 于点 F，下列不能使△AOE≌△COF的条件为 等三角形的
（ ） 判定、对顶
E
A．∠A＝∠C A B 角相等，熟
B．AB∥CD 练掌握全等
O
C．AE＝CF 三角形的判
D．OE＝OF D F C 定条件是解
答的关键．
【解析设计】
根据全等三角形的判定逐项判断即可．
解：∵直线 EF经过 AC的中点 O，∴OA=OC，
A、∵OA=OC，∠A＝∠C，∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），此选项不符合题意；
B、∵AB∥CD，∴∠A＝∠C，又∵OA=OC，∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），此选项不符合题意；
C、由 OA=OC，AE＝CF，∠AOE＝∠COF，不能证明△AOE≌△COF，
符合题意；
D、∵OA=OC，∠AOE＝∠COF，OE＝OF，
∴△AOE≌△COF（SAS），此选项不符合题意，
故选：C．
51
落地双减，增效作业
4．如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC 本题考查的
是角平分线
的平分线，DE⊥AB于点 E．若 AC＝12，DE＝5，则
的性质，掌
AD的长为（ ） A 握“角平分
A．2 线上的点到
E
B．4 这个角的两
C．7 D 边的距离相
D．8 等”是解题
B
C 的关键.
【解析设计】
由∠C＝90°，BD是∠ABC 的平分线，DE⊥AB，DE＝5，证明 CD=5,
再利用线段的和差关系可得答案.
解： ∵∠C＝90°，BD是∠ABC 的平分线，DE⊥AB，DE＝5，
∴CD=DE=5.
∴AD=AC－CD=12－5=7
故选 C
本题考查了
全等三角形
的判定：全
等三角形的
5种判定方
法中，选用
哪一种方
法，取决于
题目中的已
5．如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(0，4)，
知条件，若
B(﹣2，0)，
已知两边对
C(2，0)，作△DOC，使△DOC与△AOB全等，
应相等，则
则点 D 的坐标可以为________． y 找它们的夹
A
角或第三
边；若已知
两角对应相
B O C x 等，则必须
再找一组对
边对应相
等，且要是
两角的夹
边，若已知
一边一角，
则找另一组
角，或找这
个角的另一
组对应邻
52
落地双减，增效作业
边．解题关
键是掌握全
等三角形的
判定．
【解析设计】
由于 OB＝OC，∠AOB＝90°，OA＝4，若 OD＝4，∠DOC＝90°时，
可判断△DOC≌△AOB，从而得到此时 D点坐标；若 CD＝4，∠OCD
＝90°时，可判断△DCO≌△AOB，从而得到此时 D点坐标．
解：∵B(－2，0),C(2，0)∴OB＝OC，
∵∠AOB＝90°，OA＝4，
∴当 OD＝4，∠DOC＝90°时， y
△DOC≌△AOB（SAS）， A
此时 D 点坐标为（0，4）或（0， 4）；
当 CD＝4，∠OCD＝90°时，
△DCO≌△AOB（SAS）， B O C x
此时 D 点坐标为（2，4）或（2， 4）．
D
故答案为（0，4）或（0， 4）或（2，4）或（2， 4）．
6．如图，已知△ABC≌△DEF，AB∥EF，且∠B＝40°， 此题考查了
∠F＝65°，点 D在 AC 上，则∠ADE 的度数为（ ） 三角形内角
和定理和全
等三角形的
性质，解题
的关键是熟
练掌握三角
形内角和定
理和全等三
角形的性
质．
【解析设计】
解：∵△ABC≌△DEF，∴∠F＝∠C＝65°，
∵∠B＝40°，∠C＝65°，∴∠A＝180°－∠B－∠C＝75°，
∵AB∥EF, ∴∠ADF=∠B＝40°则，∠ADE=75°-40°=35°
故答案是：35°．
7.已知：图①、图②是正方形网格，△PQR的顶点 本题考查全
及点 A、B、C、D、E均在格点上，在图①、图② 等三角形的
中，按要求各画一个与△PQR全等的三角形要求： 性质，牢记
（1）两个三角形分别以 A、B、C、D、E中的三个点 性质内容并
为顶点； 能够灵活应
（2）两个三角形的顶点不完全相同． 用是解题关
键．
53
落地双减，增效作业
【解析设计】
（1）由全等的性质知，对应边相等，对应角相等，由此结合要求
画图即可；
（2）由全等的性质知，对应边相等，对应角相等，由此结合要求
画图即可．
解：（1）如图所示，△ABE即为所求．
（2）如果所示，△EDC即为所求．
1．如图，△ABC的外角 ACD的平分线 CE
与内角 ABC的平分线 BE交于点 E，若
本题主要考查了角平
BEC = 40 ，则 CAE的度数为（ ）
分线的性质定理，全等
A．65°
A E 三角形的判定和性质，B．60°
熟练掌握角平分线上
C．55°
【学以致 的点到角两边的距离D．50°
用 4题 相等是解题的关键． B D
（9分 C
钟）】
【解析设计】
过点 E 作 EF ⊥BA 交 BA延长线于点 F，EM⊥AC 于点 M，EN⊥BC 交
BC延长线于点 N，设∠ECD=x°，根据角平分线的性质定理，可得
EF=EM，再由三角形外角的性质可得∠BAC = 80°，从而得到
∠CAF=100°，再由 Rt△EFA≌Rt△EMA，即可求解．
解：如图，过点 E作 EF ⊥BA 交 BA延长线于点 F，EM⊥AC 于点
54
落地双减，增效作业
M，EN⊥BC 交 BC延长线于点 N， F
设∠ECD=x°，∵CE 平分∠ACD，
∴∠ACE =∠ECD =x°，EM = EN， A E
∵BE 平分 ABC，
∴ ∠ABE =∠EBC，EF = EN，
∴EF = EM， M
D
∵∠BEC= 40°， B C N
∴ ∠ABE =∠EBC =∠ECD–∠BEC=(x-40)°，
∴ ∠BAC =∠ACD–∠ABC
= 2x°- (x° - 40°) - (x° - 40°) = 80°，
∴∠CAF = 100°，
在 Rt△EFA 和 Rt△EMA 中，∵EA=EA，EM=EF，
∴ Rt△EFA≌Rt△EMA (HL)，
∴∠FAE = ∠EAC = 50°．
故选：D
2．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝
72°，D为 BC上一点， 本题考查全等三角形
在 AB 上取 BF＝CD，AC上取 CE＝BD，则∠ 的判定与性质，掌握
FDE的度数为（ ） A 全等三角形的判定定
A．54° 理与性质是解题的关
B．56° F
E 键．
C．64°
D．66°
B C
D
【解析设计】由“SAS”可证△BDF≌△CED，可得∠BFD＝∠CDE，
由外角的性质可求解．
解：∵AB＝AC，∠A＝72°，∴∠B＝∠C＝54°，
在△BDF 和△CED 中，
BD = CE

B = C，∴△BDF≌△CED（SAS），

BF = CD
∴∠BFD＝∠CDE，
∵∠FDC＝∠B+∠BFD＝∠CDE+∠FDE，∴∠FDE＝∠B＝54°，
故选：A．
3.如图，在△AOB 和△COD 中，
OA=OB,OC=OD,OA连接 AC ，BD交于点 M，连结OM ．下列结 形的判定与性质、三角
论： O 形的外角性质、角平分
① ∠AMB=40°; A D线的判定等知识；证明
② ②AC=BD; 三角形全等是解题的
③ OM 平分∠AOD; MB 关键．
④ OM 平分∠AMD.
C
55
落地双减，增效作业
其中正确的是（ ）
A．①②
B．②③
C．①②③
D．①②④
【解析设计】
由 SAS 证明△AOC≌△BOD 得出∠OCA=∠ODB，AC=BD，②正确；由
全等三角形的性质得出∠OAC=∠OBD，由三角形的外角性质得：
∠AMB+∠OBD=∠OAC+∠AOB，得出∠AMB=∠AOB=40°，①正确；作
OG⊥AM 于 G，OH⊥DM 于 H，如图所示：则∠OGA=∠OHB=90°，利用
全等三角形对应边上的高相等，得出 OG=OH，由角平分线的判定方
法得出 MO平分∠AMD，④正确；假设 MO平分∠AOD，则
∠DOM=∠AOM，由全等三角形的判定定理可得△AMO≌△DMO，得
AO=OD，而 OC=OD，所以 OA=OC，而 OA＜OC，故③错误；即可得出
结论．
解：∵∠AOB=∠COD=40°，
O
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，
即∠AOC=∠BOD， A D
在△AOC 和△BOD 中， G
M H
OA = OB B

AOC = BOD ， C

OC = OD
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA=∠ODB，AC=BD，故②正确；
同时∠OAC=∠OBD，
由三角形的外角性质得：
∠AMB+∠OBD=∠OAC+∠AOB，
∴∠AMB=∠AOB=40°，故①正确；
作 OG⊥AM 于 G，OH⊥DM 于 H，如图所示，
则∠OGA=∠OHB=90°，
∵△AOC≌△BOD，
∴OG=OH，
∴MO 平分∠AMD，故④正确；
假设 MO 平分∠AOD，则∠DOM=∠AOM，
在△AMO 与△DMO 中，
AOM = DOM

OM = OM ，

AMO = DMO
∴△AMO≌△DMO（ASA），
∴AO=OD，
56
落地双减，增效作业
∵OC=OD，
∴OA=OC，
而 OA＜OC，故③错误；正确的个数有 3个；
故选：D．
4．如图，AP，BP分别平分△ABC 内角∠
CAB和外角∠CBD，连接 CP，若∠ACP＝
130°，则∠APB＝ ． 本题主要考查了角平
分线的判定与性质，外
C 角的性质，熟悉相关性
P
质是解题的关键．
A
B D
【解析设计】
根据 AP 平分 CAB， BP平分 CBD，可得 CAB = 2 PAB ，
CBD = 2 PBD ，再根据外角的性质可得 CBD = CAB + ACB，
PBD = PAB+ APB，化简得: 2 APB = ACB ；过 P 作 PE ⊥ AB1 于点
E ， PE ⊥ BC PE ⊥ AC1 2 于点E ， 3 延长线于点 E2 3，易得 PE = PE = PE1 2 3，
可得CP平分 E CE ，即有 E CP = E CP3 2 3 2 ，根据 ACP = 130 ，可得
1
E CP = 50
3 ， E CE = 2 E CP =100 3 2 3 ，则 ACB = 80 ，根据 APB = ACB求
2
解即可．
解：∵ AP 平分 CAB， BP平分 CBD，
∴ CAB = 2 PAB ， CBD = 2 PBD ，
又∵ CBD = CAB + ACB， PBD = PAB+ APB，
∴ 2 PBD = 2 PAB + ACB
∴ 2 ( PAB + APB ) = 2 PAB + ACB
∴ 2 APB = ACB
如图示，过 P 作 PE ⊥ AB1 于点E ， PE ⊥ BC PE ⊥ AC1 2 于点E2 ， 3 延长线于
点 E3，
∵ AP 平分 CAB， BP平分 CBD，
∴PE = PE ， PE = PE2 1， E1 3 3
即 PE = PE = PE1 2 3 C
∴CP平分 E CE3 2， P
∴ E CP = E CP3 2 E2
又∵ ACP = 130
∴ E CP =180 ACP =180 130 = 50 3
∴ E CE = 2 E CP =100 3 2 3 B E1 D
57
落地双减，增效作业
∴ ACB =180 E CE =180 100 = 80 3 2
1 1
∴ APB = ACB = 80 = 40
2 2
故答案是：40°．
本题考查的
1．如图，△ABC中，∠ABC，∠ACB的外角平分线交
是角平分线
于点 P，PE⊥AB交 AB的延长线于 E，PF⊥AC交 AC 的性质和全
等三角形的
的延长线于 F，求证：BC＝BE＋CF．
判定与性
F
质，熟练掌
C
握角的平分
P
线上的点到
角的两边的
距离相等是
A B E D 解题的关
键．
【解析设计】
由题意作 PH⊥BC 于 H，进而根据角平分线的性质得到 PF=PH，得到
CF=CH，最后进行等量代换即可．
F
解：证明：作 PH⊥BC 于 H， C
P
【融会贯 ∵CP 是∠FCB 的平分线，PF⊥AC，PH⊥BC，
通 3题（9 ∴PF＝PH，
H
分钟）】 ∵ PFC = PHC = 90 , PF = PH , PC = PC, A
B E D
∴Rt△PFC≌Rt△PHC,
∴CF＝CH，
同理，BH＝BE，
∴BC＝CH+BH＝BE+CF．
渗透数学模
型思想,截长
补短法，是
初中数学几
2．如图，已知在四边形 ABCD 中，BD是 ABC的平
何题中一种
分线， AD =CD． A 辅助线的添
加方法，也
求证： A+ C =180 ． D
是把几何题
化难为易的
一种思想。
B C 截长就是在
一条线上截
取成两段，
补短就是在
58
落地双减，增效作业
一条边上延
长，使其等
于一条所求
边。无论是
截长法还是
补短法都是
要将几条线
段的和差问
题转化为证
两条线段相
等的问题，
一般都要通
过构造出两
对全等三角
形来解决问
题。
【解析设计】
方法一，在 BC上截取 BE，使 BE = AB ，连接 DE，由角平分线的定义
可得 ABC = DBC ，根据全等三角形的判定可证△ABD和△EBD全
等，再根据全等三角形的性质可得 A= BED， AD = DE，由 AD=CD
等量代换可得DE = DC ，继而可得 C = DEC，由于
BED+ DEC =180 ，可证 A+ C =180 ；
方法 2，延长 BA到点 E，使BE = BC ，由角平分线的定义可得
ABD = DBC，根据全等三角形的判定可证△EBD和 CBD全等，
继而可得 E = C ，DC = DE ．由 AD =CD，可得DE = AD，继而求得
E = EAD，由 EAD+ BAD =180 ，继而可得 BAD+ C =180 ；
方法 3， 作DE ⊥ BC 于点 E，DE ⊥ BA交 BA的延长线于点 F，由角
平分线的定义可得，由DE ⊥ BC ，DE ⊥ BA，可得 F = DEB = 90 ，
根据全等三角形的判定可证△ABD和△EBD全等，继而可得
DF = DE ，再根据 HL定理可得可证 BAD+ C =180 ．
解：方法 1 截长
如图，在 BC上截取 BE，使 BE = AB ，
连接 DE，因为 BD是 ABC的平分线，
∴ ABC = DBC ． A
在△ABD和△EBD中， D
AB = EB

∵ ABD = DBC ∴ △ABD≌△EBD ，

BD = BD B E C
∴ A= BED， AD = DE．
∵ AD =CD，∴DE = DC ，∴ C = DEC．
∵ BED+ DEC =180 ，∴ A+ C =180 ．
59
落地双减，增效作业
方法 2 补短
如图，延长 BA到点 E，使BE = BC ．
∵BD是 ABC的平分线，
E
所以 ABD = DBC
A
在△EBD和△CBD中，
D
BC = BE

∵ EBD = DBC ，∴△EBD≌△CBD，

BD = BD
B C
∴ E = C ，DC = DE ．
∵ AD =CD，∴DE = AD，∴ E = EAD．
∵ EAD+ BAD =180 ，∴ BAD+ C =180 ．
方法 3 构造直角三角形全等
作DE ⊥ BC 于点 E．DE ⊥ BA交 BA的延长线于点 F
∵BD是 ABC的平分线，
∴ ABD = DBC． F
∵DE ⊥ BC ，DE ⊥ BA，∴ F = DEB = 90 ， A
在△FBD 和△EBD中， D
F = DEB

∵ ABD = DBC ，∴△FBD≌△EBD，

BD = BD B E C
∴ DF = DE ．
在Rt△FAD和Rt△ECD中，
DF = DE
∵ ，∴Rt△FAD≌Rt△ECD，
AD = DC
∴ FAD = C ．
∵ FAD+ BAD =180 ，
∴ BAD+ C =180 ．
3．如图 1，在 Rt△ACB中，∠BAC＝90°，AB＝ 此题是三角
AC，分别过 B、C两点作过点 A 的直线 l的垂线，垂 形综合题，
足为 D、E． 考查了全等
三角形的判
C
C A 定和性质，
BB l 同角的余角
B
l 相等，判断
D A E D A E m
图 出△ADB≌△1 图2 图3 C
CEA是解本
（1）如图 1，当 D、E两点在直线 BC的同侧时，猜 题的关
想 BD、CE、DE三条线段有怎样的数量关系？并说明 键．还用到
理由． 了分类讨论
60
落地双减，增效作业
（2）如图 2，将（1）中的条件改为：在△ABC中， 的思想．
AB＝AC，D、A、E三点都在直线 l上，并且有∠BDA
＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝
角．请问（1）中结论是否成立？若成立，请你给出
证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图 3，∠BAC＝90°，AB＝35，AC＝40．点 P
从 B点出发沿 B→A→C路径向终点 C运动；点 Q从
C点出发沿 C→A→B路径向终点 B运动．点 P和 Q
分别以每秒 2和 3个单位的速度同时开始运动，只
要有一点到达相应的终点时两点同时停止运动；在
运动过程中，分别过 P和 Q作 PF⊥l于 F，QG⊥l于
G．问：当△PFA与△QAG全等，点 P运动时间是
秒．（直接写结果即可）
【解析设计】
（1）根据 BD⊥直线 l，CE⊥直线 l得∠BDA＝∠CEA＝90°，而
∠BAC＝90°，根据等角的余角相等得∠CAE＝∠ABD，然后根据
“AAS”可判断△ADB≌△CEA，则 AE＝BD，AD＝CE，于是 DE＝
AE+AD＝BD+CE；
（2）利用∠BDA＝∠BAC＝α，则∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝
180°﹣α，得出∠CAE＝∠ABD，
进而得出△ADB≌△CEA 即可得出答案；
（3）易证∠PFA＝∠QGA，∠PAF＝∠AQG，只需 PA＝QA，就可得到
△PFA 与△QAG 全等，然后只需根据点 P和点 Q不同位置进行分类
讨论即可解决问题．
证明：（1）∵BD⊥直线 l，CE⊥直线 l，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD，
在△ADB 和△CEA 中，
ABD = CAE

BDA = CEA，

AB = AC
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
（2）成立，
证明：∵∠BDA＝∠BAC＝α，
∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，
∴∠CAE＝∠ABD，
61
落地双减，增效作业
在△ADB 和△CEA 中，
ABD = CAE

BDA = CEA，

AB = AC
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE．
40
（3）①当 0≤t＜ 时，点 P 在 AB上，点 Q在 AC上，
3
此时有 BP＝2t，CQ＝3t，AB＝35，AC＝40．
当 PA＝QA即 35﹣2t＝40﹣3t，也即 t＝5时，
∵PF⊥l，QG⊥l，∠BAC＝90°，
∴∠PFA＝∠QGA＝∠BAC＝90°．
∴∠PAF＝90°﹣∠GAQ＝∠AQG．
在△PFA 和△QAG 中，
PFA = AGQ

PAF = AQG ，

PA = AQ
∴△PFA 与≌△QAG（AAS）．
40 35
②当 ≤t＜ 时，点 P在 AB 上，点 Q也在 AB上，
3 2
此时相当于两点相遇，则有 2t+3t＝35+40，解得 t＝15；
75
③当 25＜t＜ 时，点 Q在 AB 上，点 P在 AC上，
2
当 PA＝QA即 2t﹣35＝3t﹣40，解得 t＝5（舍去）．
综上所述：当 t等于 5秒或 15 秒时，△PFA 与△QAG 全等．
故答案为：5或 15．
作业评价标准
评价维度
答案正确、过程 答案不正确,有过
答案正确、过程
完整，书写认 程不完整；答案
作业评价 答题准确性 有问题。 真。 不准确，过程错
误或无过程。
过程不够规
过程规范，答 过程不规范或
范、完整，答
答题规范性 案正确。 无过程，答案
案正确。
错误。
62
落地双减，增效作业
解法有新意和 解法思路有创 常规解法，思
独到之处，答 新，答案不完 路不清楚，过
解法创新性
案正确。 整或错误。 程复杂或无过
程。
作业整体单元属性表
对应单元 对应学
类别 序号 类型 难度 来源 完成时间
作业目标 了解 理解 应用
1 选择题 2 √ 易 改编
课前 2 选择题 3 √ 易 改编
预
3 选择题 1，2 √ 易 原创
习、
4 选择题 3 √ 易 改编 12分钟
自主
5 填空题 2 √ 易 改编
练习
6 填空题 1，2 √ 易 原创
7题
7 解答题 1，2 √ 中 原创
1 填空题 1 √ 中 选编
学以
2 解答题 2 √ 中 改编
致用 9分钟
3 填空题 1，2，3 √ 较难 改编
4题
4 填空题 1，2，3 √ 易 改编
融会 1 解答题 2，3 √ 中 改编
贯通 2 解答题 1，2，3 √ 较难 原创 9分钟
3题 3 解答题 1，2，3 √ 较难 改编
63

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